Mô hình hóa hệ truyền động bánh răng

Lê Thị Thu Hà<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 118(04): 67 - 77<br /> <br /> MÔ HÌNH HÓA HỆ TRUYỀN ĐỘNG BÁNH RĂNG<br /> Lê Thị Thu Hà*<br /> Trường ĐH Kỹ thuật Công nghiệp – ĐH Thái Nguyên<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Bài toán nghiên cứu động lực học hệ truyền động bánh răng trong các máy tổ hợp là một bài toán<br /> phức tạp, nhưng không thể bỏ qua, vì nó sẽ quyết định chất lượng điều khiển hệ truyền động sau<br /> này. Để có được một chất lượng điều khiển cao, cần có một mô hình toán mô tả động học hệ<br /> truyền động bánh răng đủ chính xác. Mục đích của bài báo này là xây một mô hình toán đủ chính<br /> xác về cấu trúc cho hệ truyền động bánh răng cho bài toán điều khiển. Mô hình toán của bài báo sẽ<br /> chứa đựng trong nó đầy đủ các thành phần quyết định đặc tính động học của hệ, bao gồm tính đàn<br /> hồi của vật liệu, khe hở và ma sát. Kết quả mô phỏng đã khẳng định khả năng ứng dụng tốt của mô<br /> hình vào điều khiển chất lượng cao cho hệ truyền động qua bánh răng.<br /> Từ khóa: Hệ truyền động bánh răng, mô hình toán, khe hở, moment ma sát.<br /> ĐẶT VẤN ĐỀ<br /> <br /> *<br /> <br /> Trong các máy chuyên dụng, máy tổ hợp và<br /> các máy tự động điều khiển theo chương trình<br /> không thể không có sự tham gia của các hệ<br /> truyền động và hệ truyền động qua bánh răng<br /> là một trong số các hệ truyền động được sử<br /> dụng rộng rãi nhất. Hình 1 mô tả cấu trúc vật<br /> lý cơ bản của hệ truyền động qua bánh răng.<br /> <br /> Hình 1. Cấu trúc vật lý hệ truyền động qua<br /> bánh răng<br /> <br /> Chất lượng điều khiển hệ truyền động nói<br /> chung và hệ truyền động qua bánh răng nói<br /> riêng giữ một vai trò quyết định tới năng suất,<br /> chất lượng của sản phẩm, tuổi bền của máy và<br /> đảm bảo môi trường làm việc cho người lao<br /> động. Vì vậy trong quá trình tính toán và thiết<br /> kế máy, người ta luôn phải tập trung nghiên<br /> cứu và áp dụng nhiều biện pháp kỹ thuật, để<br /> sao cho hệ truyền động nói riêng và các cơ<br /> cấu chấp hành nói chung làm việc được ổn<br /> định với dao động cho phép nằm trong giới<br /> hạn cho trước, tiếng ồn nhỏ, độ chính xác của<br /> biến đổi vận tốc, moment... cao [1].<br /> *<br /> <br /> Tel: 0977008928; Email: hahien1977@gmail.com<br /> <br /> Thêm nữa, đối với các máy tổ hợp sau một<br /> thời gian làm việc các yếu tố tác động nhiễu<br /> không mong muốn vào hệ truyền động qua<br /> bánh răng như ma sát, khe hở giữa các bánh<br /> răng, độ không cứng vững của vật liệu, sự<br /> mài mòn của vật liệu theo thời gian..., đã dẫn<br /> tới sự mất ổn định động lực học trong hệ<br /> truyền động. Mất ổn định động lực học là<br /> trạng thái nguy hiểm nhất xẩy ra khi tần số<br /> lực kích động có giá trị bằng hoặc xấp xỉ với<br /> tần số dao động riêng của hệ. Khi một quá<br /> trình gia công bị rơi vào trạng thái mất ổn<br /> định thì biên độ dao động của hệ rất lớn, làm<br /> cho hệ thống rung động mạnh, gây ồn và<br /> giảm độ chính xác cũng như chất lượng của<br /> sản phẩm.<br /> Từ trước đến nay đã có nhiều công trình<br /> nghiên cứu về lý thuyết cũng như thực<br /> nghiệm nhằm giải thích nguyên nhân, bản<br /> chất của hiện tượng mất ổn định động lực<br /> học. Người ta đã đưa ra các giải pháp kỹ thuật<br /> chế tạo, bảo dưỡng cơ khí để tìm cách khống<br /> chế và loại trừ nó. Chẳng hạn như lắp thêm<br /> bánh đà, nâng cao độ chính xác khi chế tạo<br /> các chi tiết, điều chỉnh và lắp ráp theo các quy<br /> trình nghiêm ngặt, chấp hành các chế độ bảo<br /> quản bảo dưỡng và bôi trơn... [1],[4]. Mặc dù<br /> vậy các biện pháp này cũng chỉ giải quyết<br /> được một phần và có tính chất định kỳ.<br /> Trường hợp, do các yếu tố ngẫu nhiên xẫy ra<br /> bất thường tác động thì các biện pháp cơ khí<br /> không thể khắc phục ngay được.<br /> 67<br /> <br /> Lê Thị Thu Hà<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> Do đó, để đáp ứng được yêu cầu đặt ra về ổn<br /> định động lực học cho hệ truyền động trong<br /> suốt thời gian làm việc, nâng cao tuổi thọ<br /> thiết bị thì bên cạnh các giải pháp cơ khí,<br /> người ta thường phải kết hợp sử dụng thêm<br /> các giải pháp điều khiển cho hệ truyền động<br /> [6] mà ở đây được hiểu là hệ thống điều khiển<br /> động cơ tạo moment dẫn động cho hệ truyền<br /> động như mô tả ở hình 2.<br /> <br /> Hình 2. Điều khiển hệ truyền động qua bánh răng<br /> <br /> Đến đây, ta lại gặp vấn đề cơ bản khác liên<br /> quan tới điều khiển là bên cạnh phương pháp<br /> điều khiển hợp lý, thì để có chất lượng điều<br /> khiển càng cao, mô hình toán mô tả hệ thống<br /> càng phải chính xác [2]. Đây cũng là nhiệm<br /> vụ nghiên cứu của bài báo này.<br /> Trong bài báo này, tác giả sẽ trình bày kết quả<br /> nghiên cứu về việc xây dựng mô hình toán<br /> mô tả hệ truyền động qua bánh răng. Mô hình<br /> toán này thu được hoàn toàn dựa trên phân<br /> tích lý thuyết về động lực học hệ bánh răng và<br /> các định luật cân bằng vật lý giữa các thành<br /> phần cơ trong nó. Nói cách khác ở đây chưa<br /> áp dụng thêm các phương pháp thực nghiệm<br /> để xác định những tham số hay các thành<br /> phần bất định của mô hình. Bởi vậy tính<br /> chính xác của mô hình đề xuất trong bài báo<br /> mới chỉ khẳng định được ở phần cấu trúc của<br /> mô hình.<br /> Như vậy, tính chính xác của mô hình toán thu<br /> được cho hệ truyền động qua bánh răng ở đây<br /> mới chỉ được đảm bảo về mặt cấu trúc. Tuy<br /> nhiên mô hình toán này đã mô tả được chính<br /> xác tối đa quan hệ qua lại giữa các thành phần<br /> bất định tác động ngẫu nhiên trong hệ, như<br /> dao động, ma sát, khe hở giữa các bánh răng,<br /> độ không cứng vững của vật liệu, sự mài mòn<br /> của vật liệu....<br /> <br /> 68<br /> <br /> 118(04): 67 - 77<br /> <br /> PHÂN TÍCH ĐỘ NG LỰ C HỌ C HỆ<br /> BÁNH RĂNG<br /> Động lực học có tính tới yếu tố đàn hồi<br /> Ảnh hưởng các yếu tố đàn hồi trong hệ thống<br /> truyền động có liên quan mật thiết tới chuyển<br /> động của cơ cấu chấp hành 0. Ví dụ như ảnh<br /> hưởng do biến dạng đàn hồi của các bộ truyền<br /> dây đai, các trục công tác đặc biệt trục chính của<br /> các máy công cụ, các cặp bánh răng bị biến<br /> dạng đàn hồi trong quá trình ăn khớp, các khâu<br /> thanh truyền trong các cơ cấu truyền động ví dụ<br /> như đối với cơ cấu bốn khâu bản lề...<br /> Để thấy rõ yếu tố đàn hồi có ảnh hưởng tới<br /> chuyển động của máy hãy xét các trường hợp<br /> hai bánh răng được gắn trên một trục, nếu<br /> xem chúng là một khâu rắn tuyệt đối thì rõ<br /> ràng vận tốc góc của bánh răng i sẽ có cùng<br /> giá trị và chiều quay với bánh răng i + 1 ở<br /> hình minh họa 3, nhưng khi trục của nó có độ<br /> cứng ci thì trong quá trình chuyển động, vận<br /> tốc của chúng sẽ không bằng nhau. Điều đó<br /> cũng sẽ xẫy ra tương tự đối với các trường<br /> hợp bộ truyền đai, bộ truyền bánh răng cũng<br /> như đối với cơ cấu 4 khâu bản lề.<br /> Động lực học kể tới các yếu tố khe hở<br /> (backlash)<br /> Trong hệ thống truyền động cơ khí luôn luôn<br /> tồn tại khe hở giữa các thành phần của khớp<br /> động ví dụ như: Khe hở trong các ổ đỡ, bộ<br /> truyền dây đai, bộ truyền xích truyền động<br /> vít- đai ốc, truyền động trục vít-bánh vít và<br /> khe hở của các cặp bánh răng ăn khớp. Các<br /> khe hở nói trên tồn tại là do có sai số trong<br /> quá trình chế tạo, lắp ráp và mòn, ngoài ra các<br /> khe hở có thể được xuất hiện do trong quá<br /> trình làm việc các tiết máy bị biến dạng đàn<br /> hồi. Các khe hở trong máy có ảnh hưởng trực<br /> tiếp tới chuyển động của cơ cấu chấp hành,<br /> gây ồn và giảm nhanh tuổi bền của máy.<br /> Mặt khác khi tồn tại các khe hở trong máy thì<br /> bài toán động lực học trở nên rất phức tạp, do<br /> khe hở mà số bậc tự do của hệ thống truyền<br /> động tăng lên và bài toán trở nên không xác<br /> định. Ví dụ:<br /> Ảnh hưởng của khe hở trong các khớp quay.<br /> Hình 4 biểu diễn một khớp loại thấp, đó là<br /> <br /> Lê Thị Thu Hà<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> sử có hai khâu động i và i + 1 được nối với<br /> nhau bằng một khớp động tịnh tiến trên hình<br /> 5. Do giả thiết có khe hở δy và δx vì thế vị<br /> trí tâm O của con trượt thuộc khâu i + 1 chỉ<br /> được xác định khi biết được hai tọa độ x + 1<br /> và y + 1 . Điều đó chứng tỏ rằng khi một khớp<br /> tịnh tiến có khe hở cũng sẽ làm tăng bậc tự do<br /> của hệ thống truyền động lên 2.<br /> Như vậy nếu có i khớp loại thấp, bao gồm<br /> khớp quay và khớp tịnh tiến hay còn gọi là<br /> khớp loại p5 , có chứa khe hở thì số bậc tự do<br /> của hệ tăng lên w p 5 = 2i .<br /> <br /> khớp quay quay hình trụ, do có khe hở<br /> δ max = D − d , nên để xác định được vị trí tọa<br /> độ trọng tâm của trục, khi đã biết tọa độ<br /> trọng tâm của ổ thì cần phải xác định được<br /> thêm hai thông số x và y . Như vậy trong hệ<br /> thống truyền động, khi mỗi khớp quay, hay<br /> còn gọi là khớp loại thấp p5 , có xuất hiện<br /> khe hở thì nó sẽ làm tăng số bậc tự do của hệ<br /> thêm 2 [1],[2].<br /> Ảnh hưởng của khe hở trong các khớp tịnh<br /> tiến. Đối với khớp tịnh tiến cũng là khớp loại<br /> thấp do thành phần khớp động là bề mặt, giả<br /> <br /> ci<br /> <br /> mi , Jsi<br /> <br /> 118(04): 67 - 77<br /> <br /> ci<br /> mi +1 , Jsi +1<br /> <br /> mi , Jsi<br /> <br /> mi +1 , Jsi +1<br /> <br /> Oi +1 mi +1 , Jsi +1<br /> ci<br /> <br /> t<br /> n<br /> Oi<br /> mi , Jsi<br /> <br /> Hình 3. Biến dạng đàn hồi của các khâu trong máy<br /> <br /> y<br /> <br /> D<br /> d<br /> <br /> i<br /> <br /> i<br /> yi +1<br /> yi<br /> <br /> i +1<br /> <br /> δ<br /> <br /> Oi +1<br /> <br /> i +1<br /> <br /> Oi<br /> <br /> x<br /> <br /> O<br /> xi x i +1<br /> <br /> Oi +1<br /> <br /> δ max = D − d<br /> <br /> Hình 4. Khe hở trong các khớp quay<br /> <br /> 69<br /> <br /> Lê Thị Thu Hà<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> y<br /> <br /> 118(04): 67 - 77<br /> <br /> bi<br /> <br /> i<br /> δy<br /> <br /> yi +1<br /> <br /> i +1<br /> <br /> ai<br /> <br /> ai+1<br /> <br /> yi<br /> <br /> O<br /> <br /> δx<br /> <br /> bi +1<br /> <br /> δbmax = bi − bi +1<br /> <br /> x<br /> <br /> xi xi +1<br /> <br /> δa max = ai − ai +1<br /> <br /> Hình 5. Khe hở trong các khớp tịnh tiến<br /> <br /> Ảnh hưởng của khe hở trong các khớp loại<br /> cao. Khớp động loại cao là những khớp động<br /> mà các thành phần của khớp khi tiếp xúc với<br /> nhau là đường hoặc điểm [1]. Ví dụ các khe<br /> hở trong các khớp loại cao được sử dụng<br /> trong máy thường xuất hiện ở chỗ tiếp xúc<br /> giữa con lăn với rãnh định hướng của nó<br /> trong cơ cấu cam, hay chỗ tiếp xúc giữa các<br /> đôi răng ăn khớp của các cặp bánh răng và<br /> khe hở trong bộ truyền bánh vít trục vít.<br /> Các khe hở trong các cơ cấu nói trên thường<br /> xuất hiện do mòn bởi có hiện tượng trượt giữa<br /> hai thành phần khớp động [1], hoặc trong quá<br /> trình làm việc hoặc do sai số trong quá trình<br /> lắp ráp, chế tạo. Đặc biệt trong các hệ thống<br /> truyền động phần lớn sử dụng các cơ cấu<br /> bánh răng để biến đổi chuyển động hay<br /> truyền năng lượng, khe hở của các cặp bánh<br /> răng có thể xẩy ra do sai số kích thước trong<br /> quá trình chế tạo và lắp ráp hoặc điều chỉnh<br /> không chính xác, hoặc sau một thời gian làm<br /> việc các biên dạng răng bị mòn do các thành<br /> phần ma sát trên các bề mặt tiếp xúc, các<br /> trường hợp nói trên đều dẫn tới việc tạo ra các<br /> khe hở cạnh răng, khe hở cạnh răng luôn luôn<br /> được đo trên đường pháp tuyến chung n − n<br /> của các cặp biên dạng đối tiếp. Do đó khe hở<br /> cạnh răng xẩy ra trong trường hợp:<br /> tNi ≠ tNi +1 (1)<br /> <br /> Nếu gọi δ là khe hở cạnh răng ta có:<br /> 70<br /> <br /> δ = tNi − tN (i +1) (2)<br /> <br /> Vì δ luôn có gia trị dương, nên có thể viết độ<br /> lớn của khe hở trong bộ truyền bánh răng<br /> dưới dạng:<br /> δi (i +1) = tNi − tN (i +1) (3)<br /> <br /> Khi tNi > tN (i +1) và ngược lại:<br /> δ (i +1)i = tN (i +1) − tNi (4)<br /> <br /> trong đó tNi và tN (i +1) là bước răng đo trên<br /> vòng tròn cơ sở của hai cặp biên dạng răng<br /> đối tiếp vì thế:<br /> tNi =<br /> <br /> 2π r0(i +1)<br /> 2π r0i<br /> (5)<br /> , tNi +1 =<br /> zi<br /> z (i +1)<br /> <br /> Nhưng do còn có:<br /> r0i = rLi cos α L , r0(i +1) = rL (i +1) cos α L (6)<br /> <br /> nên:<br /> tNi =<br /> <br /> 2π rL (i +1) cos α L<br /> 2π rLi cos αL<br /> (7)<br /> , tNi +1 =<br /> zi<br /> z (i +1)<br /> <br /> Thay (7) vào (3) và (4), ta có:<br /> δi (i +1) = tLi − tL (i +1)<br /> <br /> trong đó: tLi , tL (i +1) là bước răng của hai bánh<br /> răng ăn khớp i và i + 1 được đo trên vòng<br /> tròn lăn [1].<br /> <br /> Lê Thị Thu Hà<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> n<br /> <br /> 118(04): 67 - 77<br /> <br /> δ<br /> <br /> αL<br /> <br /> P<br /> <br /> t<br /> <br /> P<br /> <br /> t<br /> n<br /> <br /> αL<br /> <br /> δ<br /> <br /> rLi<br /> <br /> ω1<br /> O<br /> <br /> O<br /> <br /> Hình 6. Khe hở trong các khớp động loại cao<br /> <br /> Do có tồn tại khe hở giữa hai trục bánh răng<br /> với các ổ bi đỡ trục nên trong quá trình<br /> chuyển động tọa độ tâm quay của các trục<br /> thay đổi, nên khe hở ăn khớp của cặp bánh<br /> răng cũng thay đổi theo thời gian t , khe hở<br /> đó có thể được xác định theo công thức được<br /> viết dưới dạng tổng quát:<br /> δi (t ) = (xi − xi +1)sin αLi + (yi − yi +1)cos αLi  +<br /> (8)<br /> + riθi − ri +1θi +1<br /> δ(i +1) (t ) = (xi +1 − xi +2 )sin αL(i +1) + (yi +1 − yi +2 )cosαL(i +2)  +<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> + ri +3θi +3 − ri +4θi +4<br /> <br /> (9)<br /> trong đó xi và yi là tọa độ tâm quay của các<br /> bánh răng thứ i , αLi là góc ăn khớp, ri là bán<br /> kính vòng tròn lăn, θi là góc quay của bánh<br /> răng thứ i .<br /> Ảnh hưởng khe hở tới số bậc tự do của hệ<br /> thống truyền động. Thông thường trong một<br /> hệ thống truyền động cơ khí người ta sử dụng<br /> các khớp loại thấp p5 và khớp loại cao p4<br /> như đã nêu trên.Vậy giả sử trong hệ thống<br /> truyền động phẳng nếu có i khớp p5 và j<br /> khớp p4 tồn tại khe hở, thì số bậc tự do của<br /> hệ sẽ tăng lên WB bậc tự do. Nếu gọi W0 là<br /> số bậc tự do của hệ khi không có khe hở, thì<br /> khi xuất hiện các khe hở thì bậc tự do của hệ<br /> sẽ tăng lên là:<br /> W = W0 +WB (10)<br /> <br /> Hay W = W0 + 2i + j (11)<br /> trong đó i là khớp loại thấp có khe hở, j là<br /> số số khớp loại cao có khe hở, W0 là số bậc<br /> tự do ban đầu của hệ thống truyền động khi<br /> hệ thống không có khe hở và W là số bậc tự<br /> do của hệ thống truyền động.<br /> Rõ ràng một hệ truyền động cơ khí khi tồn tại<br /> khe hở trong các khớp động thì số bậc tự do W<br /> của hệ sẽ tăng lên, do tồn tại khe hở mặc dù có<br /> thể rất bé bé nhưng sẽ làm cho hệ thống<br /> chuyển động không hoàn toàn xác định, dẫn<br /> tới chuyển động của cơ cấu chấp hành cũng<br /> không xác định, nó sẽ phát sinh các nhiễu động<br /> phi tuyến trong quá trình máy làm việc và tạo<br /> ra các xung va đập trong máy. Làm cho độ tin<br /> cậy của của cơ cấu chấp hành không cao.<br /> Để hạn chế ảnh hưởng gây ra do các khe hở<br /> trong các khớp động người ta cũng đã tiến<br /> hành thực hiện các quy định nghiêm ngặt<br /> trong quá trình thiết kế chế tạo các tiết máy,<br /> cũng như lắp ráp vận hành sữa chữa và bảo trì<br /> bảo dưỡng máy, tuy nhiên để đảm bảo bảo hệ<br /> thống hoàn toàn không có khe hở là một điều<br /> khó tránh khỏi.<br /> Ảnh hưởng khe hở tới chuyển động của máy.<br /> Như phân tích trên cho thấy một hệ thống<br /> truyền động khi tồn tại các khe hở sẽ dẫn tới<br /> làm tăng số bậc tự do W của hệ thống, do đó<br /> hệ thống chuyển động không xác định, gây ra<br /> <br /> 71<br /> <br />