Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bậc Tôpô của ánh xạ A-Proper và ứng dụng

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bậc Tôpô của ánh xạ A-Proper và ứng dụng gồm có 3 chương trình bày về ánh xạ A-Proper, bậc suy rộng của ánh xạ A-Proper, ứng dụng của bậc suy rộng. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bậc Tôpô của ánh xạ A-Proper và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Tô Thanh Tùng BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ A-PROPER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Tô Thanh Tùng BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ A-PROPER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin kính gửi đến Thầy, PGS.TS Lê Hoàn Hóa lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tình chỉ bảo tôi trong học tập, cũng như trong thời gian tìm hiểu và trình bày hoàn chỉnh luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô giảng dạy tại khoa Toán của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô công tác tại Phòng Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất chương trình học tập và thực hiện luận văn này. Cuối cùng, xin cảm ơn người thân và bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. TP. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014 Học viên Tô Thanh Tùng
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 Chương 1. ÁNH XẠ A-PROPER ............................................................................3 1.1. Định nghĩa sơ đồ chiếu. ....................................................................................3 1.2. Ánh xạ A-proper ...............................................................................................5 Chương 2. BẬC SUY RỘNG CỦA ÁNH XẠ A-PROPER .................................11 2.1. Định nghĩa bậc suy rộng của ánh xạ A-proper ...............................................11 2.2. Tính chất của bậc ............................................................................................12 Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA BẬC SUY RỘNG .................................................16 3.1. Phương trình với ánh xạ Fredholm chỉ số 0 ...................................................16 3.2. Phương trình với dạng ánh xạ Fredholm chỉ số 0 ..........................................24 3.3. Ứng dụng ........................................................................................................39 KẾT LUẬN ..............................................................................................................48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................49
1 MỞ ĐẦU Mục đích của luận văn là trình bày về bậc suy rộng của ánh xạ A-proper và ứng dụng của bậc suy rộng vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình. Nội dung luận văn dựa trên nội dung của tài liệu: “Donal O’Regan, Yeol Je Cho, Yu-Qing Chen, Volume 10: Topological Degree Theory And Applications, Taylor – Francis Group, LLC, 2006, Chapter 4, 75-103”. Và tham khảo thêm ở 2 tài liệu sau: 1/ WoloDymyr V.Petryshyn, Generalized Topological Degree And Semilinear Equations, Cambridge University 1995. 2/ Lê Hoàn Hóa, Định lý điểm bất động và ứng dụng để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp cơ sở - Mã số: CS.2008.19.02, năm 2012. Luận văn bao gồm 3 chương sau: Chương 1. Ánh xạ A-proper Trình bày về định nghĩa sơ đồ chiếu và ánh xạ A-proper (Định nghĩa 1.1.1 và định nghĩa 1.2.1). Chương 2. Bậc suy rộng của ánh xạ A-proper Trình bày định nghĩa bậc suy rộng (Định nghĩa 2.1.1). Trình bày các tính chất quan trọng của bậc (Định lý 2.2.1). Chương 3. Ứng dụng của bậc suy rộng Ở mục 3.1: Bậc được định nghĩa ở chương 2 được ứng dụng vào việc chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình Sx  Nx  p trong  D  S  (định lý 3.1.1, định lý 3.1.2, mệnh đề 3.1.2). Trong đó: S : D  S   X  Y là ánh xạ Fredholm chỉ số 0,   N :  D  S   Y sao cho N  D  S  bị chặn. Ở mục 3.2: Trình bày định nghĩa dạng ánh xạ Fredholm chỉ số 0 (Định nghĩa 3.2.1). Các định lý quan trọng:
2 + Định lý 3.2.1: chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình Lx  Nx  0 trong  D  L  , trong đó L : D  L   X  Y là dạng ánh xạ Fredholm chỉ số 0, 0   X n , Pn  là sơ đồ chiếu của X;  là tập con mở, bị chặn trong X và N :   Y là ánh xạ L-A-proper đối với  0 . + Định lý 3.2.4: chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình Lx  Nx  0 trong  D  L  , trong đó L : D  L   X  Y là dạng ánh xạ Fredholm chỉ số 0, 0   X n , Pn  là sơ đồ chiếu của X;  là tập con mở, bị chặn trong X và N :   Y  là ánh xạ sao cho I   L   JP  1  N   JP   là ánh xạ A-proper đối với  0 với mỗi   0. Ở mục 3.3: Sử dụng kết quả của định lý 3.1.1 để chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của bài toán (E.3.3.1). Xét bài toán (E.3.3.4), theo định lý 3.2.5 thì phương trình Sx  Nx  p có nghiệm hay bài toán (E.3.3.4) có nghiệm yếu.
3 Chương 1 ÁNH XẠ A-PROPER 1.1. Định nghĩa sơ đồ chiếu Định nghĩa Cho X và Y là các không gian Banach tách được. i) Nếu có một dãy các không gian hữu hạn chiều X n  X và một dãy Pn n các phép chiếu tuyến tính Pn : X  X n thỏa mãn: lim Pn x  x với mọi x  X . n Khi đó ta nói X có sơ đồ chiếu  X n , Pn  . ii) Nếu X có sơ đồ chiếu  X n , Pn  , Y có sơ đồ chiếu Yn , Qn  và dim X n  dim Yn với mọi số n nguyên dương. Khi đó ta gọi    X n , Pn ;Yn , Qn  là một sơ đồ toán tử chiếu. Ví dụ 1.1.1 Cho X  C 0,1 và n  , ta chia đoạn  0,1 thành n đoạn bằng nhau. 1 2 Đặt: t0  0  t1   t2   ...  tn  1 . n n Cho X n là không gian con với mọi x  X là hàm tuyến tính với mỗi khoảng con ti , ti 1  và Pn : X  X n là phép chiếu thỏa mãn Pn x  ti   x ti  , i  1,2,..., n . Khi đó  X n , Pn  là một sơ đồ chiếu của X . Ví dụ 1.1.2 Cho X là không gian Banach với một cơ sở Schauder ei : i  . Khi đó X có một sơ đồ chiếu  X n , Pn  được định nghĩa như sau: n  X n  spane1 , e2 ,..., en  , Pn x   i  x  ei với x   i  x  ei . i 1 i 1 Trong trường hợp X là không gian Hilbert tách được, ta có thể chọn cơ sở n trực chuẩn ei : i   . Khi đó phép chiếu Pn x    x, ei  ei thỏa mãn: Pn  Pn và i 1
4 Pn  1 . Ví dụ 1.1.3 Cho X là không gian phản xạ với sơ đồ chiếu thỏa mãn Pn Pm  Pminm,n . Khi đó Pn X  , Pn là một sơ đồ chiếu của X  . Chứng minh Trên X ta có: Pn Pn f  x   Pn  Pn f   x   Pn  f Pn   x   Pn  f   Pn x    f Pn  Pn x   f  Pn Pn x   f  Pn2 x   f  Pn x    f Pn  x  Pn f  x  . Vậy Pn là một phép chiếu. Ta có: dim Pn X  dim N  I   Pn   dim N  I  Pn   dim X n .  Ta chứng minh: X   Pi  X  . i 1 Nếu điều này không đúng thì có x0  X \ 0 sao cho f  x   0 với mọi  f Pi  X  . i 1 Khi đó X   J  X  trong đó J  x  f   f  x  với mọi f  X  và x  X . Do đó f  Pn x   0 với mọi n và f  X  . Vì vậy f  x   0 với mọi f  X  , dẫn đến x  0 . Điều này mâu thuẫn.  Vậy X   Pi  X  . i 1 Ta cũng có Pn X   Pm X  với n  m . Do đó với mỗi f  X  và   0 , ta chọn g  Pn X  sao cho f  g   và ta có: Pm f  f  Pm  f  g   g  f   sup Pn  1  .  n1  Dẫn đến lim Pm f  f . m
5 Ví dụ 1.1.4 Nếu cả X và Y có cơ sở Schauder thì tồn tại một sơ đồ toán tử chiếu. Chứng minh Cho en n là một cơ sở Schauder của X và en/  là một cơ sở Schauder của Y . n Đặt: X n  spane1 , e2 ,..., en  và Yn  span e1/ , e2/ ,..., en/  .   n n Với x   i ei và y   i ei . Đặt: Pn x   i ei và Qn y   i ei / . / i 1 i 1 i 1 i 1 Khi đó    X n , Pn ;Yn , Qn  là một sơ đồ toán tử chiếu. 1.2. Ánh xạ A-proper Định nghĩa 1.2.1 Cho X , Y là các không gian Banach thực và    X n , Pn ;Yn , Qn  là một sơ đồ toán tử chiếu. Khi đó ánh xạ T : D  X  Y được gọi là ánh xạ A-proper đối với  nếu thỏa mãn điều kiện: Với mọi dãy bị chặn xm  D   X m và lim QmTxm  y , tồn tại dãy con xmk m k thỏa mãn lim xmk  x  D và Tx  y . k  Ta kí hiệu: A  D, Y  là lớp các ánh xạ A-proper T : D  Y . Định nghĩa 1.2.2 Cho X , Y là các không gian Banach thực và    X n , Pn ;Yn , Qn  là một sơ đồ toán tử chiếu. Khi đó ánh xạ T : D  X  Y được gọi là ánh xạ giả A-proper đối với  nếu thỏa mãn điều kiện: Với mọi dãy bị chặn xm  D X m và lim QmTxm  y , tồn tại x  D T  thỏa m mãn Tx  y . Định nghĩa 1.2.3 Cho X là không gian Banach tách được với sơ đồ chiếu    X n , Pn  . Khi đó T : D T   X  X được gọi là ánh xạ P1 compắc nếu   I  T  là ánh xạ A-proper đối với  với mọi   1 .
6 Cho X , Y là các không gian Banach tách được, S : X  Y là ánh xạ Fredholm chỉ số 0 với N  S   0 và N : D  X  Y là một ánh xạ phi tuyến. Xét bài toán nửa tuyến tính: Sx  Nx  y với x  D  S  D và y  Y . Khi S là ánh xạ Fredholm chỉ số 0 thì tồn tại không gian con đóng X / của X và Y / của Y với dim Y /  dim N  S  thỏa mãn: X  N  S   X / và Y  Y /  R  S  . Cho P : X  N  S  và Q : Y  Y / là hai phép chiếu và M : N  S   Y / là một đẳng cấu. Đặt: T  MP : X  Y / , khi đó T là một toán tử tuyến tính compắc. Dẫn đến S  T cũng là ánh xạ Fredholm chỉ số ind  S  T   ind  S   0 và S  T là một song ánh và  S  T  : Y  X bị chặn. 1 Đặt: S1  S X / D S  . Khi đó S1 là phép nội xạ đóng và S11 liên tục trên R  S  . Giả sử Y có một dãy các không gian con tuyến tính Yn với dãy phép chiếu Qn : Y  Yn sao cho lim Qn y  y với y  Y . n Nếu S : X  Y là ánh xạ Fredholm chỉ số 0. Đặt: X n   S  T  Yn thì 1  S   X n , Yn , Qn  là một sơ đồ chiếu chấp nhận được cho  X , Y  . Bổ đề 1.2.1 Nếu S : X  Y là ánh xạ Fredholm chỉ số 0 thì S là ánh xạ A-proper đối với S . Chứng minh Ta có: Qn S : X n  Yn là ánh xạ liên tục.   Cho xn j j  X n j là dãy bị chặn và lim Qn j Sxn j  y  Y . j  Khi Qn  S  T  x   S  T  x với mọi x  X n thì Qn j  S  T  xn j   S  T  xn j .
7 Do T là ánh xạ compắc và xn j   j là dãy bị chặn nên có thể giả sử rằng lim Txn j  z j  và lim Qn j Txn j  z với z  Y . j   Ta có: lim  S  T  xn j   lim Qn j Sxn j  Qn j Txn j  y  z  Y . j    j   Suy ra: lim xn j  lim  S  T  j  j   1  S  T  xn j  j   j    lim  S  T 1 Qn Sxn  Qn Txn  j j j    S  T   y  z . 1 Đặt:  S  T   y  z  x  X thì  S  T  x  y  z hay Sx  Tx  y  z . 1 Kết hợp với Tx  z dẫn đến Sx  y . Vậy S là ánh xạ A-proper đối với  S . Bổ đề được chứng minh. Định nghĩa 1.2.4 Cho X , Y là các không gian Banach thực,    X n , Pn ;Yn , Qn  là một sơ đồ toán tử chiếu và D  X . Một họ các ánh xạ H : 0,1  D  Y được gọi là đồng luân A-proper đối với  nếu H thỏa mãn hai điều kiện sau: i) Với mọi dãy bị chặn xm m trong D Xm ; t m  t0 và lim Qn H  tm , xm   y , tồn tại dãy con xmk m   k của  xm m thỏa mãn: lim xmk  x  D k  và H  t0 , x   y . ii) Qn H : 0,1  D X n  Yn là ánh xạ liên tục với mọi n  1,2,... . Nếu S : D  S   X  Y là ánh xạ Fredholm, ta ký hiệu:  l  S   sup r   : r   B     S  B   , B  D  S  bò chaën  0 .  Bổ đề 1.2.2 Cho S : X  Y là ánh xạ Fredholm chỉ số 0,   X là một tập mở, bị chặn,  S được định nghĩa như phần trên; N :  D  S   Y là ánh xạ liên tục, bị chặn
8 và T  S   N với    0,1 . Giả sử rằng một trong các điều kiện sau đây thỏa mãn: i) N hoặc S11 : R  S   X là ánh xạ compắc. ii) N là ánh xạ k -cô đặc với k  0, l  S   và Qn  1. iii) N  S  T  :  S  T   1   D  S   Y là ánh xạ cô đặc và Qn  1. Khi đó T là ánh xạ A-proper đối với  S với mỗi    0,1 . Chứng minh Giả sử điều kiện i) xảy ra. + Trường hợp: N là ánh xạ compắc và    0,1 cố định.    Cho xn j j X n j là một dãy bị chặn sao cho lim Qn j  S   N  xn j  y . j  Do N là ánh xạ compắc nên ta có thể giả sử lim Nxn j  z0 . j  Khi đó lim Qn j Sxn j   z0  y . j  Do S là ánh xạ Fredholm chỉ số 0 nên theo bổ đề 1.2.1, ta có S là ánh xạ A-proper. Vì thế tồn tại x0 sao cho lim xn j  x0 và Sx0   z0  y . j  Mặt khác lim Nxn j  Nx0 (do N liên tục) suy ra Nx0  z0 . j  Do đó Sx0   z0  y  Sx0   Nx0  y   S   N  x0  y . Vậy T  S   N là ánh xạ A-proper đối với  S với    0,1 . + Trường hợp: S1 là ánh xạ compắc và    0,1 cố định.    Cho xn j j X n j là một dãy bị chặn sao cho: j  j  j    lim g n j  lim Qn j  S   N  xn j  lim Qn j Sxn j  Qn j Nxn j  g  Y . Ta có lim g n j  lim  S  T  xn j  Qn j Nxn j  Qn j Txn j   g . j  j    Đặt: g n j  Sxn j  Qn j Nxn j .
9 Do T là ánh xạ compắc nên: lim g n j  g . Suy ra: j   I  Q g n j   I  Q  Sxn j    I  Q  Qn j Nxn j  Sxn j    I  Q  Qn j Nxn j và lim  I  Q  g n j   I  Q  g  R  S  . j  Đặt: hn j  S11  I  Q  g n j . Khi đó lim hn j  lim  I  P  xn j   S11  I  Q  Qn j Nxn j   S11  I  Q  g j  j    Đặt: h  S11  I  Q  g . Do P và S11  I  Q  là các ánh xạ compắc, hơn nữa xn j   j  và Qn j Nxn j  j là các dãy bị chặn nên ta có thể giả sử: lim Pxn j  x1 và lim  S11  I  Q  Qn j Nxn j   x2 trong X. j  j    Khi đó lim xn j  lim  hn j  Pxn j   S11  I  Q  Qn j Nxn j   h  x1   x2 . j  j    Đặt: x0  h  x1   x2 . Ta cần chứng minh:  S   N  x0  g .  Thật vậy, do tính liên tục của N nên lim Sxn j  lim g n j  Qn j Nxn j  g   Nx0 j  j   trong Y . Do tính đóng của S nên Sx0  g   Nx0 hay  S   N  x0  g . Vậy T  S   N là ánh xạ A–proper đối với  S với    0,1 . Giả sử điều kiện ii) xảy ra. Cho    0,1 cố định và xn j   j  X n là dãy bị chặn sao cho:   lim g n j  lim Qn j Sxn j  Qn j Nxn j  g  Y . j  j   Lập luận như phần trên ta có lim g n j  lim Sxn j  Qn j Nxn j  g . j  j   Do tính compắc của dãy g n j   và bất đẳng thức: j
10     Nx   k  x  .  Qn Nxn j j nj nj Suy ra  Sx    k   x   k   x  . nj nj nj Kết hợp với giả thiết k  l  S  ta có   x   0 hay  x  là tập compắc tương nj nj j đối. Vì thế ta có thể coi lim xn j  x0 trong X và j   lim Sxn j  lim g n j  Qn j Nxn j  g   Nx0 trong Y . j  j   Như vậy Sx0   Nx0  g hay  S   N  x0  g . Vậy T  S   N là ánh xạ A–proper đối với  S với    0,1 . Giả sử điều kiện iii) xảy ra. Cho    0,1 cố định và xn j   j  X n là dãy bị chặn sao cho:  lim g n j  lim Qn j Sxn j  Qn j Nxn j  g  Y . j  j   Khi đó lim  S  T  xn j  Qn j Nxn j  Qn j Txn j   g . j    Đặt: yn j   S  T  xn j , ta có : lim  yn j  Qn j N  S  T  j   1  y   Q T  S  T   y   g . nj nj 1 nj Do tính compắc của T  S  T  và giả thiết iii) nên yn j 1   j   có dãy con yn/j j hội tụ. Giả sử lim yn/j  y0 . Đặt: xn/j   S  T  yn/j . Khi đó: 1 j  lim xn/j  x0 và Sx0   Nx0  g hay  S   N  x0  g . j  Vậy T  S   N là ánh xạ A–proper đối với  S với    0,1 . Bổ đề được chứng minh.
11 Chương 2 BẬC SUY RỘNG CỦA ÁNH XẠ A-PROPER 2.1. Định nghĩa bậc suy rộng của ánh xạ A-proper Cho X , Y là các không gian Banach thực tách được và    X n , Pn ;Yn , Qn  là một sơ đồ toán tử chiếu. Cho   X là tập mở, bị chặn và L là một không gian  con trù mật của X với Xn  L . n 1 Bổ đề 2.1.1 Cho T  A    L, Y . Giả sử rằng p  T   L  . Khi đó tồn tại số nguyên n0  0 sao cho Qn p  QnT   X n  với mọi n  n0 . Chứng minh Giả sử khẳng định của bổ đề 2.1.1 không đúng. Khi đó tồn tại dãy số nguyên dương nk k sao cho lim nk   và dãy con k  x  nk k   X nk sao cho lim Qnk Txnk  lim Qnk p  p . k  k  Do T là ánh xạ A-proper nên tồn tại dãy con x  nkl l và x0   L sao cho lim xnk  x0 và Tx0  p . Do x0   L nên x0   và x0  L . l  l Mặt khác xnk  X nk   , dẫn đến x0  . Suy ra x0  L hay Tx0  p  T   L . Điều này mâu thuẫn với giả thiết p  T   L . Bổ đề được chứng minh. Định nghĩa 2.1.1 Cho T  A   L, Y . Giả sử rằng p  T   L  và QnT liên tục. Ta định nghĩa bậc suy rộng Deg T ,  L, p  định bởi:
12 Deg T ,  L, p   k    : limdeg j  Qn T ,  j   X n j , Qn j p  k . Trong đó là tập hợp các số nguyên. Do bổ đề 2.1.1 nên tồn tại số nguyên n0  0 sao cho p  QnT   X n  và QnT liên tục. Vì thế bậc Brouwer deg  QnT ,  X n , Qn p  được định nghĩa tốt khi n  n0 . Do đó Deg T ,  L, p  là khác trống và được định nghĩa đúng. 2.2. Tính chất của bậc Định lý 2.2.1 Cho T  A    L, Y và p  T   L  . Khi đó bậc Deg T ,  L, p  có các tính chất sau: i) Nếu Deg T ,  L, p   0 thì phương trình Tx  p có nghiệm trong  L. ii) Nếu 1  ; 2  ; 1 2   và p  T  \ 1  2  L . Khi đó: Deg T ,  L, p   Deg T , 1 L, p   Deg T , 2 L, p  . Ta quy ước        . iii) Nếu H : 0,1   L  Y là đồng luân A-proper và p  H  t , x  với mọi  t , x   0,1   L . Khi đó Deg  H  t ,  ,  L, p  không phụ thuộc t  0,1 . iv) Nếu 0 ,  là tập đối xứng đối với 0 , T :  L  Y là ánh xạ A- proper lẻ và 0 T   L  . Khi đó Deg T ,  L,0  không chia hết cho số chẵn. Chứng minh Chứng minh i): Giả sử Deg T ,  L, p   0 , khi đó tồn tại dãy số nguyên dương nk k sao cho lim nk   thỏa mãn deg Qnk T ,  k    X nk , Qnk p  0 . Do lý thuyết bậc Brouwer nên tồn tại xnk  L sao cho: lim Qnk Txnk  lim Qnk p  p . k  k 
13 Do T là ánh xạ A-proper nên có dãy con xnk   l l của dãy xnk   k sao cho: lim xnk  x0  L và Tx0  p . l  l Điều này chứng tỏ phương trình Tx  p có nghiệm trong  L. Chứng minh ii): Khi p  T  \ 1  2  L  , tồn tại số n 0  0 sao cho:  Qn p  QnT  \ 1 2   X n với mọi n  n0 . Do đó deg  QnT , , p   deg  QnT , 1 , p   deg  QnT , 2 , p  với mọi n  n0 .  Giả sử k  lim deg Qn j T ,  j   X n j , Qn j p . Khi đó:  k  lim  deg Qn j T , 1 j    X n j , Qn j p  deg Qn j T , 2   X n j , Qn j p  .  + Trường hợp:  lim deg Qn j T , 1 j   X n j , Qn j p và lim deg Qn j T , 2 j    X n j , Qn j p đều bằng  hoặc  . Khi đó k   hoặc k   . Vậy Deg T ,  L, p   Deg T , 1 L, p   Deg T , 2 L, p  . + Trường hợp:  lim deg Qn j T , 1 j   X n j , Qn j p   và lim deg Qn j T , 2 j    X n j , Qn j p   .  (hoặc lim deg Qn j T , 1 j   X n j , Qn j p   và lim deg Qn j T , 2 j    X n j , Qn j p   ). Khi đó quy ước k   . Vậy Deg T ,  L, p   Deg T , 1 L, p   Deg T , 2 L, p  . + Trường hợp:  limsup deg Qn j T , 1 j   X n j , Qn j p   và  limsup deg Qn j T , 2 j   X n j , Qn j p   . Vậy Deg T ,  L, p   Deg T , 1 L, p   Deg T , 2 L, p  .
14 Chứng minh iii): Ta có H  t ,  là ánh xạ A-proper với mỗi t  0,1 và khi p  H  t ,  L  với t  0,1 , theo bổ đề 2.1.1 tồn tại số nguyên n0  0 sao cho: Qn p  Qn H  t ,  X n  với mọi n  n0 . t0,1 Khi đó deg  Qn H  t ,  ,  X n , Qn p  không phụ thuộc t  0,1 . Giả sử khẳng định trên là sai. Khi đó tồn tại dãy số nguyên dương nk k : lim k  nk   , tk k  0,1 : lim tk  t0 k    và xnk k   X nk sao cho:   lim Qnk H tk , xnk  lim Qnk p  p . k  k  Vì thế x nk k có dãy con là x  nk j j hội tụ về x0  L và H  t0 , x0   p . Điều này mâu thuẫn với giả thiết p  H  t ,  L  với mọi t  0,1 . Vậy Deg  H  t ,  ,  L, p  không phụ thuộc t  0,1 . Chứng minh iv): Khi  Xn là tập đối xứng đối với 0, do định lý Borsuk’s nên deg  QnT ,  X n ,0  là số lẻ khi n đủ lớn. Vậy Deg T ,  L,0  không chia hết cho số chẵn. Định lý được chứng minh. Hệ quả 2.2.1 Cho X , Y là các không gian Banach tách được, S : D  S   X  Y là ánh xạ Fredholm chỉ số 0 và Yn , Qn  là một sơ đồ chiếu của Y . Nếu  là một tập con mở, bị chặn của X với  D  L    và N :  D  S   Y là ánh xạ phi tuyến sao cho  S  N  là ánh xạ A-proper đối với  S . Ta có các khẳng định sau: i) Nếu p   S  N    D  S   và Deg  S  N ,  L, p   0 . Khi đó phương trình Sx  Nx  p có nghiệm trong  DS  .
15 ii) Nếu  là một tập đối xứng đối với 0, N là lẻ và 0   S  N   L . Khi đó Deg  S  N ,  D  S  ,0  không chia hết cho số chẵn. Mệnh đề 2.2.1 Cho X , Y là các không gian Banach tách được, S : D  S   X  Y là ánh xạ Fredholm chỉ số 0 và Yn , Qn  là một sơ đồ chiếu của Y . Nếu  là một tập con mở, bị chặn của X với  D  L    và A : X  Y là ánh xạ tuyến tính liên tục, compắc. Khi đó  S  A là ánh xạ A-proper đối với  S . Nếu N  S  A  0 thì: 0 ,  0 Deg  S  A,  D  S  ,0    1 hoaëc 1 , 0    Chứng minh Ta có  S  A là ánh xạ A-proper đối với  S . Khi N  S  A  0 , S  A là phép nội xạ, dẫn đến Sx  Ax  0 với mọi x  DS . + Trường hợp: 0   . Giả sử Deg  S  A,  D  S  ,0   0 , khi đó tồn taị x  D  S  sao cho: Sx  Ax  0 và x  0 . Điều này mâu thuẫn với giả thiết N  S  A  0 . Vậy Deg  S  A,  D  S  ,0   0 . + Trường hợp: 0 . Ta có 0  X n với mọi n , Qn  S  A : X n  Yn là một phép nội xạ khi n đủ lớn. Khi đó: deg  Qn  S  A ,  X n ,0   1 hoặc deg  Qn  S  A ,  X n ,0   1 . Suy ra Deg  S  A,  D  S  ,0   1 . Mệnh đề được chứng minh.
16 Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA BẬC SUY RỘNG 3.1. Phương trình với ánh xạ Fredholm chỉ số 0 Mệnh đề 3.1.1 Cho X , Y là các không gian Banach tách được, S : D  S   X  Y là ánh xạ Fredholm chỉ số 0 và Yn , Qn  là một sơ đồ chiếu của Y . Giả sử   X là tập đối xứng đối với 0. Cho N :  D  S   Y là ánh xạ thỏa mãn: i) Ánh xạ H : 0,1   D  S   Y định bởi:  1 t  H  t , x   Sx   N  x  N   x  1  t 1 t  là ánh xạ A-proper đối với  S với mọi t  0,1 . ii) N  x   N   x   d với mọi x  D  S  và d  0 . iii) S  x   N  x     S   x   N   x  với mọi x  D  S  và   0,1 . Khi đó phương trình Sx  Nx  0 có nghiệm trong D  S  . Chứng minh Do giả thiết i) nên H  t ,  là ánh xạ A-proper với mỗi t  0,1 . Hơn nữa: ts H  t , x   H  s, x    N  x   N   x  với x  D  S  và 1  s 1  t   s, t  0,1 . Kết hợp với giả thiết ii) cho thấy H liên tục. Vậy: H  t , t0,1 là một đồng luân A- proper. Do giả thiết iii) nên H  t , x   0 với mọi  t , x   0,1   DS  . Theo định lý 2.2.1 thì Deg  H  t ,  ,  D  S  ,0  không phụ thuộc t  0,1 . Do H 1, x   Sx   N  x   N   x  là ánh xạ lẻ nên Deg  H 1,  ,  D  S  ,0  1 2 không chia hết cho số chẵn.