Mô hình toán học phân tích ứng xử động của mặt đường ô tô khi chịu tải trọng di chuyển

Chia sẻ: Nhan Chiến Thiên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Mô hình toán học phân tích ứng xử động của mặt đường ô tô khi chịu tải trọng di chuyển" xem xét mô hình toán học cho phân tích ứng xử động của mặt đường chịu tải trọng di chuyển trên bề mặt của chúng. Mặt đường có thể được mô hình hóa dưới dạng dầm, tấm. Đất nền có thể được mô phỏng như một hệ thống các lò xo đàn hồi và các giảm chấn. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mô hình toán học phân tích ứng xử động của mặt đường ô tô khi chịu tải trọng di chuyển

. 285 MÔ HÌNH TOÁN HỌC PHÂN TÍCH ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA MẶT ĐƢỜNG Ô TÔ KHI CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN Phạm Bá Hƣng* Trường Đại học Giao thông vận tải Tóm tắt Bài báo này xem xét mô hình toán học cho phân tích ứng xử động của mặt đường chịu tải trọng di chuyển trên bề mặt của chúng. Mặt đường có thể được mô hình hóa dưới dạng dầm, tấm. Đất nền có thể được mô phỏng như một hệ thống các lò xo đàn hồi và các giảm chấn. Tính chất vật liệu của mặt đường và các lớp móng có thể xem là đàn hồi hoặc đàn nhớt. Các tải trọng tập trung hoặc phân bố ở một mức độ hữu hạn, có thể thay đổi theo thời gian. Vận tốc là không đổi hoặc thay đổi. Các thiết lập được thực hiện bằng các phương pháp giải tích, phương pháp số. Cuối cùng, một ví dụ minh họa được trình bày. Từ khóa: Ứng xử động, mô hình mặt đường, đàn hồi, tải trọng di chuyển. 1. Đặt vấn đề Việc xác định ứng xử động học của mặt đường bê tông nhựa (mặt đường mềm) hoặc bê tông xi măng (mặt đường cứng) đối với tải trọng xe cộ là rất quan trọng trong thiết kế mặt đường. Nó giúp các kỹ sư dự đoán được hư hỏng của đường và đặc biệt là hiện tượng mỏi. Tải trọng xe cộ có thể được đơn giản hóa như lực tập trung hoặc lực phân bố và di chuyển với tốc độ không đổi hoặc thay đổi. Mặt đường thường được giả định là một dầm đàn hồi hoặc một tấm nằm trên môi trường đất, có thể được mô hình hóa dưới dạng lò xo Winkler đàn hồi hoặc nửa mặt phẳng hay nửa không gian đàn hồi đồng nhất hoặc phân lớp, đàn hồi hoặc đàn hồi. Nói cách khác, vấn đề động lực học của mặt đường thường được giải quyết trong các điều kiện ứng xử của vật liệu đàn hồi tuyến tính và chỉ hiếm khi người ta giả định ứng xử của vật liệu không đàn hồi. Thông tin chung về thiết kế mặt đường có thể được tìm thấy, ví dụ, trong sách của (Yoder và Witczak, 1975) và (Huang, 2004 ) và các điều khoản của (AASHTO, 1985). Đặc biệt về vấn đề ứng xử của mặt đường đối với tải trọng di chuyển từ quan điểm lý thuyết cũng như thực tế, có thể đề cập ở đây tác phẩm của (Cebon, 1998), công trình của (Gillespie và nnk, 1992) và các bài báo của (Sousa và nnk, 1988), (Cebon 1988), (Nasim và nnk, 1991), (Monismith 1988), (Zafir và nnk, 1994), (Mamlouk 1997), (Hardy và Cebon 1993, 1994) và (Zaghloul và White, 1994). Các giải pháp phân tích cơ học cho vấn đề ứng xử của dầm và bản trên nền đàn hồi có thể được tìm thấy trong cuốn sách của (Fryba, 1987, 1999), trong khi một phương pháp xử lý toàn diện về động lực học của kết cấu mặt đường bao gồm các ứng dụng đã được trình bày trong cuốn sách của (Martincek, 2006). Bài báo này trình bày mô hình tính toán về chủ đề ứng xử động của mặt đường đối với tải trọng chuyển động và nỗ lực cung cấp một nguồn thông tin hữu ích cho các nhà nghiên cứu và kỹ sư. * Ngày nhận bài: 03/3/2022; Ngày phản biện: 04/4/2022; Ngày chấp nhận đăng: 12/4/2022 * Tác giả liên hệ: Email: hungpb_ph@utc.edu.vn
286 2. Các mô hình toán học và phương pháp phân tích 2.1. Ứng xử động của dầm và tấm trên nền đàn hồi kiểu Winkler dưới tải trọng di chuyển bằng phương pháp giải tích Xem xét một dải bản giống như dầm đàn hồi dài vô hạn (mô hình mặt đường) trên nền đàn hồi (lò xo Winkler và giảm chấn) dưới tải trọng thẳng đứng tập trung không đổi chuyển động với vận tốc không đổi . Phương trình dao động tự do của hệ này là (Thompson WE, 1963): (1) Ở đây là độ võng của dải bản, và lần lượt là độ cứng và độ cản của nền, độ cứng uốn của dải bản với và là môđun đàn hồi và hệ số Poission tương ứng,  là mật độ khối lượng và độ dày của dải bản, trong khi lần lượt là tọa độ cố định dọc theo chiều dài của dải và theo hướng thẳng đứng, và là thời gian. Một hệ tọa độ mới hiện đã được giới thiệu, hệ tọa độ này di chuyển với tải . Do đó, người ta có: (2) Và phương trình (1) trong hệ thống tọa độ mới trở thành (Thompson WE, 1963): (3) chỉ ra rằng trong hệ tọa độ chuyển động không phụ thuộc vào thời gian sau khi tất cả các dao động nhất thời biến mất và dao động của tấm được cho là trạng thái ổn định. Giới thiệu các ký hiệu β ( ) ζ δ ( ) (4) Phương trình (3) giảm xuống ở dạng (5) Phương trình đặc trưng của (5) là: (6) Với biệt thức có thể âm, dương hoặc bằng 0. Ví dụ, trường hợp , sau khi áp dụng điều kiện biên ( tại , khả năng tương thích của chuyển vị, độ dốc và mô men uốn của tấm dưới tải trọng và công thức của sự không liên tục của lực cắt), ta hoàn toàn xác định được (Thompson WE., 1963): [ ] * + (7a) ζδ ζ ε (7b) ε
. 287 Trong trường hợp dấu hiệu kép, các dấu hiệu phía trên tương ứng với , trong khi các dấu hiệu phía dưới tương ứng với . Ở trên , là phần thực dương của căn bậc nhất của (6). Xem xét một dầm đàn hồi vô hạn (mô hình mặt đường) trên nền đàn hồi (lò xo Winkler và giảm chấn) dưới một tải trọng phân bố thẳng đứng (trên một chiều dài hữu hạn) và phụ thuộc thời gian di chuyển với vận tốc không đổi . Phương trình chuyển động của hệ này trong hệ tọa độ Descartes cố định là (Kim SM, Roesset JM., 2003) (8) trong đó là độ võng của dầm bên, là mômen quán tính mặt cắt ngang, khối lượng trên một đơn vị chiều dài của dầm, là độ cứng của móng trên một đơn vị chiều dài và là hằng số tắt dần nhớt. Chuyển động với hệ tọa độ tải mà phương trình (2) đúng, cho phép viết phương trình (8) ở dạng (Kim SM, Roesset JM., 2003). ( ) ( ) (9) Đối với trường hợp đặc biệt, tải trọng thay đổi điều hòa theo thời gian, , ở đây √ và là tần số của tải trọng kích thích, chúng ra có và phương trình (9) trở thành: ( ) ( ) (10) Đây là phương trình vi phân thông thường có thể dễ dàng giải được. Đối với trường hợp tổng quát về sự biến thiên theo thời gian của tải , người ta có thể áp dụng cho (9) phép biến đổi Fourier kép đối với và và nhận [ ] ̄̄ ̄̄ (11) Trong đó ̄̄ ∫ ∫ (12a) ̄̄ ∫ ∫ (12b) Nếu cản không phụ thuộc thời gian, ta thay trong phương trình (11) bằng số hạng , trong đó là hệ số tắt dần (Kim SM, Roesset JM., 2003). Phương trình (11) là một phương trình đại số có thể dễ dàng giải được cho ̄̄ . Đáp ứng miền thời gian cuối cùng thu được bằng một phép nghịch đảo số của nghiệm đã được biến đổi ̄̄ với sự hỗ trợ của thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT) (Brigham EO., 1974). Bây giờ ta xem xét bài toán 2 chiều, tức là, một tấm đàn hồi có phạm vi vô hạn trên nền (lò xo Winkler và giảm chấn) dưới phân bố thẳng đứng (trên một bề mặt hữu hạn) và tải phụ thuộc thời gian di chuyển với vận tốc không đổi dọc theo phương . Phương trình chuyển động của hệ này trong hệ tọa độ Descartes cố định là (Kim SM và Roesset JM., 1998): ( ) (13) Trong đó: độ cứng uốn, là độ v ng theo phương ; là mặt phẳng trung hòa của tấm. Hệ tọa độ theo phương trình (2), trong khi vẫn giữ tọa độ cố định và áp dụng biến đổi Fourier ba lần đối với làm giảm phương trình (13) về dạng đại số
288 ̄ ̄̄ [ ] ̄ (14) Trong đó ̄̄ ∫ ∫ ∫ (15a) ̄̄ ∫ ∫ ∫ (15b) Phương trình (14) có thể giải dễ dàng cho ứng xử biến đổi ̄̄ , sau đó được biến đổi ngược FFT (Brigham EO., 1974) để có phản ứng động . Tất nhiên, nếu tải là điều hòa theo thời gian, thì chỉ cần một phép biến đổi Fourier kép cho lời giải của bài toán. Xem lại bài toán về ứng xử động của một dầm đàn hồi trên móng lò xo Winkler dưới tải trọng tập trung theo phương thẳng đứng phụ thuộc thời gian chuyển động với vận tốc không đổi . Phương trình chuyển động của hệ này trong các tọa độ cố định (Hardy MSA và Cebon D, 1993), (Hardy MSA, 1999), (Huang MH, Thambiratnam DP., 2002): [ ] (16) Ở đây [ ] là hàm Dirac delta và là vị trí của lực tại thời điểm. Phản ứng xung của hệ được xác định bởi thiết lập và trong phương trình (16). Áp dụng hai lần biến đổi Fourier theo biến x và t vào phương trình kết quả cho phép chúng ta xác định phản ứng xung ̄ đã biến đổi ở dạng ̄ (17) ( ) Giải pháp của phương trình (16) có thể nhận được với sự hỗ trợ của thông qua tích phân cuộn (Hardy MSA và Cebon D, 1993), (Hardy MSA, 1999): ∫ (18) Áp dụng hai lần biến đổi Fourier theo biến và vào phương trình (18) dẫn đến nghiệm biến đổi: ̄̄ ̄ ̄ (19) Ở đây, ̄ được cho bởi phương trình (17). Cuối cùng có thể xác định bởi một phép nghịch đảo số của thông qua biến đổi nhanh Fourier. (Brigham EO., 1974). 2.2. Ứng xử động của dầm và tấm trên nền đàn hồi kiểu Winkler dưới tải trọng di chuyển bằng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) Xem xét một tấm chữ nhật đàn hồi có mặt trung bình tựa trên nền đàn hồi Winkler và chịu tải trọng động di chuyển theo phương y. Phương trình dao động của tấm có dạng (Huang MH, Thambiratnam DP., 2001). ̇ ̈ ) (20) Ở đây là độ võng của tấm, và lần lượt là độ cứng và độ cản của nền, là mật độ khối lượng và h là độ dày của tấm. Tải trọng có dạng: [ ] [ ] (21) Ở đây  là hàm Dirac delta, với vận tốc V là hằng số hoặc hàm của thời gian, xo và yo là vị ban đầu, là hằng số hoặc hàm theo thời gian, như là
. 289 Chuyển vị của một phần tử được biểu diễn bởi (Huang MH, Thambiratnam DP., 1999), (Huang MH, Thambiratnam DP., 2002): ∑ [ ] { } (22) Ở đây, vectơ { } cấp bao gồm giá trị chuyển vị và góc xoay tại hai góc của dải và [ ] véc tơ hàm nội suy cấp có dạng với là đa thức bậc ba theo x và cho phần tử dầm được xem xét ở đây. Sử dụng các cân bằng về năng lượng, cuối cùng ta có thể biểu diễn phương trình chuyển động của hệ ở dạng (Huang MH, Thambiratnam DP., 1999), (Huang MH, Thambiratnam DP., 2002): [ ]{ ̈ } [ ]{ ̇ } ([ ] [ ]){ } { } (23) Ở đây[ ] [ ]và[ ] [ ] [ ]là ma trận khối lượng, cản và độ cứng của mặt đường. { } { ̇ }và{ ̈ } là vectơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc của mặt đường. Các ký hiệu và chỉ tấm và nền tương ứng và vectơ tải { } bao gồm { } ở dạng { } ∫[ ] (24) Với e biểu thị phần tử và A là diện tích của nó. Khi mô tả tương tác phương tiện và mặt đường, mặt đường bao gồm các tấm có kích thước hữu hạn ghép lại với nhau bằng các thiết bị truyền tải trọng. Các thiết bị này có thể được mô hình hóa bằng các lò xo gắn vào các nút biên của các tấm dọc theo các khớp (Kukreti AR, Taheri MR., 1992). Do đó, ma trận độ cứng tổng [ ]của hệ tấm - móng bao gồm các ma trận [ ] và [ ]. Liên quan đến tải trọng chuyển động, một mô hình liên quan hơn được xem xét ở đây. Nó là một hệ thống lò xo - khối lượng - giảm chấn cho mọi bánh xe của phương tiện đang chuyển động. Do đó, toàn bộ hệ thống mặt đường - móng - phương tiện được điều chỉnh bởi hai phương trình có dạng. (Kukreti AR, Taheri MR., 1992). [ ]{ ̈ } [ ]{ ̇ } [ ]{ } { } [ ] [ ] ̈ (25) ̈ ̇ [ ][ ]{ } [ ̇ ][ ]{ } [ ][ ]{ ̇ } (26) Phương trình thứ nhất tương ứng với chuyển động của tấm, trong khi phương trình thứ hai tương ứng với chuyển động của bánh xe thứ của phương tiện được biểu thị bằng khối lượng , độ cứng , hệ số cản và chuyển vị . Hơn nữa, [ ] là ma trận của các hàm nội suy cho một phần tử tấm và { } là vectơ trọng số của hệ thống. Hệ hai phương trình (25) và (26) trên được giải bằng tích phân theo thời gian (phương pháp Wilson- , phương pháp Newmark- (Huang MH, Thambiratnam DP., 1999), (Huang MH, Thambiratnam DP., 2002). 3. Phân tích bài toán điển hình Ở phần này, một ví dụ tính toán cho nền đường được mô tả như dầm giản đơn tựa trên nền đàn hồi chịu tác dụng của hệ 2 bậc tự do di chuyển được trình bày. Hình 1. Mô hình dầm và hệ dao động
290 Thông số của mặt đường bao gồm: chiều dài , mô men t quán tính , mô đun đàn hồi , khối lượng trên 1m dài dầm . Độ cứng nền . Thông số của hệ di động (Hình 1) bao gồm các khối lượng , , hệ số độ cứng và hệ số cản của bộ phận treo , , di chuyển với vận tốc . Phương pháp phần tử hữu hạn chia dầm thành 30 phần tử, bước thời gian được sử dụng. Phương pháp Wilson- được thực hiện để giải hệ phương trình của xe - mặt đường. Kết quả được so sánh với kết quả giải tích (hình 2). Hình 2. Chuyển vị của dầm theo thời gian Chuyển vị theo thời gian tại vị trí giữa nền đường được thể hiện ở hình 2. Qua đây cho thấy rằng, phương pháp tính theo phương pháp PTHH khá tương đồng với kết quả giải tích. 4. Kết luận - Ứng xử động của mặt đường ô tô đối với tải trọng xe di chuyển có thể được xác định trên cơ sở các mô hình khác nhau, được phân tích bằng các phương pháp khác nhau, có mức độ phức tạp từ thấp đến cao. - Các kiểu tải trọng có thể là tập trung hoặc phân bố, phụ thuộc vào thời gian hoặc không, chuyển động với tốc độ không đổi hoặc thay đổi, hoặc các kiểu xe phức tạp liên quan đến hệ thống giảm xóc - khối lượng lò xo. Các mô hình mặt đường có thể là dầm hoặc tấm đơn giản trên nền đàn hồi kiểu Winkler hoặc các bán không gian trong điều kiện biến dạng phẳng hoặc ba chiều đầy đủ. - Việc phân tích động lực học của hệ thống xe - mặt đường có thể được thực hiện bằng các phương pháp giải tích, phương pháp số. Các giải pháp nghiệm đúng để dùng làm điểm chuẩn đã được xác định. Các phương pháp số mới có thể xử lý các vấn đề thực tế liên quan đến hình học phức tạp và hành vi của vật liệu. Trong số đó, phương pháp phần tử hữu hạn là một giải pháp tin cậy. - Hầu hết các phương pháp phân tích ứng xử xe-mặt đường đều là tuyến tính cả về đặc tính và biến dạng vật liệu của chúng. Cần có thêm nhiều nghiên cứu để phát triển và phân tích mô hình thực tế, có khả năng thể hiện ứng xử phi tuyến tính trong đó có xét tới các tính năng mỏi và biến dạng vĩnh viễn, và được hiệu chỉnh trên cơ sở các thử nghiệm hiện trường. Việc phân tích động của các mô hình này đòi hỏi sự phát triển của các phương pháp giải số chính xác và hiệu quả mới và việc triển khai chúng trên máy tính.
. 291 Tài liệu tham khảo AASHTO, 1985. Interim guide for design of pavement structures. Washington DC: AASHTO. Brigham EO., 1974. The fast Fourier transform. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. Cebon D, 1988. Theoretical road damage due to dynamic tyre forces of heavy vehicles, Part 1: Dynamic analysis of vehicles and road surfaces. Proc Inst Mech Eng 1988;202(C2):103-8. Cebon D, 1999. Handbook of vehicle-road interaction. London: Taylor & Francis. Fryba L., 1987. Dynamic interaction of vehicles with tracks and roads. Vehicle Syst Dyn.16:129-38. Fryba L., 1999. Vibration of solids and structures under moving loads. London: Thomas Telford Ltd. Gillespie TD et all, 1992. Effects of heavy vehicle characteristics on pavement response and performance. Final Report, Project 1-25 (1), The University of Michigan Transportation Research Institute (UMTRI). Hardy MSA, 1999. The generation of waves in infinite structures by moving harmonic loads. J Sound Vib;180:637-44. Hardy MSA, Cebon D, 1993. Importance of speed and frequency in flexiblepavement response. J Eng Mech ASCE 1994;120:463-82. Hardy MSA, Cebon D, 1993. Response of continuous pavements to moving dynamic loads. J Eng Mech ASCE 1993;119:1762-80. Huang MH, Thambiratnam DP., 2001. Deflection response of plate on Winkler foundation to moving accelerated loads. Eng Struct; 23:1134-41. Huang MH, Thambiratnam DP., 2002. Dynamic response of plates on elastic foundation to moving loads. J Eng Mech ASCE;128:1016-22. Huang YH, 2004. Pavement analysis and design. 2nd edition. Upper Saddle River, N.J: Pearson Prentice-Hall. Kim SM, Roesset JM., 1998. Moving loads on a plate on elastic foundation. J Eng Mech ASCE 1998; 124:1010-7. Kim SM, Roesset JM., 2003. Dynamic response of a beam on a frequency independent damped elastic foundation to moving load. Can J Civ Eng; 30:460-7. Kukreti AR, Taheri MR., 1992. Ledesma RH. Dynamic analysis of rigid airport pavements with discontinuities. J Transp Eng ASCE 1992; 118:341-60. Mamlouk MS, 1997. General outlook of pavement and vehicle dynamics. J Transp Eng ASCE 1997; 123:515-7. Martincek G.,2006. Dynamics of pavement structures. London: Taylor & Francis. Monismith CL,1992 Analytically based asphalt pavement design and rehabilitation: theory to practice, 1962-1992. Transp Res Rec 1992; No. 1354:5-26. Nasim MA, Karamihas SM, Gillespie TD, Hansen W, Cebon D, 1991. Behavior of a rigid pavement under moving dynamic loads. Transp Res Rec 1991 ; No. 1307:129-35. Sousa JB, Lysmer J, Chen SS, Monismith CL, 1988. Effects of dynamic loads on performance of asphalt concrete pavements. Transp Res Rec, No. 1207: 145-68. Thompson WE., 1963. Analysis of dynamic behavior of roads subject to longitudinally moving loads. Highw Res Rec; No. 39:1-24. Yoder EJ, Witczak MW, 1975. Principles of pavement design. New York : Wiley. Zafir Z, Siddharthan R, Sebaaly PE, 1994. Dynamic pavement-strain histories from moving traffic load. J Transp Eng ASCE 1994;120:821-42. Zaghloul SM, White TD, 1993. Use of a three-dimensional dynamic finite element program for analysis of flexible pavement. Transp Res Rec 1993; No. 1388: 60-9.