NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ<br />
NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE KẾT HỢP, ĐƠN MODE<br />
KẾT HỢP THÊM PHOTON VÀ ĐƠN MODE NÉN<br />
VÕ TÌNH<br />
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br />
NGUYỄN ANH BĂNG<br />
Trường THPT Thanh Tuyền, Bình Dương<br />
<br />
Tóm tắt: Từ Hamiltonian của một hệ tương tác gồm các photon và<br />
các nguyên tử của môi trường phi tuyến, các phương trình chuyển động<br />
Heisenberg của các toán tử sinh hủy hạt photon được thiết lập. Thông<br />
qua việc giải hệ phương trình này với phép gần đúng bậc hai theo thời<br />
gian bé và tính phương sai biên độ trực giao bậc cao, mối liên hệ giữa<br />
nén tổng biên độ trực giao đa mode bậc cao Hillery từ các photon ở ngõ<br />
vào với nén biên độ trực giao bậc cao Hillery của photon có tần số tổng<br />
ở ngõ ra được hình thành. Cũng trong bài báo này, điều kiện nén tổng<br />
đa mode bậc cao Hillery tổng quát được rút ra và từ đó nén tổng đa<br />
mode bậc cao Hillery được khảo sát với các photon ở trạng thái kết hợp,<br />
nén kết hợp và kết hợp thêm photon.<br />
1 GIỚI THIỆU<br />
Nén tổng và nén hiệu đa mode tổng quát bậc nhất đã được khảo sát bởi các tác giả Nguyễn<br />
Bá Ân và Võ Tình [5], [6], [7]. Tiếp theo đó các tác giả Võ Tình và Phạm Thị Hạnh Thảo<br />
đã khảo sát nén tổng đa mode bậc cao từ hệ các đơn mode kết hợp và đơn mode nén [3].<br />
Các kết quả nghiên cứu cho thấy bản chất cơ học lượng tử của ánh sáng được bộc lộ trực<br />
tiếp thông qua các trạng thái nén đa mode bậc cao. Việc nghiên cứu các photon nén có<br />
tần số là tổng của các tần số photon ban đầu ở trạng thái kết hợp, trạng thái phi cổ điển<br />
trong môi trường phi tuyến không những có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực công nghệ<br />
mà còn có đóng góp rất lớn trong lĩnh vực khoa học cơ bản, mở rộng tầm hiểu biết của<br />
con người sâu hơn nữa về bản chất của trường điện từ và tương tác của nó với vật chất.<br />
Bài báo này trình bày khảo sát mở rộng công trình [3] với các trạng thái ở ngõ vào là các<br />
đơn mode kết hợp, đơn mode kết hợp thêm photon và đơn mode nén.<br />
Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br />
ISSN 1859-1612, Số 03(23)/2012: tr. 21-29<br />
<br />
22<br />
<br />
VÕ TÌNH - NGUYỄN ANH BĂNG<br />
<br />
2 NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY<br />
Nén tổng đa mode bậc cao Hillery tổng quát đã được nghiên cứu ở [3]. Nội dung của nén<br />
tổng đa mode bậc cao Hillery có thể được tóm tắt như sau: Xét quá trình vật lý xảy ra<br />
trong môi trường phi tuyến, trong đó N photon với tần số ω1 , ω2 , ω3 , ..., ωN kết hợp với<br />
nhau để tạo thành một photon có tần số tổng ΩS = ω1 + ω2 + ω3 + ... + ωN . Hamiltonian<br />
ứng với sự sinh ra một tần số tổng như thế có dạng [2]<br />
ˆS =<br />
H<br />
<br />
N<br />
∑<br />
<br />
ωj n<br />
ˆ j + ΩS n<br />
ˆ S + gS (ˆ<br />
c+<br />
ˆ1 ...ˆ<br />
cN + h.c),<br />
Sc<br />
<br />
(1)<br />
<br />
j=1<br />
<br />
trong đó n<br />
ˆ j = cˆ+<br />
ˆj , n<br />
ˆ S = cˆ+<br />
ˆS với cˆ+<br />
ˆj và cˆ+<br />
ˆS theo thứ tự là các toán tử sinh, huỷ ứng<br />
j c<br />
j ,c<br />
Sc<br />
S,c<br />
với các mode ωj và ΩS . Hằng số tương tác gS được giả thiết là thực. Vì các photon dao<br />
động trong miền quang học với tần số cao cỡ 1015 Hz nên thành phần biến thiên nhanh<br />
được tách riêng ra và viết<br />
cˆj (t) = Cˆj (t)e−iωj t ,<br />
<br />
cˆS (t) = CˆS (t)e−iΩS t ,<br />
<br />
(2)<br />
<br />
trong đó các toán tử Cˆj (t), CˆS (t) biến thiên chậm theo thời gian vì thông thường gS ≪<br />
ωj , ΩS .<br />
Toán tử biên độ trực giao của tần số tổng ΩS luỹ thừa k được định nghĩa<br />
[<br />
]<br />
ˆ C ,k (φ, t) = 1 Cˆ k (t)e−iφ + Cˆ +k (t)eiφ .<br />
X<br />
S<br />
S<br />
2 S<br />
<br />
(3)<br />
<br />
Từ đó ta tính được giao hoán tử<br />
]<br />
ˆ C ,k (φ, t), X<br />
ˆ C ,k (φ + π , t) = i FˆC (k, t),<br />
(4)<br />
X<br />
S<br />
S<br />
2<br />
2 S<br />
[<br />
]<br />
trong đó FˆCS (k, t) = CˆSk (t), CˆS+k (t) . Điều kiện để có nén biên độ luỹ thừa k kiểu Hillery<br />
[<br />
<br />
theo phương φ là<br />
1<br />
V XCS ,k (φ, t) < |⟨FˆCS (k, t)⟩|.<br />
4<br />
<br />
(5)<br />
<br />
ˆ S,k (φ, t) được định nghĩa như sau<br />
Toán tử ′′ tập thể′′ lũy thừa k Q<br />
<br />
ˆ S,k (φ, t) ≡ 1 Cˆ k−1 (t)<br />
Q<br />
S<br />
2<br />
<br />
N<br />
∏<br />
j=1<br />
<br />
+(k−1)<br />
Cˆj (t)e−iφ + CˆS<br />
(t)<br />
<br />
N<br />
∏<br />
<br />
<br />
Cˆj+ (t)eiφ .<br />
<br />
(6)<br />
<br />
j=1<br />
<br />
Từ đó ta tính được giao hoán<br />
[<br />
<br />
(<br />
)]<br />
ˆ S,k (φ, t), Q<br />
ˆ S,k φ + π , t = i FˆS (k, N, t),<br />
Q<br />
2<br />
2<br />
<br />
(7)<br />
<br />
NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO...<br />
<br />
23<br />
<br />
trong đó<br />
+(k−1)<br />
FˆS (k, N, t) = CˆSk−1 (t)CˆS<br />
(t)FˆS (N, t) + FˆCS (k − 1, t)<br />
<br />
N<br />
∏<br />
<br />
n<br />
ˆ j (t).<br />
<br />
(8)<br />
<br />
j=1<br />
<br />
Trạng thái ′′ tập thể′′ của các mode ωj được gọi là nén tổng đa mode bậc cao Hillery theo<br />
hướng φ nếu V QS,k (φ, t) thỏa mãn điều kiện<br />
V QS,k (φ, t) −<br />
<br />
|⟨FˆS (k, N, t)⟩|<br />
< 0,<br />
4<br />
<br />
(9)<br />
<br />
trong đó phương sai<br />
⟨<br />
⟩ ⟨<br />
⟩2<br />
ˆ 2 (φ, t) − Q<br />
ˆ S,k (φ, t) .<br />
V QS,k (φ, t) = Q<br />
S,k<br />
<br />
(10)<br />
<br />
Mối liên hệ giữa nén Hillery đơn mode có tần số tổng với nén tổng đa mode bậc cao Hillery<br />
được rút ra bằng cách dùng Hamiltonian (1) để thiết lập phương trình chuyển động cho<br />
các toán tử cần quan tâm, hệ phương trình thu được có dạng<br />
dCˆj (t)<br />
˙<br />
Cˆj (t) ≡<br />
= −igS<br />
dt<br />
<br />
N<br />
∏<br />
<br />
Cˆk+ (t)CˆS (t),<br />
<br />
(11)<br />
<br />
k=1,k̸=j<br />
<br />
N<br />
∏<br />
dCˆj (t)<br />
˙<br />
Cˆk (t).<br />
= −igS<br />
CˆS (t) ≡<br />
dt<br />
<br />
(12)<br />
<br />
k=1<br />
<br />
Lấy đạo hàm (12) theo thời gian một lần nữa rồi vận dụng (12) vào kết quả tính đạo hàm<br />
cho ta kết quả<br />
¨<br />
CˆS (t) = −gS2 CˆS (t)FˆS (N, t).<br />
(13)<br />
Trong phép gần đúng thời gian ngắn, sự phụ thuộc thời gian của nghiệm CˆS (t) dưới dạng<br />
khai triển Taylor đến bậc hai có dạng (quy ước CˆS (0) = CˆS , ...)<br />
CˆS (t) = CˆS − igS t<br />
<br />
N<br />
∏<br />
j=1<br />
<br />
1<br />
Cˆj − gS2 t2 CˆS FˆS (N ).<br />
2<br />
<br />
(14)<br />
<br />
Với điều kiện bỏ qua số hạng bậc hai trở lên của thời gian và thời điểm ban đầu các mode<br />
không tương quan với nhau ta viết được<br />
(<br />
CˆSk (t) =<br />
<br />
)<br />
N<br />
∏<br />
k 2 2ˆ<br />
k−1<br />
k<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
Cˆj ,<br />
1 − gS t FS (N ) CS − ikgS tCS<br />
2<br />
<br />
(15)<br />
<br />
)<br />
N<br />
∏<br />
k 2 2ˆ<br />
+(k−1)<br />
+k<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
1 − gS t FS (N ) CS + ikgS tCS<br />
Cˆj+ .<br />
2<br />
<br />
(16)<br />
<br />
j=1<br />
<br />
(<br />
CˆS+k (t) =<br />
<br />
j=1<br />
<br />
24<br />
<br />
VÕ TÌNH - NGUYỄN ANH BĂNG<br />
<br />
Khi đó mối liên hệ giữa nén Hillery đơn mode tần số tổng với nén tổng đa mode bậc cao<br />
Hillery được thiết lập<br />
⟩ <br />
1 ⟨<br />
<br />
V ≡ V XCS ,k (φ, t)− FˆCS (k, t) <br />
4<br />
[<br />
<br />
(<br />
⟩ ]<br />
π ) 1 ⟨ ˆ<br />
<br />
= k 2 gS2 t2 V QS,k φ +<br />
− FS (k, N, t) .<br />
2<br />
4<br />
<br />
(17)<br />
<br />
Phương trình (17) cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa nén đơn mode Hillery có tần số tổng<br />
ở thời điểm t > 0 với nén tổng đa mode bậc cao Hillery ở thời điểm t = 0. Theo đó không<br />
có nén tổng đa mode bậc cao Hillery thì cũng không tồn tại nén đơn mode Hillery của<br />
mode cˆS .<br />
Qua tính toán ta được biểu thức của điều kiện nén tổng đa mode bậc cao Hillery:<br />
<br />
<br />
{<br />
<br />
2(k−1) <br />
<br />
V =2Re e−2iφ αS<br />
<br />
[<br />
+ 2 |αS |2(k−1)<br />
<br />
N ⟨<br />
∏<br />
<br />
⟩<br />
<br />
Cˆj2 −<br />
<br />
j=1<br />
N<br />
∏<br />
<br />
⟨ˆ<br />
nj ⟩ −<br />
<br />
j=1<br />
<br />
N ⟨<br />
∏<br />
<br />
Cˆj<br />
<br />
⟩2<br />
<br />
j=1<br />
N ⟨<br />
∏<br />
<br />
Cˆj+<br />
<br />
⟩⟨<br />
<br />
Cˆj<br />
<br />
⟩<br />
<br />
}<br />
<br />
]<br />
<br />
(18)<br />
< 0.<br />
<br />
j=1<br />
<br />
Dựa vào (18) ta sẽ khảo sát nén tổng đa mode bậc cao với các hệ đặc biệt. Nếu V < 0 thì<br />
hệ có nén tổng. Còn không, hệ không được nén tổng.<br />
3 NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN<br />
MODE KẾT HỢP, ĐƠN MODE KẾT HỢP THÊM PHOTON VÀ ĐƠN MODE<br />
NÉN<br />
a) Trường hợp tất cả các mode đều ở trạng thái kết hợp thêm photon<br />
Một mode kết hợp thêm photon được mô tả bởi số phức αp = rp eiϑp và số nguyên m. Theo<br />
đó véc tơ trạng thái kết hợp thêm photon được xác định bởi<br />
|αp , m⟩ =<br />
<br />
a<br />
ˆ+m |αp ⟩<br />
,<br />
[m!Lm (−|αp |2 )]1/2<br />
<br />
(19)<br />
<br />
với<br />
Lm (x) =<br />
<br />
m<br />
∑<br />
n=0<br />
<br />
(−x)n m!<br />
(n!)2 (m − n)!<br />
<br />
là đa thức Laguerre bậc m (m là số nguyên dương) theo x.<br />
Sử dụng véctơ trạng thái kết hợp thêm photon ta tính được một số giá trị trung bình ở<br />
trạng thái này như sau:<br />
<br />
25<br />
<br />
NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO...<br />
<br />
m<br />
∑<br />
<br />
m<br />
∑<br />
<br />
Li (− | αp |2 )<br />
<br />
⟨Cˆp+ ⟩ = αp∗ i=0<br />
,<br />
Lm (− | αp |2 )<br />
m<br />
∑<br />
(m + 1 − i)Li (− | αp |2 )<br />
⟨Cˆp2 ⟩ = αp2 i=0<br />
,<br />
Lm (− | αp |2 )<br />
<br />
Li (− | αp |2 )<br />
<br />
⟨Cˆp ⟩ = αp i=0<br />
,<br />
Lm (− | αp |2 )<br />
<br />
⟨ˆ<br />
np ⟩ =<br />
<br />
(20)<br />
<br />
(m + 1)Lm+1 (− | αp |2 )<br />
− 1.<br />
Lm (− | αp |2 )<br />
<br />
Xét trường hợp các mode kết hợp thêm photon là giống nhau αp = rp eiϑp và tham số kết<br />
hợp αS = rS eiϑS . Thay (20) vào (18) ta được<br />
{<br />
[ (<br />
)]<br />
2(k−1)<br />
V1 = 2rS<br />
rp2N cos 2 − φ + (k − 1)ϑS + N ϑp<br />
[(<br />
<br />
m<br />
∑<br />
<br />
(m + 1 −<br />
<br />
i)Li (−rp2 ) )N<br />
<br />
i=0<br />
<br />
×<br />
<br />
+<br />
<br />
(m<br />
<br />
+ 1)Lm+1 (−rp2 )<br />
Lm (−rp2 )<br />
<br />
Lm (−rp2 )<br />
<br />
)N<br />
−1<br />
<br />
Li (−rp2 ) )2N ]<br />
<br />
i=0<br />
<br />
−<br />
<br />
Lm (−rp2 )<br />
(<br />
<br />
(<br />
<br />
m<br />
∑<br />
<br />
(<br />
<br />
m<br />
∑<br />
<br />
Li (−rp2 ) )2N }<br />
<br />
i=0<br />
<br />
− rp2N<br />
<br />
.<br />
<br />
Lm (−rp2 )<br />
<br />
(21)<br />
<br />
Kết quả khảo sát ở hình 1 cho thấy rằng nếu k càng tăng thì chu kỳ nén theo ϑS càng<br />
giảm, hay nói cách khác là xác suất có nén tăng lên.<br />
HbL<br />
<br />
HaL<br />
<br />
2<br />
V1 1<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
0<br />
<br />
4<br />
3<br />
2 rp<br />
1<br />
<br />
4<br />
3<br />
2 rp<br />
<br />
0<br />
1<br />
<br />
1<br />
JS<br />
<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
<br />
V1<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
JS<br />
<br />
3<br />
<br />
0<br />
<br />
−5<br />
<br />
2<br />
3<br />
<br />
0<br />
<br />
Hình 1: Đồ thị của hàm V1 × 10 khảo sát theo ϑS và rp với ϑp = 0; φ = 0; N =<br />
5; m = 1; rS = 2. Hình (a) k = 2. Hình (b) k = 3.<br />
b) Trường hợp có L mode ở trạng thái kết hợp thêm photon và các mode còn lại ở trạng<br />
thái kết hợp<br />
Một mode kết hợp được mô tả bởi số phức αq = rq exp{iϑq }, q = 1, 2, ..., N . Theo đó véc<br />
tơ trạng thái kết hợp được xác định bởi<br />
(<br />
)<br />
⟩<br />
(<br />
) ⟩<br />
1<br />
2<br />
|αq = exp − |αq | exp αq a<br />
ˆ+ |0 .<br />
(22)<br />
2<br />
<br />
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
