intTypePromotion=2
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_id] => 141
            [banner_name] => KM2 - Tặng đến 100%
            [banner_picture] => 986_1568345559.jpg
            [banner_picture2] => 823_1568345559.jpg
            [banner_picture3] => 278_1568345559.jpg
            [banner_picture4] => 449_1568779935.jpg
            [banner_picture5] => 
            [banner_type] => 7
            [banner_link] => https://tailieu.vn/nang-cap-tai-khoan-vip.html
            [banner_status] => 1
            [banner_priority] => 0
            [banner_lastmodify] => 2019-09-18 11:12:45
            [banner_startdate] => 2019-09-13 00:00:00
            [banner_enddate] => 2019-09-13 23:59:59
            [banner_isauto_active] => 0
            [banner_timeautoactive] => 
            [user_username] => minhduy
        )

)

Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng phương pháp CGS

Chia sẻ: Lâm Đức Duy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

0
14
lượt xem
1
download

Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng phương pháp CGS

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng phương pháp CGS trình bày: Sử dụng thuật toán CGS để giải phương trình Poisson ba chiều trong chương trình mô phỏng linh kiện đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs bằng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp. Các kết quả thu được cho thấy chương trình giải phương trình Poisson dựa trên thuật toán CGS tuy có độ chính xác không cao nhưng thời gian mô phỏng được cải thiện đáng kể so với thuật toán BICGSTAB,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng phương pháp CGS

TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU<br /> BẰNG PHƯƠNG PHÁP CGS<br /> LƯƠNG VĨNH GIANG - ĐINH NHƯ THẢO<br /> Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế<br /> Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi trình bày việc sử dụng thuật toán CGS<br /> để giải phương trình Poisson ba chiều trong chương trình mô phỏng linh<br /> kiện đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs bằng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự<br /> hợp. Các kết quả thu được cho thấy chương trình giải phương trình Poisson<br /> dựa trên thuật toán CGS tuy có độ chính xác không cao nhưng thời gian mô<br /> phỏng được cải thiện đáng kể so với thuật toán BICGSTAB(3).<br /> <br /> 1. GIỚI THIỆU<br /> Trong nghiên cứu khoa học, việc nghiên cứu thực nghiệm và lý thuyết cùng phát triển<br /> song song với nhau. Trong một số trường hợp, việc nghiên cứu lý thuyết có phần thuận<br /> lợi hơn, chẳng hạn trong vấn đề nghiên cứu các linh kiện nano, bước đầu nghiên cứu<br /> thực nghiệm sẽ gặp nhiều khó khăn và tốn kém nên người ta chọn phương pháp nghiên<br /> cứu lý thuyết [1], [2], [3]. Một trong số các phương pháp được chọn ở đây là phương<br /> pháp mô phỏng Monte – Carlo tập hợp tự hợp vì nó có nhiều ưu điểm nổi trội, đặc biệt<br /> là tính chính xác và tính ổn định số. Đây là phương pháp bán cổ điển với tốc độ tán xạ<br /> được tính toán dựa trên quy tắc vàng Fermi và việc khảo sát động lực học của hạt tải<br /> dựa trên các phương trình chuyển động Newton [3].<br /> Một trong những bài toán cơ bản cần giải quyết là bài toán hạt tải chuyển động trong<br /> điện trường. Để biết điện trường ta cần biết điện thế, phân bố điện thế trong linh kiện<br /> được tìm bằng cách giải phương trình Poisson. Đây là một hệ phương trình tuyến tính<br /> rất lớn, do đó cần dùng các giải thuật đặc biệt để giải [3].<br /> Đến nay đã có nhiều phương pháp được xây dựng như: Jacobi, Gauss – Seidel, SOR, đa<br /> ô lưới (multigrid), iLU [4]. Các phương pháp này có thể cho các kết quả chính xác tuy<br /> nhiên độ ổn định số không cao và độ hội tụ thấp. Gần đây, các phương pháp không gian<br /> con Krylov như CG, GMRES, CGS, QMR, BiCG, BICGSTAB, BICGSTAB(3),<br /> BICGSTAB tiền điều kiện đã được phát triển và sử dụng hiệu quả trong việc giải các hệ<br /> phương trình tuyến tính thưa loại lớn [4], [5]. Một số tác giả đã sử dụng các phương<br /> pháp BICGSTAB, BICGSTAB(3), BICGSTAB tiền điều kiện để giải phương trình<br /> Poisson và đã thu được các kết quả chính xác với thời gian tính toán được rút ngắn<br /> nhiều lần [6], [7], [8], [9]. Để khảo sát mở rộng hướng nghiên cứu trên chúng tôi tiến<br /> hành tìm nghiệm của phương trình Poisson bằng phương pháp CGS với mục đích tìm ra<br /> những phương pháp tối ưu, hoạt động ổn định, cho kết quả nhanh hơn.<br /> Chúng tôi đã xây dựng chương trình mô phỏng mới và thực hiện tính toán trên máy tính<br /> có cấu hình Intel(R) Pentium(R) D CPU 2.80 GHz, DDRII 1GB. Kết quả chỉ ra rằng<br /> chương trình mô phỏng sử dụng thuật toán CGS tối ưu hơn.<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 01(21)/2012: tr. 5-11<br /> <br /> 6<br /> <br /> LƯƠNG VĨNH GIANG - ĐINH NHƯ THẢO<br /> <br /> 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG THUẬT TOÁN CGS<br /> Phương trình Poisson ba chiều trong trường hợp vật liệu đồng nhất có dạng<br /> <br /> ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ<br /> ρ<br /> + 2 + 2 =− ,<br /> 2<br /> ∂x<br /> ∂y<br /> ∂z<br /> εS<br /> <br /> (1)<br /> <br /> ở đây ϕ là điện thế, ρ là mật độ điện tích, ε S là hằng số điện môi tĩnh trong linh kiện;<br /> x , y , z là ba biến không gian. Thực hiện phép sai phân hữu hạn và chia mô hình linh<br /> kiện thành các ô lưới bằng nhau Δx = Δy = Δz thì phương trình (1) được viết lại như sau<br /> <br /> ϕi −1, j ,k + ϕi , j −1,k + ϕi , j ,k −1 − 6ϕi , j ,k + ϕi +1, j ,k + ϕi , j +1,k + ϕi , j ,k +1 = −<br /> <br /> ρi , j , k 2<br /> Δx ,<br /> εS<br /> <br /> (2)<br /> <br /> ở đây i = 1, N x , j = 1, N y , k = 1, N z với N x , N y , N z lần lượt là số nút lưới theo các<br /> chiều không gian Ox , Oy , Oz . Đây chính là hệ phương trình tuyến tính thưa cực lớn<br /> mà ta cần giải. Thuật toán CGS để tìm nghiệm phương trình Poisson được khai triển<br /> trong Bảng 1.<br /> Bảng 1. Thuật toán CGS để tìm nghiệm của phương trình Poisson<br /> <br /> Thuật toán CGS<br /> 1<br /> <br /> Chọn x0 , rˆ0 bất kỳ<br /> <br /> 11<br /> <br /> v = Api<br /> <br /> 2<br /> <br /> Tính r0 = b -­‐ Ax0<br /> <br /> 12<br /> <br /> a = r i / (rˆ0 , v)<br /> <br /> 3<br /> <br /> Lấy rˆ0 = r0<br /> <br /> 13<br /> <br /> qi = u -­‐ a v<br /> <br /> 14<br /> <br /> uˆ = u + qi<br /> <br /> 15<br /> <br /> xi = xi-­‐ 1 + a uˆ<br /> <br /> 4<br /> 5<br /> <br /> r0 = 1<br /> p0 = q0 = 0<br /> <br /> 6<br /> 7<br /> <br /> Bắt đầu vòng lặp chính<br /> ri = ri-­‐ 1 -­‐ a Auˆ r i = (rˆ0 , ri-­‐ 1 )<br /> <br /> 16<br /> <br /> Nếu xi đủ chính xác thì thoát<br /> <br /> 8<br /> <br /> 17<br /> <br /> ri = ri-­‐ 1 -­‐ a Auˆ<br /> <br /> 9<br /> <br /> b = r i / r i-­‐ 1<br /> u = ri-­‐ 1 + b qi-­‐ 1<br /> <br /> 18<br /> <br /> Kết thúc vòng lặp chính<br /> <br /> 10<br /> <br /> pi = u + b (qi-­‐ 1 + b pi-­‐ 1 )<br /> <br /> 19<br /> <br /> Kết thúc thuật toán<br /> <br /> TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG THUẬT TOÁN CGS<br /> <br /> 7<br /> <br /> 3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ THẢO LUẬN<br /> Mô hình cấu trúc của đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs gồm một lớp bán dẫn thuần i kẹp giữa<br /> hai lớp bán dẫn pha tạp loại p và loại n như được chỉ ra trong Hình 1, trong đó mỗi lớp<br /> có độ dày tương ứng là di , d p và d n . Mật độ pha tạp acceptor và donor tương ứng là<br /> <br /> N A và N D , các tạp được phân bố từ bề mặt của các lớp p và n vào sâu bên trong linh<br /> kiện theo hàm phân bố Gauss. Trạng thái cân bằng nhiệt của linh kiện được xác lập<br /> bằng mô phỏng thời gian thực trước khi chiếu xung laser vào linh kiện.<br /> Chúng tôi đã sử dụng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp để mô phỏng động<br /> lực học của hạt tải trong linh<br /> kiện trong trường hợp chiếu<br /> một xung laser với chiều dài<br /> của xung là 12 fs và năng<br /> lượng photon là 1.49 eV .<br /> Các tham số cấu trúc vùng<br /> năng lượng được sử dụng<br /> Γ<br /> như sau: Egap<br /> = 1.42 eV ,<br /> <br /> mΓ* e = 0.063 m0 ,<br /> mΓ* h = 0.45 m0 ,<br /> <br /> Hình 1. Mô hình đi-ốt p-i-n GaAs<br /> <br /> *<br /> Le<br /> <br /> m = 0.222 m0 , và độ chênh<br /> lệch năng lượng giữa Γ và L là ΔEΓL = 0.29 eV . Chúng tôi giả thiết rằng<br /> d p = d n = 50 nm ,<br /> <br /> di = 340 nm<br /> <br /> và<br /> <br /> N A = 0.5 ×1017 cm −3 ,<br /> <br /> N D = 2.5 × 1017 cm −3 ,<br /> <br /> N ex = 5 × 1016 cm −3 sau thời gian 1 ps . Kích thước theo ba chiều không gian của đi-ốt là<br /> Lx × Ly × Lz = 440 nm ×100 nm ×100 nm , giả sử đi-ốt được nuôi cấy theo phương Ox .<br /> Mô hình linh kiện được chia thành các ô lưới không gian với khoảng cách giữa các nút<br /> lưới là Δx = Δy = Δz = 50 ×10−10 m . Như vậy theo phương Ox ta sẽ có N x = 89 nút<br /> lưới, theo phương Oy và Oz có N y = N z = 21 nút lưới. Điện trường ngoài được đặt<br /> vào linh kiện dọc theo phương Ox và đi-ốt được phân cực nghịch, xem Hình 1.<br /> Hình 2 mô tả sự thay đổi vận tốc trôi dạt toàn phần và vận tốc trôi dạt của điện tử theo<br /> các phương Ox , Oy , Oz ứng với điện trường ngoài Eext = 100 kV cm , được tính toán<br /> với lời giải phương trình Poisson bằng thuật toán CGS. Từ đồ thị ta thấy rằng điện tử<br /> chủ yếu chuyển động trôi dạt theo phương Ox còn các thành phần vận tốc theo phương<br /> Oy , Oz đóng góp không đáng kể. Đặc biệt, sau khi chiếu xung laser, vận tốc trôi dạt<br /> toàn phần của điện tử (vận tốc trôi dạt của điện tử theo phương Ox ) tăng nhanh vượt xa<br /> giá trị bão hòa sau đó giảm nhanh về giá trị bão hòa, hiện tượng này được gọi là sự vượt<br /> quá vận tốc [1], [3].<br /> <br /> 8<br /> <br /> LƯƠNG VĨNH GIANG - ĐINH NHƯ THẢO<br /> <br /> Hình 2. Vận tốc trôi dạt toàn phần của điện<br /> tử và vận tốc trôi dạt theo các phương khác<br /> nhau như là hàm của thời gian ứng với<br /> <br /> Hình 3. Vận tốc trôi dạt toàn phần của điện tử<br /> như là hàm của thời gian ứng với các điện<br /> trường ngoài khác nhau<br /> <br /> Eext = 100 kV cm<br /> Hình 3 mô tả sự phụ thuộc của vận tốc trôi dạt của điện tử theo thời gian ứng với các giá<br /> trị điện trường ngoài Eext = 70kV / cm và Eext = 100 kV cm . Kết quả cho thấy điện<br /> trường ngoài càng cao thì sự vượt quá vận tốc xảy ra càng sớm, đỉnh vượt quá vận tốc<br /> càng cao và vận tốc càng nhanh chóng về tiệm cận giá trị bão hòa. Điều này được lý<br /> giải, khi điện trường ngoài càng cao thì số điện tử nằm trong các trạng thái có thể tham<br /> gia vào quá trình tán xạ liên thung lũng càng lớn. Khi điện tử bị tán xạ từ thung lũng Γ<br /> sang thung lũng L vận tốc của điện tử bị giảm nhiều do khối lượng hiệu dụng của điện<br /> tử trong thung lũng L lớn hơn nhiều lần khối lượng hiệu dụng của điện tử trong thung<br /> lũng Γ. Hệ quả là vận tốc của điện tử càng giảm nhanh về giá trị bão hòa.<br /> Hình 4 cho kết quả so sánh vận tốc của điện tử thu được bằng hai chương trình mô<br /> phỏng ba chiều sử dụng thuật toán BICGSTAB(3) và thuật toán CGS [7]. Hai đồ thị gần<br /> như trùng nhau hoàn toàn. Điều đó nói lên sự thành công trong việc sử dụng thuật toán<br /> đơn giản CGS để giải bài toán chuyển động của hạt tải trong linh kiện đi-ốt p-i-n bán<br /> dẫn GaAs (chương trình sử dụng thuật toán BICGSTAB(3) đã được chứng minh là cho<br /> kết quả phù hợp với thực nghiệm [7]).<br /> Hình 5 mô tả sự phân bố điện thế không gian trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs theo các<br /> phương Ox và Oy tại mặt cắt z = 10nm ứng với điện trường ngoài Eext = 100 kV cm .<br /> Đồ thị cho thấy điện thế phân bố đều trong linh kiện và chỉ biến thiên nhỏ xung quanh<br /> một số các điểm lưới theo phương Ox và gần như không đổi theo hai phương Oy , Oz .<br /> Kết quả hoàn toàn hợp lý do điện trường ngoài được đặt vào linh kiện theo phương Ox<br /> và cũng phù hợp với các kết quả đã được công bố trước đây [1], [7].<br /> <br /> TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG THUẬT TOÁN CGS<br /> <br /> Hình 4. Vận tốc trôi dạt toàn phần của điện<br /> tử theo thời gian ứng với hai thuật toán<br /> BICGSTAB(3) và CGS dưới điện trường<br /> ngoài Eext = 70 kV cm<br /> <br /> 9<br /> <br /> Hình 5. Phân bố điện thế không gian trong điốt p-i-n bán dẫn GaAs theo hai phương Ox, Oy<br /> tại mặt cắt z = 10nm ứng với<br /> <br /> Eext = 100 kV cm<br /> <br /> Hình 6 chỉ ra việc so sánh sự phân bố điện thế trong không gian theo trục Ox tại y = z =<br /> 10 nm ứng với hai thuật toán BICGSTAB(3) và CGS dưới điện trường ngoài<br /> Eext = 70 kV cm . Ta thấy hai đường này trùng khít nhau, qua đó một lần nữa nói lên sự<br /> thành công trong việc sử dụng thuật toán CGS để giải phương trình Poisson ba chiều.<br /> Các kết quả thu được nói lên sự thành công trong việc sử dụng thuật toán CGS, đến đây<br /> ta nhận thấy với bài toán tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều thì việc sử<br /> dụng thuật toán CGS có ưu điểm hơn các thuật toán khác bởi tính đơn giản của nó. Tuy<br /> nhiên, một vấn đề không kém phần quan trọng cần được thảo luận là độ hội tụ, tính ổn<br /> định số và chi phí thời gian tính toán.<br /> Hình 7 so sánh độ hội tụ của thuật toán BICGSTAB(3) và thuật toán CGS. Kết quả cho<br /> thấy tuy độ hội tụ của thuật toán BICGSTAB(3) nhanh hơn nhưng đồ thị tương ứng với<br /> thuật toán CGS trơn hơn điều này nói lên tính ổn định số của thuật toán CGS. Khi tiến<br /> hành chạy chương trình mô phỏng trên máy tính có cấu hình Intel(R) Pentium(R) D<br /> CPU 2.80 GHz, DDRII 1 GB với sai số 10-12 thì chương trình mô phỏng với thuật toán<br /> BICGSTAB(3) chạy trong khoảng thời gian 61 phút trong khi chương trình mô phỏng<br /> với thuật toán CGS chạy trong khoảng thời gian 42 phút. Qua đó chúng ta thấy việc sử<br /> dụng thuật toán CGS đối với bài toán tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều là<br /> tối ưu hơn.<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

AMBIENT
Đồng bộ tài khoản