Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về phân thức liên tục

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

466
lượt xem 92
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về phân thức liên tục nhằm giới thiệu một cách tương đối hệ thống về phân thức liên tục và một số ứng dụng phân thức liên tục. Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về phân thức liên tục

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C Ph m Vũ Dũng M TS V NĐ V PHÂN TH C LIÊN T C Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P MÃ S : 60.46.40 LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. Hà Tr n Phương Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Công trình đư c hoàn thành t i Trư ng Đ i h c Khoa H c - Đ i H c Thái Nguyên Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. Hà Tr n Phương Ph n bi n 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................... Ph n bi n 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................... Lu n văn s đư c b o v trư c h i đ ng ch m lu n văn h p t i: Trư ng Đ i H c Khoa H c - Đ i H c Thái Nguyên Ngày .... tháng .... năm 2011 Có th tìm hi u t i Thư Vi n Đ i H c Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 M cl c M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 M đ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Phân th c liên t c 4 1.1. M đ u v phân th c liên t c . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Khái ni m v phân th c liên t c . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Phép bi n đ i phân th c liên t c . . . . . . . . . 9 1.1.3. Quan h gi a chu i và phân th c liên t c. . . . . 10 1.2. M t s phân th c liên t c đ c bi t . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1. Phân th c liên t c cho arctan và s π . . . . . . . 13 1.2.2. Phân th c liên t c cho s e . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. S h i t c a phân th c liên t c 21 2.1. Công th c quan h truy h i Wallis-Euler . . . . . . . . . 21 2.2. S h i t c a phân th c liên t c . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Bi u di n phân th c liên t c c a s th c . . . . . . . . . 34 2.3.1. Thu t toán tìm bi u di n phân th c liên t cc a s th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chương 3. M t s ng d ng c a phân th c liên t c 42 3.1. Tính g n đúng b ng phân th c liên t c . . . . . . . . . . 42 3.2. Gi i phương trình Diophantine . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.1. Phương trình b c nh t hai n Ax + By = C . . . 47 3.2.2. Phương trình Pell d ng: x2 − dy 2 = ±1 . . . . . . 49 3.3. Phân tích m t s ra th a s . . . . . . . . . . . . . . . . 64 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 M đ u Phân th c liên t c và các v n đ liên quan là hư ng nghiên c u trong toán sơ c p thu hút đư c s quan tâm c a nhi u nhà toán h c và đã thu đư c nhi u k t qu quan tr ng. Phân th c liên t c đư c xu t hi n m t cách khá t nhiên trong vi c chia các s nguyên, trong vi c gi i phương trình, ... và ngày càng có nhi u ng d ng trong các lĩnh v c khác nhau c a toán h c. Khi nghiên c u v phân th c liên t c chúng ta s th y m t s tính ch t c a chu i s , c a dãy Fibonaci, tính ch t c a s e, s π. Đ ng th i cũng d a trên phân th c liên t c chúng ta có th tìm x p x h u t c a các s th c, có th gi i đư c m t s phương trình nghi m nguyên, phân tích m t s s nguyên thành tích các th a s nguyên t , xây d ng các dãy s truy h i,.... Ngoài ra, phân th c liên t c cũng có nh ng ng d ng quan tr ng khác trong toán h c như nghiên c u gi thuy t ABC, cũng có nh ng ng d ng trong th c ti n: âm nh c, l ch v n niên, .... V i m c đích gi i thi u m t cách tương đ i h th ng v phân th c liên t c và m t s ng d ng phân th c liên t c, chúng tôi ch n đ tài: "M t s v n đ v phân th c liên t c". C th , trong đ tài này chúng tôi nghiên c u v phân th c liên t c, s h i t c a phân th c liên t c vô h n và m t s ng d ng c a phân th c liên t c trong toán h c. Ngoài ph n M đ u, ph n K t lu n, lu n văn g m 3 chương: Chương 1 trình bày m t s khái ni m v phân th c liên t c, phép bi n đ i phân th c liên t c, phân th c liên t c c a m t vài s đ c bi t: e, π và quan h c a phân th c liên t c v i chu i. Chương 2 dành cho vi c trình bày các k t qu nghiên c u v s h i t c a phân th c liên t c vô h n: công th c truy h i Wallis-Euler, thu t toán tìm bi u di n phân th c liên t c c a m t s vô t và m t s đ nh lý v s h i t c a phân th c liên t c. Trong Chương 3, chúng tôi trình bày v m t s ng d ng c a phân th c Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 liên t c trong vi c tính x p x h u t c a m t s th c, trong vi c gi i phương trình nghi m nguyên, vi c phân tích th a s nguyên t . Lu n văn này đư c hoàn thành v i s hư ng d n và ch b o t n tình c a TS. Hà Tr n Phương - Đ i h c Sư ph m - Đ i h c Thái nguyên. T đáy lòng mình, em xin đư c bày t lòng bi t ơn sâu s c đ i v i s quan tâm, đ ng viên và s ch b o hư ng d n c a th y. Em xin trân tr ng c m ơn t i các Th y Cô trong Trư ng Đ i H c Khoa H c - Đ i H c Thái Nguyên, phòng Đào T o Trư ng Đ i H c Khoa H c. Đ ng th i tôi xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao H c Toán K3B, K3A Trư ng Đ i H c Khoa H c đã đ ng viên giúp đ tôi trong quá trình h c t p và làm luân văn này. Tôi xin c m ơn t i S Giáo d c - Đào t o T nh Hà Giang, Ban Giám hi u, các đ ng nghi p Trư ng THPT Tân Quang - Huy n B c Quang đã t o đi u ki n cho tôi h c t p và hoàn thành k ho ch h c t p. Do đây là l n đ u tiên th c hi n công vi c nghiên c u, nên trong lu n văn không tránh kh i nh ng thi u sót, em r t mong đư c s đóng góp ý ki n c a các Th y, Cô và các b n đ b n lu n văn đư c hoàn thi n. Thái Nguyên, ngày ...tháng ... năm 2011 Tác gi Ph m Vũ Dũng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 Chương 1 Phân th c liên t c 1.1. M đ u v phân th c liên t c 1.1.1. Khái ni m v phân th c liên t c S xu t hi n c a phân th c liên t c Phân th c liên t c đã xu t hi n t r t lâu, t khi s h c m i phát tri n. Hai ví d sau đây cho th y s xu t hi n c a phân th c liên t c. Ví d 1.1. Ta th c hi n phép chia thông thư ng 157 cho 68. Ta có 157 21 =2+ . 68 68 21 1 Ngh ch đ o phân s = , ta đư c 68 68 21 157 1 =2+ . 68 68 21 Ta ti p t c chia 68 cho 21 68 5 1 =3+ =3+ . 21 21 21 5 Ti p t c phân tích 21 1 =4+ , 5 5 cu i cùng ta đư c 157 1 =2+ . (1.1) 68 1 3+ 1 4+ 5 Có th th y, quá trình trên s d ng l i sau 3 l n th c hi n phép chia hai s nguyên dương. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5 Ví d 1.2. Tìm nghi m dương c a phương trình x2 − x − 2 = 0. (1.2) Ta vi t l i phương trình trên dư i d ng x2 = x + 2. Do a, c trái d u nên phương trình có hai nghi m, m t nghi m âm và m t nghi m dương. Có th th y r ng x = 2 là nghi m nguyên dương duy nh t c a phương trình. Hi n nhiên x = 0 không là nghi m c a phương trình, chia hai v c a phương trình cho x ta đư c: 2 x=1+ . x Do x = 2 là nghi m c a phương trình (1.2) nên 2 2=1+ . x 2 Thay x m u s c a đ ng th c trên b i 1 + đ đư c x 2 2=1+ . 2 1+ x L p l i quá trình trên nhi u l n ta đư c 2 2=1+ . (1.3) 2 1+ 2 1+ ... 1+ 2 1+ x L p l i quá trình trên vô h n l n ta đư c 2 2=1+ . (1.4) 2 1+ 2 1+ 2 1+ 2 1+ . .. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 Bi u di n (1.1) và (1.3) đư c g i là các phân th c liên t c h u h n đơn gi n, (1.4) đư c g i là các phân th c liên t c vô h n đơn gi n. Như v y phân th c liên t c xu t hi n m t cách t nhiên trong quá trình chia các s nguyên ho c tìm nghi m c a m t phương trình. Trong nh ng ph n ti p theo ta nghiên c u m t cách c n th n hơn v phân th c liên t c. Ta b t đ u v i đ nh nghĩa v phân th c liên t c h u h n. Khái ni m v phân th c liên t c Cho hai dãy s th c a0 , a1 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn . N u phân th c b1 a0 + (1.5) b2 a1 + b3 a2 + ... a3 + bn an−1 + an có nghĩa, thì phân th c đó đư c g i là m t phân th c liên t c h u h n có đ dài n. Và kí hi u là b1 b2 bn a0 + . a1 + a2 +···+ an N u bk = 1 v i m i k = 1, 2, . . . , n và ak là các s nguyên, ak > 0 v i m ik 1, thì phân th c liên t c (1.5) đư c g i là phân th c liên t c h u h n đơn gi n, hay còn đư c g i là liên phân s h u h n (có đ dài b ng n) và kí hi u là [a0 ; a1 , . . . , an ]. N u a0 = 0, ta vi t [a1 , . . . , an ] thay cho [0; a1 , . . . , an ]. Bây gi cho hai dãy s th c vô h n {an }, n = 0, 1, . . . và {bn }, n = 1, 2 . . . . T ng hình th c b1 a0 + (1.6) b2 a1 + b3 a2 + a3 + . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 đư c g i là phân th c liên t c (vô h n). Đ cho đơn gi n ta kí hi u phân th c liên t c (1.6) là b1 b2 b3 a0 + .... a1 + a2 + a3 + Gi s r ng, v i m i n ∈ N∗ b1 b2 bn C n = a0 + a1 + a2 +···+ an là t n t i. Và n u t n t i gi i h n lim Cn = α ∈ R n−→∞ thì ta nói phân th c liên t c (1.6) h i t . Khi đó ta vi t b1 a0 + = α. b2 a1 + b3 a2 + a3 + . . . Phân th c liên t c h u h n Cn đư c g i là gi n phân th n c a phân th c liên t c (1.6). N u bk = 1 v i m i k = 1, 2, . . . và ak là các s nguyên, ak > 0 v i m i k 1, thì phân th c liên t c (1.6) đư c g i là phân th c liên t c đơn gi n và kí hi u là [a0 ; a1 , a2 . . . ]. N u a0 = 0, ta cũng vi t [a1 , a2 , . . . ] thay cho [0; a1 , a2 , . . . ]. Chú ý. 1. N u bm = 0 v i m nào đó thì b1 b1 a0 + = a0 + . b2 b2 a1 + a1 + ... b3 a2 + a2 + a3 + . . . bm−1 am−2 + am−1 nên phân th c liên t c s h i t . 2. T đ nh nghĩa trên ta có 1 [a0 ; a1 , ..., an ] = a0 + . [a1 ; a2 , ..., an ] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 3. Hi n nhiên, m i phân s liên t c h u h n đơn gi n là m t s h u t . 4. Ta th y, v i m i phân th c liên t c đơn gi n ta có [a0 ; a1 , a2 , . . . ] = lim [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] n−→∞ n u gi i h n t n t i. Đ nh lý 1.1. M i s h u t đ u có th bi u di n dư i d ng m t phân th c liên t c h u h n đơn gi n. a Ch ng minh. Gi s x = trong đó a, b ∈ Z và a > 0. Đ t b r0 = a, r1 = b. Áp d ng thu t toán chia Ơclit ta có r0 = r1 q1 + r2 , 0 r2 < r1 ; r1 = r2 q2 + r3 , 0 < r3 < r2 ... rn−2 = rn−1 qn−1 + rn , 0 < rn < rn−1 rn−1 = rn qn . Khi đó a = [q1 ; q2 , ..., qn ]. b Đ nh lý đư c ch ng minh. Ví d 1.3. Ta có 62 = [2; 1, 2, 3, 2]. 23 Chú ý r ng, bi u di n s h u t dư i d ng liên phân s h u h n là không duy nh t, ch ng h n 7 = [0; 1, 1, 1, 3] = [0; 1, 1, 1, 2, 1]. 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 1.1.2. Phép bi n đ i phân th c liên t c Đ thu n ti n cho vi c tính toán trên các phân th c liên t c, chúng tôi gi i thi u m t quy t c bi n đ i và g i là phép bi n đ i phân th c liên t c. Cho p1 , p2 , p3 là 3 s th c không âm. Gi s ta có phân th c liên t c h u h n: b1 ξ = a0 + , b2 a1 + b3 a2 + a3 trong đó ak , bk là các s th c cho trư c. Nhân c t và m u s v i p1 ta đư c p 1 b1 ξ = a0 + . p1 b 2 p 1 a1 + b3 a2 + a3 Ta ti p t c nhân c t và m u s c a phân s có t s là p1 b2 v i p2 ta thu đư c p1 b1 ξ = a0 + . p1 p 2 b 2 p 1 a1 + p2 b3 a2 p 2 + a3 Cu i cùng ta nhân c t và m u s c a phân s có t s là p2 b3 v i p3 ta có p1 b1 ξ = a0 + . p1 p 2 b 2 p1 a1 + p2 p3 b 3 a2 p 2 + p 3 a3 Như v y b1 b2 b3 p1 b1 p1 p2 b2 p2 p3 b3 ξ = a0 + = a0 + . a1 + a2 + a3 p 1 a1 + p 2 a2 + p 3 a3 L p lu n tương t như trên, ta có đ nh lý sau Đ nh lý 1.2. V i m i b các s th c a0 , a1 , a2 , . . . , an ; b1 , b2 , . . . , bn sao cho t n t i phân th c liên t c và các h ng s khác không p1 , p2 , . . . , pn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 ta có: b1 b2 b3 bn p1 b1 p1 p2 b2 p2 p3 b3 pn−1 pn bn a0 + = a0 + a1 + a2 + a3 +...+ an p1 a1 + p2 a2 + p3 a3 +...+ pn an 1.1.3. Quan h gi a chu i và phân th c liên t c Trong ph n này chúng tôi đ c p t i hai tính ch t đ ng nh t gi a chu i và phân th c liên t c. Cho α1 , α2 , α3 , ... là các s th c v i αk = 0, αk = αk−1 v i m i k. Hi n nhiên 1 1 α2 − α1 1 − = = α1 α2 α1 α2 α1 α2 α2 − α1 1 1 = 2 = 2 . α1 (α2 − α1 ) + α1 α1 α1 + α2 − α1 α2 − α1 Đi u đó g i ý cho đ nh lý sau Đ nh lý 1.3. N u α1 , α2 , α3 , ... là các s th c không âm αk = αk−1 v i m i k. Khi đó v i n ∈ N, n (−1)k−1 1 = 2 . (1.7) αk α1 k=1 α1 + 2 α2 α2 − α1 + ... α3 − α2 + 2 αn−1 αn − αn−1 Đ c bi t khi n → ∞, ta có ∞ (−1)k−1 1 2 α1 2 α2 2 α3 = ..., (1.8) αk α1 + α2 − α1 + α3 − α2 + α4 − α3 + k=1 n u m t trong hai v (t đó suy ra c hai v ) c a đ ng th c này t n t i. Ch ng minh. Ta ch ng minh (1.7) b ng qui n p. V i n = 1, (1.7) hi n nhiên đúng. Gi s (1.7) đúng v i n, ta ch ng minh (1.7) cũng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 đúng v i n + 1. Th t v y, ta có n+1 (−1)k−1 1 1 (−1)n−1 (−1)n = − + ... + + αk α1 α2 αn αn+1 k=1 1 1 1 1 = − + ... + (−1)n−1 − α1 α2 αn αn+1 1 1 αn+1 − αn = − + ... + (−1)n−1 α1 α2 αn αn+1 1 1 1 = − + ... + (−1)n−1 αn αn+1 . α1 α2 αn+1 − αn Áp d ng công th c t ng cho trư ng h p n ta có n+1 (−1)k−1 1 2 α1 2 α2 2 αn−1 = . (1.9) αk α1 + α2 − α1 + α3 − α2 +...+ αn αn+1 − αn−1 k=1 αn+1 − αn Vì 2 αn αn+1 αn (αn+1 − αn ) + αn − αn−1 = − αn−1 αn+1 − αn αn+1 − αn 2 αn = αn − αn−1 + . αn+1 − αn Thay th vào (1.9) ta đư c n+1 (−1)k−1 1 2 α1 2 α2 2 αn−1 = . αk α1 + α2 − α1 + α3 − α2 +...+ αn 2 k=1 αn − αn−1 + αn+1 − αn V y (1.7) đúng v i m i n ∈ N∗ . Đ nh lý đư c ch ng minh. Ví d 1.4. Theo công th c khai tri n Taylo c a log(x + 1), ta có ∞ (−1)k−1 1 1 1 1 log 2 = = − + − + . . .. k 1 2 3 4 k=1 Áp d ng (1.7) v i αk = k, ta có 1 12 22 log 2 = .... 1+ 1 + 1 + Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 Như th , ta có m t bi u di n đ p c a log 2 dư i d ng liên phân s : 1 log 2 = . 12 1+ 22 1+ 1 + ... B ng cách tương t ta có m t bi u di n c a log(1 + x) dư i d ng phân th c liên t c như sau x log(x + 1) = . 12 x 1+ 22 x 2 − 1x + 33 x 3 − 2x + 4 − 3x + . . . Công th c (1.8) cho ta m t đ ng nh t gi a chu i và phân th c liên t c. Ti p theo ta xem xét đ ng nh t th hai gi a chúng. Cho α1 , α2 , α3 , ... là các s th c khác không, khác 1. D th y 1 1 α2 − 1 1 − = = α1 α2 . α1 α1 α2 α1 α2 α2 − 1 Vì α2 α1 α1 (α2 − 1) + α1 α1 = = α1 + . α2 − 1 α2 − 1 α2 − 1 Nên 1 1 1 − = α1 . α1 α1 α2 α1 + α2 − 1 B ng cách ch ng minh qui n p gi ng như trong ch ng minh c a Đ nh lý 1.3 ta cũng có k t qu sau Đ nh lý 1.4. V i m i dãy s th c α1 , α2 , α3 , . . . , trong đó αk = 0, 1, ta có n (−1)k−1 1 = α1 α1 α2 ...αk α1 + k=1 α2 α2 − 1 + ... α3 − 1 + αn−1 αn−1 + αn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 Đ c bi t khi n → ∞, ta có ∞ (−1)k−1 1 α1 α2 αn−1 = ..., α1 α2 ...αk α1 + α2 − 1 + α3 − 1 +···+ αn − 1 + k=1 n u m t trong hai v (t đó suy ra c hai v ) c a đ ng th c này t n t i. 1.2. M t s phân th c liên t c đ c bi t 1.2.1. Phân th c liên t c cho arctan và s π Trong ph n này, chúng ta dùng hai đ nh lý đ ng nh t gi a chu i và phân th c liên t c m c trư c đ xây d ng phân th c liên t c cho arctan và s π. Ta b t đ u v i ví d tìm bi u di n phân th c liên t c c a π/4. Ví d 1.5. Ta có π 1 1 1 1 = − + − + ... 4 1 3 5 7 Áp d ng công th c chu i trong Đ nh lý 1.3 v i αk = 2k − 1, ta có π 1 = . 4 12 1+ 32 2+ 52 2+ 72 2+ 2 + ... Ngh ch đ o hai v c a phân th c trên ta có 4 12 =1+ . π 32 2+ 52 2+ 72 2+ 2 + ... Phân th c này l n đ u tiên đư c đưa ra b i nhà toán h c ngư i Anh, Lord Brouncker (1620-1686), nhưng ông không ch ng minh và đư c ch t ch hi p h i hoàng gia Luân Đôn ghi l i. Ti p theo ta tìm bi u di n phân th c liên t c cho hàm lư ng giác ngư c arctan. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 Ví d 1.6. Ta bi t r ng x3 x5 x7 n−1 x 2n−1 arctan x = x − + − + ... + (−1) + .... 3 5 7 2n − 1 1 3 5 2n − 1 Áp d ng Đ nh lý 1.3 v i α1 = , α2 = 3 , α3 = 5 , ..., αn = 2n−1 cho x x x x công th c (1.8), ta có 1 32 (2n − 3)2 1 x2 x2 (x2n−3 )2 arctan x = .... 1 + 3 1 + 5 3 +...+ 2n − 1 2n − 3 + 2 − 5 − 3 − 2n−3 x x x x x x2n−1 x Bây gi ta s d ng phép bi n đ i liên phân s đ đư c bi u th c rút g n hơn. Trư c tiên ta nh c l i phép bi n đ i liên phân s b1 b2 b3 bn p1 b1 p1 p2 b2 p2 p3 b3 pn−1 pn bn + ··· = + .... a1 + a2 + a3 +...+ an p1 a1 + p2 a2 + p3 a3 +...+ pn an ( đây ta đã rút g n a0 hai v ). Ch n p1 = x, p2 = x3 , ..., pn = x2n−1 , ta có 1 32 1 x2 x2 x x2 32 x 2 ... = ... 1 + 3 1 + 5 3 + 1 + 3 − x2 + 5 − 3x2 + 2 − − x x x x5 x3 Như v y x arctan x = . x2 1+ 32 x2 (3 − x2 ) + 52 x2 (5 − 3x2 ) + (7 − 5x2 ) + . . . Đ c bi t n u x = 1 và ngh ch đ o phân th c trên ta đư c công th c c a Lord Brouncker: 4 12 =1+ . π 32 2+ 52 2+ 2 + ... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 Bây gi ta xem xét m t cách tính toán khác đ có bi u di n phân th c liên t c cho arctan. Ta có x3 x5 x7 n−1 x 2n−1 arctan x = x − + − + ... + (−1) + .... 3 5 7 2n − 1 1 3 5 2n − 1 Ch n α1 = , α2 = 2 , α3 = 2 ..., αn = v i m i n 2. Áp x x 3x (2n − 3)x2 d ng công th c chu i 1 1 1 1 α1 α2 − + − ... = ..., α1 α1 α2 α1 α2 α3 α1 + α2 − 1 + α3 − 1 + trong Đ nh lý 1.4 ta đư c 1 3 2n − 1 1 x x2 (2n − 3)x2 arctan x = .... 1 + 3 + 5 +...+ 2n + 1 + 2 −1 2 −1 −1 x x 3x (2n − 1)x2 Áp d ng Đ nh lý 1.3 v i p1 = x, p2 = x2 , p3 = 3x2 , p4 = 5x2 , ..., pn = (2n − 3)x2 v in 1 ta có bi u di n phân th c liên t c c a arctan x: x arctan x = . x2 1+ 2) + 32 x2 (3 − x 2) + 52 x2 (5 − 3x (7 − 5x2 ) + . . . Ví d 1.7. Áp d ng Đ nh lý 1.3 và Đ nh lý 1.4 cho t ng Euler π2 1 1 1 = 2 + 2 + 2 + ..., 6 1 2 3 và l y ngh ch đ o c a phân th c liên t c ta đư c 6 14 = 02 + 12 − . π 2 24 12 + 2 2 − 34 22 + 32 − 44 32 + 42 − 42 + 5 2 − . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 Bây gi chúng ta đ c p đ n m t cách khác đ tìm bi u di n c a s π dư i d ng phân th c liên t c. Trư c h t ta th y ∞ 1 1 1 1 1 1 (−1)n−1 ( + ) = ( + ) − ( + ) + · · · = 1. n=1 n n+1 1 2 2 3 T ∞ π 1 1 1 1 (−1)n−1 = − + − + ... = 1 − , 4 1 3 5 7 n=1 2n + 1 nhân hai v c a bi u th c này v i 4 ta thu đư c ∞ (−1)n−1 π =4−4 n=1 2n + 1 ∞ (−1)n−1 =3+1−4 n=1 2n + 1 ∞ ∞ n−1 1 1 (−1)n−1 =3+ (−1) ( + )−4 n=1 n n+1 n=1 2n + 1 ∞ 1 1 4 =3+ (−1)n−1 ( + − ) n=1 n n + 1 2n + 1 ∞ (−1)n−1 =3+4 . n=1 2n(2n + 1)(2n + 2) Đ t αn = 2n(2n + 1)(2n + 2), ta có αn − αn−1 = 2n(2n + 1)(2n + 2) − 2(n − 1)(2n − 1)(2n) = 4n[(2n + 1)(n + 1) − (n − 1)(2n − 1)] = 4n[2n2 + 3n + 1 − 2n2 + 3n − 1] = 4n.6n = 24n2 . Áp d ng công th c chu i 2 2 1 1 1 1 1 α1 α2 − + − + ... = ... α1 α2 α3 α4 α1 + α2 − α1 + α3 − α2 + Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 trong Đ nh lý 1.3 v i αn = 2n(2n + 1)(2n + 2), ta có ∞ (−1)n−1 1 (2.3.4)2 (4.5.6)2 4 =4 ... n=1 2n(2n + 1)(2n + 2) 2.3.4 + 24.22 + 24.32 + 1 (2.3.4)2 (4.5.6)2 = .... 2.3 + 24.22 + 24.32 + Do đó 1 (2.3.4)2 (4.5.6)2 ((2n − 2)(2n − 1)(2n))2 π =3+ ··· + .... 2.3 + 24.22 + 24.32 + 24.n2 + Ta ti p t c s d ng phép bi n đ i c a phân th c liên t c b1 b2 b3 bn p1 b1 p1 p2 b2 p2 p3 b3 pn−1 pn bn ··· = ... a1 + a2 + a3 +...+ an + p1 a1 + p2 a2 + p3 a3 +...+ pan + 1 Ch n p1 = 1 và pn = v in 2, ta có 4n2 1 1 . 2 .[2(n − 1)(2n − 1)(2n)]2 pn−1 pn bn 4(n − 1)2 4n 2n − 1 = = . p n an 1 2 6 .24.n 4n2 Do đó 1 32 52 (2n − 1)2 π =3+ ... .... 6+ 6 + 6 + + 6 + T c là 1 π =3+ . 32 6+ 52 6+ 6 + ... Chú ý. Ngoài cách bi u di n s π b i m t phân th c liên t c như trên, ta còn có th bi u di n s π b i các phân th c liên t c khác khác như: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18 4 π= 12 1+ 32 2+ 52 2− 72 2+ 92 2+ 2 − ... ho c 4 π= . 12 1+ 22 3+ 32 5+ 42 7+ 9 + ... 1.2.2. Phân th c liên t c cho s e Trong ph n này ta s tìm bi u di n phân th c liên t c c a s e. Trư c h t ta có ∞ 1 (−1)n 1 1 1 = e−1 = =1− + − + ..., e n=0 n! 1 1.2 1.2.3 b iv y e−1 1 1 1 1 =1− = − + − .... e e 1 1.2 1.2.3 Áp d ng công th c 1 1 1 1 α1 α2 − + − ... = ... α1 α1 α2 α1 α2 α3 α1 + α2 − 1 + α3 − 1 + v i αk = k ta đư c e−1 1 = . e 1 1+ 2 1+ 3 2+ 3 + ... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn