Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn bao gồm những nội dung về kiến thức chuẩn bị (nhóm con Hall, nhóm con Frattini, nhóm lũy linh, nhóm p -lũy linh, nhóm siêu giải được) và nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Việt Hà NHÓM CON 𝝅 - TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Việt Hà NHÓM CON 𝝅 - TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang. Người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo chuyên môn và tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy tại trường ĐH Sư phạm Tp. HCM đã tận tâm giảng dạy, cung cấp những kiến thức quí báu cho lớp Đại số K22 và bản thân tôi. Cuối cùng tôi cũng xin gởi lời cảm ơn sâu sắc cùng lời chúc sức khỏe đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn động viên, quan tâm và giúp đỡ trong suốt quá trình tôi làm luận văn. 1
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN ........................................................ 3 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 6 1.1. Các khái niệm mở đầu ................................................................................................6 1.2. Nhóm con Hall ...........................................................................................................11 1.3. Nhóm con Frattini ....................................................................................................13 1.4. Nhóm lũy linh, nhóm p -lũy linh .............................................................................15 1.5. Nhóm siêu giải được..................................................................................................20 CHƯƠNG 2: NHÓM CON π -TỰA CHUẨN TẮC ............................................... 26 2.1. Định lý ........................................................................................................................26 2.2. Định lý ........................................................................................................................29 2.3. Định lý ........................................................................................................................32 2.4. Định lý ........................................................................................................................33 2.5. Định lý ........................................................................................................................34 2.6. Định lý (Buckley [2]) .................................................................................................35 2.7. Định lý (Asaad [1]) ....................................................................................................35 2.8. Định lý(Van der wall [9]) ..........................................................................................35 2.9. Định lý ........................................................................................................................36 2.10. Định lý ......................................................................................................................37 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 39 2
BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Kí hiệu Ý nghĩa [G : H ] Chỉ số của H trong G Hx Nhóm con liên hợp của H trong G NG ( H ) Chuẩn hoán tử của H trong G CG ( X ) Tâm của X trong G Z (G ) Tâm của G [ a, b] = aba −1 −1 b Hoán tử của a, b [G , G ] Nhóm con giao hoán tử của G Aut ( G ) Nhóm các tự đẳng cấu của G H char G H là nhóm con đặc trưng của G φ (G ) Nhóm con Frattini của G H,K Nhóm con sinh bởi H và K Op ( G ) Nhóm con sinh ra bởi các tất cả p − nhóm con chuẩn tắc của G O p (G ) Nhóm con sinh ra bởi tất cả các phần tử có cấp là p '− số 3
MỞ ĐẦU Chúng ta đã biết 2 nhóm con H , K của nhóm G gọi là giao hoán nếu HK = KH . Ta định nghĩa một nhóm con của G gọi là π - tựa chuẩn tắc trong G nếu nó giao hoán với mọi nhóm con Sylow của G . Nhóm con π - tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn với nhiều tính chất thú vị có ảnh hưởng quan trọng đối với cấu trúc của một nhóm hữu hạn. Ngoài ra, trong quá trình nghiên cứu các nhà toán học Ito, Buckley, Van der Waall và Asaad đã chứng minh những Định lý nối tiếng liên quan đến nhóm hữu hạn như sau: Định lý (Ito [13]): Cho G là nhóm có cấp lẻ và mọi nhóm con của G ' có cấp nguyên tố đều chuẩn tắc trong G . Khi đó G ' là nhóm lũy linh. Định lý (Buckley [5]): Nếu G là nhóm có cấp lẻ và mọi nhóm con của G có cấp là số nguyên tố đều chuẩn tắc trong G thì G siêu giải được. Định lý (Asaad [1]): Nếu mọi nhóm con có cấp nguyên tố đều tựa chuẩn tắc trong G và mọi nhóm con cyclic cấp 4 của G đều tựa chuẩn tắc trong G thì G là nhóm siêu giải được. Định lý (Van der wall [14]): Đặt pn là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết G . Nếu mọi nhóm con của G có cấp nguyên tố đều chuẩn tắc trong G thì 2 điều sau là tương đương: (1) G là nhóm siêu giải được. (2) G là nhóm pn -lũy linh. Những tác giả trên đã dùng nhiều cách khác nhau để chứng minh chúng. Luận văn sẽ sử dụng những tính chất nhóm con π - tựa chuẩn tắc để trình bày những cách chứng minh khác và mở rộng của các Định lý trên để thấy rõ mối quan hệ giữa các Định lý và sự ảnh hưởng quan trọng của nhóm con π - tựa chuẩn tắc. 4
Luận văn “Nhóm con π - tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn” được chia làm 2 chương: Chương 1: Trình bày một số khái niệm và các tính chất quan trọng liên quan đến nhóm con π - tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn, nhóm siêu giải được, nhóm lũy linh, nhóm p − lũy linh …. Chương 1 sẽ giúp người đọc nắm vững những khái niệm và tính chất để theo dõi tiếp chương 2, cũng là phần chính của luận văn. Chương 2: Trình bày những kết quả chính về sự ảnh hưởng của nhóm con π - tựa chuẩn tắc trong cấu trúc nhóm hữu hạn. Luận văn là sự trình bày chi tiết các Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4, Định lý 3.5, Bổ đề 3.6, Bổ đề 3.7, Bổ đề 3.8, Bổ đề 3.9, Định lý 3.10 trong bài báo[4] của tác giả Ayesha Shaalan. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn nhưng không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn. 5
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Các khái niệm mở đầu 1.1.1. Định nghĩa G là một nhóm, p là một số nguyên tố chia hết G . Khi đó i) G được gọi là một p - nhóm nếu G là lũy thừa của p . ii) H là nhóm con của G . H là được gọi là p -nhóm con của G nếu H là p -nhóm iii) Nhóm con H của G gọi là p -nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối đại trong tập các p -nhóm con của G theo quan hệ bao hàm. 1.1.2. Định lý Sylow([1],7.1,7.2, trang 37) Cho p là một số nguyên tố chia = hết G , G p= n m, (m, p ) 1 . Khi đó: ∀i =1, 2,.., n luôn tồn tại nhóm con cấp p của G . Nói riêng luôn tồn tại p -nhóm k i) con Sylow của G . ii) Mọi p − nhóm con của G luôn nằm trong một p -nhóm con Sylow nào đó của G . iii) Mọi p − nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau. iv) Số các p − nhóm con Sylow của G đồng dư 1 modulo p . 1.1.3. Hệ quả Cho p à một số nguyên tố chia hết G và P là một p -nhóm con Sylow của G . Khi đó i) Số các p -nhóm con Sylow của G là một ước của G và nguyên tố cùng nhau với p. ii) P là p -nhóm con Sylow duy nhất của G nếu và chỉ nếu P chuẩn tắc trong G . 1.1.4. Định nghĩa Cho H là nhóm con của G , khi đó H đuợc gọi là nhóm con tựa chuẩn tắc của G nếu H giao hoán với mọi nhóm con của G . Nghĩa là HK = KH với mọi nhóm con K của G . 1.1.5. Định lý 6
= KH Nếu H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G thì HK = H , K .Nghĩa là HK là nhóm con của G. Chứng minh: Lấy x, y ∈ HK , x =hk , y =h ' k ' khi đó xy −1 = h.k .k '−1 .h '−1 = h.[(k .k '−1= )h '−1 ] h.h ''.k '' ∈ HK . Vậy HK là nhóm con của G . Mà H ≤ HK , K ≤ HK nên = KH H , K ⊂ HK . Dễ thấy HK ⊂ H , K . Vậy HK = H,K . 1.1.6. Định lý Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G thì H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G. Chứng minh: Lấy K là một nhóm con bất kì của G . HK = {hk , h ∈ H , k ∈ K } . Lấy tùy ý hk ∈ HK . Do H chuẩn tắc ta có k −1hk ∈ H nên k −1hk = h ' suy ra hk = kh ' .Vậy hk ∈ KH tức HK ⊂ KH . Tương tự ta có KH ⊂ HK . Do đó HK = KH . Vì vậy H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G . 1.1.7. Định nghĩa H là nhóm con của G . Khi đó H được gọi là nhóm con π − tựa chuẩn tắc của G nếu H giao hoán với mọi nhóm con Sylow của G . 1.1.8. Định nghĩa Cho dãy các nhóm con của G , 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G nếu Gi  Gi +1= , ∀i 1, 2.., n − 1 thì dãy trên gọi là dãy chuẩn tắc của G và kí hiệu là 1 G= 0  G1  ...  Gn G . n được gọi là độ dài của dãy. Gi gọi là số hạng của dãy, Gi +1 gọi là nhân tử của dãy. Gi 1.1.9. Định nghĩa Dãy chuẩn tắc của G gọi là dãy các nhóm con chuẩn tắc của G nếu mọi số hạng của dãy là nhóm con chuẩn tắc của G . 1.1.10. Định nghĩa H là một nhóm con của G . H được gọi là nhóm con á chuẩn tắc (subnormal) = của G nếu tồn tại các nhóm con H H= 0 , H 1 , H 2 ,..., H n G sao cho H H= 0  H 1  H 2  ...  H n G. 1.1.11. Định lý ([13], Salt 1, trang 209) 7
Nếu H là một nhóm con π − tựa chuẩn tắc của G thì H là nhóm con á chuẩn tắc của G . 1.1.12. Định lý Nếu H ≤ K ≤ G và H là nhóm con π − tựa chuẩn tắc của G thì H là nhóm con π − tựa chuẩn tắc của K . Chứng minh: Lấy Q là một p -nhóm con Sylow của K với p là một số nguyên tố và chia hết K . Khi đó tồn tại một p -nhóm con Sylow P của G sao cho Q= P ∩ K . Hơn nữa H ≤ K ≤ G nên HQ = H .( P ∩ K ) = HP ∩ K = PH ∩ K = (P ∩ K )H = QH .Vậy H là nhóm con π − tựa chuẩn tắc của K . 1.1.13. Định lý ([12], Salt 5, trang 209] Nếu N ≤ H ≤ G và N chuẩn tắc trong G thì H là π − tựa chuẩn tắc trong G khi và chỉ khi H N π − tựa chuẩn tắc trong G N . 1.1.14. Định lý ( Định lý đẳng cấu 1) Giả sử f : G → G ' là một đồng cấu. Khi đó G Ker f ≅ Im f . 1.1.15. Định lý (Định lý đẳng cấu 2) Cho H  G, K ≤ G . Khi đó H ∩ K  K và K ≅ HK . (H ∩ K ) H 1.1.16. Định lý G Nếu H  G, K  G, K ≤ H thì K ≅G . H H K Chứng minh. Do K  G, K ≤ H nên K  H . H  G nên H K  G K . Xét toàn cấu ϕ :G K → G H G , ker ϕ = H K . Theo Định lý đẳng cấu 1 ta được K H ≅G H . aK  aH K 1.1.17. Định lý Cho H '  H , K '  K khi đó H × K H '× K ' ≅ H H ' × K K ' . Chứng minh. Do H '  H , K '  K nên H '× K '  H × K . 8
ϕ : H × K → H H '× K K ' Xét toàn cấu ta có K er ϕ= H '× K ' . ( a, b )  ( aH ', bK ') Theo Định lý đẳng cấu 1ta có H ×K ≅H ×K . H '× K ' H' K' 1.1.18. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Nếu ánh xạ ϕ : G → G là một đẳng cấu thì ϕ được gọi là một tự đẳng cấu của G . Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của G được kí hiệu là Aut (G ). Aut (G ) là nhóm với phép nhân đồng cấu. Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con đặc trưng của G , kí hiệu H char G nếu ϕ ( H ) = H , ∀ϕ ∈ Aut (G ) . Nhận xét: ( [1], Mệnh đề 8.2, trang 43 ) i) Nếu ϕ ( H ) ⊂ H , ∀ϕ ∈ Aut (G ) thì H char G . ii) Nếu H char G thì H  G . iii) Nếu H char K , K char G thì H char G . iv) Nếu H char K , K  G thì H  G . 1.1.19. Định lý ( Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho H , G H = 1 thì H char G . ) Chứng minh.Giả = sử H m= ,G n thì (m, n) = 1 .Theo định lý Larrange H G = mn Lấy bất kì ϕ ∈ Aut (G ) , đặt H ' = ϕ ( H ) thì H ' cũng có cấp m. Do H chuẩn tắc nên HH ' là nhóm con của G . Đặt = d H ∩ H ' thì d là ước của m . Lại có H . H ' m2 m2 = HH ' = nên là ước của mn .Mà (m, n) = 1 nên m = d .Từ đó ta được H ∩H' d d H ' = H nên H char G . 1.1.20. Định lý Cho X , Y là các nhóm cylic cấp m, n sinh bởi các phần tử x, y tức là =X = x m ,Y y n . Khi đó số các đồng cấu ϕ : X → Y là số các số nguyên k mà 9
=k 0,1,..., n − 1 sao cho km n . Từ đó, ta có Aut ( P )= p − 1 với P là một nhóm cyclic cấp p ( p là một số nguyên tố). ) y k ,0 ≤ k < n . Khi đó theo tính Chứng minh. Giả sử ϕ : X → Y là đồng cấu ϕ ( x= chất đồng cấu ϕ ( xl ) = ( y k ) . Vậy mọi đồng cấu ϕ : X → Y đều có dạng ϕ ( xl ) = ( y k ) . l l Theo tính chất đồng cấu của ϕ ta được ϕ ( eX ) = eY nên ( xm ) (= y ) y km do đó m = eY ϕ= k với k 0,1,..., n − 1 .Vậy số các đồng cấu ϕ : X → Y là số các số nguyên k mà km n = =k 0,1,..., n − 1 sao cho km n . Khi ϕ là đồng cấu Kerϕ = { xl ∈ x m ( : yk ) = l eY = } { xl ∈ x m  l : kl  n} = x ∈ x  m n ( n, k ) . : l , d = d  n n Do đó Kerϕ = x d là nhóm cyclic sinh bởi phẩn tử x d với d = ( n, k ) . Xét trường hợp P là một nhóm cyclic cấp p , số các đồng cấu ϕ : P → P là p . n Nếu ϕ là đẳng cấu thì Ker = ϕ = xd eP với d = ( n, k ) . Do đó Aut ( P )= p − 1 . 1.1.21. Định lý. Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm cyclic là một nhóm giao hoán hữu hạn. 1.1.22. Định lý Cho X là một nhóm con của G . Khi đó có một đồng cấu ϕ : N G ( X ) → Aut ( X ) NG ( X ) với Kerϕ = CG ( X ) . Từ đó, có thể nhúng vào Aut ( X ) . CG ( X ) Chứng minh. Xét tương ứng ϕ : N G ( X ) → Aut ( X ) g  f :X →X x  x g = g −1 xg {x ∈ X : f ( x ) = Ker f = xg = 1} = g −1 xg = { x ∈ X : xg = g} = {1} Lại có Im ( f ) = X nên f ∈ Aut ( X ) . Lấy g1 , g 2 ∈ N G ( X ) . Khi đó 10
ϕ : N G ( X ) → Aut ( X ) g1 g 2  f :X →X ( g= 1 g 2 ) x ( g1 g 2 ) 2 ( g1 xg1 ) g 2 f 2 f1 ( x ) −1 = x  xg g 1 2 g=−1 −1 Do đó ϕ là đồng cấu. Kerϕ = { g ∈ N G ( X ) : ϕ ( g ) = f = Id } = { g ∈ N G ( X ) : f ( x ) = g −1 xg = x ∀x ∈ X } = { g ∈ N ( X ) : xg = G gx ∀x ∈ X }= CG ( X ) NG ( X ) NG ( X ) Theo Định lý Đẳng cấu 1 thì ≅ Im ϕ , do đó có thể CG ( X ) CG ( X ) nhúng vào Aut ( X ) . 1.2. Nhóm con Hall 1.2.1. Định nghĩa π là một tập hợp các số nguyên tố. Đặt π ' là phần bù của π trong tập các số nguyên tố. Khi đó nếu n là một số tự nhiên có tất cả các ước nguyên tố nằm trong π thì n được gọi là π -số. Nhận xét: + Nếu a là π -số, b là π ' -số thì a, b nguyên tố cùng nhau. + Nếu G là một nhóm mà mọi phần tử đều có cấp là π − số thì G được gọi là một π − nhóm. +Nếu π là tập hợp chỉ gồm một phần tử p thì ta kí hiệu là p − số và p '− số thay cho π − số và π '− số. Hay đơn giản hơn, số a ∈  được gọi là một p − số nếu a là một lũy thừa của p . a được gọi là p '− số nếu ( a, p ) = 1 . 1.2.2. Định nghĩa.  n Cho k , n ∈  . Khi đó k được gọi là một ước Hall của n nếu k | n và  k ,  = 1 . k   1.2.3. Định nghĩa Cho nhóm con H của nhóm G có cấp là một ước Hall của G . Khi đó H được gọi là một nhóm con Hall của G . 1.2.4. Định lý 11
Nếu H là nhóm con π − Hall tựa chuẩn tắc của G thì H  G . Chứng minh. Do H là nhóm con π − Hall tựa chuẩn tắc của G nên theo Định lý 1.1.11 thì H là nhóm con á chuẩn tắc của G . Do đó tồn tại dãy chuẩn tắc  G  H H= 0  H 1  ...  H n G . H là nhóm con Hall của G nên  H ,   = 1 . Do đó  H   H   H , 1 H  = 1 nên theo Định lý 1.1.19 thì H char H1 .Mà H1  H 2 nên theo Định lý   1.1.19 thì H  H 2 . Tương tự sau hữu hạn bước ta được H char G nên H  G . Nhận xét: Nếu H , K là các p − nhóm con của G , K  G thì H ∩ K là một p − nhóm nên H H ∩ K là một p − nhóm. Vì HK K ≅ H H ∩ K nên HK K là một p − nhóm, vì vậy HK là một p − nhóm. Do đó ta có định nghĩa sau: 1.2.5. Định nghĩa Nhóm con được sinh bởi tất cả các p − nhóm con chuẩn tắc của G là một p − nhóm. Nhận xét: Đây là p − nhóm con chuẩn tắc tối đại duy nhất của G , kí hiệu là Op (G ) . 1.2.6. Định lý G là một nhóm, p là một số nguyên tố . Khi đó O p (G ) là giao của tất cả các p − nhóm con Sylow của G . Chứng minh: Đặt H = Op (G ) . K =  Pi , với Pi là các p − nhóm con Sylow của G . Do H chuẩn tắc nên HPi = H , Pi là p − nhóm con của G chứa Pi ( Pi là p − nhóm con Sylow bất kì của G ). Vậy HPi = Pi suy ra H ⊂ Pi ∀i nên H ⊆ K . Ngược lại, ta chứng minh K ⊂ H bằng cách chỉ ra K cũng là một p − nhóm con chuẩn tắc của G ( P ) ⊂  Pi x ( do  P ⊂ P nên (  P ) x x = . Thật vậy Kx i i i i ⊂ Pi x ). Ta chứng minh P ⊂ K . Lấy x −1 yx ∈ = x −1 yx)(x −1 yx)...(x −1 yx) x −1 y p x=1 . Do đó Pi x ∀y ∈ Pi , ( x −1 yx) p (= n n x i 12
Pi x là một p − nhóm vì vậy Pi x ⊂ Pj , Pj là nhóm con Sylow nào đó của G . Từ đó ta được P i x ⊂ K .Vậy K x ⊂ K ∀x. Do x tùy ý nên ta cũng có K x ⊂ K ⇒ ( x −1 ) Kx −1 ⊂ K ⇒ K ⊂ x −1 Kx = −1 K x . Từ đó −1 ta được K= K x ∀x ∈ G . Do đó K  G .Vậy K = H . 1.2.7. Định lý ( Schur-Zassenhaus) ([8], 9.1.2, trang 253) Cho N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm hữu hạn G . Giả = sử N n= ,G N m ,trong đó (m, n) = 1 . Khi đó G có chứa nhóm con cấp m và hai nhóm con có cấp m tùy ý được chứa trong G đều liên hợp với nhau. 1.2.8. Định lý Nếu H là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G thì tồn tại một nhóm con K của G sao cho G H ≅ K . ( Chứng minh: Do H là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G nên H , G H = 1 . ) G Áp dụng Định lý 1.2.7 sẽ tồn tại nhóm con K của G sao cho= = K G H nên H K H = G . Mà ( H , K ) = 1 nên H ∩ K = {1} . Từ đó ta có G = HK . Mà HK ≅K nên G H ≅ K . H H ∩K 1.3. Nhóm con Frattini 1.3.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G được gọi là nhóm con Frattini của G . Kí hiệu φ (G ) . Nhận xét. Do ta xét G là nhóm hữu hạn nên nhóm con Frattini luôn tồn tại trong G. 1.3.2. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Khi đó phần tử x ∈ G được gọi là phần tử không sinh của G nếu G = x, Y thì G = Y . 13
1.3.3. Định lý Cho G là một nhóm. Khi đó φ (G ) chính là tập các phần tử không sinh của G Chứng minh. Lấy x là một phần tử không sinh của G . Giả sử tồn tại nhóm con tối đại M của G , mà x ∉ M . Khi = đó G = x, M M (mâu thuẫn). Ngược lại lấy x ∈ φ (G ) , G = x, Y .Giả sử G ≠ Y , gọi M là nhóm con tối đại của G chứa Y . Khi đó = G = x, Y M (mâu thuẫn). 1.3.4. Định lý Cho G là một nhóm khi đó φ (G ) char G nên ta cũng có φ (G )  G . Chứng minh. Lấy f ∈ Aut (G ), y ∈ f (φ (G ) ) . Khi đó tồn tại x ∈ φ (G ) : y = f ( x) . = Ta có G = f (G ) . Nếu G = x, Y thì (G ) f ( x= G f= ,Y ) f ( x), f (Y ) . Do x ∈ φ ( G ) nên= = f ( Y= G Y ) f (Y ) . Do đó = y f ( x) ∈ φ ( G ) . Vậy f (φ ( G ) ) ⊆ φ ( G ) . Theo 1.1.19 (i) φ (G ) char G và theo 1.1.19(ii) thì φ (G )  G. 1.3.5. Định lý Nếu H  G thì φ ( H ) ≤ φ ( G ) . Chứng minh. Giả sử φ ( H ) không là nhóm con của φ ( G ) . Khi đó tồn tại một nhóm con tối đại M của G sao cho φ ( H ) ⊄ M . Do φ ( H ) char H , H  G theo 1.1.15 iv) φ ( H )  G . Theo Định lý 1.1.6 M φ ( H ) ≤ G mà M tối đại, nên M φ ( H ) = G . Do đó H = H ∩G = Hφ ( H ) ∩ M φ ( H ) = H ∩ Mφ ( H ) = ( H ∩ M )φ ( H ) . Vậy H thì φ ( H ) ≤ H ≤ M (mâu thuẫn). Do đó H ∩ M < H . Khi H ∩ M ≤ H . Nếu H ∩ M = đó tồn tại nhóm con tối đại H1 của H , H1 ⊃ H ∩ M . Do đó H = H1φ ( H ) mà φ ( H ) ⊂ H1 nên H = H 1 (mâu thuẫn). 1.3.6. Định lý Nếu G = φ ( G ) H với H là một nhóm con của G thì G = H . 14
Chứng minh.Theo Định lý 1.3.4 φ ( G )  G do đó = ( G ) H H= G φ= φ (G ) H , φ ( G ) . Theo Định lý 1.3.3 ta được G = H mà H ≤ G nên G=H. 1.3.7. Định lý (Burside Basis Theorem)([9]). Nếu G là một p − nhóm, với p là một số nguyên tố, = G p= n G , x1φ ( G ) , x2φ ( G ) ,..., xnφ ( G ) thì φ (G ) φ (G ) G = x1 , x2 ,..., xn . 1.4. Nhóm lũy linh, nhóm p -lũy linh 1.4.1. Định nghĩa Cho G là nhóm, tâm của G kí hiệu là Z (G ) = {a ∈ G : ag = ga, ∀g ∈ G} . 1.4.2. Định nghĩa G là một nhóm, dãy các nhóm con chuẩn tắc của G 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G thỏa Gi +1 ⊂ Z  G  ∀= i 0, n − 1 được gọi là dãy tâm Gi  Gi  của G . Nhận xét: Nếu 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G là dãy tâm thì 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn ≤ Gn +1 ≤ ... ≤ Gn + p = G cũng là một dãy tâm. 1.4.3. Định nghĩa Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu trong G có một dãy tâm. Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G gọi là lớp lũy linh của nhóm G . Nhận xét: -Nhóm có lớp lũy linh bằng 0 là nhóm {1} . -Nhóm có lớp lũy linh lớn nhất bằng 1 là nhóm aben. -Nhóm lũy linh là nhóm giải được. 15
1.4.4. Định lý Nếu G là một p − nhóm thì G là nhóm lũy linh. Chứng minh: Do G là p − nhóm nên G = p n . Ta chứng minh qui nạp theo n . G p, p ∈ P nên G là nhóm aben, do đó G là nhóm lũy linh. Với n=1; = Giả sử G là nhóm lũy linh ∀m < n .Ta chứng minh G là nhóm lũy linh khi = G = p n . Ta có G Z (G ) + ∑ [G:C(x i )] nên Z (G )  p . Xét nhóm thương G theo Z (G ) G định lý Larrange G Z (G ) = nên G Z= (G ) p m , m < n . Theo giả thiết qui nạp Z (G ) thì G Z (G ) là nhóm lũy linh. Do đó tồn tại dãy tâm 1 = H 0 ≤ H1 ≤ ... ≤ H n = G Z (G ) . p :G → G Xét toàn cấu chiếu Z (G ) . Đặt G = p −1 ( H ) . Do p là toàn cấu nên i +1 i g  g .Z (G ) ⊂ Z  G  . Gi +1 Gi  G , ∀i . Xét dãy 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn ≤ Gn +1 = G . Ta chứng minh Gi  Gi  G Hi Z (G ) Lấy a ∈ Gi +1 , b ∈ G ⇒ p(a) ∈ H i , p(b) ∈ G Z (G ) . Để ý H i −1 = H i −1 . Khi= đó p(a −1b −1ab) p(a) −1 p(b) −1 p(a) p(b) ∈ H i −1 ⇒ a −1b= −1 ab ∈ p −1 ( H i −1 ) Gi . Từ đó ta được điều cần phải chứng minh. 1.4.5. Định lý Cho G là nhóm lũy linh khi đó: i) Nếu N ≤ G thì N là nhóm lũy linh. ii)Nếu N  G thì G N là nhóm lũy linh. iii)Nếu A,B là nhóm lũy linh thì A × B là nhóm lũy linh. Chứng minh. 16
i)Do G là nhóm lũy linh nên tồn tại dãy tâm1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G Gi  G  ( Gi ∩ N )  G Do Gi ≤ Gi +1 ⇒  N  G ( Gi ∩ N ) ≤ ( Gi +1 ∩ N )  Xét dãy 1 = G0 ∩ N ≤ G1 ∩ N ≤ ...Gn ∩ N = N . Ta chứng minh Gi +1 ∩ N ⊂ Z  N  . Lấy a ∈ G ∩ N , b ∈ N . Theo giả thiết  Gi ∩ N  Gi ∩ N  i +1 ⊂ Z  G  nên a −1b −1ab ∈ Gi . Mà a −1b −1ab ∈ N nên ⇒ a −1b −1ab ∈ Gi ∩ N tức Gi +1 Gi  Gi  Gi +1 ∩ N ⊂ Z  N .  Gi ∩ N  Gi ∩ N  ii) Do G là nhóm lũy linh nên tồn tại dãy tâm1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G .Theo giả thiết N  G, Gi  G, Gi ⊂ Gi +1 nên Gi N  G, Gi N ≤ Gi +1 N , N  Gi N . Do đó Gi N Gi +1 N Gi N ≤ , G . N N N N G0 N GN GN = Xét dãy 1 ≤ 1 ≤ ... ≤ n = G N N N N Gi +1 N G  Ta chứng minh N ⊂Z  N . Gi N  Gi N  N  N ∈ Z  G  nên a −1b −1ab ∈ Gi . Do đó Gi +1 Lấy an ∈ Gi +1 N ; b ∈ G , do Gi  Gi  = (an ) −1 b −1an.b n= −1 −1 −1 a b anb [n −1 (a −1b −1ab)n]( n−1 −1 b  nb) ∈ Gi N .   ∈Gi ∈N Gi +1 N G  ∈ Z  G  nên   Gi +1 Như vậy N ⊂Z N Gi  Gi  Gi N  Gi N  N  N iii)Do A,B là 2 nhóm lũy linh, theo nhận xét(*)ta có thể giả sử có 2 dãy tâm có cùng chiều dài Do Ai ≤ Ai +1 , Bi ≤ Bi +1 , Ai  A, Bi  B nên Ai × Bi  A × B, Ai × Bi ≤ Ai +1 × Bi +1 Xét dãy1 = A0 × B0 ≤ A1 × B1 ≤ ... ≤ An × Bn ≤ A × B 17
Ai +1 × Bi +1 Ta chứng minh ⊂ Z  A × B   Ai × Bi  Ai × Bi Lấy ( a ', b ') ∈ Ai +1 × Bi +1 , ( a, b ) ∈ A × B . ⊂ Z  A  , i +1 ⊂ Z  B  nên a '−1 a −1a ' a ∈ Ai , b '−1 b −1b ' b ∈ Bi Ai +1 B Theo giả thiết Ai  Ai  Bi  Bi  Lại có (a ', b ') −1= (a, b) −1 (a ', b ')(a, b) (a '−1 a −1a ' a, b '−1 b −1b ' b) ∈ Ai × Bi Ai +1 × Bi +1 Nên ⊂ Z  A × B   Ai × Bi  Ai × Bi 1.4.6. Định nghĩa Nhóm G được gọi là p − lũy linh ( với p là một số nguyên tố) nếu nó có một p '− nhóm con Hall chuẩn tắc. 1.4.7. Định lý ([8],5.4, trang 434) Giả sử G là một nhóm không p − lũy linh nhưng mọi nhóm con thực sự của nó là p − lũy linh. Khi đó G là một nhóm không lũy linh nhưng mọi nhóm con thực sự của nó là lũy linh. 1.4.8. Định nghĩa G là một nhóm, số mũ của nhóm G là bội chung nhỏ nhất của tất cả các cấp của các phần tử trong G . 1.4.9. Định lý([13],5.2, trang 281) Giả sử G là một nhóm không lũy linh, nhưng mọi nhóm con thực sự của G là lũy linh thì: (i) G có một p − nhóm con Sylow chuẩn tắc P ( với p là một số nguyên tố) sao cho G ≅ Q , với Q là q − nhóm con cyclic không chuẩn tắc của G , q là số nguyên tố, P q ≠ p. (ii) P φ ( P) là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G φ ( P) . (iii) Nếu P không giao hoán và p ≠ 2 thì số mũ của P là p . (iv) Nếu P không giao hoán và p = 2 thì số mũ của P là 4. 18