Lý thuyết gia công kim loại: Phần 1

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Lý thuyết gia công kim loại bằng áp lực" cung cấp cho các bạn học viên chuyên ngành Gia công kim loại bằng áp lực, Công nghệ chế tạo vũ khí - đạn những phương pháp xác định trường ứng suất, biến dạng làm cơ sở cho việc tính toán lực công nghệ của các nguyên công rèn - dập. Tài liệu được trình bày trong 4 chương và được chia thành 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo phần 1 sau đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết gia công kim loại: Phần 1

Häc viÖn kü thuËt qu©n sù Bé m«n Gia c«ng ¸p lùc - Khoa C¬ khÝ TS §inh V¨n Phong Lý thuyÕt Gia c«ng kim lo¹i b»ng ¸p lùc (Dïng cho chuyªn ngµnh Gia c«ng kim lo¹i b»ng ¸p lùc, C«ng nghÖ chÕ t¹o vò khÝ, ®¹n) Hµ néi – 2003
Môc lôc Trang Lêi nãi ®Çu 4 Ch-¬ng 1. C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i tÝch x¸c ®Þnh 5 lùc vµ c«ng biÕn d¹ng 1.1. Nh÷ng vÊn ®Ò chung 5 1.2. Gi¶i kÕt hîp ph-¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng 6 vµ ®iÒu kiÖn dÎo 1.3. Ph-¬ng ph¸p gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh c©n b»ng 7 vµ ®iÒu kiÖn dÎo gÇn ®óng 1.4. Ph-¬ng ph¸p l-íi ®-êng tr-ît 10 1.4.1. Nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ ®-êng tr-ît 10 1.4.2. C¸c tÝnh chÊt cña ®-êng tr-ît 14 1.4.3. Mét sè vÝ dô vÒ sö dông ph-¬ng ph¸p l-íi ®-êng tr-ît 17 1.5. Ph-¬ng ph¸p ®Þnh trÞ trªn 20 1.5.1. Kh¸i niÖm vÒ s¬ ®å cøng dÎo 20 1.5.2. Gi¸n ®o¹n øng suÊt vµ tèc ®é 21 1.5.3. Ph-¬ng ph¸p ®Þnh trÞ trªn 23 1.6. Ph-¬ng ph¸p c©n b»ng c«ng 26 1.7. Ph-¬ng ph¸p trë lùc biÕn d¹ng 28 1.8. Ph-¬ng ph¸p biÕn ph©n 30 1.9. So s¸nh c¸c ph-¬ng ph¸p tÝnh lùc vµ c«ng biÕn d¹ng 35 Ch-¬ng 2. C¸c ph-¬ng ph¸p thùc nghiÖm 36 x¸c ®Þnh lùc vµ c«ng biÕn d¹ng 2.1. X¸c ®Þnh lùc dËp toµn phÇn 36 2.2. §o biÕn d¹ng b»ng Tenzomet 37 2.3. Ph-¬ng ph¸p quang häc ®Ó x¸c ®Þnh tr¹ng th¸i øng suÊt 41 biÕn d¹ng 2.4. X¸c ®Þnh biÕn d¹ng vµ øng suÊt trong vËt thÓ biÕn d¹ng 46 2.5. Ph-¬ng ph¸p vËt t-¬ng tù 47 2.6. C¬ së m« h×nh hãa qu¸ tr×nh gia c«ng ¸p lùc. 49 §Þnh luËt ®ång d¹ng
Ch-¬ng 3. C¸c nguyªn c«ng rÌn vµ dËp thÓ tÝch 53 3.1. Chån kim lo¹i 53 3.1.1. Chån ph«i dµi kh«ng h¹n chÕ cã tiÕt diÖn ch÷ nhËt 53 3.1.2. Chån ph«i l¨ng trô ®Òu vµ ph«i trô 61 3.1.3. Chån ph«i dµi h¹n chÕ 62 3.1.4. Sù biÕn d¹ng kh«ng ®ång nhÊt khi chån 64 3.1.5. C«ng biÕn d¹ng khi chån 67 3.2. Vuèt kim lo¹i 69 3.2.1. Vuèt ph«i cã tiÕt diÖn h×nh ch÷ nhËt d-íi ®e ph¼ng 69 3.2.2. Vuèt ph«i cã tiÕt diÖn trßn 71 3.3. Ðp ch¶y kim lo¹i 76 3.3.1. Nh÷ng vÊn ®Ò chung 76 3.3.2. X¸c ®Þnh ¸p lùc riªng khi Ðp ch¶y 77 3.4. §ét lç 81 3.4.1. Kh¸i niÖm chung 81 3.4.2. ¸p lùc riªng khi chµy nÐn vµo b¸n kh«ng gian 82 3.4.3. ¸p lùc riªng khi ®ét hë 82 3.4.4. ¸p lùc biÕn d¹ng khi ®ét kÝn 85 3.5. DËp thÓ tÝch trong khu«n hë 91 3.5.1. Kh¸i niÖm chung 91 3.5.2. ¸p lùc riªng ®Ó biÕn d¹ng bavia 92 3.5.3. ¸p lùc riªng ®Ó biÕn d¹ng kim lo¹i trong khu«n 95 3.5.4. Lùc dËp toµn phÇn 97 3.6. DËp trong khu«n kÝn 98 Ch-¬ng 4. C¸c nguyªn c«ng dËp tÊm 101 4.1. Kh¸i niÖm chung 101 4.2. C¾t h×nh vµ ®ét lç 104 4.3. Uèn tÊm kim lo¹i 105 4.3.1. Uèn tÊm réng 105 4.3.2. Uèn cã lùc däc 110 4.3.3. Uèn kim lo¹i b»ng lùc ngang 112 4.3.4. Sù ®µn håi cña chi tiÕt sau khi uèn 113 4.4. DËp vuèt 115 4.5. Tãp miÖng 130 4.6. Nong lç 135 Tµi liÖu tham kh¶o 138
lêi nãi ®Çu Gia c«ng kim lo¹i b»ng ¸p lùc lµ mét trong nh÷ng ph-¬ng ph¸p gia c«ng kim lo¹i phæ biÕn vµ cã hiÖu qu¶ nhÊt, dùa trªn kh¶ n¨ng biÕn d¹ng dÎo cña kim lo¹i. BiÕn d¹ng dÎo ®· ®-îc sö dông nh- mét biÖn ph¸p h÷u Ých ®Ó kh«ng chØ t¹o ®-îc h×nh d¹ng chi tiÕt mµ cßn n©ng cao c¬ tÝnh kim lo¹i, nhÊt lµ chÊt l-îng bÒ mÆt. Tuy nhiªn, ®Ó lµm chñ ®-îc c¸c qu¸ tr×nh biÕn d¹ng dÎo cña vËt liÖu mét c¸ch tÝch cùc, cÇn ph¶i ®Èy m¹nh viÖc nghiªn cøu lý thuyÕt vÒ tr¹ng th¸i øng suÊt, biÕn d¹ng cña vËt liÖu trong nh÷ng qu¸ tr×nh cô thÓ. Tµi liÖu "Lý thuyÕt Gia c«ng kim lo¹i b»ng ¸p lùc" cung cÊp cho häc viªn chuyªn ngµnh "Gia c«ng kim lo¹i b»ng ¸p lùc", "C«ng nghÖ chÕ t¹o vò khÝ, ®¹n" nh÷ng ph-¬ng ph¸p x¸c ®Þnh tr-êng øng suÊt, biÕn d¹ng lµm c¬ së cho viÖc tÝnh to¸n lùc c«ng nghÖ cña c¸c nguyªn c«ng rÌn - dËp. Tµi liÖu ®-îc tr×nh bµy trong bèn ch-¬ng: Ch-¬ng 1. C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i tÝch x¸c ®Þnh lùc vµ c«ng biÕn d¹ng Ch-¬ng 2. C¸c ph-¬ng ph¸p thùc nghiÖm x¸c ®Þnh lùc vµ c«ng biÕn d¹ng. Ch-¬ng 3. C¸c nguyªn c«ng rÌn vµ dËp thÓ tÝch Ch-¬ng 4. C¸c nguyªn c«ng dËp tÊm. Trong qu¸ tr×nh biªn so¹n tµi liÖu nµy, kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. V× vËy t¸c gi¶ rÊt mong sù ®ãng gãp ý kiÕn cña c¸c ®äc gi¶. T¸c gi¶ còng xin ch©n thµnh c¶m ¬n bé m«n Gia c«ng ¸p lùc, HVKTQS v× nh÷ng ®ãng gãp vÒ néi dung vµ ph-¬ng ph¸p tr×nh bµy tµi liÖu nµy.
Ch-¬ng 1 C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i tÝch x¸c ®Þnh lùc vµ c«ng biÕn d¹ng 1.1. Nh÷ng vÊn ®Ò chung ë hÇu hÕt c¸c thiÕt bÞ dïng cho nguyªn c«ng rÌn - dËp, bé phËn c«ng t¸c (®Çu tr-ît) vµ dông cô ®-îc g¸ trªn nã, trong giai ®o¹n biÕn d¹ng thùc hiÖn chuyÓn ®éng th¼ng tÞnh tiÕn. Lùc tÝch cùc mµ thiÕt bÞ t¸c ®éng lªn vËt biÕn d¹ng th«ng qua dông cô ë tõng thêi ®iÓm lu«n ®Ó th¾ng trë lùc biÕn d¹ng cña vËt liÖu vµ ma s¸t trªn bÒ mÆt tiÕp xóc gi÷a dông cô vµ vËt thÓ. Lùc ®ã ®-îc gäi lµ lùc biÕn d¹ng vµ cÇn ph¶i ®-îc x¸c ®Þnh lµm c¬ së cho viÖc thiÕt kÕ hoÆc lùa chän m¸y. Lùc biÕn d¹ng ®-îc truyÒn cho vËt biÕn d¹ng cã thÓ theo hai h×nh thøc: trùc tiÕp qua bÒ mÆt tiÕp xóc víi dông cô (ë c¸c nguyªn c«ng chån, vuèt, Ðp ch¶y,dËp khèi...) hoÆc gi¸n tiÕp th«ng qua c¸c vïng biÕn d¹ng ®µn håi cña vËt thÓ (c¸c nguyªn c«ng dËp vuèt, uèn, kÐo...). §èi víi h×nh thøc truyÒn thø nhÊt, lùc biÕn d¹ng cã thÓ ®-îc x¸c ®Þnh nÕu biÕt gi¸ trÞ cña øng suÊt ph¸p, øng suÊt tiÕp tuyÕn ë tõng ®iÓm trªn bÒ mÆt tiÕp xóc vµ h×nh d¸ng, kÝch th-íc cña bÒ mÆt nµy. §èi víi h×nh thøc truyÒn thø hai, lùc biÕn d¹ng sÏ ®-îc x¸c ®Þnh nÕu biÕt gi¸ trÞ vµ h-íng cña øng suÊt trªn gianh giíi gi÷a vïng biÕn d¹ng dÎo vµ biÕn d¹ng ®µn håi. Trong c¶ hai tr-êng hîp, khi chiÕu c¸c thµnh phÇn øng suÊt lªn toµn bé bÒ mÆt tiÕp xóc hoÆc toµn bé bÒ mÆt gianh giíi theo h-íng chuyÓn ®éng cña dông cô sÏ x¸c ®Þnh ®-îc lùc toµn phÇn. §Ó thuËn tiÖn cho viÖc tÝnh lùc biÕn d¹ng, khi c¸c vËt thÓ cã h×nh d¹ng kh¸c nhau, song cã kÝch th-íc, trë lùc biÕn d¹ng vµ hÖ sè ma s¸t gièng nhau, ng-êi ta sö dông ¸p lùc ®¬n vÞ. ¸p lùc ®¬n vÞ (p) lµ tû sè gi÷a lùc toµn phÇn vµ diÖn tÝch h×nh chiÕu cña bÒ mÆt tiÕp xóc lªn mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi h-íng t¸c dông cña lùc toµn phÇn. p= (H/mm2 ) (1.1) P F
¸p lùc ®¬n vÞ, tÝnh to¸n cho mét qu¸ tr×nh cô thÓ ®-îc x¸c ®Þnh phô thuéc vµo trë lùc biÕn d¹ng, hÖ sè ma s¸t vµ kÝch th-íc cña vËt biÕn d¹ng. VÒ phÇn m×nh, trë lùc biÕn d¹ng phô thuéc vµo vËt liÖu, nhiÖt ®é, tèc ®é vµ møc ®é biÕn d¹ng. Tãm l¹i ®Ó x¸c ®Þnh ®-îc lùc biÕn d¹ng, tr-íc tiªn cÇn x¸c ®Þnh ®-îc gi¸ trÞ vµ sù ph©n bè øng suÊt trªn bÒ mÆt tiÕp xóc. C¸c ph-¬ng ph¸p x¸c ®Þnh chóng sÏ ®-îc tr×nh bµy cô thÓ trong ch-¬ng 1. 1.2. Gi¶i kÕt hîp ph-¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng vµ ®iÒu kiÖn dÎo Néi dung cña ph-¬ng ph¸p nµy bao gåm viÖc gi¶i kÕt hîp c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng (ptvpcb) ®-îc viÕt cho tõng tr¹ng th¸i øng suÊt trong c¸c hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c, trô, cÇu... øng víi c¸c ®iÒu kiÖn cô thÓ cña bµi to¸n víi ph-¬ng tr×nh biÓu diÔn ®iÒu kiÖn dÎo. C¸c h»ng sè tù do xuÊt hiÖn khi gi¶i c¸c ptvpcb ®-îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn biªn. Trong tr-êng hîp cã ma s¸t, cÇn ph¶i coi ma s¸t lµ yÕu tè g©y nªn øng suÊt tiÕp tuyÕn trªn bÒ mÆt tiÕp xóc. §iÒu kiÖn ma s¸t sÏ ®-îc chÊp nhËn d-íi hai d¹ng: hoÆc øng suÊt tiÕp ®-îc coi lµ kh«ng phô thuéc vµo to¹ ®é mµ nã h-íng theo, nghÜa lµ øng suÊt tiÕp kh«ng ®æi, hoÆc coi øng suÊt tiÕp lu«n tû lÖ víi øng suÊt ph¸p trªn bÒ mÆt tiÕp xóc. NÕu nh- bµi to¸n lµ ch-a x¸c ®Þnh, cÇn ph¶i sö dông thªm c¸c ph-¬ng tr×nh biÓu diÔn mèi quan hÖ gi÷a øng suÊt vµ biÕn d¹ng, ph-¬ng tr×nh liªn tôc. VÒ mÆt lý thuyÕt, ph-¬ng ph¸p nµy sÏ cho lêi gi¶i chÝnh x¸c, cã kh¶ n¨ng cho chóng ta biÕt kh«ng chØ sù ph©n bè øng suÊt trªn bÒ mÆt tiÕp xóc mµ c¶ bªn trong vËt thÓ biÕn d¹ng. Tuy nhiªn ph-¬ng ph¸p nµy gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n vÒ mÆt to¸n häc khi gi¶i c¸c ptvpcb. Nã chØ cho nh÷ng lêi gi¶i khÐp kÝn ë mét vµi tr-êng hîp ®¬n gi¶n khi ®iÒu kiÖn ma s¸t ®-îc gi¶ thiÕt lµ kh«ng cã trªn bÒ mÆt tiÕp xóc. Chóng ta sÏ t×m hiÓu kÜ h¬n nh÷ng khã kh¨n nµy trong nh÷ng tr-êng hîp cô thÓ d-íi ®©y. a. §èi víi tr¹ng th¸i øng suÊt khèi Chóng ta cã 3 ptvpcb víi mét ph-¬ng tr×nh dÎo chøa 6 Èn sè (3 øng suÊt ph¸p, 3 øng suÊt tiÕp). Nh- vËy bµi to¸n trë thµnh hai lÇn bÊt ®Þnh. C¸c ph-¬ng tr×nh cã thÓ sö dông thªm gåm: 6 ph-¬ng tr×nh biÓu diÔn mèi quan hÖ gi÷a øng
suÊt biÕn d¹ng, 3 ph-¬ng tr×nh biÕn d¹ng liªn tôc. C¸c ph-¬ng tr×nh nµy chøa thªm 7 Èn sè (6 ®¹i l-îng biÕn d¹ng vµ m«®un dÎo). Nh- vËy ®èi víi bµi to¸n tr¹ng th¸i øng suÊt khèi sÏ cã 13 ph-¬ng tr×nh víi 13 Èn sè. Gi¶i mét hÖ gåm nhiÒu ph-¬ng tr×nh d-íi d¹ng ®¹o hµm riªng nh- vËy trªn thùc tÕ lµ hÕt søc khã kh¨n . b. §èi víi tr¹ng th¸i øng suÊt ®èi xøng trôc Chóng ta cã 2 ptvpcb vµ ph-¬ng tr×nh dÎo chøa tÊt c¶ 4 Èn sè. C¸c ph-¬ng tr×nh sö dông thªm gåm: 4 ph-¬ng tr×nh mèi quan hÖ gi÷a øng suÊt vµ biÕn d¹ng, 1 ph-¬ng tr×nh biÕn d¹ng liªn tôc. C¸c ph-¬ng tr×nh nµy chøa thªm 4 Èn. Nh- vËy ta cã mét hÖ gåm 8 ph-¬ng tr×nh víi 8 Èn sè. c. §èi víi bµi to¸n ph¼ng Cã 2 ptvpcb vµ 1 ph-¬ng tr×nh dÎo. MÆc dÇu víi 3 ph-¬ng tr×nh chøa 3 Èn sè, song viÖc gi¶i khÐp kÝn chØ ®¹t ®-îc khi øng suÊt tiÕp trªn bÒ mÆt tiÕp xóc chÊp nhËn hoÆc b»ng kh«ng, hoÆc kh«ng phô thuéc vµo mét trong hai täa ®é. §Ó minh häa cho ph-¬ng ph¸p gi¶i trªn chóng ta xÐt vÝ dô: x¸c ®Þnh gi¸ trÞ ¸p lùc t¸c dông bªn trong èng, cã b¸n kÝnh trong lµ r, b¸n kÝnh ngoµi lµ R sao cho toµn bé tiÕt diÖn èng n»m trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng dÎo. BiÕn d¹ng däc theo trôc èng coi b»ng kh«ng. Tr¹ng th¸i øng suÊt ë bµi to¸n nµy võa lµ ®èi xøng trôc, võa lµ ph¼ng. PTVPCB ®-îc viÕt nh- sau: d      0 d  Ph-¬ng tr×nh ®iÒu kiÖn dÎo:  -  =  *S Gi¶i kÕt hîp hÖ trªn, cã l-u ý tíi ®iÒu kiÖn khi  = R;  = 0 ta sÏ thu ®-îc  =  *S ln , khi  = r th×:  = p =  *S ln (1.2) R R  r 1.3. Ph-¬ng ph¸p gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng vµ ®iÒu kiÖn dÎo gÇn ®óng Do nh÷ng khã kh¨n khi gi¶i chÝnh x¸c c¸c ptvpcb vµ ®iÒu kiÖn dÎo, nªn ®· h×nh thµnh ph-¬ng ph¸p gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh c©n b»ng vµ ®iÒu kiÖn dÎo gÇn ®óng. Ph-¬ng ph¸p nµy dùa trªn nh÷ng c¬ së sau:
1. Bµi to¸n ®-îc ®-a vÒ d¹ng ®èi xøng trôc hoÆc ph¼ng. Trong tr-êng hîp h×nh d¸ng vËt biÕn d¹ng phøc t¹p, cÇn ph¶i ph©n chóng ra nh÷ng khèi ®¬n gi¶n ®Ó cã thÓ ®Æt ®iÒu kiÖn ®èi xøng trôc hoÆc ph¼ng. B»ng c¸ch lµm nµy cã thÓ gi¶m ®¸ng kÓ sè l-îng c¸c ptvpcb. 2. C¸c ptvpcb ®Ó cho bµi to¸n ph¼ng, hoÆc ®èi xøng trôc sÏ ®-îc ®¬n gi¶n hãa b»ng c¸ch chÊp nhËn: øng suÊt ph¸p chØ phô thuéc vµo mét täa ®é, nhê ®ã chØ cßn l¹i mét ptvpcb trong ®ã ®¹o hµm riªng ®-îc thay b»ng ®¹o hµm th-êng. 3. §iÒu kiÖn dÎo th«ng th-êng còng ®-îc viÕt gÇn ®óng. Ph-¬ng ph¸p gi¶i trªn sö dông chØ ®Ó x¸c ®Þnh øng suÊt trªn bÒ mÆt tiÕp xóc ®Ó tÝnh lùc biÕn d¹ng mµ kh«ng cÇn x¸c ®Þnh øng suÊt bªn trong vËt biÕn d¹ng. Chóng ta h·y xÐt nh÷ng kh¶ n¨ng viÕt c¸c ph-¬ng tr×nh dÎo gÇn ®óng. Khi ph©n tÝch c¸c nguyªn c«ng rÌn - dËp, hÇu hÕt c¸c ptvpcb ®-îc thµnh lËp tõ c¸c thµnh phÇn tenx¬ øng suÊt, nghÜa lµ c¸c øng suÊt ®-îc viÕt kh«ng ph¶i ë trong c¸c mÆt täa ®é chÝnh. Do vËy ®iÒu kiÖn dÎo còng ®-îc thµnh lËp tõ c¸c thµnh phÇn tenx¬ øng suÊt. Víi c¸ch viÕt ®ã sÏ lµm cho c¸c ph-¬ng tr×nh hÕt søc phøc t¹p vµ kh«ng tuyÕn tÝnh. §Ó ®¬n gi¶n hãa, cÇn ph¶i biÕn ph-¬ng tr×nh dÎo trë thµnh tuyÕn tÝnh gÇn ®óng b»ng c¸ch sö dông hÖ sè L«®ª . Khi ®ã ph-¬ng tr×nh cã d¹ng: max - min =  S (1.3) HÖ sè  = 1 khi hai trong ba øng suÊt chÝnh b»ng nhau  = 1,155 vµ trong tr-êng hîp tr¹ng th¸i biÕn d¹ng ph¼ng. Trong tr-êng hîp øng suÊt tiÕp  nhá, c¸c ph-¬ng tr×nh dÎo gÇn ®óng cã thÓ nhËn ®-îc b»ng c¸ch thay c¸c øng suÊt chÝnh cña (1.3) b»ng c¸c thµnh phÇn tenx¬ øng suÊt. Cô thÓ c¸c ph-¬ng tr×nh dÎo gÇn ®óng cho mét sè c¸c tr-êng hîp ®-îc viÕt nh- sau: a, Tr¹ng th¸i øng suÊt ®èi xøng trôc, khi     z.  -  =  S hoÆc  - z =  S (1.4) b, Tr¹ng th¸i øng suÊt ®èi xøng trôc, khi  =   - z =  S (1.5) c, Tr¹ng th¸i biÕn d¹ng ph¼ng, khi y lµ øng suÊt trung gian x - z =  *S (1.6) d, Tr¹ng th¸i øng suÊt ph¼ng:
x - z =  S (khi x .z 0 vµ  x   z ) z =  S (khi x. z >0 vµ z  x ) (1.7) Trong c¸c ph-¬ng tr×nh trªn, nÕu chÊp nhËn  = 1 chóng ta sÏ chuyÓn tõ ®iÒu kiÖn dÎo n¨ng l-îng sang ®iÒu kiÖn dÎo øng suÊt tiÕp chÝnh kh«ng ®æi. Khi øng suÊt tiÕp cã gi¸ trÞ gÇn cùc ®¹i (  k), nÕu sö dông c¸c ph-¬ng tr×nh (1.4)  (1.7) sÏ g©y nªn sai sè rÊt lín. Trong tr-êng hîp nµy E.. YHKCOB ®-a ra ®iÒu kiÖn dÎo gÇn ®óng sau: §èi víi tr¹ng th¸i øng suÊt ®èi xøng trôc: (      ) 2  (    z ) 2  ( z    ) 2  2z  1 (1.8) 2 . S k2 vµ ®èi víi tr¹ng th¸i biÕn d¹ng ph¼ng: x  z  2xz  1  (1.9)  *S k2 Tõ (1.8) vµ (1.9) cho thÊy: nÕu  = 0 dÔ dµng nhËn ®-îc c¸c ph-¬ng tr×nh (1.4); (1.5) vµ (1.6). NÕu  = k sÏ thu ®-îc:  =  = z (1.8a) x = z = y (1.9a) Nh- vËy (1.8a) vµ (1.9a) sÏ lµ ph-¬ng tr×nh chÝnh x¸c khi  = k vµ gÇn ®óng khi  gÇn tíi k. Tãm l¹i theo E.. YHKCOB, khi o  k  0,7k víi sai sè cho phÐp cã thÓ sö dông c¸c ph-¬ng tr×nh (1.8); (1.9). RÊt th-êng xuyªn khi gi¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕ, ng-êi ta cÇn ph¶i biÓu diÔn ®¹o hµm cña mét øng suÊt theo täa ®é cho tr-íc qua ®¹o hµm cña øng suÊt kh¸c còng theo täa ®é ®ã. Néi dung cña c¸ch biÓu diÔn ®ã nh- sau: Ta cã ph-¬ng tr×nh dÎo cho tr¹ng th¸i øng suÊt ®èi xøng trôc (khi  =  ) vµ cho tr¹ng th¸i biÕn d¹ng ph¼ng : ( - z)2 + 3  2z   S2 (1.10)
(x - z)2 + 4  2xz = 4k2 (1.11) Gi¶ sö lÊy ®¹o hµm ph-¬ng tr×nh (1.10) theo  vµ (1.11) theo x, ta sÏ nhËn ®-îc:     z      z      3 z z             z  x   z  x  z    4 xz  x x  x NÕu  kh«ng phô thuéc vµo täa ®é  hoÆc x chóng ta sÏ thu ®-îc:    z  hay   = z (1.12a)    x  z vµ:  hay  x = z (1.12b) x x T-¬ng tù nh- vËy c¸c ph-¬ng tr×nh (1.10) vµ (1.11) còng cã thÓ ®¹o hµm theo c¸c täa ®é kh¸c. C¸c ph-¬ng tr×nh (1.12a); (1.12b) cã thÓ coi lµ biÓu thøc cña ®iÒu kiÖn dÎo ë d-íi d¹ng vi ph©n vµ nã sÏ lµ ®iÒu kiÖn dÎo ®óng nÕu  kh«ng phô thuéc vµo täa ®é cho tr-íc, cßn trong tr-êng hîp ng-îc l¹i nã ®-îc coi lµ ®iÒu kiÖn dÎo gÇn ®óng. ViÖc sö dông ph-¬ng ph¸p nµy chóng ta sÏ ®Ò cËp tû mû ë c¸c ch-¬ng sau. 1.4. Ph-¬ng ph¸p l-íi ®-êng tr-ît 1.4.1. Nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ ®-êng tr-ît Khi chóng ta kÐo mét mÉu trô, ë giai ®o¹n ®Çu cña biÕn d¹ng dÎo, trªn bÒ mÆt cña nã ph¸t hiÖn thÊy l-íi c¸c ®-êng c¾t nhau d-íi mét gãc vu«ng vµ chóng nghiªng 450 so víi trôc mÉu. C¸c ®-êng nµy chÝnh lµ vÕt c¾t nhau gi÷a mÆt mÉu vµ mÆt øng suÊt tiÕp lín nhÊt vµ chóng ®-îc gäi lµ ®-êng tr-ît. C¸c thÝ nghiÖm kh¸c còng cho thÊy ®-êng tr-ît trïng víi quü ®¹o cña øng suÊt tiÕp lín nhÊt.
§-êng tr-ît cã mét sè tÝnh chÊt quan träng, mµ nÕu sö dông chóng cho phÐp x¸c ®Þnh ®-îc øng suÊt theo thÓ tÝch vËt thÓ chÞu biÕn d¹ng ph¼ng vµ ®èi xøng trôc. Bëi ®-êng tr-ît lµ quü ®¹o cña øng suÊt tiÕp lín nhÊt vµ khi biÕn d¹ng ph¼ng tån t¹i hai mÆt øng suÊt ®ã, do vËy sÏ cã hai hä ®-êng tr-ît trùc giao nhau vµ c¾t víi quü ®¹o cña øng suÊt ph¸p chÝnh d-íi gãc 450. (h×nh 1.1) z 3 1 3    a 1  ' =  +  2  4 -  4 0 x   =+ + 4 2 H×nh 1.1. §-êng tr-ît ,  vµ quü ®¹o cña øng suÊt ph¸p chÝnh Tõ h×nh 1.1 cã thÓ viÕt ph-¬ng tr×nh vi ph©n cña hai hä ®-êng tr-ît nh- sau: ®Ó cho hä :  tg dz dx ®Ó cho hä :   ctg (1.13) dz dx Trong ®ã  =  + /4 (,  ®-îc biÓu diÔn nh- trªn h×nh vÏ). Chóng ta biÓu diÔn øng suÊt x, Z, xz khi biÕn d¹ng ph¼ng qua øng suÊt ph¸p chÝnh vµ gãc  gi÷a trôc x vµ trôc chÝnh 1 nh- sau : x     TB   31 cos 2 z  xz = 31 . sin2 NÕu thay  qua  vµ l-u ý tíi: khi biÕn d¹ng ph¼ng 31 = k, ta sÏ thu ®-îc:
x    TB  k. sin 2 z  xz = - k . cos2 (1.14)   3 Trong c¸c c«ng thøc trªn:  TB  1 2 CÇn l-u ý r»ng (1.14) hoµn toµn tháa m·n ®iÒu kiÖn dÎo khi biÕn d¹ng lµ ph¼ng:  x   z 2  4 2xz  4k 2 §iÒu kiÖn dÔ dµng kiÓm chøng nÕu thay c¸c gi¸ trÞ øng suÊt tõ (1.14) vµo ph-¬ng tr×nh trªn. LÊy ®¹o hµm riªng cña c¸c øng suÊt x¸c ®Þnh theo (1.14) råi thay vµo  x  xz   ptvpcb sau:   0; xz  z  0 x z x z Ta sÏ nhËn ®-îc:  TB      2 k  cos 2  sin 2 0 x  x z   TB      2 k cos 2  sin 2 0 (1.15) z   z x  C¸c ph-¬ng tr×nh (1.15) ®-îc x¸c ®Þnh trong hÖ täa ®é x, z vµ chóng cã thÓ biÓu diÔn trong hÖ täa ®é cong cña hai hä ®-êng tr-ît b»ng c¸ch chuyÓn gèc täa ®é vÒ mét ®iÓm a nµo ®ã - lµ ®iÓm giao nhau cña hai hä ®-êng tr-ît. C¸c trôc täa ®é, ®-îc h-íng theo ph-¬ng tiÕp tuyÕn tíi c¸c ®-êng tr-ît hä ,  (h×nh 1.2). Trong mét l©n cËn v« cïng nhá cña ®iÓm a cã thÓ coi c¸c cung cña hä ,  trïng víi tiÕp tuyÕn x ', z'. Khi ®ã cã thÓ chÊp nhËn:     dx = d; dz = d;  ;  x  z  MÆc dï b©y giê gãc  = 0 (do c¸c trôc trïng víi tiÕp tuyÕn cña ®-êng tr-ît) song  ;   0 bëi  lu«n thay ®æi däc theo ®-êng cong. NÕu tÝnh ®Õn c¸c yÕu   tè kÓ trªn vµo (1.15) ta sÏ thu ®-îc:  TB  2k  0 
  TB  2k  0 (1.16)  Sau khi tÝch ph©n (1.16) theo ,  ta thu ®-îc: TB + 2k = C1 TB - 2k = C2 (1.17) H×nh 1.2. S¬ ®å chuyÓn trôc to¹ ®é Bëi (1.16) lµ ph-¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng, nªn c¸c h»ng sè tù do trong (1.17) sÏ cã chøa mét phÇn nµo ®ã cña c¸c hµm , . Gi¶ sö ta chän c¸c h»ng sè tù do ®ã lµ 2k() vµ 2k(), khi ®ã (1.17) ®-îc viÕt l¹i lµ: TB + 2k = 2k () (däc theo ). TB - 2k = 2k () (däc theo ) (1.18) (1.18) cßn cã tªn gäi lµ tÝch ph©n Henki. C¸c gi¸ trÞ 2k(), 2k() cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi, khi ®iÓm dÞch chuyÓn däc theo c¸c ®-êng t-¬ng øng cña hä ,  vµ sÏ thay ®æi nÕu chuyÓn sang ®-êng kh¸c cïng hä.
Gi¶ sö t¹i mét ®iÓm A nµo ®ã cña ®-êng tr-ît  cã TB = TBA vµ  = A. T¹i mét ®iÓm B kh¸c cña ®-êng tr-ît cïng hä cã: TB = TBB vµ  = B. Khi ®ã nÕu thay vµo (1.18) ta sÏ thu ®-îc: TBA + 2kA = 2k() TBB + 2kB = 2k() Do vËy sau khi so s¸nh vµ biÕn ®æi hai ph-¬ng tr×nh trªn ta thu ®-îc: TBA - TBB =  2k(A - B). §Æt A - B = AB - gãc quay cña ®-êng tr-ît khi dÞch chuyÓn tõ ®iÓm A tíi B, do ®ã: TBA - TBB =  2kAB (1.19) C«ng thøc (1.19) cho thÊy: sù thay ®æi cña øng suÊt trung b×nh tû lÖ víi gãc quay cña ®-êng tr-ît vµ hÖ sè tû lÖ lµ 2k. Ph©n tÝch (1.19) cho chóng ta rót ra mét sè vÊn ®Ò sau: - NÕu biÕt ®-îc ®-êng tr-ît vµ gi¸ trÞ øng suÊt trung b×nh cña mét ®iÓm nµo ®ã trªn nã, th× cã thÓ biÕt ®-îc øng suÊt trung b×nh trªn toµn bé ®-êng tr-ît. - NÕu biÕt ®-îc l-íi ®-êng tr-ît vµ øng suÊt trung b×nh t¹i mét ®iÓm nót th× cã thÓ x¸c ®Þnh ®-îc øng suÊt trung b×nh cña toµn l-íi. - NÕu biÕt ®-îc øng suÊt trung b×nh vµ gãc quay th× cã thÓ sö dông hÖ (1.14) ®Ó x¸c ®Þnh c¸c øng suÊt thµnh phÇn. - NÕu mét ®o¹n ®-êng tr-ît nµo ®ã lµ th¼ng th× tr¹ng th¸i øng suÊt sÏ kh«ng thay ®æi däc theo ®o¹n th¼ng ®ã. - NÕu mét vïng nµo ®ã cã hai hä ®-êng tr-ît lµ th¼ng th× tr¹ng th¸i øng suÊt trong vïng ®ã lµ ®ång nhÊt vµ ng-îc l¹i. 1.4.2. C¸c tÝnh chÊt cña ®-êng tr-ît §Þnh lý thø nhÊt cña Henki Gãc gi÷a tiÕp tuyÕn tíi hai ®-êng tr-ît cña mét hä t¹i nh÷ng ®iÓm c¾t nhau víi mçi ®-êng tr-ît hä kh¸c lµ kh«ng ®æi. §Ó chøng minh ®Þnh lý trªn, ta t¸ch ra tõ l-íi ®-êng tr-ît mét tø gi¸c cong bÊt k× MNPQ giíi h¹n bëi ®-êng MN, PQ hä  vµ MP, NQ hä  (h.1.3). Trªn c¬ së cña (1.18) ta cã thÓ viÕt:
TBQ - TBM = (TBQ - TBN) + (TBN - TBM) = 2k (Q + M - 2N) H×nh 1.3. PhÇn tö t¸ch tõ l-íi ®-êng tr-ît NÕu ®i tõ ®iÓm Q tíi M theo h-íng kh¸c, ta sÏ cã: TBQ - TBM = (TBQ - TBP) + (TBP - TBM) = 2k (2P + Q - M) Tõ hai ph-¬ng tr×nh trªn ta cã thÓ rót ra lµ: Q - N = P - M =  (1.20) Tõ ®Þnh lý trªn cã thÓ rót ra hÖ qu¶ sau: NÕu nh- mét ®o¹n ®-êng tr-ît nµo ®ã cña mét hä cho tr-íc lµ th¼ng, th× tÊt c¶ c¸c ®o¹n ®-êng tr-ît cña hä ®ã c¾t cïng b»ng nh÷ng ®-êng tr-ît hä kh¸c còng lµ ®-êng th¼ng (h1.3). §Þnh lý thø hai cña Henki Khi dÞch chuyÓn mét ®iÓm däc theo ®-êng tr-ît cho tr-íc cña mét hä, b¸n kÝnh cong cña ®-êng tr-ît hä kh¸c thay ®æi mét l-îng b»ng kho¶ng c¸ch dÞch chuyÓn. §Ó chøng minh ®Þnh lý, ta lÊy trong l-íi ®-êng tr-ît mét tø gi¸c cong v« cïng nhá t¹o bëi cÆp ab, cd, cña ®-êng tr-ît hä  vµ ac, bd cña hä  (h1.4) V× tø gi¸c ®-îc coi lµ nhá, nªn c¹nh cña nã cã thÓ coi lµ cung trßn. §é dµi cung ab = dS1 = R d §é dµi cung cd = dS2 = (R + dS) d 
MÆt kh¸c, do ®é cong cña cung hä  gi¶m khi chuyÓn tõ 1 tíi 2 nªn b¸n kÝnh cña cung cd lín h¬n b¸n kÝnh cung ab mét sè gia dR. NghÜa lµ: O4 O' O O3 O2 O1 O d d R+dR R 1 a ds1 b B  B' ds 2 A' A c ds2 d  d1 d2 H×nh 1.4. PhÇn tö t¸ch tõ l-íi ®-êng tr-ît O ' c  (R + dR) d . So s¸nh víi biÓu thøc trªn ta nhËn ®-îc: dR = dS .T-¬ng tù nh- thÕ: dR = dS (1.21) Qua nh÷ng vÊn ®Ò nªu ra ë trªn, cã thÓ tãm t¾t mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®-êng tr-ît nh- sau: 1. L-íi ®-êng tr-ît gåm hai hä trùc giao nhau vµ c¾t quü ®¹o øng suÊt chÝnh d-íi mét gãc 450. 2. Sù thay ®æi øng suÊt ph¸p trung b×nh khi dÞch chuyÓn däc theo ®-êng tr-ît tû lÖ víi gãc quay cña nã vµ hÖ sè tû lÖ lµ 2k. 3. Gãc gi÷a tiÕp tuyÕn tíi hai ®-êng tr-ît cña mét hä t¹i nh÷ng ®iÓm giao nhau víi ®-êng tr-ît hä kh¸c lµ kh«ng ®æi. 4. B¸n kÝnh cong cña ®-êng tr-ît thay ®æi b»ng kho¶ng c¸ch ®i qua cña ®-êng tr-ît hä kh¸c.
5. Gãc nghiªng cña ®-êng tr-ît khi tho¸t ra biªn phô thuéc vµo øng suÊt tiÕp trªn biªn, nã dao ®éng tõ 0  900. Khi biªn lµ mÆt tù do hoÆc mÆt tiÕp xóc kh«ng cã ma s¸t (xZ = 0), ®-êng tr-ît sÏ nghiªng d-íi mét gãc 450. Trong tr-êng hîp mÆt tiÕp xóc cã ma s¸t cùc ®¹i (  xZ  k ) khi ®ã cos2 = 1 hay  = 0 hoÆc  = 900, nghÜa lµ : Mét hä ®-êng tr-ît tho¸t ra trªn bÒ mÆt tiÕp xóc d-íi mét gãc 900, cßn hä kia tiÕp tuyÕn víi mÆt tiÕp xóc. 1.4.3. Mét sè vÝ dô vÒ sö dông ph-¬ng ph¸p l-íi ®-êng tr-ît VÝ dô 1: X¸c ®Þnh lùc nÐn chµy vµo khèi kim lo¹i cã kÝch th-íc kh«ng h¹n chÕ vµ kh«ng cã ma s¸t tiÕp xóc.(h1.5). b p A B m E C D F H×nh 1.5. L-íi ®-êng tr-ît khi nÐn chµy vµo vËt cã kÝch th-íc kh«ng h¹n chÕ Theo chiÒu vu«ng gãc víi h×nh vÏ, chµy cã kÝch th-íc kh«ng h¹n chÕ nªn biÕn d¹ng ®-îc coi lµ ph¼ng. Do kh«ng cã ma s¸t trªn bÒ mÆt tiÕp xóc nªn ®-êng tr-ît nghiªng 450 víi bÒ mÆt c«ng t¸c BE cña chµy. L-íi ®-êng tr-ît n»m d-íi c¸c mÆt ®ã lµ nh÷ng tam gi¸c vu«ng ABC, BDE, EFG. ë c¸c vïng chuyÓn tiÕp BCD, EDF, l-íi ®-êng tr-ît gåm mét hä lµ nh÷ng ®-êng th¼ng xuÊt ph¸t tõ B, E, hä kia lµ c¸c cung trßn. Nh- vËy, ACDFG lµ gianh giíi cña l-íi ®-êng tr-ît. Do ®-êng tr-ît nghiªng víi mÆt chµy vµ mÆt tù do mét gãc 450, nªn gãc quay cña ®-êng tr-ît khi ®i däc tõ ®iÓm a (trªn bÒ mÆt tù do) tíi ®iÓm m (trªn mÆt chµy) am = /2. T¹i ®iÓm a cã: za = 0; xa - øng suÊt nÐn. §iÒu kiÖn dÎo t¹i ®©y ®-îc viÕt: 0 - xa = 2k; xa = -2k 0   xa øng suÊt trung b×nh: TBa = = -k 2 Khi ®i tõ a tíi m, øng suÊt trung b×nh thay ®æi nh- sau:
TBa - TBm = 2k . am = k .  Do vËy: TBm = TBa - k .  = - k (1+)  xm   zm MÆt kh¸c: TBm = 2 §iÒu kiÖn dÎo t¹i m: xm - zm = 2k Gi¶i kÕt hîp c¸c yÕu tè trªn sÏ thu ®-îc kÕt qu¶: zm = - k(2 + ) = - 5,14k. S víi k= nªn zm  - 2,97S 3 Nh- vËy ¸p lùc riªng cÇn thiÕt ®Ó nÐn chµy vµo vËt thÓ cã kÝch th-íc kh«ng h¹n chÕ sÏ lµ: p = 2,97S  2,6 S* Vµ lùc toµn phÇn trªn mét ®¬n vÞ chiÒu dµy chµy lµ: P = p . BE VÝ dô 2: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ ¸p lùc t¸c dông bªn trong èng ®Ó toµn bé tiÕt diÖn èng n»m trong tr¹ng th¸i biÕn d¹ng dÎo (vÝ dô cña 1.2). ab b a  ab 0 a  p r  R H×nh 1.6. S¬ ®å x¸c ®Þnh ¸p lùc t¸c dông bªn trong ®Ó biÕn d¹ng dÎo èng
BiÕn d¹ng ®-îc coi lµ ph¼ng theo h-íng trôc z. Do kh«ng cã øng suÊt tiÕp ë mÆt trong nªn ,  lµ øng suÊt ph¸p chÝnh. Quü ®¹o cña chóng lµ nh÷ng vßng trßn ®ång t©m vµ c¸c b¸n kÝnh trùc giao víi nhau. Nh- ®· biÕt, ®-êng tr-ît nghiªng víi quü ®¹o øng suÊt ph¸p chÝnh mét gãc 450 nªn tõ lý thuyÕt ®-êng cong nhËn thÊy: ®-êng cong c¾t c¸c tia xuÊt ph¸t tõ mét ®iÓm d-íi mét gãc  kh«ng ®æi sÏ lµ ®-êng xo¾n l«garit vµ ph-¬ng tr×nh ®-êng cong ®ã sÏ lµ:  = r . exp A Trong ®ã: A = ctg. Trong tr-êng hîp cña bµi to¸n A = ctg450 = 1 do vËy  = r .e Trªn h×nh, phÝa bªn tr¸i lµ mét phÇn cña l-íi ®-êng tr-ît. T¹i ®iÓm b (ë mÆt ngoµi èng) cã b = 0. §iÒu kiÖn dÎo t¹i ®©y nh- sau: b - b = 2k  b = 2k  b   b TBb = =k 2 §-êng tr-ît khi dÞch chuyÓn tõ b tíi a ®· quay mét gãc ab. Tõ mèi quan hÖ h×nh häc nh- trªn h×nh vÏ, cã thÓ chøng minh ®-îc: ab= ab do vËy ab = ln R r Ta cã: TBa - TBb =  2kln R r Do øng suÊt nÐn h-íng kÝnh  t¨ng theo gi¸ trÞ tuyÖt ®èi tõ 0 t¹i ®iÓm b tíi gi¸ trÞ max t¹i a, cßn øng suÊt kÐo h-íng tiÕp tuyÕn gi¶m theo chiÒu tõ b tíi a. Do vËy TBa < TBb Vµ ta cã: TBa - TBb = -2kln R r
TBa = TBb - 2kln = k - 2kln R R r r  a   a T¹i ®iÓm a ta cã: TBa = 2 Theo ®iÒu kiÖn dÎo: a - a = 2k do vËy a = a + 2k a  a  2k Vµ nh- vËy TBa = = a + k 2 KÕt hîp víi c¸c ph-¬ng tr×nh trªn ta thu ®-îc: a + k = k - 2k ln R r a = - 2kln R r Hay p=  *S ln R r KÕt qu¶ gi¶i theo ph-¬ng ph¸p nµy còng trïng víi biÓu thøc (1.2) . 1.5. Ph-¬ng ph¸p ®Þnh trÞ trªn Bµi to¸n x©y dùng tr-êng ®-êng tr-ît nãi chung kh«ng cã lêi gi¶i duy nhÊt. ViÖc x©y dùng ®óng tr-êng ®-êng tr-ît cã thÓ chØ ®¸p øng ®iÒu kiÖn c©n b»ng, ®iÒu kiÖn biªn, ph-¬ng tr×nh liªn hÖ øng suÊt vµ biÕn d¹ng mµ cã thÓ kh«ng ®¸p øng ®-îc ®iÒu kiÖn ®éng häc. Lý thuyÕt biÕn d¹ng dÎo ®· chøng minh, tr-êng ®-êng tr-ît nÕu chØ tháa m·n ®iÒu kiÖn tÜnh mµ kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®éng th× chØ cho phÐp x¸c ®Þnh lùc biÕn d¹ng ë giíi h¹n d-íi. §Ó x¸c ®Þnh lùc biÕn d¹ng thùc, tr-êng ®-êng tr-ît cÇn ph¶i tho¶ m·n c¶ ®iÒu kiÖn ®éng. §ã lµ lËp luËn ®Ó h×nh thµnh ph-¬ng ph¸p ®Þnh trÞ trªn. §Ó n¾m ®-îc néi dung cña ph-¬ng ph¸p, chóng ta cÇn hiÓu râ mét sè kh¸i niÖm sau: 1.5.1 Kh¸i niÖm vÒ s¬ ®å cøng dÎo NÕu so s¸nh l-íi ®-êng tr-ît trªn h×nh 1.5 vµ 1.6 cã thÓ thÊy sù kh¸c nhau gi÷a chóng thÓ hiÖn: ë tr-êng hîp thø nhÊt (h1.5) l-íi ®-êng tr-ît kh«ng chiÕm