Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhập môn về tôpô phân lá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Nguyễn Thị Kiều Tuyết Vân<br /> <br /> NHẬP MÔN VỀ TÔPÔ PHÂN LÁ<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh – 2011<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Nguyễn Thị Kiều Tuyết Vân<br /> <br /> NHẬP MÔN VỀ TÔPÔ PHÂN LÁ<br /> <br /> Chuyên ngành: Hình học và tôpô<br /> Mã số: 60 46 10<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:<br /> PGS.TS. LÊ ANH VŨ<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh - 2011<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> <br /> LỜI NÓI ĐẦU .......................................................................................................... 1<br /> DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ................................ Error! Bookmark not defined.<br /> Chương 0:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................................4<br /> Chương 1:CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ PHÂN LÁ ...........................................................8<br /> 1.1.PHÂN BỐ KHẢ TÍCH TRÊN ĐA TẠP VI PHÂN ...................................... 8<br /> 1.1.1.Định nghĩa............................................................................................... 8<br /> 1.1.2.Mệnh đề ................................................................................................. 8<br /> 1.2.PHÂN LÁ ...................................................................................................... 9<br /> 1.2.1.Định nghĩa của A.Connes ...................................................................... 9<br /> 1.2.2.Định nghĩa của I.Tamura ....................................................................... 9<br /> 1.2.3.Nhận xét ................................................................................................ 10<br /> 1.2.4.Phân lá được cho bởi phân thớ hoặc tác động nhóm ............................ 11<br /> 1.3.CÁC VÍ DỤ ................................................................................................. 12<br /> 1.4.TÔPÔ PHÂN LÁ ......................................................................................... 18<br /> 1.4.1.Không gian các lá của phân lá .............................................................. 18<br /> 1.4.2.Kiểu tôpô của các phân lá ..................................................................... 20<br /> Chương 2:ĐỘ ĐO HOÀNH TRÊN ĐA TẠP PHÂN LÁ VÀ PHÂN LÁ ĐO<br /> ĐƯỢC………….. ..........................................................................................................21<br /> 2.1.KHÁI NIỆM ĐỘ ĐO HOÀNH VÀ PHÂN LÁ ĐO ĐƯỢC ....................... 21<br /> 2.1.1.Đa tạp con hoành. ................................................................................. 21<br /> 2.1.2.Tập hoành Borel.................................................................................... 23<br /> 2.1.3.Mệnh đề ................................................................................................ 24<br /> 2.1.4.Độ đo hoành đối với phân lá – phân lá đo được ................................... 24<br /> 2.2.SỰ LIÊN HỆ GIỮA ĐỘ ĐO HOÀNH VÀ ĐỘ ĐO THÔNG THƯỜNG .. 25<br /> Chương 3:PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K – QUỸ ĐẠO............................................27<br /> 3.1.BIỂU DIỄN PHỤ HỢP VÀ K – BIỂU DIỄN ............................................. 27<br /> 3.1.1.Biểu diễn phụ hợp ................................................................................. 27<br /> 3.1.2.K – biểu diễn của một nhóm Lie .......................................................... 28<br /> 3.1.3.Các MD – nhóm và MD – đại số .......................................................... 28<br /> 3.2.LỚP MD4 – ĐẠI SỐ VÀ MD4 - NHÓM ................................................... 28<br /> 3.2.1.Mệnh đề ............................................................................................... 29<br /> 3.2.2.Định lý 1 ............................................................................................... 29<br /> 3.2.3.Nhận xét ................................................................................................ 31<br /> 3.3.LỚP MD5 – ĐẠI SỐ VÀ MD5 – NHÓM BẤT KHẢ PHÂN VỚI IDEAL DẪN<br /> XUẤT GIAO HOÁN 3 HOẶC 4 CHIỀU .........................................................32<br /> 3.3.1.Các MD5 – đại số với ideal dẫn xuất 3 chiều giao hoán và các MD5 – nhóm<br /> liên thông tương ứng ..................................................................................... 32<br /> 3.3.2.Các MD5 – đại số với ideal dẫn xuất 4 chiều giao hoán và các MD5 – nhóm<br /> liên thông đơn liên tương ứng ....................................................................... 33<br /> 3.4.PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CÁC K – QUỸ ĐẠO ........................................ 36<br /> <br /> 3.4.1.Định nghĩa............................................................................................. 36<br /> 3.4.2.Nhận xét………………………………….............................................36<br /> 3.4.3.Bổ đề .................................................................................................... 37<br /> 3.4.4.Nhận xét ................................................................................................ 37<br /> 3.4.5.Bổ đề .................................................................................................... 37<br /> 3.4.6.Mệnh đề ............................................................................................... 37<br /> 3.4.7.Hệ quả ................................................................................................... 38<br /> 3.4.8.Hệ quả .................................................................................................. 38<br /> 3.4.9.Nhận xét ................................................................................................ 38<br /> 3.4.10.Chú ý ................................................................................................... 38<br /> 3.5.BỨC TRANH CÁC K – QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MDn – NHÓM ĐƠN LIÊN BẤT<br /> KHẢ PHÂN ( n = 4,5 ) ĐÃ XÉT ........................................................................38<br /> 3.5.1.Bức tranh K – quỹ đạo của các MD4 – nhóm đơn liên bất khả phân ... 38<br /> 3.5.2.Bức tranh K – quỹ đạo của các MD5 – nhóm đơn liên bất khả phân đã<br /> xét………………. ......................................................................................... 41<br /> 3.6.LỚP CÁC MDn – PHÂN LÁ ..................................................................... 51<br /> 3.6.1.Định lý 3 .............................................................................................. 51<br /> 3.6.2.Chú ý ..................................................................................................... 51<br /> 3.6.3.Chứng minh định lý 3 ........................................................................... 51<br /> 3.6.4.Định lý 4 ............................................................................................... 54<br /> 3.7.PHÂN LOẠI TÔPÔ CÁC MD4 – PHÂN LÁ............................................. 55<br /> 3.7.1.Định lý 5 .............................................................................................. 55<br /> 3.7.2.Chứng minh định lý 5 ........................................................................... 55<br /> 3.7.3.Nhận xét ................................................................................................ 59<br /> THAY LỜI KẾT LUẬN ......................................................................................... 60<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 61<br /> <br /> DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU<br /> Ad<br /> <br /> : Biểu diễn phụ hợp của G trong  .<br /> <br /> Aff <br /> <br /> : Đường thẳng affin phức.<br /> <br /> Aut<br /> <br /> : Nhóm Lie các tự đẳng cấu  − tuyến tính của  .<br /> <br /> BV<br /> <br /> : σ − đại số các Borel của V .<br /> <br /> <br /> <br /> : Trường số phức.<br /> <br /> *<br /> <br /> : Trường số phức khác 0.<br /> <br /> End <br /> <br /> : Đại số các đồng cấu  − tuyến tính của  .<br /> <br /> <br /> <br /> : Phân bố xác định phân lá.<br /> <br /> y<br /> <br /> : Phân thớ tại y của  .<br /> <br /> ∂<br /> <br /> : Phân lá cảm sinh từ  lên ∂V .<br /> <br /> F, X<br /> <br /> : Giá trị của dạng tuyến tính F tại trường vectơ X .<br /> <br /> G<br /> <br /> : Nhóm Lie.<br /> <br /> GLn (  )<br /> <br /> : Nhóm các ma trận vuông thực khả nghịch cấp n.<br /> <br /> G4,2,1<br /> <br /> : MD4 – nhóm tương ứng với MD4 – đại số 4,2,1 .<br /> <br /> <br /> G<br /> <br /> <br /> : Nhóm Lie tương ứng với đại số Lie  .<br /> <br /> <br /> <br /> : Đại số Lie của nhóm Lie G .<br /> <br /> *<br /> <br /> : Không gian đối ngẫu của  .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> : Ideal bất khả phân trong  .<br /> <br /> *<br /> <br /> <br /> <br /> : Không gian đối ngẫu của  .<br /> <br />  1 = [ ,  ]<br /> <br /> : ideal dẫn xuất của  .<br /> <br /> 4,2,1<br /> <br /> : MD4 – đại số với ideal dẫn xuất 2 – chiều, 1 là trường hợp đầu tiên<br /> trong phân loại.<br /> <br /> gen( Z )<br /> <br /> : Không gian vectơ có cơ sở là Z .<br /> <br /> h3<br /> <br /> : Đại số Lie Heisenberg 3 – chiều.<br /> <br /> JU<br /> <br /> : Định thức của ma trận Jacobi<br /> <br /> Matn (  )<br /> <br /> : Đại số các ma trận vuông thực cấp n.<br /> <br />