Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính ổn định của một số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định, tính ổn định hóa theo nghĩa Lyapunov của một số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung luận văn này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính ổn định của một số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN VĂN CƯỜNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 04/2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN VĂN CƯỜNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. MAI VIẾT THUẬN Thái Nguyên, 4/2018
1 Mục lục Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ 13 Chương 2 Tính ổn định và ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 18 2.1. Tính ổn định cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ . . . . 18 2.2. Tính ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ . . 21 Chương 3 Tính ổn định và ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron thần kinh không chắc chắn phân thứ 25 3.1. Tính ổn định của một lớp hệ nơ ron thần kinh không chắc chắn phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Tính ổn định hóa của hệ điều khiển nơ ron thần kinh không chắc chắn phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 LỜI NÓI ĐẦU Trong những năm gần đây, giải tích phân thứ và hệ phương trình vi phân phân thứ đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học do những ứng dụng của chúng trên nhiều lĩnh vực của khoa học kỹ thuật [5, 6, 7]. Có nhiều loại đạo hàm phân thứ khác nhau tùy thuộc vào cách người ta tổng dn quát đạo hàm dxn cho trường hợp n không nguyên. Tuy nhiên, hai khái niệm được dùng phổ biến hơn cả là đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và đạo hàm phân thứ Caputo. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville được phát triển bởi Abel, Riemann và Liouville trong nửa đầu thế kỉ 19. Xét theo tiến trình lịch sử, đây là khái niệm đạo hàm phân thứ đầu tiên được xây dựng. Tuy nhiên, khi áp dụng khái niệm này để mô tả các hiện tượng thực tế thì gặp hạn chế do điều kiện ban đầu trong các bài toán giá trị đầu không có nhiều ý nghĩa vật lý. Đạo hàm phân thứ Caputo được Caputo xây dựng năm 1969. So với đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho các bài toán thực tế hơn vì điều kiện ban đầu của các mô hình sử dụng đạo hàm Caputo có ý nghĩa vật lý. Những năm gần đây, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước với nhiều bài toán khác nhau như nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa Lyapunov của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [8], nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [9]. Những năm gần đây, hệ phương trình nơ ron thần kinh phân thứ nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Có rất nhiều công trình được công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín về bài toán ổn định theo nghĩa Lyapunov, ổn định hữu hạn thời gian (xem [10] và các tài liệu tham khảo trong đó). Vì vậy, có thể nói việc nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa theo nghĩa Lyapunov của một số lớp hệ nơ ron thần kinh là bài toán quan trọng và có ý nghĩa khoa học. Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định, tính ổn định
3 hóa theo nghĩa Lyapunov của một số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ. Luận văn gồm có 3 chương gồm những nội dung chính sau: Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duy nhất nghiệm. Chúng tôi cũng trình bày một số bổ đề bổ trợ được dùng để chứng minh một số kết quả trong Chương 3 của luận văn. Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định Mittag–Leffer của lớp hệ tuyến tính phân thứ và lớp hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [3, 4, 6, 7]. Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [11]. Trong chương 3 của luận văn, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh không chắc chắn phân thứ. Đây chính là nội dung nghiên mới cứu của luận văn.
4 Danh mục ký hiệu R, R+ tập các số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A⊤ ma trận chuyển vị của ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin(A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} chuẩn phổ của ma trận A, kAk = p kAk λmax(A⊤ A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa là A − B ≥ 0 A>0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0 LMIs bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn )⊤ ∈ Rn Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn AC m [a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số ⌈α⌉ số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α
5 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [3, 4, 6, 7]. 1.1. Giải tích phân thứ 1.1.1. Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1. ([7]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi Z t α 1 t0 It x(t) := (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], Γ(α) t0 +∞ trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = tα−1 e−t dt, α > 0. R 0 Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước α t0 It := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lí sau Định lí 1.1. ([3]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi
6 α α đó, tích phân t0 It x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, t0 It x cũng là một hàm khả tích. Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản. Ví dụ 1.1. ([3]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có α Γ(β + 1) t0 It x(t) = (t − a)α+β , t > a. Γ(α + β + 1) (ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có +∞ α −α X (λt)α+j t0 It x(t) =λ , t > 0. j=0 Γ(α + j + 1) 1.1.2. Đạo hàm phân thứ Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2. ([6]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi t dn n−α 1 dn Z RL α (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 Dt x(t) := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn t0 dn trong đó n := ⌈α⌉ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dtn là đạo hàm thông thường cấp n. Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)   1, nếu t ≥ 0  f (t) =  0, nếu t < 0.  Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f (t) là RL α t−α 0 Dt f (t) = . Γ(1 − α)
7 Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau. Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f ′ (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b]. Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n[a, b] như sau: d AC n[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (D n−1 f )(t) ∈ AC[a, b] D= }. dt Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b]. Mệnh đề 1.1. ([7]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: n−1 X α f (t) = t0 It ϕ(t) + ck (t − t0 )k , k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và Z t α 1 t0 It ϕ(t) = (t − s)n−1 ϕ(s)ds. (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có (n) f (k) (t0 ) ϕ(s) = f (s), ck = (k = 0, 1, . . . , n − 1). k! Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lí 1.2. ([7]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo RL α hàm phân thứ t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau n−1 t f (k) (t0 ) 1 f (n) (s)ds X Z RL α t0 Dt f (t) = (t − t0 )k−α + . Γ(1 + k − α) Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 k=0 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2
8 Hệ quả 1.1. ([7]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì Z t ′ RL α 1 f (t0 ) f (s)ds t0 Dt f (t) = + . Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) α Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.2. ([6]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] = λ RL α RL α t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] 1 dn t Z = (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds Γ(n − α) dtn t0 λ dn t µ dn t Z Z n−α−1 = n (t − s) f (s)ds + n (t − s)n−α−1 g(s)ds Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 = λ tRL 0 Dtα f (t) + µ RL α t0 Dt g(t). Định nghĩa 1.3. ([6]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi C α n−α n t0 Dt x(t) := t0 It D x(t), dn trong đó n := ⌈α⌉ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và D n = dxn là đạo hàm thông thường cấp n. T Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau: C α C α C α C α T t0 Dt x(t) := t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t) . Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ cấp α.
9 Định lí 1.3. ([7]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ Caputo C α t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có (i) Nếu α 6∈ N thì C α t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau: Z t C α 1 f (n) (s)ds D t0 t f (t) = . Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t ′ C α 1 f (s)ds t0 Dt f (t) = . Γ(1 − α) t0 (t − s)α (ii) Nếu α = n ∈ N thì C n t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t). Đặc biệt, C 0 t0 Dt f (t) = f (t). Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.3. ([6]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là C α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] = λ tC0 Dtα f (t) + µ tC0 Dtα g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2. Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo. Mệnh đề 1.4. ([6]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì C α t0 Dt ξ = 0. Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ. Định lí 1.4. ([7]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có C α α t0 Dt ( t0 It f (t)) = f (t).
10 Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây Định lí 1.5. ([7]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì n−1 (k) α C α X f (t0 ) (t − t0 )k . t0 It t0 Dt f (t) = f (t) − k! k=0 Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t) = f (t) − f (t0 ). Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau Định lí 1.6. [3] Cho α > 0 và đặt n = ⌈α⌉ . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có: n−1 ! C α X (t − t0 )j t0 Dt x(t) =RL α t0 Dt x(t) − x(j) (t0 ) , j=0 j! với hầu hết t ∈ [a, b]. 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ được định nghĩa như sau kxk∞ := max kx(t)k, t∈[0,T ] ( trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn ). Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo C α 0 Dt x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1)
11 với điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∈ Rn , (1.2) trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn . Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và (1.2). Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân. Mệnh đề 1.5. [3] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn [0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân Z t 1 ϕ(t, x0 ) = x0 + (t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ]. (1.3) Γ(α) 0 Nhận xét 1.1. [1] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0 ) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ. Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lí sau: Định lí 1.7. ([3] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và K > 0 tùy ý. Đặt G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], kx − x0 k ≤ K} và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho: kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk, ∀(t, x), (t, y) ∈ G.
12 Đặt M = sup kf (t, x)k và (t,x)∈G  T, nếu M = 0,   T∗ = 1/α min{T, (KΓ(1 + α)/M) }, trong trường hợp còn lại.   Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của bài toán (1.1) với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2). Định lí 1.8. ([1] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L(t)kx − yk, ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞). 1.3. Một số bổ đề bổ trợ Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn. Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [2]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau: ±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y. Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [2]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 nếu và chỉ nếu   T X Z   < 0. Z −Y Bổ đề 1.3. [4] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương và x : R+ −→ Rn là một hàm véc tơ khả vi liên tục. Khi đó ta có bất đẳng thức sau đúng C α xT (t)P x(t) ≤ 2xT (t)P C α 0 Dt 0 Dt x(t), ∀t ≥ 0.
13 1.4. Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.4. [6] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi +∞ X zk Eα (z) = , Γ(αk + 1) k=0 được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số. Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có +∞ +∞ X zk X zk E1 (z) = = = ez . Γ(k + 1) k! k=0 k=0 Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5. [6] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi +∞ X zk Eα,β (z) = , Γ(αk + β) k=0 được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là +∞ X Ak Eα,β (A) = , ∀A ∈ Rn×n . Γ(αk + β) k=0 Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [7]. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệ phương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến Caputo. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo   C D α x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 ,  t0 t (1.4)  x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,  T trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là thời điểm ban dầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x.
14 Định nghĩa 1.6. ([11]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0. Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thể chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ (1.4) trở thành C α t0 Dt y(t) = C α t0 Dt (x(t) − x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)), (1.5) trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t). Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định tính của điểm gốc 0 của hệ. Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có điểm cân bằng là 0. Định nghĩa 1.7. ([11]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn b kx(t)k ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )] , ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 . Nhận xét 1.3. ([11]) Nếu hệ (1.4) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm cận, tức là lim kx(t)k = 0. t−→+∞ Đối với hệ phương trình vi phân thường cũng như hệ phương trình vi phân có trễ phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính ổn định. Năm 2010, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny đưa ra phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ. Định lí 1.9. ([8]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện:
15 (i) α1 kx(t)ka ≤ V (t, x(t)) ≤ α2 kx(t)kab , C α (ii) t0 Dt V (t, x(t)) ≤ −α3 kx(t)kab , trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0 trong Rn . Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục. Áp dụng Định lí 1.9, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định Mittag–Leffler của lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo và lớp hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ Caputo. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính Caputo   C D α x(t) = Ax(t), t ≥ t0 ,  t0 t (1.6)  x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,  trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A là ma trận vuông cấp n. Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định Mittag–Leffler của hệ (1.6) Định lí 1.10. ([11]) Hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau được thỏa mãn P A + AT P < 0. (1.7) Chứng minh. Xét hàm Lyapunov sau V (t, x(t)) = xT (t)P x(t). Ta có λmin(P )kx(t)k2 ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P )kx(t)k2 . Do đó điều kiện (i) trong Định lí 1.9 được thỏa mãn. Lấy đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của V (t, x(t)) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu được đánh giá sau: C α t0 Dt V (t, x(t)) ≤ 2xT (t)P C α t0 Dt x(t) = 2xT (t)P Ax(t) = xT (t) P A + AT P x(t) (1.8) ≤ λmax(P A + AT P )kx(t)k2 .
16 Do điều kiện (1.7), ta có λmax(P A+AT P ) < 0. Suy ra điều kiện (ii) trong Định lí 1.9 được thỏa mãn. Vậy, theo Định lí 1.9, hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ cho tính ổn định Mittag– Leffler của lớp hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ Caputo. Xét hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ Caputo   C D α x(t) = Ax(t) + Bg(x(t)),  t ≥ t0 , t0 t (1.9)  x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,  trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A, B là các ma trận hằng số có số chiều thích hợp, g(x(t)) ∈ Rn là nhiễu phi tuyến thỏa mãn điều kiện sau: g(0) = 0 và g(x(t)) là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên Rn , tức là tồn tại một ma trận xác định dương Lg sao cho bất đẳng thức sau được thỏa mãn: kg(y) − g(x)k ≤ kLg (y − x)k, ∀x, y ∈ Rn . (1.10) Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định Mittag–Leffler của hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ Caputo (1.9). Định lí 1.11. ([11]) Giả sử nhiễu phi tuyến g(x(t)) thỏa mãn điều kiện (1.10). Khi đó hệ (1.9) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n và một hằng số dương γ sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau được thỏa mãn   T 2 A P + P A + γLg P B   < 0. (1.11) BT P −γI Chứng minh. Chọn hàm Lyapunov như sau V (t, x(t)) = xT (t)P x(t). Ta có λmin(P )kx(t)k2 ≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P )kx(t)k2 .
17 Do đó điều kiện (i) trong Định lí 1.9 được thỏa mãn. Lấy đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của V (t, x(t)) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu được đánh giá sau: C α t0 Dt V (t, x(t)) ≤ 2xT (t)P C α t0 Dt x(t) (1.12) = xT (t) P A + AT P x(t) + 2xT (t)P Bg(x(t)). Áp dụng Bổ đề 1.1 và điều kiện (1.10), ta thu được đánh giá sau: 2xT (t)P Bg(x(t)) ≤ γ −1 xT (t)P BB T P x(t) + γg T (x(t))g(x(t)) = γ −1 xT (t)P BB T P x(t) + γkg(x(t)) − g(0)k2 (1.13) ≤ γ −1 xT (t)P BB T P x(t) + γxT (t)L2g x(t). Từ (1.12) và (1.13), ta có C α t0 Dt V (t, x(t)) ≤ xT (t)Ωx(t) ≤ λmax (Ω)kx(t)k2 , (1.14) trong đó Ω = P A + AT P + γ −1 P BB T P + γL2g . Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện Ω < 0 tương đương với điều kiện (1.11). Từ đó suy ra λmax(Ω) < 0. Suy ra điều kiện (ii) trong Định lí 1.9 được thỏa mãn. Vậy, theo Định lí 1.9, hệ (1.9) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục.
18 Chương 2 Tính ổn định và ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Trong chương này chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ nổn thần kinh phân thứ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [11]. 2.1. Tính ổn định cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ   C D α x(t) = −Cx(t) + Bf (x(t)) + I,  t ≥ 0, 0 t (2.1)  x(0) = x0 ∈ Rn ,  T trong đó α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, T n là số nơ ron, f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), . . . , fn (xn (t))) ∈ Rn là hàm kích hoạt của hệ nơ ron thần kinh, C = diag{c1 , c2 , . . . , cn } là ma trận đường chéo chính, xác định dương, B = (bij )n×n là ma trận hằng số. Véc tơ hằng số I = (I1 , . . . , In ) là đầu vào bên ngoài (external input). Để nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron thần kinh phân thứ (2.1), ta cần các giả thiết sau. Giả thiết 1. Các hàm kích hoạt fi (.)(i = 1, . . . , n) liên tục, thỏa mãn điều