Luận văn thạc sĩ Vật lý: Mô hình Bose – Hubbard của các nguyên tử siêu lạnh trong gần đúng tách liên kết

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là thu thập và lọc lựa tài liệu về mô hình Hubbard và chuyển pha kim loại- điện môi Mott, chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott. Thực hiện một số tính toán giải tích nghiên cứu chuyển pha kim loại điện môi Mott bằng phương pháp nhiễu loạn “ngây thơ” và phương pháp tách kết cặp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn thạc sĩ Vật lý: Mô hình Bose – Hubbard của các nguyên tử siêu lạnh trong gần đúng tách liên kết

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Họ và tên: Hoàng Thị Xuân Diệu TÊN ĐỀ TÀI: MÔ HÌNH BOSE – HUBBARD CỦA CÁC NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRONG GẦN ĐÚNG TÁCH LIÊN KẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ: VẬT LÝ Hà Nội, 04 - 2019
BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Họ và tên: Hoàng Thị Xuân Diệu TÊN ĐỀ TÀI: MÔ HÌNH BOSE – HUBBARD CỦA CÁC NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRONG GẦN ĐÚNG TÁCH LIÊN KẾT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 8440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ : VẬT LÝ NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC : GS.TS. NGUYỄN TOÀN THẮNG Hà Nội, 04 - 2019
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và sự hƣớng dẫn của giáo viên hƣớng dẫn. Luận văn không có sự sao chép tài liệu, công trình nghiên cứu của ngƣời khác mà không chỉ rõ trong mục tài liệu tham khảo. Những kết quả và các số liệu trong khóa luận chƣa đƣợc ai công bố dƣới bất kỳ hình thức nào. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trƣớc nhà trƣờng về sự cam đoan này. Hà Nội, 04- 2019 Học viên Hoàng Thị Xuân Diệu
Lời cảm ơn Trong quá trình học tập và làm việc tại Viện Vật lý, dƣới sự hƣớng dẫn của GS.TS. Nguyễn Toàn Thắng, tôi đã học hỏi đƣợc rất nhiều kiến thức Vật lý, Toán học. Để hoàn thành đƣợc Luận văn Thạc sĩ này và để có thể trở thành một ngƣời có khả năng độc lập nghiên cứu Khoa học, tôi xin gửi đến ngƣời thầy hƣớng dẫn trực tiếp của tôi lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình cảm yêu quý cũng nhƣ lòng kính trọng của mình. Một lần nữa tôi xin cảm ơn các thầy và GS.TS. Nguyễn Toàn Thắng đã giúp đỡ tôi hoàn thành nội dung chính của luận văn Thạc sĩ. Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại Viện, phòng sau đại học đã hỗ trợ tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn. Cuối cùng, tôi xin đƣợc dành tất cả những thành quả trong học tập của mình dâng tặng những ngƣời thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo từng bƣớc chân tôi. Hà Nội, 04- 2019 Học viên Hoàng Thị Xuân Diệu
Danh mục các hình vẽ, đồ thị Hình 1.1. Bức tranh năng lƣợng hai nút............................................................ 6 Hình 1.2: Do kể tới sự nhảy nút của điện tử (hình bên trái) mà mức năng lƣợng nhòe đi trở thành vùng năng lƣợng với bề rộng tỉ lệ với tích phân nhảy nút (hình bên phải) [14]..................................................................................... 7 Hình 1.3: Mật độ trạng thái điện tử dẫn với các giá trị khác nhau của U mô tả chuyển pha kim loại điện môi Mott: trạng thái điện môi (a), trạng thái kim loại (c) và chuyển pha kim loại- điện môi Mott (b) [15]. ................................. 7 Hình 1.4.: Động năng và thế năng trong mô hình Bose- Hubbard [5] ........... 15 Hình 1.5: Năng lƣợng hai nút không đổi khi nguyên tử nhảy từ j sang i nếu số lấp đầy không nguyên ..................................................................................... 16 Hình 2.1: Giản đồ Feynman cho Hamiltonian HU=0........................................ 23 Hình 3.1: Giản đồ pha mô hình Bose- Einstein trong gần đúng nhiễu loạn bậc 2 [20] ............................................................................................................... 35
MỤC LỤC MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài. ..................................................................................................... 1 2. Đối tƣợng nghiên cứu.............................................................................................. 2 3. Mục đích và phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................... 2 4. Cấu trúc luận văn. ................................................................................................... 2 CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH BOSE- HUBBARD ........................................................ 3 1.1. MÔ HÌNH HUBBARD CHO HỆ ĐIỆN TỬ TƢƠNG QUAN MẠNH. ............. 3 1.1.1. Chuyển pha kim loại – điện môi Mott. ............................................................. 4 1.2. MÔ HÌNH BOSE- HUBBARD ........................................................................... 8 1.2.1 Mạng quang học và mô hình Bose-Hubbard. ................................................... 8 1.2.2. Ngƣng tụ Bose – Einstein, siêu chảy và pha tinh thể trong mạng quang học.11 1.2.3. Chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott trong mô hình Bose-Hubbard. .......... 15 CHƢƠNG 2: LIÊN KẾT MẠNH TRONG LÍ THUYẾT NHIỄU LOẠN “NGÂY THƠ” ......................................................................................................... 17 2.1. ĐỊNH LÝ WICK CHO HAMILTONIAN KHÔNG NHIỄU LOẠN BẬC 2 [22]. ........................................................................................................................... 17 2.2: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN “ NGÂY THƠ” CHO MÔ HÌNH BOSE- HUBBARD TRONG GẦN ĐÚNG LIÊN KẾT MẠNH .......................................... 20 CHƢƠNG 3: GẦN ĐÚNG TÁCH KẾT CẶP ÁP DỤNG CHO HỆ NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH ...................................................................................................... 29 3.1. GẦN ĐÚNG TÁCH KẾT CẶP ......................................................................... 29 3.2. LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA HIỆN TƢỢNG LUẬN LANDAU [2,5,11]. .... 31 3.3. BỔ CHÍNH BẬC HAI THEO SỐ HẠNG TÁCH KẾT CẶP [5,20]................. 32 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 38
1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài. Trong thời gian gần đây, hệ các nguyên tử siêu lạnh đang trở thành một hƣớng nghiên cứu nóng, thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là các nhà vật lý [1,2,3,4,5]. Sự phát hiện bằng thực nghiệm hiện tƣợng ngƣng tụ Bose-Einstein [6,7,8,9] năm 1995 của các nhà khoa học E.A.Cornell, C.E.Wieman, và W.Keterle mà sau đó đƣợc giải thƣởng Nobel vào năm 2001 đƣợc nhiều nhà khoa học coi nhƣ sự mở ra một kỷ nguyên mới của vật lý lƣợng tử, với sự liên quan của nhiều hƣớng vật lý khác nhau: vật lý nguyên tử, phân tử, quang học, quang lƣợng tử và vật lý các hệ đông đặc [10]. Ngày nay hệ nguyên tử siêu lạnh đang trở thành một trong những lĩnh vực tiên phong của vật lý lƣợng tử hiện đại cho phép hiểu sâu hơn bản chất của vật lý hệ nhiều hạt. Về mặt thực tiễn, ngƣời ta tin rằng hệ nguyên tử siêu lạnh có tiềm năng to lớn trong lĩnh vực thông tin lƣợng tử, đo đạc lƣợng tử và mô hình hoá lƣợng tử. Về mặt vật lý, ngoài hiện tƣợng BEC trong các bẫy, có nhiều hiệu ứng rất thú vị liên quan tới hệ nguyên tử trung hòa trong mạng quang học, tức là trong hệ mà các nguyên tử có thể phân bổ ở các nút mạng. Do cấu trúc tuần hoàn các nguyên tử vừa có thể nhảy từ nút nọ sang nút kia nhƣ một giả hạt Bloch. Đồng thời do tƣơng tác trên một nút, chúng có thể định xứ. Nhƣ vậy, hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học có thể ở pha siêu chảy khi chúng là linh động, nhƣng cũng có thể ở pha định xứ, tƣơng tự nhƣ electron có thể ở pha kim loại, có thể ở pha điện môi Mott trong các vật liệu đất hiếm hay kim loại chuyển tiếp [11,12,13]. Hệ điện tử nhƣ thế đƣợc gọi là hệ điện tử tƣơng quan mạnh và đƣợc mô tả bằng mô hình Hubbard [11,12,14]. Trong mạng quang học, các nguyên tử trung hòa đƣợc mô tả bằng Hamiltonian Bose-Hubbard và thay vì chuyển pha kim loại điện môi-Mott [15] là chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott [16,17,18]. (Thực ra là siêu chảy- định xứ, nhƣng để tƣơng ứng với electron ngƣời ta gọi là điện môi Mott cho dù ở pha siêu chảy thì hệ nguyên tử trung hòa vẫn là điện môi). Với mục đích tìm hiểu vấn đề lý thú này, tôi chọn đề tài luận văn là : Mô hình Bose-Hubbard trong gần đúng tách liên kết của các nguyên tử siêu lạnh.
2 2. Đối tƣợng nghiên cứu. Đối tƣợng nghiên cứu là hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học đƣợc mô tả bằng mô hình Bose-Hubbard. Nghiên cứu hiện tƣợng chuyển pha siêu chảy-điện môi Mott bằng lý thuyết nhiễu loạn “ ngây thơ” và tách kết cặp trong gần đúng liên kết mạnh. 3. Mục đích và phƣơng pháp nghiên cứu. Đề tài đặt ra những mục tiêu sau đây cho tôi: Thu thập và lọc lựa tài liệu về mô hình Hubbard và chuyển pha kim loại- điện môi Mott, chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott. Thực hiện một số tính toán giải tích nghiên cứu chuyển pha kim loại điện môi Mott bằng phƣơng pháp nhiễu loạn “ngây thơ” và phƣơng pháp tách kết cặp. Phƣơng pháp tính toán là sử dụng phƣơng pháp lý thuyết trƣờng lƣợng tử áp dụng cho hệ nhiều hạt. Qua việc hoàn thành đề tài luận văn, tôi đƣợc rèn luyện kỹ năng tiếp cận một vấn đề mới, mở rộng tầm hiểu biết về một vấn đề hiện đại, học một số phƣơng pháp tiếp cận hiện đại của vật lý lý thuyết và áp dụng trong một bài toán cụ thể. 4. Cấu trúc luận văn. Ngoài phần Mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn nhƣ sau: Chƣơng 1: Mô hình Bose- Hubbard. Chƣơng 2: Liên kết mạnh trong lý thuyết nhiễu loạn “ngây thơ”. Chƣơng 3: Gần đúng tách kết cặp áp dụng cho hệ nguyên tử siêu lạnh.
3 CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH BOSE- HUBBARD 1.1. MÔ HÌNH HUBBARD CHO HỆ ĐIỆN TỬ TƢƠNG QUAN MẠNH. Trong một số vật liệu tƣơng tác Coulomb giữa các hạt tải nhỏ hơn nhiều so với động năng của chúng và trong nhiều trƣờng hợp đƣợc coi là hệ các hạt tải tự do với khối lƣợng đƣợc tái chuẩn hoá (khối lƣợng hiệu dụng). Trong các vật liệu họ kim loại chuyển tiếp và kim loại đất hiếm thì thế năng của mỗi điện tử có độ lớn cùng bậc với động năng của nó. Hệ điện tử nhƣ vậy đƣợc gọi là hệ điện tử tƣơng quan mạnh. Mô hình đơn giản nhất mô tả hệ điện tử tƣơng quan mạnh là mô hình Hubbard đƣợc đề xuất năm 1963 với Hamiltonian có dạng sau [11,12,14]: ∑ ∑ ∑ (1.1) 〈 〉 Trong đó là các toán tử sinh (huỷ) điện tử trên nút i (nút j). : là toán tử số hạt trên nút i. Tƣơng tác Coulomb trên một nút ký hiệu là U. Tích phân nhảy nút ký hiệu là t mô tả tính chất linh động của điện tử. Vì độ lớn của tích phân nhảy nút phụ thuộc sự phủ nhau của hai hàm sóng Wannier trên hai nút i, j nên tỷ lệ nghịch với khoảng cách giữa hai nút. Vì vậy ngƣời ta thƣờng giới hạn trong gần đúng hai nút lân cận gần nhất . Nhƣ vậy số hạng đầu tiên mô tả động năng của hệ còn số hạng thứ hai liên quan tới thế năng của hạt. Nếu đóng góp của hai số hạng này là cùng bậc thì ta có Hamiltonian cho hệ điện tử tƣơng quan mạnh. Cần lƣu ý là giá trị cụ thể của t và U là tính chất nội tại của vật liệu và khó thay đổi bằng các điều kiện bên ngoài, thí dụ thƣờng bằng thay đổi áp xuất bên ngoài. Đây là điều khác biệt lớn khi so sánh với mô hình Bose- Hubbard trong siêu mạng sẽ trình bày ở dƣới đây khi t và U dễ dàng thay đổi bằng cƣờng độ chùm laser. Ngoài tham số nhảy nút và tƣơng tác trên một nút, Hamiltonian Hubbard còn đặc trƣng bởi số lấp đầy và cấu trúc mạng tinh thể. Số lấp đầy n là trung bình của số hạt trên mỗi nút.
4 ∑ 〈 〉 Vì nguyên lý Pauli nên trên mỗi nút không thể có hơn hai electron. Trƣờng hợp đặc biệt quan trọng là khi n=1, đƣợc gọi là lấp đầy một nửa. Mô hình Hubbard tuy có dạng đơn giản nhƣng đƣợc áp dụng khá rộng rãi. Có thể kể ra một số trƣờng hợp cụ thể áp dụng mô hình Hubbard nhƣ sau: • Nghiên cứu tính chất điện từ của tinh thể với vùng năng lƣợng hẹp (kim loại chuyển tiếp). • Nghiên cứu tính chất từ do hạt tải linh động (band magnetism) (Fe, Co, Ni, ...). • Siêu dẫn nhiệt độ cao và các vật liệu siêu dẫn mới. • Nghiên cứu các phƣơng pháp tiếp cận và ý tƣởng mới trong vật lí thống kê. Đặc biệt, mô hình Hubbard đƣợc sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu chuyển pha kim loại- điện môi Mott mà ta sẽ xem xét chi tiết dƣới đây. 1.1.1. Chuyển pha kim loại – điện môi Mott. Chuyển pha là sự thay đổi trạng thái của một hệ khi thay đổi nhiệt độ (chuyển pha nhiệt động học) hoặc khi thay đổi một tham số nội tại của hệ ở nhiệt độ T=0K(chuyển pha lƣợng tử)[15]. Thí dụ chuyển pha nhiệt động học nhƣ chuyển pha khí-lỏng-rắn khi nhiệt độ giảm dần, chuyển pha lƣợng tử nhƣ: chuyển pha kim loại- điện môi Mott. Để đặc trƣng cho tính dẫn điện của vật liệu ngƣời ta xét tensor dẫn điện tĩnh ở gần đúng sóng dài ở giới hạn nhiệt độ tiến tới không. Nếu tensor dẫn điện khác không thì đó là kim loại, còn nếu tensor dẫn điện bằng không thì đó là điện môi. Ngƣời ta phân biệt các loại điện môi sau: - Điện môi vùng là do cấu trúc vùng năng lƣợng mà xuất hiện khe năng lƣợng giữa vùng lấp đầy cao nhất của các hạt tải với vùng trống thấp nhất. Nguyên nhân của sự tồn tại khe là do giải bài toán chuyển động của electron
5 trong trƣờng thế của các ion, tức là điện môi vùng là do tƣơng tác của electron với các ion. - Điện môi Anderson là khi một hệ ban đầu là dẫn điện, nhƣng khi ta tăng dần độ mất trật tự của hệ (thí dụ các khuyết tật) đến một mức độ nào đó thì hệ trở thành không dẫn điện. - Điện môi Peierls là do sự biến dạng của mạng tinh thể. - Điện môi Mott là do sự tƣơng quan mạnh của electron, tức là do các electron tƣơng tác với nhau qua thế Coulomb kết hợp với nguyên lý Pauli. Ta có thể hiểu tại sao có chuyển pha kim loại- điện môi Mott bằng cách phân tích bức tranh năng lƣợng trong mô hình Hubbard gồm hai nút i, j nhƣ sau (xem hình 1.1). Trƣớc hết ta thấy rằng nếu lấp đầy bằng không thì không dẫn điện vì không có hạt tải, còn nếu lấp đầy bằng 2 thì cũng vậy vì electron không thể nhảy nút do nguyên lý cấm Pauli. Do số hạng động năng nên electron có thể nhảy từ nút i sang nút j nếu tại i có ít nhất 1 electron, còn ở j có ít hơn hai electron. Nếu ở j ban đầu không có electron nào thì sau khi nhảy nút, năng lƣợng của hệ không đổi nếu ở i có một electron (lấp đầy dƣới một nửa)- hệ dẫn điện. Còn nếu ở i ban đầu có hai electron thì năng lƣợng giảm đi. Nhƣ vậy nếu hệ lấp đầy trên một nửa (nếu kể tới nút thứ ba có 2 electron) thì cũng dẫn điện. Tóm lại khi hệ lấp đầy khác một nửa thì dẫn điện. Xét hệ có một electron trên mỗi nút, sau khi nhảy nút thì năng lƣợng của hệ tăng lên một đại lƣợng là U. Nhƣ vậy số hạng thế năng có xu hƣớng làm hạt định xứ. Vậy là, hệ khi lấp đầy một nửa có dẫn điện đƣợc không là do so sánh về mặt độ lớn giữa số hạng động năng (quyết định tính linh động) và số hạng thế năng (quyết định tính định xứ). Từ phân tích này ta thấy vì sao mô hình Hubbard lấp đầy một nửa có thể mô tả chuyển pha kim loại- điện môi Mott.
6 n=0: không có hạt tải: điện môi i j n= 2: Lấp đầy, không thể nhảy nút: điện môi 0
7 Hình 1.2: Do kể tới sự nhảy nút của điện tử (hình bên trái) mà mức năng lƣợng nhòe đi trở thành vùng năng lƣợng với bề rộng tỉ lệ với tích phân nhảy nút (hình bên phải) [14]. Các mức năng lƣợng đơn lẻ của nguyên tử trở thành vùng năng lƣợng khi xét đến sự nhảy nút. Hai vùng này đƣợc gọi là các phân vùng (hay vùng con) Hubbard. Hình 1.3: Mật độ trạng thái điện tử dẫn với các giá trị khác nhau của U mô tả chuyển pha kim loại- điện môi Mott: trạng thái điện môi (a), trạng thái kim loại (c) và chuyển pha kim loại- điện môi Mott (b) [15]. Từ bức tranh các phân vùng Hubbard ta có thể mô tả chuyển pha kim loại- điện môi Mott nhƣ Hình1.3. Khi U lớn, U > Uc thì hai phân vùng tách nhau và ρ(εF) = 0 hay hệ ở trạng thái điện môi (Hình1.3a); trong trƣờng hợp ngƣợc lại khi U < Uc thì ρ(εF) = 0 và hệ ở trạng thái kim loại (Hình1.3c) trong khi ở
8 trƣờng hợp tới hạn U = Uc ~ zt, hai phân vùng chạm nhau, đây chính là hiện tƣợng chuyển pha trạng thái kim loại- điện môi (Hình1.3b). Tất nhiên, để bức tranh này có lý thì ta cần giả thiết phân vùng Hubbard vẫn tồn tại kể cả khi U < Uc. Bức tranh phân vùng Hubbard có vẻ tƣơng tự với trƣờng hợp bán dẫn hai vùng, tuy nhiên có sự khác biệt cơ bản là mỗi vùng Hubbard chỉ chứa tối đa N điện tử còn trong lý thuyết vùng tinh thể mỗi vùng có thể chứa tối đa 2N điện tử, việc tách vùng dẫn và vùng hóa trị trong lý thuyết vùng là do tƣơng tác điện tử- ion còn việc tách hai vùng Hubbard là do tƣơng quan điện tử- điện tử và vƣợt qua khuôn khổ của lý thuyết vùng năng lƣợng. Mô hình Hubbard sau này đã đƣợc mở rộng để nghiên cứu các vật liệu với cấu trúc phức tạp hơn: nhảy nút giữa các nút xa hơn lân cận gần nhất, sự tồn tại của nhiều quỹ đạo electron (mô hình Hubbard nhiều vùng), sự có mặt của các số hạng tƣơng tác khác (tƣơng tác Coulomb giữa các nút, tƣơng tác với momen từ của các ion…). Đặc biệt mô hình Hubbard đƣợc mở rộng cho các hạt boson mà ta xét dƣới đây. 1.2. MÔ HÌNH BOSE- HUBBARD. 1.2.1 Mạng quang học và mô hình Bose-Hubbard. Mạng quang học đƣợc tạo ra khi ngƣời ta bẫy các nguyên tử trung hoà trong các bẫy quang học, tức là bẫy do các chùm tia laser. Nguyên lý của các bẫy quang học nhƣ sau: Muốn khƣ trú một nguyên tử ở một vùng không gian nào đó ta phải tác dụng một lực giữ nguyên tử hay nói một cách khác phải tạo ra một hố thế năng giam cầm nguyên tử. Vì nguyên tử trung hoà về điện nên tổng hợp lực Coulomb của trƣờng laser tác dụng trực tiếp lên nguyên tử bằng không. Tuy nhiên, do nguyên tử hợp thành từ hạt nhân và đám mây điện tử nên điện trƣờng do cảm ứng sẽ làm nguyên tử trở thành lƣỡng cực điện. Độ lớn và hƣớng của lƣỡng cực điện phụ thuộc vào trƣờng điện từ của laser và hàm phân cực của nguyên tử. Về phần mình lƣỡng cực điện cảm ứng lại tác dụng với trƣờng điện từ của laser. Nhƣ vậy do thế lƣỡng cực của nguyên tử trong trƣờng điện từ của laser mà nguyên tử bị giam cầm. Vị trí bị giam cầm
9 phụ thuộc vào dáng điệu của chùm laser, vào sự điều chỉnh tần số laser (điều chỉnh đỏ hay điều chỉnh xanh) [19]. Tuy nhiên do tƣơng tác lƣỡng cực điện với điện trƣờng là nhỏ nên độ sâu của bẫy từ trƣờng nhỏ (quãng mK nếu quy năng lƣợng ra thang nhiệt độ). Vì vậy để bẫy nguyên tử bằng phƣơng pháp quang học thì lúc đầu ngƣời ta phải làm lạnh các nguyên tử đó rồi mới bẫy. Muốn tạo thành mạng các nguyên tử thì ngƣời ta phải tạo ra các thế bẫy xếp sắp một cách tuần hoàn. Điều này có thể làm đƣợc bằng cách dùng các chùm laser kết hợp chiếu ngƣợc chiều vào nhau. Hai chùm sóng kết hợp chiếu vào nhau sẽ tạo nên sóng đứng với các bụng sóng và nút sóng cố định trong không gian. Khi ta đƣa vào các nguyên tử siêu lạnh thì những điểm nút sóng hay bụng sóng là những điểm giam cầm nguyên tử tuỳ theo điều chỉnh sóng là xanh hay đỏ. Nếu dùng hai cặp chùm sóng theo hai phƣơng vuông góc thì ta có thể tạo nên mạng hai chiều, nếu dùng ba cặp chùm sóng thì ta có thể tạo mạng ba chiều. Các nguyên tử trên mạng quang học có thể đƣợc mô tả bằng mô hình Bose- Hubbard có dạng nhƣ sau [20]: ̂ ∑̂ ̂ ∑̂ ∑̂ ̂ (1.2) 〈 〉 trong đó t và U là hai tham số của mô hình, còn các toán tử là các toán tử Boson: ̂ ̂ ̂ (1.3) [̂ ̂ ] ̂ ̂ ] [̂ ̂ ] { [ Dấu ngoặc nhọn trong tổng đầu tiên chỉ giới hạn trên các lân cận gần nhất. Số hạng đầu tiên mô tả sự nhảy nút (hay còn gọi là số hạng chui ngầm). Tham số nhảy nút là yếu tố ma trận sau:
10 ∫ ( ) ( ) (1.4) ở đây là hàm Wannier một trạng thái. Số hạng thứ hai trong (1.2) chứa thế hoá học, cố định số hạt trong tập hợp chính quy lớn. Số hạng thứ ba là tƣơng tác giữa các boson trên cùng một nút mạng. Có thể giải phƣơng trình Schrödinger của nguyên tử trong trƣờng laser có chùm sáng dạng Gauss và tìm đƣợc [5,17]: ( ) { ( ) } (1.5) √ Với là năng lƣợng giật, tức là động năng của một nguyên tử ban đầu ở trạng thái nghỉ sau khi hấp thụ một photon đơn lẻ, và thƣờng đƣợc sử dụng làm thang năng lƣợng trong các thí nghiệm với mạng quang, còn λ là bƣớc sóng của ánh sáng laser. Tham số tƣơng tác trên mỗi nút có thể tính đƣợc nếu dùng gần đúng tƣơng tác điểm [1,2,3,4,5]: (1.6) trong đó a là bán kính tán xạ sóng s. Thay các hàm Wannier bằng hàm sóng dao động điều hòa mô tả nguyên tử trong trƣờng laser dạng Gauss ta sẽ có: (1.7) √
11 Trong đó λ là bƣớc sóng của ánh sáng laser đƣợc sử dụng để tạo ra mạng quang, và √ là độ dài đặc trƣng của dao động điều hòa. Từ đây thấy rõ rằng cả tham số nhảy nút và năng lƣợng tƣơng tác có thể điều chỉnh đƣợc bằng cách thay đổi các đặc trƣng của sóng laser. Điều khác biệt cơ bản nhất của mô hình Bose-Hubbard so với mô hình Hubbard cho các electron là tính thống kê của các hạt thể hiện ở tính chất giao hoán của các toán tử. Một trong những hệ quả là các nguyên tử không bị cấm bởi nguyên lý Pauli nên số nguyên tử trên mỗi nút có thể nhận giá trị nguyên dƣơng bất kỳ. 1.2.2. Ngƣng tụ Bose – Einstein, siêu chảy và pha tinh thể trong mạng quang học. Ở nhiệt độ siêu thấp, các boson không bị cấm bởi nguyên lý Pauli nên có thể tập trung một số lớn vĩ mô (cùng bậc với tổng số hạt trong hệ) ở trạng thái với năng lƣợng thấp nhất. Hiện tƣợng này đƣợc gọi là ngƣng tụ Bose-Einstein (BEC) và đƣợc Bose và Einstein tiên đoán từ năm 1924 [11,12,13]. Ta xét trƣờng hợp khí lý tƣởng. Gọi ni là số hạt trung bình (số lấp đầy trung bình của trạng thái i), ta có hàm phân bố cho các hạt boson là [11,12] :  ln Z  exp   ( i   )  1 1 ni   (1.8)  i . Do dạng của hàm phân bố boson nên  < o (mức năng lƣợng thấp nhất) để số lấp đầy luôn lớn hơn không. Từ đó suy ra: ở T < TC thì mức năng lƣợng lấp đầy vĩ mô: (>>1); cùng bậc với N; các mức khác lấp đầy cỡ đơn vị  1. N = No + NT ; No  0 . (1.9) Trạng thái o lấp đầy vĩ mô với No hạt gọi là trạng thái ngƣng tụ, còn số hạt ở ngƣng tụ phụ thuộc nhiệt độ [1,2,3,4]:
12  3 2  T   N o  N 1     (1.10)   TC     , tức là: ở T > TC không có ngƣng tụ, khi T = 0K tất cả các hạt ở ngƣng tụ. Nhiệt độ chuyển pha cho bosons tự do [1,2,3,4]: 2 2  n   2  2 2 3 k BTC   3.31 .n 3 (1.11) m  g 3 (1)  m  2    . Từ công thức trên TC đủ lớn để có thể hạ nhiệt độ của các nguyên tử xuống tới mức quan sát đƣợc BEC nếu n lớn và hoặc m nhỏ. Nhƣng n quá lớn thì boson không còn là lý tƣởng, thƣờng trong BEC: 1013 – 1015 cm-3, và là 4He vì m nhỏ. Trong các bẫy thì các kết quả trên phải điều chỉnh bởi hai lý do: Một là trong thực tế các khí dù là loãng vẫn có tƣơng tác với nhau. Hai là trong các bẫy phải tính đến ảnh hƣởng của thế giam cầm [18]. Cho tới năm 1995 thì hiện tƣợng BEC mới đƣợc phát hiện bằng thực nghiệm cho các nguyên tử khí kim loại kiềm [6,7,8,9]. Hiện tƣợng siêu chảy đƣợc Kapitsa phát hiện bằng thực nghiệm từ năm 1938 trên hệ hêli [1,2,3,4]. 4He lỏng ở nhiệt độ không tuyệt đối T = 0K thì không chuyển sang thể rắn ở áp suất khí quyển. Nó ở thể rắn khi áp suất cao (ở T = 0K thì cần áp xuất P = 25atm). Ở TC = 2.18K, gọi là điểm , chuyển pha bậc hai sang pha siêu chảy. Siêu chảy là hiện tƣợng chất lỏng chảy trong một ống nhỏ không có ma sát (độ nhớt bằng 0) khi vận tốc v < vC nào đó (vC gọi là vận tốc tới hạn hay vận tốc siêu chảy). (Pha siêu chảy này đƣợc gọi là pha He II). Ở dƣới nhiệt độ tới hạn TC 4He không sôi, nghĩa là độ dẫn nhiệt là lớn vô cùng. Ở một số điều kiện, độ nhớt không bằng không, tức là tồn tại hai chất lỏng: một loại với mật độ số ρs là siêu chảy, còn loại kia với mật độ ρn là chất
13 lỏng thông thƣờng. Vì sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng có dạng chữ  nên đôi khi chuyển pha này đƣợc gọi là chuyển pha . Ngƣời ta cho rằng siêu chảy liên hệ trực tiếp tới BEC. Ban đầu ngƣời ta thƣờng đồng nhất mật độ hạt siêu chảy với mật độ hạt ở BEC. Gần đây ngƣời ta cũng đã phát hiện siêu chảy trong hệ khí nguyên tử siêu lạnh [16]. Ngoài hiện tƣợng BEC và siêu chảy nhƣ trong các bẫy nguyên tử, trong các mạng quang học còn có thể tồn tại pha tinh thể. Theo định nghĩa trong vật lý chất rắn, tinh thể là trạng thái vật rắn, khi các ion hay các nguyên tử sắp xếp  có trật tự tuần hoàn, đặc trƣng bằng các vecto cơ sở a nào đó. Trong bẫy quang học cũng có các nút mạng xếp sắp tuần hoàn. Nếu các nguyên tử phân bố đều, định xứ trên các nút mạng thì sẽ là pha tinh thể. Tuy nhiên cho đến nay chƣa phát hiện đƣợc bằng thực nghiệm pha tinh thể trong mạng quang học. Để mô tả các pha ngƣời ta đƣa ra khái niệm tham số trật tự. Gọi N là tổng số nguyên tử trong mạng quang học, No là số nguyên tử ở pha ngƣng tụ thông thƣờng. Sự xuất hiện BEC kéo theo hiện tƣợng siêu chảy. Ký hiệu Nsup là số nguyên tử siêu chảy. Tuy vậy không có mối liên hệ giản đơn giữa No và Nsup vì bản chất vật lý của hai hiện tƣợng này khác nhau. BEC là do tính kết hợp (coherence) trong toàn hệ, còn siêu chảy là sự phản ứng không tầm thƣờng của hệ khi đƣợc truyền một vận tốc. Các nguyên tử lại phân thành hai loại: định xứ và linh động. Vì số nguyên tử là lớn nên tiện lợi hơn khi ta đƣa vào tỷ phần nguyên tử. Tỷ phần nguyên tử của BEC là n0= No/N. Tỷ phần nguyên tử của siêu chảy là nsup= Nsup/N. Tỷ phần nguyên tử trong pha tinh thể là nsol= Nsol/N. Tỷ phần các nguyên tử ngoài ngƣng tụ là n1= N1/N. Các tỷ phần n0, nsup, nsol đặc trƣng cho các pha của nguyên tử trong mạng quang học. Nếu no>0 thì hệ ở pha BEC, hay còn gọi hệ ở pha kết hợp, khi no=0 là pha không kết hợp (incoherent). Nếu nsup> 0 là pha siêu chảy còn khi nsup= 0 là chất lỏng thông thƣờng. Nếu nsol> 0 là pha tinh thể, còn khi nsol= 0 là vô định hình. Tổ hợp của 3 tham số trên cho phép phân loại 8 trạng thái khác nhau dƣới đây của hệ nguyên tử siêu lạnh trong mạng quang học [21]:
14 1. Chất lỏng thông thƣờng không kết hợp: no= 0 ; nsup= 0 ; nsol= 0 . Thí dụ: các chất lỏng và khí cổ điển. 2. Chất lỏng thông thƣờng kết hợp: no> 0 ; nsup= 0 ; nsol= 0 . Tức là có BEC nhƣng không có siêu chảy, thí dụ: khi có một trật tự cao. 3. Siêu chảy không kết hợp: no=0 ; nsup> 0 ; nsol= 0 . Tức là có siêu chảy mà không có BEC. Thí dụ: trong các màng mỏng hai chiều. 4. Siêu chảy kết hợp: no> 0 ; nsup> 0 ; nsol= 0 . Tức là đồng thời có BEC và siêu chảy. Thí dụ: 4He siêu lạnh. 5. Tinh thể không kết hợp: no= 0 ; nsup= 0 ; nsol> 0 . Các nguyên tử phân bố đều trên các nút mạng, định xứ, không có BEC. Thí dụ: đa số các tinh thể rắn. 6. Tinh thể thông thƣờng kết hợp: no> 0 ; nsup= 0 ; nsol> 0 . Thí dụ: Bose thủy tinh. 7. Tinh thể siêu chảy không kết hợp: no= 0 ; nsup> 0 ; nsol> 0 . Hiện nay còn chƣa thống nhất về khả năng tồn tại của tinh thể loại này. 8. Tinh thể siêu chảy kết hợp: no> 0 ; nsup> 0 ; nsol> 0 .