Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình elliptic suy biến phi tuyến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu điều kiện tồn tại và không tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên có chứa phương trình elliptic suy biến mạnh nửa tuyến tính trong miền bị chặn có biên trơn và sự tồn tại nghiệm, nghiệm toàn cục, tập hút toàn cục của bài toán biên giá trị ban đầu đối với phương trình parabolic có toán tử elliptic suy biến phi tuyến. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình elliptic suy biến phi tuyến

Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán học, Học viện Khoa học và Công nghệ, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Minh Trí. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện đề tài đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo Học viện, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán học và các thầy giáo, cô giáo của Viện Toán học đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận. Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2020 Tác giả Hà Đức Thái 1
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn này do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Minh Trí. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong luận văn là trung thực và đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2020 Tác giả Hà Đức Thái 2
Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức ∅ Tập rỗng C0∞(Ω) Không gian các hàm khả vi vô hạn giá compact Kết thúc chứng minh 3
Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Bảng kí hiệu 3 Lời mở đầu 6 1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Không gian Lp và các bất đẳng thức . . . . . . . . 8 p 1.2 Không gian S1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Phương trình ellptic suy biến chứa toán tử Grushin . 12 2 Tính nhiều nghiệm của bài toán biên elliptic suy biến 20 2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Chứng minh định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4
Tài liệu tham khảo 50 5
Lời mở đầu Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng được nghiên cứu đầu tiên trong các công trình của J. D’Alembert (1717 - 1783), L. Euler (1707 - 1783), D. Bernoulli (1700 - 1782), J. Lagrange (1736 - 1813), P. Laplace (1749 - 1827), S. Poisson (1781 - 1840) và J. Fourier (1768 - 1830), như là một công cụ chính để mô tả cơ học cũng như mô hình giải tích của Vật lí. Vào giữa thế kỷ XIX với sự xuất hiện các công trình của Riemann, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng đã chứng tỏ là một công cụ thiết yếu của nhiều ngành toán học. Cuối thế kỷ XIX, H. Poincaré đã chỉ ra mối quan hệ biện chứng giữa lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng và các ngành toán học khác. Sang thế kỷ XX, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng phát triển vô cùng mạnh mẽ nhờ có công cụ giải tích hàm, đặc biệt là từ khi xuất hiện lí thuyết hàm suy rộng do S. L. Sobolev và L. Schwartz xây dựng. Nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình elliptic tổng quát đã đóng vai trò rất quan trọng trong lí thuyết phương trình vi phân. Hiện nay các kết quả theo hướng này đã tương đối hoàn chỉnh. Cùng với sự phát triển không ngừng của toán học cũng như khoa học kỹ thuật nhiều bài toán liên quan tới độ trơn của nghiệm các phương trình và hệ phương trình không elliptic đã xuất hiện. Có một số lớp phương trình, trong đó có lớp phương trình elliptic suy biến, ở một khía cạnh nào đó cũng có một số tính chất giống với phương trình elliptic. Tuy nhiên các kết quả đạt được cho các phương trình phi tuyến elliptic vẫn còn ít, chưa đầy đủ. Với các lí do nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là “Bài toán về tính nhiều nghiệm của bài toán biên cho phương trình elliptic suy biến phi tuyến”. Kết quả của luận văn được trình bày dựa trên bài báo của Dương Trọng Luyện và 6
Nguyên Minh Trí [D. T. Luyen and N. M. Tri, Infinitely many solu- tions for a class of perturbed degenerate elliptic equations involv- ing the Grushin operator, Complex Variables and Elliptic Equations 2020, doi: 10.1080/17476933.2020.1730824]. Nội dung của luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm, định lý được sử dụng trong luận văn và trình bày về phương trình elliptic suy biến dạng Grushin. Chương 2. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày chi tiết phần chứng minh các bổ đề và định lý kết quả chính trong bài báo “In- finitely many solutions for a class of perturbed degenerate elliptic equations involving the Grushin operator". Tôi hy vọng luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm đến lĩnh vực này. Tuy nhiên, với phạm vi thời gian và kiến thức của tôi có hạn, luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp. 7
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Lp , không gian Sobolev có trọng và định lý nhúng trong. Chương này gồm ba phần: - Phần thứ nhất: Trình bày không gian Lp vá một số bất đắng thức liên quan đến không gian Lp . - Phần thứ hai: Trình bày không gian Sobolev có trọng và định lý nhúng. - Phần thứ ba: Trình bày phương trình elliptic suy biến chứa toán tử Grushin. 1.1 Không gian Lp và các bất đẳng thức Định nghĩa 1.1.1. [1] Cho Ω là một miền đo được theo nghĩa Lebesgue trong Rn . Họ các hàm số f : Ω → R có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < +∞) của mođun khả tích trên Ω, nghĩa là |f |pdµ < R Ω p p +∞ được gọi là không gian L (Ω, µ) hay L (Ω). Ví dụ 1.1.1. [1] Cho Ω ⊂ R3 là một miền bị chặn với biên trơn, 8
µ là độ đo thể tích, nghĩa là µ(A) = V ol(A), ∀A ⊂ R3. Khi đó với 1 ≤ p < +∞ thì không gian các hàm đo được Lp (Ω) = {f : Ω → R} thỏa mãn |f |pdxdydz < +∞. R Ω Định nghĩa 1.1.2. [1] Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞ là không gian định chuẩn với chuẩn được xác định như sau Z p1 ||f ||Lp(Ω) := |f |pdµ . Ω Định lý 1.1.1. (Bất đẳng thức H¨older) Cho Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên trơn, p, q ∈ R thỏa mãn 1 < p, q < +∞, p1 + 1q = 1 và f ∈ Lp(Ω), g ∈ Lq (Ω). Khi đó chúng ta có (i) f g ∈ L1 (Ω). (ii) ||f g||L1 (Ω) ≤ ||f ||Lp (Ω) ||g||Lq (Ω) . Dấu “ =" xảy ra khi và chỉ khi ∃α, β ∈ R, α, β ≥ 0, α + β > 0 thỏa mãn α|f |p = β|g|q h. k. n trên Ω. Định lý 1.1.2. (Bất đẳng thức H¨older tổng quát) Cho Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên trơn và các số thực p1 , p2 , ..., pn ∈ (1, +∞), r ∈ [1, +∞) thỏa mãn n X 1 1 = , fi ∈ Lpi (Ω), ∀i = 1, 2, ..., n. i=1 pi r Khi đó ta có 9
(i) f1 f2 ...fn ∈ Lr (Ω). (ii) ||f1 f2 ...fn ||Lr (Ω) ≤ ||f1 ||Lp1 (Ω) ...||fn ||Lpn (Ω) . Định lý 1.1.3. (Bất đẳng thức Young) Cho Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên trơn và các số thực p1 , p2 , ..., pn ∈ (1, +∞) thỏa n 1 = 1 và fi ∈ Lpi (Ω), với i = 1, 2, ..., n. Khi đó ta có P mãn pi i=1 n Y n X ||fi||pLipi (Ω) ||fi||Lpi (Ω) ≤ . i=1 i=1 pi Định lý 1.1.4. (Bất đẳng thức Poincaré) Cho Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên trơn và số thực p ≥ 1 thì ∃c > 0 sao cho X n ||u||Lp (Ω) ≤ c ||Dj u||Lp (Ω), ∀u ∈ C0∞(Ω). j=1 Định lý 1.1.5. (Định lý nhúng trong không gian Lp ) Cho Ω ⊂ Rn là miền bị chặn và các số thực p, q ∈ [1, +∞), p < q. Khi đó phép nhúng Lq (Ω) ,→ Lp (Ω) là liên tục. 1.2 Không gian S1p(Ω) Cho Ω ⊂ RN1 × RN2 là miền bị chặn với biên trơn và số thực α > 0. Định nghĩa 1.2.1. (Xem [2]) Với 1 ≤ p < ∞, ta định nghĩa tập ∂u ∂u tất cả các hàm u ∈ Lp (Ω) sao cho ∂xi , |x|α ∂yj ∈ Lp(Ω) với mọi i = 1, 2, . . . , N1, j = 1, 2, . . . , N2 là không gian S1p(Ω). p Chuẩn trong S1 (Ω) được định nghĩa là N1 N2 ! p1 ∂u p α ∂u p p X X kukS1p (Ω) = ∂x p + |x| + kukLp(Ω) . i=1 i L (Ω) ∂y j=1 j Lp (Ω) 10
p Nếu p = 2 chúng ta định nghĩa tích vô hướng trong S1 (Ω) như sau: N1 N2 ∂u ∂v α ∂u α ∂v X X (u, v)S12(Ω) = , + |x| , |x| i=1 ∂xi ∂xi L2 (Ω) j=1 ∂yj ∂yj L2 (Ω) + (u, v)L2(Ω) . p Không gian S1,0 (Ω) định nghĩa là bao đóng của C01 (Ω) trong không p gian S1 (Ω) với C01 (Ω) là tập các hàm trong C 1 (Ω) có giá compact trong Ω. p p Dễ dàng chứng minh được S1 (Ω) và S1,0 (Ω) là các không gian Banach, các không gian S12 (Ω) và S1,0 2 (Ω) là các không gian Hilbert. Từ Mệnh đề 4 trong [8] chúng ta có định lí nhúng sau: Mệnh đề 1.2.1. Giả sử Nα = N1 + N2 (1 + α) > 2. Khi đó phép nhúng ∗ 2Nα 2 S1,0 (Ω) ,→ L2α (Ω) , trong đó 2∗α = , Nα − 2 2 là liên tục. Hơn nữa, phép nhúng S1,0 (Ω) ,→ Lq (Ω) là compact với mỗi q ∈ [1, 2∗α ). Đặt ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇α := , ,..., , |x|α , . . . , |x|α . ∂x1 ∂x2 ∂xN1 ∂y1 ∂xN2 Nhận xét 1.2.1. Chúng ta có hai chuẩn kukS 2 (Ω) và 1,0   21 Z |||u|||S 2 (Ω) =  |∇α u|2dxdy  1,0 Ω là tương đương. 11
Định nghĩa 1.2.2. Cho H và H là các không gian Banach, O(u) là lân cận của điểm u. Ánh xạ E : O(u) ⊂ H → H được gọi là khả vi Fréchet tại điểm u nếu và chỉ nếu tồn tại một ánh xạ T ∈ L (H, H) sao cho: kE(u + h) − E(u) − T hkH = o(khkH ), h > 0, với mọi h nằm trong lân cận của điểm 0. Khi đó T gọi là đạo hàm Fréchet của E tại u và ký hiệu là DE(u) = T . Định lý 1.2.1. Giả sử E là ánh xạ khả vi Fréchet trên không gian Banach H cùng với không gian đối ngẫu H 0 , đối ngẫu giữa H và H 0 là h., .i : H × H 0 −→ R, và giả sử DE : H −→ H 0 định nghĩa là đạo hàm Fréchet của E . Khi đó đạo hàm của E tại u theo hướng v ký hiệu bởi hv, DE(u)i = DE(u)(v). 1.3 Phương trình ellptic suy biến chứa toán tử Grushin Năm 1970, nhà toán học người Nga V. V. Grushin đã đưa ra toán tử Gα := ∆x+|x|2α ∆y với (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1+N2 , N1, N2 ≥ 1, α ∈ Z+ trong [7], đây là ví dụ điển hình cho lớp toán tử hypoelliptic, nhưng không là elliptic. Nhà toán học V. V. Grushin đã chứng minh được nếu Gα u là hàm khả vi vô hạn trong miền Ω thì u cũng khả vi vô hạn trong miền Ω và các tính chất địa phương của Gα được tác giả nghiên cứu khá đầy đủ trong [7]. Trong mục này chúng tôi trình bày 12
các khái niệm cơ bản về phương trình elliptic suy biến chứa toán tử Grushin. Xét toán tử vi phân X P (x, D) = aα (x)Dα , |α|≤m trong đó x = (x1 , ..., xn ) ∈ Ω là một miền trong Rn và α = (α1, ..., αn) ∈ Zn+ là một đa chỉ số, |α| = α1 + ... + αn, aα (x) ∈ C(Ω, R) là các hàm cho trước, α |α| ∂ |α| D = (−i) . ∂x1α1 ∂x2α2 ...∂xnαn Hàm số X P (α, ζ) = aα (x)ζ α , |α|≤m với ζ = (ζ1 , ..., ζn ) ∈ Rn , ζ α = ζ1α1 ...ζnαn , được gọi là biểu trưng của toán tử P (x, D). Hàm số X Pm(α, ζ) = aα (x)ζ α |α|=m được gọi là biểu trưng chính của toán tử P (x, D). Định nghĩa 1.3.1. Toán tử P (x, D) được gọi là elliptic tại x ∈ Ω nếu ∀ζ ∈ Rn thì Pm(x, ζ) ≤ 0 và Pm(x, ζ) = 0 ⇐⇒ ζ = 0. Toán tử P (x, D) được gọi là elliptic trên miền Ω nếu nó elliptic tại ∀x ∈ Ω. n P (x) Ví dụ 1.3.1. Xét toán tử Laplace P (x, D) = Djj , trong đó j=1 (x) ∂2 Djj = − ∂x2 và B(0, 1) = {x ∈ Rn | kxk < 1}. j 13
Khi đó ta có n X P (x, ζ) = P2(x, ζ) = −ζi2 ≤ 0, ∀ζ ∈ B(0, 1) i=1 và P2(x, ζ) = 0 ⇐⇒ ζ = 0. Do đó P (x, D) là toán tử elliptic trong hình cầu đơn vị. Ví dụ 1.3.2. Xét toán tử Gα (x, y, D) = ∆x + |x|2α ∆y , trong đó x, y ∈ Ω ⊂ RN1 × RN2 , N1, N2 ≥ 1, α ∈ R+ và N1 N2 X ∂2 X ∂2 ∆x = , ∆y = . j=1 ∂x2j l=1 ∂yl2 + Với α = 0 thì G0 (x, y, D) là toán tử Laplace nên G0 (x, y, D) là toán tử elliptic trong Ω. + Với α > 0 thì Pm(x, ζ, γ) = P2(x, ζ, γ) N1 X N2 X = −ζj2 + −(x21 + x22 + ... + x2N1 )α .γl2 j=1 l=1 N1 X N2 X =− ζj2 − (x21 + x22 + ... + x2N1 )α γl2 ≤ 0, ∀(ζ, γ ∈ Ω). j=1 l=1 Nhưng Gα (x, y, D) không elliptic tại các điểm dạng (0, y). Do đó toán tử Gα (x, y, D) elliptic trong miền Ω\{(0, y)} và không elliptic trong miền {(0, y) |(0, y) ∈ Ω}. Ví dụ 1.3.3. Xét toán tử Pα,β (x, y, z, D) = ∆x +∆y +|x|2α |y|2β ∆z , trong đó x ∈ RN1 , y ∈ RN2 , z ∈ RN3 , α, β ≥ 0, α + β > 0 có biểu 14
trưng chính là N1 X NX 1 +N2 N1 +N X 2 +N3 Pα,β (x, y, z, ζ) = − ζi2 − ζj2 2α − |x| |y| 2β ζl2. i=1 j=N1 +1 l=N1 +N2 +1 Pα,β (x, y, z, D) là elliptic trong miền Ω\{(0, y, z)} ∪ {x, 0, z}. Định nghĩa 1.3.2. Toán tử P (x, D) được gọi là elliptic suy biến trên Ω nếu ∀ζ ∈ Rn thì Pm (x, ζ) ≤ 0, ∀x ∈ Ω và ∃x0 ∈ Ω, 0 6= ζ 0 ∈ Rn sao cho Pm(x0, ζ 0) = 0. Các toán tử Gα và Pα,β trong ví dụ 1.3.2, ví dụ 1.3.3 là các toán tử elliptic suy biến trong Ω. Định lý 1.3.1. Cho Ω là miền bị chặn với biên trơn trong RN . Ánh xạ f : Ω → R là ánh xạ Carathéodory (tức là f (., ζ) đo được ∀ζ ∈ R và f (x, y, .) liên tục với mọi (x, y) ∈ Ω) thỏa mãn |f (x, y, ζ)| ≤ f1(x, y) + f2(x, y)|ζ|θ , hầu khắp nơi trên Ω × R, p1 trong đó f1 (x, y) ∈ Lp1 (Ω), f2 (x, y) ∈ Lp2 (Ω), p1 −1 ≤ 2∗α , θ > 0, 2∗α (θ + 1) p2p−1 2 ≤ 2∗α , p1 > 1, p2 ≥ 2∗α −θ−1 . Khi đó ta có Φ1 (u) ∈ C 1 (S1,0 2 (Ω), R) và Z 0 2 Φ1(u)(v) = f (x, y, u)v(x, y)dxdy, ∀v ∈ S1,0 (Ω), Ω trong đó Zu Z F (x, y, u) = f (x, y, ζ)dζ và Φ1(u) = F (x, y, u)dxdy . 0 Ω 15
Chứng minh. Ta chứng minh định lý trên theo các bước sau. Bước 1. Ta chứng minh Φ1 có đạo hàm theo nghĩa Gâteaux. Thật 2 vậy, cho u, v là hai hàm bất kỳ trong S1,0 (Ω), với mọi (x, y) ∈ Ω, t ∈ R và 0 < |t| < 1 theo Định lý giá trị trung bình sẽ tồn tại λ ∈ [0, 1] thỏa mãn
F x, y, u(x, y) + tv(x, y) − F x, y, u(x, y)