Lý thuyết và bài tập Cơ học công trình: Phần 2

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:178

Thêm vào BST

Báo xấu

111
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 gồm các nội dung: Phương pháp lực và cách tính hệ thanh siêu tĩnh, chuyển vị và cách tính hệ thanh siêu tĩnh, cách xác định nội lực trong hệ chịu tải trọng di động, thanh chịu tải trọng động, khái niệm về ổn định. Tài liệu được biên soạn nhằm phục vụ thiết thực cho các sinh viên đại học thuộc các chuyên ngành: Kiến trúc, Vật liệu xây dựng, Kỹ thuật môi trường.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập Cơ học công trình: Phần 2

8 PHƯƠNG PHÁP L ự c V À CÁCH TÍNH HỆ THANH SIÊU TĨNH 8.1. K H Á I N IỆ M VỂ HỆ SIÊU TĨN H - BẬC SIÊU TĨN H 8.1.1. Định nghĩa Trong các chương trước đã giới thiệu cách tính hệ tĩnh định tức là những hệ trong đó chí cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học cũng đủ để xác định phản lực và nội lực. Trên thực tế, thường gặp những hệ trong đó nếu chỉ sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học không thôi thì chưa đủ để xác định các phản lực và nội lực. Đ ể tính các hệ đó cần bổ sung các phương trình biêu thị điều kiện biến dạng. N hư vậy: H ệ được gọi là siêu tĩnh nếu trong toàn hệ hoặc trong m ột vài phần của hệ ta không th ể ch ỉ dùng các phương trình cân bâng tĩnh học đ ể xác địnlì tổít cả các phdn lực và nội lực. H ệ siêu tĩnh là hệ hất biến hình và có liên kết thừa. Danh từ liên kết thừa dùng ở đây chí là quy ước. Cần hiểu liên kết thừa là những liên kết không cần thiết cho sự cấu tạo hình học của hệ nhưng vãn cần cho sự làm việc của công trình. ± - b) /TỈ^?7T Ỷ c) B Ấ D .H d) B Hình 8.2 Hình 8.1 Ví dụ, dầm hai nhịp trên hình 8 . la có bốn liên kết loại m ột nhirng ta chỉ có ba phương trình cân bằng tĩnh học nên chưa đủ để xác định bốn phản lực trong bốn liên kết, vậy dầm đó là siêu tĩnh. D ầm này có m ột liên kết thừa là m ột trong ba liên kết thanh thẳng đứng. Nếu loại m ột liên kết thừa như trên 205
các hình 8 . 1 b, c, d thì dầm vẫn bất biến hình nhưng tính chất làm việc sè khác đi. Đối với hệ cho trên hình 8.2 ta thấy: phần đầu thừa AB là tĩnh định vì có thể chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học cũng đủ để xác định nội lực trong đó; phần BCD là siêu tĩnh vì với ba phương trình cân bằng tình học chưa đủ để xác định bốn phản lực B, c , D và H, do đó cũng không xác định được nội lực trong phần này. Vậy, nếu xét toàn bộ thì hệ này là siêu tĩnh. 8.1.2. T ín h c h ấ t Đối chiếu với hệ tĩnh định, hệ siêu tĩnh có những tính chất sau: 1) Chuyển vị, biến dạng và nội lực trong hệ siêu tĩnh nói chung nhỏ hơri trong hệ tĩnh định có cùng kích thước và tải trọng. Bảng 8.1 cung cấp kết quả tính độ võng ở giữa nhịp và mômen uốn lán nhất trong dầm tĩnh định một nhịp với dầm siêu tĩnh một nhịp có hai đầu ngàm. Bảng 8.1 U ịịỷ ịịT T T l \ I^---------->: Dầm Độ võng ở giữa nhịp 5 ql^ I qM yrnax - yrnax - 384 EI 384 EI Giá trị mômen uốn lớn nhất q l2 tại giữa nhịp M = tại ngàm M ~ 12 Qua những số liệu trên ta thấy chuyển vị và nội lực trong dầm siêu tĩnh nhỏ hơn trong dầm tĩnh định khá nhiều. Bởi vậy dùng hệ siêu tĩnh sẽ tiết kiệm được vật liệu hơn so với hệ tĩnh định tương ứng. Đó là ưu điểm chính của hệ siêu tĩnh. 2} Trong hệ siêu tĩnh p h á t sinh các nội lực do sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị các gối tựa, sự c h ế tạo và lắp ráp không chính xác gãy ra. Để thấy rõ tính chất này, ta xét m ột vài ví dụ: • So sánh dầm tĩnh định m ột nhịp (hình 8.3a) với dầm siêu tĩnh m ột nhịp (hình 8.3b) cùng chịu sự thay đổi nhiệt độ không đều, ở trên là í/, ở dưới là Í2 với t2>ti ta thấy: khi chịu nhiệt độ, dầm có khuynh hướng bị 206
Uiốn cong, nhưng trong dầm tĩnh định các 1iên k ết không ngăn cản biến d ạn g của dầm nên không phát sinh phản lụvc và nội lực, ngược lại trong diầm siêu tĩnh, các liên kết (ngàm) cản ĩrơ khiông cho phép dầm biến dlạng tự do nên phát sinh phản lực và nội lực. a) H ình 8 3 Hinh 8.4 Hinh 8.5 • K h i liên kết có chuyển vị cưỡng bức (bị lún) dầm tĩnh định trên hình 8.4a bị nghiêng đi, các liên kết không ngăn cả.n và cho phép chuyển vị tự do nên không phát sinh nội lực. Ngược ]ại, khi gối phải của dầm siêu tĩnh trên hình 8.4b bị lún, gối tựa giữa không cho phép dầm chuyển vị tự do như trường hợp trên, dầm bị uốn coĩig theo đưòfng đứt nét, do đó trong dầm sẽ phát sinh nội lực. • K h i chế tạo, giả sử chiều dài của thanh CD tromg hệ siêu tĩnh trên hình 8.5 bị ngắn so với chiều dài thiết kế một đoạn bằng ả. Sau khi lắp ráp, thanh C D bị dãn ra đồng thời dầm AB cũng bị uốn cong, do đó trong hệ tồn tại các nội lực ban đầu, Klni thiết kế kết cấu siêu tĩnh ta cần đạc biệt lưu ý đến những nguyên nhân gây ra nội lực kể trên. Đôi khi có the sử dụng, tính chất này để tạo sẵn trong: hệ những nội lực và biến dạng ban đáu ng;ược chiều với nội lực và biến dạng do tải trọng gây ra, Biện pháp này làm cho sir phân phối nội lực trong các c ấu kiện của công trình được hợp lý hơn và do đ ó tiết kiệm được vật liệu. 3)< N ội lực trong hệ siêu tĩnh phụ ílìiióc vật liệu và kích thước của tiết diện tron^ các thanh. N h ư sau này sẽ thấy, để tính hệ siêu tĩnh ta phái dựa vào điều kiện biến dạng mà biến dạng lại phụ thuộc các độ cứng EI, E A ... nên nội lực trong hệ siêu tĩnh cũng phụ thuộc EI, EA của các thanh. T ính các hệ siêu tĩnh thưòng phức tạp hơii tính c-ác hệ tĩnh định. Có nhiều phươmg pháp tính hệ siêu tĩnh. Hai phương pháp cơ bản là: • Phương pháp ìực (được đề cập trong chương n.ày). 207
* Phương pháp chuyển vị (được đề cập trong chương 9). Trong chương này ta sẽ nghiên cứu cách vận dụng phương pháp lưc clc giải các bài toán siêu tĩnh chịu tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ và chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa. Bài toán hệ chịu nguyên nhân do chế tạo khõiig chính xác hoặc do điều chỉnh chiều dài của các thanh có thể đưa về bài toán hệ chịu thay đổi nhiệt độ nếu xem sự thay đổi chiều dài A của thanh như khi thanh chịu sự thay đổi đều của nhiệt độ với điểu kiện a t j = A. Do đó, không cần đề cập riêng đến nguyên nhân này. 8.1.3. Bậc siêu tĩnh Trong phạm vi những giả thiết thường được chấp nhận trong cơ học cóng trình, ta có thể định nghĩa bậc siêu tĩnh như sau: Bậc siêu tĩnh của hệ siêu tĩnh bằng s ố liên kết tương đương loại mội ngoài s ố liên kết cần thiết đ ể cho hệ bất biến hình. Ta có thể dùng các hệ thức giữa số lượng các miếng cứng và số lượng các liên kết đã nghiên cứu trong chương 1 để suy ra bậc siêu tĩnh của hệ. Ví dụ, từ (1.3) ta suy ra công thức xác định bậc siêu tĩnh n của hệ nối với trái đất là n = T + 2K + 3H + c -3 D , trong đó: D - số các miếng cứng tĩnh định (miếng cứng có chu vi hở). Ngoài ra còn có thể lập công thức đcm giản hơn để xác định bậc siêu tĩi h. Trước khi thiết lập ta khảo sát một ví dụ. Xét một khung có chu vi hở (hình 8 .6 a). Khung này là tĩnh định vl ta có thể chỉ sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học để xác định nội lực tại m ột tiết diện bất kỳ sau khi thực hiện mặt cắt như trên hình vẽ. Nếu đặt thêm vào chỗ hở b) một liên kết loại một (thanh), / Ạ ---- 0 - 0 ----- 1 p p 1 > hệ sẽ thừa một liên kết (hình 8 .6 b). Vậy hệ này có bậc siêu tĩnh n = 1 . c) d) p p p Nếu đặt thêm vào chỗ hở một liên kết loại hai (khứp), hệ Hình 8.6 sẽ thừa hai liên kết tương đương loại m ột (hình 8 .6 c). Vậy hệ này có bậc siêu tĩnh n =2. 208
Nếu đặt thêm vào chỗ hở m ột mối hàn (liên kết loại ba) hệ sẽ thừa ba liên kết tương đương loại m ột (hình 8 .6 d). Vậy hệ này có bậc siêu tĩnh n = 3. Q ua ví dụ trên ta có kết luận sau: M ột chu vi kín có bậc siêu tĩnh bằng ba, nếu thêm vào chu vi kín đó một khớp đơn giản thì bậc siêu tĩnh giảm xuống m ột đcm vị. Đ ể thiết lập công thức xác định bậc siêu tĩnh, ta giả thiết trong hệ siêu tĩnh có V chu vi kín và K khớp đơn giản. Theo nhận xét trên, cứ mỗi chu vi kín có bậc siêu tĩnh bằng ba nên hệ có V chu vi kín sẽ có bậc siêu tĩnh là 3V. Nếu thêm một khớp đcín giản thì bậc siêu tĩnh giảm xuống một đofn vị, do đó K khớp đơn giản làm bậc siêu tĩnh của hệ giảm K đơn vị. Vậy bậc siêu tĩnh n của hệ được xác định theo công thức: n = 3 V -K . (8.1) V í dụ 8.1. [6 ] Tim bậc siêu tĩnh của hệ trên hình 8.7. Hệ này có v = 4 và K= 3. Do đó « = 3 .4 - 3 = 9. V í dụ 8.2. [6 ] Tim bậc siêu tĩnh của hệ trên hình 8 .8 . Hệ này có ba chu vi kín. Để tính số khớp K ta cần chú ý: các khớp A, c là khớp đcfn giản nên mỗi khớp tính bằng m ột đơn vị; khóp B là khớp phức tạp nên phải tính bằng độ phức tạp của nó và bằng 4 -1 = 3. Vậy tổng số khófp đom giản là K= 4. Bậc siêu tĩnh n = 3 . 3 - 5 = 4. Chú thích: Khi sử dụng công thức (8.1) cần quan niệm trái đất là miếng cứng hở. Ví dụ, khi xét hệ trên hình 8,9 thì số chu vi kín trong trường hợp này bằng 3 chứ không phải bằng 4 vì phải quan niệm trái đất là miếng cứng hở như trên hình vẽ. Bậc siêu tĩnh của hệ này bằng n = 3.3 -0 = 9. 209
8 . 2 . NỘI DUNG PHƯƠNG P H Á P L ự c VÀ CÁ CH TÍN H HỆ SIÊU TĨN H 8.2.1. Nội d u n g phương p h á p lực Để tính hệ siêu tĩnh, ta không tính trực tiếp trên hệ đó mà tính trên một hệ thay thế khác cho phép dễ dàng xác định nội lực. Hệ thay thế này suy ra từ hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách loại bớt các liên kết thừa gọi là hệ cơ bản. Tất nhiên, để bảo đảm cho hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh đã cho ta cần bổ sung các điều kiện phụ. Đ ó là nội dung tóm tắt của phương pháp lực. Hệ cơ bản của phương p h á p lực phải là hệ bất biến hỉnh suy ra từ hệ siêu tĩnh đã cho bằng cách loại bỏ tất cả hay m ột sô'liên kết thừa. Nếu loại bỏ tất cả các liên kết thừa thì hệ cơ bản là tĩnh định còn nếu chỉ loại bỏ m ột số liên kết thừa thì hệ cơ bản là siêu tĩnh có bậc thấp hơn. Điều quan trọng là hệ cơ bản phải bất biển hình và cho phép ta xác định dược nội lực m ột cách d ễ dàng. Bởi vậy trong đa số trường hợp, ta thường dùng hệ cơ bản tĩnh định. Đối với hệ siêu tĩnh trên hình b) 8.1 Oa, ta có thể chọn hệ cơ bản theo nhiều cách khác nhau. Trên hình S.lOb, c, d giới thiệu ba c /777777 B A B cách chọn hệ cơ bản tĩnh định /77^777 /77TƯT cho hệ siêu tĩnh ở hình S.lOa. Để thiết lập các điều kiện phụ ta cần so sánh sự khác nhau giữa c /77777T hệ siêu tĩnh đã cho (hình S.lOa) B B với hệ cơ bản (giả sử dùng hệ cơ bản S.lOb). Ta nhận thấy: Hình 8.10 Tại các vị trí loại bỏ liên kết (A và C): ♦ trong hệ siêu tĩnh nói chung có các phản lực còn trong hệ cơ bản không có; ♦ trong hệ siêu tĩnh, chuyển vị theo phương của các liên kết bị loại bỏ đều bằng không; trong hệ cơ bản, các chuyển vị này có thể tồn tại. Như vậy, muốn cho hệ cơ bản làm việc giống hệ đã cho, ta cần: * Trong hệ cơ bản, đặt các lực X], X2 ,...,Xfi tương ứng với vị trí và phương của các liên kết bị loại bỏ. Những lực này chưa biết và giữ vai trò ẩn số 210
(hình 8.11). Vì các ẩn số là lực (lưc tập trunsg hoặc m ôm en tập trung) nên phương pháp nàiy mang tên là phương pháp lực. c * T hiết lập điều kiện: chuyển vị tronỵ hệ cơ' ';2 JB ///W7 Xạ tx bản tương ứng với vị trí và phương của các H ỉnh 8.11 liên kết bị loại bỏ bằng không. Nói khác đi, chuyển vị trong hệ cơ bản tương ứng với vỊị trí v/à phương của ẩn số X l, X2,..., Xfi do các lực XỊ, Xn và do các mgíUẠyên nhân bên ngoài (tải trọng P; sự thay đổi nhiệt độ t; sự chuyển v/ị gối tựa Z) gây ra phải bằng không. Nếu hệ có bậc siêu tĩnh là n và hệ cơ bản tĩnh địmhi th.ì ta có n điều kiện; ^Xk(XỊ.X 2, . ^ . , Xị : ......x „ , P ì = 0 k = J , 2 , . . . , n . ị (8 .2 ) Các điều kiện (8.2) là các phương trình cơ bén ciủa phư ơ ng pháp lực. Hệ phưcmg trình này nghiệm đúng với tất cả các hệ tuiâìn theo cũng như không tuân theo nguyên lý cộng tác dụng. Với hệ có bậc siêu tĩnh là n ta lập được n phưtơmg trình cơ bản đủ để xác định n ẩn s ố Xị, X2,..., Sau khi tìm được các lự(cXii, x,t ta xem chúng như các ngoại lực tác dụng trên hệ cơ bản (hình 8 .111). Lúc này các lực tác dụng trên hệ cơ bản đều đã biết, ta có thể dễ dàng ttìm được nội lực và biến dạng trong hệ cơ bản, đó chính là nội lực và biếm dạmg trong hệ siêu tĩnh đã cho bởi vì các lực Xi đã thỏa mãn hệ phương trình coy bíin tức là đã thỏa mãn điều kiện làm việc như nhau giữa hệ cơ bản với hệ đâi cho. Chú ý: 1) Khi chọn hệ cơ bản cho hệ siêu tĩnh chịu cát chiujyển vị cưỡng bức z tại các gối tựa ta cần chú ý: ♦ Đối với liên kết thừa không có chuyển vị cưỡing Ibức: có thể loại bỏ và thay thế bằng các lực Xk- ♦ Đối với liên kết thừa có aj c) chuyển vị cưỡng bức ta quy định: chỉ được phép cắt và [ Xí thay thế bằng cặp lực Xịc ' ////7// ngược chiều nhau mà không /T^ĨTĨT /77^7 /77T77T được phép loại bỏ. Hĩìnk 8.12 211
Thật vậy, giả sử xét hệ trên hình 8.12a, nếu chọn hệ cơ bản bằng cách loại bỏ liên kết a có chuyển vị cưỡng bức (hình 8 . 1 2 b) thì điều kiện biến dạng theo phương của ẩn số Xl sẽ khác không và có giá trị bằng chuyển vị cưỡng bức tưomg ứng ^ X ị i X i X i ... x „ . z r - ^ ^ 0 . Nếu chọn hệ cơ bản bằng cách cắt liên kết có chuyển vị thì điều kiện biến dạng vẫn bằng không (hình 8 . 1 2 c) bởi vì lúc này chuyển vị tưcmg ứng với cặp ẩn số Xị là chuyển vị tương đối, tuy gối a có chuyển vị cưỡng bức nhưng chuyển vị tưotig đối giữa hai điểm cắt m y ầ n vẫn bằng không ^ X ,(X ,.X 2....X „ .Z )= 0 - Do đó, để thống nhất điều kiện biến dạng luôn luôn bằng không trong tất cả mọi trường hợp, ta quy định chỉ được phép cắt các liên kết tựa có chuyển vị cưỡng bức. 2) Khi chọn hệ cơ bản cho hệ dàn siêu tĩnh, hệ siêu tĩnh có các thanh hai đầu khớp với độ cứng hữu hạn {EA ^ oo) và tải trọng không tác dụng trên thanh, để thống nhất điều kiện biến dạng luôn luôn bằng không trong mọi trường hợp, ta quy định chỉ được phép cắt các thanh hai đầu khớp và thay thế bằng các cặp lực ỈQc ngược chiều nhau mà không được phép loại bỏ. Thật vậy., với hệ trên hình 8.13a: nếu chọn hệ cơ bản bằng cách loại bỏ thanh căng aB (hình 8.13b) thì phương trình cơ bản biểu thị chuyển vị tưofng đối giữa Avầ. B theo phưcmg AB, chuyển vị này khác không VI trong thanh AB có biến dạng dọc trục; nếu chọn hệ cơ bản bằng cách cắt thanh AB (hình 8.12c) thì chuyển vị tương đối giữa hai điểm m vầ n bằng không và phưong trình cơ bản luôn bằng không. 8.2.2. Hệ phương trình chính tác Trong giáo trình này ta chỉ nghiên cứu những hệ thỏa m ãn điều kiện áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, vói những hệ này ta có thể biểu thị phưomg trình cơ bản thứ k của hệ ( 8 .2 ) dưới dạng: Z )^ ^ X ị,X y + ^X i,X 2 + - + ^X/,Xk + -+ ^ X i,X „ + + ^X /,p + ^X ị,i + ^ X /,z ^ 0 . 212
Để cho gọn, ta bỏ bớt các chỉ số X ^ k \ + ^ k 2 +--- + ^kk +••• + + ^ kt + ^ k z - 0 - trong đó: Akm - chuyển vị tương ứng với vị trí và pihưctng của lực Xfc do lực Xm gây ra trong hệ cơ bản; Akp. Akt, Akz - chuyển vị tương ứng với vị trí và phưcmg của lực Xjc do riêng tải trọng, sự thay đổi nhiệt đồ, c;huyển vị gối tựa gây ra trong hệ cơ bản. Nếu gọi ổicm là chuyển vi tương ứng với vi trí v à phương của lực Xk do riêng lực Xị„= 1 gây ra trong hệ cơ bản, ta có: ^km — Skm Do đó phưcmg trình cơ bản thứ k có dạng: ỏkj Xị + ỏk2 X 2 + . . . + ỏkk ^ +■••+ 4/1 X,I + Akp Akt + Á k z = 0. Với hệ có bậc siêu tĩnh bằng n sau khi lần lượt ch o /: = 7, 2,..., n ta sẽ có hê n phương trình cơ bản của phương pháp lực như sau: ỏliXi + Ỏ12X2 + ...+ ỏikXk +■■•+ ỏhX i + ^IP + đ i t + ÁIZ = 0; S21X1 + Ỏ22X2 + ...+ ồ2kXk + ...+ Ở2, x + Á2 P + ^ 2 , + Zl2Z = 0; (8 .3 ) ỏ klX ì + S1C2X2 + ...+ ỏkkXk +■■•+ ỗ k n \ + Akp ++ ẢkZ = 0 ; ỏnlXl + ổn2ỈỈ2 +■••+ỏnịXk +•••+ SntiKt + ànP ++A,iZ =0. Hệ phương trình (8.3) gọi là hệ phương trình ch ính tắc của phương pháp lực. Các hệ số ôkm (với k m) của phương trình chiính tắc gọi là hệ sô'phụ. Các hệ số ổkk gọi là hệ s ố chính. Các số hạng Akf^\ Akt, ài(Z gọi là sô' hạng tự do. Ý nghĩa vật lý của các hệ số và sô' hạng tự do của hệ phương trình (8.3) là các chuyển vị, do đó để xác định chúng, ta cần vận dụng công thức chuyển v ị đã b iết trong chưomg 7. I. C ách tín h các hệ sô'phụ và hệ sô'chính Áp dụng công thức chuyển vị (7.23), sau khi tha'/ Akm = Skm x,n , ta được: 213
ị N ,N d s + y !U d ii^ d s + ỵ L.QkQ,nd s. EI ^ ì ea GA Chia cả hai vế cho Xm ta có: (8.4) Tương tự: , 'vr ĩy QkQk (8.5) *‘ = S J - ^ * + S EA s í GA trong đó; Mị^, N ị^, Qi^ - các biểu thức giải tích của mômen uốn, lực dọc, lực cắt do riêng lực Xt(=ỉ gây ra trong hệ cơ bản; M ,„ , , Q ^ - cũng là những đại lượng trên nhưng do riêng lực Xin=I gây ra trong hệ cơ bản; Đối với những trường hợp có thể áp dụng cách "nhân biểu đồ" theo Vêrêxaghin, ta có: 4 m = ( M , ) ( M , J + ( N , ) ( N , J + i Qi,) ( ổ,„ ); (8.6) Skk = (M^)(MJ + (/V^)(ỹVJ + (ãt)( ãt ). trong đó: ( M ị^), (Nị^), (Qf. ) - các biểu đồ nội lực do riêng lực Ai: = i gây ra trong hệ cơ bản; iN i„),{Q ,„) - các biểu đồ nội lực do riêng lực x,n = 1 gây ra trong hệ cơ bản. Từ các công thức trên ta thấy luôn luôn có: ôkk > 0; Skm = 0 , (8.7) vì trong công thức xác định ỏick (8.5), các hàm số dưới dấu tích phân đều là bình phương của ribi lực nên luôn luôn dương còn trong công thức xác định ồkin (8.4) thì các hàm số đó có dấu bất kỳ. Ngoài ra theo định lý tương hỗ của các chuyển vị đơn vị, ta có: = ô,nk ■ ( 8 .8 ) 214
2. Cách tính cấc sô hạng tự do T a lần lượt xác định các số hạng tự do tương ứng với các nguyên nhân: a ) Tải trọng AịcP là chuyển vị tưoỉng ứng với vị trí và phương của lực Xk do riêng các tải trọng gây ra trong hệ cơ bản. Do đó khi áp dụng công thức chuyển vị (7.23) cho trưòng hợp này ta chỉ cần thay chỉ số m bằng chỉ số p . Ngoài ra để nhấn m ạnh rằng chuyển vị Akp là do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản, ta thêm chỉ số o vào các biểu thức nội lực và phản lực. (8.9) trong đó: Aệ, Np, ^ - biểu thức giải tích của môm en uốn, lực dọc, lực cắt do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản. Trong trưòng hợp có thể áp dụng cách "nhân biểu đồ" ta có; ^ ( 8 . 10) trong đó: ( M p ), ), ( Qp ) - các biểu đồ nội lực do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản. Chú ý: Trong những cấu kiện chịu uốn của hệ, ta thường có thể bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt so với ảnh hưởng của mômen uốn khi xác định các hệ số và số hạng tự do của hệ phương trình chính tắc. b) Thay đổi nhiệt độ Aici là chuyển vị tưcfng ứng với vỊ trí và phương của lực Xk, do sự thay đổi nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bản. Nếu hệ cơ bản là tĩnh định, sự thay đổi nhiệt độ không gây ra phản lực và nội lực trong hệ tĩnh định nên ta xác định Akt theo (7.27) hoặc (7.28). Theo (7.28): (8 .11) trong đó Í 2 ( ) và Í 2 (Nị^) - diện tích biểu đồ mômen uốn và biểu đồ lực dọc do riêng Xực X k = 1 gây ra trong hệ cơ bản. Các ký hiệu còn lại cũng có ý nghĩa như đã chỉ dẫn khi thiết lập công thức (7.28). 215
c) Chuyển vị gối tựa Akz là chuyển vị tưcfng ứng với vị trí và phương của lực Xk do chuyển vị cưỡng bức z tại các liên kết tựa gây ra trong hệ cơ bản. Trong trưòfng hợp hệ cơ bản là tĩnh định, nguyên nhân này không gây ra phản lực và nội lực trong hệ tĩnh định nên theo (7.26), ta có; ' (8 .12) trong đó: Zj - chuyển vị cưỡng bức cho biết tại liên kết thứ j của hệ siêu tĩnh; Rjj^ - phản lực tại liên kết i do lực Xk=l gây ra trong hệ cơ bản. Dấu tổng được thực hiện theo số liên kết có chuyển vị cưỡng bức. 8.2.3. Cách tìm nội lực trong hệ siêu tĩnh Khi tính hệ siêu tĩnh ta phải xác định được nội lực tại bất kỳ vị trí nào của hệ. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu cách xác định các đại lượng đó sau khi đã biết giá trị của các ẩn Xi, X2,...,X,1- 1. Cách tính trực tiếp Sau khi giải hệ phương trình chính tắc để tìm các ẩn )Qc, ta xem các lực này như ngoại lực tác dụng trên hệ cơ bản với giá trị vừa tìm được. Lúc này, có thể thay việc tính nội lực trên hệ siêu tĩnh bằng cách tính nội lực trên hệ cơ bản chịu các nguyên nhân bên ngoài và các lực Vì hệ cơ bản thường là tĩnh định nên có thể sử dụng các phương pháp đã biết để xác định các đại lượng cần tìm. 2. Cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng Giả sử cần tính đại lượng s tại m ột vị trí bất kỳ của hệ. Đ ại lượng s có thể là phản lực tại một gối tựa nào đó hay mômen uốn, lực dọc, lực cắt. Theo cách tính trực tiếp nói trên, ta thay viêc tính đại lượng s trong hệ siêu tĩnh bằng cách tính đại lượng s trong hệ cơ bản nhưng do các tải trọng và các lực Xk cùng đồng thời tác dụng gây ra. Nếu hệ cơ bản là tĩnh định thì các nguyên nhân do thay đổi nhiệt độ và chuyển vị cưỡng bức gối tựa không gây ra nội lực trong hệ cơ bản. Do đó, áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta có thể viết; 216
^ {X ị,X 2 ,..;X „,P j,Z )=S x, '^ ^ P ’ trong đó: S x j , Sỵ^ ,---,Sx^^, Sp là giá trị của đại hượíng 5 lấn lượt do riêng từng nguyên nhân Xj, X2,..., X,1. p gây ra tronig hiệ cơ bản. Nếu gọi 5jị. là giá trị của đại lượng s do rièmg \ực Xk = 1 gây ra trong hệ cơ bản ta có: S í , = « . (8 .1 3 ) Thay (8.13) vào biểu thức trên ta được biểu tlhức tổng quát để xác định nội lực trong hệ siêu tĩnh: 5 = 5 /X ; + 5 2 X 2 + ... + S„X „+S^;. (8.14) Trong trường hợp cần tìm các biểu đồ nội lực:, (cũing lý luận tương tự, ta có biểu thức tổng quát sau: (S)= (Sj ) X j + ( S 2 )X 2 +... + (S„)X„ + ( S ị ) ' f8.15) (Sị^) - biểu đổ đại lưọng s do riêng lực Ẫí = i g ầy ra trong hệ cơ bản; ( S ị ) - biểu đồ đại lượng s do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản. Các biểu thức (8.14) và (8.15) áp dụng chung (cho m ọi trường hợp, giả sử muốn tìm m ôm en uốn M, ta cần thay thê ký hiiệu s bằng ký hiệu tương ứng M. Dùng các biểu thức này có lọfi khi đã có sẩn cá(c !tmng thái đơn vị tức là đã biết các giá trị Sf. . Đối với dầm và khung siêu tĩinh, vẽ biểu đồ m ôm en uốn theo cách này rất tiện lợi vi đã cố sẫn cấc biểu điổ m ồm en uốn đơn vị trong quá trình xác đ ịn h cá c h ệ số. 3. Cách v ẽ biểu đồ lực cắt và ỉực dọc theo biểiu đ ồ mômen uốn Trong trường hợp dẩm và khung gồm những thiainh thẳng, người ta thường bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc so với ảin.h hưởng của m ôm en uốn khi xác định chuyển vị, do đó trong các khâu tínih toán trung gian ta không cần vẽ các biểu đồ đơn vị j và (Nị^). Bởi vây,, nếu vẽ biểu đồ ( 0 và theo cách trên sẽ bất lợi vì không có sẵn các biẻu đồ (Qi^)yầ. (Nj ^) . Trong những trường hợp này, nên vẽ biểu đồ (M) trước tiiêin theo biểu thức (8.15), sau đó căn cứ vào biểu đồ (M) dể suy ra biểu âồ (tQ) và (N). 217
Cách vẽ biểu đồ (Q) và (N) theo biểu đồ . II ‘“ '"ỷ. u l ị. (M) dựa ừên cơ sở khảo sát sự cân bằng của i ~T T tT T ^ . từng đoạn thanh được tách riêng ra đồng thòd chú ý tới liên hệ vi phân đã biết: clN = dz dz l Khi thực hiện, cần tách từng đoạn Q Q H ình 8.14 thanh trong đó tải trọng liên tục. Đ ể tiện lợi cho việc áp dụng ta lập công thức xác định lực cắt, lực dọc ở hai đầu của m ột đoạn thanh thẳng chịu tải trọng phân b ố liên tục với quy luật bất kỳ như trên hình 8.14: • lực phân bố pháp tuyến với cường độ
co,„ - hợp lực của m ôm en phân bố hay diện tích biểu đồ m ôm en phân bố m trên thanh ab. Từ các điều kiện cân bằng hình chiếu lên phương ngang, ta có hệ thức: /v'" = N ‘ + co ịq,}. (8.17) Sau khi xác định được các lực ở hai đầu thanh ta dễ dàng vẽ được biểu đồ nội lực trong thanh theo quy cách đã trình bày trong chương 2. Trưòfng hợp đặc biệt: ♦ Khi thanh chịu các tải trọng phân bô' đều, iqn = const; qt = const; m = const): giá trị của lực cắt và lực dọc được xác định như sau: MP - M ' với: tg/ỉ = (8.18) Q‘ l N'’ = N '+ q r l. Ta thấy p chính là góc nghiêng so với đường chuẩn của đường nối hai tung độ môm en uốn ở hai đầu đoan thanh. Dấu của tgP được xác đinh như sau: đặt bút dọc theo đường chuẩn của biểu đồ rnôm en uốn, quay bút trong m iền có biểu đồ mômen tới đường nối hai tung độ ở hai đầu đoạn thanh, nếu chiều quay thuận chiều kim đồng hổ thì tiịP dưcmg và ngược lại. ♦ Khi thanh không chịu tải trọng phân bô iqr-, = 0; qt = 0; m= 0): giá trị của lực cắt và lực dọc được xác định như Siiu; (8.19) Các hệ thức về lực dọc nêu trên thường chưa đủ để vẽ biểu đồ lực dọc. Trong thực hành, cần vẽ biểu đồ lực dọc theo biểu đồ lực cắt đã biết trên cơ sở khảo sát cân bằng của các nút hoặc của từng phần hệ được tách ra khỏi hệ thanh. 8.3. ÁP DỤNG 8.3.1. K hung siêu tĩnh chịu tải trọng bất động Vỉ dụ 8.3. [6] Vẽ biểu đồ nội lực trong khung cho trên hình 8.15a. 219
Quá trình tính toán được thực hiện theo thứ tự như sau: 1) Xác định bậc siêu tĩnh. Hệ đã cho có bậc siêu tĩnh bằng 2. 2) Chọn hệ cơ bản. C ó nhiều cách chọn hệ cơ bản, ở đây ta chọn aj b) hê cơ bản như trên hình 8 .15b. 3} Thiết lập hệ phương trình Ct3 chính tắc. El = const Xí Hệ có « = 2 nên ta có hai phưcíng trình chính tắc: H ình 8.15 ổ ỉ i X ị + Ổị 2 X 2 + A 1 P = 0 ; Ổ X+Ỏ X 2 + A 2P - 0. 21 1 22 Để xác định các hệ số và số hạng tự do của hệ phương trình chính tắc ta sử dụng các công thức (8.6) và (8.10) với chú ý là bỏ qua ảnh hưcmg của lực dọc và lực cắt khi tính các chuyển vị. Ta có: ổ k rn = (. M ị , ) ( ) ; õkk = { M ị, ) { M ị, ) ; A kP = ( ) ( M ị ). Như vậy, cần vẽ các biểu đồ m ôm en uốn lần lượt á o X i - ỉ ; X2 = 1 và tải trọng gây ra trong hệ cơ bản (hình 8. lóa, b, c). Ta có: 2a EI 2 3 JẼ Ĩ ỏ22=(M2)(M2)=E1I 2 2a 2 a 3EI a' ỏ1 2 ^ Ổ 2 1 = ( M j )(M2) = a = Eỉ 2 2EI 9 9 9 1 qa 2 a 2 qa a qa A ip = ( M j) ( M ị) = - - — a — — - — a - + - — a .a Eỉ 2 2 3 3 8 2 2 qa Thay các kết quả vào hệ phương trình chính tắc, ta được: a 5 q a ‘* qa X2 + -0; X2 =0 3EI 2EI 8E I 2EI 3EI 4E1 220
aj d) qa. T O íĩĩĩ m ị V. A - ,a 0 7 Hay ± X i ^ L x 2 * í-q a = 0 ; - - X y + - X2 - - q a = 0 . J z 0 2 3 4 4) Giải hệ phương trình chính tắc đ ể xác tlỊnh các ấ'n Xj, X2. Kết quả: X] = - ỳ q a ; At = — qư. 28 5) V ẽ biểu đồ m ôm en uốn. Trong ví dụ này la vẽ biẻu đồ m ômen uốn theo nguyên lý cộng tác dụng. Từ biểu thức (8.14) ta cỏ: ( M ) ^ ( M j ) X j + ( M 2) X , - H M ị ) . Như vậy, để vẽ biểu đồ mômen uốn trong hộ siêu tĩmh ta cần: • Nhân các tung độ của biểu đồ ( Mị ) với giá trị Xi = -3 q a 17 sẽ được biểu đồ ( Mi ) ngược chiều thớ căng với biểu đồ ( Mi ) (hình 8.16d). • Nhân các tung độ của biểu đồ ( M i ) với giá trị X2 = 3qa!28 sẽ được biểu đồ (M 2) (hình 8 .lóe). • Cộng ba biểu đồ: biểu đồ (Mị), biểu đồ (M 2) và biểu đồ ( M ị ) ta sẽ được biểu đồ m ôm en uốn cuối cùng cần tìm (Mp) (hình 8.16f). 221
6) V ẽ biểu đ ồ lực cắ t theo biểu đ ồ m ô m en uốn • Trên thanh ngang: biểu đồ lực cắt có dạng đường thẳng song song với đường chuẩn và có giá trị xác định theo (8.19): 3 = + — qa . 28 14 28 • Trên thanh đứng; biểu đồ lực cắt có dạng bậc nhất, ta chỉ cần xác định giá trị của lực cắt tại các đầu thanh QcB và Q bc rồi nối lại với nhau bằng đưòng thẳng. T heo công thức (8.18) ta có: QcB = ữ ^ t g p c B + ^ = +^ = 2 14 a 2 7 Biểu đồ lực cắt vẽ trên hình 8.16g. 7) V ẽ biểu đ ồ lực dọc theo biểu đ ồ lực cắt bằng cách tách nút Trong trường hợp này qt = 0 nên lực dọc không thay đổi trong từng thanh, do đó chỉ cần xác định m ột giá trị lực dọc tại m ột tiết diện nào đó trong m ỗi thanh là đủ để vẽ biểu đồ. Tách nút B (hình 8.16h), sau khi đặt tại những tiết diện bị cắt các lực cắt có giá trị và chiều đã biết theo biểu đồ Q đồng thời đặt các lực dọc N ab và N bc chưa biết (giả thiết là dương), ta viết phưomg trình cân bằng hình chiếu: 4 4 Đ ỉ = Nab + ^ q a = 0 , suy ra Nab = ; ỵ ỵ - - N b c — — qa = 0 , suy ra N b c = —— qa. 28 28 Biểu đồ lực dọc vẽ trên hình 8 .ló i V í d ụ 8.4. [6] V ẽ biểu đồ (M), (N), (Q) cho khung trên hình 8.17a. Cho biết thanh A B có độ cứng khi kéo hoặc nén là EA = E I H O f . Ảnh hưcmg của lực dọc cần được xét đến trong thanh A B khi tính chuyển vị. Hệ đã cho có bậc siêu tĩnh bằng m ột. C họn hệ cơ bản bằng cách cắt thanh c ó hai đầu khớp như trên hình 8.17b . Phương trình chính tắc: 222
Si I Xj + Ajp = 0 . Để xác định ỎJỊ và Ajp ta cẩn vẽ biểu đồ ( Mj ) và (M ị ) (hình 8.17c, d). Ngoài ra, vì chỉ yêu cầu xét đến ảnh hưởng của lực dọc trong thanh AB, nên ta chỉ cần xác định lực dọc trong thanh A B áo X i= l gây ra và do PI ^•^rnTÍĨÍĨ tải trọng gây ra trên hệ cơ bản, kết quả ghi trên hình 8 .17c, d. Trong trường hợp này, hệ số Sii . e và số hạng tự do A ip được xác định như sau: 1 1.121 /■ + EI 2 3 2 E Ỉ EA 6EĨ A ỉ P ỉ\ ỉ Pl" 2 o T n ii 2 ,_7P l Aip = ( M j ) ( M p ) - —-------— / + —-----— —/ = 2EỈ 2 E1 2 3 Ỉ2EI Thay các trị số này vào phương trình chính tắc và giải ra ta được: 7P Xị = 124 Cũng thực hiện các bước tiếp theo tưong tự như trong ví dụ trên, ta dễ dàng vẽ được biểu đồ mômen uốn, lực cắt và lực dọc như trêrì hình (8.18a, b, c). b) 7P 127P \ @ Hình 8.18 8.3.2. Hệ siêu tĩnh chịu sự thay đổi nhiệt độ Ví dụ 8.5. [6] Vẽ biểu đồ m ôm en uốn trong khung chịu biến thiên nhiệt độ hình 8.19a). Các tiết diện có hình chữ nhật, chiều cao h và độ cứng E ỉ không đổi, V ật liệu của khung có hệ số dãn nở vì nhiệt là a. 223
Hệ có bậc siêu tĩnh bằng a) b) một. Hệ cơ bản chọn như trên +2í +2t hình 8.1% . +2t +2í +t +2f +2f +t Phưcmg trình chính tắc: ổj j Xj + ầ i t - 0 . Để xác định các hệ số và số cj hạng tự do ta cần vẽ các biểu đồ / Ịill ( M ị ) , ( N j ) và áp dụng các l e công thức (8.6), (8.11). Kết quả vẽ các biểu đồ như trên hình 8.19C, d. Hình 8.19 Ta có: 1 (u_2l 21] 5Ư ổu=(Mj)(Mj) = Eì 2 3 3) 3EI' Khi tính A]t, để tránh sai lầm về dấu, nên quy định chiều nhìn của người quan sát nhằm phân định rõ phía trên và phía dưới để xác định dấu của các đại lượng Í 2 , tị và m ômen uốn. Trong trường hợp này, nếu quy định người quan sát đứng ở bên trong khung, đầu hướng ra ngoài khung thì ?2 = + 2/; Iị= t còn diện tích các biểu đồ m ôm en uốn m ang dấu dưofng. a 2t + t r (3 21 = -(2í-/í- +a - ỉ.l] = - a tl 2 h Thay các kết quả vào phưcmg trình chính tắc, ta được: 3EIca 3 21 Xi = H----- 51 v2 h Vẽ biểu đồ m ômen uốn theo biểu thức: (MO=(Mj)Xi- Biểu đồ m ôm en uốn cần tìm vẽ trên hình 8.20. Đ ể vẽ biểu đồ lực cắt và lực dọc ta cũng tiến hành theo cách đã H ình 8.20 trình bày trong ví dụ 8.3. 224