Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Các vấn ñề về khoảng cách

CÁC VẤN ðỀ VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 05) ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách (Phần 05) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các

Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách (Phần 05). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

(Tài liệu dùng chung bài 11+12)

S

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình thang nội tiếp trong ñường tròn ñường kính AD, AD//BC, AD=2a, AB=BC=CD=a, SA ⊥ (ABCD), d(A,(SCD)) = a 2 , I là trung ñiểm AD. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau BI và SC. Giải

=>

⊥

-

DC

(

SAC

).

⊥ DC AC ⊥

DC

A

S

  

H

2a

I

D

A

A

D

a

a

C

B

a

A

C

B

I

Mà DC ⊂ (SCD) => (SAC) ⊥ (SCD) theo giao tuyến SC. Do ñó kẻ AH ⊥ SC (H∈SC) => AH ⊥ (SCD). ⇒ AH = d(A, (SCD)) = a 2 . - (SCD) chứa SC và // với BI => d(BI, SC) = d(I, (SCD)).

D

))

( , (

=

Ta có:

d I SCD AH

DI DA

1 = 2

SCD

a

2

=

=

=> d(I, (SCD))=

AH

d IB SC ,

(

).

1 2

2

A

Bài 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC ñôi một vuông góc, OA=a, OB=2a, OC=3a. M là trung ñiểm OB. Tính d(AM, OC). Giải - Gọi N là trung ñiểm BC, khi ñó (AMN) chứa AM và // với OC => d(AM,OC) = d (O, (AMN)).

a

=>

⊥

-

MN

(

AOB

).

H

⊥ MN OB ⊥

MN

O

A

  

3a

O

C

Mà MN ⊂ (AMN) => (AOB) ⊥ (AMN) theo giao tuyến AM. Do ñó kẻ OH ⊥ AM (H∈AM) => OH ⊥ (AMN) => OH=d(O,(AMN)).

2a

N

- Trang | 1 -

M Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

B

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Các vấn ñề về khoảng cách

2

1

2

=

=

+

=

=>

=

=>

=

- Ta có

OH

OH

.

2

2

2

1 OH

1 + OA OM

1 2 a

1 2 a

2 2 a

a 2

0

=

, góc giữa ñường thẳng A’C

a 2 ACB∠

120

C

2a

B

120

= ∠

∠

=

A C ABB A

CA H '

0 30 .

, (

')

(

'

'

H

a

A

M

= 7a2 => AB=a 7 .

= a2+4a2-2a.2a.

(

)

Bài 3. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC=2a, và (ABB’A’) bằng 300. M là trung ñiểm của BB’. Tính khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM và CC’. Giải - (CAB) ⊥ (ABB’A’) theo giao tuyến AB, nên trong (CAB) kẻ CH ⊥ AB (H∈AB) => CH ⊥ (ABB’A’) => - (ABB’A’) chứa AM và // với CC’ => d(AM, CC’) = d(C, (ABB’A’))=CH. - Tính CH? Áp dụng ñịnh lý hàm số cosin ta có: AB2=CA2+CB2-2CA.CB.cos 1200 − 1 2

C'

B'

=

S

AB CH .

Mặt khác ta có:

30

∆

ABC

0

=

(cid:1)

CA CB .

.sin120

AB CH .

A'

1 2 1 2

1 2

(cid:1) a.2a.

= a 7 .CH => CH = a.

= a

= d (AM, CC’).

3 2

21 7

3 7

∠

∠

, theo giả thiết

=300.

1AA H

1AA H

Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc giữa cạnh bên AA1 và mặt ñáy bằng 300. Hình chiếu H của A trên (A1B1C1) thuộc B1C1. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AA1 và B1C1. Giải - AH ⊥ ( A1B1C1) => góc giữa AA1 và (A1B1C1) là góc - Xét tam giác vuông AHA1, ta có:

A

C

.

=> A1H = AA1cos300 = a

3 2

A H cos 300= 1 AA 1

B

- ∆ A1B1C1 ñều, A1H =a

=> A1H ⊥ B1C1.

3 2

K

1

1

=>

⊥

=>

⊥ B C HK

A ( A H) 1

B C 1 1

1

1

30

A1

⊥ B C A H 1 ⊥ B C AH

- Kẻ HK ⊥ AA1 (K∈ AA1), ta có:   

1

1

C1

H

=> HK là ñoạn vuông góc chung của A A1và B1C1 => HK = d(A A1, B1C1). - Tính HK?

B1

=

=

S

=> A1H.AH = AA1.HK => HK= 1

∆

H

A H AH . 1

AA HK . 1

1AA

1 2

1 2

a 3 . AH 2 = = AH . a 3 2 A H.AH AA 1

- Trang | 2 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Xét tam giác vuông AA1H, ta có:

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Các vấn ñề về khoảng cách

(cid:1) 1 2

S

a 3 = <=> = => = = sin 300= AH HK AH a a 2 a 3 . 2 2 4 AH AA 1

Bài 5. Chóp SABC ñáy ABC là tam giác vuông cân A, AB = a, góc giữa các cạnh bên và mặt ñáy bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SC theo a. Giải - Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC).

060

K

D

E

B

H

C

∠ = ∠ = ∠ = SBH SAH SCH

2

2

2

+ = - Ta có: Ta có => AH=BH=CH => H là trung ñiểm của BC. - Gọi D là ñiểm ñối xứng với A qua H => AB//CD => AH//(SCD) => d(AB,SC) = d(AB,(SCD))=d(A,(SCD)). - Gọi E là trung ñiểm của CD. Khi ñó (SHE) ⊥ (SCD) theo giao tuyến SE, nên trong (SHE) kẻ HK ⊥ SE(K∈SE) => HK ⊥ (SCD) => HK=d(H,(SCD)). 1 HS 1 HK 1 HE

Mà :

A . tan600=

a 6 . - Xét tam giác vuông SHA, ta có: tan600= => SH=AH.tan600= . a 2. 3 = 2

SH AH

1 2

1 2

2

2

2

2

A

2

a 2 − = - Xét tam giác vuông HEC ( vuông tại E), ta có: HE2 = HC2 - EC2 = ( ) ( ) a 2 2 a 3 4

2

2

2

2

2

H

= + = + = => = => = Do ñó: HK HK . 1 HK 2 a 3 4 a 3 2 2 a a 2 1 6 a a 2 ) ( 1 a 3 4 2

=

D

- Ta có:

HK d A SCD , (

(

))

DH DA

1 = 2

K

SDC

C'

A'

B'

M

N

K

=> = = d A SCD , ( ( )) HK . 1 2 1 2 a 2

H

2

2

2

= + - Ta có:

Bài 6. Cho lăng trụ ñều ABCA’B’C’ (lăng trụ ñứng có ñáy là tam giác ñều) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AA’, BB’. Tính d(B’M, CN). Giải - B’M//AN => B’M//(ACN) => d(B’M//CN)= d(B’M,(ACN))= d(B’,(ACN))=d(B,(ACN)). (BB’ cắt (ACN) tại trung ñiểm N của BB’ => d(B’,(ACN))= d(B,(ACN)) ). - Gọi O là trung ñiểm BC, kẻ OK ⊥ CN(K∈CN). Khi ñó: (OAK) ⊥ (ACN) => OH=d(O, (ACN)). 1 OK

C

A

1 OH 1 OA

- Trang | 3 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

B

Mà: - Tam giác vuông OKC ñồng dạng với tam giác vuông NBC ( C∠ chung) O

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Các vấn ñề về khoảng cách

a 2

(cid:2)

<=>

=

<=>

=

2

2

OK CO = NB CN

a 2 +

2

2

CB

BN

B'

+

a

(

)

OK a 2

OK a 2

a 2

2

(cid:1)

N

a 4 = = = OK a 5 a 2 5

2 a a . 2 2 2 a 5 4

ACN

B

2

a 3 +) OA= . 2

2

2

2

2

2

a 3 = + = + = => = => = . OH OH a 3 64 8 1 OH 20 2 a 4 3 a 64 2 3 a

1 a 20 1 3 a 4

= Ta có: OH d B ACN , ( ( )) CO CB 1 = 2

a 3 - d(B,(ACN)) = 2.OH= = d(BM’, CN). 4

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương

Hocmai.vn

Nguồn :

- Trang | 4 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt