intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luận văn Thạc sĩ Kỹ thuật: Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc

Chia sẻ: Sơ Dương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST
Báo xấu
30
lượt xem 7
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn "Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc" trình bày các phương pháp phân tích và điều khiển hệ phi tuyến; phân tích được hệ phi tuyến không dừng và dừng khác nhau như thế nào, các tiêu chuẩn ổn định trong hệ phi tuyến, tìm nghiệm tối ưu và cận tối ưu trong hệ phi tuyến, tìm nghiệm tối ưu trong miền ràng buộc và miền hở.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Kỹ thuật: Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI --------------------------------------- NGÔ TRƢỜNG MINH ĐIỀU KHIỂN CẬN TỐI ƢU CHO HỆ PHI TUYẾN KHÔNG DỪNG CÓ RÀNG BUỘC Chuyên ngành: ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA HÀ NỘI - 2015
  2. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa MỤC LỤC MỤC LỤC .......................................................................................................................... LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................................. CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN HỆ KHÔNG DỪNG ......................................................... 1 1.1 Giới thiệu về hệ phi tuyến không dừng. ............................................................. 1 1.2 Những tính chất động học điển hình .................................................................. 2 CHƢƠNG 2: CÁC PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN CẬN TỐI ƢU CHO HỆ KHÔNG DỪNG ............................................................................................................. 16 2.1 Đặc điểm của bài toán tối ƣu ............................................................................ 16 2.2 Xây dựng bài toán tối ƣu .................................................................................. 21 2.3 Phƣơng pháp giải bài toán phi tuyến không dừng ............................................ 22 2.4 Hàm Hamilton và tính chất biến phân .............................................................. 24 2.5 Thừa số Lagrange và hàm Hamilton. ............................................................... 32 2.6 Phƣơng pháp giải bài toán ràng buộc Arthur E. Bryson &Yu-Chi Ho ............ 41 2.6.1 Bất đẳng thức ràng buộc về các biến điều khiển. ...................................... 41 2.6.2 Bất phương trình ràng buộc của điều khiển và biến trạng thái ................ 44 2.6.3 Bất đẳng thức ràng buộc về chức năng của các biến trạng thái ............... 45 CHƢƠNG 3 BÀI TOÁN HỆ PHI TUYẾN KHÔNG DỪNG ....................................... 50 3.1 Lời giới thiệu .................................................................................................... 50 3.2 Giải quyết vấn đề .............................................................................................. 51 3.3 Kết quả của bài toán ......................................................................................... 56 3.4 Ví dụ ................................................................................................................. 62 3.5 Kết luận............................................................................................................. 63 KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN .......................................................................................... 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 65 Ngô Trƣờng Minh – 13BĐKTĐH
  3. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa Danh mục hình vẽ Hình 1.1 Cấu trúc mô hình của hệ phi tuyến Hamerstein ............................................... 3 Hình 1.2 Tìm nghiệm hệ phương trình (1.3) bằng phương pháp đồ thị .......................... 4 Hình 1.3 Điều kiện để kiểm tra tính ổn định .................................................................... 8 Hình 2.1: Sơ đồ hệ thống điều khiển .............................................................................. 16 Hình 2.2 Nghiệm tối ưu địa phương/ toàn cục............................................................... 17 Hình 2.3 Mô hình động cơ điện một chiều kích từ độc lập ............................................ 19 Hình 2.4 Minh họa công thức biến phân........................................................................ 25 Hình 2.5 Các đường đồng mức và vector gradient ........................................................ 39 Hình 2.6 Cho một bài toán tìm thời gian ngắn nhất (barchistochorone) với một bất đẳng thức có biến trạng thái bị ràng buộc..................................................................... 47 Hình 2.7 Tìm thời gian ngắn nhất (barchistochorone) với tan  1 với một vài giá trị 2 h / l , biến trạng thái bị ràng buộc .................................................................................. 49 Ngô Trƣờng Minh – 13BĐKTĐH
  4. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là: Ngô Trƣờng Minh Học viên lớp cao học điều khiển và tự động hóa 2013B – trƣờng đại học Bách khoa Hà Nội. Xin cam đoan: đề tài “Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc” do thầy giáo TS. Đào Phƣơng Nam hƣớng dẫn là của riêng tôi. “Tôi cam đoan rằng, ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác nhƣ đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện và chƣa có phần nội dung nào của luận văn này đƣợc nộp để lấy một bằng cấp ở trƣờng này hoặc trƣờng khác”. Ngô Trƣờng Minh – 13BĐKTĐH
  5. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN HỆ KHÔNG DỪNG 1.1 Giới thiệu về hệ phi tuyến không dừng. Thƣờng xu hƣớng đơn giản hóa vấn đề là chỉ nghiên cứu hệ dừng, tuy nhiên có những bài toán điều khiển không thể tránh đƣợc hệ không dừng. Ví dụ: điều khiển xe bám đƣờng đi khi đƣờng đi thay đổi (không phải đƣờng thẳng). Lịch sử nghiên cứu: Phân tích và điều khiển hệ phi tuyến luôn là vấn đề thời sự, thu hút đƣợc sự quan tâm của những ngƣời làm trong lĩnh vực kỹ thuật hệ thong. Những phƣơng pháp phân tích và tổng hợp hệ thống trên cơ sở lý thuyết các hệ thống điều khiển phi tuyến đã đƣa con ngƣời đến gần hơn nữa trong các ứng dụng thực tế cũng nhƣ khả năng nâng cao đƣợc chất lƣợng cho các hệ thống điều khiển hiện tại. Nó chính là chiếc cầu nối giữa lý thuyết và thực tiễn. Chính vì thế, ngay từ khi lý thuyết điều khiển đƣợc khai sinh, mảng lý thuyết các hệ thống điều khiển phi tuyến đã khẳng định đƣợc vị trí của mình. Nhiều phƣơng pháp phân tích và điều khiển hệ phi tuyến đã ra đời và phát triển song song cùng lý thuyết điều khiển tuyến tính cơ bản. Đó là các phƣơng pháp phân tích mặt phẳng pha, phƣơng pháp phân tích và điều khiển hệ Hammerstein, hệ Wiener, phƣơng pháp cân bằng điều hòa, lý thuyết Lyapunov hay phƣơng pháp điều khiển trƣợt. (Tài liệu [1] trang 3) Đặc biệt trong những năm gần đây, với sự trợ giúp của nhiều ngành khoa học khác nhau, chuyên ngành phân tích và điều khiển hệ phi tuyến đã có những bƣớc nhảy vọt về mặt chất lƣợng, cả trong lý thuyết lẫn ứng dụng. Nền móng cho sự phát triển về mặt lý thuyết trƣớc tiên có thể kể đến là phép đổi trục tọa độ vi phôi xây dựng trên nền hình học vi phân, đã tạo ra khả năng nghiên cứu, phân tích hệ phi tuyến theo hƣớng tận dụng các kết quả đã có của điều khiển tuyến tính…Bên cạnh sự phát triển về chất lƣợng trên, trƣờng phái phân tích và điều khiển hệ phi tuyến kinh điển cũng đã đƣợc bổ sung thêm nhiều kỹ thuật hữu ích khác rất gần với ứng dụng, nhƣ kỹ thuật gain –scheduling, kỹ thuật điều khiển Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 1
  6. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa dự báo theo mô hình (Model Predictiv Control - MPC)… Không những thế, lý thuyết các hệ thống điều khiển phi tuyến đã còn đƣợc ứng dụng thành công cho lớp đối tƣợng phi tuyến có tính chất động học đặc biệt nhƣ các hệ thụ động, các hệ hồi tiếp chặt tham số, hệ tiêu tán…Sự tiến bộ to lớn của chuyên ngành phân tích và điều khiển hệ phi tuyến cần phải nhanh chóng ứng dụng vào thực tiễn. Đó cũng là điều mà tác giả khi trình bày luận văn này với tên đề tài là “ Điều khiển cận tối ƣu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc”. Đây là một luật điều khiển có phản hồi xây dựng bài toán theo phƣơng pháp gần đúng cho hệ điều khiển tối ƣu. Đƣợc áp dụng cho đối tƣợng hệ phi tuyến không dừng có thời gian ràng buộc tới hệ điều khiển cho hệ bất phƣơng trình. Đây là một luật điều khiển có hiệu quả khi hệ thống có nhiễu loạn dẫn đến sự sai lệch so với giá trị đặt ban đầu khi mô hình không bền vững. 1.2 Những tính chất động học điển hình Tất nhiên chúng ta khó có thể tìm hiểu sâu đƣợc đối tƣợng tới mức trả lời hết đƣợc tất cả những câu hỏi về chất lƣợng động học của nó, tuy nhiên có một số câu hỏi cơ bản về chất lƣợng điển hình của đối tƣợng nói riêng và hệ thống nói chung mà bất cứ một bài toán phân tích nào cũng phải trả lời đƣợc, đó là các câu hỏi về: - Điểm trạng thái cân bằng và điểm trạng thái dừng - Tính ổn định của hệ tại những điểm cân bằng đó - Khả năng tự dao động của hệ cũng nhƣ tần số, biên độ và tính ổn định của các dao động này - Có hay không hiện tƣợng hỗn loạn trong hệ - Có hay không khả năng phân nhánh trong hệ - Và những tính chất khác nhƣ bậc tƣơng đối, tính động học không … Điểm trạng thái cân bằng và điểm dừng. Đƣơng nhiên, sẽ hoàn hảo nếu ta có đƣợc các kết luận về tính chất động học của hệ thống cho toàn bộ không gian trạng thái (không gian vector của trạng thái x ) Song rất có thể là điều đó là Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 2
  7. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa không thực hiện đƣợc. Nếu nhƣ vậy, ngƣời ta đành phải chấp nhận khảo sát tính chất của hệ trong một số vùng trạng thái đặc biệt mang tính chất điển hình và một trong các vùng đó là lân cận của những điểm trạng thái cân bằng và điểm trạng thái dừng. (Tài liệu [1] trang 35) d x   f ( x, u ) Định nghĩa 1.1: Xét hệ phi tuyến dừng dt Khi đó  y  g ( x, u )  a) Điểm trạng thái cân bằng x e (equilibrium point) là điểm trạng thái mà tại đó và nếu không bị kích thích ( u 0 ) hệ sẽ không thay đổi trạng thái. Nhƣ vậy dx điểm trạng thái cân bằng x e sẽ chính là nghiệm của :  f ( x, u) 0 dt u 0 (1.1) b) Điểm trạng thái dừng x d là điểm trạng thái mà tại đó và với một kích thích cố định u ud cho trƣớc, hệ sẽ không thay đổi trạng thái. Nhƣ vậy điểm trạng thái dừng x d là nghiệm của : d x  f ( x, u ) 0 (1.2) dt u ud Ví dụ: Xác định điểm trạng thái dừng cho hệ Hammerstein Hình 1.1 Cấu trúc mô hình của hệ phi tuyến Hamerstein Xét hệ phi tuyến Hamerstein có cấu trúc nhƣ hình vẽ. Giả sử khâu tuyến tính với hàm truyền G(s) có G(0) là hữu hạn. Do khâu phi tuyến là khâu tĩnh nên các trạng thái x của hệ Hamerstein cũng chính là trạng thái của khâu tuyến tính G(s). Giả sử hệ đang ở trạng thái dừng x d , tức là ứng với tín hiệu vào (t)  d Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 3
  8. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa xác định cho trƣớc, sẽ có d xd 0 . Khi đó các tín hiệu có bên trong hệ là e(t), dt u(t) và y(t) cũng sẽ xác lập tại các giá trị dừng ed , ud , yd và giữa chúng có quan hệ: ud  f (ed ) , yd G(0)u d và ed d yd  ud  f (ed ) và ed d G(0)ud (1.3) Giải hệ phƣơng trình (1.3) ta đƣợc nghiệm (u d, ed) của bài toán. Hình 1.2 minh họa cách tìm nghiệm bằng phƣơng pháp đồ thị. Nghiệm (ud, e d) của bài toán xác định điểm dừng cho hệ Hammerstein chính là giao điểm của hai đồ thị u = f(e) và e d G (0)u Số các điểm dừng cũng là số các giao điểm đó. Nhƣ vậy, tùy thuộc vào hệ mà cụ thể là khâu phi tuyến tĩnh và vào khâu tuyến tính động cũng nhƣ vào tín hiệu đầu cho trƣớc (t ) d , bài toán có thể vô nghiệm (hệ không có điểm trạng thái dừng ứng với (t ) d ), song cũng có thể có một hay nhiều điểm trạng thái dừng. Hình 1.2 Tìm nghiệm hệ phương trình (1.3) bằng phương pháp đồ thị Tiêu chuẩn xét tính ổn định cho hệ không dừng Xét tính ổn định của hệ không dừng, cân bằng tại gốc và có mô hình không dx f (0, t ) 0 , t 0 thỏa bị kích thích, không dừng có mô hình:  f (x , t) với dt Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 4
  9. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa mãn mọi điều kiện đầu x(t0 )  x0  .Để thực hiện đƣợc điều này, ngƣời ta đƣa thêm vào một số khái niệm sau: (Tài liệu [1] trang 80) Định nghĩa 1.2: a) Hàm thực (r), r 0 đƣợc gọi là thuộc lớp K nếu nó đơn điệu tăng và (0) 0 Nếu còn có lim ( r)   thì hàm (r ) đƣợc gọi là thuộc lớp K r  b) Hàm nhiều biến V ( x, t ) đƣợc gọi là hợp thức nếu tồn tại hai hàm 1,  2 thuộc lớp K sao cho 1 ( x ) V ( x, t )  2 ( x) c) Hàm thực, đơn điệu giảm ( z), z 0 thỏa lim ( z) 0 đƣợc gọi là thuộc lớp L z d) Hàm thực, liên tục ( z, t ) với z, t 0 sẽ đƣợc gọi là thuộc lớp KL nếu khi t cố định thì nó thuộc lớp K và khi z cố định thì nó thuộc lớp L e) Hàm thực, liên tục ( z, t ) với z, t 0 sẽ đƣợc gọi là thuộc lớp KL∞ nếu khi t cố định thì nó thuộc lớp K ∞ và khi z cố định thì nó thuộc lớp L Ngoài ra, định lý Lyapunov có phát biểu:cho hệ tự trị dx x  n và f (0) 0 . Gọi V ( x) thỏa mãn  f ( x) , (1.4) dt - Xác định dƣơng, tức là V ( x) 0 ,V ( x) 0 và V ( x) 0 (1.5) - Đơn điệu tăng theo x và có lim V ( x)   (1.6) x  dV V ( x) d.n Ký hiệu: W( t)   f ( x)  Lf V ( x) ký hiệu đạo hàm Lie. Khi đó: dt x a) Nếu xác định dƣơng trong một lân cận của gốc thì hệ là ổn định tiệm W( )  cận tại gốc tọa độ với miền ổn định . Nếu có thêm   n thì hệ là ổn định tiệm cận toàn cục (GAS – global asymptotically stable). b) Khi W( x) 0 , x ( xác định bán dương) thì hệ là ổn định tại gốc tọa độ. Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 5
  10. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa Ta còn nhận thấy khi hệ đã ổn định tiệm cận hoặc ổn định, thì hoặc sẽ có 0 x(t )  0 hoặc nó sẽ ở lại trên một đƣờng đồng mức nào đó bao gốc ( 90 ) , nếu nhƣ nó không tiến về gốc tọa, nên cũng sẽ luôn có lim dV 0 . Suy ra: t  dt Định lý (LaSalle): Xét hệ phi tuyến không bị kích thích và cân bằng tại gốc mô tả bởi (tài liệu [1] trang 80) dx f (0, t ) 0 , t 0 .  f (x , t) với (1.7) dt Ký hiệu V ( x, t ) là hàm trơn thỏa mãn (hàm hợp thức): 1 ( x ) V ( x, t )  2 ( x ) với 1,  2  K và t t 0 (1.8) Và là một miền hở nào đó chứa gốc tọa độ, cũng nhƣ: dV V V V   f ( x, t )  L f V ( x, t )  x, t ) W( (1.9) dt t x t a) Nếu W( x, t ) 0 với mọi x và với mọi t t 0 thì hệ sẽ ổn định tại t0 . b) Nếu W( x, t ) ( x ) với x  , t t0 và  K thì hệ sẽ ổn định tiệm cận tại t0 với miền ổn định và khi đó hàm V( x, t ) sẽ đƣợc gọi là Hàm Lyapunov. c) Nếu hệ ổn định hoặc ổn định tiệm cận thì sẽ luôn có lim W( x, t ) 0 t  Chứng minh: (Tài liệu [1] trang 81) a) Từ (1.9) ta suy ra hàm V( x, t ) không tăng theo t . Vậy cũng phải có với mọi 0: 0 0 0 0 Bây giờ ta chọn một số dƣơng  tùy ý. Vì 1(r ), 2(r ) thuộc lớp K nên luôn tồn tại một hằng cố dƣơng (  , t0 ) khác thỏa mãn 1 ( )  2( ) . Gọi x(t ) là một quỹ đạo trạng thái có điểm đầu x(t0 )  x 0 thỏa mãn x0 ( , t0 ) . Vậy thì: 1 ( )  2( ) V( x0 , t 0 ) V( x(t), t) Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 6
  11. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa Nói cách khác, quỹ đạo trạng thái x(t ) đi từ x 0 không thể ra ngoài lân cận  đƣợc nữa, vì nếu không, với x ta sẽ thu đƣợc điều nghịch lý: 1 ( )Vậy hệ ổn định tại 0 (đ.p.c.m) V ( x, t ) 1 ( x )   b) Với W( x, t ) ( x ) 0 thì hệ là ổn định. Ngoài ra, khi x 0 thì với ( x ) 0 0 hay L f V (x, t )  ( x ) 0 vẫn phải có góc  90 nên quỹ đạo trạng thái x(t ) vẫn cắt các đƣờng đồng mức của V( x, t ) từ ngoài vào trong. Do đó ta sẽ có thêm lim x (t ) 0 . t  c) Vì hệ ổn định nên có x . Do V( x, t ) không tăng theo t nên V( x, t ) cũng  bị chặn, hay W( x, t) dt  lim V( x, t) là một số hữu hạn. Vậy, theo định lý t  t0 Barbalat, cần để tích phân vô hạn hội tụ là hàm dƣới dấu tích phân phải tiến về 0, ta có điều phải chứng minh. Đƣơng nhiên định lý LaSalle hoàn toàn áp dụng đƣợc cho hệ không dừng với mô hình (1.7), còn gọi là hệ bất biến theo thời gian. Vậy nên tiêu chuẩn Lyapunov (định lý 1.7) chỉ là một trƣờng hợp riêng của định lý LaSalle và trong nhiều tài liệu, đƣợc gọi là trƣờng hợp bất biến của LaSalle Tiêu chuẩn Lyapunov và định lý LaSalle chỉ là điều kiện đủ. Điều này nói rằng nếu ta không tìm đƣợc một hàm Lyapunov cho hệ thì vẫn không ổn định (không tìm đƣợc không có ngĩa là nó không tồn tại). Chỉ tới khi ta chứng minh đƣợc rằng thực sự không tồn tại hàm Lyapunov thì mới có thể khẳng định đƣợc là hệ không ổn định. Mặc dù không khẳng định đƣợc hệ (1.7) có ổn định hay không khi ta không tìm ra đƣợc một hàm Lyapunov V ( x, t ) cụ thể, song hoàn toàn tƣơng tự ta có thể đƣa ra một điều kiện đủ để kiểm tra tính không ổn định của hệ (1.7) Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 7
  12. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa Hình 1.3 Điều kiện để kiểm tra tính ổn định Xét một hàm V ( x, t ) hợp thức có vector gradient luôn chỉ từ trong ra ngoài trong toàn bộ không gian trạng thái Hình 1.3 nếu đạo hàm dV V  L fV (x, t ) 0 (1.10) dt t Của V ( x, t ) tính dọc theo quỹ đạo trạng thái của hệ (1.7) là số dƣơng thì quỹ đạo trạng thái của hệ sẽ phải luôn cắt các đƣờng đồng mức của V ( x, t ) theo hƣớng từ trong ra ngoài, do đó nó sẽ phải tiến tới . Suy ra: Định lý: hệ (1.7) sẽ không ổn định Lyapunov tại 0 nếu tồn tại hàm hợp phức V ( x, t ) và đạo hàm (1.10) của nó xác định dƣơng. (Tài liệu [1] trang 82) Khác với tiêu chuẩn Lyapunov (định lý 1.47) mà ở đó hàm V ( x) chỉ cần thỏa mãn hai tích chất (1.5) và (1.6) thì ở định lý LaSalle, hàm V ( x, t ) phải là hàm hợp thức, túc là thỏa mãn (1.8). Ta có thể dễ dàng thấy điều kiện hợp thức (1.8) chứa đựng luôn cả hai điều kiện (1.5) và (1.6), nhƣng điều ngƣợc lại thì không. Điều này dẫn tới việc nếu chỉ sử dụng một hàm V ( x) thỏa mãn (1.5) và (1.6) cho hệ không dừng (1.7) thay cho hợp thức (1.9) khi áp dụng đính lý LaSalle sẽ rất có thể dẫn đến những kết quả sai lầm. dx d (t) x Ví dụ: Xét hệ tự trị, không dừng:  dt dt (t ) Dễ thấy ngay đƣợc hệ có quỹ đạo trạng thái: Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 8
  13. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa dx d  2 d x  0  x    x(t) c  (t) , c là hằng số dt dt dt   Do đó nếu hàm (t ) bị chặn nhƣng không tiến về 0, hệ sẽ ổn định (không ổn định tiệm cận). Chọn một hàm nhƣ vậy và thỏa mãn thêm: t ( ) d 2  , t 0 2  t Thì hàm : V1 ( x, t)  x 2  (  ) 2 dt là xác định dƣơng (nhƣng không hợp (t)  0 thức). Với hàm xác định dƣơng này ta có: dV1 2 x( dx / dt) 2 2 x 2  / dt)  (d  t  2 )2 dt   (  2  4  x x dt   0  Xác định âm, song hệ chỉ là ổn định chứ không ổn định tiệm cận. Tƣơng tự, nếu ta lại chọn hàm xác định dƣơng (không hợp thức) x2 t ( ) 2 dt Thì tuy rằng đạo hàm của nó: (t) 2  V2 ( x, t )  0 t dV2 2x (dx / dt )2 2x 2 (d / dt ) dt   4  0 ( ) 2dt x 2 x 2 Là xác định dƣơng nhƣng hệ lại ổn định. Ổn định tiệm cận đều và ổn định theo hàm mũ. (Tài liệu [1] trang 83) Với tiêu chuẩn Lyapunov cho hệ tự trị, dừng hay định lý LaSalle cho hệ không tự trị, không dừng (1.7) ta có thể kiểm tra đƣợc tính ổn định tiệm cận tại 0 của một hệ phi tuyến nói chung, tuy nhiên lại vẫn không biết đƣợc dạng tiến về 0 của quỹ đạo trạng thái tự do x(t ) của nó, do đó cũng không thể kết luận đƣợc về chất lƣợng ổn định của nó, chẳng hạn vẫn không thể biết đƣợc nó ổn định nhanh hay chậm, có ổn định đều hay không hoặc trƣớc khi tiến về 0 có khi nào Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 9
  14. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa nó rời xa điểm gốc tọa độ hay không … Để khắc phục nhƣợc điểm này ngƣời ta đã đƣa ra một vài tiêu chuẩn để đánh giá chất lƣợng ổn định của hệ nhƣ: - Hệ (1.7) ổn định càng nhanh nếu nó có giá trị W( x) với x 0 càng lớn, vì khi đó góc cắt giữa quỹ đạo trạng thái tự do x(t ) và đƣờng đồng mức cao (nếu x(t ) càng cắt vuông góc với đƣờng đồng mức, nó sẽ tiến về 0 càng nhanh). - Hệ là ổn định đều theo nghĩa nếu có t1 t2 thì cũng có x(t1)  x(t 2) khi giá trị W( x, t ) là đơn điệu theo t . Song những tiêu chuẩn đánh giá này, do dựa chủ yếu vào dạng hàm hợp thức V( x, t ) đƣợc chọn, nên chỉ mang tính định tính và không thể đƣợc gọi là đã đánh giá đúng chất lƣợng ổn định của hệ. Mong muốn có những tiêu chuẩn đánh giá chất lƣợng ổn định hệ phi tuyến một cách thống nhất và chính xác, ngƣời ta đã so sánh với tính ổn định của hệ tuyến tính, xác định xem quỹ đạo trạng thái tự do của hệ tuyến tính ổn định có những đặc điểm gì để từ đó đặt ra những khái niệm và chất lƣợng ổn định cho hệ phi tuyến nói chung. Xét hệ tuyến tính ổn định (tiệm cận) với mô hình không bị kích thích: dx Ax , A là ma trận bền ( có tất cả giá trị riêng nằm bên trái trục ảo) dt Khi đó nghiệm x(t ) e x0 với x 0 x(0) là trạng thái đầu, sẽ có các tính chất At sau: - Luôn có x(t )  x 0 với  K và t 0 , vì x (t )  e At x0 e At x 0  x 0 trong  đó   e At là số thực dƣơng hữu hạn (vì A bền). Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 10
  15. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa - Nếu tất cả các giá trị riêng của A là những số thực thì sẽ có x(t ) ( x0 , t ) với  KL và t 0 , vì khi t1 t2 thì e At  e At 1 2 Tƣơng ứng, trong hệ phi tuyến ngƣời ta cũng có các định nghĩa về chất lƣợng quỹ đạo trạng thái tự do của một hệ phi tuyến ổn định nhƣ sau: Định nghĩa 1.3: Xét hệ phi tuyến không dừng, cân bằng tại gốc và có mô hình không bị kích thích (1.7). Khi đó hệ sẽ đƣợc gọi là: (Tài liệu [1] trang 84) a) ổn định đều tại t0 (uniformly stabil) nếu tồn tại miền và hàm  K để có x(t ) ( x 0 ) với mọi t t0 và x(t0 )  x 0  b) ổn định toàn cục tại t0 nếu nó ổn định đều với miền ổn định là toàn bộ không gian trạng thái và  K . c) Ổn định tiệm cận đều tại t0 nếu tồn tại miền chứa gốc tọa độ (miền ổn định) và hàm  KL để có: x(t )  ( x0 , t t0 ) với mọi t t0 và x(t0 )  x0  d) Ổn định tiệm cận đều toàn cục tại t0 nếu nó ổn định tiệm cận đều với miền ổn định là toàn bộ không gian trạng thái và  KL e) Ổn định theo hàm mũ tại t0 nếu nó ổn định tiệm cận đều toàn cục và thỏa mãn ( x 0 , t t 0 ) x 0 e b(t t0 ) với ,b là hai số dƣơng và x(t0 )  x0  f) Ổn định toàn cục theo hàm mũ nếu nó ổn định theo hàm mũ, có là toàn bộ không gian trạng thái. Trong định nghĩa trên ta có đề cập tới khái niệm ổn định tại t0 . Đây là khái niệm ổn định Lyapunov đƣợc bổ sung thêm cho hệ không dừng (1.7) và thực chất đƣợc xác định ở thời điểm t0 theo nghĩa: Hệ không dừng (1.7) sẽ ổn định đều nếu với mọi 0 và với mọi t0 bất kỳ bao giờ cũng tồn tại (  ) chỉ phụ Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 11
  16. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa thuộc (chứ không phụ thuộc t0 ) sao cho quỹ đạo trạng thái tự do x(t ) của nó với điều kiện đầu x(t0 )  x0 , luôn thỏa mãn: x 0 (  )  x(t )  ,t t 0 Rõ ràng hệ đã ổn định đều thì cũng sẽ ổn định Lyapunov, song ngƣợc lại thì không phải lúc nào cũng đúng. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ: Xét hệ không dừng có mô hình không bị kích thích: (Tài liệu [1] trang 85) dx x  dt t 1 Hệ này có quỹ đạo trạng thái tự do: 1 t0 x (t )  x (t 0 ) 1 t Thỏa mãn x(t )  x(t0 ) khi t t 0 (bị chặn) và lim x(t ) 0 , nên nó là ổn định t 8 tiệm cận (toàn cục) theo nghĩa Lyapunov, song lại không ổn định đều, vì với mọi 0 ta không xác định đƣợc không phụ thuộc t0 . Định lý: Xét hệ phi tuyến không bị kích thích và cân bằng tại gốc mô tả bởi (1.7). Ký hiệu V ( x, t ) là hàm trơn thỏa mãn: (Tài liệu [1] trang 85) 1 ( x ) V ( x, t )   2 ( x ),  t  0 V  V  3 ( x ),  f (x , t )   t  0 t x Với mọi x thuộc lân cận  x   n x . Khi đó hệ sẽ: a) Ổn định đều nếu 1(r ), 2(r ) K và 3 (r ) 0 khi r [0,) b) Ổn định tiệm cận đều nếu 1(r ),  2( r ) và 3 ( r ) đều là nhữ ng hàm thuộ c lớp K khi r [0, ) Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 12
  17. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa c) Ổn định tiệm cận đều toàn cục nếu 1(r ),  2(r ) và 3(r ) là những hàm thuộc lớp K  và không phụ thuộc  a d) Ổn định theo hàm mũ nếu i (r ) k ir khi r [0, ) và a 0 với i 1,2,3 e) Ổn định tiệm cận toàn cục theo hàm mũ nếu không phụ thuộc và c) đúng với mọi 0 Chứng minh: Do hàm V ( x, t ) với các tính chất đã nêu trên thỏa mãn điều kiện (1.8) và (1.9) của định lý LaSalle với mọi t0 0 nên ta có ngay khẳng định a). Khẳng định b) đƣợc suy ra từ kết quả của định lý LaSalle vì 3 ( x ) là xác định dƣơng. Khẳng định c) là hiển nhiên. Với d) thì hệ ổn định đều và có x (t ) m x 0 eat với mọi x0 và m là một số dƣơng thích hợp Định lý Khalil: Xét hệ (1.7). ký hiệu V ( x, t ) là hàm trơn thỏa mãn: (Tài liệu [1] trang 86) k k a x V ( x, t ) b x với a,b,k >0 và t Nếu có : V L f V ( x, t)   c x với c 0, x và t k (1.11) t Thì hệ (1.7) sẽ ổn định (địa phƣơng) theo hàm mũ. Nếu (1.11) còn thỏa mãn với mọi hằng số dƣơng  thì tính ổn định đó sẽ là toàn cục. Chứng minh: dV V  V c  V (x , t ) hay dV  c V ( x, t ) k Từ (1.11) ta có   f (x , t )   cx   Nhƣng do b, c>0 nên điều kiện đầu V ( x(t0 ), t0 ) V ( x0 ), t0 ) V0 ta cũng sẽ có nghiệm V ( x), t ) của bất phƣơng trình vi phân trên thỏa mãn: k V ( x, t ) ec /b )(t t0 ) V0  V ( x, t ) e c /b )(t t 0) b x0 Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 13
  18. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa 1/ k k c /b )(t t0 ) k b   x(t )    x 0 e (c /bk )(t t 0)   a x e b x0 a  Định lý Lipschitz : Cần và đủ để hệ không dừng (1.7) với vector hàm f ( x, t ) thỏa mãn Lipschitz, ổn định (địa phƣơng) theo hàm mũ tồn tại hàm V ( x, t) sao cho:   2 2  a x V (x ,t ) b x a ,b 0 V 2  Lf V ( x, t)  c x c 0, x , t 0 (1.12)  t  V (x ,t )  d x ,d 0   x Chứng minh: Điều kiện đủ đƣợc suy ra một cách hoàn toàn tƣơng tự nhƣ ở phần chứng minh định lý Khalil. Chẳng hạn từ (1.12) ta có ngay: c c dV c  (t t 0 ) 2  (t t0 )   V V ( x, t) V( x0 , t 0 ) e b b x0 e b với x0 x(t0 ) dt b c c 2 2  ( t t0 ) b  ( t t 0) Suy ra: a x(t) V ( x, t) b x 0 e b  x(t)  x 0 e 2b a Chuyển sang điều kiện cần, ta phải chỉ rằng nếu quỹ đạo trạng thái tự do x(t ) của hệ (1.7) thỏa mãn: x (t ) q x0 e p (t t 0 ) với p 0, q 0 và x0 x(t0 ) Thì sẽ tồn tại hàm V ( x, t) có ba tính chất nêu trong (1.12). Và để làm đƣợc f điều này, ta sẽ sử dụng lại ký hiệu  ( x) chỉ nghiệm của phƣơng trình vi phân (1.7) tại thời điểm ứng với điều kiện ban đầu x x (t ) tùy ý nhƣng cho trƣớc. Cùng với ký hiệu đó, ta xây dựng hàm xác định dƣơng. Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 14
  19. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa t T 2 V ( x, t )   f ( x) d t Có T>0 là hằng số thời gian tùy chọn. Từ giả thiết rằng hệ là ổn định (địa phƣơng) theo hàm mũ ở đây ta phải có: x e L ( t )  f ( x) q x e p (  t  ) , x   Trong đó L là hằng số Lipschitz của vector hàm f ( x, t ) , định nghĩa bởi. Rõ ràng hàm V ( x, t) này thỏa mãn bất phƣơng trình thứ nhất trong (1.12) ứng với: 1 e 2/T 21 e 2 pT a  ,b q  2L 2p Tiếp tục, ta tính đạo hàm của hàm V ( x, t) theo t sẽ đƣợc: dV ( x, t) 2 2 2  tfT ( x)  f t ( x)  (1 2 2 pT  qe )x dt 2 2 pT Sẽ thấy điều kiện thứ hai trong (1.12) là đƣợc thỏa mãn với c 1 q e . T Cuối cùng, khi tính đạo hàm của V ( x, t) theo x ( x1, x 2,...xn ) ta sẽ có: V ( x, t) tT n f ( x) ( i ) xk 2  t i 1 f ( x)( i ) xk  d f Trong đó f ( x) (i ) , i 1, 2,..., n là ký hiệu chỉ phần tử thứ i của  ( x) . Ký hiệu tiếp Q (qki ),A (aki ) là hai ma trận kiểu n n có các phần tử qki , aki là: f ( x )(i ) f ( x, t) qki  , aki  k thì do: dQ  AQ  Q ek ( t ) trong đó A  k xk xi t T (k p )T Nên : V (x , t) 2 2 q( e 1) ( kp)( t) d với d  x q xe t k q Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 15
  20. Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa CHƢƠNG 2: CÁC PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN CẬN TỐI ƢU CHO HỆ KHÔNG DỪNG 2.1 Đặc điểm của bài toán tối ƣu a) Khái niệm Một hệ điều khiển đƣợc thiết kế ở chế độ làm việc tốt nhất là hệ luôn ở trạng thái tối ƣu theo một tiêu chuẩn chất lƣợng nào đó (đạt đƣợc giá trị cực trị). Trạng thái tối ƣu có đạt đƣợc hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lƣợng đặt ra, vào sự hiểu biết về đối tƣợng và các tác động lên đối tƣợng, vào điều kiện làm việc của hệ điều khiển… Hình 2.1: Sơ đồ hệ thống điều khiển Trong đó: -  :tín hiệu đầu vào - u : Tín hiệu điều khiển - y : tín hiệu đầu ra - e  z : tín hiệu sai lệch - n1, n 2 : tín hiệu nhiễu Chỉ tiêu chất lƣợng Q của một hệ thống có thể đƣợc đánh giá theo sai lệch của đại lƣợng đƣợc điều khiển y so với trị số mong muốn  , lƣợng quá điều khiển (trị số cực đại max so với trị số xác lập  (∞) tính theo phần trăm), thời gian quá độ… hay theo một chỉ tiêu hốn hợp trong điều kiện làm việc nhất định nhƣ hạn chế về công suất, tốc độ, gia tốc… Do đó việc chọn một luật điều khiển Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 16
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
207 tài liệu
1470 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0