Luyện thi học sinh 9_ Phần Số Học

Chia sẻ: Paradise8 Paradise8 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'luyện thi học sinh 9_ phần số học', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi học sinh 9_ Phần Số Học

http://NgocHung.name.vn Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn – c¸ch gi¶i . I, Ph¬ng tr×nh v« ®Þnh d¹ng a.x+by=c+dxy vµ bµi to¸n vÒ chia hÕt. C¸ch gi¶i: Sö dông tÝnh chÊt chia hÕt VÝ dô1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh xy-2x-3y+1=0 5  Z  x  3   1;5  HD: c¸ch1: ViÕt y=2+ x3 C¸ch 2: ViÕt (x-2)(y-3)=5 =1.5=-1.(-5) VÝ dô2: T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn (x;y) tho¶ m·n y(x-1)=x2+2 3  Z  x  1   1;3 HD : ViÕt y=x+1+ x 1 VÝ dô3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 2x-3y+5xy=39 2 x  39 HD : ViÕt y=  Z  2 x  39  3  5 x  12  x  6 3  5x VÝ dô4: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 5x-3y=2xy-11 x5 HD : ViÕt y=2+  Z  x  5  2 x  3  miÒn giíi h¹n cña x. 2x  3 VÝ dô5: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2  x 1 y= 2 x  x 1 HD: ViÕt thµnh (y-1)x2+(y+1)x+y-1=0 1, Víi y=1 th× x=0 1 2, Víi y  1   x  0   y  3  y  0;1;2;3 3 VÝ dô6: T×m c¸c cÆp sè nguyªn d¬ng (x;y) tho¶ m·n x2  x 1 A= lµ sè nguyªn xy  1 x  y 1  Z  x  y  1  xy  1   x  1 y  1  3 HD: yA=x+1+ xy  1 VÝ dô 7: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x,y,z tho¶ m·n 2(y+z)=x(yz-1) HD: Lµm t¬ng tù vÝ dô6 a2  2 VÝ dô8: T×m c¸c cÆp sè nguyªn d¬ng sao cho Z ab  2 1
http://NgocHung.name.vn Mét sè bµi luyÖn tËp Bµi1: T×m nghiÑm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x2-y2=2003 Bµi2: Cã tån t¹i hay kh«ng hai sè nguyªn x vµ y tho¶ m·n 3x2+7y2=2002 Bµi3: Gi¶ sö x,y,z tho¶ m·n x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x) . CMR xyz  27 Bµi4: Cho x,y,z lµ ba sè tho¶ m·n x2+y2=z2 1, Chøng minh cã Ýt nhÊt mét trong hai sè x,y chia hÕt cho 3 2, Chøng minh tÝch xy 12 Bµi 5: Cã tån t¹i c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n x3+y3+z3=x+y+z+2006 kh«ng? Bµi6: T×m c¸c cÆp sè tù nhiªn (x;y) tho¶ m·n x2+3y=3026 Bµi7: Chøng minh ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn x2-2y=2005 Bµi8: T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã c¸c c¹nh lµ sè nguyªn vµ sè ®o diÖn tÝch = chu vi. II, H¹n chÕ tËp hîp chøa nghÖm dùa vµo ®iÒu kiÖn cña Èn VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x  y  50 HD : y=50+x-10 2 x 0  x  50  2 x  4k 2  k 2  25  k  0,1,2,3,4,5 VÝ dô2: T×m nghiÖm tù nhiªn cña ph¬ng tr×nh x  y  1989 III, H¹n chÕ tËp hîp chøa nghiÖm b»ng c¸ch s¾p thø tù Èn (¸p dông cho vai trß cña c¸c Èn nh nhau) VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x2+y2+z2+xyz=20 HD: Gi¶ sö 1  x  y  z  VT  4 x 2  x  2 VÝ dô2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 111   1 xyz 3 HD : Gi¶ sö 1  x  y  z  1   x  3  x  2,3 x 2
http://NgocHung.name.vn VÝ dô3: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng a,b,c ®«i mét kh¸c nhau tho¶ m·n 1 1 1 1 1 1 Y=     Z  a b c ab ac bc HD : chøng minh a,b,c cïng tÝnh chÊt ch½n lÎ vµ gi¶ sö a
http://NgocHung.name.vn 1!+2!+…+x!=y2 HD: XÐt x=1,2,3,4 ta ®îc nghiÖm (1;1) vµ(3;3) Víi x>4 th× y2 cã tËn cïng b»ng 3  y  Z VÝ dô2: T×m x,y nguyªn d¬ng tho¶ m·n x2+x-1=32y+1 HD: Cho x =0,1,…,9 => VT =1,5,9 nhng VF cã sè tËn cïng lµ 3 hoÆc 7 VII, Sö dông tÝnh chÊt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 3x2+y2+4xy+4x+2y+5=0 HD: XÐt  y  x 2  4  n 2 , n  Z   x  2 VÝ dô2: T×m nghiÑm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2-(y+5)x+5y+2=0  x1  x 2  y  5  x1  5 x 2  5  2  1.2  1. 2 HD: Theo Vi-Ðt cã   x1 x 2  5 y  2 VIII, Dùa vµo nguyªn lý kÑp 2 n
http://NgocHung.name.vn Mçi ch÷ sè cña sè ®ã thªm mét ®¬n vÞ th× còng ®îc mét sè chÝnh ph¬ng VÝ dô3: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n sao cho n2+n+1 lµ mét sè chÝnh ph¬ng. X, §a vÒ trêng hîp riªng VÝdô: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x  x  ...  x  y (cã n dÊu c¨n) 2 x  t t  N  HD : Víi n=1 cã x  y y  t 2 x  x  y  x  y 2  x  t 2  t  y 2  t 2  y 2  t  1 Víi n=2 cã ChØ cã nghiÖm (0;0) Víi n>2.Luü thõa liªn tiÕp dÉn tíi 2 x  x  y n 2  x .§a vÒ trêng hîp trªn. XI, Dïng bÊt ®¼ng thøc VÝ dô1: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x2-xy+y2=5 20 HD: ViÕt l¹i trë thµnh (2x-y)2=20-3y2  0  y 2   y 2  0;1;4 3 Sö dông tÝnh ch½n lÎ trong gi¶i to¸n sè häc I, TÝnh chÊt: 1, Tæng (hoÆc hiÖu) cña mét sè ch½n vµ mét sè lÎ lµ mét sè lÎ 2, Tæng hoÆc hiÖu cña hai sè ch½n ,hoÆc hai sè lÎ ,lµ mét sè ch½n 3, TÝch cña c¸c sè lÎ lµ mét sè lÎ 4, TÝch cña c¸c sè ,trong ®ã cã Ýt nhÊt mét sè ch½n lµ mét sè ch½n 5, Trong hai sè nguyªn liªn tiÕp cã mét sè ch½n vµ mét sè lÎ II, TÝnh ch½n lÎ trong c¸c bµi to¸n vÒ chia hÕt Bµi1: Cho b¶y sè nguyªn ai (i=1,2,…,7).ViÕt c¸c sè nguyªn ®ã theo mét thø tù kh¸c ®îc bi(i=1,2,…7) .Chøng minh tÝch (a1-b1)(a2-b2)…(a7-b7)chia hÕt cho2. 7  0  c j  2k k  Z 1  j  7 c HD:§Æt ci=ai-bi cã i 1 Bµi2: Sè 3n+2003, trong ®ã n lµ sè nguyªn d¬ng ,cã chia hÕt cho184kh«ng? HD: ThÊy 32m-1 chia hÕt cho 32-1=8 .NÕu n=2m th× 32m+2003=32m-1+250.8+4 kh«ng chia hÕt cho 8 . NÕu n=2m+1 th× 32m+1+2003=3(32m-1)+250.8+6 kh«ng chia hÕt cho 8 V©y víi mäi sè nguyªn n sè 3n+2003 kh«ng chia hÕt cho 8.23=184 Bµi tù gi¶i 1, Cho n>3,n  N .Chøng minh nÕu 2n=10a+b víi 0
http://NgocHung.name.vn 2, Cho c¸c sè nguyªn d¬ng x,y,z tho¶ m·n x2+y2=2z2.Chøng minh r»ng x2-y2 chia hÕt cho 48 3, Cho c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n x2+y2=z2. Chøng minh r»ng x.y.z chia hÕt cho 60 4, BiÕt a lµ sè nguyªn d¬ng a, NÕu a+1 vµ 2a+1 lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng th× a cã chia hÕt cho 24 kh«ng ? b, NÕu 2a+1 vµ 3a+1 lµ sè chÝnh ph¬ng th× a cã chia hÕt cho 40 kh«ng ? III, TÝnh ch½n lÎ víi c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn VÝ dô : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña hÖ ph¬ng tr×nh  xy  y  x! 1   yz  z  y! 1 x 2  2 y 2  2 x  4 y  2  HD: Tõ PT cuèi vµ ph¬ng tr×nh ®Çu suy ra x ch½n y lÎ .Tõ PT thø hai cã y! lÎ nªn y=1.KÕt qu¶ nghiÖm cña hÖ (x,y,z) b»ng (2,1,1) VÝ dô2: Chøng minh kh«ng cã sè nguyªn nµo tho¶ m·n 30 19 x  5 y  1980 z  1975 4  1983 VÝ dô3: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh x3+2y3=4z3 IV, TÝnh ch½n lÎ trong c¸c bµi to¸n sè häc kh¸c VÝ dô1: Chøng minh r»ng mét PT bËc hai víi c¸c hÖ sè nguyªn lÎ th× kh«ng cã nghiÖm h÷u tû HD: Gi¶ sö x=p/q (p,q)=1 thay vµo PT a.x2+bx+c=0 ®îc ap2+bpq+cq2=0 (*) NhËn thÊy VT (*) lÎ cßn VP (*) ch½n dÉn tíi (®pcm) n  37 VÝ dô2: T×m sè nguyªn d¬ng n ®Ó lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tû n  43 2 n  37  p     víi (p,q)=1.Ta cã n-37=kq2 vµ n+43=kp2 (k  Z  ) HD: G/S n  43  q   Tõ ®ã k(p-q)(p+q)=80=24.5.1 TH1. p,q cã mét sè ch½n mét sè lÎ .Tõ (*) suy ra p+q=5; p-q=1;k=16=>p=3,q=2,n=101 TH2. C¶ hai p,q ®Òu lÎ .§Æt p=2a-1;q=2b-1 (a,b thuéc Z+) suy ra k(a-b)(a+b-1)=20=22.5.1;do a+b-1>a-b vµ a+b-1 kh¸c tÝnh ch½n lÎ víi a-b Cho cÆp (a-b,a+b-1) lÇn lît b»ng (1,2);(1,4);(1,20); (5,20);(2,5);(4,5) SÏ cã ®îc n b»ng 38;47;55;82;199;398. VÝ dô 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè a,b,c tho¶ m·n ab+ba=c HD: c>2 vµ lÎ nªn a,b ph¶i kh¸c tÝnh ch½n lÎ .Do vai trß a,b nh nhau nªn gi¶ sö a lÎ, b ch½n th× b=2 nªn cã a2+2a=c .NÕu a=3 th× tho¶ m·n c=17. NÕu a kh¸c 3 th× a2=3n+1(n nguyªn d¬ng ) ,2a=(3-1)a=3t-1 v× a lÎ .Tõ ®ã c=a2+2a=3n+1+3t-1=3(n+t) lµ hîp sè .Bµi to¸n cã hai nghiÖm (3,2,17) vµ (2,3,17) 6
http://NgocHung.name.vn Mét sè bµi tù gi¶i Bµi 1: BiÕt p=a+b ,q=b+c ,r=c+ab ®Òu lµ sè nguyªn tè ,vµ a,b,c lµ c¸c sè c a nguyªn d¬ng .CMR trong ba sè cã Ýt nhÊt hai sè b»ng nhau Bµi2: Cho c¸c sè a=2n+3n vµ b=2n+2+3n+2 víi n nguyªn d¬ng . T×m ¦CLN(a,b)=? Bµi3: Chøng minh 3n+4 kh«ng thÎ lµ sè chÝnh ph¬ng víi n nguyªn d¬ng Bµi4: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng m,n >1 ®Ó 2m+3n lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi5: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng n ®Ó n2+2002 lµ sè chÝnh ph¬ng ? C¸c bµi tËp luyÖn tËp tæng hîp Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau 1, 5x2-4xy+y2=169 2, 4y+1=3x 3, x6+3x3+1=y4 4, 5x+12x=13x Bµi 2: Chøng minh ph¬ng tr×nh 25t=2t5+1997 kh«ng cã nghiÖm nguyªn Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 1, x3-3y3-9z3=0 2, 2x2+2y2-2xy+x+y-10=0 3, x+y+z=xyz 4, x2-4xy=23 5, 3x-3y+2=0 6, 19x2+28y2=729 7, 3x2+8y2+10xy=96 Bµi 4: T×m c¸c cÆp (x;y) nguyªn d¬ng tho¶ m·n mét trong c¸c ph¬ng tr×nh sau 1, 4xy-3(x+y)=59 2, 5(xy+yz+xz)=4xyz xy yz xz 3,   3 z x y 111 1 4,    x y z 1995 Bµi 5: gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn (x+2004)(x+1980)=3y-81 Bµi6: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n ®Ó n4+6n3+11n+6n lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi7: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n ®Ó (n+5)(n+6) chia hÕt cho 6n Bµi8: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 1, x2+(x+1)2=y4+(y+1)4 2, x +2003x+2004y2+y=xy+2004xy2+2005 2 Bµi9: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 7
http://NgocHung.name.vn 1, xy=3(y-x) 2, (n+1)(2n+1)=10m2 3, xy+yz+zx=2(x+y+z) x4  2 Bµi10: T×m mäi cÆp sè nguyen d¬ng sao cho ph©n thøc lu«n nhËn x2 y 1 Gi¸ trÞ nguyªn 7 2 2 p Bµi11, T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè pi (i=1,2,…,8) sao cho  p8 i 1 Bµi12: T×m sè d trong phÐp chia (1995+1)(1995+2)…(1995+3990) cho31995 Bµi 13, Ph©n tÝch sè 20032004 thµnh tÝch cña hai sè d¬ng a,b .Hái a+b Cã chia hÕt cho 2004 kh«ng? Bµi14: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n x  3  x  10  x  10  x  990  x  1000  2004 Bµi 15, t×m c¸c sè nguyªn x sao cho x3-2x2+7x-7 chia hÕt cho x2+3 Bµi16, T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n xyzyzx       x yz 3 yzxxyz Bµi17: ViÕt sè 20032004 thµnh tæng cña c¸c sè nguyªn d¬ng. §em tæng lËp ph¬ng tÊt c¶ c¸c sè h¹ng ®ã ®em chia cho 3 th× ®îc sè d lµ bao nhiªu? Bµi18: T×m mäi nghiÖm nguyªn cña hÖ 2 x 3  7 x 2  8 x  2  y 3 2 2 y  7 y  8 y  2  z 3 2 2 z  7 z  8 z  2  x x3  x Z Bµi19: T×m c¸c cÆp sè (x;y) nguyªn d¬ng sao cho xy  1 Bµi20: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn 3x+4y=7z Bµi21: XÐt d·y sè a1=1;a2=3 vµ an+2=2an+1-an+1 víi mäi n nguyªn d¬ng Chøng minh sè A=4an.an+2+1 lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi 22: BiÓu diÔn sè 1/2díi d¹ng tæng cña ba ph©n sè d¬ng cã tö b»ng 1 H·y t×m tÊt c¶ c¸c c¸ch ®ã Bµi23: Chøng minh ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiÖm nguyªn x,y 36x2+144y2-276x-120y+25=0 Bµi24: T×m c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT k x2+y2=2011 1995 1 10  z  2 Bµi25: T×m c¸c sè tù nhiªn m vµ n ®Ó A=3 3m  6n 61 4 lµ sè nguyªn tè Bµi26: T×m sè cã 4 ch÷ sè abcd sao cho 1, ab,cd lµ sè nguyªn tè 8
http://NgocHung.name.vn 2, db +c = b2+d x  y  z Bµi 26: T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ  3 3 2 x  y  z Bµi27: T×m c¸c bé sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n x+2y+2z=xyz Bµi 28: T×m nghiÖm nguyªn cña PT: 3(x2+xy+y2)=x+8y Bµi 29: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x4-y4+z4+2x2z2+3x2+4z2+1=0 Bµi30: Gi¶i c¸c PT nghiÖm nguyªn sau 1, x3-x2y+3x-2y-5=0 2, x6+8x3+11x2+28x+12+3y2=0 3, 4y2=2+ 199  x 2  2 x 4, x(1+x+x2)=4y(y+1) Bµi 31: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT 5x+2.5y+5z=4500 víi x
http://NgocHung.name.vn Bµi48: T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn (x,y) sao cho x2+xy+y2+14x+14y+2018 chia hÕt cho 101 Bµi49: T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn cña PT 3 3x  4 y  4 4 x  3 y  1201 x2  y2 Bµi50: T×m mäi sè nguyªn n tho¶ m·n (n+5)2=(4(n-2))3 x2  2x  3 Bµi51: T×m tÊt c¶ c¸c GT h÷u tû x sao cho biÓu thøc Z x2  x 1 Bµi52: Gi¶i PT nghiÖm nguyªn x3+8=7 8 x  1 Bµi53: T×m nghiÖm nguyªn cña PT x2(y-5)-xy=x-y-1 ac  3bd  4 Bµi54: T×m c¸c sè nguyªn a,b,c ,d tho¶ m·n  ad  bc  3 p 111 1 1   ; p, q  Z  Bµi 55: Chøng minh r»ng nÕu th×  1     ...   q 234 1334 1335 p  2003 Bµi56: T×m mäi nghiÖm nguyªn cña PT (2x-y-2)2=7(x-2y-y2-1) Chó ý : Sö dông  y  0 Bµi 57: Ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm nguyªn d¬ng kh«ng ? x2005+y2005=20072005 Bµi 58: T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn kh«ng (x,y) tho¶ m·n x-y=x2+xy+y2 Bµi59: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn  1 1 1 1 6  x    3 y    2 z    xyz       y z x xyz    Chó ý : ®Æt c¸c tû sè b»ng k Bµi60: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT x3+y3+4(x2+y2)+4(x+y)=16xy HD: ViÕt x(x-2)2+y(y-2)2+8(x-y)2=0 Bµi61: T×m c¸c nghiÖm kh«ng ©m cña PT y2(x+1)=1576+x2 HD : ViÕt (x+1)(y2-x+1)=1577=19.83 Bµi62: Cho P=(a+b)(b+c)(c+a)-abc víi a,b,c lµ sè nguyªn Chøng minh r»ng nÕu a+b+c chia hÕt cho 4 th× P còng chia hÕt cho4 Bµi 63: Chøng minh r»ng (20052+22005;2005)=1 Bµi 64: T×m mäi nghiÖm nguyªn cña PT x2+2003x+2004y2+y=xy+2004xy2+2005 HD: ViÕt (x-1)(x+2004-2004y2-y)=1 Bµi 65: T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x,y) tho¶ m·n 2x-5y+5xy=14 Bµi 66: T×m sè chÝnh ph¬ng cã 4 ch÷ sè biÕt r»ng khi t¨ng thªm mçi ch÷ sè 10
http://NgocHung.name.vn Mét ®¬n vÞ th× sè míi ®îc t¹o thµnh còng lµ mét sè chÝnh ph¬ng. (Thi vµo líp 10 chuyªn Lª Hång Phong TP.HCM n¨m 05-06) Bµi kh¶o s¸t sè 3 phÇn sè häc C©u1(2.4 ®iÓm): Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau 1, 4y2= 899  x 2  2 x 2, x 2  y 2  1  5 x 2  4 y 2  5  0 2 3, x2-xy+7y-38=0 4, (x+2006)(x+1982)=3y-81 ab; cd  P C©u2: T×m mét sè cã 4 ch÷ sè abcd tho¶ m·n c¸c ®k  2 db  c  b  d Bản quyền thuộc về http://NgocHung.name.vn 11