Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:84

Thêm vào BST

Báo xấu

562
lượt xem 168
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng nhằm giới thiệu dãy fibonacci, dãy lucas và các tính chất cơ bản, các tính chất số học cũng như các tính chất liên hệ giữa chúng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C Vũ Nh t Cương DÃY FIBONACCI, DÃY LUCAS VÀ CÁC NG D NG Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P MÃ S : 60.46.40 LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. Nguy n Văn Ng c Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Công trình đư c hoàn thành t i Trư ng Đ i H c Khoa H c - Đ i H c Thái Nguyên Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. Nguy n Văn Ng c Ph n bi n 1: TS. Nguy n Văn Minh - Trư ng Đ i h c Kinh t và Qu n tr kinh doanh - Đ i h c Thái Nguyên. Ph n bi n 2: PGS. TS. T Duy Phư ng - Vi n Toán h c - Vi n Khoa h c và Công ngh Vi t Nam. Lu n văn đư c b o v trư c h i đ ng ch m lu n văn h p t i: Trư ng Đ i H c Khoa H c - Đ i H c Thái Nguyên Ngày 01 tháng 9 năm 2012 Có th tìm hi u t i Thư Vi n Đ i H c Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 M cl c M đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính ch t cơ b n 6 1.1. Đ nh nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Đ nh nghĩa dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Đ nh nghĩa dãy Lucas . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. S Fibonacci và s Lucas v i ch s âm . . . . . . . . . . 8 1.2.1. S Fibonacci v i ch s âm . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. S Lucas v i ch s âm . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Công th c t ng quát c a s Fibonacci và s Lucas . . . . 10 1.3.1. T s vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Công th c t ng quát c a s Fibonacci và s Lucas 11 1.4. M t s h th c c a dãy Fibonacci và dãy Lucas . . . . . 12 1.4.1. Các h th c v t ng h u h n . . . . . . . . . . . 12 1.4.2. Các h th c khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.3. M t s h th c liên h gi a s Fibonacci và s Lucas 25 Chương 2. Các tính ch t s h c c a dãy Fibonacci và dãy Lucas 32 2.1. Các tính ch t s h c c a dãy Fibonacci . . . . . . . . . . 32 2.2. Các tính ch t s h c c a dãy Lucas . . . . . . . . . . . 47 2.3. Tính ch t s h c liên h gi a dãy Fibonacci v i dãy Lucas 49 Chương 3. Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong t nhiên và các ng d ng 51 3.1. Dãy Fibonacci v i toán h c . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.1. Dãy Fibonacci và tam giác Pascal . . . . . . . . . 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 3.1.2. Dãy Fibonacci và h nh phân . . . . . . . . . . . 53 3.1.3. Dãy Fibonacci và tam giác vuông . . . . . . . . . 53 3.1.4. Dãy Fibonacci và hình h c . . . . . . . . . . . . . 54 3.2. Dãy Fibonacci, dãy Lucas v i t nhiên . . . . . . . . . . 57 3.3. Dãy Fibonacci và “t l vàng” v i ng d ng . . . . . . . 69 3.3.1. Dãy Fibonacci trong th trư ng tài chính . . . . . 69 3.3.2. Dãy Fibonacci và “t l vàng” trong thi t k . . . 72 3.3.3. Dãy Fibonacci và “t l vàng” trong ki n trúc . . 75 3.3.4. Dãy Fibonacci và “t l vàng” trong ngh thu t . 77 3.3.5. Các ng d ng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 M đ u 1. Lý do ch n đ tài lu n văn Leonardo Pisano Bogollo (kho ng 1170 –1250), còn đư c bi t đ n v i tên Leonardo c a Pisa, hay ph bi n nh t dư i cái tên Fibonacci, là m t nhà toán h c ngư i Ý và ông đư c m t s ngư i xem là “nhà toán h c tài ba nh t th i Trung C ”. Fibonacci n i ti ng trong th gi i hi n đ i vì có công lan truy n h đ m Hindu - R p châu Âu, và đ c bi t là dãy s hi n đ i mang tên ông, dãy Fibonacci trong cu n Sách Liber Abaci - Sách v Toán đ năm 1202. Dãy Fibonacci là m t trong nh ng v đ p c a kho tàng Toán h c. Dãy Fibonacci xu t hi n và bi n hóa vô t n trong t nhiên, v i r t nhi u tính ch t đ p và ng d ng quan tr ng. Nói đ n dãy Fibonacci không th không nói đ n dãy Lucas, b i chúng có m i liên h ch t ch v i nhau. Trư c Fibonacci, đã có nhi u h c gi nghiên c u v dãy Fibonacci. Susantha Goonatilake vi t r ng s phát tri n c a dãy Fibonacci “m t ph n là t Pingala (200 BC), sau đó đư c k t h p v i Virahanka (kho ng 700 AD), Gopala (c.1135 AD) và Hemachandra (c.1150)”. Sau Fibonacci, còn có r t nhi u nhà Khoa h c nghiên c u v dãy Fibonacci như: Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), ... và r t nhi u tính ch t c a dãy đã đư c mang tên các nhà Khoa h c này. Hi n nay, tài li u b ng ti ng Vi t v dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ng d ng chưa có nhi u và còn t n m n. C n thi t ph i gi i thi u dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ng d ng m t cách đ y đ và h p nh t hơn. Vì v y, vi c tìm hi u sâu và gi i thi u dãy Fibonacci, dãy Lucas và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 các ng d ng là r t c n thi t cho vi c h c t p, gi ng d y Toán h c và s hi u bi t c a con ngư i. B n lu n văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ng d ng” đư c ti n hành vào cu i năm 2011 ch y u d a trên các tài li u tham kh o. 2. M c đích c a đ tài lu n văn H c t p và gi i thi u dãy Fibonacci, dãy Lucas cùng v i các tính ch t cơ b n, các tính ch t s h c cũng như các tính ch t liên h gi a chúng. Đ c bi t, giúp m i ngư i n m đư c nh ng ng d ng quan tr ng và s xu t hi n đa d ng c a dãy Fibonacci, dãy Lucas trong t nhiên. 3. B c c c a lu n văn B n lu n văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ng d ng” g m có: M đ u, ba chương n i dung, k t lu n và tài li u tham kh o. Chương 1. Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính ch t cơ b n. Trong chương này, trình bày đ nh nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas, s Fibonacci và s Lucas v i ch s âm, công th c t ng quát c a s Fibonacci và s Lucas. M t s h th c c a dãy Fibonacci, dãy Lucas và các h th c liên h gi a s Fibonacci và s Lucas. Khác v i nhi u tài li u tham kh o, b n lu n văn này gi i thi u cách ch ng minh đơn gi n các tính ch t v t ng h u h n c a dãy Fibonacci và dãy Lucas. Trong đó, s Fibonacci và s Lucas v i ch s âm, ch ng minh các tính ch t cơ b n c a dãy Lucas là s tìm tòi, suy nghĩ c a tác gi . Chương 2 . Các tính ch t s h c c a s Fibonacci và s Lucas. Trong chương này, trình bày m t s tính ch t s h c c a dãy Fi- bonacci, dãy Lucas và tính ch t s h c liên h gi a dãy Fibonacci và dãy Lucas. Chương 3 . Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong t nhiên và các ng d ng. Trong chương này, trình bày m i liên h c a dãy Fibonacci v i toán h c, s xu t hi n c a dãy Fibonacci, dãy Lucas trong t nhiên và m t s ng d ng quan tr ng c a dãy Fibonacci. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5 Lu n văn đư c hoàn thành v i s hư ng d n và ch b o t n tình c a TS. Nguy n Văn Ng c - Vi n Toán H c Hà N i. T đáy lòng mình, em xin đư c bày t lòng bi t ơn sâu s c đ i v i s quan tâm, đ ng viên và s ch b o hư ng d n c a th y. Em xin trân tr ng c m ơn các Th y Cô trong Trư ng Đ i H c Khoa H c - Đ i H c Thái Nguyên, phòng Đào T o Trư ng Đ i H c Khoa H c. Đ ng th i, tôi xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao H c Toán K4 Trư ng Đ i H c Khoa H c - Đ i H c Thái Nguyên đã đ ng viên, giúp đ tôi trong quá trình h c t p và làm lu n văn này. Tôi xin g i l i c m ơn t i S Giáo d c - Đào t o T nh Tuyên Quang, Ban Giám hi u, các đ ng nghi p Trư ng THPT Sơn Nam - Huy n Sơn Dương- T nh Tuyên Quang đã t o đi u ki n cho tôi v m i m t đ tham gia h c t p và hoàn thành khóa h c. Tuy nhiên, do s hi u bi t c a b n thân và khuôn kh c a lu n văn th c sĩ, nên ch c r ng trong quá trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót, tôi r t mong đư c s ch d y và đóng góp ý ki n c a các Th y Cô và đ c gi quan tâm t i lu n văn này. Thái Nguyên, ngày 08 tháng 9 năm 2012 Tác gi Vũ Nh t Cương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 Chương 1 Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính ch t cơ b n Các kí hi u Các s Fibonacci: Fn , n = 0, 1, 2, 3, 4, ... Các s Lucas: Ln , n = 0, 1, 2, 3, 4, ... T s vàng: ϕ. Ph n nguyên c a s a: a . 1.1. Đ nh nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas 1.1.1. Đ nh nghĩa dãy Fibonacci phương Tây, dãy Fibonacci đ u tiên xu t hi n trong cu n sách Liber Abaci (năm 1202) vi t b i Leonardo c a Pisa - đư c bi t đ n v i tên Fibonacci, m c dù dãy s này đã đư c mô t trư c đó trong toán h c n Đ . Fibonacci xem xét s phát tri n c a m t đàn th đư c lý tư ng hóa, gi đ nh r ng: Đ m t c p th m i sinh, m t đ c, m t cái trong m t cánh đ ng, đ n m t tháng tu i th có th giao ph i và t i hai tháng tu i, m t th cái có th sinh ra thêm m t c p th khác, các con th này không bao gi ch t và vi c giao ph i m t c p luôn t o ra m t c p m i (m t đ c, m t cái) m i tháng t tháng th hai tr đi. Câu đ mà Fibonacci đ t ra là: Trong m t năm có bao nhiêu c p th ? • Vào cu i tháng đ u tiên, chúng giao ph i, nhưng v n ch có 1 c p. • Vào cu i tháng th hai, th cái t o ra m t c p m i, vì v y bây gi có 1 + 1 = 2 (c p) th trong cánh đ ng. • Vào cu i tháng th ba, th cái ban đ u l i t o ra m t c p th n a, bi n s lư ng th trong cánh đ ng lúc này là 2 + 1 = 3 (c p). • Và vào cu i tháng th tư, th cái ban đ u đã sinh thêm m t c p m i, th cái sinh ra cách đây hai tháng cũng cho ra m t c p đ u tiên, t ng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 s lúc này là 3 + 2 = 5 (c p). Vào cu i tháng th n, s lư ng các c p th b ng s lư ng các c p m i (b ng s lư ng các c p trong tháng (n − 2)) c ng v i s c p trong tháng (n − 1). Đây là s Fibonacci th n. Theo t ng th h , s lư ng c p th là m t dãy các con s sau này đư c bi t v i tên s Fibonacci. Tên g i “dãy Fibonacci” l n đ u tiên đư c s d ng vào th k 19 b i nhà toán h c Édouard Lucas. Đ nh nghĩa 1.1.1. Dãy {Fn } các con s Fibonacci đư c đ nh nghĩa b i h th c truy h i sau: Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2, (1.1) v i các giá tr ban đ u F0 = 0, F1 = 1. Theo đ nh nghĩa, ta có dãy Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 1.1.2. Đ nh nghĩa dãy Lucas Dãy Lucas là m t dãy s đư c đ t tên nh m vinh danh nhà toán h c Fran¸ois Édouard Anatole Lucas (1842–1891), ngư i đã nghiên c u dãy c Fibonacci và dãy thu c h Fibonacci mà m i s trong dãy b ng t ng c a hai s li n trư c nó. Đ nh nghĩa 1.1.2. Dãy {Ln } các con s Lucas đư c đ nh nghĩa b i h th c truy h i sau: Ln = Ln−1 + Ln−2 , n ≥ 2, (1.2) v i các giá tr ban đ u L0 = 2, L1 = 1. Theo đ nh nghĩa, ta có dãy Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, ... 1.2. S Fibonacci và s Lucas v i ch s âm 1.2.1. S Fibonacci v i ch s âm T công th c truy h i (1.1), ta có công th c Fn−2 = Fn − Fn−1 đ m r ng các s Fibonacci v i ch s âm. Ta có F−1 = F1−2 = F1 − F0 = 1 − 0 = 1, F−2 = F0−2 = F0 − F−1 = 0 − 1 = −1, F−3 = F−1 − F−2 = 1 − (−1) = 2, F−4 = F−2 − F−3 = −1 − 2 = −3, F−5 = F−3 − F−4 = 2 − (−3) = 5, F−6 = F−4 − F−5 = −3 − 5 = −8, F−7 = F−5 − F−6 = 5 − (−8) = 13, ... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 B ng phương pháp quy n p, ta có F−n = (−1)n+1 Fn . Th t v y, v i n = 1 ta có F−1 = 1 = (−1)1+1 F1 . Gi s , đ ng th c đúng v i n > 1, ta ch ng minh đ ng th c đúng v i n + 1. Th t v y, theo gi thi t quy n p và (1.1), ta có F−(n+1) = F−(n−1) − F−n = (−1)n Fn−1 − (−1)n+1 Fn = (−1)n+2 Fn + (−1)n+2 F(n−1) = (−1)n+2 (Fn + F(n−1) ) = (−1)n+2 Fn+1 . T đó, suy ra B đ 1.2.1. F−n = (−1)n+1 Fn . (1.3) 1.2.2. S Lucas v i ch s âm T công th c truy h i (1.2), ta có Ln−2 = Ln − Ln−1 đ m r ng các s Lucas v i ch s âm. Ta có L−1 = L1−2 = L1 − L0 = 1 − 2 = −1, L−2 = L0−2 = L0 − L−1 = 2 + 1 = 3, L−3 = L−1 − L−2 = −1 − 3 = −4, L−4 = L−2 − L−3 = 3 + 4 = 7, L−5 = L−3 − L−4 = −4 − 7 = −11, L−6 = L−4 − L−5 = 7 + 11 = 18, L−7 = L−5 − L−6 = −11 − 18 = −29, ... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 B ng phương pháp quy n p, ta có L−n = (−1)n Ln . Th t v y, v i n = 1 ta có L−1 = −1 = (−1)1 L1 . Gi s , đ ng th c đúng v i n > 1, ta ch ng minh đ ng th c đúng v i n + 1. Th t v y, theo gi thi t quy n p và (1.2), ta có L−(n+1) = L−(n−1) − L−n = (−1)n−1 Ln−1 − (−1)n Ln = (−1)n+1 Ln + (−1)n+1 L(n−1) = (−1)n+1 (Ln + L(n−1) ) = (−1)n+1 Ln+1 . T đó, suy ra B đ 1.2.2. L−n = (−1)n Ln . (1.4) 1.3. Công th c t ng quát c a s Fibonacci và s Lucas 1.3.1. T s vàng T s vàng ϕ ( phi ) đư c đ nh nghĩa là t s khi chia đo n th ng thành hai ph n (a và b) sao cho t s gi a c hai đo n (a + b) v i đo n l n hơn (a) b ng t s gi a đo n l n (a) và đo n nh (b). a+b a ϕ= = . a b Ta quy đ dài đo n th ng a + b v đơn v 1 và g i đ dài đo n l n là x (x > 0), l p t s ta đư c phương trình 1 x = , x 1−x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 hay x2 + x − 1 = 0. Gi i phương trình, ta đư c nghi m dương √ −1 + 5 x= . 2 Do đó, ta có √ 1 1+ 5 ϕ= = ≈ 1.6180339887... (1.5) x 2 T s vàng ϕ còn đư c g i là t l vàng, hay t l Th n Thánh và nó có m i liên h m t thi t v i dãy Fibonacci, dãy Lucas. 1.3.2. Công th c t ng quát c a s Fibonacci và s Lucas C các s Fibonacci và Lucas đ u có công th c an+2 := an + an+1 , n > 0. (1.6) Có đư c các s Fibonacci b ng cách thi t l p a0 = 0, a1 = 1 và các s Lucas v i a0 = 2, a1 = 1. T công th c (1.6), ta có n an+1 1 1 an an+1 1 1 a1 = ⇒ = . an 1 0 an−1 an 1 0 a0 Ta xét 1 1 A := , 1 0 χA (λ) = λ2 − λ − 1. ⇒ A có các giá tr riêng √ 1+ 5 λ1 = = ϕ, (1.7) 2√ 1− 5 λ2 = = 1 − ϕ = −ϕ−1 . (1.8) 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 T đó, ta có công th c 1 ϕ −ϕ−1 ϕ 0 1 ϕ−1 A= √ . 5 1 1 1 −ϕ−1 −1 ϕ K t h p v i phương trình trên, ta đư c công th c an+1 1 ϕ −ϕ−1 ϕ−1 a0 + a1 ϕn =√ . an 5 1 1 (ϕa0 − a1 )(−ϕ−1 )n 1 n ⇒ an = √ ϕ−1 a0 + a1 ϕn + (ϕa0 − a1 )(−ϕ−1 ) , n ≥ 0. 5 Đ i v i nh ng con s Fibonacci v i a0 = 0, a1 = 1, ta đư c công th c sau B đ 1.3.1. (Binet,1843). 1 n Fn := √ ϕn − (−ϕ−1 ) . (1.9) 5 Chú ý 1.3.1. ϕn 1 Fn = √ + . 5 2 Fn+1 Fn+1 = ϕFn + (−ϕ−1 )n , −ϕ−1 < 1 ⇒ lim = ϕ. n→∞ Fn Đ i v i nh ng con s Lucas v i a0 = 2, a1 = 1, ta đư c công th c sau B đ 1.3.2. Ln := ϕn + (−ϕ−1 )n . (1.10) Chú ý 1.3.2. √ 5−1 ϕ−1 = ϕ − 1 = < 0, 62. 2 1.4. M t s h th c c a dãy Fibonacci và dãy Lucas 1.4.1. Các h th c v t ng h u h n Tính ch t 1.4.1. n Fi = Fn+2 − 1. (1.11) i=0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 Ch ng minh. Ta có F 0 = F2 − F1 , F 1 = F3 − F2 , F 2 = F4 − F3 , F 3 = F5 − F4 , ..., Fn−1 = Fn+1 − Fn , Fn = Fn+2 − Fn+1 . C ng các đ ng th c trên theo t ng v , ta đư c F0 + F1 + F2 + F3 + ... + Fn = Fn+2 − F1 , hay n Fi = Fn+2 − 1. i=0 Tính ch t 1.4.2. n Li = Ln+2 − 1. (1.12) i=0 Ch ng minh. Ta có L0 = L2 − L1 , L1 = L3 − L2 , L2 = L4 − L3 , L3 = L5 − L4 , ..., Ln−1 = Ln+1 − Ln , Ln = Ln+2 − Ln+1 . C ng các đ ng th c trên theo t ng v , ta đư c L0 + L1 + L2 + L3 + ... + Ln = Ln+2 − L1 , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 hay n Li = Ln+2 − 1. i=0 Tính ch t 1.4.3. i) T ng các s Fibonacci v i ch s l n−1 F2i+1 = F2n . (1.13) i=0 ii) T ng các s Fibonacci v i ch s ch n n F2i = F2n+1 − 1. (1.14) i=0 Ch ng minh. i) Ta có F1 = F2 , F3 = F4 − F2 , F5 = F6 − F4 , ..., F2n−3 = F2n−2 − F2n−4 , F2n−1 = F2n − F2n−2 . C ng các đ ng th c trên theo t ng v , ta đư c n−1 F2i+1 = F2n . i=0 ii) T (1.11), ta có đ ng th c 2n Fi = F2n+2 − 1. (1.15) i=0 L y đ ng th c (1.15) tr đi đ ng th c (1.13) v v i v , ta đư c n F2i = F2n+2 − 1 − F2n . i=0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 Theo (1.1), ta đư c n F2i = F2n+1 − 1. i=0 H qu 1.4.1. F1 − F2 + F3 − F4 + ... + (−1)n+1 Fn = (−1)n+1 Fn−1 + 1. (1.16) Tính ch t 1.4.4. i) T ng các s Lucas v i ch s l n−1 L2i+1 = L2n − 2. (1.17) i=0 ii) T ng các s Lucas v i ch s ch n n L2i = L2n+1 + 1. (1.18) i=0 Ch ng minh. i) Ta có L1 = L2 − L0 , L3 = L4 − L2 , L5 = L6 − L4 , ..., L2n−3 = L2n−2 − L2n−4 , L2n−1 = L2n − L2n−2 . C ng các đ ng th c trên theo t ng v , ta đư c n−1 L2i+1 = L2n − L0 , i=0 hay n−1 L2i+1 = L2n − 2. i=0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 ii) T (1.12), ta có đ ng th c 2n Li = L2n+2 − 1. (1.19) i=0 L y đ ng th c (1.19) tr đi đ ng th c (1.17) v v i v , ta đư c n−1 L2i = L2n+2 − 1 − (L2n − 2) , i=0 Theo (1.2), ta đư c n L2i = L2n+1 + 1. i=0 H qu 1.4.2. L0 − L1 + L2 − L3 + ... + (−1)n Ln = (−1)n Ln−1 + 3. (1.20) Tính ch t 1.4.5. n iFi = nFn+2 − Fn+3 + 2. (1.21) i=0 Ch ng minh. Ta có F0 + F1 + F2 + F3 + ... + Fn−1 + Fn = Fn+2 − 1, F0 + F1 + F2 + F3 + ... + Fn−1 = Fn+1 − 1, ..., F0 + F1 + F2 = F4 − 1, F0 + F1 = F3 − 1, F0 = F2 − 1. C ng theo v các đ ng th c trên, ta đư c (n + 1)F0 +nF1 +(n − 1)F2 +...+2Fn−1 +Fn = F2 +F3 +...+Fn+2 −(n + 1), hay (n + 1)F0 +nF1 +(n − 1)F2 +...+2Fn−1 +Fn = F0 +F1 +...+Fn+2 −(n + 2). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 Theo (1.11) và (1.1), ta đư c (n + 1)F0 + nF1 + (n − 1)F2 + ... + 2Fn−1 + Fn = Fn+4 − (n + 3), hay (n + 1)F0 + nF1 + (n − 1)F2 + ... + 2Fn−1 + Fn = Fn+2 + Fn+3 − (n + 3). M t khác, ta có (n + 1)F0 +(n + 1)F1 +(n + 1)F2 +...+(n + 1)Fn = (n + 1)Fn+2 −(n + 1). T đó, suy ra n iFi = (n + 1)Fn+2 − (n + 1) − (F2n+2 + Fn+3 − (n + 3)), i=0 hay n iFi = nFn+2 − Fn+3 + 2. i=0 Tính ch t 1.4.6. n iLi = nLn+2 − Ln+3 + 4. (1.22) i=0 Ch ng minh. Ta có L0 + L1 + L2 + L3 + ... + Ln−1 + Ln = Ln+2 − 1, L0 + L1 + L2 + L3 + ... + Ln−1 = Ln+1 − 1, ..., L0 + L1 + L2 = L4 − 1, L0 + L1 = L3 − 1, L0 = L2 − 1. C ng theo v các đ ng th c trên, ta đư c (n + 1)L0 +nL1 +(n − 1)L2 +...+2Ln−1 +Ln = L2 +L3 +...+Ln+2 −(n + 1), Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18 hay (n + 1)L0 +nL1 +(n − 1)L2 +...+2Ln−1 +Ln = L0 +L1 +...+Ln+2 −(n + 4). Theo (1.12) và (1.2), ta đư c (n + 1)L0 + nL1 + (n − 1)L2 + ... + 2Ln−1 + Ln = Ln+4 − (n + 5), hay (n + 1)L0 + nL1 + (n − 1)L2 + ... + 2Ln−1 + Ln = Ln+2 + Ln+3 − (n + 5). M t khác, ta có (n + 1)L0 +(n + 1)L1 +(n + 1)L2 +...+(n + 1)Ln = (n + 1)Ln+2 −(n + 1). T đó, suy ra n iLi = (n + 1)Ln+2 − (n + 1) − (Ln+2 + Ln+3 − (n + 5)), i=0 hay n iLi = nL2n+2 − Ln+3 + 4. i=0 Tính ch t 1.4.7. n Fi2 = Fn Fn+1 . (1.23) i=0 Ch ng minh. T (1.1), ta có Fi = Fi+1 − Fi−1 . Suy ra Fi2 = Fi (Fi+1 − Fi−1 ) = Fi Fi+1 − Fi−1 Fi . Do đó, ta có 2 F 1 = F1 F2 , 2 F 2 = F2 F3 − F1 F 2 , 2 F 3 = F3 F4 − F2 F 3 , ..., 2 Fn−1 = Fn−1 Fn − Fn−2 Fn−1 , 2 Fn = Fn Fn+1 − Fn−1 Fn . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn