Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính Taut của miền Hartogs

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán quan trọng đầu tiên của giải tích phức hyperbolic là chỉ ra lớp các không gian phức hyperbolic. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu tính hyperbolic của những lớp không gian phức cụ thể cũng như tìm hiểu những lớp không gian phức hyperbolic ở dạng tường minh đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Miền Hartogs thuộc vào một trong số những lớp không gian phức như vậy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính Taut của miền Hartogs

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN THỊ THẢO LY TÍNH TAUT CỦA MIỀN HARTOGS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN THỊ THẢO LY TÍNH TAUT CỦA MIỀN HARTOGS Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN HUỆ MINH Thái Nguyên – 2016
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng luận văn mà tôi trình bày ngay sau đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi với sự hướng dẫn chu đáo và tận tình của TS. Trần Huệ Minh. Tôi không sao chép từ bất kỳ một công trình nào khác. Tôi kế thừa và phát huy các thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn Nguyễn Thị Thảo Ly i
Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của TS. Trần Huệ Minh, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô, người đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo bộ môn của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy, khích lệ và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập của em. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo chủ nhiệm lớp Toán cao học K22, thầy Trần Nguyên An, người đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ chúng em trong quá trình học tập. Em xin cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Đào tạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ em trong suốt thời gian em học tập. Cuối cùng, em xin cảm ơn các bạn, các anh chị học viên học cùng lớp cao học Toán K22 đã luôn giúp đỡ em trong quá trình học tập, cảm ơn người thân và gia đình đã luôn luôn động viên và ủng hộ em về mọi mặt để em có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình. Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn Nguyễn Thị Thảo Ly ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Các hàm bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Tính hyperbolic ứng với các hàm bất biến . . . . . . . . . . 6 1.4 Giả metric vi phân Royden - Kobayashi trên không gian phức 7 1.5 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Miền cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 Miền taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.9 Siêu lồi và miền Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 iii
1.10 Dạng Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Tính taut của các miền Hartogs 12 2.1 Tiêu chuẩn Royden cho tính taut của các miền trong Cn . . 12 2.2 Tính taut của miền Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Tính taut của miền Hartogs với thớ cân bằng . . . . . . . . 32 2.4 Tính taut của miền Hartogs - Laurent . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 40 iv
Danh mục kí hiệu B1 (λ0 , γ0 ) := B|·| (λ0 , γ0 ), λ0 ∈ C, γ0 > 0; Bn (z, R) := Bk·k (z, R), R ∈ Cn , R > 0; | · |≡k · kC : chuẩn Euclid trong C; k · k≡k · knC : chuẩn Euclid trong Cn ; L b G : L là compact tương đối trong G; ∂G: Biên của G; E := B1 (0, 1) : đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức; TX: không gian tiếp xúc Zariski của X; O(G1 , G2 ) : tập hợp các ánh xạ chỉnh hình từ G1 vào G2 ; O(G) := O(G, C); C ↑ (G) : tập hợp tất cả các hàm nửa liên tục trên f : G → [−∞, +∞); C(G) := C(G, C); SH(B): tập hợp tất cả các hàm điều hòa dưới trên B; PSH(G): tập hợp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên G; d := (dG )G∈G ; kG : giả khoảng cách Kobayashi trên G. v
Mở đầu Bài toán quan trọng đầu tiên của giải tích phức hyperbolic là chỉ ra lớp các không gian phức hyperbolic. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu tính hyperbolic của những lớp không gian phức cụ thể cũng như tìm hiểu những lớp không gian phức hyperbolic ở dạng tường minh đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Miền Hartogs thuộc vào một trong số những lớp không gian phức như vậy. Như chúng ta đã biết, mỗi không gian phức taut là hyperbolic do đó ta có thể chứng tỏ tính hyperbolic của một không gian phức bằng cách chứng tỏ tính taut của nó. Luận văn "Tính taut của miền Hartogs" nhằm tìm hiểu và nghiên cứu tính taut của miền Hartogs Ωϕ (X) thông qua tính taut của X; sử dụng tiêu chuẩn của Royden cho các miền taut để nghiên cứu tính taut của miền Hartogs Ω = Ωu,h (G) trên một miền G ⊂ Cn với thớ cân bằng m chiều, đồng thời chỉ ra điều kiện cần cho một miền Hartogs - Laurent Σ = Σu,v (G) trên một miền G ⊂ Cn là taut. Luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, nội dung hai chương, phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1. Trình bày tổng quan và hệ thống lại các khái niệm, các tính chất cần thiết cho chương sau. 1
Chương 2. Trình bày tiêu chuẩn Royden cho tính taut của các miền trong Cn , nghiên cứu tính taut của miền Hartogs Ωϕ (X) và chỉ ra đặc trưng đầy đủ cho tính taut của lớp các miền Hartogs với thớ cân bằng m chiều Ωu,h (G) đồng thời nghiên cứu tính taut của miền Hartogs - Laurent Σu,v (G). Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả được nghiên cứu trong luận văn và danh mục tài liệu tham khảo. Bản luận văn chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này thêm hoàn thiện hơn. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương 1 ta kí hiệu E là đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức, O(G1 , G2 ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ G1 vào G2 với tôpô compact mở, O(G) = O(G, C). 1.1 Các hàm bất biến Định nghĩa 1.1.1. Cho G là tập các miền trong Cn , ρ là khoảng cách Poincare trên đĩa đơn vị E , tức là |1−ζ| ρ(λ, ζ) = tanh−1 ( |1− ¯ ), λ, ζ ∈ E . λζ| Một họ d := (dG )G∈G các hàm dG : G × G → R>0 được gọi là co rút chỉnh hình nếu i) d là chuẩn tắc, tức là dE = ρ. ii) d thoả mãn tính chất giảm, tức là G, D ∈ G ta có dD (f (z), f (ω)) 6 dG (z, ω), f ∈ O(G, D), z, ω ∈ G. Chú ý 1.1.2. - Điều kiện ii) suy ra được họ d là bất biến đối với các ánh xạ 3
song chỉnh hình, để cho ngắn gọn, ta gọi dG ∈ d(G ∈ G) là hàm bất biến. 0 00 - Với Gj ∈ G, zj , zj ∈ Gj , j ∈ {1, 2} ta có 0 0 00 00 0 00 0 00 dG1 ×G2 ( (z1 , z2 ), (z1 , z2 ) ) ≥ max{ dG1 (z1 , z1 ), dG2 (z2 , z2 ) } (∗) Ta nói họ d của các hàm bất biến có tính chất tích nếu đẳng thức trong 0 00 (∗) đạt được với bất kỳ Gj ∈ G, zj , zj ∈ Gj , j ∈ {1, 2}. Định nghĩa 1.1.3. Cho D là một tập khác ∅, một hàm d : D × D → R>0 gọi là một giả khoảng cách trên D nếu i) d(x, x) = 0, x ∈ D ii) d là đối xứng, tức là d(x, y) = d(y, x), x, y ∈ S iii) d thoả mãn bất đẳng thức tam giác, tức là d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y), x, y, z ∈ D. Giả khoảng cách d trên D được gọi là khoảng cách trên D nếu thoả mãn thêm điều kiện d(x, y) = 0 ⇔ x = y với mọi x, y ∈ D. Nhận xét 1.1.4. Cho G ∈ G, z, ω ∈ G. Tồn tại một ánh xạ ϕ ∈ O(E, G) có miền giá trị chứa cả z và ω . Và bất kỳ f ∈ O(G, E), ta có f ◦ ϕ ∈ O(E, E) và do đó ρ(f (z), f (ω)) = ρ( (f ◦ ϕ)(λ), (f ◦ ϕ)(ζ) ) 6 ρ(λ, ζ), trong đó λ, ζ ∈ E với ϕ(λ) = z, ϕ(ζ) = ω. Như vậy, ta có thể xác định được hai co rút chỉnh hình bằng cách xét các ánh xạ từ G vào E và từ E vào G như sau, với z, ω ∈ G ∈ G , ta đặt cG (z, ω) := sup ρ(f (z), f (ω)), f ∈O(G,E) 4
k˜G (z, ω) := inf ρ(λ, ζ). ϕ∈O(E,G) ϕ(λ)=z,ϕ(ζ)=ω Theo chú ý 1.1.4, hàm k˜G là hàm giá trị thực không âm và do vậy cG cũng là hàm giá trị thực không âm. Dễ thấy rằng c := (cG )G∈G và k˜ := (k˜G )G∈G là các hàm co rút chỉnh hình và với bất kỳ G ∈ G , hàm cG là giả khoảng cách, k˜G là đối xứng nhưng trong trường hợp tổng quát nó không thoả mãn bất đẳng thức tam giác. Hơn nữa, nếu (dG )G∈G là các hàm co rút chỉnh hình thì cG 6 dG 6 k˜G , G ∈ G. Ta gọi cG là giả khoảng cách Caratheodory của G và k˜G là hàm Lempert của G. 1.2 Giả khoảng cách Kobayashi Cho G ∈ G là một miền trong Cn , z, ω ∈ G. Xét dãy các điểm {p0 = z, p1 , ..., pµ−1 , pµ = ω} ⊂ G, xét dãy các điểm {λj }j=1,µ của E và dãy các ánh xạ {ϕj }j=1,µ trong O(E, G) thoả mãn ϕj (0) = pj−1 , ϕj (λj ) = pj , ∀j = 1, ..., µ. Ta gọi tập α = {p0 , ..., pµ , λ1 , ..., λµ , ϕ1 , ..., ϕµ } là một dây chuyền chỉnh hình nối z và ω trong G. µ P Với mọi dây chuyền như vậy, ta lập tổng ρ(0, λj ). Đặt j=0 Xµ kG (z, ω) = inf { ρ(0, λj ), α ∈ Ω z,ω }, α j=0 trong đó Ω z,ω là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình trong G nối z và ω . Khi đó kG là giả khoảng cách và được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên G. 5
Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau của kG i) kG là hàm liên tục ii) Nếu f ∈ O(G1 , G2 ) thì f là giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, tức là kG1 (p, q) ≥ kG2 (f (p), f (q)), ∀p, q ∈ G1 iii) kE = %E . (2) Ta định nghĩa một hàm kG xác định bởi (2) kG (a, z) := inf { %(0, λ) + %(0, ζ) : ϕ, ψ ∈ O(E, G), λ, ζ ∈ E, ϕ(0) = a, ϕ(λ) = ψ(0), ψ(ζ) = z }, a, z ∈ G. (2) Rõ ràng kG ≥ kG . 1.3 Tính hyperbolic ứng với các hàm bất biến Định nghĩa 1.3.1. Cho (dG ) G∈G là họ các hàm bất biến. Ta nói miền G ∈ Cn là d - hyperbolic nếu dG (z, ω) > 0 với mọi z, ω ∈ G với z 6= ω . Nếu miền G là d - hyperbolic thì tôpô sinh ra bởi dG trùng với tôpô ban đầu của G. Định nghĩa 1.3.2. Cho D ⊂ Cm là một miền và (G, dG ) là một không gian mêtric. Ta nói họ F ⊂ O(D, G) là liên tục đồng bậc tương ứng với khoảng cách dG nếu với bất kỳ ε > 0 và z0 ∈ D, tồn tại một lân cận mở U ≡ U (z0 ) ⊂ D của z0 sao cho dG ( f (z0 ), f (z) ) < ε với bất kỳ z ∈ U, f ∈ F. 6
Chú ý 1.3.3. 1. Lấy (dG ) G∈G là một họ co rút chỉnh hình là giả khoảng cách. Nếu một miền G ⊂ Cn là d - hyperbolic, thì O(E, G) là liên tục đồng bậc ứng với kG . 2. Dễ thấy rằng nếu miền G ⊂ Cn mà họ O(E, G) là liên tục đồng bậc ứng với dG , trong đó (G, dG ) là một không gian mêtric thì G là k - hyperbolic. 3. Lấy G b Cn là một miền compact tương đối trong Cn , thì tồn tại R > 0 sao cho G b Bn (z, R) với bất kỳ z ∈ G. Vì vậy ||z − ω|| ||z − ω|| kG (z, ω) > k Bn (z,R) (z, ω) = ρ(0, )> , z, ω ∈ G, R R suy ra G là k - hyperbolic. 1.4 Giả metric vi phân Royden - Kobayashi trên không gian phức Giả sử X là một không gian phức, TX là không gian tiếp xúc Zariski của ∂ X, e0 = ∂z |z=0 ∈ T0 Er là véctơ tiếp xúc đơn vị. - Nón Royden - Kobayashi của X được định nghĩa như sau 0 Con X = {υ ∈ T X; ∃ϕ ∈ O(Er , X); ∃u ∈ T0 Er sao cho ϕ (u) = υ}. - Giả mêtric vi phân Royden - Kobayashi là hàm trên TX được định nghĩa như sau  inf { 1 ; ∃ϕ ∈ O(Er , X); ϕ(0) = z, ϕ0 (e0 ) = υ}, nếu υ ∈ Con X.   FX (z, υ) = r ∞, nếu υ 6∈ Con X.   7
1.5 Hàm điều hòa dưới Hàm u : G → [−∞, ∞) được gọi là điều hoà dưới trong miền G ⊂ Cn nếu u thoả mãn hai điều kiện sau i) u là nửa liên tục trên trong G, tức là tập {z ∈ G|u(z) < s} là tập mở với mỗi số thực s. ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối Ω của G và mọi hàm h : Ω → R ¯ , ta có nếu u 6 h ở trên ∂G thì u 6 h là điều hoà trong Ω và liên tục trong Ω ở trên Ω. Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau Để hàm u nửa liên tục trên trong miền G là điều hòa dưới trong G, điều kiện cần và đủ là với mỗi điểm z ∈ G, tồn tại r0 (z) > 0 sao cho Z 0 1 u(z) ≤ u(z + reit )dt, với mọi r < r0 . 2π 2π 1.6 Hàm đa điều hòa dưới Định nghĩa 1.6.1. Hàm ϕ : G → [−∞; ∞) được gọi là đa điều hoà dưới trong miền G ⊂ Cn ( ký hiệu ϕ ∈ PSH(G) ) nếu i) ϕ là hàm nửa liên tục trên trên G sao cho ϕ 6= −∞ trên mỗi thành phần liên thông của G. ii) Với mỗi điểm a ∈ G, với mọi b ∈ Cn , hàm λ 7→ ϕ(a + λb) là điều hoà dưới hoặc đồng nhất bằng −∞ trên mỗi thành phần liên thông của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ G}. Định lý 1.6.2. [10] Cho ϕ : G → [−∞, ∞) là một hàm nửa liên tục trên 8
và ϕ 6= −∞ trên bất cứ thành phần liên thông của G. Khi đó ϕ ∈ P SH(G) khi và chỉ khi với mỗi a ∈ G, b ∈ Cn mà {a + λb : λ ∈ G, |λ| 6 1} ⊂ G, ta có ϕ(a) 6 l(ϕ; a, b), 1 R 2π trong đó l(ϕ; a, b) = 2π 0 ϕ(a + eit b)dt. Định lý 1.6.3. [10](Nguyên lý cực đại) Giả sử D ⊂ Cm là một miền bị chặn và u là hàm đa điều hoà dưới trên D, u 6≡ const. Khi đó u(z) < sup {lim z→ω sup u(z)}. ω∈∂D z∈D 1.7 Miền cân bằng Định nghĩa 1.7.1. Cho D là một miền trong Cm , D gọi là miền cân bằng ¯ , ta có λω ∈ D. nếu với bất kỳ ω ∈ D, λ ∈ E Ta định nghĩa một hàm h ≡ hD : Cm → R b>0 bởi ω hD (ω) = inf {α > 0 : ∈ D}, ω ∈ Cm , α hD được gọi là hàm Minkowski của D. Như vậy D = {ω ∈ Cm |hD (ω) < 1}, và ta viết D = Dh . Dễ thấy h là một hàm nửa liên tục trên và h(λω) = |λ|, h(ω), λ ∈ C, ω ∈ Cm , h ≡ 0 nếu và chỉ nếu Dh = Cm . Mệnh đề 1.7.2. [10] Cho D = Dh ⊂ Cm là một miền cân bằng trong Cm . Khi đó (1) D là bị chặn khi và chỉ khi tồn tại C > 0 sao cho h(ω) > C||ω||, với bất kỳ ω ∈ Cm . 9
(2) D không chứa đường thẳng phức qua 0 khi và chỉ khi h là xác định dương trên Cm , tức là h(ω) > 0 với ∀ω ∈ Cm ∗ . (3) Nếu h ∈ C(Cm ), h > 0 trên Cm ∗ thì D là miền bị chặn. Mệnh đề 1.7.3. [10] Nếu một miền cân bằng D = Dh ⊂ Cm là bị chặn thì h là một tựa chuẩn trên Cm . 1.8 Miền taut Cho G là một miền trong Cn , trên O(E, G) ta trang bị tôpô compact mở - Dãy {fj }∞ j=1 ⊂ O(E, G) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập con compact K của E, mỗi tập con compact L của G, tồn tại j0 ∈ N sao cho fj (K) ∩ L = ∅, với mọi j ≥ j0 . - Họ O(E, G) được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy {fi }∞ i=1 trong O(E, G) chứa một dãy con {fiυ } hoặc là hội tụ đều trên mỗi tập con compact tới K ánh xạ f ∈ O(E, G) ( ký hiệu fiυ =⇒ f ) hoặc là phân kỳ compact. - Miền G được gọi là taut nếu họ O(E, G) là một họ chuẩn tắc. 1.9 Siêu lồi và miền Hartogs - Hàm ϕ : X −→ [−∞, ∞) gọi là hàm vét cạn nếu ϕ−1 ( [−∞, c] ) là compact với mọi c ∈ R. - Không gian phức X được gọi là siêu lồi nếu X là Stein và X có một hàm vét cạn đa điều hòa dưới âm liên tục. 10
- Giả sử ϕ là hàm đa điều hòa dưới trên X. Miền Ωϕ (X) cho bởi Ωϕ (X) = { (x, λ) ∈ X × C; | λ |< e−ϕ(x) }, được gọi là miền Hartogs liên kết với ϕ. 1.10 Dạng Levi Giả sử u là hàm lớp C 2 trong một tập con mở của Cn và ω = (ω1 , ..., ωn ) ∈ Cn . Ta định nghĩa n X ∂ 2 u(p) hLu(p)ω, ωi = ωi ω ¯j i,j=1 ∂z i ∂ z ¯j là dạng Levi của u tại p. Với G là tập con mở của Cn ta có: Hàm u thuộc lớp C 2 trong G là hàm đa điều dưới nếu và chỉ nếu hLu(p)ω, ωi ≥ 0, ∀p ∈ G, ∀ω ∈ Cn . Nếu hLu(p)ω, ωi > 0, ∀p ∈ G, ∀ω ∈ Cn , ω 6= 0 thì u được gọi là hàm đa điều hòa dưới chặt. 11
Chương 2 Tính taut của các miền Hartogs Trước tiên, ta sẽ trình bày tiêu chuẩn Royden cho tính taut của các miền trong Cn , sử dụng tiêu chuẩn này, ta sẽ chỉ ra được một đặc trưng đầy đủ cho tính taut của lớp các miền Hartogs với thớ cân bằng, hơn nữa ta có thể đưa ra một điều kiện cần để một miền Hartogs - Laurent là taut. 2.1 Tiêu chuẩn Royden cho tính taut của các miền trong Cn Định lý 2.1.1. [5] Cho G ⊂ Cn là một miền. Các tính chất sau là tương đương a) G là một miền taut (m) b) Với bất kỳ m ∈ N, R > 0 và z0 ∈ G, tập {z ∈ G : kG (z0 , z) < R} là một tập con compact tương đối của G (2) c) Với bất kỳ R > 0 và z0 ∈ G, tập {z ∈ G : kG (z0 , z) < R} là một tập con compact tương đối của G. Chứng minh. a) ⇒ b). Giả sử b) không đúng, tức là ta có thể tìm được m ∈ N, R > 0, 12
z0 ∈ G và một dãy (zυ )υ∈N các điểm zυ ∈ G có các tính chất sau (m) υ→∞ kG (z0 , zυ ) < R và zυ −→ z˜ ∈ ∂G hoặc zυ → ∞ khi υ → ∞. (∗) Từ định nghĩa, ta có thể chọn các hàm ϕυ,j ∈ O(E, G), 1 ≤ j ≤ m và các điểm συ,j ∈ E, 1 ≤ j ≤ m có tính chất zυ,1 (0) = z0 , ϕυ,j (συ,j ) = ϕυ,j+1 (0), 1 ≤ j ≤ m m X ϕυ,m (συ,m ) = z0 và ρ(0, συ,j ) < R. j=1 Vì ϕυ,1 (0) = z0 , tồn tại một dãy con (ϕ1υ,1 ) ⊂ (ϕυ,1 ) sao cho ϕ1υ,1 hội tụ đều trên các tập compact đến ϕ1 ∈ O(E, G) và ϕ1 (0) = z0 . υ→∞ Ta có thể giả thiết rằng σ1υ,1 −→ σ1 ∈ E và ta viết ϕ1 (0) = z0 và ϕ1 (σ1 ) = lim ϕ1υ,1 (σ1υ,1 ) = lim ϕ1υ,2 (0). υ→∞ υ→∞ Lặp lại lập luận trên nhiều lần, ta có một dãy con (ϕmυ,1 ) ⊂ (ϕυ,1 ), ... ..., (ϕmυ,m ) ⊂ (ϕυ,m ) và (σmυ,1 ) ⊂ (συ,1 ), ..., (σmυ,m ) ⊂ (συ,m ) với K j→∞ ϕ mυ,j =⇒ ϕj ∈ O(E, G), σ mυ,j −→ σj ∈ E υ→∞ và ϕ1 (0) = z0 , ϕj (σj ) = ϕj+1 (0), 1 ≤ j ≤ m ϕm (σm ) = lim zmυ . υ→∞ Điều này mâu thuẫn với (*). b) ⇒ c) Hiển nhiên. c) ⇒ d) Lấy dãy (fj )j ⊂ O(E, G). Ta giả sử dãy này là không phân kỳ compact, tức là tồn tại các tập compact K ⊂ E và L ⊂ G và một dãy con (f1j ) ⊂ (fj ) sao cho f1j (K)∩L 6= ∅ với mọi j. 13