Lý thuyết và bài tập về E- líp

Chia sẻ: Ngoclan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

82
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Elíp có hai trục đối xứng (AB, CD trên hình vẽ) vuông góc và cắt nhau tại tâm đối xứng, cắt đường elip tại các trục lớn AB và nhỏ CD. Nửa chiều dài của các trục này được gọi lần lượt là bán trục lớn (a) và bán trục nhỏ (b). Khoảng cách từ tâm e-líp đến mỗi tiêu điểm được gọi là bán tiêu cự (c).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập về E- líp

GV: Nguy n T t Thu ( 0918927276) http://www.toanthpt.net E LÍP 1)ð nh nghĩa : T p h p các ñi m M c a m t ph ng sao cho MF1 + MF2 = 2a (2a không ñ i và a > c > 0 ) là m t ñư ng elíp. * F1,F2: c ñ nh là hai tiêu ñi m và F1F2=2c là tiêu c c a elíp. * MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu. x2 y 2 2) Phương trình chính t c c a elíp: 2 + 2 = 1 v i b 2 = a 2 − c 2 . a b 2 2 x y V y ñi m M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇔ 0 + 0 = 1 và | x0 |≤ a ; | y0 |≤ b . 2 a b2 3) Tính ch t và hình d ng c a elíp: *Tr c ñ i x ng Ox (ch a tr c l n); Oy (ch a tr c bé).Tâm ñ i x ng O. *ð nh: A1 (−a;0), A2 ( a;0 ) , B1 (0; −b) và B2 ( 0; b ) . ð dài tr c l n: 2a và ñ dài tr c bé :2b. *Tiêu ñi m: F1(−c; 0), F2( c; 0). *N i ti p trong hình ch nh t cơ s PQRS có kích thư c 2a và 2b v i b 2 = a 2 − c 2 . y x O c a2 − b2 * Tâm sai: e = =
GV: Nguy n T t Thu ( 0918927276) http://www.toanthpt.net CÁC VÍ D x2 y 2 Ví d 1: Cho (E): + = 1. 9 4 1) Xác ñ nh tiêu ñi m,tiêu c ,ñ dài tr c l n,tr c bé c a (E). 3 2) Vi t phương trình ti p tuy n c a (E) t i M ( ; 3) 2 3) Vi t phương trình ti p tuy n c a (E) vuông góc v i ñư ng th ng 2 x − 3 y + 1 = 0 . 4) Vi t phương trình ti p tuy n c a (E) ñi qua M (3;3) . Gi i: a 2 = 9 1)  2 b = 4 { ⇒ a = 3 , c2 = a 2 − b2 = 5 ⇒ c = 5 b=2 T ñó suy ra: Tr c l n : A1 A2 = 2a = 6 ;Tr c bé: B1B2 = 2b = 4 ; ( ) ( Tiêu ñi m : F1 − 5;0 , F2 ) 5;0 ; Tiêu c : F1 F2 = 2c = 2 5 3 x 3y 2) Ti p tuy n c a (E) t i M ( ; 3) : + = 1 ⇔ 2 x + 3 3 y − 12 = 0 2 6 4 3) Vì ti p tuy n vuông góc v i ñư ng th ng 2 x − 3 y + 1 = 0 nên phương trình có d ng 3x + 2 y + C = 0 . ði u ki n ti p xúc A2 a 2 + B 2b2 = C 2 ⇔ 81 + 16 = C 2 ⇔ C = ± 97 V y ti p tuy n c n tìm có phương trình: 3 x + 2 y ± 97 = 0 . 4) Cách 1: Phương trình ti p tuy n có d ng: A( x − 3) + B ( y − 3) = 0 ⇔ Ax + By − 3 A − 3B = 0 B = 0 ði u ki n ti p xúc: 9 A + 4 B = (3 A + 3B) ⇔ 5 B + 18 AB = 0 ⇔  2 2 2 2 18 . B = − A  5 * B = 0 ⇒ pttt : x − 3 = 0 18 * B = − A , ch n A = 5 ⇒ B = −18 ⇒ pttt : 5 x − 18 y + 39 = 0 . 5 xx yy Cách 2: G i ( x0 ; y0 ) là t a ñ ti p ñi m ⇒ pttt : 0 + 0 = 1 9 4 x 3y 3 Ti p tuy n ñi qua M (3;3) nên 0 + 0 = 1 ⇒ x0 = (4 − 3 y0 ) 3 4 4 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 2
GV: Nguy n T t Thu ( 0918927276) http://www.toanthpt.net 2 2  y0 = 0 ⇒ x0 = 3 x0 y0 M t khác: + = 1 ⇒ (4 − 3 y0 ) + 4 y0 = 16 ⇔  2 2 . 9 4  y0 = 24 ⇒ x0 = − 15  13 13 Thay vào ta cũng ñư c hai phương trình như trên. Nh n xét:* Cách gi i 2 bài 4 giúp chúng ta xác ñ nh ñư c t a ñ ti p ñi m. x2 y2 *(E): 2 + 2 = 1 có hai ti p tuy n th ng ñ ng x = ± a , nh ng ti p tuy n còn l i luôn có h a b s góc. 1 Ví d 2: Bi t Elips (E) có tâm sai e = và tiêu c b ng 8. 2 1) L p phương trình (E). 2) Tìm ñi m M ∈ ( E ) sao cho MF1 = 2 MF2 3) Cho N là m t ñi m b t kì thu c (E). Ch ng minh r ng ON 2 + NF1.NF2 không ph thu c vào N. 4) Tìm trên (E) hai ñi m A,B sao cho A và B ñ i x ng nhau qua Ox, ñ ng th i ∆ABC v i C (2;0) là tam giác ñ u. Gi i: {  1   c 1 x2 y 2 1) Ta có: e = 2 ⇒  a = 2 ⇒ a = 2c = 8 ⇒ b 2 = a 2 − c 2 = 48 ⇒ ( E ) : + = 1. c=4 2c = 8 c = 4   64 48 1 1 2) G i M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇒ MF1 = 8 + x0 ; MF2 = 8 − x0 2 2 1 16 4 15 ⇒ MF1 = 2 MF2 ⇔ 8 + x0 = 16 − x0 ⇔ x0 = ⇒ y0 = ± 2 3 3 16 4 15 V y M ( ;± ). 3 3 3) Gi s : N ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇒ 3 x0 + 4 y0 = 192 2 2 1 2 ⇒ ON 2 = x0 + y0 ; NF1.NF2 = a 2 − e2 x0 = 64 − x0 2 2 2 4 3 2 1 ⇒ ON 2 + NF1 NF2 = x0 + y0 + 64 = (3 x0 + 4 y0 ) + 64 = 112 không ph thu c vào N. 2 2 2 4 4 4) Vì A, B ñ i x ng nhau qua Ox nên A( x0 ; y0 ), B( x0 ; − y0 ) v i 3 x0 + 4 y0 = 192 (1) và ta có 2 2 th gi s y0 > 0 . Vì ∆ABC cân t i C nên ∆ABC ñ u ⇔ AB = BC ⇔ 3 y0 = ( x0 − 2) 2 thay vào (1) ta ñư c 2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 3
GV: Nguy n T t Thu ( 0918927276) http://www.toanthpt.net 4 8 ± 12 51 3 x0 + ( x0 − 2)2 = 192 ⇔ 13 x0 − 16 x0 − 560 = 0 ⇔ x0 = 2 2 3 13 8 + 12 51 12 51 − 5 *V i x0 = ⇒ y0 = . 13 13 3 8 − 12 51 12 51 + 5 * V i x0 = ⇒ y0 = . 13 13 3 V y có hai c p ñi m th a mãn yêu c u bài toán. x2 y2 Ví d 3.Cho (E): + = 1.Tìm M thu c (E) nhìn hai tiêu ñi m dư i m t góc 1200 100 25 ( ) ( ) Gi i: Ta có : F1 −5 3;0 , F2 5 3;0 và e = 2 3 F1 F2 2 = MF12 + MF22 − 2 MF1MF2 cos1200 ⇔ 4c 2 = ( MF1 + MF2 ) − MF1MF2 2 ⇔ 4c 2 = 3a 2 + e2 x 2 M ⇔ xM = 0 ⇔ yM = ±5 ⇒ M ( 0; ±5 ) Bài t p 1/ Tìm tiêu ñi m,tiêu c ,ñ dài các tr c,tâm sai và to ñ các ñ nh c a các elip sau a) 4 x 2 + 9 y 2 = 36 b) x 2 + 9 y 2 = 36 2/ Vi t pt chính t c c a (E) bi t :  3   3 a) (E) ñi qua M (1;0 ) , N  ;1 2  ( ) b) F1 − 3,0 và M 1;  ∈ (E) 2    3/Cho (E): 9 x + 25 y = 225 . Tìm M ∈ ( E ) bi t 2 2 a) MF1 = 2MF2 b) MF2 = 2MF1 x2 y2 4/ Cho (E): + = 1 ( a > b > 0 ) và M ∈ ( E ) . Ch ng minh r ng : a2 b2 a) MF1.MF2 + OM 2 = a 2 + b 2 ( b) ( MF1 − MF2 ) = 4 OM 2 − b2 2 ) x2 y2 5/ Cho (E): + = 1 ( a > b > 0) a2 b2 a) Ch ng minh r ng b ≤ OM ≤ a ∀M ∈ ( E ) b) A;B là hai ñi m thu c (E) sao cho OA vuông góc v i BO.Ch ng minh AB luôn ti p xúc v i m t ñư ng tròn c ñ nh c) Tìm giá tr l n nh t ,giá tr nh nh t c a di n tích tam giác OAB. Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 4
GV: Nguy n T t Thu ( 0918927276) http://www.toanthpt.net 6/ Ch ng minh r ng tích các kho ng cách t hai tiêu ñi m c a m t Elíp ñ n m t ti p tuy n tuỳ ý c a nó thì luôn b ng bình phương c a bán tr c bé. x2 y 2 x2 y 2 7/ Vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai Elíp: ( E1 ) : + = 1 và ( E2 ) : + =1 16 9 9 16 8/ a) Hãy l p phương trình chính t c c a Elíp (E), bi t nó có hai tiêu ñi m là F1 (− 10;0) F2 ( 10;0) và bán tr c l n a = 18 . b) Xét ñư ng th ng ( d ) ti p xúc v i (E) và c t tr c hoành t i A, c t tr c tung t i B. Hãy xác ñ nh ñư ng th ng ( d ) sao cho tam giác OAB có di n tích l n nh t. 9/ Cho Elíp ( E ) : 4 x 2 + 16 y 2 = 64 a) Hãy xác ñ nh các tiêu ñi m F1 , F2 c a Elíp. b) Gi s M là m t ñi m di ñ ng trên (E). Ch ng minh r ng t s kho ng cách t M ñ n tiêu 8 ñi m ph i F2 và ñ n ñư ng th ng x = là luôn luôn không ñ i. 3 c) Cho ñư ng tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 4 3x − 4 = 0 . Xét m t ñư ng tròn ( C ') thay ñ i nhưng luôn ñi qua F2 và ti p xúc ngoài v i ñư ng tròn ( C ) . Hãy tìm qu tích tâm N c a ñư ng tròn ( C ') . x2 y2 10/ Cho Elíp ( E ) : + = 1 . Xét các ñi m A1 ( −a;0 ) ; A2 ( a;0 ) ; M ( − a; m ) ; N ( a; n ) ; ( m; n a2 b2 thay ñ i ). a) Ch ng minh r ng ñư ng th ng MN ti p xúc v i (E) khi và ch khi mn = b 2 b) Gi s M, N thay ñ i nhưng ñư ng th ng MN luôn ti p xúc v i (E). Tìm qu tích giao ñi m I c a hai ñư ng th ng A1 N và A2 M . c) V i gi thi t như câu b) , hãy xác ñ nh to ñ M,N sao cho tam giác F2 MN có di n tích nh nh t. d) Gi s MN ti p xúc v i (E). Ch ng minh r ng ño n th ng MN ñư c nhìn t hai tiêu ñi m c a (E) dư i m t góc vuông. x2 y 2 11/ Trong m t ph ng t a ñ cho Elip: + = 1 và ñ/th ng d m : mx − y − 1 = 0 9 4 a) Ch ng minh r ng d m luôn c t (E) t i hai ñi m phân bi t v i m i m. b) Vi t phương trình ti p tuy n c a (E) xu t phát t N (1; −3) x2 y 2 x2 y 2 12) Vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai Elíp: ( E ) : + = 1 và ( E ') : + =1 36 9 9 36 x2 y 2 13) Vi t pt tt chung c a ( E ) : + = 1 và ñư ng tròn ( C ) : x 2 + y 2 = 16 25 16 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai 5