Mã hóa bức điện nhỏ bằng hàm HASH phần 2

Chia sẻ: AFASFAF FSAFASF | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giả sử p là số nguyên tố lớn và q =(p-1)/2 cũng là số nguyên tố. Cho α và β là hai phần tử nguyên thuỷ của Zp. Giá trị logαβ không công khai và giả sử rằng không có khả năng tính toán được giá trị của nó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mã hóa bức điện nhỏ bằng hàm HASH phần 2

Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương Gi¶ sö p lµ sè nguyªn tè lín vµ q =(p-1)/2 còng lµ sè nguyªn tè. Cho α vµ β lµ hai phÇn tö nguyªn thuû cña Zp. Gi¸ trÞ logαβ kh«ng c«ng khai vµ gi¶ sö r»ng kh«ng cã kh¶ n¨ng tÝnh to¸n ®−îc gi¸ trÞ cña nã. Hµm Hash: h: {0,...,q-1}×{0,...,q-1} → Zp\ {0} ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: h(x1,x2) =α 1β 2 mod p xx 7.3. hµm hash logarithm rêi r¹c Trong phÇn nµy ta sÏ m« t¶ mét hµm Hash do Chaum-Van Heyst vµ PfÜtmann ®−a ra. Hµm nµy an toµn do kh«ng thÓ tÝnh ®−îc logarithm rêi r¹c. Hµm Hast nµy kh«ng ®ñ nhanh ®Ó dïng trong thùc tÕ song nã ®¬n gi¶n vµ cho mét vÝ dô tèt vÒ mét hµm Hash cã thÓ an toµn d−íi gi¶ thuyÕt tÝnh to¸n hîp lý nµo sè. Hµm Hash Caum-Van Heyst- PfÜtmann ®−îc nªt trong h×nh 7.3. Sau ®©y sÏ chøng minh mét ®Þnh lý liªn quan ®Õn sù an toµn cña hµm Hast nµy. §Þnh lý 7.2. NÕu cho tr−íc mét va ch¹m víi hµm Hash Chaum-Van Heyst-PfÜtmann h cã thÓ tÝnh ®−îc logarithm rêi r¹c logαβ mét c¸ch cã hiÖu qu¶. Chøng minh Gi¶ sö cho tr−íc va ch¹m h(x1,x2) = h(x3,x4) trong ®ã (x1,x2) ≠ (x3,x4). Nh− vËy ta cã ®ång d− thøc sau: αx1βx2 = αx3βx4 hay αx1βx2 ≡ αx3βx4 (mod p) Ta kÝ hiÖu D = UCLN (x4-x2,p-1) Trang 7
Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương V× p-1 =2q ,q lµ sè nguyªn tè nªn d ∈ {1, 2, q, p-1}. V× thÕ, ta cã 4 x¸c suÊt víi d sÏ xem xÐt lÇn l−ît dwois ®©y. Tr−íc hÕt ,gi¶ sö d =1 ,khi ®ã cho y= (x4-x2)-1 mod (p-1) ta cã (x -x )y β ≡ β 4 2 (mod p) (x -x )y ≡ α 1 2 (mod p) V× thÕ, cã thÓ tÝnh loarithm rêi r¹c logαβ nh− sau: logαβ = (x1-x3) (x4-x2)-1mod (p-1) TiÕp theo, gi¶ sö d=2. V× p-1 =2q, lÎ nªn UCLN(x4-x2,q) =1. Gi¶ sö: y=(x4-x2)-1 mod q xÐt thÊy (x4-x2)y = kq+1 víi sè nguyªn k nµo ®ã. V× thÕ ta cã: (x -x )y β 4 2 ≡ βkq+1 (mod p) ≡ (-1)k β (mod p) ≡ ± β (mod p) β ≡-1(mod p) q V× Nªn α(x4-x2)y ≡ β (x1-x3) (mod p) ≡ ± β (mod p) Tõ ®ã suy ra r»ng: logαβ = (x1-x3)y mod (p-1) logαβ = (x1-x3)y mod (p-1) Ta cã thÓ dÔ dµng kiÓm tra thÊy mét trong hai x¸c suÊt trªn lµ ®óng. V× thÕ nh− trong tr−êng hîp d =1, ta tÝnh ®−îc logαβ. X¸c suÊt tiÕp theo lµ d = q. Tuy nhiªn q-1≥ x1≥ 0 q-1≥ x3≥ 0 vµ nªn (q-1) ≥ x4-x2 ≥ -(q-1) do vËy UCLN(x4-x2,p-1) kh«ng thÓ b»ng q, nãi c¸ch kh¸c tr−êng hîp nµy kh«ng x¶y ra. X¸c suÊt cuèi cïng lµ d = p-1. §iÒu nµychØ x¶y ra khi x2 =x4. Song khi ®ã ta cã αx1βx2 ≡ αx3βx4 (mod p) Trang 8
Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương α 1 ≡ α 3 (mod p) x x nªn vµ x1 =x2. Nh− vËy (x1,x2) = (x3,x4) ⇒ m©u thuÉn. Nh− vËy tr−êng hîp nµy còng kh«ng thÓ cã. V× ta ®· xem xÐt tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cã thÓ ®èi víi d nªn cã thÓ kÕt luËn r»ng ,hµm Hash h lµ kh«ng va ch¹m m¹nh miÔn lµ kh«ng thÓ tÝnh ®−îc logarithm rêi r¹c logαβ trong Zp. Ta sÏ minh ho¹ lý thuyÕt nªu trªn b»ng mét vÝ dô. VÝ dô 7.1 Gi¶ sö p =12347 (v× thÕ q = 6173), α = 2, β = 8461. Gi¶ sö ta ®−îc ®−a tr−íc mét va ch¹m α5692 β 144 ≡ α212 β4214 (mod 12347) Nh− vËy x1 = 5692, x2 = 144, x3 = 212, x4 = 4214. XÐt thÊy UCLN (x4 -x2,p-1) =2 nªn ta b¾t ®Çu b»ng viÖc tÝnh y = (x4 - x2)-1 mod q = (4214 - 144)-1 mod 6173 = 4312 TiÕp theo tÝnh y = (x1- x3) mod (p-1) = (5692 - 212) 4312 mod 12346 = 11862 XÐt thÊy ®ã lµ tr−êng hîp mµ logαβ ∈ {y’,y’+q mod (p-1)}. V× αy mod p =212346 = 9998 nªn ta kÕt luËn r»ng: logαβ = y’ + q mod (p-1) = 11862 + 6173 mod 12346 = 5689 nh− phÐp kiÓm tra, ta cã thÓ x¸c minh thÊy r»ng 25689 = 8461 (mod 12347) V× thÕ , ta c¸c ®Þnh ®−îc logαβ. 7.5.c¸c hµm hash më réng Cho ®Õn lóc nµy, ta ®· xÐt c¸c hµm Hash trong vïng h÷u h¹n. B©y giê ta nghiªn xÐu c¸ch cã thÓ më réng mét hµm Hash kh«ng va ch¹m m¹nh tõ vïng h÷u h¹n sang vïng v« h¹n. §iÒu nµy cho phÐp ký c¸c bøc ®iÖn cã ®é dµi tuú ý. GØa sö h: (Z2)m → (Z2)t lµ mét hµm hash kh«ng va ch¹m m¹nh ,trong ®ã m ≥t- 1. Ta sÏ dïng h ®ªu x©y dùng hµm hash kh«ng va ch¹m m¹nh h: X →(Z2)t trong ®ã Trang 9
Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương ∞ U (Z2)t X= i =m Tr−íc tiªn xÐt tr−êng hîp m ≥ t+2. Ta sÏ xem c¸c phÇn tö cña X nh− c¸c x©y bit. |x| chØ ®é dµI cña x (tøc sè c¸c bit trong x) vµ x||y ký hiÖu sù kÕt hîp c¸c x©y x vµ y. Gi¶ sö |x| = n > m. Cã thÓ biÓu thÞ x nh− mét chuçi kÕt hîp. X = x1||x2||...||xk Trong ®ã |x1| =|x2| = ... = |xk-1| = m- t-1 vµ |xk| = m- t- 1- d H×nh 7.4. Më réng hµm hash h thµnh h* (m ≥t+2) 1. For i= 1 to k-1 do y i = xi 2. yk = xk ||0d 3. cho yk+1 lµ biÓu diÔn nhÞ ph©n cña d 4. gi = h(0I+1||y1) 5. for i=1 to k do gi+1 = h(gi||1||yi+1) 6. h*(x) = gk +1 Trong ®ã m- t- 2 ≥ d ≥0. V× thÕ ta cã k= ⎡ n⎤ ⎢ ⎣ m − t − 1⎥ ⎦ Ta ®Þnh nghÜa h*(x) theo thuËt to¸n biÓu kiÔn trong h×nh 7.4. KÝ hiÖu y(x) = y1||y2||...||yk-1 NhËn xÐt r»ng yk ®−îc lËp tõ xk b»ng c¸ch chÌn thªm d sè 0 vµo bªn ph¶I ®Ó tÊt c¶ c¸c khèi yi (k ≥ i ≥ 1)®Òu cã chiÒu dµI m-t-1. Còng nh− trong b−íc 3 yk+1 sÏ ®−îc ®Öm thªm vÒ bªn tr¸I c¸c sè 0 sao cho |yk+1| = m-t-1. §Ó b¨m nhá x ,tr−íc hÕt ta x©y dùng hµm y(x) vµ sau ®ã “chÕ biÕn” c¸c khèi y1...yk+1 theo mét khu«n mÉu cô thÓ. §iÒu quan träng lµ y(x) ≠y(x’) khi Trang 10
Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương x≠x. Thùc tÕ yk+1 ®−îc ®Þnh nghÜa theo c¸ch c¸c phÐp ¸nh x¹ x → y(x)lµ mét ®¬n ¸nh. §Þnh lý sau ®©y chøng minh r»ng h* lµ an toµn khi h an toµn. §Þnh lý 7.3 Gi¶ sö h: (Z2)n→(Z2) lµ hµm hash kh«ng va ch¹m m¹nhm≥ t+2. Khi ®ã ∞ hµm h*: Ui = m (Z2)t→(Z2)t ®−îc x©y dùng nh− trªn h×nh 7.4 lµ hµm hash kh«ng vµ ch¹m m¹nh. Chøng minh: Gi¶ sö r»ng ,ta cã thÓ t×m ®−îc x ≠x’ sao cho h*(x) = h*(x’). NÕu cho tr−íc mét cÆp nh− vËy, ta sÏ chØ ra c¸ch cã thÓ t×m ®−îc mét va ch¹m ®èi víi h trong thêi gian ®a thøc. V× h ®−îc gi¶ thiÕt lµ kh«ng va ch¹m m¹nh nªn dÉn ®Õn mét m©u thuÉn nh− vËy h sÏ ®−îc chøng minh lµ kh«ng va ch¹m m¹nh. KÝ hiÖu y(x)= y1||..||yk+1 Vµ y(x’) = y1’||...||yk+1’ ë ®©y x vµ x’ ®−îc ®Öm thªm d vµ d’ sè 0 t−¬ng øng trong b−íc 2. KÝ hiÖu tiÕp c¸c gi¸ trÞ ®−îc tÝnh trong c¸c b−íc 4 vµ 5 lµ g1,g2....,gk+1 vµ g1’,....,gk+1’ t−¬ng øng. Chóng ta sÏ ®ång nhÊt hai tr−êng hîp tuú thuéc vµo viÖc cã hay kh«ng |x| ≡|x’| (mod m-t-1). Tr−êng hîp1: |x| ≠|x’| (mod m-t-1) T¹i ®©y d ≠d’ vµ yk+1 ≠y’k+1. Ta cã: H(gk||1||yk+1) = gk+1 =h*(x) = h*(x’) =g’l+1 = h(g’l+1||1||y’l+1) lµ mét va ch¹m ®èi víi h v× yk+1 ≠ y’k+1. Tr−êng hîp2: |x| ≡|x’| (mod m-t-1) Trang 11
Vietebooks Nguyễn Hoàng Cương Ta chia tr−êng hîp nµy thµnh hai tr−êng hîp con: Tr−êng hîp 2a: |x| = |x’|. T¹ ®©y ta cã k= l vµ yk+1 = y’k+1. Ta v¾t ®Çu nh− trong tr−êng hîp 1: h(gk||1||yk+1) = gk+1 = h*(x) = h*(x’) = h(g’k||1||y’k+1) NÕu gk = g’k th× ta t×m thÊy mét va ch¹m ®èi víi h, v× thÕ gi¶ sö gk = g’k khi ®ã ta sÏ cã: h(gk-1||1||yk) = gk =g’k =h(0i+1||y1) HoÆc lµ t×m thÊy mét va ch¹m ®èi víi h hoÆc gk-1 =g’k-1 vµ yk = y’k. Gi¶ sö kh«ng t×m thÊy va ch¹m nµo ,ta tiÕp tôc thùc hiÖn ng−îc c¸c b−íc cho ®Õn khi cuèi cïng nhËn ®−îc : h(0i+1||y1) = g1 =g’i-k+1 =g(g’i-k||1||y’i-k+1). Nh−ng bit thø (t+1) cña 0i+1||y1 b»ng 0 vµ bit thø (t+1) cña g’i-k+1||1||y’i-k+1 b»ng 1. V× thÕ ta tÞm thÊy mét va ch¹m ®èi víi h. V× ®· xÐt hÕt c¸c tr−êng hîp cã thÓ nªn ta cã kÕt luËn mong muèn. CÊu tróc cña h×nh 7.4 chØ ®−îc dïng khi m>= t+2. B©y giê ta h·y xem xÐt t×nh huèng trong ®ã m = t+1. CÇn dïng mét cÊu tróc kh¸c cho h. Nh− tr−íc ®©y, gi¶ sö |x|=n>m. Tr−íc hÕt ta m· x theo c¸ch ®Æc biÖt. C¸ch nµy dïng hµm f cã ®Þnh nghÜa nh− sau: f(0) = 0 f(1) = 01 ThuËt to¸n ®Ó x©y dùng h*(x)®−îc miªu t¶ trong h×nh 7.5 PhÐp m· x→y = y(x) ®−îc ®Þnh nghÜa trong v−íc 1 tho¶ m·n hai tÝnh chÊt quan träng sau: Trang 12