Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

75
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích mà đề tài đặt ra là nghiên cứu phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp. Đề tài đề xuất phương pháp mới để giải bài toán VIEP(T,ϕ,A) trong trường hợp bài toán BV I(T, G, A) với ánh xạ giá T đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, ánh xạ G đơn điệu mạnh ngược.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ĐIỆP PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2019
2
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ĐIỆP PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP Ngành: Toán giải tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên, năm 2019
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn "Bài toán Bất đẳng thức biến phân hai cấp" là công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Ngoài ra, trong luận văn tôi còn sử dụng một số kết quả, nhận xét của một số tác giả khác đều có chú thích và trích dẫn nguồn gốc.Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình. Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả NGUYỄN THỊ ĐIỆP i
Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô giáo Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học, các bạn học viên lớp Cao học K25 Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân đã luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả NGUYỄN THỊ ĐIỆP ii
Danh mục các ký hiệu viết tắt R tập số thực ∈ thuộc của một phần tử đối với tập hợp ∀x mọi x Rn không gian Euclid thực n-chiều H không gian Hilbert thực xn → x dãy hội tụ mạnh tới x xn * x dãy hội tụ yếu tới x q kmk = hm, mi chuẩn của vectơ m hm, mi tích vô hướng của hai vectơ m và n H ×H tích đề các của H vào H T :A→H ánh xạ từ A vào H P rA (x) hình chiếu của x lên tập A TAnat ánh xạ giá tự nhiên của T trên A V I(T, A) bài toán Bất đẳng thức biến phân CP (T, A) bài toán bù xác định bởi nón A và ánh xạ T Sol(T, A) tập nghiệm của bài toán VI (T,A) EP (A, f ) bài toán cân bằng BV I(T, G, A) bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp. iii
Mục lục Lời mở đầu 1 1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Dự kiến kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương I: Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian Hilbert và một số tính chất . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân . . . 8 Chương II: Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 22 2.2 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 34 Danh mục các tài liệu tham khảo 35 iv
LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Bài toán bất đẳng thức biến phân được Stampacchia, nhà toán học người Ý đưa ra từ cuối những năm 50 đầu những năm 60 của thế kỉ XX. Trước hết, ông đưa ra bài toán trong không gian Rn . Bài toán được phát biểu như sau: Cho A ⊂ Rn là một tập hợp, T : A → Rn . Bài toán: Tìm x ∈ A sao cho hT (x), x − xi ≥ 0 với mọi x ∈ A. (1) Bài toán này được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân, x là nghiệm của (1). Thông thường người ta ký hiệu bài toán này là (VI(T,A)), tiếng anh: Variational inequality. Sau đó bài toán này được mở rộng thành trường hợp tổng quát hơn: Cho ϕ : A → R, bài toán: Tìm x ∈ A sao cho hT (x), x − xi + ϕ(x) − ϕ(x) ≥ 0. Bài toán này được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân suy rộng. Hiển nhiên rằng những bài toán này bao luôn bài toán tối ưu. Tiếp theo những bài toán này được mở rộng sang không gian vô hạn chiều và được áp dụng vào nhiều bài toán của phương trình vi phân đạo hàm riêng eliptic, những bài toán phương trình đạo hàm riêng với ràng buộc biên và những bài toán về tài chính, bài toán về giao thông. Trong những bài toán trên ta thấy có tập hợp và ánh xạ cùng tham gia vào việc phát biểu của bài toán. Căn cứ vào ánh xạ, người ta phân thành bất đẳng thức afin và 1
bất đẳng thức phi tuyến. Ban đầu người ta chứng minh được sự tồn tại của nghiệm các bài toán với giả thiết về tính liên tục của ánh xạ T và tính lồi compact của tập A. Tiếp theo người ta phát triển các bài toán này cho trường hợp không gian vô hạn chiều, trước hết là không gian Hilbert. Sự tồn tại nghiệm của bài toán với các điều kiện nhẹ hơn: T là ánh xạ đơn điệu, A là tập lồi, đóng và thỏa mãn điều kiện bức trên A. Ngoài ra, người ta còn mở rộng các bài toán này cho trường hợp liên quan tới ánh xạ đa trị: T : A → 2A , bài toán: Tìm x ∈ A, v ∈ T (x) sao cho vhx − xi ≥ 0 với mọi x ∈ A. Bài toán này được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị. Tới năm 1994, Blum và Oettli phát biểu bài toán điểm cân bằng tổng quát: Cho X là không gian vectơ lồi địa phương thực, A ⊂ X là một tập lồi đóng, khác rỗng và ϕ : A × A → R là hàm thỏa mãn ϕ(x, x) = 0 với mọi x ∈ A. Bài toán: Tìm điểm x ∈ A sao cho ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ A. Bài toán này được gọi là bài toán cân bằng. Thông thường người ta ký hiệu bài toán này là (EP(A, ϕ)). Hàm ϕ được gọi là song hàm. Hiển nhiên bài toán bất đẳng thức biến phân là trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng khi ta đặt ϕ(x, y) =hT (x, y − x)i. Khi ấy ϕ(x, y) ≥ 0 ⇔hT (x, y − x)i ≥ 0. Tức là nghiệm của bài toán cân bằng đối với hàm ϕ chính là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Ngoài ra các bài toán khác như bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị,... cũng chỉ là trường hợp riêng của bài toán cân bằng. Trong thực tế nhiều khi ta gặp những tình huống giải bài toán này trên tập nghiệm của bài toán khác. Những bài toán như vậy được gọi là bài toán cấp hai. Mục đích của luận văn này là viết một tổng quan về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và xây dựng thuật 2
toán tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân khác, hay là tìm Thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân cấp hai. Việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và việc tìm ra những thuật toán để tìm nghiệm của bài toán này đóng vai trò quan trọng trong việc đưa toán học vào giải quyết các vấn đề thực tế. Chính vì vậy với mong muốn tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề trên, cùng với sự gợi ý giúp đỡ nhiệt tình của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, tôi chọn đề tài: "Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp" làm luận văn thạc sĩ của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích mà đề tài đặt ra là nghiên cứu phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp. Đề tài đề xuất phương pháp mới để giải bài toán VIEP(T,ϕ,A) trong trường hợp bài toán BV I(T, G, A) với ánh xạ giá T đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, ánh xạ G đơn điệu mạnh ngược. Gần đây, bài toán này đã được P.N. Anh và cộng sự đưa ra phương pháp đạo hàm tăng cường trong [1]. Các thuật toán đề xuất được cho dưới dạng hiển, hay các bài toán phụ chỉ cần tính toán các phép chiếu của một điểm trên một tập lồi. Tuy nhiên, điểm hạn chế là thuật toán đòi hỏi phải tính toán thêm các vòng lặp trong tại mỗi bước lặp. Điểm mới trong phương pháp của chúng tôi là sử dụng tính chất co của ánh xạ Tλ = I˘λF với λ > 0, F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Khi đó, thuật toán đề xuất chỉ đòi hỏi tính toán một phép chiếu tại mỗi bước lặp, các thuật toán này có sự hiệu quả hơn về mặt cấu trúc, tính hội tụ và thực thi tính toán. 3
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Với các mục đích đặt ra như trên, trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu các nội dung sau về phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp. Nghiên cứu xây dựng thuật toán tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp với giả thiết hàm giá G đơn điệu mạnh ngược và hàm T đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz. 4. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu về bất đẳng thức biến phân đã công bố trên các tạp chí và sách giáo khoa, sách chuyên khảo. Xây dựng thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp. Thuật toán này cải tiến phương pháp đạo hàm tăng cường của P.N. Anh [2]. 5. Dự kiến kết quả nghiên cứu Luận văn là một tổng quan về một số kết quả của phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp. Đề tài luận văn được chia thành 2 chương: Chương 1. Đưa ra một số kiến thức chuẩn bị về không gian Hilbert và các tính chất của nó. Đặc biệt là đưa ra phép chiếu trong không gian Hilbert trong một tập lồi, đóng. Các tính chất của các hàm: tính đơn điệu, tựa đơn điệu. Tìm một số các điều kiện đủ để bài toán bất đẳng thức biến phân có nghiệm. Chương 2. Trình bày bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, sự hội tụ của các dãy lặp trong thuật toán và xây dựng Thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biên phân hai cấp. 4
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . 1.1 Không gian Hilbert và một số tính chất Khi phát biểu một bài toán, người ta phải quan tâm bài toán được đặt ra ở đâu. Tức là phải quan tâm tới không gian nghiệm của bài toán. Vậy trước hết ta phải nhắc lại một số kiến thức liên quan tới không gian, sau đó tới một số tính chất của chúng. Một không gian tuyến tính thực (phức) cùng với một hàm h·, ·i song tuyến tính thực (phức) thỏa mãn điều kiện hx, xi ≥ 0 ∀x ∈ H, hx, xi = 0 ⇔ x = 0 được gọi là không gian tiền Hilbert thực (phức). Trong không gian tiền Hilbert ta định nghĩa được chuẩn của x ∈ H p như sau: kxk = hx, xi, ta dễ dàng chứng minh được đây là một chuẩn trên H và từ chuẩn này ta định nghĩa được khoảng cách giữa hai điểm m, n như sau: ρ(x, y) = kx − yk, khi ấy H, ρ trở thành không gian định chuẩn. Nếu H đầy đủ với chuẩn này thì không gian với tích vô hướng được gọi là không gian Hilbert. Ta dễ dàng nhận thấy không gian Hilbert H , cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số tương đương nhau, tức là các phép tính đại số liên tục với tôpô sinh bởi metric. Tiếp theo ta đưa vào khái niệm ánh xạ trong không gian Hilbert. 5
Cho H1 , H2 , H3 là không gian Hilbert, phép chuyển T chuyển một phân tử từ H1 vào H2 được gọi là một ánh xạ (hay một toán tử), ta có thể phân loại các ánh xạ đưa vào cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số. (i) T (αx + βy) = αT (x) + βT (y) với α, β ∈ R, x, y ∈ H1 thì T được gọi là ánh xạ tuyến tính; ngược lại T được gọi là ánh xạ phi tuyến; (ii) T được gọi là liên tục nếu x → x thì T (x) → T (x); (iii) T có đồ thị đóng thì được gọi là ánh xạ đóng; (iv) T chuyển từ tập giới nội thành tập compact tương đối (A ⊂ H1 , T A là compact) thì T được gọi là ánh xạ compact. Định nghĩa 1.1. Ánh xạ T : H → H được gọi là ánh xạ compact nếu với mọi dãy {xn } bị chặn trong H , dãy {T xn } chứa dãy con hội tụ. Tiếp theo ta nêu một số tính chất của ánh xạ. (v) Cho T1 , T2 liên tục (đóng, compact) thì T1 + T2 cũng liên tục (đóng, compact); (vi) Cho T là liên tục (đóng, compact) và α ∈ R thì αT cũng là liên tục (đóng, compact); (vii) Cho T1 : H1 → H2 , T2 : H2 → H3 , T1 , T2 liên tục (đóng, compact) thì T1 ◦ T2 cũng liên tục. Định nghĩa 1.2. Cho H là một không gian tuyến tính thực. Tích vô hướng xác định trên H là một ánh xạ được xác định như sau: h·, ·i : H × H → R (m, n) → hm, ni thỏa mãn các điều kiện sau: (a) hm, ni = hn, mi, ∀m, n ∈ H; (b) hm + n, pi = hm, ni + hn, pi, ∀m, n, p ∈ H; (c) hλm, ni = λhm, ni, ∀λ ∈ R, ∀m, n ∈ H; (d) hm, mi ≥ 0, ∀m ∈ H, hm, mi = 0, ↔ m = 0, 6
hm, ni được gọi là tích vô hướng của hai véctơ m và n. Nếu H là không gian tuyến tính với tích vô hướng như trên, ta có p thể định nghĩa chuẩn của phần tử m ∈ H như sau: kmk = hm, mi với mọi m ∈ H thì H được gọi là không gian định chuẩn. Trong luận văn này ta thống nhất ký hiệu H là một không gian Hilbert thực và ta chủ yếu làm việc trên không gian Hilbert H . Ta nói hai véctơ m và n của một không gian Hilbert H trực giao với nhau, và ký hiệu m ⊥ n, nếu hm, ni = 0. Định nghĩa 1.3. Một dãy {xk } ∈ H được gọi là hội tụ mạnh đến x∗ ∈ H nếu kxk − x∗ k → 0 khi k → ∞, ký hiệu xk → x∗ . Tương tự ta cũng có các phép tính về dãy hội tụ. Một dãy {xk } ∈ H được gọi là hội tụ yếu đến x∗ ∈ H nếu hu, xk − x∗ → 0 với mọi u ∈ H khi k → ∞, ký hiệu xk * x∗ . Định lý 1.1 ([4]). Giả sử H là không gian Hilbert thực, cho dãy {xn } và x∗ ∈ H . Khi đó, ta có (i) Nếu xn → x, thì xn * x∗ ; (ii) Nếu xn * x∗ và kxn k → kx∗ k trong H , thì xn → x∗ ; (iii) Nếu không gian Hilbert thực H là hữu hạn chiều, thì sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu là tương đương; (iv) Mọi dãy con bị chặn trong không gian Hilbert H đều chưa dãy con hội tụ yếu. Theo định nghĩa của chuẩn, ta có tính chất quan trọng sau. Bổ đề 1.1 ([3]). Với mỗi x, y ∈ H , ta có (i) kx − yk2 = kxk2 − kyk2 − 2hx − y, yi , (ii) kt(x) + (1 − t)yk2 = tkxk2 + (1 − t)kyk2 − t(1 − t)kx − yk2 , ∀t ∈ [0, 1]. 7
Cho A là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của H . Hình chiếu của một điểm x ∈ H trên A, ký hiệu P rA (x) là một điểm thuộc A và gần điểm x nhất. Tức là: Hay, P rA (x) = argmin{kx − yk : y ∈ A}. Phép chiếu xác định như trên có các tính chất sau: Bổ đề 1.2 ([9]). Cho A là một tập con lồi đóng khác rỗng của H . Khi đó, (i) hx − P rA (x), y − P rA (x)i ≤ 0, ∀y ∈ A, x ∈ H ; (ii) hP rA (x) − P rA (y), x − yi ≥ kP rA (x) − P rA (y)k2 , ∀x, y ∈ H ; (iii) kx − P rA (x)k2 ≥ kx − yk2 − ky − P rA (x)k2 , ∀x ∈ H, y ∈ A; (iv) kP rA (x) − P rA (y)k2 ≤ kx − yk2 , ∀x, y ∈ H ; (v) kP rA (x)−P rA (y)k2 ≤ kx−yk2 −kP rA (x)−x+y−P rA (y)k2 , ∀x, y ∈ H; (vi) kx − P rA (x − y)k2 ≥ kyk, ∀x, y ∈ H ; (vii) kz − P rA (x − y)k2 ≥ kx − zk2 − 2hx − z, yi + 5kyk2 , ∀x, z ∈ A, y ∈ H. Phép chiếu P rA trong không gian Hilbert đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng Thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân. 1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho A là tập con, lồi, khác rỗng trong một không gian Hilbert thực H và ánh xạ T : A → H . Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định bởi A và T , ký hiệu V I(T, A) là bài toán tìm x∗ ∈ A sao cho hT (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ A. (1.1) 8
Tập nghiệm của bài toán được ký hiệu Sol(T, A). Ánh xạ T thường được gọi là ánh xạ giá. Chú ý. a) Trong trường hợp đặc biệt A = H , bài toán V I(T, A) được viết dưới dạng bài toán giải phương trình phi tuyến T (x) = 0. b) Khi A là một nón lồi trong H , (thỏa mãn λx ∈ A với mọi λ ∈ R+ và x ∈ A), từ x∗ ∈ A ta có hT (x∗ ), λx∗ − x∗ i ≥ 0, ∀λ ∈ R+ và do đó hT (x∗ ), x∗ i = 0. (1.2) Ngược lại nếu x∗ ∈ A thỏa mãn (1.2) và A(x∗ ) ∈ A∗ = {y ∈ H : hy, xi ≥ 0, ∀x ∈ A} thì x∗ ∈ S(T, A). Như vậy bài toán V I(T, A) được phát biểu dưới dạng bài toán tìm điểm x∗ thỏa mãn x∗ ∈ C, T (x∗ ) ∈ A∗ , hT (x∗ ), x∗ i = 0. Bài toán này thường được gọi là bài toán bù phi tuyến trong không gian Hilbert thực H . Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và tìm thuật toán xây dựng dãy lặp hội tụ tới nghiệm của bài toán ta cần tới một số tính chất sau của toán tử giá. Định nghĩa 1.4. Cho A là một tập con , khác rỗng của H . Một ánh xạ T : A → H được gọi là: (a) đơn điệu mạnh với hằng số γ > 0 trên A, nếu hT (x) − T (y), x − yi ≥ γ k x − y k2 , ∀x, y ∈ A; 9
(b) đơn điệu trên A, nếu hT (x) − T (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ A; (c) giả đơn điệu trên A, nếu hT (y), x − yi ≥ 0 → hT (x), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ A; (d) đơn điệu mạnh ngược trên A với hằng số β > 0, nếu hT (x) − T (y), x − yi ≥ β k T (x) − T (y) k2 .∀x, y ∈ A; (e) liên tục Lipschitz với hằng số L > 0 trên A, nếu k T (x) − T (y) k≤ L k x − y k, ∀x, y ∈ A. Theo định nghĩa trên, nếu T đơn điệu mạnh ngược với hằng số β > 0 1 thì T liên tục Lipschitz với hằng số L = β và đơn điệu trên A, và quan hệ (a) → (b) → (c). Nhưng chiều ngược lại là không đúng trong trường hợp tổng quát. Chẳng hạn như T : A → R xác định bởi F (x) = x2 là giả đơn điệu, nhưng không đơn điệu trên A = R, là đơn điệu nhưng không đơn điệu mạnh trên A = [0, 1]. Mệnh đề 1.1. Điểm x∗ ∈ A là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A) khi và chỉ khi x∗ = P rA (x∗ − λT (x∗ )), trong đó λ là một hằng số dương bất kỳ. Chứng minh. Cho λ > 0. Theo định nghĩa của phép chiếu P rA và x∗ = P rA (x∗ − λT (x∗ )), ta có hx∗ − λf (x∗ ) − x∗ , x − x∗ i ≤ 0, ∀x ∈ A và do đó −hλT (x∗ ), x − x∗ i ≤ 0, ∀x ∈ A. 10
Vậy x∗ ∈ Sol(T, A). Định nghĩa 1.5. Bài toán bù được cho bởi nón lồi A và một ánh xạ T : A → H là bài toán đi tìm một vectơ x∗ ∈ H với x∗ , T (x∗ ) ∈ A∗ , hT (x∗ , x∗ )i = 0, (1.3) với A∗ := {d ∈ H : hd, xi ≥ 0 ∀x ∈ A}, là một nón ngẫu hứng của A. Bài toán (1.3) được biết tắt là CP (T, A). Mối liên hệ mật thiết giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán bù phi tuyến tính được mô tả dưới đây: Mệnh đề 1.2. Nếu A là một nón lồi, điểm x∗ là một nghiệm của bài toán bù CP (T, A) nếu và chỉ nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A). Chứng minh. Nếu x∗ là một nghiệm của bài toán bù CP (T, A), thì x∗ ∈ R+ n , A(x∗ ) ∈ R+ n và hA(x∗ ), x∗ i = 0. Khi đó hA(x∗ ), x − x∗ i = hA(x∗ ), xi − hA(x∗ ), x∗ i = hA(x∗ ), xi ≥ 0, ∀x ∈ R+ n . Vì vậy, x∗ là nghiệm đúng của V I(T, A). Mặt khác, giả sử x∗ ∈ R+ n là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A). Đặt ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), v = x∗ + ei , n trong đó 1 là vị trí thứ i. Khi đó v ∈ R+ và 0 ≤ hA(x∗ ), x∗ + ei − x∗ i = hT (x∗ ), ei i = fi (x∗ ). Do vậy, A(x∗ ) = (A1 (x∗ ), ..., An (x∗ )) ∈ R+ n . (1.4) 11
Từ bất đẳng thức hA(x∗ ), x − x∗ i ≤ 0, ∀x ∈ R+ n n và x = 0 ∈ R+ , suy ra hA(x∗ ), x∗ i ≤ 0, hơn nữa, theo giả sử u∗ ∈ R+ n và theo (1.4) ta có hA(x∗ ), x∗ i ≥ 0. Như vậy hA(x∗ ), x∗ i = 0. Vậy x∗ là nghiệm đúng của CP (T, A). 1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Trước hết ta trình bày khái niệm về phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao. Tiếp theo ta trình bày tóm tắt một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Trong bài toán bất đẳng thức V I(T, A), với mỗi u ∈ A và λ > 0 xét ánh xạ TAnat : A → A xác định bởi TAnat (u) = u − PA (u − λT (u)). Ánh xạ TAnat thường được gọi là ánh xạ giá tự nhiên của T trên A. Mối quan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A) và ánh xạ giá tự nhiên TAnat được trình bày trong kết quả dưới đây. Mệnh đề 1.3. Một điểm u∗ là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của ánh xạ TAnat , hay 0 = TAnat (u∗ ). Chứng minh.Theo định nghĩa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A) và λ > 0, ta có hλT (u∗ ), v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ A. 12
hay hu∗ − [u∗ − λT (u∗ )] , v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ A. Mà hu − PA (u), v − PA (u)i ≤ 0, ∀v ∈ A, u ∈ H nên bất đẳng thức này tương đương với u∗ = PA (u∗ − λT (u∗ )), hay u∗ là không điểm của ánh xạ giá tự nhiên TAnat . Hầu hết các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A) được chứng minh đều dựa vào định lý điểm bất động Browder. Định lý 1.3. Cho A là môt tập con, lồi, compact và khác rỗng của không gian Hilbert thực H , và một ánh xạ liên tục T : A → H . Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A) có nghiệm. Chứng minh. Ta có, với mỗi u ∈ H thì PA (u) tồn tại và duy nhất, ánh xạ PA còn được gọi là ánh xạ không giãn trên A. Do vậy, với mỗi λ > 0, phép chiếu PA (I − λT ) : A → A là một ánh xạ liên tục. Từ A là một tập lồi, compact khác rỗng và PA (I − λT ) liên tục, tồn tại duy nhất không điểm u∗ ∈ A của ánh xạ giá tự nhiên TAnat sao cho 0 = TAnat (u∗ ). Với mỗi u = u∗ − λT (u∗ ), ta có hv − PA (u∗ − λT (u∗ )), u∗ − λT (u∗ ) − PA (u∗ − λA(u∗ ))i ≤ 0, ∀v ∈ A. Kết hợp điều này với PA (I − λT )(u∗ ) = u∗ suy ra hv − u∗ , u∗ − λT (u∗ ) − u∗ i ≤ 0. Với giả thiết λ > 0, ta có hT (u∗ ), v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ A. Vậy u∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(T, A). 13