Lý thuyết các hiện tượng tới hạn-Chương 2(tt)

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

90
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

• Ở đây ta không quan tâm đến spin của từng hạt trong ô cơ sở mà chỉ quan tâm đến spin toàn phần của các hạt trong ô sau khi lấy trung bình. • Mỗi biến spin chỉ có thể nhận một trong hai giá trị: +1 hoặc -1 (spin định hướng song song hoặc đối song với một trục nào đó của hệ).  Mô hình Ising thường

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết các hiện tượng tới hạn-Chương 2(tt)

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.1. Mô hình Ising • c: vector bán kính kẻ từ gốc tọa đến tâm của ô cơ sở  đặc trưng vị trí của ô; • kích thước dài của mạng tinh thể: L(Å)  thể tích mạng: Ld; • số ô cơ sở: Ld (kích thước ô cơ sở: 1 Å); • spin toàn phần (sau khi lấy trung bình) của các hạt trong ô cơ sở có vector bán kính c: σc; • 1 ô cơ sở  1 spin ô Ld ô cơ sở  Ld spin ô • Ở đây ta không quan tâm đến spin của từng hạt trong ô cơ sở mà chỉ quan tâm đến spin toàn phần của các hạt trong ô sau khi lấy trung bình. • Mỗi biến spin chỉ có thể nhận một trong hai giá trị: +1 hoặc -1 (spin định hướng song song hoặc đối song với một trục nào đó của hệ).  Mô hình Ising thường được dùng để mô tả các hệ từ bất đẳng hướng mạnh. Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.1. Mô hình Ising (tt) • Số biến spin ô: N  Ld Ld N  Số cấu hình spin khác nhau của hệ: 2  2 • Mỗi cấu hình spin  một năng lượng xác định (hàm của tất cả các biến spin). • Hamiltonian Ising ˆ H     I (c  c) c c  h  c  S1  S 2 (1) c,c c  : lấy theo tất cả các ô lân cận của ô c cho trước; c  : lấy theo tất cả các ô. c I: tích phân trao đổi; I > 0: hệ sắt từ, I < 0: hệ phản sắt từ. S1: tương tác giữa các spin thuộc các ô khác nhau trong hệ thông qua I. S2: thế năng tương tác của các spin với từ trường ngoài h. Lưu ý: (1) mô tả tương tác giữa các spin thuộc các ô cơ sở khác nhau, không xét đến tương tác spin của các hạt trong cùng một ô. Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.2. Mô hình Heisenberg • Các spin ô σc có thể hướng theo các phương tùy ý σc = (σ1c,σ2c,σ3c) = {σic}, i=1,2,3 (2) • Hamiltonian Heisenberg:    ˆ     I (c  c)    h   H (3) cc c c,c c  bất biến đối với mọi phép quay hệ (hay quay tất cả spin) một góc bất kỳ. Mô hình Heisenberg thích hợp để mô tả các hệ đẳng hướng. Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.3. Mô hình XY • Là mô hình trung gian giữa mô hình Ising và mô hình Heisenberg. • Mỗi biến spin σc là một vector hai thành phần: σc = (σ1c, σ2c) • Hamiltonian có cùng dạng (3) với Hamiltonian Heisenberg. Mô hình XY dùng để mô tả các hệ từ có spin định hướng chủ yếu trên một mặt phẳng. Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.4. Số chiều của không gian và số thành phần của spin Hai tham số quan trọng trong lý thuyết các hiện tưởng tới hạn (quyết định giá trị các chỉ số tới hạn): 1) Số chiều không gian d: • d = 1: chuỗi spin, • d = 2: lớp spin, • d = 3: khối spin. 2) Số thành phần của vector spin n: • n = 1: Ising, • n = 2: XY, • n = 3: Heisenberg. Lưu ý: d và n có thể bằng nhau nhưng thông thường thì khác nhau. • Khối sắt từ đẳng hướng  mô hình Heisenberg  d=n=3; • Khối sắt từ có một trục bất đẳng hướng mạnh  mô hình Ising  d=3, n=1; Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin • Giả sử vector spin ô σC có n thành phần σic (i=1,2,…,n)  số biến spin: N = nLd • Biến spin σic: đại lượng ngẫu nhiên. • Hàm phân bố:  ˆ 1  H[ ]/ T P    Z e (4) ˆ H[ ] : hamiltonian ô  ˆ  H[ ]/ T  d Z  e (5)  ic i ,c là tổng thống kê được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (tích phân bội lấy theo tất cả các thành phần của mỗi vector pin và theo tất cả các ô cơ sở của mạng tinh thể). • (4)  xác suất của một cấu hình spin. Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin (tt) • Giả sử A là một đại lượng nhiệt động đặc trưng cho hệ và là hàm của các biến spin. • Trị trung bình của A  ˆ  H [ ]/ T   AP    d ic  Z 1  d A  Ae (6) ic P i ,c i ,c  ... : trung bình thống kê được tính theo hàm phân bố P[σ]. P • Năng lượng tự do cho một đơn vị thể tích FF (7) f  d VL  fLd / T  F /T Z e e  Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.3. Một số mô hình đơn giản 2.3.5. Phân bố thống kê của các biến spin (tt) • Một số đại lượng nhiệt động tính theo năng lượng tự do: f  Entropy: S   , T 2 f S  Nhiệt dung: C  T  T , 2 T T (8)  f   Độ từ hóa: m    ,  h T  2 f   m   Độ cảm từ:        2  .  h T  h T • Nếu các đại lượng nhiệt động biến thiên theo T-Tc, h, k theo các quy luật ở chương I  mô hình và tính toán lý thuyết cho kết quả phù hợp với thực nghiệm. H giải tích ><  ,  phân kỳ ? ˆ Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm • Hamiltonian ô:  Không cho phép mô tả tương tác giữa các spin bên trong cùng một ô cơ sở;  Các tham số của Hamiltonian ô (tích phân trao đổi, …) đã tổng hợp và bao hàm những hiệu ứng về biến diễn ocủa hệ trên những khoảng cách r nhỏ hơn kích thước của một ô cơ sở (r ≤ 1A );  Chỉ cho thông tin về biến diễn spin trên những khoảng cách lớn hơn kích o thước ô cơ sở (r ≤ 1 A ); o  Hamiltonian ô có độ phân giải 1 A . • Thực nghiệm cho thấy những miền có kích thước lớn (ở đó hầu hết các spin định hướng song song) quyết định các tính chất tới hạn của hệ.  Nhu cầu: từ các ô cơ sở ban đầu lập các cụm lớn hơn (blocks, clusters). Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt) o • Chia hệ Ld ô cơ sở ban đầu thành các cụm kích thước bA chứa bd ô cơ sở ban đầu, Ld  cụm. bd Trường hợp d = 2: 8×8 ô cơ sở ban đầu 16 cụm mới, mỗi cụm chứa 4 ô cơ sở ban đầu (b = 2). Spin σx: trung bình số học của tất cả spin ô trong cụm   x d  x  b c (1) c x  : lấy tổng theo các ô thuộc cụm x. b = 1: spin cụm ≡ spin ô. Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt) ? o • Hamiltonian ô (mô tả tương tác spin ô trên khoảng cách r ≥ 1A )  Hamiltonian cụm o (mô tả tương tác spin cụm trên khoảng cách r ≥ b A). • Giả sử:  P(q1,q2): hàm phân bố của các biến ngẫu nhiên q1, q2;  q: trung bình số học (TBC) của q1, q2: q = ½ (q1 + q2); ? P(q1,q2)  P(q) • Quy tắc của xác suất thống kê: q q q q (q )   dq1dq2  q  1 2 P (q1 , q2 )    q  1 2  P (2)     2 2   P Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt) • Áp dụng với:  q x  q1  q2 x d  b  c  ic  2  ˆ  H [ ]/ T  P ( q1 , q2 )  P[ ] e  Hàm phân bố cho các biến spin cụm:      x     d   ic P b ix c i ,c P (3) ˆ      d x  H[ ]/ T  H[ ]/ T d   ic b e ~ e ix jc c i ,x j ,c   H[ ]/ T e Giả sử có thể đưa kết quả thu được về dạng  H[ ]  hamiltonian cụm cần tìm trong không gian tọa độ. Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt) • Độ phân giải của hamiltonian cụm kém hơn b lần so với độ phân giải của hamiltonian ô. o • Nếu không quan tâm đến các tương tác spin trên khoảng cách r < b A : hamiltonian cụm tương đương hamiltonian ô (hàm phân bố ứng với chúng cho cùng giá trị trung bình). • Trong các hiện tượng tới hạn, người ta thường quan tâm các dao động spin với bước sóng λ lớn (λ >> hằng số mạng). Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt) Hamiltonian cụm trong không gian vector sóng k ?  thay thế các biến spin ô bởi các ảnh Fourier σk của chúng  KGTĐ:   d / 2  k eikc  c  L k (4)  KGXL:   d / 2  c e  ikc  k  L c Khi đó: ˆ   H[ ] là hàm của k -H / T e  : phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên σik (nLd biến). Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt) KGTĐ và KGXL nghịch đảo nhau o  nếu spin cụm σx mô tả các hiệu ứng trên những khoảng cách r ≥ b A thì ảnh Fourier của nó σk chỉ cho thông tin về biến diễn spin đối với k thỏa k < Λ (Λ = 2π/b). Khi lập hamiltonian cụm từ hamiltonian ô trong không gian vector sóng, ta chỉ quan tâm đến các biến σk có vector sóng k < Λ. Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt) ? Hàm phân bố P [σk] cho các biến σk  P’ [σk] cho các biến σk với k < Λ. • Quy tắc xác suất thống kê: P (q1,q2): hàm phân bố thống kê của các đại lượng ngẫu nhiên q1,q2.  hàm phân bố P’ (q1) cho biến q1 (không quan tâm tới biến q2): P(q1 )   dq2 P (q1 , q2 ) (5) • Áp dụng: do chỉ quan tâm đến các biến σk với k < Λ nên ta lấy tích phân hàm phân bố P [σk] theo σik với k > Λ ˆ   H[ ]/T  H[ ]/T  d P ~  e e (6) ik i ,k k>  hàm phân bố thống kê cho các đại lượng σik có vector sóng k nằm bên trong hình cầu có bán kính Λ.   H[ ]/T • Giảsử có thể đưa P’ về dạng e  H[ ] : hamiltonian cụm trong không gian vector sóng, tương đương với hamiltonian cụm (3). Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.1. Hamiltonian cụm (tt) • Spin cụm:   x -d  x  b c c • Định nghĩa một spin cụm khác tương đương với σx về mặt định tính    k eikx -d/2   (x)  L (7) k ( k  )  Mô tả cấu hình spin trên những khoảng cách r ≥ b ~ Λ-1 (thông tin về các σik với k < Λ). Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.2. Phép biến đổi Kadanoff • Thu nhận hamiltonian cụm từ hamiltonian ô (phép biến đổi (3) hoặc (6)): phép biến đổi Kadanoff.  Mô tả quá trình này bởi toán tử Kb:   ˆ  ]/T H[ ] / T  K b H[ (8) K1  1 Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.2. Phép biến đổi Kadanoff (tt) • Mở rộng: xây dựng hamiltonian cụm mới H”[σ] với mỗi cụm có kích thước dài gấp s lần kích thước dài của cụm vừa thu được.  Định nghĩa spin cụm mới:   x -d   iy x  s (9) y  x: vector bán kính cụm mới,  y: vector bán kính cụm cũ bên trong cụm mới. • Sử dụng quy tắc (2):   H[ ] / T  K s H[ ] / T (10)    x  H [ ]/ T  H[  ]/ T -d    (  iy ) d jy s e  e (11) ix y i ,x j ,y  • H[ ] mô tả tương tác giữa các spin của các cụm mới có kích thước sb. • Độ phân giải của H” là sb (giảm thêm s lần so với H). Lý thuyết các hiện tượng tới hạn
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.4. Hamiltonian cụm và phép biến đổi Kadanoff 2.4.2. Phép biến đổi Kadanoff (tt) Thay cho phép biến đổi (11), ta có thể làm tương tự biến đổi (6) để thu được H”[σ] trong không gian vector sóng k. • Không gian tọa độ: khoảng cách r mà biến diễn spin được mô tả tăng từ b lên sb. b sb Bước 1 Bước 2 • Không gian vector sóng: Λ Λ /s Bước 2 Bước 1 Λ Λ /s Λ    H [ ]/ T  H[ ]/ T  d ik e  e (12) i ,k  >k>/s Lý thuyết các hiện tượng tới hạn