Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đánh giá sai số nội suy và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

40
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc xấp xỉ hàm số bằng hàm nội suy tuyến tính (hoặc hằng số, hoặc bậc hai) một chiều hoặc hai chiều và đánh giá sai số của phương pháp nội suy. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đánh giá sai số nội suy và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HỨA THỊ THÙY BÔNG ĐÁNH GIÁ SAI SỐ NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– HỨA THỊ THÙY BÔNG ĐÁNH GIÁ SAI SỐ NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS. PHAN XUÂN THÀNH THÁI NGUYÊN, 5/2019
ii Mục lục Mở đầu 1 Bảng ký hiệu 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Không gian có tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Đạo hàm suy rộng và không gian Sobolev . . . . . . . . . . . 9 1.3 Hàm nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Đánh giá sai số nội suy 16 2.1 Hàm nội suy một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Hàm nội suy hằng số một chiều . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Hàm nội suy tuyến tính một chiều . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Hàm nội suy bậc hai một chiều . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Hàm nội suy tuyến tính hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . 28
iii Chương 3. Đánh giá sai số của phương pháp phần tử hữu hạn 37 3.1 Bài toán biên elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Phương pháp biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Đánh giá sai số của phương pháp phần tử hữu hạn . . . . . 43 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53
1 Mở đầu Việc nghiên cứu các quá trình tự nhiên thường dẫn đến các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng. Giải số các bài toán đó là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn. Một phương pháp hay dùng để giải số (giải gần đúng) phương trình đạo hàm riêng là phương pháp phần tử hữu hạn. Ý tưởng ở đây là xấp xỉ nghiệm trong không gian con hữu hạn chiều sinh bởi các hàm đa thức (tuyến tính, hoặc bậc cao) trên từng phần tử hữu hạn (trong đó, phần tử hữu hạn được hiểu là đoạn thẳng một chiều, tam giác hai chiều, hoặc tứ diện ba chiều). Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc xấp xỉ hàm số bằng hàm nội suy tuyến tính (hoặc hằng số, hoặc bậc hai) một chiều hoặc hai chiều và đánh giá sai số của phương pháp nội suy. Cụ thể chúng tôi đánh giá sai số nội suy trong các không gian hàm L2 và W 1 . Các hàm nội suy tuyến tính này được dùng để đánh giá sai số của phương pháp phần tử hữu hạn. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương, gồm: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Đánh giá sai số nội suy. Chương 3. Đánh giá sai số của phương pháp phần tử hữu hạn. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phan Xuân Thành. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu và viết bản luận văn này.
2 Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin, cùng toàn thể các thầy cô trong trường đã giảng dạy và giúp đỡ cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K11 (khóa 2017-2019), bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu. Thái Nguyên, ngày 11 tháng 5 năm 2019 Tác giả luận văn Hứa Thị Thùy Bông
3 Bảng ký hiệu kxk chuẩn của vectơ x Rn không gian Euclide n-chiều L2 (a, b) không gian các hàm bình phương khả tích trên (a, b) Lloc 1 (Ω) không gian các hàm khả tích địa phương trên Ω L∞ (Ω) không gian các hàm đo được và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω Wm (Ω) không gian Sobolev cấp m C0∞ (Ω) không gian các hàm khả vi vô hạn lần và có giá compact trên Ω C(Ω) không gian các hàm liên tục trên miền Ω C m (Ω) không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp m trên miền Ω eoc estimated order of convergence - ước lượng tốc độ hội tụ uI (x) hàm nội suy (đa thức) của hàm u(x) Vh không gian con hữu hạn chiều của không gian Hilbert V h bước lưới (của phép chia miền)
4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian, khái niệm đạo hàm suy rộng, không gian Sobolev và khái niệm hàm số nội suy. Nội dung chính của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1, 3, 4]. 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1. Không gian vectơ V trên trường vô hướng K là một tập các đối tượng, mỗi đối tượng gọi là một vectơ, trong đó có xác định hai phép toán: 1) Phép cộng: ứng mỗi cặp phần tử x và y thuộc V có cách xác định một phần tử thuộc V , viết là x + y; 2) Phép nhân với vô hướng: ứng mỗi phần tử x ∈ V và mỗi số k ∈ K có cách xác định một phần tử thuộc V , viết là kx; sao cho 8 tính chất sau thỏa mãn: 1/ x + y = y + x, ∀x, y ∈ V ; 2/ x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ V ;
5 3/ Tồn tại θ ∈ V sao cho θ + x = x + θ = x, ∀x ∈ V . Phần thử θ gọi là phần tử “trung hòa” hay phần tử “không” của V ; 4/ Với mỗi x ∈ V tồn tại −x ∈ V sao cho x + (−x) = −x + x = θ. Phần tử −x gọi là phần tử “đối” của x; 5/ k(x + y) = kx + ky, ∀x, y ∈ V, ∀k ∈ K; 6/ (k + l)x = kx + lx ∀x ∈ V, ∀k, l ∈ K; 7/ k(lx) = (kl)x ∀x ∈ V, ∀k, l ∈ K; 8/ 1x = x, ∀x ∈ V. Tám tính chất trên gọi là tám tiên đề của không gian vectơ. Chú ý 1.1.2. Sau này thường ta chỉ xét trường hợp K là trường số thực R. 1.1.2 Không gian chuẩn Định nghĩa 1.1.3. Không gian chuẩn, còn gọi là không gian định chuẩn, là một không gian vectơ V trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ V có cách xác định một số thực ký hiệu là kxk và gọi là chuẩn của x, thỏa mãn ba tính chất: 1/ kxk ≥ 0, ∀x ∈ V ; kxk = 0 ⇔ x = θ; 2/ kkxk = |k|.kxk, ∀x ∈ V, ∀k ∈ K; 3/ kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ V . Ba tính chất trên gọi là ba tiên đề của chuẩn vectơ hay của không gian chuẩn. Tập các phần tử của không gian vectơ V gọi là tập nền của không gian chuẩn V .
6 Sự hội tụ. Trong không gian chuẩn V xét dãy phần tử {xn }. Nói dãy xn hội tụ tới x ∈ V (hay có giới hạn là x ∈ V ) nếu dãy số kxn − xk −→ 0 khi n −→ ∞, tức là ∀ > 0 ∃N : n > N ⇒ kxn − xk < . Khi đó ta viết xn −→ x khi n −→ ∞ hay đơn giản là xn −→ x. Nói dãy xn hội tụ trong V hay dãy xn hội tụ nếu tồn tại x ∈ V để xn −→ x. 1.1.3 Không gian Banach Cho V là một không gian chuẩn. Xét dãy {xn } ∈ V . Định nghĩa 1.1.4. Ta nói dãy xn là dãy Cauchy nếu với bất kỳ số > 0 cho trước nào cũng tồn tại số nguyên dương N tương ứng để n, m > N ⇒ kxn − xm k < . Dãy Cauchy có các tính chất sau: Mọi dãy Cauchy không có quá một giới hạn. Thực vậy, giả sử {xn } ∈ V có hai giới hạn là a và b với a 6= b, nghĩa là kb − ak > 0. Khi đó với = kb − ak/4 sẽ tồn tại số nguyên N > 0 sao cho khi n > N thì kb − ak kb − ak kxn − ak < , kxn − bk < . 4 4 Từ đó và vì b − a = (xn − a) − (xn − b) ta suy ra kb − ak kb − ak kb − ak kb − ak 0. Vậy không thể có b 6= a, nghĩa là dãy Cauchy chỉ có thể có một giới hạn.
7 Trong không gian chuẩn V mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy. Thực vậy, giả sử xn → x ∈ V thì ∀ > 0 ∃N : n > N ⇒ kxn − xk < . 2 Do đó ∀ > 0 ∃N : n, m > N ⇒ kxn − xm k < kxn − xk + kxm − xk ≤ + = . 2 2 Nhưng không phải dãy Cauchy nào cũng hội tụ. Định nghĩa 1.1.5. Một không gian chuẩn V trong đó mọi dãy Cauchy đều hội tụ là một không gian đầy. Không gian chuẩn đầy gọi là không gian Banach. 1.1.4 Không gian có tích vô hướng Tích vô hướng. Trong không gian vectơ V trên trường số thực R nếu tồn tại một ánh xạ: V × V → R, tức là ứng mỗi cặp (u, v) ∈ V × V có cách xác định một số thực ký hiệu là (u, v)V sao cho năm tính chất sau được thỏa mãn: (i) (u, v)V = (v, u)V ∀u, v ∈ V (ii) (u + w, v)V = (u, v)V + (w, v)V ∀u, v, w ∈ V (iii) (ku, v)V = k(u, v)V ∀u, v ∈ V, ∀k ∈ R (iv) (u, u)V ≥ 0 ∀u ∈ V (v) (u, u)V = 0 ⇔ u = θ thì đại lượng (u, v)V gọi là một tích vô hướng trong không gian vectơ V và V gọi là không gian có tích vô hướng. Năm tính chất trên gọi là năm tiên đề của tích vô hướng.
8 Chú ý 1.1.6. Thường khi không sợ hiểu lầm, người ta bỏ chỉ số V và chỉ viết (u, v) thay cho (u, v)V cho gọn. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Bunhiacowski (C-S-B). Trong không gian có tích vô hướng có bất đẳng thức sau, gọi là bất đẳng thức Cauchy- Schwarz-Bunhiacowski, viết tắt là C-S-B: |(u, v)V |2 ≤ (u, u)V .(v, v)V hay |(u, v)| ≤ (u, u).(v, v). (C − S − B) Chứng minh. Theo tính chất (iv) của tích vô hướng ta có (u + tv, u + tv) ≥ 0 ∀t ∈ R. Do đó (u, u) + (u, tv) + (tv, u) + (tv, tv) = (u, u) + 2t(u, v) + t2 (v, v) ≥ 0 ∀t ∈ R. Ta gặp một tam thức bậc hai đối với t, t ≥ 0 ∀t ∈ R ⇒ nó có biệt số (u, v)2 − (u, u)(v, v) ≤ 0 ⇒ bất đẳng thức C-S-B. 1.1.5 Không gian Hilbert Không gian tiền Hilbert và không gian Hilbert. Trong không gian có tích vô hướng V ta xét đại lượng p (u, u) ∀u ∈ V. Theo tính chất của tích vô hướng, đại lượng này thỏa mãn ba tiên đề của p chuẩn vectơ. Không gian vectơ V với chuẩn kukV := (u, u) là một không gian chuẩn. Không gian chuẩn này gọi là không gian tiền Hilbert. Nếu không gian tiền Hilbert là một không gian đầy thì nó được gọi là không gian Hilbert. Không gian Hilbert là không gian Banach. Trong không gian Hilbert V nếu (u, v) = 0 ∀v ∈ V thì u = θ.
9 Thực vậy, thay v = u ta suy ra (u, u) = 0. Vậy theo tính chất (v) của tích vô hướng thì u = θ (phần tử không). Chú ý 1.1.7. Trong không gian Hilbert V bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng |(u, v)| ≤ kuk.kvk. 1.2 Đạo hàm suy rộng và không gian Sobolev Cho Rn là tập các điểm x = (x1 , x2 , . . . , xn ), xi ∈ R, n là một số nguyên dương. Ta chỉ tập trung quan tâm đến trường hợp n ≤ 3. Xét điểm y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn . Đại lượng p d(x, y) := (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + · · · + (yn − xn )2 gọi là khoảng cách từ y đến x. δ là một số dương, tập ω(x, δ) := {y ∈ Rn : d(x, y) < δ} gọi là một δ-lân cận của x. Ω ⊂ Rn , x ∈ Rn . Ta nói x là một điểm trong của Ω nếu x ∈ Ω và tồn tại một δ-lân cận của x nằm hoàn toàn trong Ω. Ta nói Ω là một tập mở nếu Ω chỉ gồm những điểm trong. Ta nói x là một điểm biên của Ω nếu mọi θ-lân cận của x đều chứa cả những điểm thuộc Ω và những điểm không thuộc Ω. Tập hợp gồm tất cả các điểm biên của Ω gọi là biên của Ω, thường ký hiệu là Γ. Ta viết Ω := Ω ∪ Γ. Ta nói Ω là một tập đóng nếu Ω chứa tất cả các điểm biên của nó. Chẳng hạn Ω là tập đóng. Ta nói Ω là liên thông nếu hai điểm bất kỳ của Ω đều có thể nối với nhau bằng một đường thuộc Ω. Ta nói Ω bị chặn nếu tồn tại một điểm x0 ∈ Rn và một số thức ρ sao cho d(x0 , x) ≤ ρ ∀x ∈ Ω.
10 Tập con Ω của Rn , không rỗng, mở, liên thông gọi là một miền; nếu Ω bị chặn nữa thì đó là một miền bị chặn. Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn . Xét các không gian hàm thực sau: C(Ω) là tập các hàm u(x) liên tục trong Ω với kukC(Ω) := max{|u(x)|}. x∈Ω Khi đó các đại lượng kukC(Ω) thỏa mãn ba tiên đề của chuẩn vectơ và C(Ω) với chuẩn vectơ định nghĩa như vậy trở thành một không gian Banach, vẫn giữ ký hiệu C(Ω). Sau đây ta sẽ dùng các ký hiệu: Cho αi nguyên, αi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n. Khi đó α := (α1 , α2 , . . . , αn ), |α| := α1 + α2 + · · · + αn . α1 α2 αn α ∂ ∂ ∂ D u := ... . ∂x1 ∂x2 ∂xn m là một số nguyên ≥ 0. Xét tập C m (Ω) := {u|Dα u(x) ∈ C(Ω), |α| ≤ m} với chuẩn X kukC m (Ω) := max{|Dα u(x)|}. x∈Ω |α|≤m C m (Ω) là một không gian Banach. Trường hợp m = 0 thì C 0 (Ω) trùng với C(Ω). Đạo hàm suy rộng Ta ký hiệu Lloc 1 (Ω) là không gian các hàm khả tích địa phương, tức là u ∈ Lloc 1 (Ω) nếu u khả tích trên mọi tập con đóng và bị chặn K ⊂ Ω. Không gian C0∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn và có giá compact. Với φ, ψ ∈ C0∞ (Ω), ta có công thức tích phân từng phần Z Z ∂ϕ(x) ∂ψ(x) ψ(x)dx = − ϕ(x) dx. Ω ∂xi Ω ∂xi
11 Dựa trên công thức tích phân này, người ta đưa ra khái niệm đạo hàm suy rộng như sau. Định nghĩa 1.2.1. Hàm u ∈ Lloc 1 (Ω) có đạo hàm suy rộng đối với biến xi , nếu tồn tại hàm v ∈ Lloc 1 (Ω) sao cho Z Z ∂ϕ(x) v(x)ϕ(x)dx = − u(x) dx với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω). Ω Ω ∂xi ∂u(x) Ta ký hiệu đạo hàm suy rộng là := v(x). ∂xi Một cách đệ quy, ta có thể định nghĩa đạo hàm suy rộng cấp α của hàm u(x), ký hiệu là hàm Dα u(x) ∈ Lloc1 (Ω) bởi Z Z |α| α [D u(x)]ϕ(x)dx = (−1) u(x)Dα ϕ(x)dx với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω). Ω Ω Lưu ý, nếu một hàm có đạo hàm thì nó cũng có đạo hàm suy rộng và hai đạo hàm này trùng nhau. Nhưng có hàm số có đạo hàm suy rộng mà không có đạo hàm thường. Khi định nghĩa không gian Sobolev trong phần sau, đạo hàm được hiểu theo nghĩa suy rộng. Thí dụ về không gian Hilbert. L2 (Ω) là tập tất cả các hàm số u(x) có bình phương khả tích trong Ω: Z [u(x)]2 dx < ∞, dx = dx1 dx2 . . . dxn . Ω Tích phân ở đây hiểu theo nghĩa Lebesgue. Tích phân Lebesgue là một dạng mở rộng của tích phân Riemann. Một hàm số đã khả tích Riemann thì cũng khả tích Lebesgue và lúc đó hai tích phân này bằng nhau. Nhưng có hàm số khả tích Lebesgue mà không khả tích Riemann. Trong L2 (Ω) người ta xét đại lượng Z (u, v)L2 (Ω) := u(x)v(x)dx. Ω
12 Theo tính chất của tích phân, đại lượng này thỏa mãn 5 tính chất của tích vô hướng, nên nó là một tích vô hướng trong L2 (Ω). Sau đó ta định nghĩa chuẩn vectơ: sZ q kukL2 (Ω) := (u, u)L2 (Ω) = [u(x)]2 dx. Ω Khi đó L2 (Ω) là một không gian đầy và do đó trở thành một không gian Hilbert. Nếu tích phân hiểu theo nghĩa Riemann thì L2 (Ω) không đầy và do đó nó không phải là không gian Hilbert. Ta định nghĩa không gian L∞ (Ω) là không gian các hàm u đo được và bị chặn hầu khắp nơi với chuẩn kukL∞ (Ω) := esssupx∈Ω {|u(x)|} := inf sup |u(x)|. K⊂Ω,µ(K)=0 x∈Ω\K Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: Cho f, g ∈ L2 (Ω). Khi đó ta có bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Z 2 Z Z f (x)g(x)dx ≤ f 2 (x)dx. g 2 (x)dx. Ω Ω Ω Chứng minh. Với t ∈ R ta có Z [f (x) − tg(x)]2 dx ≥ 0 Ω Z Z Z ⇔ t2 g 2 (x)dx − 2t f (x)g(x)dx + f 2 (x)dx ≥ 0 ∀t. Ω Ω Ω Biểu thức ở về trái là tam thức bậc hai đối với t. Để tam thức bậc hai này luôn không âm, với mọi t, thì biệt thức 40 ≤ 0. Z 2 Z Z 40 = f (x)g(x)dx − g 2 (x)dx. f 2 (x)dx. Ω Ω Ω Z 2 Z Z 0 4 ≤0⇔ f (x)g(x)dx − g (x)dx. f 2 (x)dx ≤ 0. 2 Ω Ω Ω Vậy Z 2 Z Z f (x)g(x)dx ≤ g (x)dx. f 2 (x)dx. 2 Ω Ω Ω
13 Bây giờ đạo hàm hiểu theo nghĩa đạo hàm suy rộng. Ta định nghĩa không gian Sobolev như sau: Giả sử m là một số nguyên không âm và Ω là một miền bị chặn. Xét tập W m (Ω) := {u|Dα u ∈ L2 (Ω), |α| ≤ m}. Trong W m (Ω) người ta đưa vào tích vô hướng X (u, v)W m (Ω) := (Dα u, Dα v)L2 (Ω) |α|≤m và chuẩn q kukW m (Ω) := (u, u)W m (Ω) . Khi đó W m (Ω) trở thành một không gian Hilbert. Trường hợp m = 0 thì W 0 (Ω) trùng với L2 (Ω). Khi m = 1 chuẩn trong không gian W 1 (Ω) được cho bởi sZ Z kukW 1 (Ω) : = u2 (x)dx + |∇u(x)|2 dx, Ω Ω v uZ n Z 2 u X ∂u = t u2 (x)dx + dx. Ω i=1 Ω ∂x i Giả sử Γ := ∂Ω là biên của miền Ω. Ta định nghĩa W01 (Ω) := {u|u ∈ W 1 (Ω), u|Γ = 0}. Không gian Sobolev W m (Ω) đôi khi được ký hiệu là H m (Ω). 1.3 Hàm nội suy Cho Ω là miền bị chặn trong không gian Rn . Ta giả sử Ω là đa giác (n = 2) hay đa diện (n = 3). Ta thực hiện việc chia miền Ω thành các phần
14 tử hữu hạn [ Ω= Tk , k trong đó Tk là đoạn thẳng (n = 1), là tam giác (n = 2) hay là hình tứ diện (n = 3). Ta giả sử việc chia miền Ω thỏa mãn các điều kiện sau: i) Các phần tử hữu hạn không có điểm chung trong. ii) Không có đỉnh của tam giác này nằm trên cạnh của tam giác kia (n = 2), hay không có đỉnh của tứ diện này nằm trên cạnh hay mặt của tứ diện khác, không có cạnh của tứ diện này nằm trên mặt của tứ diện khác (n = 3). iii) Các góc của các tam giác (n = 2) hay các góc tam diện (n = 3) của các tứ diện không nhỏ hơn θ0 > 0. Điều này đảm bảo rằng diện tích các tam giác (n = 2) hay thể tích các tứ diện (n = 3) dần đến 0 khi và chỉ khi các cạnh của nó dần đến 0. Gọi {xi , i = 1, ..., N } là tập các nút lưới. Xét hàm số u(x) xác định trên miền Ω. Ý tưởng ở đây là ta muốn xấp xỉ hàm u(x) bởi hàm uh (x), với uh (x) là đa thức trên từng phần tử hữu hạn. Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm số u(x) ∈ C(Ω). Hàm uI (x) được gọi là hàm nội suy tuyến tính của u(x) trên Ω nếu uI (xi ) = u(xi ) với mọi i = 1, ..., N và uI (x) là hàm tuyến tính trên từng phần tử hữu hạn Tk . Ta có thể định nghĩa hàm nội suy hằng số hay hàm nội suy đa thức với bậc lớn hơn 1. Mục đính chính của luận văn này là chứng minh các đánh giá sai số của các hàm nội suy trên các không gian khác nhau, tức là đánh giá sai số ku − uI k. Đó là nội dung chương 2 của luận văn. Để chứng minh các đánh giá sai số ta cần sử dụng khai triển Taylor sau.
15 Định lý 1.3.2 (Khai triển Taylor). Đặt X k! (k) u (x; y) = ∂ α u(x)y α , α! |α|=k trong đó α! = α1 ! . . . αn ! và y α = y1α1 . . . ynαn . Ta có công thức Taylor n 1 1 Z X 1 (k) u(x + y) = u (x; y) + (1 − t)n u(n+1) (x + ty; y)dt. k! n! 0 k=0
16 Chương 2. Đánh giá sai số nội suy Nội dung chính của chương này trình bày về hàm số nội suy một chiều và hàm số nội suy tuyến tính hai chiều. 2.1 Hàm nội suy một chiều Cho hàm số u(x) xác định trên đoạn [a, b]. Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia b−a a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b, xk = x0 + kh = x0 + k , n b−a trong đó h = là bước lưới. n Ta sẽ xét các hàm nội suy hằng số, tuyến tính, bậc hai của hàm u trên [a, b] và đánh giá các sai số tương ứng. 2.1.1 Hàm nội suy hằng số một chiều Ta xây dựng không gian các hàm hằng số từng khúc xác định trên [a, b] như sau  1 nếu x ∈ [xk−1 , xk ],  Sh :={ϕ0k (x), k = 1, . . . , n}, ϕ0k (x) = 0 nếu ngược lại. 