Môn Xác suất thống kê - Lý thuyết ước lượng

Chia sẻ: Lâm Trúc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

147
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

xét một tổng thể,trong đó ta quan tâm tới biến lượng x đo lường một dấu hiệu nào đó của tổng thể.giả sử x là đlnn có quy luật phân phối f( x, ) , tham số chưa biết, cần xác định , việc tìm giá trị thực sự của khó khăn, nên người ta chỉ ước lượng dựa trên các kết quả của mẫu. vấn đề đặt ra là từ tổng thể, tìm một mẫu ngẫu nhiên ( n x , x ,....x 1 2 ), trong đó n x , x ....x 1 2 là các đlnn độc lập có...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Môn Xác suất thống kê - Lý thuyết ước lượng

1 CHÖÔNG: LYÙ THUYEÁT LÖÔÏNG 1.KHAÙI NIEÄM : Xeùt moät toång theå,trong ñoù ta quan taâm tôùi bieán löôïng X ño löôøng moät daáu hieäu naøo ñoù cuûa toång theå.Giaû söû X laø ÑLNN coù quy luaät phaân phoái F ( x ,  ) , tham soá  chöa bieát, caàn xaùc ñònh  , vieäc tìm giaù trò thöïc söï cuûa  khoù khaên, neân ngöôøi ta chæ öôùc löôïng  döïa treân caùc keát quaû cuûa maãu. Vaán ñeà ñaët ra laø töø toång theå, tìm moät maãu ngaãu nhieân ( X 1 , X 2 ,.... X n ), trong ñoù X 1 , X 2 .... X n laø caùc ÑLNN ñoäc laäp coù cuøng phaân phoái vôùi ÑLNN ^  ( X 1, X 2 ,... X n ) sao cho vôùi maãu cuï theå X. Chuùng ta döïa vaøo ñoù xaây döïng thoáng keâ ^  ( x1 , x 2 ,... x n ) ( x1 , x 2 ,.... x n ), tìm ñöôïc giaù trò . ñeåø öôùc löôïng tham soá ÑÒNH NGHÓA: ( X 1 , X 2 ,... X n ) laø moät maãu ngaãu nhieân laáy töø toång theå, ( x1 , x 2 ,... x n ) laø moät maãu cuï theå ^  ( X 1 , X 2 ,... X n ) cuûa n giaù trò X 1 , X 2 ,... X n ñöôïc goïi laø moät haøm öôùc töông öùng.Moät haøm ^  .Giaù trò  ( x1 , x 2 ,... x n ) laø moät öôùc löôïng ñieåm cuûa  . löôïng cuûa VD: Moät coâng ty A coù haøng ngaøn coâng nhaân.Thaêm doø thu nhaäp cuûa 100 coâng nhaân cuûa coâng ty nhaän thaáy thu nhaäp trung bình laø 1,5 trieäu ñoàng/thaùng. Ta noùi thu nhaäp trung bình cuûa coâng nhaân coâng ty ñöôïc öôùc löôïng laø 1,5 trieäu ñoàng/thaùng, Ñoù laø öôùc löôïng ñieåm cuûa trung bình toång theå. Trong chöông naøy chuùng ta quan taâm ñeân caùc öôùc löôïng:trung bình toång theå, phöông sai toång theå, tyû leä toång theå. 2.CAÙC TIEÂU CHUAÅN CUÛA ÖÔÙC LÖÔÏNG 2.1 ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOÂNG CHEÄCH ÑÒNH NGHÓA: ^  ( X 1 , X 2 ,... X n ) ñöôïc goïi laø moät öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa tham soá  Öôùc löôïng ^ neáu : E ( )   CHUÙ YÙ : E ( X )   :trung bình maãu laø moät öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa trung bình toång  theå. ^ E ( S 2 )   2 :phöông sai hieäu chænh cuûa maãu laø moät öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa  phöông sai toång theå.
2 ^  S ñoä leäch chuaån cuûa maãu laø moät öôùc löôïng cheäch cuûa ñoä leäch chuaãn cuûa toång  theå E ( f )  p :tyû leä cuûa maãu laø moät öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa tyû leä toång theå.  2.2 ÖÔÙC LÖÔÏNG VÖÕNG ÑÒNH NGHÓA : ^   Öôùc löôïng ñöôïc goïi laø öôùc löôïng vöõng cuûa tham soá ^ ^ Lim P (|    |  )  1  P   neáu hay n  CHUÙ YÙù:   Trung bình maãu X laø moät öôùc löôïng vöõng cuûa trung bình toång theå  Tyû leä cuûa maãu f laø moät öôùc löôïng vöõng cuûa tyû leä toãng theå p ^ 2 2 Phöông sai maãu S ; S  laø moät öôùc löôïng vöõng cuûa phöông sai toång theå 2.3 ÖÔÙC LÖÔÏNG HIEÄU QUAÛ ÑÒNH NGHÓA : ^ ^  1 ; 2  , ñöôïc xaây döïng treân cuøng Cho laø hai öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa tham soá ^ ^ 1 2 moät maãu quan saùt. Thì ñöôïc goïi laø hieäu quaû hôn neáu ^ ^ Var ( 1 )  Var ( 2 ) ÑÒNH NGHÓA: ^  Neáu  laø moät öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa ^  Vaø khoâng coù öôùc löôïng khoâng cheäch naøo coù phöông sai nhoû hôn, thì laø öôc löôïng  hieäu quaû nhaát cuûa . CHUÙ YÙ :  Trung bình maãu X laø öôùc löôïng hieäu quaû nhaát cuûa trung bình toång theå 3. ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG 3.1 ÑÒNH NGHÓA: ^ ^  1 ( x1 , x 2 ,... x n ) vaø  2 ( x1 , x 2 ,... x n ) (phuï thuoäc maãu cuï Moät khoaûng coù hai ñaàu muùt laø ( x1 , x 2 ,... x n ) ) maø tham soá  thuoäc vaøo khoaûng ñoù ñöôïc goïi laø khoaûng öôùc löôïng. theå ÑÒNH NGHÓA: Giaû söû  laø moät tham soá chöa bieát cuûa toång theå. Döïa vaøo maãu ngaãu nhieân choïn ra töø toång theå, ta tìm hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân A , B sao cho :
3 P( A    B)  1   ; 0    1 Neáu döïa vaøo moät maãu cuï theå A vaø B ñöôïc bieåu thò laø a vaø b , thì khoaûng (a,b) ñöôïc goïi laø khoaûng tin caäy cuûa  ; (1   ) ñöôïc goïi laø ñoä tin caäy ( 0    1 ). VD: Kieåm tra 50 boùng ñeøn cuûa moät coâng ty, thaáy tuoåi thoï trung bình laø 1000 giôø. Söû duïng tuoåi thoï trung bình cuûa 50 boùng ñeøn treân ñeå öôùc löôïng cho tuoåi thoï trung bình cuûa boùng ñeøn do coâng ty treân saûn xuaát vôùi sai soá laø 100 giôø. Ta noùi tuoåi thoï trung bình cuûa boùng ñeøn do coâng ty treân saûn xuaát töø: 900 giôø – 1100 giôø. Ñoù laø öôùc löôïng khoaûng. 3.2 KHOAÛNG TIN CAÄY CUÛA TRUNG BÌNH TOÅNG THEÅ  laø trung bình cuûa toång theå (chöa bieát ), x laø trung bình cuûa maãu x ñeå öôùc löôïng  Söû duïng ( x1 , x 2 ,... x n ) tìm khoaûng: Döïa treân maãu cuï theå (x   , x   ) P (| x   |  )  1   Sao cho : Thì : ( x   , x   ) ñöôïc goïi laø  Khoaûng  khoaûng tin caäy cuûa trung bình toång theå ( 1   ) laø ñoä tin caäy   ñöôïc goïi laø ñoä chính xaùc (hay sai soá)  NHAÄN XEÙT: Söï töông quan giöûa ñoä tin caäy vaø ñoä chính xaùc i) Ñoä tin caäy caøng cao thì ñoä chính xaùc keùm (sai soá lôùn) ii) Ñoä chính xaùc toát (sai soá nhoû) thì ñoä tin caäy thaáp 3.2.1 TOÅNG THEÅ COÙ PHAÂN PHOÁI CHUAÅN VAØ KÍCH THÖÔÙC MAÃU ≥ 30 X ~ N ( , 2 ) Tröôøng hôïp  ñaõ bieát i) Giaû söû chuùng ta coù moät maãu ngaãu nhieân cuûa n quan saùt töø moät toång theå coù phaân phoái chuaån vôùi trung bình  vaø phöông sai  . Neáu  ñaõ bieát vaø trung bình cuûa maãu cuï theå 2 2 x . Thì vôùi ñoä tin caäy (1   ) , khoaûng tin caäy cuûa trung bình toång theå laø: laø z  z   x x 2 2 n n
4 Chöùng minh: (X  ) n Z ~ N ( 0,1) Ta coù :  Thì : P (| X   |  )  1    |X | n n )  1   P(     P (| Z | z  )  1   2 z Töø ñoù suy ra 2 z  z n      x  x z  2 2 Vôùi  n n 2 Vaäy khoaûng tin caäy laø z  z  x    x  x  x 2 2 n n  Z ~ N ( 0,1) : P ( Z  z  )   2 2 ^  s. ii) Tröôøng hôïp chöa bieát thay theá bôûi Laäp luaän töông töï nhö treân Suy ra ^ z s   x 2 n Hay noùi khaùc hôn vôùi ñoä tin caäy laø (1   ) ,thì khoaûng tin caäy cuûa trung bình toång theå laø: ^ z s z  x x 2 2 n n HÌNH VEÕ
5 1-α α/2 α/2 z  z / 2 z / 2 P( z / 2  Z  z / 2 )  1   CAÙC DAÏNG TOAÙN CUÛA ÖÔÙC LÖÔÏNG TRUNG BÌNH TOÅNG THEÅ Cho ñoä tin caäy (1   ) ; kích thöôùc maãu n . Tìm khoaûng tin caäy i) ii) Cho ñoä chính xaùc; kích thöôùc maãu. Tìm ñoä tin caäy. iii) Cho ñoä chính xaùc; ñoä tin caäy.Tìm kích thöôùc maãu VD: Thu nhaäp cuûa coâng nhaân coâng ty A coù phaân phoái chuaån vôùi ñoä leäch chuaån laø 0,2 trieäu ñoàng.Thaêm doø 100 coâng nhaân cuûa coâng ty treân thaáy thu nhaäp trung bình laø 2 trieäu ñoàng/thaùng. a/ vôùi ñoä tin caäy laø 90%, haõy öôùc löôïng thu nhaäp trung bình cuûa coâng nhaân coâng ty treân b/ Neáu ñoä chính xaùc laø 40 ngaøn ñoàng thì ñoä tin caäy laø bao nhieâu? GIAÛI: Goïi X(trieäu ñoàng) laø thu nhaäp cuûa coâng nhaân coâng ty treân.  laø thu nhaäp trung bình cuûa coâng nhaân coâng ty ( chöa bieát). x laø thu nhaäp trung bình cuûa coâng nhaân theo maãu = 2 (trieäu ñoàng).  =0,2 (trieäu ñoàng)ñoä leäch chuaån cuûa toång theå . n=100 :kích thöôùc maãu 1    90% :ñoä tin caäy  Söû duïng x ñeå öôùc löôïng Duøng phaân phoái chuaån ñeå tìm khoaûng tin caäy a/ töø ñoä tin caäy : (1   )  0,90  z   1,65 2 suy ra z  1,65.0,2    0,033 2 100 n
6    x    2  0,033 vaäy thu nhaäp trung bình cuûa coâng nhaân coâng ty treân laø: (1,967 trieäu ñoàng - 2,033 trieäu ñoàng)   0,040 b/ Tröôøng hôïp ñoä chính xaùc laø trieäu ñoàng.  n 0,04. 100 z    2  ( 2)  0,4772 Ta coù:  0,2 2 Suy ra ñoä tin caäy laø: 1    2( z  )  0,9544  95,44% 2 CHUÙ YÙ: Söû duïng EXCEL a/Töø  1    P (| Z | z  )  z   NORMSINV (1  ) 2 2 2 Suyra 1    0,90  z   NORMSINV (0,95)  1,65 2  n 0,04. 100 z   2 b/ Töø  0,2 2 suy ra 1    P (| Z | z  )  2. NORMSINV ( 2)  1  0,9545 2 3.2.2 TOÅNG THEÅ KHOÂNG COÙ PHAÂN PHOÁI CHUAÅN,KÍCH THÖÔÙC MAÃU n  30 Giaû söû chuùng ta coù moät maãu ngaãu nhieân cuûa n quan saùt töø moät toång theå khoâng coù phaân phoái chuaån,coù trung bình  . ^ x; s . Vôùi trung bình vaø ñoä leäch chuaån hieäu chænh cuûa maãu cuï theå laàn löôït laø Neáu n lôùn ( n≥ 30 ) øsöû duïng ñònh lyù giôùi haïn trung taâm , (X  ) n Z ~ N ( 0,1) ta coù   2 ñaõ bieát i)Tröôøng hôïp (X  ) n Z ~ N ( 0,1) Thì  Vôùi ñoä tin caäy laø (1   ) , thì khoaûng tin caäy cuûa trung bình toãng theå laø :
7 z  z  2  x x 2 2 n n ^  2 chöa bieát thay theá bôûi s 2 ii)Tröôøng hôïp (X  ) n Z ~ N (0,1) Thì ^ s Suy ra : ^ ^ z s z s    x x 2 2 n n VD: Trong moät hoäi chôï vieäc laøm daønh cho sinh vieân saép toát nghieäp. Choïn ngaãu nhieân 256 sinh vieân döï tuyeån vaøo moät coâng ty lieân doanh,ñaõ ñöôïc phoûng vaán vaø ñöôïc ban phoûng vaán ñaùnh giaù theo thang ñieåm 0-5. Keát quaû ñieåm trung bình cuûa caùc sinh vieân treân laø 3,92 vôùi ñoä leäch chuaån cuûa maãu hieäu chænh laø 1,57. Haõy öôùc löôïng ñieåm trung bình cuûa sinh vieân döï tuyeån vaøo coâng ty treân vôùi ñoä tin caäy laø 99%. GIAÛI: Goïi X laø ñieåm cuûa moãi sinh vieân  ñieåm trung bình cuûa sinh vieân döï tuyeån vaøo coâng ty treân (chöa bieát). x ñieåm trung bình theo maãu = 3,92 ^ s ñoä leäch chuaån cuûa maãu hieäu chænh = 1,57 n kích thöôùc maãu = 256 1    99% Ñoä tin caäy  söû duïng x ñeå öôùc löôïng Nhaän xeùt: n > 30 duøng phaân phoái chuaån ñeå tìm khoaûng tin caäy. 1    0,99  z   2,58 Töø 2 Suy ra ^ z s 2,58.1,57   x  3,92   3,92  0,25 2 256 n Vaäy dieåm trung bình cuûa sinh vieân döï tuyeån laø: ( 3,67 – 4,17 ) ñieåm
8 3.2.4 TOÅNG THEÅ COÙ PHAÂN PHOÁI CHUAÅN,KÍCH THÖÔÙC MAÃU < 30 Giaû söû chuùng ta coù moät maãu ngaãu nhieân cuûa n quan saùt töø moät toång theå coù phaân phoái chuaån vôùi trung bình  , phöông sai  . 2 ^ 2 Trung bình vaø phöông sai hieäu chænh cuûa maãu cuï theå laàn löôït laø x; s .  i)Tröôøng hôïp ñaõ bieát (X  ) n Z ~ N ( 0,1) Thì  (1   ) Vôùi ñoä tin caäy laø thì khoaûng tin caäy cuûa trung bình toång theå laø : z  z   x x 2 2 n n ^  s ii)Tröôøng hôïp chöa bieát thay theá bôûi (X  ) n T ~ T ( n  1) Thì ^ s Hay (X  ) n  1 T ~ T ( n  1) s (T coù phaân phoái STUDENT vôùi baäc do laø k=n-1 ^ t s   x 2 Suy ra : n Hay noùi khaùc hôn vôùi ñoä tin caäy (1   ) , thì khoaûng tin caäy cuûa trung bình toång theå laø : ^ ^ t s t s  x x 2 2 n n CHÖÙNG MINH:
9 |X | n n P (| X   |  )  1    P ( )  1   ^ ^ s s  P (| T | t  )  1   2 t Töø ñoù suy ra 2 (tra baûng phaân phoái STUDENT hoaëc duøng EXCEL) ^ ^ t .s t s n    x  x   t  2 2 Vôùi ^ n n s 2 Vaäy khoaûng tin caäy cuûa trung bình toång theå laø : ^ ^ t s t s  x x 2 2 n n  P (T  t  )  CHUÙ YÙ: T ~ T ( n  1) thì  2 2 HÌNH VEÕ 1-α α/2 α/2 t  t / 2 t / 2 P(t / 2  T  t / 2 )  1   VD: Moät haõng xe hôi thöû nghieäm möùc tieâu hao nhieân lieäu cuûa moät loaïi xe ñôøi môùi ( soá km/lít).Choïn ngaãu nhieân 6 xe cho chaïy thöû ñöôïc soá lieäu nhö sau: 7,83 8,17 7,75 8,08 8,63 8,76 Vôùi ñoä tin caäy laø 90% .Haõy tìm khoaûng tin caäy cuûa möùc tieâu hao nhieân lieäu trung bình cuûa loaïi xe treân.
10 Cho bieát möùc tieâu hao nhieân lieâu coù phaân phoái chuaån. GIAÛI:  möùc tieâu hao nhieân lieäu trung bình cuûa loaïi xe treân (chöa bieát). x möùc tieâu hao trung bình theo maãu =8,20 ^ s  0,41 n=6 1    90% Nhaän xeùt:  Toång theå coù phaân phoái chuaån , chöa bieát kích thöôùc maãu n=6 Do ñoù söû dung phaân phoái STUDENT baäc töï do k= n-1 =5, ñeå tìm khoaûng tin caäy. 1    0,90  t   2,015 Töø 2 (tra baûng phaân phoái STUDENT hoaëc duøng EXCEL)  1    P (| T | t  )  P (| T | t  )    P (T  t  )  2 2 2 2 Suy ra ^ t s 2,015.0,41   x  8,20   8,20  0,34 2 6 n Vaäy khoaûng tin caäy cuûa möùc tieâu hao nhieân lieäu trung bình cuûa loaïi xe treân laø : ( 7,86 - 8,54 ) km/ lít 3.3 KHOAÛNG TIN CAÄY CUÛA TYÛ LEÄ TOÅNG THEÅ Tröôøng hôïp kích thöôùc maãu n≥30 p : tyû leä cuûa toång theå (chöa bieát ) f : tyû leä cuûa maãu Söû duïng f ñeå öôùc löôïng p Döïa treân maãu cuï theå, tìm khoaûng ( f , f ) P (| f  p |  )  1   Sao cho: Thì Khoaûng ( f   , f   ) ñöôïc goïi laø khoaûng tin caäy cuûa tyû leä toång theå p i)
11 ( 1   ) laø ñoä tin caäy ii)  laø ñoä chính xaùc (sai soá) iii) Giaû söû f laø tyû leä thaønh coâng trong moät maãu goàm n quan saùt töø moät toång theå coù tyû leä thaønh coâng laø p . Tröôøng hôïp n lôùn (n≥ 30 ). Vôùi ñoä tin caäy (1   ) , thì khoaûng tin caäy cuûa tyû leä toång theå laø : f (1  f ) f (1  f ) f  z  p  f  z n n 2 2 CHUÙ YÙ: Tröôøng hôïp kích thöôùc maãu n ≥ 30  np  5 Vôùi ñieàu kieän   n(1  p )  5 Thì ( f  p) n Z ~ N (0,1) p(1  p) Vì k f n laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù phaân phoái xaáp xæ chuaån vôùi kyø voïng E( f )  p Vaø phöông sai p(1  p) Var ( f )  n Nhöng vì p chöa bieát neân thay theá bôûi f.  Ñieàu kieän  nf  10   n(1  f )  10 Thì f (1  f ) n Z ~ N (0,1) f (1  f ) Töø ñoù suy ra
12 n | f  p| n P (| f  p |  )  1    P ( )  1   f (1  f ) f (1  f )  P (| Z | z  )  1   2 Tra baûng haøm hoaëc duøng EXCELù suy ra z 2 n f (1  f ) f (1  f )    z z   p  f  z Vôùi f (1  f ) n n 2 2 2 Vaäy khoaûng tin caäy cuûa tyû leä toång theå laø : f (1  f ) f (1  f ) f  z  p  f  z n n 2 2 CAÙC DAÏNG TOAÙN CUÛA ÖÔÙC LÖÔÏNG TYÛ LEÄ i) Cho ,ñoä tin caäy, kích thöôùc maãu.Tìm khoaûng tin caäy. ii) Cho ñoä chính xaùc, kích thöôùc maãu.Tìm khoaûng tin caäy. iii) Cho ñoä tin caäy,ñoä chính xaùc.Tìm kích thöôùc maãu. VD: Taïi moät ñòa phöông thaêm doø 400 ngöôøi daân veà möùc ñoä haøi loøng cuûa ngöôøi daân veà caùc dòch vuï coâng,coù 160 ngöôøi khoâng haøi loøng veà thaùi ñoä öùng xöû cuûa caùc tieáp vieân xe buyùt. a/ Vôùi ñoä tin caäy 95%.Haõy öôùc löôïng tyû leä ngöôøi daân ñòa phöông khoâng haøi loøng veà thaùi ñoä öùng xöû cuûa caùc tieáp vieân xe buyùt. b/ Neáu ñoä chính xaùc laø 3% thì ñoä tin caäy laø bao nhieâu? c/ Neáu ñoä tin caäy laø 90% vaø ñoä chính xaùc laø 3% thì caàn thaêm doø bao nhieâu ngöôøi ? GIAÛI: a/ p : tyû leä ngöôøi daân ñòa phöông khoâng haøi loøng (chöa bieát) 160 f  40% : tyû leä ngöôøi daân khoâng haøi loøng theo maãu 400 1    95% ñoä tin caäy n=400 söû duïng f ñeå öôùc löôïng p. Duøng phaân phoái chuaån ñeå tìm khoaûng tin caäy Töø
13 1    P (| f  p |  )  1    P (| Z | z  )  2  0.95  P (| Z | z  ) 2 Tra baûng hoaëc duøng EXCEL suy ra z   1,96 2 Ta coù f (1  f ) 0,4.0,6 p  f  z  0,40  1,96 400 n 2 Vaäy khoaûng tin caäy cuûa tyû leä ngöôøi daân ñòa phöông khoâng haøi loøng laø: ( 35,199% - 44,801%)   3% b/ Tröôøng hôïp ñoä chính xaùc f (1  f ) 400 n   z  z    0,03  1,23 f (1  f ) töø 0,24 n 2 2 suy ra ñoä tin caäy laø 1    2.( z  )  2. NORMSDIST ( z  )  1  78,24% 2 2 c/ 1    90%   3% Tìm kích thöôùc maãu n Phöông phaùp 1: Trong tröôøng hôïp naøy ,ta söû duïng f=40% laøm öôùc löôïng ban ñaàu cho p. 1    0,90  z   1,65 Töø : 2 Maø f (1  f ) z n (1,65) 2 .0,4.0,6 z   n n  726 2  (0,03) 2 f (1  f ) 2 Vaäy: n= 726 Phöông phaùp 2: Ta coù : 1  p  (1  p)  2 p(1  p) (BÑT Cauchy) 1  p(1  p)  4
14 n | f  p| n P (| f  p |  )  1    P ( )  1  Töø p(1  p) p(1  p) Suy ra z  p(1  p ) 2 n 2 2 (1,65) 2 n  756,25 vaäy 4(0,03) 2 Keát luaän n=757 3.4 KHOAÛNG TIN CAÄY CUÛA PHÖÔNG SAI TOÅNG THEÅ Tröôøng hôïp toång theå coù phaân phoái chuaån X ~ N ( , 2 ) Giaû söû chuùng ta coù moät maãu ngaãu nhieân cuûa n quan saùt töø moät toång theå coù phaân phoái  2 (chöa bieát). chuaån vôùi phöông sai laø ^ 2 Phöông sai maãu hieäu chænh laø s . ^ Söû duïng s ñeå öôùc löôïng  . 2 2 Vôùi ñoä tin caäy (1   ) , thì khoaûng tin caäy cuûa phöông sai toång theå laø : ^ ^ ( n  1) s 2 ( n  1) s 2 2   2  2 1 2 2 Hay ns 2 ns 2 2   2  2 1 2 2 CHUÙ YÙ: Söû duïng phaân phoái chi bình phöông,baäc töï do k=n-1 ñeå tìm khoaûng tin caäy cuûa phöông sai toång theå. ^ ( n  1) s 2 2  ~  2 ( n  1) 2 i)  2 ~  2 ( n  1) ii)
15  P(  2    )  2  2 2  P( 2   2  )   2 1 2 VD: Taïi moät sieâu thò ,thaêm doø 30 khaùch haøng veà soá tieàn duøng ñeå mua haøng ,thì thaáy soá tieàn trung bình laø 180 ngaøn ñoàng,ñoä leäch chuaån cuûa maãu hieäu chænh laø 14 ngaøn ñoàng.Vôùi ñoä tin caäy laø 95%, haõy tìm khoaûng tin caäy cuûa ñoä leäch chuaån cuûa soá tieàân khaùch haøng söû duïng .Cho bieát soá tieàân khaùch haøng söû duïng ñeå mua haøng coù phaân phoái chuaån. GIAÛI: x :soá tieàn trung bình moät khaùch haøng söû duïng = 180 (ngaøn ñoàng) ^ s = 14 (ngaøn ñoàng) 1    95 % ñoä tin caäy ^  s Söû duïng ñeå öôùc löôïng Duøng phaân phoái chi bình phöông baäc töï do k=n-1=29 . Söû duïng EXCEL, ta coù     02,025  CHIINV (0,025;29)  45,72 2 2  2    02,975  CHIINV (0,975;29)  16,05 1 2 (coù theå tra baûng phaân phoái chi bình phöông baäc töï do n=k-1=29 P (  2   0 ,025 )  0,025   0 ,025  45,72 2 2 P (  2   0 ,975 )  0,975   0, 975  16,05 2 2 )  Khoaûng öôùc löôïng cuûa laø; ^ ^ ( n  1) s 2 ( n  1) s 2    2  2 1 2 2 11,15    18,82 ( ngaøn ñoàng)  3.5 KHOAÛNG TIN CAÄY CUÛA HIEÄU HAI TRUNG BÌNH 3.5.1 TRÖÔØNG HÔÏP MAÃU GOÀM CAÙC CAËP SOÁ
16 Giaû söû chuùng ta coù moät maãu ngaãu nhieân goàm n caëp quan saùt ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ),...( x n , y n ) töø moät toång theå vôùiù caùc trung bình laàn löôït laø  X ; Y .Goïi d vaø sd laàn löôït laø trung bình vaø d i  x i  y i i  1, n Neáu toång theå cuûa hieäâu hai trung bình coù ñoä leäch chuaån cuûa n giaù trò phaân phoái chuaån. (  X  Y ) laø Thì vôùi ñoä tin caäy (1   ) økhoaûng tin caäy cuûa hieäu hai trung bình t  sd t  sd   X  Y  d  d 2 2 n n CHUÙ YÙ: Tröôøng hôïp naøy söû duïng phaân phoái STUDENT ñeå tìm khoaûng tin caäy. T ~ T ( n  1)  ( T coù phaân phoái STUDENT , baäc töï do k=n-1 )  P (t  t  )  2 2 VD: Choïn moät maãu ngaãu nhieân 6 ngöôøi baùn haøng ñaõ tham gia moät khoùa hoïc veà nghieäp vuï kyõ thuaät baùn haøng.Theo doõi trong voøng 3 thaùng tröôùc vaø 3 thaùng sau khi tam döï khoùa hoïc,ta coù baûng sau ñaây veà soá tieàn baùn ñöôïc haøng cuaû 6 ngöôøi baùn haøng treân (ñôn vò ngaøn ñoâla) theo cuøng moät chu kyø. Cho bieát toång theå coùù phaân phoái chuaån. Vôùi ñoä tin caäy 80% tìm khoaûng tin caäy cuûa hieäu hai trung bình cuûa toång theå. Thöù töï ngöôøi Tröôùckhi tham Sau khi tham döï baùn haøng döï khoùa hoïc khoùa hoïc 1 212 237 2 282 291 3 203 191 4 327 341 5 165 192 6 198 180 GIAÛI:  y i , i  1,6 d =7.5 :trung bình cuûa caùc giaù trò : x i s d =359,5  s d =18,96 2
17 (1   )  80%  t   2,015 Töø 2 (duøïng phaân phoái STUDENT baäc töï do k=n-1=5 Tra baûng hoaëc duøng EXCEL) t  sd 2,015.18,96    15,60 2 Suy ra 6 n  X  Y  d    7,5  15,60 Vaäy khoaûng tin caäy cuûa hieäu hai trung bình toång theå laø :  8,10   X  Y  23,10 (ngaøn ñoâla) 3.5.2 TRÖÔØNG HÔÏP HAI MAÃU ÑOÄC LAÄP,  X  Y 2 2 Chuùng ta xeùtù hai maãu ngaãu nhieân ñoäc laäp, khoâng caàn thieát cuøng kích thöôùc maãu . Giaû söû chuùng ta coù moät maãu ngaãu nhieân cuaû n X quan saùt töø toång theå coù phaân phoái X  X ,phöông 2 vaø moät maãu ngaãu nhieân cuûa nY quan saùt töø chuaån vôùi trung bình sai Y , phöông sai  Y . 2 toång theå coù phaân phoái chuaån vôùi trung bình x; y . Neáu trung bình hai maãu cuï theå laàn löôït laø Thì vôùi ñoä tin caäy (1   ) khoaûng tin caäy cuûa hieäu hai trung bình toång theå laø : X Y X Y 2 2 2 2   X  Y  ( x  y  z  ( x  y  z   nX nY nX nY 2 2 Tröôøng hôïp naøy söû duïng phaân phoái chuaån ñeå tìm khoaûng tin caäy CHUÙ YÙ: ^ ^  X ; Y 2 2 2 2 chöa bieát coù theå thay theá bôûi phöông sai maãu hieäu chænh s X ; sY . Neáu Tröôøng hôïp kích thöôùc maãu lôùn n X  30; nY  30 toång theå khoâng coù phaân phoái chuaån ,chuùng ta vaãn coù theå söû duïng phaân phoái chuaån ñeå tìm khoaûng tin caäy. Trong tröôøng hôïp naøy khoaûng tin caäy cuûa hieäu hai trung bình laø: ^ ^ ^ ^ 2 2 2 2 s X sY s X sY   X  Y  ( x  y )  z  ( x  y )  z   n X nY n X nY 2 2 VD: Moät maãu ngaãu nhieân goàm 60 coâng nhaân nghieän thuoác laù, soá giôø trung bình caùc coâng nhaân naøy vaéng maët trong coâng vieäc laø 2,15 giôø / thaùng, vaø ñoä leäch chuaån cuûa maãu laø 2,09 giôø / thaùng.
18 Moät maãu ngaãu nhieân ñoäc laäp vôùi maãu treân goàm 206 coâng nhaân khoâng huùt thuoác laù,soá giôø trung bình caùc coâng nhaân naøy vaéng maët trong coâng vieäc laø 1,69 giôø/thaùng, vaø ñoä leäch chuaån cuûa maãu laø 1,91 giôø/thaùng. Vôùi ñoä tin caäy laø 99%. Tìm khoaûng tin caäy cuûa hieäu cuûa hai trung bình toång theå. GIAÛI: Vôùi coâng nhaân nghieän thuoác laù ^ n X  60 s x  2,09 x  2,15 Vôùi coâng nhaân khoâng huùt thuoác laù ^ sY  1,91 nY  206 y  1,69 Vì kích thöôùc maãu lôùn,söû duïng phaân phoái chuaån vaø xaáp xæ phöông sai toång theå bôûi phöông sai maãu hieäu chænh (1   )  0,99  z   2,576 Töø 2 Suy ra khoaûng tin caäy laø : ^ ^ ^ ^ 2 2 2 2 s X sY s X sY   X  Y  x  y  z  x  y  z   n X nY n X nY 2 2  0,19   X  Y  1,11 (giôø) 3.5.3 TRÖÔØNG HÔÏP HAI MAÃU ÑOÄC LAÄP COÙ KÍCH THÖÔÙC MAÃU NHOÛ (n < 30) VAØ HAI TOÅNG THEÅ  X  Y COÙ 2 2 nX ; nY quan saùt töø hai toång theå coù Giaû söû chuùng ta coù hai maãu ngaãu nhieân ñoäc laäp vôùi phaân phoái chuaån vôùi trung bình laàn löôït laø  X ; Y ,vaø coù cuøng phöông sai laø  2 (tuy nhieân chöa bieát phöông sai) ^ ^ 2 2 Neáu caùc trung bình vaø phöông sai hieäu chænh cuûa hai maãu cuï theå laàn löôït laø x; y; s X ; sY . (1   ) Thì vôùi ñoä tin caäy khoaûng tin caäy cuûa hieäu hai trung bình laø : n X  nY n X  nY ^ ^   X  Y  ( x  y )  t  s ( x  y)  t  s n X nY n X nY 2 2 Vôùi ^ ^ ( n X  1) s X  ( n Y  1) sY 2 2 ^ s2 ( n X  nY  2)
19 Vaø töø (1   )  t  2 CHUÙ YÙ: Tröôøng hôïp naøy söû duïng phaân phoái STUDENT ñeå tìm khoaûng tin caäy T ~ T (nX  nY  2)  k  nX  nY  2 ). ( T coù phaân phoái STUDENT vôùi baäc töï do laø  P (T  t  )  2 2 VD: Taïi moät hoäi chôï vieäc laøm cuûa sinh vieân naêm cuoái caùc ngaønh khoái kinh teá.Caùc sinh vieân tham döï phoûng vaán ñeå tìm vieäc laøm. Vôùi moät nhaân vieân phoûng vaán thöù nhaát coù 21 sinh vieân ñöôïc phoûng vaán, ñieåm trung bình nhaän ñöôïc cuûa caùc sinh vieân treân laø 72,1 ( thang ñieåm 100), ñoä leäch chuaån cuûa maãu hieäu chænh laø 11,3. Vôùi moät nhaân vieân phoûng vaán thöù hai coù 18 sinh vieân ñöôïc phoûng vaán, ñieåm trung bình cuûa caùc sinh vieân treân laø 73,8, vaø ñoä leäch chuaån cuûa maãu hieäu chænh laø 10,6. Hai maãu treân ñoäc laäp ø ñöôïc choïn töø hai toång theå coù phaân phoái chuaån coù cuøng phöông sai. Vôùi ñoä tin caäy 80%, tìm khoaûng tin caäy cuûa hieäu trung bình hai toãng theå. GIAÛI: X: ñieåm maø moãi sinh vieân nhaäân ñöôïc töø nhaân vieân phoûng vaán thöù nhaát. Y: ñieåm maø moãi sinh vieân nhaän ñöôïc töø nhaân vieân phoûng vaán thöù hai. Ta coù: ^ s X  11,3 n X  21 x  72,1 ^ sY  10,6 nY  18 y  73,8 phöông sai chung cuûa hai maãu ^ ^ ( n  1) s X  ( nY  1) sY 2 2 s X  120,65  s  10,98 2 n X  nY  2 Söû duïng phaân phoái STUDENT, baäc töï do k  n X  nY  2  18  21  2  37
20 1    0,90  t   2,026 Töø 2 (tra baûng phaân phoái STUDENT vôùi baäc töï do laø k=37 hoaëc duøng EXCEL) Khoaûng tin caäy cuûa hieäu hai trung bình n X  nY n  nY   X  Y  ( x  y )  t  s X ( x  y)  t s n X nY n X nY 2 2  8,85   X  Y  5,45 (ñieåm) 3.6 KHOAÛNG TIN CAÄY CUÛA HIEÄU HAI TYÛ LEÄ n X quan saùt töø moät toång Giaû söû f X laø tyû leä thaønh coâng trong moät maãu ngaãu nhieân cuûa pX theå coù tyû leä thaønh coâng laø fY laø tyû leä thaønh coâng trong moät maãu ngaãu nhieân cuûa nY quan saùt töø moät toång theå coù tyû leä thaønh coâng laø pY .  30) , Neáu caùc maãu coù kích thöôùc lôùn ( nX ; nY Thì vôùi ñoä tin caäy (1   ) , khoaûng tin caäy cuûa hieäu hai tyû leä toång theå laø f X (1  f X ) fY (1  fY ) ( f X  fY )  z    p X  pY  nX nY 2 f X (1  f X ) fY (1  fY )  ( f X  fY )  z   nX nY 2 CHUÙ YÙ: Tröôøng hôïp naøy söû duïng phaân phoái chuaån ñeå tìm khoaûng tin caäy VD: Moät coâng ty coù hai phaân xöôûng cuøng saûn xuaát moät loaïi saûn phaåm.Kieåm tra ngaãu nhieân 100 saûn phaåm do phaân xöôûng 1 saûn xuaát thaáy coù 4 pheá phaåm, kieåm tra 120 saûn phaåm do phaân xöôûng 2 saûn xuaát thaáy coù 6 pheá phaåm. Vôùi ñoä tin caäy 90%, tìm khoaûng tin caäy cuûa söï cheânh leäch veà tyû leä pheá phaåm do 2 phaân xöôûng saûn xuaát. GIAÛI: 4 n X  100 fX   4% 100 6 nY  120 fY   5% 120 (1   )  0,90  z   1,65 Töø 2