MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)
CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI
Bất dẳng thức Côsi <còn gọi là bất dẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân>
1/LÍ THUYẾT
Với hai số không ama,b ta có:
>=
(thường được viết là a+b>=2 )
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b
Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng
lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
Tức là,với hai số dưông a,b có a+b=S không đổi suy ra:
2 =< S
Tưong đương ab=< /4
GTLN là /4 Dấu bằng xảy ra khi a=b
Ý nghĩa hình học;Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi hình vuông có
diện tích lớ
Hệ quả 2:Nếu hai số dưong thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng
nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau
Tức là, với hai số dương a,b có ab=P không đổi suy ra:
a+b>=2
GTNN là 2 khi a=b
Ý nghĩa hình họcTrong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có
chu vi nhỏ nhất
2/Các dạng dùng bất đẳng thức Côsi(ở đây chỉ đua ra cách thực hiện và môttj số
chú ý cho 1 số ví dụ)
Sử dụng Côsi để tìm GTLN và GITNN
Cách thực hiện:
1/Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm GTLN cảu hàm số hoặc biểu thức kí hiệu
chung là f(x,y) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:
a. CMR f(x,y) =< M với mọi x,y cho trước
b. Tìm các giá trị của x,y để f(x,y) =M
Từ đó đưa ra lời kết luận
2/Việc Việc sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm GTNN cảu hàm số hoặc biểu thức
kí hiệu chung là f(x,y) được hiểu theo nghĩa cần thực hiện hai công việc:
a. CMR f(x,y)>= M với mọi x,y cho trước
b. Tìm các giá trị của x,y để f(x,y) =M
Từ đó đưa ra lời kết luận
Mọt số chú ý cho các ví dụ
VD1:
Tìm GTLN của hàm số Y=(2x+1)(2-3x)
Trong trường hợp này chúng ta phải có thủ thuật để tạo ra tổng là hằng số
Y=(2x+1)(2-3x)= (x+ )* ( -x)
= (x+ ( -x)
đến lúc này ta bất đầu dùng bdt Côsi,các bạn làm tiếp đoạn sau nhé
VD2:Y=2x+1/
Ta cần viết lại hàm như sau
Y=x+x+1/
sau đó tiếp tục dùng bdt Côsi cho 3 số
Sử dụng bất dẳng thức Côsi giải phương trình,bất phương trinh và hệ đại số
Phương pháp thực hiện:
Bằng việc Sử dụng bất dẳng thức Côsi đêt tìm giá GTLN,GTNN hàm số chúng ta
sẽ đánh giá được một vế<hoặc đôi khi là cả 2 vế) của phương trình ,bất phưong
trình từ đó đưa ra nhận xét sự tồn tại của nó.
Mọt số chú ý cho các ví dụ
VD;Tìm nghiệm dương của phưong trình 2 +3/
Vế trái phân tích thành + +1/ +1/ +1/
Sau đó dùng bdt Côsi cho 5 số
II. Áp dụng
* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm :
(1)
- Cách viết tương đương: . (2)
Dấu xẩy ra khi và chỉ khi .
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý , ta có:
- (Vì .
* Một số kết quả thường dùng:
.
Thật vậy, vì nên . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
.
.
Thật vậy, vì nên . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
.
————————————
MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi ta có: .
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng nên
phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của . Vậy ta phải viết lại vế trái như
sau:
(*)
Vì nên .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương , ta có:
Hay . (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
.
Vậy (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra
(do )
.
——-
Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
Chứng minh rằng
Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương
đường của BĐT (1) là . (3)
Quay lại bài tập này, với mọi thì . Vậy áp dụng BĐT
(3) cho hai số không âm này ta có:
. (đpcm)
Dấu “=” xảy ra .
——————
BÀI TẬP TỰ GIẢI.
Chứng minh rằng:
1. .
2.
3. Với mọi góc , ta có: .
4. .
5. .