Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs-Chirka

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định lý cổ điển của Hartogs nói rằng mọi hàm chỉnh hình trên lân cận của biên một song đĩa đều mở rộng chỉnh hình lên song đĩa. Định lý này đã được Chirka phát triển cho các hàm chỉnh hình trên lân cận của đồ thị một hàm số liên tục trên đĩa đơn vị. Dây là một mở rộng rất sáng tạo và là cắm hứng để các nhà toán học đi sau nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs-Chirka

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHM THÀ NGÅC THC TRIN CHNH HNH KIU HARTOGS-CHIRKA LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2019
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM - PHM THÀ NGÅC THC TRIN CHNH HNH KIU HARTOGS-CHIRKA CHUYN NGNH: TON GII TCH M SÈ: 8 46 01 02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc GS. TSKH. NGUYN QUANG DIU THI NGUYN - 2019
Líi cam oan Tæi xin cam oan cæng tr¼nh tr¶n l do tæi nghi¶n cùu d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TSKH Nguy¹n Quang Di»u. C¡c k¸t qu£ n¶u trong luªn v«n n y l trung thüc v ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t ký cæng tr¼nh khoa håc n o kh¡c. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2019 T¡c gi£ Ph¤m Thà Ngåc XC NHN XC NHN CÕA KHOA CHUYN MÆN CÕA NG×ÍI H×ÎNG DN GS.TSKH Nguy¹n Quang Di»u i
Líi c£m ìn Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu º ho n th nh luªn v«n tæi ¢ nhªn ÷ñc sü gióp ï nhi»t t¼nh cõa ng÷íi h÷îng d¨n, GS.TSKH Nguy¹n Quang Di»u. Tæi công muèn gûi líi c£m ìn bë mæn Gi£i t½ch, Khoa To¡n, ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi, h÷îng d¨n, ph£n bi»n º tæi câ thº ho n th nh tèt luªn v«n n y. Do thíi gian câ h¤n, b£n th¥n t¡c gi£ cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n câ thº câ nhúng thi¸u sât. T¡c gi£ mong muèn nhªn ÷ñc þ ki¸n ph£n hçi, âng gâp v x¥y düng cõa c¡c th¦y cæ, v c¡c b¤n. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2019 T¡c gi£ Ph¤m Thà Ngåc ii
Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii L½ do chån · t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Möc ½ch nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Nhi»m vö nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 C§u tróc luªn v«n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 2 1.1 H m ch¿nh h¼nh mët bi¸n v nhi·u bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 H m a i·u háa d÷îi v mi·n gi£ lçi . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Chuéi Fourier cõa h m sè li¶n töc v sü hëi tö . . . . . . . . . . . 7 2 ành lþ th¡c triºn ch¿nh h¼nh Hartogs v c¡c mð rëng 8 2.1 ành lþ th¡c triºn Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 inh lþ kiºu Hartogs-Chirka v· mð rëng h m ch¿nh h¼nh trong l¥n cªn ç thà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 K¸t luªn 23 T i li»u tham kh£o 24 iii
Mð ¦u 1. L½ do chån · t i. Th¡c triºn ch¿nh h¼nh l mët b i to¡n quan trång cõa gi£i t½ch phùc mët bi¸n.Trong C måi mi·n ph¯ng ·u l mi·n ch¿nh h¼nh. i·u n y câ ngh¾a l tçn t¤i mët h m ch¿nh h¼nh khæng thº mð rëng l¶n mët mi·n rëng hìn thªt sü. Tuy nhi¶n trong tr÷íng hñp nhi·u chi·u (C n , n ≥ 2) th¼ c¡c k¸t qu£ tr¶n khæng cán óng núa . ành lþ cê iºn cõa Hartogs nâi r¬ng måi h m ch¿nh h¼nh tr¶n l¥n cªn cõa bi¶n mët song ¾a ·u mð rëng ch¿nh h¼nh l¶n song ¾a. ành lþ n y ¢ ÷ñc Chirka ph¡t triºn cho c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n l¥n cªn cõa ç thà mët h m sè li¶n töc tr¶n ¾a ìn và. ¥y l mët mð rëng r§t s¡ng t¤o v l c£m hùng º c¡c nh to¡n håc i sau nghi¶n cùu. 2. Möc ½ch nghi¶n cùu. Luªn v«n nghi¶n cùu: Th¡c triºn ch¿nh h¼nh kiºu Hatogs - Chirka. Chóng tæi cì b£n tr¼nh b y theo mët b i b¡o chuy¶n kh£o cõa Barret v Bharali. 3. Nhi»m vö nghi¶n cùu Nghi¶n cùu hai ành lþ cì b£n: ành lþ th¡c trºn Hatogs v ành lþ Chirka v· mð rëng h m ch¿nh h¼nh trong l¥n cªn cõa mët ç thà. 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu Dòng c¡c ph÷ìng ph¡p kÿ thuªt cõa lþ thuy¸t a th¸ và v gi£i t½ch phùc. 5. C§u tróc luªn v«n. Luªn v«n bao gçm hai ch÷ìng ch½nh. • Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà. Ch÷ìng n y tæi s³ nhc l¤i mët sè ki¸n thùc cì b£n cõa Gi£i t½ch phùc nh¬m phöc vö cho ch÷ìng 2. • Ch÷ìng 2: ành lþ th¡c triºn Hartog v c¡c mð rëng. Trong ch÷ìng n y s³ tr¼nh b y l¤i ành lþ Hartogs v ành lþ kiºu Hartogs-Chirka v· th¡c triºn h m ch¿nh h¼nh trong l¥n cªn ç thà. 1
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y chóng ta s³ nhc l¤i mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· h m ch¿nh h¼nh mët bi¸n v nhi·u bi¸n s³ ÷ñc dòng v· sau. Kh¡i ni»m quan trång l mi·n ch¿nh h¼nh, mi·n gi£ lçi còng vîi nguy¶n lþ li¶n töc º nhªn bi¸t c¡c mi·n gi£ lçi. 1.1 H m ch¿nh h¼nh mët bi¸n v nhi·u bi¸n ành ngh¾a 1.1.1. H m f x¡c ành trong mi·n D ⊂ C vîi gi¡ trà trong C ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh t¤i z0 ∈ D n¸u tçn t¤i r > 0 º f l C-kh£ vi t¤i måi z ∈ ∆(z0 , r) ⊂ D. N¸u f ch¿nh h¼nh t¤i måi z ∈ D th¼ ta nâi f ch¿nh h¼nh tr¶n D. V½ dö 1.1.2. C¡c h m a thùc ch¿nh h¼nh tr¶n to n m°t ph¯ng phùc C. C¡c h m húu t ch¿nh h¼nh tr¶n C trø ra t¤i c¡c iºm m nâ khæng x¡c ành. Cæng thùc t½ch ph¥n Cauchy sau ¥y l ành lþ n·n t£ng nh§t cõa gi£i t½ch phùc mët bi¸n. ành lþ 1.1.3. Cho h m f (z) ch¿nh h¼nh tr¶n mi·n D v γ l mët chu tuy¸n trong D sao cho mi·n γ 0 giîi h¤n bði γ n¬m trong D. Khi â vîi måi z0 ∈ γ 0 , ta câ a) Z 1 f (z) f (z0 ) = dz. (1.1) 2πi γ z − z0 2
b) Vîi n ≥ 1 ta câ Z (n) n! f (z) f (z0 ) = dz. (1.2) 2πi γ (z − z0 )n+1 Chùng minh. a) L§y δ >0 õ b² º h¼nh trán ∆(z0 , δ) ⊂ γ 0 , ph¦n m°t ph¯ng giîi h¤n bði γ. Kþ hi»u Cδ l bi¶n cõa ∆(z0 , δ) v °t Dγ,δ = γ 0 \∆(z0 , δ). Do Dγ,δ l mi·n 2-li¶n, n¶n ta câ Z f (ν) dν = 0. γ∪Cδ− ν − z0 Tø â câ ¯ng thùc Z Z f (ν) f (η) dν = dη. (1.3) γ ν − z0 Cδ η − z0 B ng c¡ch tham sè hâa η = a + δeiφ , dη = iδeiφ dφ ta câ 2π f (z0 + ρeiϕ ) iϕ Z Z f (η) dη = ρe dϕ Cδ η − z0 0 ρeiϕ Z 2π =i f (z0 + ρeiϕ )dϕ 0 Z 2π =i [f (z0 + ρeiϕ ) − f (z0 )]dϕ + 2πif (z0 ). 0 Cho δ→0 ta câ Z 2π lim [f (z0 + ρeiϕ ) − f (z0 )]dϕ = 0. δ→0 0 Vªy ta câ Z f (η) lim dη = 2πif (z0 ). (1.4) δ→0 γ η − z0 K¸t hñp l¤i ta câ i·u ph£i chùng minh. b. B¬ng c¡ch ¤o h m d÷îi d§u t½ch ph¥n ta câ cæng thùc ph£i chùng minh. Nhí cæng thùc t½ch ph¥n Cauchy ta chùng minh ÷ñc k¸t qu£ sau v· biºu di¹n àa ph÷ìng mët h m ch¿nh h¼nh th nh mët chuéi thøa. ành lþ 1.1.4. Cho f l h m ch¿nh h¼nh tr¶n mi·n mð D. Khi â vîi måi a ∈ D, h m f câ thº khai triºn th nh chuéi lôy thøa trong måi l¥n cªn õ nhä cõa a ∞ X f (z) = cn (z − a)n . (1.5) n=0 3
Hìn núa c¡c h» sè cõa chuéi l ÷ñc t½nh theo cæng thùc f (n) (a) cn := . n! Tø ành lþ tr¶n chóng ta câ thº hiºu kh¡i ni»m h m ch¿nh h¼nh nhi·u bi¸n nh÷ sau. ành ngh¾a 1.1.5. H m f ÷ñc gåi l ch¿nh h¼nh t¤i z ∈ Cn n¸u f câ thº khai triºn ÷ñc th nh chuéi luÿ thøa trong l¥n c¥n cõa z . H m f ch¿nh h¼nh tr¶n mi·n D n¸u nâ ch¿nh h¼nh t¤i måi iºm z ∈ D T÷ìng tü nh÷ ành lþ Cauchy cho h m mët bi¸n phùc, chóng ta câ k¸t qu£ sau ¥y: ành lþ 1.1.6. Gi£ sû U = U (a, r) = {z ∈ Cn : |zj − aj | < rj ∀j = 1, . . . , n} l a ¾a t¥m a a b¡n k½nh r = (r1 , . . . , rn ) v Γ = {z ∈ Cn : |zj − aj | = rj ∀j = 1, . . . , n}. N¸u f l h m li¶n töc tr¶n U v ch¿nh h¼nh trong U th¼ 1 n Z f (η)dη1 · · · dηn f (z) = ∀z ∈ U. (1.6) 2πi Γ (η1 − z1 ) · · · (ηn − zn ) ành lþ sau ¥y ÷ñc chùng minh t÷ìng tü nh÷ mët bi¸n. ành lþ 1.1.7. Gi£ sû {fn} hëi tö ·u tr¶n måi tªp compact trong D tîi h m f , th¼ h m f ch¿nh h¼nh tr¶n D. Chùng minh. Cho z0 ∈ D. Chån r >0 õ b² º U (z0 , r) ⊂ D. Theo cæng thùc t½ch ph¥n Cauchy vîi måi z ∈ U (z0 , r) ta câ Z 1 fn (η) fn (z) = dη. 2πi ∂D(z0 ,r) η−z Do (fn ) hëi tö ·u tîi f tr¶n ∂D(z0 , r) b¬ng c¡ch ti¸n ¸n giîi h¤n d÷îi d§u t½ch ph¥n ta nhªn ÷ñc Z 1 fn (η) fn (z) = dη 2πi ∂D(z0 ,r) η−z vîi måi z ∈ D(z0 , r). V¼ th¸ f ch¿nh h¼nh tr¶n D(z0 , r). Sû döng ành lþ tr¶n chóng ta câ nguy¶n lþ sau ¥y v· t½nh compact cõa hå c¡c h m ch¿nh h¼nh: 4
ành lþ 1.1.8 (ành lþ Montel) . Gi£ sû D l mët mi·n trong C v F ⊂ H(D). Khi â F bà ch°n ·u tr¶n c¡c tªp compact n¸u v ch¿ n¸u måi d¢y {fn } ⊂ F chùa mët d¢y con fnk hëi tö ·u tr¶n c¡c tªp compact. 1.2 H m a i·u háa d÷îi v mi·n gi£ lçi ành ngh¾a 1.2.1. Cho D l tªp mð trong C. H m u : D → [−∞, +∞) ÷ñc gåi l i·u háa d÷îi tr¶n D n¸u u l nûa li¶n töc tr¶n tr¶n D, u 6= −∞ tr¶n b§t k¼ th nh ph¦n li¶n thæng cõa D v thäa m¢n b§t ¯ng thùc d÷îi trung b¼nh d÷îi tr¶n D. Ngh¾a l vîi måi x ∈ D, tçn t¤i r > 0 sao cho ∆(x, ρ) ⊂ D v vîi måi 0 ≤ r < r ta câ Z 2π 1 u(x) ≤ u(x + reit )dt. 2π 0 ành lþ 1.2.2. Cho u l h m i·u háa d÷îi tr¶n tªp mð D1 v v l h m i·u háa d÷îi tr¶n tªp mð D2 ⊂ D1 . Gi£ sû vîi måi x ∈ D1 ∩ ∂D2 ta câ lim sup v(z) ≤ u(x). z→x Khi â h m ( max{u, v} tr¶nD2 u˜ = u tr¶n D1 \ D2 l h m i·u háa d÷îi tr¶n D1 . K¸t qu£ sau ¥y gióp chóng ta trìn hâa h m a i·u háa d÷îi. ành lþ 1.2.3. Cho u l h m i·u háa d÷îi tr¶n tªp mð D ⊂ C vîi u 6= −∞. H m θ l h m x¡c ành bði ( 1 − 1−kxk λe 2 n¸u kxk < 1 θ(x) = 0 n¸u kxk ≥ 1. Vîi r > 0 d÷ìng ta °t 1 z θr (z) = 2 θ 2 z ∈ C. r r Khi â u ∗ θr l h m i·u háa d÷îi trìn tr¶n Dr v hìn núa u ∗ χ ↓ u tr¶n D. Mèi li¶n h» giúa h m ch¿nh h¼nh v h m a i·u ho d÷îi ÷ñc thº hi»n nh÷ sau: 5
ành lþ 1.2.4. Cho h m f : D1 → D2 l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa hai tªp mð trong C. N¸u u l h m i·u háa d÷îi tr¶n D2 th¼ t½ch u ◦ f công l mët h m i·u háa d÷îi tr¶n D1 . ành ngh¾a 1.2.5. Cho tªp mð D n¬m trong Cn, h m nûa li¶n töc tr¶n u : D → [−∞, +∞) l a i·u háa d÷îi n¸u h¤n ch¸ cõa u l¶n méi ÷íng th¯ng phùc l i·u háa d÷îi. Ta câ mët sè t½nh ch§t sau: ành lþ 1.2.6. Cho h m nûa li¶n töc tr¶n u : D → [−∞, +∞), tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa D ⊂ Cn khæng çng nh§t b¬ng −∞. Ta câ u ∈ P SH(D) n¸u v ch¿ n¸u vîi måi a ∈ D, b ∈ Cn {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ D, ta câ Z 2π 1 u(a) ≤ u(a + eiθ b)dθ = L(u, a, b). 2π 0 Sau ¥y l ành lþ x§p x¿ cho ph²p ta ti»m cªn mët h m i·u háa d÷îi tòy þ bði c¡c h m a i·u háa d÷îi trìn tr¶n mët mi·n hµp hìn. ành lþ 1.2.7. Cho u l h m a i·u háa d÷îi tr¶n tªp D mð trong Cn. N¸u ε d÷ìng sao cho Dε := {z ∈ D : d(z, ∂D) > ε} = 6 ∅ th¼ u ∗ χε ∈ C ∞ (Dε ) ∩ P SH(Dε ). Hå {u ∗ χε : ε > 0} l ìn i»u gi£m khi ε ↓ 0 v vîi måi z ∈ D ta câ lim u ∗ χε (z) = u(z). ε→0 Kh¡i ni»m d÷îi ¥y l mët trong nhúng kh¡i ni»m quan trång nh§t cõa gi£i t½ch phùc nhi·u bi¸n. ành ngh¾a 1.2.8. Mi·n D ⊂ Cn gåi l mi·n ch¿nh h¼nh hay mi·n tçn t¤i cõa h m f ch¿nh h¼nh tr¶n D n¸u khæng thº mð rëng ch¿nh h¼nh f tîi mët mi·n lîn hìn D. Nâi mët c¡ch ch½nh x¡c khai triºn cõa f th nh chuéi luÿ thøa t¤i måi z 0 ∈ D khæng thº hëi tö trong måi a ¾a P (z 0 , r) vîi r < ρ(z 0 , ∂D). ành ngh¾a 1.2.9. Gi£ sû D l mët mi·n trong Cn . Vîi måi tªp compact K ⊂ D, °t: ˆ D = {z ∈ D : |f (z)| ≤ kf k , ∀f ∈ H(D)} K K 6
. Tªp Kˆ D ÷ñc gåi l bao lçi ch¿nh h¼nh cõa h m K. Mi·n D gåi l lçi ch¿nh h¼nh n¸u Kˆ D l compact vîi måi tªp compact K trong D ành ngh¾a 1.2.10. Mi·n mð D trong Cn gåi l mi·n gi£ lçi n¸u D câ mët h m a i·u ho d÷îi v²t c¤n. Tùc l tçn t¤i u ∈ P SH(D) º {u < c} l compact t÷ìng èi vîi måi c ∈ R. ành lþ 1.2.11. N¸u mi·n D ⊂ Cn th¼ ba kh¯ng dành sau l t÷ìng t÷ìng: (i) D l mi·n ch¿nh h¼nh. (ii) D l mi·n lçi ch¿nh h¼nh. (iii) D l mi·n gi£ lçi. 1.3 Chuéi Fourier cõa h m sè li¶n töc v sü hëi tö ành lþ ch½nh cõa luªn v«n công sû döng mët sè t½nh ch§t cõa chuéi Fourier. °c bi»t l khai triºn mët h m sè li¶n töc hay kh£ vi th nh chuéi Fourier. Ta bt ¦u b¬ng ành ngh¾a sau ¥y. ành ngh¾a 1.3.1. Gi£ sû f l h m kh£ t½ch Lebesgue tr¶n [−π, π], chuéi Fourier cõa f l chuéi l÷ñng gi¡c sau ¥y ∞ α0 X Ff (x) := + (αn cos(nx) + βn sin(nx)) (1.7) 2 n=1 trong â Z π 1 αn = f (t) cos(nt)dt, n = 0, 1, 2, . . . π Z −π π 1 βn = f (t)(sin nt)dt, n = 1, 2, . . . (1.8) π −π K¸t qu£ sau ¥y cho chóng ta i·u ki»n õ º chuéi Fourier cõa h m f nh÷ tr¶n l hëi tö. ành lþ 1.3.2. Gi£ sû f câ bi¸n ph¥n to n ph¦n bà ch«n th¼ khi â Ff (x) = f (x) t¤i c¡c iºm x ∈ (−π, π) m t¤i â h m f li¶n töc. Têng qu¡t hìn, 1 Ff (x) = [f (x+ ) + f (x− )] 2 n¸u x l iºm gi¡n o¤n mët cõa f. 7
Ch÷ìng 2 ành lþ th¡c triºn ch¿nh h¼nh Hartogs v c¡c mð rëng 2.1 ành lþ th¡c triºn Hartogs Ta ph¡t biºu v chùng minh d¤ng ìn gi£n sau cõa ành lþ th¡c triºn Hartogs. ành lþ n y ¢ ÷ñc chùng minh v o ¦u th¸ k 20. ành lþ 2.1.1. Cho f l h m ch¿nh h¼nh tr¶n l¥n cªn cõa tªp compact (∂∆ × ∆) ∪ (∆ × ∂∆). Khi â f mð rëng ch¿nh h¼nh l¶n song ¾a ∆ × ∆. Chùng minh. Theo ành lþ khai triºn Laurent cõa h m ch¿nh h¼nh mët bi¸n tr¶n h¼nh v nh khuy¶n ta câ thº biºu di¹n ∞ X f (z, w) = ak (w)z k , k=−∞ ð ¥y z∈U l mët l¥n cªn cõa ¾a ìn và ∂∆, w ∈ ∆ v Z f (z, w) ak (w) = dz. zk |z|=1 Theo cæng thùc l§y ¤o h m d÷îi d§u t½ch ph¥n chóng ta câ ak l h m ch¿nh h¼nh tr¶n ∆ vîi måi k. Ta ch¿ c¦n chùng minh ak = 0 n¸u k < 0. Theo cæng thùc tr¶n, ta vi¸t k = −k 0 , k 0 > 0 v nhªn ÷ñc vîi Z 0 ak (w) = f (z, w)z k dz. |z|=1 Theo ành lþ t½ch ph¥n Cauchy, khi w õ g¦n ∂∆ chóng ta câ ak (w) = 0. Vªy ta f˜(z, w) := k l mð rëng ch¿nh h¼nh cõa P câ thº x²t k≥0 ak (w)z f l¶n song ¾a. 8
V o nhúng n«m cuèi th¸ k 20, trong cæng tr¼nh [4], Chirka ¢ chùng minh ÷ñc mð rëng sau ¥y cõa ành lþ kinh iºn nâi tr¶n. ành lþ 2.1.2. Cho F l h m li¶n töc tr¶n ∆ v thäa m¢n kF k∆ < 1. Kþ hi»u Γ(F ) = {(z, F (z)) : z ∈ ∆} l ç thà cõa F . Gi£ sû f l mët h m ch¿nh h¼nh tr¶n mët l¥n cªn cõa Γ(F ) ∪ (∂∆ × ∆). Khi â f mð rëng ch¿nh h¼nh l¶n song ¾a ∆ × ∆. Ta s³ khæng i v o chùng minh ành lþ n y bði v¼ nâ câ thº ÷ñc suy ra tø ph²p chùng minh ành lþ ¦u ti¶n cõa möc ti¸p theo. 2.2 inh lþ kiºu Hartogs-Chirka v· mð rëng h m ch¿nh h¼nh trong l¥n cªn ç thà Ta ph¡t biºu k¸t qu£ ch½nh ¦u ti¶n cõa luªn v«n. K¸t qu£ n y l m rã hìn l¥n cªn ban ¦u m h m f c¦n th¡c triºn ÷ñc x¡c ành. ành lþ 2.2.1. Cho F ∈ C(∆; C) v gi£ sû r¬ng kF k∂∆ < 1. Kþ hi»u an(r) l h» sè Fourier thù n cõa F (rei ), r > 0, n ∈ Z. Gi£ sû c¡c h» sè n y thäa m¢n i·u ki»n X |an (r)|
Bê · 2.2.2. Gåi G(reiθ ) = PNn=−N gn(r)einθ v gi£ sû G ∈ C ∞(∆; C) thäa m¢n i·u ki»n: N X |gn (r)|
iθ
n N X
e
X |gn (r)| |Mr (eiθ )| ≤ |gn (r)|