Luận văn Thạc sĩ toán học: Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình lượng giác

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

255
lượt xem 81
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lượng giác là chuyên đề quan trọng trong chương trình toán phổ thông . Các bài toán lượng giác thương xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh và đại học, cao đẳng. Việc giảng dạy lượng giác đã được đưa vào chương trình từ lớp 10 bậc tring học phổ thông, trong đó ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ toán học: Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình lượng giác

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C ------------------ L i Th Quỳnh Nguyên M TS PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC LU N VĂN TH C S TOÁN H C Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60.46.40 Ngư i hư ng d n khoa h c GS.TSKH. NGUY N VĂN M U THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
M cl c M đ u 2 1 M t s h th c lư ng giác cơ b n 4 1.1 M t s tính ch t c a hàm lư ng giác cơ b n . . . . . . . . . . 4 1.2 Đ ng th c lư ng giác và đ ng nh t th c đ i s . . . . . . . . 6 1.3 M t s tính ch t c a đa th c lư ng giác . . . . . . . . . . . . 12 2 M t s phương pháp gi i phương trình và b t phương trình lư ng giác 20 2.1 Phương trình lư ng giác đưa v d ng phương trình đ i s . . 20 2.2 Phương trình lư ng giác gi i b ng so sánh và ư c lư ng . . . 29 2.3 B t phương trình lư ng giác cơ b n . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Các b t phương trình lư ng giác h u t . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Các b t phương trình lư ng giác có ch a tham s . . . . . . 35 3 M ts ng d ng c a lư ng giác trong đ i s 39 3.1 S d ng lư ng giác đ ch ng minh đ ng th c . . . . . . . . . 39 3.2 S d ng lư ng giác đ ch ng minh b t đ ng th c . . . . . . . 42 3.3 S d ng lư ng giác đ gi i phương trình, b t phương trình và h phương trình đ i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4 S d ng lư ng giác trong bài toán c c tr . . . . . . . . . . . 65 3.5 S d ng lư ng giác trong các bài toán v dãy s . . . . . . . 71 K t lu n 78 Tài li u tham kh o 79 1 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
M đ u Lư ng giác là chuyên đ quan tr ng trong chương trình toán ph thông. Các bài toán lư ng giác thư ng xuyên xu t hi n trong các đ thi tuy n sinh vào Đ i h c, Cao đ ng. Vi c gi ng d y lư ng giác đã đư c đưa vào chương trình t l p 10 b c trung h c ph thông, trong đó ph n ki n th c v phương trình, b t phương trình lư ng giác chi m vai trò tr ng tâm. Tuy nhiên, do th i gian h n h p c a chương trình ph thông, không nêu đư c đ y đ chi ti t t t c các d ng bài toán v phương trình, b t phương trình lư ng giác. Vì v y h c sinh thư ng g p nhi u khó khăn khi gi i các bài toán nâng cao v phương trình, b t phương trình lư ng giác trong các đ thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng. M c dù đã có nhi u tài li u tham kh o v lư ng giác v i các n i dung khác nhau, nhưng chưa có chuyên đ riêng kh o sát v phương trình và b t phương trình m t cách h th ng. Đ c bi t, nhi u d ng toán v đ i s và lư ng giác có quan h ch t ch , khăng khít v i nhau, không th tách r i đư c. Nhi u bài toán lư ng giác c n có s tr giúp c a đ i s , gi i tích và ngư c l i, ta có th dùng lư ng giác đ gi i m t s bài toán v phương trình, b t phương trình và h phương trình trong đ i s thông qua cách đ t n ph là nh ng hàm lư ng giác. Do đó, đ đáp ng nhu c u v gi ng d y, h c t p và góp ph n nh bé vào s nghi p giáo d c, lu n văn "M t s phương pháp gi i phương trình và b t phương trình lư ng giác" nh m h th ng các ki n th c cơ b n c a lư ng giác v phương trình, b t phương trình lư ng giác k t h p v i ki n th c đ i s , gi i tích đ t ng h p, ch n l c và phân lo i các phương pháp gi i phương trình, b t phương trình lư ng giác và xây d ng m t s l p bài toán m i. Lu n văn đư c chia làm 3 chương. Chương 1. M t s h th c lư ng giác cơ b n - Nh c l i m t s tính ch t c a hàm s lư ng giác cơ b n: tính ch t tu n 2 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
hoàn, ph n tu n hoàn. - Nêu m t s đ ng th c lư ng giác và đ ng nh t th c đ i s tương ng. - Nêu đ nh nghĩa và m t s tính ch t c a đa th c lư ng giác. Chương 2. M t s phương pháp gi i phương trình và b t phương trình lư ng giác - Phân lo i phương pháp gi i m t s d ng phương trình và b t phương trình lư ng giác. - Nh ng ví d minh h a cho t ng phương pháp. - M t s bài t p ng d ng. Chương 3. M t s ng d ng c a lư ng giác trong đ i s - Trình bày ng d ng c a lư ng giác trong m t s d ng toán đ i s . - Nêu các ví d minh h a đ i v i t ng d ng toán. - M t s bài t p ng d ng. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c đ i v i Giáo sư - TSKH Nguy n Văn M u, ngư i th y đã tr c ti p hư ng d n, cung c p tài li u và truy n đ t nh ng kinh nghi m nghiên c u cho tôi. Tôi xin chân thành c m ơn các th y, cô giáo trong khoa Toán - Tin, Phòng Đào t o trư ng Đ i h c Khoa h c - Đ i h c Thái Nguyên, trư ng Ph thông Vùng cao Vi t B c và b n bè đ ng nghi p đã giúp đ , t o đi u ki n cho tôi hoàn thành b n lu n văn này. Thái Nguyên 2011 L i Th Quỳnh Nguyên 3 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chương 1 M t s h th c lư ng giác cơ b n 1.1 M t s tính ch t c a hàm lư ng giác cơ b n 1.1.1. Tính tu n hoàn, ph n tu n hoàn Xét hàm s f (x) v i t p xác đ nh D(f ) ⊂ R, t p giá tr R(f ) ⊂ R. Đ nh nghĩa 1.1 (xem [1]). Hàm s f (x) đư c g i là hàm tu n hoàn (c ng tính) chu kỳ T (T > 0) trên M n u M ⊂ D(f ) và ∀x ∈ M ⇒ x ± T ∈ M f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ M Đ nh nghĩa 1.2 (xem [1]). Cho f (x) là hàm tu n hoàn trên M . Khi đó s T (T > 0) đư c g i là chu kỳ cơ s c a f (x) n u f (x) tu n hoàn v i chu kỳ T mà không là hàm tu n hoàn v i b t c chu kỳ nào bé hơn T . Đ nh nghĩa 1.3 (xem [1]). Hàm s f (x) đư c g i là hàm ph n tu n hoàn (c ng tính) chu kỳ T (T > 0) trên M n u M ⊂ D(f ) và ∀x ∈ M ⇒ x ± T ∈ M f (x + T ) = −f (x), ∀x ∈ M Đ nh nghĩa 1.4 (xem [1]). Cho f (x) là hàm ph n tu n hoàn trên M . Khi đó s T (T > 0) đư c g i là chu kỳ cơ s c a f (x) n u f (x) là hàm ph n tu n hoàn v i chu kỳ T mà không là hàm ph n tu n hoàn v i b t c chu kỳ nào bé hơn T trên M . Ví d 1.1. Ch ng minh r ng 2π là chu kỳ cơ s c a hàm s f (x) = cos x. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Gi i. T p xác đ nh c a hàm s f (x) là D(f ) = R. Khi đó ∀x ∈ R ⇒ x ± 2π ∈ R. và f (x + 2π) = cos(x + 2π) = cos x = f (x). Suy ra f (x) là hàm tu n hoàn v i chu kỳ 2π trên R. Gi s t n t i 0 < T1 < 2π sao cho f (x + T1 ) = f (x) ⇔ cos(x + T1 ) = cos x Ch n x = 0 thì ta có cos T1 = cos 0 = 1. (Mâu thu n v i gi thi t 0 < T1 < 2π). V y, 2π là chu kỳ cơ s c a hàm s f (x) = cos x. Ví d 1.2 (IMO - 1968). Cho s th c a và hàm s f : R → R th a mãn đi u ki n 1 f (x + a) = + f (x) − (f (x))2 , ∀x ∈ R. (1.1) 2 Ch ng minh r ng f là hàm s tu n hoàn. Gi i. Gi s t n t i hàm s f (x) th a mãn yêu c u bài ra. Đ (1.1) có 1 nghĩa, ta ph i có ≤ f (x) ≤ 1, ∀x ∈ R. 2 1 1 Đ t g(x) := f (x) − , ta có 0 ≤ g(x) ≤ và khi đó (1.1) tr thành 2 2 1 g(x + a) = − (g(x))2 . 4 1 Như v y, ta có [g(x + a)]2 = − [g(x)]2 . L p lu n tương t ta đư c 4 1 [g(x + 2a)]2 = − [g(x + a)]2 . 4 Vì g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R, nên t đây ta có: g(x + 2a) = g(x), t c là ta có f (x + 2a) = f (x). V y, f (x) là hàm tu n hoàn trên R v i chu kỳ 2a. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.1.2. Hàm tu n hoàn nhân tính Đ nh nghĩa 1.5 (xem [1]). Hàm f (x) đư c g i là hàm tu n hoàn nhân tính chu kỳ a, 0 < a ∈ {0, 1} trên M n u M ⊂ D(f ) và / ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M. Ví d 1.3. Xét f (x) = sin (2π log2 x) . Khi đó f (x) là hàm tu n hoàn nhân tính chu kỳ 2 trên R+ . Th t v y, ta có: V i m i x ∈ R+ thì 2±1 x ∈ R+ và f (2x) = sin [2π log2 (2x)] = sin [2π (1 + log2 x)] = sin (2π + 2π log2 x) = sin (2π log2 x) = f (x), ∀x ∈ R+ . Ví d 1.4. Cho ví d v hàm s liên t c và tu n hoàn nhân tính chu kỳ 5 f (5x) = f (x), ∀x > 0. Gi i. Ta có ∀x ∈ R∗ ⇒ 5±1 x ∈ R∗ và + + log5 (5x) = 1 + log5 x ⇔ π log5 (5x) = π + π log5 x. Đ t f (x) = tan [π log5 x] , ∀x > 0, suy ra f (5x) = tan [π log5 (5x)] = tan [π + π log5 x] = tan [π log5 x] = f (x). V y, hàm s f (x) = tan (π log5 x) là m t hàm s tu n hoàn nhân tính chu kỳ 5 trên R∗ . + 1.2 Đ ng th c lư ng giác và đ ng nh t th c đ i s Ta th y r ng đ ng th c lư ng giác cơ b n đ d n đ n s phong phú c a h th ng các đ ng nh t th c lư ng giác là công th c sin2 t + cos2 t = 1, ∀t ∈ R. (1.2) 6 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
G n v i h th c (1.2) là đ ng nh t th c Lagrange (2x)2 + (1 − x2 )2 = (1 + x2 )2 , ∀x ∈ R. (1.3) Hai đ ng nh t th c (1.2) và (1.3) là hai cách vi t c a cùng m t h th c. Như v y là v i m i công th c lư ng giác s có m t đ ng nh t th c tương ng. 1.2.1. Đ ng nh t th c đ i s liên quan đ n hàm s cosin Ta có công th c Euler eiα = cos α + i sin α, α ∈ R. Khi đó iα −iα  cos α = e + e  2 sin α =  eiα − e−iα 2i α −α e +e T đó suy ra cos(iα) = · 2 1 1 Như v y hàm s cos t là bi u th c có d ng a+ , cho nên, v m t hình 2 a th c ta s có nhi u bi n đ i thu đư c t các công th c liên quan đ n bi n x ∈ [−1; 1] gi ng như công th c đ i v i hàm s cos t. / Ví d 1.5. Đ ng nh t th c đ i s ng v i công th c cos 2t = 2 cos2 t − 1 chính là công th c 2 1 1 1 1 a2 + 2 =2 a+ − 1. 2 a 2 a Ví d 1.6. Đ ng nh t th c đ i s ng v i công th c cos 3t = 4 cos3 t − 3 cos t chính là công th c 3 1 1 1 1 1 1 a3 + 3 =4 a+ −3 a+ · 2 a 2 a 2 a 7 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
hay 1 1 4x3 − 3x = a3 + 3 . 2 a v i 1 1 x= a+ , a = 0. 2 a Ví d 1.7. Đ ng nh t th c đ i s ng v i công th c cos 5t + cos t = 2 cos 3t cos 2t chính là công th c 1 1 1 1 1 1 1 1 a5 + 5 + a+ =2 a3 + 3 a2 + 2 . 2 a 2 a 2 a 2 a T đó s d ng k t qu khai tri n các hàm lư ng giác cos 3t và cos 2t ta thu đư c đ ng nh t th c đ i s sau 1 1 a5 + 5 = −m + 2(4m3 − 3m)(2m2 − 1), 2 a trong đó 1 1 m= a+ . 2 a Ví d 1.8. Cho s th c m v i |m| > 1. Tính giá tr c a bi u th c M = 8x3 − 6x, trong đó 1 3 3 x= m+ m2 − 1 + m− m2 − 1 . 2 Gi i. Vì |m| > 1 nên t n t i s th c q đ có h th c 1 3 1 m= q + 3 . 2 q Ch n 3 q= m+ m2 − 1 thì ta đư c 1 1 1 3 3 q+ = m+ m2 − 1 + m− m2 − 1 = x. 2 q 2 Theo ví d 1.6 thì 4x3 − 3x = m nên M = 2m. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.2.2. Đ ng nh t th c đ i s liên quan đ n hàm s sin T công th c Euler ta thu đư c h th c eit + e−it i sin t = · 2 Suy ra bi u th c i sin(it) nh n giá tr th c. Đi u này g i ý cho ta cách chuy n đ i các đ ng nh t th c đ i v i hàm s sin sang các đ ng nh t th c đ i s . Ví d 1.9. Xét công th c khai tri n sin 3t = 3 sin t − 4 sin3 t. T đây ta thu đư c công th c i sin(3it) = 3(i sin it) + 4(i sin it)3 . H th c đ i s ng v i công th c trên là đ ng nh t th c 3 1 1 1 1 1 1 a3 − 3 =3 a− +4 a− , 2 a 2 a 2 a hay 1 1 4x3 + 3x = a3 − 3 , 2 a v i 1 1 x= a− , a = 0. 2 a Ví d 1.10. Xét công th c bi n đ i sin 5t + sin t = 2 sin 3t(1 − 2 sin2 t). (1.4) T đây ta thu đư c công th c i sin(5it) + i sin it = 2i sin(i3t)(1 + 2(i sin it)2 ). H th c đ i s ng v i công th c trên là đ ng nh t th c 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a5 − 5 + a− =2 a3 − 3 1+ a2 − 2 · 2 a 2 a 2 a 2 a 9 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
T đó s d ng k t qu khai tri n các hàm lư ng giác sin 3t và sin 2t ta thu đư c đ ng nh t th c đ i s sau 1 1 a5 − 5 = −m + 2 4m3 + 3m 2m2 + 1 , 2 a trong đó 1 1 m= a− · 2 a Ví d 1.11. Cho s th c m. Tính giá tr c a bi u th c 3 M = x3 + x, 4 trong đó 1 3 3 x= m+ m2 + 1 + m− m2 + 1 . 2 Gi i. Ta có v i m i m đ u t n t i s th c q đ có h th c 1 3 1 m= q − 3 · 2 q Ch n 3 q= m+ m2 + 1 thì ta đư c 1 1 1 3 3 q− = m+ m2 + 1 + m− m2 + 1 = x. 2 q 2 1 Theo ví d 1.9 thì 4x3 + 3x = m nên M = m. 4 T nh ng k t qu nh n đư c, ta có th gi i và bi n lu n đư c nhi u d ng phương trình đ i s b c cao và công th c tính giá tr c a m t s bi u th c ch a căn th c. Ví d 1.12. Gi i và bi n lu n phương trình 4x3 − 3x = m, m ∈ R. Gi i. 10 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
• V i |m| ≤ 1 : Đ t m = cos α (= cos(α±2π)). S d ng đ ng th c lư ng giác β β cos β = 4 cos3 − 3 cos , 3 3 ta thu đư c 3 nghi m c a phương trình là α α ± 2π x1 = cos , x2,3 = cos . 3 3 • V i |m| > 1 : Đ t 1 1 m= a3 + 3 , 2 a v i 3 a= m± m2 − 1. Ta vi t phương trình đã cho dư i d ng 1 1 4x3 − 3x = a3 + 3 , 2 a hay 4x3 − 3x = 4x3 − 3x0 , 0 trong đó 1 1 x0 = a+ . 2 a V y phương trình đã cho có nghi m x = x0 . D th y đây là nghi m duy nh t c a phương trình. Th t v y, phương trình đã cho có nghi m x0 v i x0 ∈ [−1, 1]. Do đó / |x0 | > 1. Khi đó, t h th c 4x3 − 3x = 4x3 − 3x0 0 ta thu đư c (x − x0 )[4x2 + 4xx0 + 4x2 − 3] = 0. 0 Ta th y phương trình 4x2 + 4xx0 + 4x2 − 3 = 0 có ∆ = 12 − 12x2 < 0 0 0 nên vô nghi m. Do v y phương trình đã cho có m t nghi m duy nh t là 1 3 3 x= m+ m2 − 1 + m− m2 − 1 . 2 11 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ví d 1.13. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n (n ≥ 2) và v i m i a ta có −(1 + a2 )n ≤ (2a)n + (1 − a2 )n ≤ (1 + a2 )n . (1.5) Gi i. Ta có (1.5) tương đương v i n n 2a 1 − a2 −1 ≤ + ≤1 1 + a2 1 + a2 α Đ t a = tan v i −π < α < π, ta có 2 2a 1 − a2 = sin α; = cos α. 1 + a2 1 + a2 Khi đó (1.5) có d ng −1 ≤ sinn cos α + cosn α ≤ 1. Th t v y ta có −1 ≤ sin α ≤ 1 ⇒ − sin2 α ≤ sinn α ≤ sin2 α, ∀n ≥ 2. Tương t ta cũng có −1 ≤ cos α ≤ 1 ⇒ − cos2 α ≤ cosn α ≤ cos2 α, ∀n ≥ 2. Do đó: −1 ≤ sinn cos α + cosn α ≤ 1. 1.3 M t s tính ch t c a đa th c lư ng giác Đ nh nghĩa 1.6 (xem[3]). Bi u th c n Ln (x) = a0 + (ak cos kx + bk sin kx), (1.6) k=1 trong đó a0 , ak , bk ∈ R (k = 1, n); a2 + b2 = 0; n ∈ N∗ , đư c g i là đa th c n n lư ng giác b c n (c p n) v i các h s a0 , ak , bk . 12 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Đ nh nghĩa 1.7 (xem[3]). N u trong (1.6) t t c các bk (k = 1, n) đ u b ng 0 thì ta có đa th c lư ng giác c p n thu n cos . Cn (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + · · · + an cos nx (an = 0). (1.7) N u trong (1.6) t t c các ak (k = 1, n) đ u b ng 0 thì ta có đa th c lư ng giác c p n thu n sin Sn (x) = b0 + b1 sin x + b2 sin 2x + · · · + bn sin nx (bn = 0). (1.8) ∗ Tính ch t 1.1 (xem[3]). Cho Sn (x) và Sm (x) là hai đa th c lư ng giác. Khi đó: ∗ a) Sn (x) + Sm (x) là đa th c b c k v i k max{n, m}. ∗ a) Sn (x).Sm (x) là đa th c lư ng giác b c n + m. Tính ch t 1.2 (xem[3]). Đa th c lư ng giác Ln (x) v i a0 = 0 luôn có ít nh t m t nghi m. Tính ch t 1.3 (xem[3]). V i m i đa th c lư ng giác Ln (x) luôn t n t i các đa th c đ i s Pn (t) và Qn−1 (t) sao cho Ln (x) = Pn (cos x) + sin xQn−1 (cos x). Tính ch t 1.4 (xem[3]). V i m i đa th c lư ng giác Sn (x) luôn t n t i các đa th c đ i s Qn−1 (t) sao cho Ln (x) = b0 + sin xQn−1 (cos x). Tính ch t 1.5 (xem[3]). Cn (x) = Pn (cos x) trong đó Pn (t) là đa th c b c n đ i v i t, có h s chính là an = 2n−1 . Ngư c l i, v i m i đa th c Pn (t) v i h s chính b ng 1 qua phép đ t n ph t = cos x đ u bi n đ i v Cn (x) v i an = 21−n . Các tính ch t trên là hi n nhiên. Bài toán 1.1. Cho k, n ∈ Z+ và r là s th c dương. Tính n−1 1. Cn (x) = rk cos kx. k=0 13 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
n−1 2. Sn (x) = rk sin kx. k=0 Gi i. Đ t z = r(cos x + i sin x). Ta có s ph c n−1 n−1 k k 1 − zn Cn + Sn i = 1 + r (cos kx + i sin kx) = z = 1−z k=1 k=0 ...... rn+1 cos(n − 1)x − rn cos nx − r cos x + 1 = + r2 − 2r cos x + 1 rn+1 sin(n − 1)x − rn sin nx − r sin x + 1 +i · r2 − 2r cos x + 1 T đó suy ra: rn+1 cos(n − 1)x − rn cos nx − r cos x + 1 1. Cn = · r2 − 2r cos x + 1 rn+1 sin(n − 1)x − rn sin nx − r sin x + 1 2. Sn = · r2 − 2r cos x + 1 Bài toán 1.2. Ch ng minh r ng (n + 1)x nx n sin sin(α + ) 1. sin(α + kx) = 2 2 · α k=0 sin 2 (n + 1)x nx n sin cos(α + ) 2. cos(α + kx) = 2 2 · α k=0 sin 2 Gi i. Cách gi i tương t như đ i v i Bài toán 1.1. Ví d 1.14. Cho α th a mãn nα = 2π v i n > k; n, k ∈ Z và k f (x) = a0 + (aj cos jx + bj sin jx). (1.9) j=1 Ch ng minh r ng f (x + α) + f (x + 2α) + · · · + f (x + nα) = na0 . (1.10) 14 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Gi i. N u f (x) = a0 thì hi n nhiên (1.10) đúng. B đ 1.1. N u (1.10) đúng v i các hàm s f1 (x) và f2 (x) (f1 (x) và f2 (x) có d ng (1.9)) thì (1.10) cũng đúng v i các hàm s f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) (f (x) cũng có d ng (1.9)). Ch ng minh: Ta có n n f (x + iα) = [c1 f1 (x + iα) + c2 f2 (x + iα)] i=1 i=1 n n = c1 f1 (x + iα) + c2 f2 (x + iα). i=1 i=1 T đó suy ra đi u ph i ch ng minh. B đ 1.2. V i a là góc tùy ý, β là góc không chia h t cho 2π nhưng nβ chia h t cho 2π thì n n cos(a + kβ) = 0; sin(a + kβ) = 0. k=1 k=1 Ch ng minh. V n d ng bài toán 1.2. Tr l i ví d đang xét: Do b đ 1.1 nên ta ch c n ch ng minh (1.10) cho các hàm s d ng f (x) = cos mx và f (x) = sin mx. Nh n xét r ng v i 0 < m < n, nα = 2π, mx = a, β = mα thì β không chia h t cho 2π nhưng nβ chia h t cho 2π nên theo bài toán 1.2 ta đư c (1.10) đúng v i các hàm s nói trên. T đó ta đư c đi u ph i ch ng minh. Ví d 1.15. Cho Cn (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + · · · + an cos nx (an = 0). Ch ng minh r ng π 2π 3π (2n − 1)π Cn (0)−Cn +Cn −Cn +· · ·−Cn = 2nan . (1.11) n n n n 15 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Gi i. π π π Do cos n.k = cos kπ = (−1)k nên Cn k = Cn−1 k + an (−1)k . n n n Áp d ng ví d 1.13 cho hàm Cn−1 (x) ta đư c n−1 n−1 2kπ 2π Cn−1 = Cn−1 0 + k = (n − 1)a0 , n n k=0 k=0 n−1 n−1 (2k + 1)π π 2π Cn−1 = Cn−1 +k = (n − 1)a0 . n n n k=0 k=0 Do đó π 2π 3π (2n − 1)π Cn (0) − Cn + Cn − Cn + · · · − Cn n n n n = (n − 1)a0 − (n − 1)a0 + an [1 − (−1) + 1 − (−1) + · · · + 1 − (−1)] = 2nan . Suy ra đi u ph i ch ng minh. T k t qu c a ví d này ta đư c: H qu 1.1. π 2π (2n − 1)π |Cn (0)| + Cn ( ) + Cn ( ) + · · · + Cn ( ) 2n |an | . n n n π T đó d th y t n t i k đ Cn (k ) |an | . n H qu 1.2. Đ l ch so v i 0 c a đa th c lư ng giác Cn (x) không nh hơn |an | . H qu 1.3. Đ l ch so v i 0 c a đa th c quy chu n Pn (x) trên đo n [−1; 1] không nh hơn 21−n . H qu 1.4. Đa th c quy chu n có đ l ch nh nh t trên đo n [−1; 1] có d ng Pn (cos α) = 21−n cos nα 16 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
hay là Pn (x) = 21−n cos(n arccos x) và đ l ch nh nh t đó là 21−n . Ví d 1.16. Cho f (x) = b0 + b1 sin x + b2 sin 2x + · · · + bn sin nx, (bn = 0) th a mãn |f (x)| |sin x| , ∀x ∈ R. Ch ng minh r ng |b1 + 2b2 + 3b3 + · · · + nbn | 1. (1.12) Gi i. Ta có f (x) − f (0) |b1 + 2b2 + 3b3 + · · · + nbn | = |f (0)| = lim x→0 x f (x) − f (0) f (x) sin x f (x) lim = lim . = lim 1. x→0 x x→0 sin x x x→0 sin x Ví d 1.17. Cho trư c các s th c a, b, A, B . Xét đa th c lư ng giác f (x) = 1 − a cos x − b sin x − A cos 2x − B sin 2x. Ch ng minh r ng N u f (x) 0, ∀x ∈ R thì a2 + b2 2 và A2 + B 2 1. Gi i. Đ t r2 = a2 + b2 ; R2 = A2 + B 2 . Khi đó v i α, β ch n thích h p, ta có a = r cos α, b = r sin α, a cos x + b sin x = r cos(x − α). A = 2R cos 2β, B = 2R sin 2β, A cos 2x + B sin 2x = R cos 2(x − β). Suy ra f (x) = 1 − r cos(x − α) − R cos 2(x − β). π π Đ t P = f (α + ), Q = f (α − ). Ta có 4 4 r π r π P = 1 − √ − R cos 2 α − β + , Q = 1 − √ − R cos 2 α − β − · 2 4 2 4 r π π N u r2 > 2 thì 1 − √ < 0. Hai góc 2(α − β + ) và 2(α − β − ) có 2 4 4 hi u b ng π nên các cosin c a chúng trái d u. B i v y, trong hai bi u th c 17 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
π π R cos 2(α − β + ) và R cos 2(α − β − ) có m t bi u th c không âm. 4 4 T đó suy ra trong hai s P và Q có m t s âm. V y ít nh t m t trong hai π π giá tr f (α+ ) và f (α− ) là s âm. Đó là đi u vô lý (do f (x) 0, ∀x ∈ R). 4 4 V y r2 < 2 ⇔ a2 + b2 2. Tương t có f (β) = 1 − r cos(β − α) − R cos 0 = 1 − r cos(β − α) − R, f (β + π) = 1 − r cos(β − α + π) − R. N u R > 1 ⇒ 1 − R < 0, và do hai góc β − α + π và β − α có hi u b ng π nên tương t trên ta đư c m t trong hai s f (β) và f (β + π) là s âm (vô lý). V y A2 + B 2 1. Nh n xét 1.1. Ví d trên là trư ng h p đ c bi t c a đ nh lý v đa th c lư ng giác nh n giá tr không âm. n N u f (x) = 1 + (ak cos kx + bk sin kx) 0, ∀x ∈ R thì k=1 a2 + b 2 i i 2, ∀i = 1, n − 1 còn a2 + b2 n n 1. Ví d 1.18. T n t i hay không đa th c Pn (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ∈ R[x] (1.13) và th a mãn |Pn (x)| 2, ∀x ∈ [−2, 2] . x Gi i. Xét Pn (x) = 2 cos(n arccos ) v i |x| 2. 2 Ta ch ng minh Pn (x) là đa th c có d ng (1.13). Th t v y: P0 (x) = 2, P1 (x) = x, P2 (x) = x2 − 2 đ u có d ng (1.13). Gi s Pn−1 (x), Pn (x) là các đa th c có d ng (1.13). Khi đó, do x x Pn+1 (x) = 2 cos (n + 1) arccos và Pn−1 (x) = 2 cos (n − 1) arccos , 2 2 nên x x x Pn+1 (x)+Pn−1 (x) = 4 cos n arccos cos arccos = 2Pn (x) = xPn (x). 2 2 2 18 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Suy ra Pn+1 (x) = xPn (x) − Pn−1 (x). V y, Pn+1 (x) cũng có d ng (1.13). Theo nguyên lý quy n p ta đư c: Pn (x) có d ng (1.13) v i m i n ∈ N. Ngoài ra, v i |x| 2 thì |Pn (x)| 2. V y t n t i đa th c th a mãn yêu x c u đ bài, đa th c đó cho b i công th c Pn (x) = 2 cos(n arccos ). 2 Ví d 1.19. Cho các đa th c Pn (x), n ∈ N∗ xác đ nh như sau P1 (x) = x2 − 2; Pk (x) = P1 (Pk−1 (x)), (k = 2, 3, . . . ). Ch ng minh r ng v i m i n ∈ N∗ , các nghi m c a phương trình Pn (x) = x (1.14) đ u th c và khác nhau. Gi i. Đ t x = 2 cos t, t ∈ [−π, π]. B ng phương pháp quy n p ta ch ng minh đư c: Pn (t) = 2 cos 2n t và Pn (t) là đa th c có b c là 2n . Do đó (1.14) tr thành 2 cos 2n t = 2 cos t. (1.15) Ta có (1.15) ⇔ 2n t = t + k2π ho c 2n t = −t + k2π. k2π k2π ⇔t= n ho c t = n · 2 −1 2 +1 V y (1.14) có các nghi m: k2π xk = cos (k = 0, 2n−1 − 1), (1.16) 2n − 1 j2π xj = cos n (j = 0, 2n−1 ). (1.17) 2 +1 Do hàm s cos ngh ch bi n trên [−π, π] nên các nghi m trong m i nhóm (1.16) và (1.17) đôi m t khác nhau. Do 2n − 1 và 2n + 1 nguyên t cùng nhau nên các nghi m thu c hai nhóm nghi m khác nhau cũng đôi m t khác nhau. Tóm l i, (1.14) có 2n−1 + 2n−1 = 2n nghi m phân bi t, thu c R. M t khác, b c c a (1.14) cũng là 2n nên t đó suy ra m i nghi m c a (1.14) đ u th c và phân bi t. 19 Số hóa bởi Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn