Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa Tikhonov cho bài toán giải chập

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

125
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa Tikhonov cho bài toán giải chập gồm có 3 chương. Trong đó, chương 1 - Kiến thức chuẩn bị; chương 2 - Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov; chương 3 - Chặn trên và chặn dưới của sai số xấp xỉ. Luận văn phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa Tikhonov cho bài toán giải chập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hồ Hoàng Yến CHỈNH HÓA TIKHONOV CHO BÀI TOÁN GIẢI CHẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hồ Hoàng Yến CHỈNH HÓA TIKHONOV CHO BÀI TOÁN GIẢI CHẬP Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí minh - 2014
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan : 1. Những nội dung trong luận văn này là do tôi tự thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Gs.Ts Đặng Đức Trọng. 2. Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và được ghi cụ thể trong phần tài liệu tham khảo. 3. Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, chúng tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2014 Học viên Hồ Hoàng Yến 1
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tất cả các quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quan trọng suốt thời gian tôi học tại khoa Toán - Tin, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Tôi xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy hướng dẫn của tôi là Gs.Ts. Đặng Đức Trọng, người đã tận tình hướng dẫn, động viên, lo lắng, giúp đỡ tôi vượt qua mọi khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi vô cùng biết ơn ba mẹ tôi đã luôn bên tôi, động viên, khích lệ, chăm lo cho tôi để tôi có mọi điều kiện tốt nhất về vật chất lẫn tinh thần trong học tập và trong cuộc sống. Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu để xem xét và góp ý cho những điểm còn thiếu sót để tôi rút được kinh nghiệm cho luận văn cũng như cho quá trình học tập sau này. Rất mong nhận được sự chỉ bảo quý báu của quý Thầy Cô và sự đóng góp chân thành của quý bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2014 Học viên Hồ Hoàng Yến 2
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 2 MỤC LỤC ............................................................................................................. 3 MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 12 1.1. Không gian đo - Tích phân Lebesgue ............................................ 12 1.2. Biến số ngẫu nhiên ......................................................................... 15 1.3. Không gian định chuẩn..................................................................... 21 1.4. Không gian L , 1p < +∞ .............................................................. 22 p 1.5. Không gian Hilbert ........................................................................... 23 1.6. Biến đổi Fourier ................................................................................ 25 1.7. Không gian Sobolev ......................................................................... 28 1.8. Bài toán không chỉnh ........................................................................ 31 1.9. Tính không chỉnh của bài toán giải chập ....................................... 32 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TIKHONOV .............................. 38 2.1. Bổ đề 2.1.1 ........................................................................................ 39 2.2. Định lý 2.2.1 ..................................................................................... 42 2.3. Định lý 2.3.1 ..................................................................................... 43 Chương 3 CHẶN TRÊN VÀ CHẶN DƯỚI CỦA SAI SỐ XẤP XỈ .............. 45 3.1. Chặn trên của sai số xấp xỉ ............................................................... 47 3.2. Chặn dưới của sai số xấp xỉ .............................................................. 51 3.3. Chứng minh bổ đề 3.1.1 ................................................................... 54 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................. 60 3
MỞ ĐẦU Thống kê phi tham số là một phương pháp thống kê không dựa trên các yếu tố được tham số hóa của các phân bố xác suất. Các yếu tố này bao gồm các số liệu thống kê dựa trên mô tả và suy luận. Thống kê phi tham số cũng giống như thống kê đơn thuần mà ta đã biết, cũng có các thông số đặc trưng: trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn... Tuy nhiên, không giống như thống kê có tham số, thống kê phi tham số không giả định hay đặt điều kiện về phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên được đánh giá. Thống kê phi tham số thường được sử dụng rộng rãi nhằm nghiên cứu các đối tượng để đưa ra đánh giá mang tính chất phân cấp hoặc sắp xếp các đối tượng. Phương pháp phi tham số này hữu ích khi dữ liệu nghiên cứu dù được sắp xếp nhưng lại không có sự rõ ràng về mặt số học. Nếu xét về mức độ đo lường, phương pháp phi tham số thường cho ra các dữ liệu có thứ tự. Tích chập và các phép toán liên quan được sử dụng nhiều trong lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và đặc biệt là toán học. Trong toán học, đặc biệt là lý thuyết xác suất, phân phối xác suất của tổng hai biến ngẫu nhiên bất kỳ chính là tích chập của hai phân phối xác suất của hai biến ngẫu nhiên đó. Trong việc ước lượng mật độ hạt nhân, hàm phân phối sẽ được ước lượng dựa trên các điểm mẫu bởi phép tích chập với hạt nhân. Giải chập là thuật ngữ chỉ việc giải phương trình tích chập. Một phương trình tích chập thường có dạng f * g = h . Thông thường h là một hàm có trước, f là hàm chúng ta cần tìm ra sau khi giải phương trình tích chập, tuy nhiên f lại có quan hệ chặt chẽ xác định với g . Nếu chúng ta biết được g , hoặc ít nhất là dạng của g thì ta có thể dễ dàng giải phương trình tích chập để tìm ra f . Nếu ta không có hàm g , ta có thể sử dụng phương pháp ước lượng trong thống kê nhằm ước lượng hàm g . Phương trình tích chập được sử dụng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật điện, phương trình vi tích 4
phân, xử lý ảnh và xử lý tín hiệu, thị giác máy tính và đặc biệt là thống kê trong việc ước lượng hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên rời rạc. Bài toán giải chập thường là bài toán không chỉnh. Các phương pháp để giải bài toán này hiện nay vẫn chưa được nghiên cứu nhiều. Gần đây, nhiều tác giả quan tâm về việc ước lượng hàm mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên độc lập được phân phối đồng nhất X 1 , X 2 ,..., X n từ mô hình Y j = X j + Z j , trong đó là biến ngẫu nhiên không khảo sát được sai số, được phân phối bởi hàm mật độ xác suất g và độc lập với X j . Bài toán này được biết đến như bài toán giải chập trong thống kê phi tham số. Một trong những phương pháp phổ biến nhất để giải bài toán này là phương pháp ước lượng hạt nhân. Phương pháp này được đề cập đến trong các bài báo Stefanski và Carroll [18], Fan [15], [16], và Goldenshluger [6]. Tuy nhiên, dạng Fourier g ft ( t ) của hàm mật độ g trong các bài báo này thường được giả định là khác 0 với mọi t ∈  , điều kiện này không tự nhiên trong một số trường hợp. Trường hợp nhận giá trị 0 chỉ mới được đề cập đến trong một vài bài báo. Ta đã biết bài toán giải chập là bài toán không chỉnh và cần phải chỉnh hóa. Trong lý thuyết bài toán không chỉnh, một phương pháp chỉnh hóa thường dùng là phương pháp chỉnh hóa Tikhonov. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ làm rõ các ý của bài báo Tikhonov's regularization to Deconvolution problem của tác giả Đặng Đức Trọng, Cao Xuân Phương, Trương Trung Tuyến và Đinh Ngọc Thanh (trong [14] phần tài liệu tham khảo) về trường hợp đã đề cập ở trên. Trong bài báo này, các tác giả quan tâm đến việc ước lượng hàm mật độ f của các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối đồng nhất X 1 , X 2 ,..., X n dựa trên các biến ngẫu nhiên trực tiếp Y1 , Y2 ,..., Yn từ mô hình Y j = X j + Z j với j = 1,2,..., n (1) 5
Ở đây Z j là các biến ngẫu nhiên không quan sát được sai số, được phân phối bởi hàm mật độ g và độc lập với biến X j . Chúng ta biết nếu h là hàm mật độ xác suất của Y j thì chúng ta có quan hệ h = f * g, (2) trong đó kí hiệu * biểu thị tích chập của hai hàm f và g , +∞ ( f * g )( x ) = ∫ f ( x − t ) g ( t ) dt. −∞ Ta biểu diễn biến đổi Fourier của hàm f bởi +∞ f ft ( t ) = ∫ f ( x ) eitx dx, t ∈ . (3) −∞ Đặt NZg = {t ∈  : g ft ( t ) ≠ 0} . Thông thường, nếu biết được h , chúng ta có thể áp dụng biến đổi Fourier cho hai vế của (2) để có h ft f ft = ft với mọi t ∈ NZg , (4) g sau đó sử dụng biến đổi Fourier ngược, ta tìm được f . Đây là bài toán cổ điển trong giải tích. Trong thực tế, chúng ta không có hàm mật độ h , chúng ta chỉ có các biến khảo sát Y j , j = 1,..., n . Bài toán tìm ngược lại hàm f từ các biến khảo sát Y j được phân phối phụ thuộc vào h được gọi là bài toán giải chập trong thống kê hay ngắn gọn là bài toán giải chập. Phương trình (2) là phương trình tích phân và việc giải (2) là một bài toán không chỉnh điển hình. Một bài toán giải chập cụ thể là bài toán hội tụ. Để chứng minh một bài toán giải chập là hội tụ, chúng ta chỉ ra rằng tồn tại một dãy xấp xỉ f n sao cho 6
lim f n ( ;Y1 ,..., Yn ) − f X = 0, n→+∞ trong đó X là một không gian Banach thích hợp. Thực tế, trường hợp đơn giản nhất là NZg =  . Trong trường hợp này, có nhiều phương pháp để xây dựng các ước lượng f n ( x;Y1 ,..., Yn ) . Như đã đề cập ở trên, ước lượng hạt nhân là một trong những cách tiếp cận phổ biến để nói về bài toán giải chập. Trong phương pháp này, ta xấp xỉ hàm mật độ f bởi ước lượng 1 +∞ K ft ( tb ) 1 n itY j fn ( x ) = 2π ∫e − itx ∑e dt , g ft ( t ) n j =1 (5) −∞ trong đó K là một hàm hạt nhân và K ft có giá compact. Phương pháp này lần đầu được giới thiệu trong bài báo của Stefanski và Carroll [18], Fan[15],[16]. Ước lượng (5) được biết đến như hàm mật độ hạt nhân giải chập tiêu chuẩn. Chúng ta chú ý rằng ước lượng (5) có ý nghĩa như là g ft ( t ) ≠ 0 với mọi t ∈  , và vì vậy điều kiện NZg =  trở thành điều kiện phổ biến cho các đề tài về giải chập. Thực chất, điều kiện của g thường thỏa g ft ( t ) C (1 + t 2 ) exp −C0 t −α { g }, trong đó C , C0 > 0,α0, γ 0 và α + γ > 0 . Tương tự, trong trường hợp các biến ngẫu nhiên hai chiều, Goldenshluger [6] cũng giả định rằng min g ( t ) C exp {−C0t } , ∀v > 0. ft 2 t v Tuy nhiên, có nhiều hàm mật độ quan trọng không thỏa NZg =  , ví dụ những hàm mật độ đều g trên đoạn [ −a, a ] , a > 0 , hàm mật độ đều tự tích chập hoặc tích chập của một hàm mật độ tùy ý với một hàm mật độ đều. Bài toán giải chập trong trường hợp NZg ≠  là rất khó. Theo chúng 7
tôi biết, chỉ có một vài bài báo đề cập đến trường hợp này. Bài báo đầu tiên xem xét vấn đề này là Devroye [17]. Tính hội tụ được lập theo chuẩn trong không gian L1 (  ) . Sử dụng kỹ thuật chặt cụt, ông xây dựng một ước lượng f n hội tụ về hàm mật độ cần tìm f khi dạng Fourier g ft bị triệt tiêu trong tập có độ đo Lebesgue bằng không,  1  K ( th ) 1 n itY j   Re  ∫ e − itx ft ∑ e dt  , x < t , f n ( x;Y1 ,..., Yn ) =  2π  r A g ( t ) n j =1    0 , x Kt , { } trong đó Ar = t ∈ < : g ft ( t ) < r , r > 0, h > 0 , dạng Fourier của hàm hạt nhân K ft có giá compact trên [ −c, c ] , c > 0 . Tuy nhiên, tỉ lệ hội tụ không được nói đến trong bài báo này. Trong bài báo của Meister [8], hàm mật độ của bài toán giải chập cũng được xem xét trong trường hợp hàm mật độ cần tìm f được chứa trong S FS ,C ,β - lớp hàm mật độ thỏa ∫ f ( x ) dx = 1 −S và +∞ ∫ (t ) (1 + t ) 2 β 2 f ft dtC , −∞ với S , C , β > 0 khi mà hàm mật độ sai số thuộc vào gu ,v - lớp các hàm mật độ thỏa g ft ( t ) u với t ∈ [ −v, v ] và g ∞ C . Tỉ lệ hội tụ đều của MISE ( f n , f ) =  f n − f ( MISE :sai số trung bình bình phương tích 2 L2 (  ) phân) phụ thuộc vào lớp định nghĩa cho f và g đạt đến lượng ( 0 ( ln n ) −2 β (1−δ ) ( ln ln n ) 2β ) với δ ∈[0,1) . Tỉ lệ này chỉ có được khi kích 8
 0 ( ln n )δ  thước mẫu n được chọn đủ lớn để điểm cuối S ∈   0 (1) ;0 ( ln n ) δ ( ) .  Thực sự điều kiện này không tự nhiên bởi vì S không được biết chính xác và vì vậy thông thường chúng ta không thể chọn n một cách chính xác. Tính hội tụ của MISE ( f n , f ) cũng được nghiên cứu trong bài báo của ông khi f có giá trên một đoạn [ − S , S ] cố định, nhưng không có sự hội tụ trong trường hợp này. Kết quả của bài báo [8] được xây dựng dựa trên sự giả định là hàm mật độ cần tìm có giá compact trong khi giá trị 0 trong biến đối Fourier của hàm mật độ sai số được thừa nhận. Cũng tương tự các đề tài trên, trong Groeneboom và Tongbloed [19], các tác giả tập trung xem xét bài toán giải chập trên mô hình hàm mật độ đồng đều. Họ chỉ ra rằng bằng cách chọn một dãy sóng phù hợp, có thể xây dựng một ước lượng của hàm mật độ cần tìm f nếu f có điểm cuối bên trái hữu hạn. Trong bài báo của Hall và Meister [20], các tác giả cũng đưa ra một hướng tiếp cận bài toán giải chập trong trường hợp NZg ≠  . Để tránh việc chia cho 0 , các tác giả đã sử dụng hàm hn ( t ) = n −ξ t với ξ > 0, p > 0 p và thay g ft bởi cực đại của hai hàm g ft ( t ) với hn ( t ) . Hàm hn ( t ) ở trên được gọi là "hàm sóng". Một xấp xỉ cho hàm mật độ f được định nghĩa bởi   g ft ( −t ) f (t ) r +∞ ft  1 1 n itY j  f n ( x ) = Re  ∫e − itx ∑e dt  (6) ( max { g ( t ) ; hn ( t )}) r +2  2π −∞ ft n j =1    với r0 . Tỉ lệ hội tụ của sai số trung bình bình phương tích phân  fn − f được xây dựng trên lớp các hàm mật độ xác suất g thỏa 2 L2 (  ) g ft ( t ) không triệt tiêu khi t T và 9
C1 sin ( λt ) t  g ft ( t ) C2 sin ( λt ) t u −v u −v , t > T, (7) với u1 , v > 0 , 0C1C2 , λ > 0 , T > 0 . Các tỉ lệ tối ưu của việc ước lượng cũng đồng thời được trình bày. Sử dụng phương pháp biến đổi hạt nhân, Delaige và Meister [10] cũng cho kết quả tương tự. Tuy nhiên, chúng ta thấy rằng điều kiện (7) áp đặt lên g ft không tự nhiên. Trong các bài báo này, hàm mật độ g được giả sử thỏa g ft ( t ) c sin ( kt ) (1 + t ) exp −d t n −α { β }, (8) với t ∈  , k > 0 , c > 0 , d > 0 , α0 , β 0 , α + β > 0 , ν > 0 . Trong  nπ  trường hợp này,  \ NZg ⊂  , n ∈   . Nói theo cách khác, các vị trí mà  k  hàm g ft bị triệt tiêu trên đường thẳng thực là cố định. Khi g là hàm mật độ đều, dễ thấy g thỏa (8) nhưng trong trường hợp g là hàm mật độ tùy ý thì điều kiện (8) thường không thỏa. Để trình bày về vấn đề trên, trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày việc xem xét bài toán giải chập trong trường hợp dạng Fourier của phân phối sai số nhận giá trị 0 trên đường thẳng thực, không chỉ trên một số hạn chế đặc biệt trong NZg . Sử dụng các tính chất của các hàm nguyên và một vài kết quả của giải tích điều hòa, chúng tôi xem xét các tập dưới mức của phân phối sai số. Bằng cách ước lượng độ đo Lebesgue trên các tập dưới mức của hàm g ft và kết hợp với phép chỉnh hóa Tikhonov, chúng tôi trình bày một ước lượng f n của hàm mật độ cần tìm f và đánh giá tỉ lệ hội tụ của sup  f n − f 2 sup L2 (  ) . g∈s ,g , M ,T f ∈q , K 0 Ngoài ra, một chặn dưới của sup  f n − f cũng sẽ được 2 sup L2 (  ) g∈s ,g , M ,T f ∈q , K 0 trình bày. 10
Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi sẽ phát biểu các định nghĩa, định lý sẽ được áp dụng trong quá trình chứng minh ở hai chương còn lại như định nghĩa không gian đo, biến đổi Fourier, bài toán không chỉnh. Ngoài ra trong chương này chúng tôi sẽ chứng minh tính không chỉnh của bài toán giải chập và từ đó đưa ra yêu cầu phải chỉnh hóa trong chương 2, sau đó đánh giá sai số xấp xỉ trong chương 3. Chương 2: Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov và việc sử dụng nó để đưa ra một xấp xỉ cho hàm mật độ xác suất. Chương 3: Chặn trên và chặn dưới của sai số xấp xỉ. Chúng tôi sẽ trình bày các phát biểu và chứng minh các định lý liên quan đến sai số xấp xỉ. Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ cung cấp một chặn dưới và chặn trên của sai số xấp xỉ. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2014 Hồ Hoàng Yến 11
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian đo - Tích phân Lebesgue Định nghĩa 1.1.1. Cho M là một họ các tập con của một tập X . Ta nói M là một σ − đại số trên X nếu M thỏa các tiên đề sau Tiên đề 1. X ∈ M . Tiên đề 2. Nếu A∈ M thì AC ∈ M , với AC = X \ A là phần bù của A trong X . Tiên đề 3. Nếu { An } là một dãy các phần tử của M , nghĩa là An ∈ M , ∀n ∈  và A = ∪∞n=1 An thì A∈ M . Khi M là một σ − đại số trên X , ( X , M ) được gọi là một không gian đo được và phần tử của M được gọi là các tập đo được. Định nghĩa 1.1.2. Với X là một tập không rỗng và τ là một họ các tập con của X , τ ⊂  ( X ) , ta nói τ là một tôpô trên X nếu a) ∅, X ∈τ . b) Nếu Vi ∈τ , i = 1,2,..., n , thì V1 ∩ V2 ∩ ... ∩ Vn ∈τ . c) Nếu {Vα }α∈I là một họ các phần tử của τ thì ∪α∈I Vα ∈τ . Bây giờ ( X ,τ ) , hay vắn tắt là X khi tôpô X được ngầm hiểu, được coi là một không gian tôpô, phần tử của τ được gọi là một tập mở (trong ) và tập có phần bù trong X là một tập mở được gọi là một tập đóng (trong X ). Định nghĩa 1.1.3. Cho ( X ,τ ) là một không gian tôpô. σ − đại số B sinh bởi τ được gọi là σ − đại số Borel trên X , ký hiệu B ( X ) . Khi đó, phần tử của B được gọi là tập con Borel của X . 12
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian đo được ( X , M ) . Ta xét một ánh xạ µ : M → ( 0, ∞ ) không tầm thường, nghĩa là tồn tại A∈ M sao cho µ ( A ) < ∞ thỏa tính chất cộng tính đếm được, nghĩa là ∞  ∞ µ  An  = ∑µ ( An ) ,  n=1  n=1 với mọi dãy { An } các phần tử của M đôi một rời nhau (nghĩa là Ai ∩ Aj = ∅ khi i ≠ j ), được gọi là một độ đo (dương) trên không gian đo được ( X , M ) . Khi đó ( X , M, µ ) được gọi là không gian đo. Cho ( X , M ) , (Y , N ) là hai không gian đo được và ánh xạ f : X →Y . Định nghĩa 1.1.5. Ánh xạ f : X → Y được gọi là đo được nếu f −1 (W ) là một tập đo được (trong X ) với mọi tập đo được W (trong Y ), nghĩa là f −1 (W ) ∈ M, ∀W ∈ N. Định lý 1.1.1. Với mọi hàm đo được f : X → ( 0, ∞ ) , tồn tại các hàm đơn giản đo được không âm sn trên X sao cho a) 0s1s2...f , b) sn ( x ) → f ( x ) khi n → ∞ , với mọi x ∈ X . Định nghĩa 1.1.6. Với hàm đo được đơn giản s : X → ( 0, ∞ ) , cho bởi n s = ∑α i I A , i i =1 trong đó α1 ,...,α n là các giá trị khác nhau của s và với mỗi E ∈ M , ta đặt n ∫sd µ = ∑α µ ( A ∩ E ). E i =1 i i 13
Tổng quát, với hàm đo được f : X → ( 0, ∞ ) và với E ∈ M , ta đặt ∫ fd µ = sup ∫sd µ , E E trong đó, sup được lấy trên tất cả các hàm đo được đơn giản s sao cho 0sf . ∫ fd µ E được gọi là tích phân Lebesgue của f trên E đối với độ đo µ. Định lý 1.1.2. (Định lý hội tụ đơn điệu) Cho { fn} là một dãy các hàm đo được trên X sao cho a) 0f1 ( x )f 2 ( x )...∞ , với mọi x ∈ X , b) f n ( x ) → f ( x ) khi n → ∞ , với mọi x ∈ X . Ta có f là hàm đo được và ∫ f d µ → ∫ fd µ X n X khi n → ∞. Định lý 1.1.3. (Định lý Radon – Nikodym) Cho µ là một độ đo dương σ − hữa hạn trên một σ − đại số M của X , nghĩa là X có thể viết thành hội đếm được các Ei ∈ M với µ ( Ei ) < ∞ . Nếu λ là một độ đo dương trên M , liên tục tuyệt đối đối với µ thì tồn tại hàm đo được dương h sao cho d λ = hd µ , nghĩa là λ ( E ) = ∫hd µ , với mọi E ∈ M. E Hàm h còn được gọi là đạo hàm Radon - Nikodym của λ đối với µ , ký dλ hiệu h = . dµ Định lý 1.1.4. (Định lý hội tụ bị chận Lebesgue) Giả sử { fn} là dãy các hàm đo được trên X sao cho f ( x ) = lim f n ( x ) n→∞ 14
tồn tại với mọi x ∈ X . Nếu tồn tại hàm g ∈ L1 ( µ ) sao cho f n ( x ) g ( x ) , với mọi n ∈ , x ∈ X , thì f ∈ L1 ( µ ) , lim ∫ f n − f d m = 0, n→∞ X và lim ∫ f n d mm = ∫ fd . n→∞ X X Định lý 1.1.5. (Định lý Fubini) Cho F khả tích trên Ω1 × Ω 2 . Khi đó với hầu hết x thuộc Ω1 , ta có F ( x, ⋅) : y  F ( x, y ) khả tích trên Ω 2 , và x  ∫ F ( x, y ) dy khả tích trên Ω1. Ω2 Kết luận tương tự khi đổi vai trò của x cho y , Ω1 cho Ω 2 . Hơn nữa ta có ∫ dx ∫ F ( x, y ) dy = ∫ dy ∫ F ( x, y ) dx = ∫ F ( x, y ) dxdy. Ω1 Ω2 Ω2 Ω1 Ω1×Ω2 1.2. Biến số ngẫu nhiên Cho Ω là không gian mẫu của phép thử τ , M là một σ - đại số các biến cố của Ω và P là một độ đo xác suất xác định trên M , ta có Định nghĩa 1.2.1. Cho ( M,Ω ) và ( M', Ω′ ) là hai không gian đo được. Xét ánh xạ X : Ω → Ω′ . Nếu X là ánh xạ đo được, ta nói X là một biến ngẫu nhiên. Đặc biệt, khi ( M', Ω′ ) = ( , B,  ) , ta gọi X là biến ngẫu nhiên thực hay vắn tắt là biến số ngẫu nhiên và khi ( M', Ω′ ) = (  k , B,  k ) , ta gọi X là vectơ ngẫu nhiên. 15
Định lý 1.2.1. Cho ( Ω, M, P ) là một không gian xác suất và X : Ω →  k là một hàm Borel đo được. Với mỗi B ∈ ( B,  k ) , đặt PX ( B ) = P, X ∈ B. Ta có PX là một độ đo xác suất trên ( B,  k ) . Khi đó PX còn được gọi là phân phối của biến ngẫu nhiên X : Ω →  k . Đặc biệt, xét các tập Bx ,..., x = ( −∞, x1 ) × ... × ( −∞, xk ) , 1 k với x1 ,..., xk ∈  k , ta có Định nghĩa 1.2.2. Với PX là phân phối của biến ngẫu nhiên X : Ω →  k , X (ω ) = ( X 1 (ω ) ,..., X k (ω ) ) , ω ∈ Ω , hàm số FX :  k →  xác định bởi ( FX ( x1 ,..., xk ) = PX Bx ,..., x 1 k ) = P ( X x ,..., X x ) , 1 1 k k được gọi là hàm phân phối tích lũy của X . Mệnh đề 1.2.1. Cho X là một biến số ngẫu nhiên có hàm phân phối tích lũy FX :  →  . Ta có a) 0FX ( x )1 , ∀x ∈  . b) FX là hàm tăng, nghĩa là FX ( x )FX ( y ) khi x < y . c) FX liên tục bên phải tại mọi điểm, nghĩa là lim FX ( t ) = FX ( x ) , t → x+ ∀∈  . d) lim FX ( X ) = 0 và lim FX ( X ) = 1 . x →−∞ x →+∞ Đặc biệt, nếu biến ngẫu nhiên X : Ω →  k có phân phối PX là độ đo 16
liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue mk trên  k , ký hiệu PX  mk , nghĩa là với mọi tập Borel đo được B trong  k sao cho mk ( B ) = 0 , ta có PX ( B ) = 0 , thì do định lý Radon - Nikodym tồn tại hàm khả tích f X :  k →  sao cho f X 0 và PX ( B ) = P ( X ∈ B ) = ∫ fdmk , B với mọi tập Borel đo được B trong  k . Khi đó, ta nói X là biến ngẫu nhiên liên tục và f X là (một) hàm mật độ xác suất của X . Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, ta có các kết quả quan trọng sau Mệnh đề 1.2.2. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ xác suất f X và hàm phân phối tích lũy FX . Ta có, a) Với mọi a ∈  , FX ( X ) = P ( X a ) = P ( X < a ) = ∫ f X ( X ) dx. ( −∞ ,a ) b) Với mọi a, b ∈  , P ( aX b ) = FX ( b ) − FX ( a ) . c) FX′ ( X ) = f X ( X ) tại mọi điểm liên tục của hàm f X . Định nghĩa 1.2.3. Cho ( Ω, M, P ) là không gian xác suất và X là một biến số ngẫu nhiên xác định trên Ω . Nếu X ∈ L1 ( P ) , thì trung bình của X , ký hiệu E ( X ) , được cho bởi E ( X ) = ∫ XdP. Ω E ( X ) còn được gọi là kỳ vọng của X , và còn được ký hiệu là µ X . 17
Hơn nữa, với mỗi hàm Borel đo được g :  →  , hàm số g  X lại là một biến số ngẫu nhiên trên Ω mà ta ký hiệu là g ( X ) . Trung bình của biến số ngẫu nhiên này, nếu có được ký hiệu là E  g ( X )  . Nếu biến ngẫu nhiên X có trung bình là µ X = E [ X ] thì với hàm số g ( x ) = ( x − µ X ) , ta được biến số ngẫu nhiên g ( X ) = ( X − µ X ) và trung 2 2 bình của biến số ngẫu nhiên này, nếu có, được gọi là phương sai của X , ký hiệu var ( X ) , được cho bởi công thức var ( X ) = E ( X − µ X )  = ∫ ( X − µ X ) dP, 2 2   Ω và với hàm số g ( x ) = x n , n ∈  , ta được biến ngẫu nhiên g ( X ) = X n và trung bình của biến ngẫu nhiên này, nếu có, được gọi là mômen thứ n của X, E ( X n ) = ∫ X n dP. Ω Do định nghĩa, trung bình hay trung bình của X chính là mômen thứ nhất của X . Ngoài ra, căn bậc hai của phương sai của X được gọi là độ lệch chuẩn của X , ký hiệu σ X , σ X = var ( X ) . Định lý 1.2.2. Cho X là biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất f X . Ta có a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì µ X = E ( X ) = ∑xf X ( x ) ,σ x2 = var ( X ) = ∑ ( x − µ X ) f X ( x ) , 2 x x và mômen thứ n của X là 18