Nghiệm chính xác cho bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM với các điều kiện biên khác nhau

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Nghiệm chính xác cho bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM với các điều kiện biên khác nhau" trình bày các nghiên cứu mới về dao động cưỡng bức của dầm nano FGM trên nền đàn hồi theo lý thuyết đàn hồi không cục bộ (NET) với các điều kiện biên khác nhau. Vật liệu FGM giả thiết thay đổi theo chiều cao dầm theo quy luật lũy thừa (P-FGM). Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiệm chính xác cho bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM với các điều kiện biên khác nhau

286 342 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Nghiệm chính xác cho bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM với các điều kiện biên khác nhau Trần Văn Liên1*, Trần Bình Định1, Nguyễn Tất Thắng1 1 Trường Đại học Xây dựng Hà Nội * Email: LienTV@huce.edu.vn Tóm tắt: Bài báo trình bày các nghiên cứu mới về dao động cưỡng bức của dầm nano FGM trên nền đàn hồi theo lý thuyết đàn hồi không cục bộ (NET) với các điều kiện biên khác nhau. Vật liệu FGM giả thiết thay đổi theo chiều cao dầm theo quy luật lũy thừa (P-FGM). Áp dụng nguyên lý Hamilton, các tác giả đã thiết lập được biểu thức nghiệm chính xác cho bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM trong miền tần số theo lý thuyết dầm Timoshenko trên nền đàn hồi Winkler có tính đến vị trí trục trung hòa thực với các điều kiện biên khác nhau. Từ đó, các tác giả đã nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số không cục bộ, vật liệu, điều kiện biên và nền đến dao động cưỡng bức của dầm. Các kết quả nhận được có thể phát triển cho dầm bằng vật liệu FGM khác cũng như các kết cấu dầm phức tạp hơn. Từ khóa: Dầm nano, FGM, Đàn hồi không cục bộ, Nền đàn hồi, Dao động cưỡng bức. 1. Mở đầu Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) [1, 2] là vật liệu tổng hợp thế hệ mới được tạo thành từ hai hoặc nhiều vật liệu thành phần với sự thay đổi liên tục về tỷ lệ các thành phần theo một hoặc nhiều hướng. Do FGM loại trừ được sự tập trung ứng suất và tăng độ bám dính giữa các vật liệu nên FGM được sử dụng nhiều trong các hệ macro thuộc lĩnh vực hàng không, thiết bị điện tử, tự động, kỹ thuật sinh học, kỹ thuật cơ khí, hệ thống cơ điện,... cũng như trong các hệ micro/nano như MEMS/NEMS để đạt được độ nhạy cao và hiệu suất mong muốn. Các cấu trúc có kích thước nano như dầm, tấm và vỏ được sử dụng rộng rãi trong các thiết bị NEMS, trong đó dầm nano đặc biệt thu hút ngày càng nhiều sự chú ý do các ứng dụng tiềm năng khác nhau của chúng. Do kích thước kết cấu nano tương đương với khoảng cách giữa các nguyên tử nên cần áp dụng các lý thuyết động lực học nguyên tử, cơ học thống kê hay cơ học môi trường liên tục (CHMTLT) hiện đại để giải. Trong đó CHMTLT hiện đại với việc bổ sung các thành phần ứng suất và biến dạng mới cũng như các phương trình vật lý giữa ứng suất và biến dạng đã cho kết quả nhanh và phù hợp với kết quả từ động lực học nguyên tử hay cơ học thống kê. Hiện nay có khoảng trên mười lý thuyết CHMTLT như vậy [3], mỗi lý thuyết sử dụng một số nhất định các hằng số thực nghiệm. Lý thuyết đàn hồi không cục bộ (NET) của Eringen [4] giả định rằng ứng suất tại một điểm không những phụ thuộc biến dạng tại điểm đó mà còn cả các điểm xung quanh và sử dụng một hằng số nên lý thuyết này được sử dụng khá rộng rãi cho cả vật liệu đồng nhất [5-7] và vật liệu FGM [8]. Sử dụng NET, Reddy [9] đã thiết lập các phương trình cân bằng, dao động và ổn định của các dầm nano đồng nhất theo NET cho các lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, Timoshenko, Reddy và Levinson. Nhiều tác giả khác đã phát triển các phương pháp giải tích [10-12], PTHH [13-16], phương pháp biến đổi vi phân [17], phương pháp cầu phương vi phân [18],… để nghiên cứu ứng xử uốn, ổn định và dao động tự do của các thanh nano từ các vật liệu đồng nhất. Đối với dầm nano FGM, Simsek và Yurtcu [19], Rahmani và Pedram [20] đã nghiên cứu ứng xử uốn và ổn định của dầm Timoshenko dùng phương pháp giải tích. Ebrahimi và Salari [21] đã sử dụng phương pháp bán giải tích để nghiên cứu dao động tự do và ổn định của dầm nano Euler – Bernoulli FGM có xét đến vị trí thực của mặt trung hòa. Phương pháp PTHH phổ cũng được Narendar
287 Nghiệm chính xác cho bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM với các điều kiện biên khác nhau và Gopalakrishnan [22] sử dụng để khảo sát dao động tự do của dầm nano FGM. Uymaz [23] đã nghiên cứu dao động cưỡng bức dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Atanasov và Stojanovic [24] dùng phương pháp Galerkin nghiên cứu dao động cưỡng bức của dầm công xôn quay. Akbas đã phân tích dao động dọc cưỡng bức của thanh nano đồng nhất có vết nứt [25]. Nói chung bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM còn ít được nghiên cứu. Đồng thời, các nghiệm giải tích tìm được trên đây chủ yếu dưới dạng chuỗi Navie nên chỉ hạn chế cho điều kiện biên dầm hai đầu liên kết đơn giản. Đối với các điều kiện biên khác, các tác giả phải áp dụng phương pháp PTHH để phân tích dao động và ổn định của dầm nano FGM theo lý thuyết dầm Euler - Bernoulli [26, 27] và lý thuyết dầm Timoshenko [28-30]. Đối với bài toán dao động phi tuyến, Trabelsi và các cộng sự đã nghiên cứu dao động tự do và cưỡng bức phi tuyến của dầm nano FGM Timoshenko nằm trên nền đàn hồi bằng phương pháp đa tỷ lệ kết hợp cầu phương vi phân [31] và phương pháp PTHH bậc cao [32]. Trong nghiên cứu này, các tác giả thiết lập phương trình dao động của dầm nano FGM nằm trên nền đàn hồi dựa trên NET và lý thuyết dầm Timoshenko có tính đến vị trí thực của trục trung hòa. Từ đó thiết lập biểu thức nghiệm giải tích cho bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM trong miền tần số với các điều kiện biên khác nhau. Độ tin cậy của lời giải được kiểm chứng khi so sánh với các kết quả đã được các tác giả khác công bố. Từ đó, các tác giả đã xem xét ảnh hưởng của các tham số không cục bộ, vật liệu, điều kiện biên và nền đến dao động cưỡng bức của dầm nano FGM. 2. Dao động cưỡng bức của dầm nano FGM 2.1. Phương trình dao động z Et Gt ρt νt Trục trung hòa h x Eb Gb ρb νb b Hình 1: Dầm nano FGM Xét một dầm nano FGM có chiều dài L, mặt cắt ngang hình chữ nhật A = b × h (Hình 1.1). Giả thiết vật liệu FGM thay đổi theo chiều cao dầm theo quy luật lũy thừa (P-FGM) [1] {P( z )} = {Pb } + {Pt − Pb }( z h + 0.5 ) ; − 0.5 ≤ z h ≤ 0.5 n (1) trong đó P lần lượt là mô đun đàn hồi Young E, mô đun đàn hồi trượt G và mật độ khối lượng ρ; chỉ số t và b chỉ vật liệu lớp trên và dưới; z là tọa độ của điểm đến mặt trung bình, n là chỉ số phần thể tích. Chuyển vị của điểm theo lý thuyết dầm Timoshenko có dạng u ( x, z= u0 ( x, t ) − ( z − h0 )θ ( x, t ); w( x, z= w0 ( x, t ) ,t) ,t) (2) trong đó u 0 (x,t), w 0 (x,t) là chuyển vị dọc trục, độ võng của điểm trên trục trung hòa; h 0 là khoảng cách giữa trục trung hòa và trục trung bình; θ là góc quay của tiết diện quanh trục y. Biến dạng của dầm là ε xx =∂u0 / ∂x − ( z − h0 )∂θ / ∂x; γ xz =∂w0 / ∂x − θ (3) Ký hiệu ( A11 , A12 , A= ∫ E ( z ) (1, z − h0 , ( z − h0 ) 22 ) ) dA ; = η ∫ G( z)dA; ( I , I 22 ) , I= ∫ ρ ( z) (1, z − h , ( z − h ) ) dA 2 2 A 33 11 12 0 0 A A A (4) 343
288 Trần Văn Liên, Trần Bình Định trong đó η là hệ số hiệu chỉnh cắt, η=5/6 cho tiết diện hình chữ nhật. Do môdun đàn hồi thay đổi theo chiều cao dầm nên trục trung hòa không trùng với trục trung bình. Bỏ qua ảnh hưởng của chuyển vị dọc và hiệu ứng không cục bộ, sử dụng quan = Eε xx ; σ xz Gγ xz [28], vị trí trục trung hòa được xác hệ σ xx = định từ điều kiện lực dọc trên tiết diện bằng không. Điều đó dẫn đến A 12 =0 và n( RE − 1)h E h0 = ; RE = t 2(n + 2)(n + RE ) Eb (5) Áp dụng nguyên lý Hamilton, ta nhận được phương trình cân bằng ∂N ∂ 2u ∂ 2θ ∂Q ∂ 2 w ∂M ∂ 2u ∂ 2θ = I11 20 − I12 2 ; = I11 2 0 ; +p +q = I12 20 − I 22 2 −Q ∂x ∂t ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t ∂t (6) trong đó N, M, Q lần lượt là lực dọc, mô men uốn và lực cắt trên tiết diện N = M =)σ xx dA ; Q = ∫ σ xx dA ; ∫ ( z − h0 ∫ σ xz dA A A A (7) Điều kiện biên tương ứng là u 0 =0 hay N = N ; w 0 =0 hay V = Q ; θ=0 hay M = M trong đó N , V , M lần lượt là lực dọc, lực cắt và mômen uốn tại các đầu dầm x=0, x=L. Xét đến ảnh hưởng của nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler với hệ số nền theo phương chuyển vị dọc k u và ngang k w , ta có p =; q = −ku .u −kw .w (8) Phương trình vật lý cho dầm đàn hồi theo lý thuyết đàn hồi không cục bộ [4] có dạng ∂ 2σ xx ∂ 2σ xz σ xx − µ = Eε xx ; σ xz − µ = Gγ xz ; µ = ( e0 a ) 2 ∂x 2 ∂x 2 (9) trong đó e 0 là hằng số cho mỗi loại vật liệu; a và l là chiều dài đặc trưng bên trong và ngoài của dầm nano; µ = e0 a 2 gọi là tham số không cục bộ. 2 Đạo hàm biểu thức (6) và sử dụng các quan hệ (3) và (9), ta nhận được ∂u0 ∂θ  ∂ 3 u0 ∂ 3θ ∂p   ∂w   ∂ 3 w0 ∂q  = A11 N − A12 + µ  I11 − I12 −  ;= A33  0 − θ  + µ  I11 Q −  ∂x ∂x  ∂x∂t 2 ∂x∂t 2 ∂x   ∂x   ∂x∂t 2 ∂x  ∂u0 ∂θ  ∂2w ∂ 3 u0 ∂ 3θ  = A12 M − A22 + µ  + I11 2 0 + I12 − I 22 − q ∂x ∂x  ∂t ∂x∂t 2 ∂x∂t 2  (10) Thay (10) vào (6) dẫn đến phương trình vi phân dao động ∂ 2 u0 ∂ 2θ ∂ 2u ∂ 2θ  ∂ 4u ∂ 4θ  ∂2 p A11 − A12 2 − I11 20 + I12 2 + µ  I11 2 0 2 − I12 2 2  = p + µ 2 − ∂x 2 ∂x ∂t ∂t  ∂x ∂t ∂x ∂t  ∂x ∂ 2θ ∂ 2u  ∂w  ∂ 2θ ∂ 2u ∂ 4u ∂ 4θ A22 2 − A12 20 + A33  0 − θ  − I 22 2 + I12 20 − µ I12 2 0 2 + µ I 22 2 2 =0 ∂x ∂x  ∂x  ∂t ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t  ∂ 2 w ∂θ  ∂2w ∂4w ∂2q A33  20 −  − I11 2 0 + µ I11 2 02 = q + µ 2 −  ∂x ∂x  ∂t ∂x ∂t ∂x (11) và điều kiện biên tự nhiên tương ứng
289 Nghiệm chính xác cho bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM với các điều kiện biên khác nhau ∂u ∂θ  ∂ 3 u0 ∂ 3θ ∂p   ∂w   ∂ 3 w0 ∂q  N = 0 − A12 A11 + µ  I11 − I12 −  ; V = 0 − θ  + µ  I11 A33  −  ∂x ∂x  ∂x∂t 2 ∂x∂t 2 ∂x   ∂x   ∂x∂t 2 ∂x  ∂u0 ∂θ  ∂2w ∂ 3 u0 ∂ 3θ  M = A12 − A22 + µ  I11 2 0 + I12 − I 22 − q ∂x ∂x  ∂t ∂x∂t 2 ∂x∂t 2  (12) Đặt: ∞ ∞ {U , Θ,W } ∫ {u0 (= − iωt {  } ∫ { p( x, t ), q( x, t )} e x, t ),θ ( x, t ), w0 ( x, t )} e dt ; P ( x, ω ), Q( x, ω ) − iωt dt −∞ −∞ (13) Trong miền tần số, phương trình dao động (11) có dạng  A  {z ′′} + B  {z ′} + C  {z} =      − {q}     (14) và điều kiện biên tự nhiên (12) có dạng (N Q) [BF ]{z} − µ {Q}  T M= (15) với các ma trận  A11 − µ ( I11ω 2 − ku ) − ( A12 − µ I12ω 2 ) 0    0 0 0     = −( A − µI ω2 )     ; B  = 0  A  A22 − µ I 22ω 2 0 0 A33  12 12     0 −A    0 0 A33 − µ ( I11ω 2 − kw )    33 0     d 2P   P−µ 2    I11ω 2 − ku − I12ω 2 0  U  dx   dP dx           C  =I12ω 2    − I 22ω 2 − A33 0  ; {z} = ; {q} = 0 Θ    ; Q =  Q  { }  I11ω 2 − kw  W   2    dQ dx    0 0    Q − µ d Q        dx 2  (16) và toán tử điều kiện biên (  A11 − µ ( I11ω 2 − ku ) ∂ x  ) − ( A12 − µ I12ω 2 ) ∂ x 0   [ B F ] =  ( A12 − µ I12ω 2 ) ∂ x − ( A22 − µ I 22ω 2 ) ∂ x − µ ( I11ω 2 − kw )       0 − A33 (A33 − µ ( I11ω 2 − kw ) ) ∂x    (17) 2.2. Dao động cưỡng bức của dầm nano FGM Khi không có tải trọng ngoài, phương trình (14) có dạng  A  {z ′′} + B  {z ′} + C  {z} =      {0}     (18) Chọn nghiệm phương trình (18) dưới dạng {z 0 } = {d} e λx dẫn đến 345
290 Trần Văn Liên, Trần Bình Định (λ 2  A  + λ  B  + C  {d} =          ) {0} (19) Phương trình (19) có nghiệm không tầm thường khi định thức bằng không, dẫn đến phương trình bậc ba đối với η=λ2 với 3 nghiệm là η1 (ω ),η 2 (ω ),η 3 (ω ) . Ký hiệu: λ1,4 =λ2,5 =λ3,6 =k j = j = ± k1 ; ± k2 ; ± k3 ; η j ; 1, 2,3 (20) Khi đó nghiệm phương trình (18) có dạng {z 0 ( x, ω )} = [G1 ( x, ω ) G 2 ( x, ω )]{C} (21) trong đó {C} = (C1 ,..., C 6 )T là véc tơ các hằng số độc lập và α1e k1 x α 2 e k2 x α 3e k3 x   α1e − k1 x α 2 e− k x2 α 3e− k x  3    − k1 x  [G1 ( x, ω )] ek1x = = e k2 x e k3 x  ; [G 2 ( x, ω ) ]  e e − k2 x e − k3 x   β1e k1 x β 2 e k2 x β 3e k3 x   − β1e − k1 x − β 2 e − k2 x − β 3e − k3 x      (22) αj = ( A − µI ω )k + I ω 12 12 2 2 ;β j 12 2 = 1, 2,3 A33 k j ;j  A − µ ( I ω − k ) k + I ω − k  A33 − µ ( I11ω 2 − kw )  k 2 + I11ω 2 − kw 2 2 2 j  11 11  u j 11 u   j (23) Nghiệm riêng của phương trình (14) có thể biểu diễn dưới dạng x {z ( x,ω )} ∫ [ H( x − τ ,ω )]{q(τ ,ω )} dτ = q 0 (24) trong đó [H(x,ω)] là ma trận hàm truyền thỏa mãn hệ phương trình  A  .[ H′′] + B  .[ H′] + C .[ H ] = [ 0]      (25) với các điều kiện biên đầu trái dầm −1 = [0] ; [ H ′(0) ] [ H (0) ] =  A (26) Nghiệm đầy đủ của phương trình (14) cho dầm nano FGM theo lý thuyết dầm Timoshenko là {z c ( x, ω )} = [G ( x, ω )]{C} − {z q ( x, ω )} (27) Điều kiện biên (15) có thể viết dưới dạng = 0= L 0 c x= µ Q ; {B ( z ) } µ Q L {B ( z ) } =  0 L c x  { } { } (28) với [B 0 ], [B L ] là các ma trận toán tử 3×3. Do số hạng thứ hai của (27) thỏa mãn điều kiện biên tầm thường tại x=0 nên khi áp điều kiện biên thứ nhất của (28) vào số hạng thứ nhất của (27), ta nhận được [B0 ]{z 0 } =[B01 ]{C0 } + [B02 ]{CL } = µ {Q0 }  (29) với các hằng số {C0 } = (= ( C4 , C5 , C6 ) C1 , C2 , C3 ) ;{C L } T T và các ma trận
291 Nghiệm chính xác cho bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM với các điều kiện biên khác nhau [B01 (ω )] B0 ( G1 ( x,ω ) ) x  ;[B02 (ω )]  = = B 0 ( G 2 ( x, ω ) ) x 0  = 0=   (30) Khử {C0 } từ (29) ta nhận được {C0 } [B01 ] µ {Q 0 } − [ B 01 ] .[ B 02 ].{C L }  −1 −1 = (31) Do đó nghiệm {Z 0 ( x)} có thể viết dưới dạng {z 0 ( x, ω )} [G1 ( x, ω )].[B01 ] µ {Q 0 } + [G 0 ( x, ω )].{C L }  −1 = (32) trong đó [G 0 (x,ω)] là ma trận [G 0 ( x, ω )] [G 2 ( x, ω )] − [G1 ( x, ω )].[B01 ] .[B02 ] −1 = (33) Do nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện biên đầu trái dầm là {z q (0, ω )} = {z ′q (0, ω )} = {0} nên ta nhận được biểu thức nghiệm chính xác cho bài toán dao động cưỡng bức của (14) viết dưới dạng {z c= µ [G1 ( x, ω )].[ B 01 ] {Q 0 } + [G 0 ( x, ω )]{CL } − {z q ( x, ω )}  ( x, ω )}  −1 (34) Số hạng thứ nhất của biểu thức nghiệm (34) thể hiện ảnh hưởng của điều kiện biên bên trái, số hạng thứ hai thể hiện đáp ứng tần số của dầm, số hạng cuối là nghiệm riêng tương ứng với dạng tải trọng ngoài cho trước. Áp điều kiện biên bên phải dầm (28) cho nghiệm (34), ta nhận được phương trình xác định các hằng số {C L } như sau [B L 0 (ω )].{CL } =  ({ } {b Lq (ω )} + µ Q L − [ B L1 ].[ B 01 ] Q 0 −1  { }) (35) trong đó =  ; {b Lq (ω )} B L ( z q ( x, ω ) ) x = B L ( G 0 ( x, ω ) ) x L= L ; [ B L1 ] B L G1 ( x, ω ) x = L  [BL 0 (ω )]  = =   { } (36) Giải phương trình (35), ta xác định được các hằng số {C L }. 3. Kết quả số Bảng 1 là so sánh kết quả tính tần số riêng không thứ nguyên đầu tiên của một dầm nano FGM hai đầu gối tựa đơn với kết quả của Aria và Friswell [30] theo các tham số không cục bộ µ * = ( e0 a h ) , 2 tham số vật liệu n và tỷ số chiều dài/chiều cao dầm L/h khác nhau. Sự trùng hợp hoàn toàn kết quả cũng nhận được với các điều kiện biên khác. Bảng 1. So sánh kết quả tính tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm nano FGM với kết quả của Aria và Friswell n=0.1 n=0.5 n=1 n=2 n=5 µ* Bài báo [30] Bài báo [30] Bài báo [30] Bài báo [30] Bài báo [30] L/h=20 0 3.3289 3.3289 3.9361 3.9361 4.2051 4.2051 4.4662 4.4662 4.8100 4.8100 1 3.2885 3.2885 3.8884 3.8884 4.1541 4.1541 4.4121 4.4121 4.7518 4.7518 2 3.2496 3.2496 3.8424 3.8424 4.1050 4.1050 4.3599 4.3599 4.6956 4.6956 3 3.2121 3.2121 3.7980 3.7980 4.0576 4.0576 4.3095 4.3095 4.6413 4.6413 347
292 Trần Văn Liên, Trần Bình Định 4 3.1758 3.1758 3.7551 3.7551 4.0117 4.0117 4.2609 4.2609 4.5889 4.5889 5 3.1408 3.1408 3.7137 3.7137 3.9674 3.9674 4.2138 4.2138 4.5382 4.5382 L/h=100 0 3.3427 3.3427 3.9512 3.9512 4.2203 4.2203 4.4819 4.4819 4.8272 4.8272 1 3.3411 3.3411 3.9493 3.9493 4.2183 4.2183 4.4797 4.4797 4.8248 4.8248 2 3.3395 3.3395 3.9473 3.9473 4.2162 4.2162 4.4775 4.4775 4.8224 4.8224 3 3.3378 3.3378 3.9454 3.9454 4.2141 4.2141 4.4753 4.4753 4.8200 4.8200 4 3.3362 3.3362 3.9434 3.9434 4.2120 4.2120 4.4731 4.4731 4.8177 4.8177 5 3.3345 3.3345 3.9415 3.9415 4.2100 4.2100 4.4709 4.4709 4.8153 4.8153 Hình 2 là so sánh kết quả tính chuyển vị không thứ nguyên và góc xoay không thứ nguyên = wA22 qL4 ; θ θ A22 qL3 w = cho dầm với hai gối tựa đơn chịu tải trọng tĩnh phân bố đều và dầm công xôn chịu tải trọng phân bố tuyến tính bằng vật liệu đồng nhất (đường tô màu) và kết quả của Wang [12] (đường đen trắng). Các đường cong trùng khít nhau thể hiện độ tin cậy của nghiệm đề xuất. a) b) c) Hình 2: So sánh kết quả chuyển vị và góc xoay của dầm với hai gối tựa đơn chịu tải trọng phân bố đều (a), (b), chuyển vị của dầm xông xôn chịu tải trọng phân bố tuyến tính (c) với kết quả của Wang. Dưới đây, để đơn giản, ta chỉ xét trường hợp dầm nano FGM chịu tải trọng phân bố đều với các tham số hình học L=10nm, b=h=1nm, vật liệu FGM có mặt trên là kim loại: E t = 70GPa, G t = 26GPa, ρ t =2700kg/m3; mặt dưới là gốm: E b =393GPa, G b =157GPa, ρ b =3960kg/m3, hệ số Poisson ν=0.3. Dầm chịu tải trọng phân bố đều với tần số lực kích động là 1000Hz. -3 Chuyen vi Mo ment Luc cat 10 2 0.01 0.4 m*=0 m*=0 m*=0 m*=2 m*=2 m*=2 0 0.3 m*=4 m*=4 0 m*=4 -0.01 0.2 -2 -0.02 0.1 -4 -0.03 0 -0.04 -6 -0.1 -0.05 -8 -0.2 -0.06 -10 -0.3 -0.07 -12 -0.08 -0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L x/L x/L a) b) c) Hình 3: Chuyển vị (a), mômen (b) và lực cắt của dầm nano FGM hai đầu gối tựa chịu tải trọng phân bố đều trên nền đàn hồi với các hệ số không cục bộ khác nhau: µ*=0,2,4. Hình 3 là biểu đồ chuyển vị, mômen và lực cắt không thứ nguyên của dầm nano FGM hai đầu gối tựa cố định-di động chịu tải trọng phân bố đều trên nền đàn hồi với hệ số nền k w =100MPa và chỉ số phần thể tích n=2 với các hệ số không cục bộ khác nhau: µ*=0,2,4. Khi tham số không cục bộ tăng, chuyển vị tại giữa nhịp tăng lên nhưng mômen tại giữa nhịp và lực cắt tại hai đầu dầm giảm đi. Khi không xét đến hệ số nền, giá trị của mômen và lực cắt không đổi theo hệ số không cục bộ, hiện tượng
293 Nghiệm chính xác cho bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM với các điều kiện biên khác nhau này gọi là «nghịch lý không cục bộ», đã được nêu trong [33] cho trường hợp dầm chịu tải trọng tĩnh. Tương tự, biểu đồ chuyển vị, góc xoay, lực cắt của dầm hai đầu ngàm và biểu đồ mômen, lực cắt của dầm công xôn cũng không thay đổi theo tham số không cục bộ. Hình 4 là biểu đồ chuyển vị, mômen và lực cắt không thứ nguyên của dầm nano FGM hai đầu gối tựa cố định-di động chịu tải trọng phân bố đều với hệ số không cục bộ µ*=2, chỉ số phần thể tích n=2 và các hệ số nền khác nhau: k w =0, 100, 300MPa. Khi hệ số nền đàn hồi tăng, chuyển vị, mômen của dầm tại giữa nhịp và lực cắt tại hai đầu dầm giảm đi. 10 -3 Chuyen vi Mo ment Luc cat 2 0.02 0.6 kw=0 kw=0 kw=0 kw=1.0e8Mpa 0 kw=1.0e8Mpa 0 kw=1.0e8Mpa kw=3.0e8Mpa kw=3.0e8Mpa kw=3.0e8Mpa 0.4 -2 -0.02 -4 0.2 -0.04 -6 -0.06 0 -8 -0.08 -10 -0.2 -0.1 -12 -0.4 -14 -0.12 -16 -0.14 -0.6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L a) x/L b) x/L c) Hình 4: Chuyển vị (a), mômen (b) và lực cắt (c) của dầm nano FGM hai đầu gối tựa chịu tải trọng phân bố đều trên nền đàn hồi với các hệ số nền khác nhau: kw=0, 100, 300MPa. 10 -3 Chuyen vi Mo ment Luc cat 2 0.01 0.4 n=0 n=0 n=0 n=2 0 n=2 n=2 0.3 0 n=10 n=10 n=10 -0.01 0.2 -2 -0.02 0.1 -0.03 -4 -0.04 0 -6 -0.05 -0.1 -8 -0.06 -0.2 -0.07 -10 -0.3 -0.08 -12 -0.09 -0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L a) x/L b) x/L c) Hình 5: Chuyển vị (a), mômen (b) và lực cắt (c) của dầm nano FGM hai đầu gối tựa chịu tải trọng phân bố đều trên nền đàn hồi với các chỉ số phần thể tích khác nhau: n=0,2,10. 10 -3 Chuyen vi Mo ment Luc cat 2 0.02 0.6 n=0 n=0 n=0 n=2 n=2 n=2 0 0 n=10 n=10 n=10 0.4 -2 -0.02 -4 0.2 -0.04 -6 -0.06 0 -8 -0.08 -10 -0.2 -0.1 -12 -0.4 -14 -0.12 -16 -0.14 -0.6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L x/L x/L a) b) c) Hình 6: Chuyển vị (a), mômen (b) và lực cắt (c) của dầm nano FGM hai đầu gối tựa chịu tải trọng phân bố đều trên nền đàn hồi với các chỉ số phần thể tích khác nhau: n=0,2,10 khi không xét nền đàn hồi. Hình 5 là biểu đồ chuyển vị, mômen và lực cắt không thứ nguyên của dầm nano FGM hai đầu 349
294 Trần Văn Liên, Trần Bình Định gối tựa cố định-di động chịu tải trọng phân bố đều trên nền đàn hồi với hệ số nền k w =100MPa và tham số không cục bộ µ*=2 với các chỉ số phần thể tích khác nhau: n=0,2,10. Khi chỉ số phần thể tích tăng, chuyển vị, mômen tại giữa dầm và lực cắt tại 2 đầu dầm tăng lên. Khi không xét ảnh hưởng của nền, sự thay đổi của các biểu đồ này rất nhỏ (Hình 6) cho cả các điều kiện biên khác. -3 10 Chuyen vi Mo ment Luc cat 2 0.01 0.4 E2E1=0.1 E2E1=0.1 E2E1=0.1 E2E1=2 0 E2E1=2 E2E1=2 0 0.3 E2E1=10 E2E1=10 E2E1=10 -0.01 0.2 -2 -0.02 0.1 -0.03 -4 -0.04 0 -6 -0.05 -0.1 -8 -0.06 -0.2 -0.07 -10 -0.3 -0.08 -12 -0.09 -0.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L a) x/L b) x/L c) Hình 7: Chuyển vị (a), mômen (b) và lực cắt (c) của dầm nano FGM hai đầu gối tựa chịu tải trọng phân bố đều trên nền đàn hồi với tỷ số mô đun đàn hồi lớp trên và dưới khác nhau: Eb/Et=0.1, 5, 10. Hình 7 là biểu đồ chuyển vị, mômen và lực cắt không thứ nguyên của dầm nano FGM hai đầu gối tựa cố định-di động chịu tải trọng phân bố đều trên nền đàn hồi với hệ số không cục bộ µ*=2, chỉ số phần thể tích n=2 và hệ số nền k w =100MPa với các tỷ số mô đun đàn hồi lớp trên và dưới khác nhau: E b /E t =0.1, 2, 10. Khi mô đun đàn hồi lớp dưới tăng, chuyển vị, mômen tại giữa nhịp và lực cắt tại hai đầu dầm cũng tăng lên. Đồng thời, khi không xét ảnh hưởng của nền sự thay đổi của các biểu đồ này rất nhỏ so với khi xét đến sự có mặt của nền đàn hồi. 4. Kết luận Bài báo trình bày các nghiên cứu mới về dao động cưỡng bức trong miền tần số của dầm nano FGM trên nền đàn hồi với các điều kiện biên khác nhau. Áp dụng nguyên lý Hamilton, các tác giả đã thiết lập phương trình dao động và tìm được biểu thức nghiệm chính xác cho bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM nằm trên nền đàn hồi Winkler dựa trên lý thuyết đàn hồi không cục bộ và lý thuyết dầm Timoshenko có tính đến vị trí thực của trục trung hòa với các điều kiện biên khác nhau. Độ tin cậy của lời giải được kiểm chứng với các kết quả đã được các tác giả khác công bố. Từ đó, các tác giả đã thực hiện các khảo sát số nhằm đánh giá ảnh hưởng của các tham số không cục bộ, hình học, vật liệu, nền và điều kiện biên đối với chuyển vị, mô men và lực cắt của các dầm FGM với các điều kiện biên khác nhau. Các tác giả đã chỉ ra một số trường hợp xảy ra “nghịch lý không cục bộ” khi nghiệm bài toán dao dộng cưỡng bức của dầm nano theo lý thuyết đàn hồi không cục bộ có kết quả tương tự như dầm vĩ mô, nghĩa là ảnh hưởng không cục bộ bị bỏ qua, việc khắc phục nghịch lý này sẽ dành cho các nghiên cứu tiếp theo. Đồng thời, kết quả khảo sát cũng chỉ ra rằng sự thay đổi của tham số không cục bộ, chỉ số phần thể tích và tỷ số mô đun đàn hồi của vật liệu lớp trên và lớp dưới là rõ nét hơn khi xét đến nền đàn hồi, mghĩa là nền đàn hồi đã khắc phục được một phần ảnh hưởng của “nghịch lý không cục bộ”. Nghiên cứu này là bước đầu cho các nghiên cứu tiếp theo về các kết cấu nano FGM khác như dầm liên tục, khung nano phức tạp hơn Tài liệu tham khảo 1. Shen, H.-S., Functionally Graded Materials: Nonlinear Analysis Of Plates And Shells. 2016: CRC press. 2. Mahamood, R.M. and E.T. Akinlabi, Functionally Graded Materials. 2017: Springer Cham. 3. Shaat, M. and A. Abdelkefi, On a second-order rotation gradient theory for linear elastic continua. International Journal of Engineering Science, 2016. 100: p. 74-98.
295 Nghiệm chính xác cho bài toán dao động cưỡng bức của dầm nano FGM với các điều kiện biên khác nhau 4. Eringen, A.C., Nonlocal Continuum Field Theories. 2002: Springer Science & Business Media, New York, US. 5. Karlicic, D., et al., Non-local Structural Mechanics. 2015: John Wiley & Sons, UK. 6. Polizzotto, C., Nonlocal elasticity and related variational principles. International Journal of Solids and Structures, 2001. 38(42-43): p. 7359-7380. 7. Eltaher, M., M. Khater, and S.A. Emam, A review on nonlocal elastic models for bending, buckling, vibrations, and wave propagation of nanoscale beams. Applied Mathematical Modelling, 2016. 40(5-6): p. 4109-4128. 8. Salehipour, H., A. Shahidi, and H. Nahvi, Modified nonlocal elasticity theory for functionally graded materials. International Journal of Engineering Science, 2015. 90: p. 44-57. 9. Reddy, J., Nonlocal theories for bending, buckling and vibration of beams. International Journal of Engineering Science, 2007. 45(2-8): p. 288-307. 10. Wang, C., Y. Zhang, and X. He, Vibration of nonlocal Timoshenko beams. Nanotechnology, 2007. 18(10): p. 105401. 11. Li, C., et al., Analytical solutions for vibration of simply supported nonlocal nanobeams with an axial force. International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2011. 11(02): p. 257-271. 12. Wang, C., et al., Beam bending solutions based on nonlocal Timoshenko beam theory. Journal of Engineering Mechanics, 2008. 134(6): p. 475-481. 13. Eltaher, M., A.E. Alshorbagy, and F. Mahmoud, Vibration analysis of Euler–Bernoulli nanobeams by using finite element method. Applied Mathematical Modelling, 2013. 37(7): p. 4787-4797. 14. Eltaher, M., et al., Coupling effects of nonlocal and surface energy on vibration analysis of nanobeams. Applied Mathematics and Computation, 2013. 224: p. 760-774. 15. Adhikari, S., T. Murmu, and M. McCarthy, Dynamic finite element analysis of axially vibrating nonlocal rods. Finite Elements in Analysis and Design, 2013. 63: p. 42-50. 16. Pradhan, S., Nonlocal finite element analysis and small scale effects of CNTs with Timoshenko beam theory. Finite Elements in Analysis and Design, 2012. 50: p. 8-20. 17. Ebrahimi, F. and P. Nasirzadeh, A nonlocal Timoshenko beam theory for vibration analysis of thick nanobeams using differential transform method. Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2015. 53(4): p. 1041-1052. 18. Jena, S.K. and S. Chakraverty, Free vibration analysis of variable cross-section single layered graphene nano-ribbons (SLGNRs) using differential quadrature method. Frontiers in Built Environment, 2018. 4: p. 63. 19. Şimşek, M. and H. Yurtcu, Analytical solutions for bending and buckling of functionally graded nanobeams based on the nonlocal Timoshenko beam theory. Composite Structures, 2013. 97: p. 378-386. 20. Rahmani, O. and O. Pedram, Analysis and modeling the size effect on vibration of functionally graded nanobeams based on nonlocal Timoshenko beam theory. International Journal of Engineering Science, 2014. 77: p. 55-70. 21. Ebrahimi, F. and E. Salari, A semi-analytical method for vibrational and buckling analysis of functionally graded nanobeams considering the physical neutral axis position. CMES: Comput. Model. Eng. Sci, 2015. 105(2): p. 151-181. 22. Narendar, S. and S. Gopalakrishnan, Spectral finite element formulation for nanorods via nonlocal continuum mechanics. Journal of Applied Mechanics, 2011. 78(6): p. 061018. 23. Uymaz, B., Forced vibration analysis of functionally graded beams using nonlocal elasticity. Composite Structures, 2013. 105: p. 227-239. 24. Atanasov, M.S. and V.J.E.J.o.M.-A.S. Stojanović, Nonlocal forced vibrations of rotating cantilever nano- beams. 2020. 79: p. 103850. 25. Akbaş, Ş.D., Axially forced vibration analysis of cracked a nanorod. Journal of Computational Applied Mechanics, 2019. 50(1): p. 63-68. 351
296 Trần Văn Liên, Trần Bình Định 26. Eltaher, M., A. Alshorbagy, and F. Mahmoud, Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nanobeams. Composite Structures, 2013. 99: p. 193-201. 27. Eltaher, M., S.A. Emam, and F. Mahmoud, Free vibration analysis of functionally graded size-dependent nanobeams. Applied Mathematics and Computation, 2012. 218(14): p. 7406-7420. 28. Eltaher, M., et al., Vibration of nonlinear graduation of nano-Timoshenko beam considering the neutral axis position. Applied Mathematics and Computation, 2014. 235: p. 512-529. 29. Eltaher, M., et al., Static and buckling analysis of functionally graded Timoshenko nanobeams. Applied Mathematics and Computation, 2014. 229: p. 283-295. 30. Aria, A. and M. Friswell, A nonlocal finite element model for buckling and vibration of functionally graded nanobeams. Composites Part B: Engineering, 2019. 166: p. 233-246. 31. Trabelssi, M., et al., Nonlocal free and forced vibration of a graded Timoshenko nanobeam resting on a nonlinear elastic foundation. 2019. 157: p. 331-349. 32. Trabelssi, M., S. El-Borgi, and M.J.A.o.A.M. Friswell, A high-order FEM formulation for free and forced vibration analysis of a nonlocal nonlinear graded Timoshenko nanobeam based on the weak form quadrature element method. 2020. 90(10): p. 2133-2156. 33. Ghavanloo, E., H. Rafii-Tabar, and S.A. Fazelzadeh, Computational Continuum Mechanics of Nanoscopic Structures. 2019: Springer.