Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp lặp song song cho một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả của các tác giả Tuyen T.M. và Ha N.S. trong tài liệu. Ngoài ra, luận văn cũng đề cập đến hai ví dụ số đơn giản được lập trình và thử nghiệm bằng phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho các phương pháp lặp. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp lặp song song cho một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- VŨ QUANG THÌN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN DÃY ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- VŨ QUANG THÌN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG CHO MỘT HỌ HỮU HẠN DÃY ÁNH XẠ GẦN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2019
ii Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên, người đã tận tình hướng dẫn hết lòng, giúp tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, các thầy, cô giáo trong khoa Toán–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo và các đồng nghiệp của Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
iii Mục lục Một số ký hiệu và viết tắt v Mở đầu 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 8 1.2.1. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . 15 1.3.1. Phương pháp lai chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2. Phương pháp chiếu co hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2 Phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 19 2.1. Dãy ánh xạ gần không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Phương pháp lai chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Phương pháp chiếu co hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1. Tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . 29 2.4.2. Tìm điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn . . 32 2.4.3. Tìm không điểm của toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . 32 2.4.4. Hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát . . . . . . . . . 33 2.4.5. Hệ bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 42
iv Một số ký hiệu và viết tắt H không gian Hilbert h., .i tích vô hướng trên H k.k chuẩn trên H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập các số thực không âm G(A) đồ thị của toán tử A D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất ∅ tập rỗng ∀x với mọi x ∃x tồn tại x diam(C) đường kính của tập C conv(C) bao lồi của tập C arg max f (x) tập các điểm cực đại của phiếm hàm f (x) x∈C xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T
1 Mở đầu Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là một trường hợp riêng của bài toán chấp nhận lồi: “Tìm một phần tử thuộc giao khác rỗng của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi và đóng {Ci }i∈I của không gian Hilbert H hay không gian Banach E”, với I là tập chỉ số bất kỳ. Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau như: Xử lí ảnh, khôi phục tín hiệu, Vật lý, Y học ... Khi Ci = F (Ti ), với F (Ti ) là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, ..., N , thì đã có nhiều phương pháp được đề xuất dựa trên các phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng. Đó là các phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay các phương pháp sử dụng các siêu phẳng cắt... Gần đây, một số tác giả đã nghiên cứu bài toán tìm điểm bất động của các ánh xạ không giãn khi thông tin đầu vào chỉ được biết ở dạng gần đúng (các thông tin đầu vào được cho bởi nhiễu). Trong đó, bài toán tìm điểm bất động (chung) của các dãy ánh xạ gần không giãn là một chủ đề lý thú và thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người làm toán trong và ngoài nước. Năm 2018, các tác giả Tuyen T.M. và Ha N.S. đã đưa ra một số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp chiếu lai ghép và phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [12] cho bài toán tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert. Hơn nữa, họ đã đưa ra một số ứng dụng của các phương pháp lặp cho việc giải các bài toán liên quan khác, như bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn, bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát, bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu. Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả của các tác giả Tuyen T.M. và Ha N.S. trong tài liệu [12]. Ngoài ra, luận văn cũng đề cập đến hai ví dụ số đơn giản được lập trình và thử nghiệm bằng phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho các phương pháp lặp. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này luận văn tập trung trình bày và làm rõ một số đặc trưng cơ bản của không gian Hilbert thực, ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ không
2 giãn và toán tử đơn điệu. Các phương pháp chiếu lai ghép và chiếu co hẹp cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Chương 2. Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn Nội dung chính của chương này là trình bày lại các kết quả của các tác giả Tuyen T.M. và Ha N.S. bao gồm phương pháp chiếu lai ghép và phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [12] cho bài toán tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn trong không gian Hilbert cùng với các ứng dụng của chúng.
3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này bao gồm bốn mục chính. Mục 1.1 đề cập đến một số đặc trưng cơ bản của không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược một số kết quả về ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu. Mục 1.3 trình bày về phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Mục 1.4 giới thiệu một số bổ đề bổ trợ cần sử dụng trong việc trình bày nội dung của Chương 2. Nội dung của chương này phần lớn được tham khảo từ các tài liệu [1, 2, 5, 8]. 1.1. Một số đặc trưng của không gian Hilbert Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu là h., .i và chuẩn được kí hiệu là k.k. Trước hết, ta nhắc lại một đặc trưng hình học quan trọng của không gian Hilbert. Mệnh đề 1.1. Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với mọi x, y, z ∈ H. Chứng minh. Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 . Vậy ta được điều phải chứng minh.
4 Mệnh đề 1.2. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, với mọi x, y ∈ H và mọi λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 . (1.1) Chứng minh. Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 − 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 . Ta được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.3. Cho H là một không gian Hilbert thực. Khi đó, nếu với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện |hx, yi| = kxk.kyk, tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng x 6= λy với mọi λ ∈ R. Khi đó, từ tính chất của tích vô hướng, ta có 0 < kx − λyk2 = λ2 kyk2 − 2λhx, yi + kxk2 , với mọi λ ∈ R. Ta thấy rằng nếu y = 0, thì hiển nhiên x và y là phụ thuộc tuyến hx, yi tính. Giả sử y 6= 0, khi đó với λ = , thì bất đẳng thức trên trở thành kyk2 |hx, yi| < kxk.kyk, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy x và y là phụ thuộc tuyến tính. Mệnh đề được chứng minh. Nhắc lại rằng, dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu về phần tử x ∈ H, nếu lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ với mọi y ∈ H. Từ tính liên tục của tích vô hướng, suy ra nếu xn → x, thì xn * x. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn xét không gian P∞ l2 = {{xn } ⊂ R : 2 2 n=1 |xn | < ∞} và {en } ⊂ l , được cho bởi en = (0, ..., 0, 1 , 0, ..., 0, ...), vị trí thứ n
5 với mọi n ≥ 1. Khi đó, en * 0, khi n → ∞. Thật vậy, với mỗi y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 < kyk2 < ∞. n=1 Suy ra limn→∞ hen , yi = 0, tức là en * 0. Tuy nhiên, {en } không hội tụ về 0, vì ken k = 1 với mọi n ≥ 1. Ta biết rằng mọi không gian Hilbert H đều thỏa mãn điều kiện của Opial, tính chất này được thể hiện trong mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.4. Cho H là một không gian Hilbert thực và {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ thỏa mãn điều kiện xn * x, khi n → ∞. Khi đó, với mọi y ∈ H và y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk. (1.2) n→∞ n→∞ Chứng minh. Vì xn * x, nên {xn } bị chặn. Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi > kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi. Vì x 6= y, nên lim inf kxn − yk2 > lim inf kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 . n→∞ Do đó, ta nhận được lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk. n→∞ n→∞ Mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.5. Mọi không gian Hilbert thực H đều có tính chất Kadec-Klee, tức là nếu {xn } ⊂ H là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn các điều kiện xn * x và kxn k → kxk, thì xn → x, khi n → ∞. Chứng minh. Ta có kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 → 0, n → ∞. Suy ra xn → x, khi n → ∞. Mệnh đề được chứng minh.
6 Mệnh đề 1.6. Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert thực H. Khi đó, với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử PC x ∈ C sao cho kx − PC (x)k ≤ kx − yk với mọi y ∈ C. Chứng minh. Thật vậy, đặt d = inf kx − uk. Khi đó, tồn tại {un } ⊂ C sao cho u∈C kx − un k −→ d, n −→ ∞. Từ đó ta có 2 kun − um k2 = k(x − un ) − (x − um )k 2 un + um 2 2 = 2kx − un k + 2kx − um k − 4kx − k 2 2 2 ≤ 2(kx − un k + kx − um k ) − 4d2 −→ 0, khi n, m −→ ∞. Do đó {un } là dãy Cauchy trong H. Suy ra tồn tại u = lim un ∈ C. Do chuẩn là hàm số liên tục nên kx − uk = d. Giả sử tồn tại v ∈ C n→∞ sao cho kx − vk = d. Ta có 2 2 ku − vk = k(x − u) − (x − v)k 2 2 u+v 2 = 2(kx − uk + kx − vk ) − 4kx − k 2 ≤ 0. Suy ra u = v. Vậy tồn tại duy nhất một phần tử PC x ∈ C sao cho kx − PC xk = inf u∈C kx − uk. Định nghĩa 1.1. Phép cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ H một phần tử PC x ∈ C xác định như trên được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C. Ví dụ 1.1. Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= 0. Khi đó y − hx, ui PC x = x + 2 u. kuk Ví dụ 1.2. Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, trong đó a ∈ H là một phần tử cho trước và R là một số dương. Khi đó, ta có:  x nếu kx − ak ≤ R, PC x = R a + (x − a) nếu kx − ak > R. kx − ak Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là một phép chiếu mêtric.
7 Mệnh đề 1.7. Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert thực H. Khi đó, điều kiện cần và đủ để ánh xạ PC : H −→ C là phép chiếu mêtric từ H lên C là hx − PC x, PC x − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C. (1.3) Chứng minh. Giả sử PC là phép chiếu mêtric. Khi đó với mọi x ∈ H, y ∈ C và mọi t ∈ (0, 1), ta có ty + (1 − t)PC x ∈ C. Do đó, từ định nghĩa của phép chiếu mêtric, suy ra kx − PC xk2 ≤ kx − ty − (1 − t)PC xk2 , với mọi t ∈ (0, 1). Bất đẳng thức trên tương đương với kx − PC xk2 ≤ kx − PC xk2 − 2thx − PC x, y − PC xi + t2 ky − PC xk2 , với mọi t ∈ (0, 1). Từ đó, ta có t hx − PC x, PC x − yi ≥ − ky − PC xk2 , 2 với mọi t ∈ (0, 1). Cho t → 0+ , ta nhận được hx − PC x, PC x − yi ≥ 0. Ngược lại, giả sử hx − PC x, PC x − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C. Khi đó, với mỗi x ∈ H và y ∈ C, ta có kx − PC xk2 = hx − PC x, x − y + y − PC xi = hx − PC x, y − PC xi + hx − PC x, x − yi ≤ kx − yk2 + hy − PC x, x − PC x + PC x − yi = kx − yk2 + hy − PC x, x − PC xi − ky − PC xk2 ≤ kx − yk2 . Suy ra PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Từ mệnh đề trên, ta có hệ quả dưới đây: Hệ quả 1.1. Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó, với mọi x, y ∈ H, ta có kPC x − PC yk2 ≤ hx − y, PC x − PC yi.
8 Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.7, ta có hx − PC x, PC y − PC xi ≤ 0, hy − PC y, PC x − PC yi ≤ 0. Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.8. Nếu C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H, thì C là tập đóng yếu. Chứng minh. Giả sử C không là tập đóng yếu. Khi đó, tồn tại dãy {xn } trong C thỏa mãn xn * x, nhưng x ∈ / C. Vì C là tập lồi và đóng, nên theo định lý tách các tập lồi, tồn tại y ∈ H và ε > 0 sao cho hy, zi < hy, xi − ε, với mọi z ∈ C. Đặc biệt hy, xn i < hy, xi − ε, với mọi n. Cho n → ∞, ta nhận được hy, xi ≤ hy, xi − ε, điều này là vô lý. Do đó, C là tập đóng yếu. Chú ý 1.1. Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng. Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây: Mệnh đề 1.9. Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu. 1.2. Ánh xạ không giãn và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 1.2.1. Ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.2. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Ánh xạ T : C −→ H được gọi là một ánh xạ không giãn, nếu với mọi x, y ∈ C, ta có kT x − T yk ≤ kx − yk. Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T là F (T ), tức là T (T ) = {x ∈ C : T x = x}. Mệnh đề dưới đây cho ta mô tả về tính chất của tập điểm bất động F (T ).
9 Mệnh đề 1.10. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C −→ H là một ánh xạ không giãn. Khi đó, F (T ) là một tập lồi và đóng trong H. Chứng minh. Giả sử F (T ) 6= ∅. Trước hết, ta chỉ ra F (T ) là tập đóng. Thật vậy, vì T là ánh xạ không giãn nên T liên tục trên C. Giả sử {xn } là một dãy bất kỳ trong F (T ) thỏa mãn xn → x, khi n → ∞. Vì {xn } ⊂ F (T ), nên kT xn − xn k = 0, với mọi n ≥ 1. Từ tính liên tục của chuẩn, cho n → ∞, ta nhận được kT x−xk = 0, tức là x ∈ F (T ). Do đó, F (T ) là tập đóng. Tiếp theo, ta chỉ ra tính lồi của F (T ). Giả sử x, y ∈ F (T ), tức là T x = x và T y = y. Với mọi λ ∈ [0, 1], ta chỉ ra z = λx + (1 − λ)y ∈ F (T ). Thật vậy, nếu x = y, thì z = x = y ∈ F (T ). Giả sử x 6= y, khi đó ta có kT z − xk = kT z − T xk ≤ kx − zk = (1 − λ)kx − yk, kT z − yk = kT z − T yk ≤ ky − zk = λkx − yk. Từ đó, ta nhận được kx − yk ≤ kT z − xk + kT z − yk ≤ kx − yk. Suy ra kx − yk = kT z − xk + kT z − yk, và kT z − xk = (1 − λ)kx − yk, kT z − yk = λkx − yk. (1.4) Đặt a = T z − x và b = y − T z, thì ta nhận được ka + bk = kak + kbk, điều này tương đương với ha, bi = kak.kbk. Theo Mệnh đề 1.3, tồn tại α ∈ R sao cho a = αb. Vì x 6= y, nên α 6= −1. Suy ra T z là một tổ hợp affine của x và y, tức là T z = βx + (1 − β)y, (1.5) 1 với β = . 1+α Từ (1.4) và (1.5), ta nhận được kx − T zk = (1 − λ)kx − yk = (1 − β)kx − yk.
10 Suy ra λ = β, tức là T z = z. Do đó, z ∈ F (T ). Vậy F (T ) là một tập lồi. Mệnh đề được chứng minh. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Cải tiến điều kiện của Nakajo et al. trong tài liệu [5], Takahashi et al. [8] đã đưa ra điều kiện sau: Cho {Tn } và T là hai họ ánh xạ không giãn từ C vào chính nó, sao cho \∞ F (T ) = F (Tn ) 6= ∅, ở đây F (Tn ) là tập các điểm bất động của Tn và F (T ) n=1 là tập điểm bất động chung của họ T . Khi đó, họ {Tn } được gọi là thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với họ T , nếu với mỗi dãy bị chặn {zn } ⊂ C, thỏa mãn lim kzn − Tn zn k = 0, n→∞ ta đều có lim kzn − T zn k = 0 với mọi T ∈ T . n→∞ 1.2.2. Nửa nhóm ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.3. Một họ ánh xạ T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} từ tập con khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó được gọi là một nửa nhóm ánh xạ không giãn nếu nó thỏa mãn các điều kiện dưới đây: i) T (0)x = x với mọi x ∈ C; ii) T (s + t) = T (s)T (t) với mọi s, t ≥ 0; iii) kT (s)x − T (s)yk ≤ kx − yk với mọi s ≥ 0 và x, y ∈ C; iv) với mỗi x ∈ C, s 7→ T (s)x là ánh xạ liên tục theo biến s trên [0, ∞). Ví dụ 1.3. Họ T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} xác định bởi T (s)x = e−s x với mọi s ≥ 0 và mọi x ∈ R là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R và F (T ) = {0}. Ví dụ 1.4. Cho T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là một họ ánh xạ từ R3 vào R3 được xác định bởi    cos s − sin s 0 x1 T (s)x =  sin s cos s 0 x2  ,    0 0 1 x3 với mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 và với mọi s ≥ 0. Khi đó, T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên R3 và F (T ) = {(0, 0, a) : a ∈ R}.
11 Dễ thấy các họ ánh xạ T thỏa mãn các điều kiện i) và iv), ta chỉ ra nó thỏa mãn các điều kiện ii) và iii). Thật vậy, với mọi t, s ≥ 0 và mọi x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , ta có    cos s − sin s 0 x1 cos t − x2 sin t T (s)T (t)x =  sin s cos s 0 x1 sin t + x2 cos t    0 0 1 x3   x1 cos(s + t) − x2 sin(s + t) =  x1 sin(s + t) + x2 sin(s + t)    x3    cos(s + t) − sin(s + t) 0 x1 =  sin(s + t) cos(s + t) 0 x2     0 0 1 x3 = T (s + t)x. Suy ra điều kiện ii) được thỏa mãn. Dưới đây ta chỉ ra họ T thỏa mãn điều kiện iii). Với mọi s ≥ 0 và mọi x, y ∈ R3 , ta có kT (s)x − T (s)yk = k (x1 − y1 ) cos s − (x2 − y2 ) sin s, (x1 − y1 ) sin s + (x2 − y2 ) cos s, x3 − y3 k h 2 = (x1 − y1 ) cos s − (x2 − y2 ) sin s + (x1 − y1 ) sin s 2 i1/2 + (x2 − y2 ) cos s + (x3 − y3 )2 h i1/2 2 2 2 = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) + (x3 − y3 ) = kx − yk. Suy ra T thỏa mãn điều kiện iii). Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Từ kết quả của Nakajo và các cộng sự trong tài liệu [5], Takahashi và các cộng sự [10] đã đưa ra điều kiện sau: Cho Tn và T là hai họ ánh xạ không giãn \∞ từ C vào chính nó sao cho F (T ) = F (Tn ) 6= ∅, trong đó F (Tn ) là tập điểm n=1 bất động của ánh xạ Tn và F (T ) là tập điểm bất động chung của họ ánh xạ T . Khi đó, {Tn } được gọi là thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với họ T , nếu với mỗi dãy bị chặn {zn } ⊂ C, thỏa mãn lim kzn − Tn zn k = 0, n→∞
12 suy ra lim kzn − T zn k = 0 với mọi T ∈ T . n→∞ Mệnh đề 1.11. [5, 6] Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H. Cho T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên C với F (T ) 6= ∅. Cho {tn } là một dãy các số thực với 0 < tn < ∞ thỏa mãn limn→∞ tn = ∞. Với mỗi n ∈ N, xác định ánh xạ Tn từ C vào chính nó bởi 1 tn Z Tn x = T (s)xds, với mọi x ∈ C. tn 0 Khi đó, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST(I) ứng với T = {T (s) : 0 ≤ s < ∞}. 1.2.3. Toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.4. Một ánh xạ đa trị A : H −→ 2H được gọi là một toán tử đơn điệu nếu hu − v, x − yi ≥ 0 (1.6) với mọi x, y ∈ H và mọi u ∈ A(x), v ∈ A(y). Toán tử đơn điệu A được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ A(x)} không chứa thực sự trong đồ thị của bất kì toán tử đơn điệu nào khác trên H. Ví dụ 1.5. Toán tử A(x) = x3 với x ∈ R là đơn điệu cực đại trên R. Thật vậy, hiển nhiên A là một toán tử đơn điệu trên R. Ta sẽ chỉ ra đồ thị của A không là tập con thực sự của bất kỳ một toán tử đơn điệu nào khác trên R. Giả sử tồn tại một toán tử đơn điệu B trên R sao cho đồ thị của B chứa thực sự đồ thị của A. Khi đó, tồn tại phần tử x0 ∈ R sao cho (x0 , m) ∈ G(B), nhưng (x0 , m) ∈ / G(A). Như vậy sẽ xảy ra hai trường hợp hoặc A(x0 ) > m hoặc A(x0 ) < m. Trường hợp 1: A(x0 ) > m Giả sử x1 là nghiệm của phương trình A(x) = m, tức là A(x1 ) = m. Khi đó, x1 < x0 . Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại x2 ∈ (x1 , x0 ) sao cho n = A(x2 ) ∈ (m, A(x0 )). Từ (x0 , m) ∈ G(B) và (x2 , A(x2 )) ∈ G(A) ⊂ G(B), suy ra (x0 − x2 )(m − A(x2 )) ≥ 0. Vì x0 > x2 , nên A(x2 ) ≤ m, điều này mâu thuẫn với A(x2 ) ∈ (m, A(x0 )). Như vậy, không thể xảy ra trường hợp A(x0 ) > m. Trường hợp 2: A(x0 ) > m
13 Giả sử x1 là nghiệm của phương trình A(x) = m, tức là A(x1 ) = m. Khi đó, x1 > x0 . Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại x2 ∈ (x0 , x1 ) sao cho n = A(x2 ) ∈ (A(x0 ), m). Từ (x0 , m) ∈ G(B) và (x2 , A(x2 )) ∈ G(A) ⊂ G(B), suy ra (x0 − x2 )(m − A(x2 )) ≥ 0. Vì x0 < x2 , nên A(x2 ) ≥ m, điều này mâu thuẫn với A(x2 ) ∈ (A(x0 ), m). Như vậy, không thể xảy ra trường hợp A(x0 ) < m. Vậy không tồn tại toán tử đơn điệu B trên R sao cho đồ thị của B chứa thực sự đồ thị của A. Do đó, A là một toán tử đơn điệu cực đại trên R. Ví dụ 1.6. Toán tử ( x3 , nếu x ≥ 0, A(x) = 0, nếu x < 0, với mọi x ∈ R là đơn điệu nhưng không đơn điệu cực đại trên R. Thật vậy, rõ ràng A là một toán tử đơn điệu, nhưng đồ thị của A là tập con thực sự của đồ thị của toán tử đơn điệu B(x) = x3 với mọi x ∈ R. Chú ý 1.2. Toán tử đơn điệu A : H −→ 2H là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi R(I + λA) = H với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnh của I + λA. Từ chú ý trên ta có một ví dụ khác dưới đây về toán tử đơn điệu cực đại: Ví dụ 1.7. Cho T : H −→ H là một ánh xạ không giãn, tức là kT x − T yk ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ H. Khi đó A = I − T là một toán tử đơn điệu cực đại, ở đây I là ánh xạ đồng nhất trên H. Thật vậy, với mọi x, y ∈ H, ta có hA(x) − A(y), x − yi = kx − yk2 − kT x − T yk2 ≥ 0, suy ra A là một toán tử đơn điệu. Tiếp theo, ta chỉ ra tính cực đại của A. Với mỗi λ > 0 và mỗi y ∈ H, xét phương trình λA(x) + x = y. (1.7) Phương trình trên tương đương với 1 x= (λT x + y). (1.8) 1+λ Xét ánh xạ f : H −→ H bởi 1 f (x) = (λT x + y), 1+λ
14 λ với mọi x ∈ H. Dễ thấy, f là ánh xạ co với hệ số co là ∈ (0, 1). Do đó, 1+λ theo nguyên lý ánh xạ co Banach, phương trình (1.8) có duy nhất nghiệm. Suy ra, phương trình (1.7) có duy nhất nghiệm. Vậy A là một toán tử đơn điệu cực đại. Định nghĩa 1.5. Cho A : H −→ 2H là một toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó, ánh xạ JrA = (I + rA)−1 , r > 0 được gọi là giải của A. Chú ý 1.3. i) Giải JrA của toán tử đơn điệu cực đại A là một ánh xạ đơn trị, không giãn và A(x) 3 0 khi và chỉ khi JrA (x) = x; Thật vậy, giả sử tồn tại x ∈ H sao cho JrA (x) nhận ít nhất hai giá trị y và z. Từ định nghĩa của toán tử giải, suy ra x − y ∈ rA(y), x − z ∈ rA(z). Từ tính đơn điệu của A, suy ra h(x − y) − (x − z), y − zi ≥ 0. Suy ra, ky − zk2 ≤ 0. Do đó, y = z. Vậy JrA là một ánh xạ đơn trị. Tiếp theo, ta chỉ ra JrA là một ánh xạ không giãn. Với mọi x, y ∈ H, đặt z1 = JrA (x) và z2 = JrA (y), tức là x − z1 ∈ rA(z1 ), y − z2 ∈ rA(z2 ). Từ tính đơn điệu của A, ta có hx − z1 − y + z2 , z1 − z2 i ≥ 0. Suy ra kz1 − z2 k2 ≤ hx − y, z1 − z2 i ≤ kx − yk.kz1 − z2 k. Do đó, kz1 − z2 k ≤ kx − yk, hay JrA là một ánh xạ không giãn. Giả sử, x = JrA (x). Điều này tương đương với x ∈ x + rA(x) hay A(x) 3 0. ii) Với mọi số dương λ và µ, ta luôn có đẳng thức sau A µ µ A A Jλ x = Jµ x + 1 − Jλ x , x ∈ H. (1.9) λ λ Thật vậy, đặt µ µ A y= JµA x + 1 − Jλ x , z = JλA (x). λ λ Suy ra, µ µ x+ 1− z ∈ y + µA(y), x ∈ z + λA(z). λ λ
15 Từ tính đơn điệu của A, suy ra hµx + (λ − µ)z − λy − µx + µz, y − zi ≥ 0, tương đương với −λky − zk2 ≥ 0. Suy ra, y = z và do đó ta được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.12. Cho H là một không gian Hilbert và A : H −→ 2H là một toán tử đơn điệu cực đại với A−1 0 6= ∅ và cho JrA là toán tử giải của A với r > 0. Khi đó, với mọi r, λ > 0, ta có 1 A 1 kJr x − JλA JrA xk ≤ kx − JrA xk, λ r với mọi x ∈ D(A). Chứng minh. Theo Chú ý 1.3, ta có λ λ JrA x = JλA x + (1 − )JrA x . r r Do đó, từ tính không giãn của JλA (xem Chú ý 1.3), ta có 1 A 1 λ λ kJr x − JλA JrA xk = kJλA x + (1 − )JrA x − JλA JrA xk λ r r r 1 ≤ kx − JrA xk. r Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 1.6. Toán tử A : H −→ 2 được gọi là ngược đơn điệu mạnh, nếu tồn tại số β > 0 sao cho hx − y, A(x) − A(y)i ≥ βkA(x) − A(y)k2 , với mọi x, y ∈ H. Ví dụ 1.8. Cho β là một số thực dương. Toán tử A : −→R xác định bởi A(x) = βx với mọi x ∈ R là ngược đơn điệu mạnh. 1.3. Phương pháp lai chiếu và phương pháp chiếu co hẹp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn 1.3.1. Phương pháp lai chiếu Năm 2003, Nakajo và Takahashi [5] đã chứng minh định lý dưới đây: