MỘT SỐ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC

Chia sẻ: Thachthidaqui Daqui | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

594
lượt xem 141
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để làm rõ những đặc điểm cơ bản của mỗi quy luật phân phối xác suất ta sẽ xuất phát từ các ví dụ có tính điển hình cho mỗi quy luật để làm cở sở xây dựng những lược đồ khác nhau

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: MỘT SỐ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC

MỘT SỐ QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC Để làm rõ những đặc điểm cơ bản của mỗi quy luật phân phối xác suất ta sẽ xuất phát từ các ví dụ có tính điển hình cho mỗi quy luật để làm cơ sở xây dựng những lược đồ khác nhau, từ đó đi đến các quy luật phân phối xác suất tương ứng với mỗi lược đồ. Giả sử một tập hợp N phần tử. Trong đó có M phân tử mang tính chất B nào đó, còn N-M phần tử không mang tính chất B. Mỗi phép thử là việc lấy ngẫu nhiên từ tập hợp ra một phần tử. Theo những cách lấy khác nhau sẽ dẫn đến những lược đồ khác nhau và các quy luật phân phối xác suất khác nhau. Trong phần này ta sẽ nghiên cứu một số quy luật phân phối xác suất thường gặp nhất đối với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục. Điều đó làm cho việc phân loại các đại lượng ngẫu nhiên trong thực tế theo các quy luật phân phối xác suất được dễ dàng hơn. 4.1. Quy luật nhị thức B(n, p) a) Bài toán: Từ tập hợp gồm N phần tử trong đó có M phần tử có tính chất B nào đó, còn N-M phần tử không có tính chất B, ta lấy ngẫu nhiên có hoàn lại n phần tử. Nếu lấy theo phương thức này thì n phép thử nói trên sẽ độc lập với nhau vì việc lấy được phần tử có tính chất B, hay không có tính chất B trong mỗi lần lấy không ảnh hưởng đến khả năng lấy được phần tử có tính chất B hay không có tính chất B ở các lần lấy khác. Trong mỗi lần lấy chỉ có 2 trường hợp đối lập xảy ra. Hoặc biến cố A xảy ra (lấy được phấn tử có tính chất B) hoặc biến cố A không xảy ra (lấy được phần tử không có tính chất B). Xác suất cho biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng xác suất cho biến cố A không xảy ra cũng đều bằng Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử, thì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể có 0, 1, 2, …, n. Như đã chứng minh ở chương II, xác suất để X nhận các giá trị tương ứng được tính bằng công thức Bernoulli:
(1) b) Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có (x = 0, 1, …, n;) với các xác suất tương ứng được tính theo công thức (1) gọi là phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số là n và p. Quy luật nhị thức được ký hiệu là B(n, p) Nói cách khác, phân phối nhị thức gắn liền với việc lặp lại n lần một phép thử có hai sự kiện đối lập (thành công và thất bại; xảy ra và không xảy ra) với X là số lần thành công. Việc lặp lại ở đây có nghĩa là dãy phép thử được tiến hành trong cùng điều kiện và độc lập với nhau. Như vậy bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nhị thức có dạng: Trong thực tế, nhiều khi ta cần tính xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nhị thức (ký hiệu là X ~ B(n, p)) nhận giá trị trong khoảng [x, x + h] (với h nguyên dương và h ≤ n – x). Khi đó ta có thể tính xác suất này theo công thức: (2) được tính theo công thức (1). Trong đó: Thật vậy biến cố (x ≤ X ≤ x + h) có thể tách thành tổng của h +1 biến cố xung khắc từng đôi là (X = x), (X = x +1), …, (X = x + h); do đó áp dụng định lý cộng xác suất với các biến cố đó ta có: (3) Ví dụ 1:Gieo 4 hạt đậu, xác suất để 1 hạt cho cây ra hoa vàng là 0.75, ra hoa trắng là 0.25. Số cây đậu ra hoa vàng X có phân phối nhị thức B(4;0.75) Ta có:
Ví dụ 2: Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập, xác suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để: a) Trong một ngày có 2 máy hỏng. b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng. Giải: Nếu coi sự hoạt động của mỗi máy là một phép thử, ta có 5 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có 2 trường hợp: hoặc máy hỏng hoặc không. Xác suất hỏng của mỗi máy đều bằng 0,1. Gọi X là số máy hỏng trong một ngày thì X phân phối theo quy luật nhị thức với các tham số n = 5, p = 0,1 (tức là X ~ B(5; 0,1)). Do đó xác suất để trong một ngày có 2 máy hỏng là xác suất để X = 2. Theo công thức (3.2) ta có: Xác suất để trong ngày có không quá 2 máy hỏng là xác suất để X nhận giá trị trong khoảng [0, 2]. Theo công thức (3.3) ta có: Vậy: P(0 ≤ X ≤ 2) = 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 = 0,99144 Ví dụ 3: Một học sinh làm bài trắc nghiệm có 100 câu, mỗi câu gồm có 4 phương án lựa chọn, trong đó có 1 phương án trả lời đúng. Với một câu, nếu học sinh đó trả lời đúng thì được 1 điểm, ngược lại, sẽ không có điểm. Do học sinh đó lười học nên không nắm được bài, đã làm bài bằng cách chọn đại 1 phương án trả lời. Tìm xác suất để học sinh đó đạt được kết quả (đạt 50 điểm trở lên)
Học sinh thực hiện bài trắc nghiệm trên chính là đã thực hiện 100 phép thử Bernoulli, với xác suất thành công là 0.25. Gọi X là số điểm của học sinh đó thì X ~ B(100;0.25) Tuy nhiên, ở đây ta không thể làm như ví dụ 2, vì xác suất của biến cố học sinh đạt kết quả tương đương với xác suất P( X ≥ 50). Vì việc liệt kê và tính từng trường hợp X = 50, 51, 52, …, 100 tốn rất nhiều thời gian. Trong thực tế khi số phép thử n khá lớn, việc sử dụng các công thức (2) và (3) gặp nhiều khó khăn. Trong trường hợp này, người ta thường sử dụng các công thức gần đúng để tính toán. Khi n khá lớn, xác suất p không quá gần 0 và không quá gần 1, ta có thể áp dụng công thức tích phân Laplace xấp xỉ như sau: (4) gọi là hàm Gauss trong đó Nhận xét: 1. Để tính giá trị của các hàm f(u), chúng ta có thể tra các giá trị hàm Laplace được tính sẵn ở các bảng phụ lục (thông thường các sách XSTK đều có bảng phụ lục này). 2. Dễ dàng nhận thấy hàm f(u) là hàm chẵn, do đó f(-u) = f(u), nên thông thường các bảng phụ lục chỉ ghi các giá trị ứng với u ≥ 0. 3. Hầu hết các bảng phụ lục chỉ tính f(u) với u ≤ 5. Với u > 5 thì hàm f(u) giảm rất chậm và nhận giá trị gần bằng 0. Do vậy ta có thể lấy f(u) = 0 (với mọi u > 5). 3. Từ công thức trên ta cũng có công thức xấp xỉ:
(hàm Laplace). Hàm Laplace là hàm lẻ, với trong đó x > 5, hàm Laplace tăng rất chậm và nhận giá trị xấp xỉ bằng 0.5. Quay lại ví dụ 3 ở trên, ta sẽ áp dụng công thức tích phân Lapplace để tính xác suất học sinh đó đạt yêu cầu. Rõ ràng: Hay: Khi xác suất p ≈ 0 (rất bé) ta sử dụng định lý sau: Định lý Poisson: Cho X ~ B(n;p). Khi Thì Nghĩa là: khi n khá lớn và p khá nhỏ, n.p = const thì: Ví dụ: Xác suất gặp một thứ phẩm trong một lô hàng áo sơ mi cao cấp là 0,003. Tìm xác suất để gặp 8 thứ phẩm trong 1000 sản phẩm đó. Giải: Do n = 1000 , p = 0,003 ≈ 0 → λ = np = 3 Gọi X là số thứ phẩm trong 1000 sản phẩm thì X ~ B(1000;0,003). Tuy nhiên do n lớn và p khá nhỏ nên ta áp dụng công thức tính xấp xỉ Poisson. Ta có: Các ví dụ tương tự:
1. Một cuốn sách có 500 trang, mỗi trang có hơn 300 chữ. Biết cuốn sách đó có 300 chữ in sai. Mở ngẫu nhiên 1 trang. Tìm xác suất để trang đó có 3 chữ in sai. Đ/s: 0.0198 2. Trong 1 đợt xổ số, người ta phát hành 100.000 vé, trong đó có 10.000 vé trúng giải. Nếu 1 người mua 10 vé thì xác suất trúng ít nhất 1 vé là bao nhiêu? Đ/s: 0,76 3.Một trạm cho thuê xe du lịch có 3 chiếc xe. Hàng ngày, trạm phải nộp tiền trả góp 500.000đ cho 1 chiếc xe (bất kể xe đó có được thuê hay không). Mỗi chiếc được cho thuê với giá 1.500.000 đ /ngày. Giả sử số xe được yêu cầu cho thuê của trạm trong 1 ngày là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(3;0.8). a.Tính số tiền trung bình trạm thu được trong 1 ngày. b. Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe. Theo bạn, trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe? 4. Xác suất để gặp 1 laptop bị lỗi là 0,005. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1000 laptop ta gặp: a. 10 máy bị lỗi. Đ/s: 0.018 b. Có không quá 5 máy bị lỗi Đ/s:0.61596 5. Trong một đợt thi nâng bậc thợ của ngành dệt, mỗi công nhân dự thi sẽ chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 máy và với máy đã chọn dệt 100 sản phẩm. Nếu trong 100 sản phẩm sản xuất ra có từ 75 sản phẩm loại 1 trở lên thì được nâng bậc. Giả sử đối với công nhân A, xác suất để sản xuất được sản phẩm loại 1 đối với 2 máy lần lượt là 0.7 và 0.8. Tính xác suất để công nhân được nâng bậc thợ. Đ/s: 0.5161 d. Các ví dụ: 1. Một thiết bị gồm có 3 bộ phận. Trong khoảng thời gian T, việc các bộ phận đó bị hỏng là độc lập với nhau và với các xác suất tương ứng là: 0,1;
0,2; 0,3. Cả thiết bị sẽ bị hỏng nếu có ít nhất một bộ phận hư hỏng. Tìm xác suất thiết bị hoạt động tốt trong thời gian T đó. Giải: Gọi Ai là biến cố “bộ phận thứ i của thiết bị hoạt động tốt trong khoảng thời gian T” (i = 1, 2, 3 ). Gọi A là biến cố “thiết bị hoạt động tốt trong khoảng thời gian T”. Như vậy: A = A1.A2.A3. Vì A1,A2 ,A3 độc lập toàn phần với nhau, do đó: P(A) = P(A1).P(A2).P(A3) Các biến cố “bộ phận thứ i hoạt động tốt”và “bộ phận thứ i bị hỏng” là đối lập với nhau, cho nên: P(A1) = 1 – 0,1 = 0,9; P(A2) = 1 – 0,2 = 0,8 ; P(A3) = 1 – 0,3 = 0,7 Vậy: P(A) = 0,9. 0,8. 0,7 = 0,504 2. Một xí nghiệp có 3 ô tô hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày các ô tô bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,2; 0,15. Tìm xác suất có một ô tô bị hỏng trong ngày. Giải: Gọi Ai là biến cố “ô tô thứ i bị hỏng trong ngày” (i = ), A là biến cố “có một ô tô bị hỏng trong ngày”. Vì các nhóm biến cố A1. . , .A2. , . .A3 là xung khắc từng đôi và trong mỗi nhóm các biến cố độc lập toàn phần với nhau, do đó: Vì: Cho nên: Vì vậy ta có: P(A) = 0,1.0,8.0,85 + 0,9.0,2.0,85 + 0,9.0,8.0,15 = 0,329
Vỉ dụ 3: Công ty may VT có 3 phân xưởng cùng sản xuất áo sơ mi nam cao cấp. Sản phẩm của phân xưởng 1 chiếm 30% sản phẩm của công ty. Tỉ lệ này ở phân xưởng 2 và 3 đều là 35%. Tỉ lệ áo sơ mi đạt tiêu chuân xuất khẩu ở từng phân xưởng là 95%, 96% và 98%. a. Tìm tỉ lệ áo sơ mi đạt tiêu chuẩn xuất khẩu của công ty? b. Lấy ngẫu nhiên 1 áo từ lô sản phẩm của công ty thì gặp phải áo bị lỗi. Hãy tìm xem khả năng chiếc áo bị lỗi này ở phân xưởng nào? Giải: a. Tìm tỉ lệ áo sơ mi đạt tiêu chuẩn xuất khẩu tương đương với việc “Lấy ngẫu nhiên 1 áo, ta được áo sơ mi đạt tiêu chuẩn”. Vậy đặt A là biến cố: “Lấy ngẫu nhiên 1 áo, ta được áo sơ mi đạt tiêu chuẩn”. Do lấy ngẫu nhiên 1 áo nên áo đó có thể của phân xưởng 1, cũng có thể của phân xưởng 2, phân xưởng 3. Như vậy, việc tìm xác suất để lấy ra 1 áo đạt tiêu chuẩn chính là xác suất để lấy ra 1 áo đạt tiêu chuẩn với điều kiện chiếc áo đó do phân xưởng 1, hoặc 2, 3 tạo ra. Vậy, đặt Bi = “Sản phẩm của phân xưởng i” , i = 1, 2, 3 Khi đó: P(A) = P(A/B1).P(B1) + P(A/B2).P(B2) + P(A/B3).P(B3) Mà: P(B1) = 0,3 ; P(B2) = P(B3) = 0,35. P(A/B1) = 0,95 ; P(A/B2) = 0,96 ; P(A/B3) = 0,98 Do đó: P(A) = 0,3.0,95 + 0,35.0,96 + 0,35.0,98 = 0,964 Vậy tỉ lệ áo sơ mi đạt tiêu chuẩn xuất khẩu của công ty là: 96,4% 2. Ta phải tìm khả năng chiếc áo bị lỗi của phân xưởng nào. Chính là cần phải tính xác suất để chiếc áo bị lỗi của phân xưởng 1, 2 hoặc 3. Nghĩa là cần tính khả năng chọn được phân xưởng 1, 2, 3 trong điều kiện chiếc áo bị lỗi. Hay cần tính:
Đây là mô hình của công thức Bayes. Ta có: Mà: Vậy: Tương tự: Vậy khả năng sản phẩm bị lỗi thuộc về phân xưởng 1 là cao nhất