intTypePromotion=3

Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng hai phương pháp TFQMR và Gmres(m)

Chia sẻ: Lâm Đức Duy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
18
lượt xem
2
download

Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng hai phương pháp TFQMR và Gmres(m)

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng hai phương pháp TFQMR và Gmres(m) trình bày: Việc xây dựng chương trình giải phương trình Poisson ba chiều dựa trên hai thuật toán TFQMR và GMRES(m) để sử dụng trong chương trình mô phỏng linh kiện na-nô bán dẫn bằng phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tìm nghiệm của phương trình Poisson ba chiều bằng hai phương pháp TFQMR và Gmres(m)

TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU<br /> BẰNG HAI PHƯƠNG PHÁP TFQMR VÀ GMRES(m)<br /> ĐÀO HỮU HÀ<br /> Trường Phổ thông Dân tộc Nội trú Tỉnh Kon Tum<br /> ĐINH NHƯ THẢO<br /> Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế<br /> Tóm tắt: Bài báo trình bày việc xây dựng chương trình giải phương trình<br /> Poisson ba chiều dựa trên hai thuật toán TFQMR và GMRES(m) để sử dụng<br /> trong chương trình mô phỏng linh kiện na-nô bán dẫn bằng phương pháp<br /> Monte – Carlo tập hợp tự hợp. Để kiểm tra hiệu năng, các chương trình mô<br /> phỏng tương ứng được áp dụng để mô phỏng các đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs.<br /> Các kết quả chỉ ra rằng chương trình giải phương trình Poisson dựa trên<br /> thuật toán TFQMR có tốc độ hội tụ nhanh hơn nhiều so với chương trình sử<br /> dụng thuật toán GMRES(m). Cả hai thuật toán chạy chậm hơn so với thuật<br /> toán BICGSTAB(3) nhưng bù lại có tính ổn định cao hơn nhiều.<br /> <br /> 1. GIỚI THIỆU<br /> Nghiên cứu và phát triển các linh kiện na-nô bán dẫn đang thu hút sự quan tâm mạnh<br /> mẽ của giới khoa học do tính ứng dụng cao của nó [1], [2]. Nghiên cứu thực nghiệm các<br /> linh kiện na-nô nói chung là rất tốn kém, đòi hỏi phải sử dụng công nghệ cao và mất<br /> nhiều thời gian. Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết có thể giúp khắc phục được các<br /> hạn chế nêu trên [3], đặc biệt phương pháp mô phỏng Monte – Carlo tập hợp tự hợp với<br /> các ưu điểm nổi trội là tính chính xác và tính ổn định.<br /> Trong quá trình mô phỏng, phương pháp Monte – Carlo tập hợp tự hợp cần cập nhật<br /> phân bố của điện thế trong linh kiện thông qua việc giải phương trình Poisson, thông<br /> thường bằng phương pháp sai phân hữu hạn [3]. Khi đó việc giải phương trình Poisson<br /> chuyển thành việc giải một hệ phương trình tuyến tính thưa cực lớn với hàng triệu<br /> phương trình và hàng triệu ẩn. Thông thường để giải hệ phương trình trên người ta phải<br /> sử dụng các phương pháp số chạy trên một siêu máy tính với bộ nhớ cực lớn mà Việt<br /> Nam hiện nay chưa có. May mắn là các phương pháp không gian con Krylov có thể hỗ<br /> trợ cách tính toán không cần lưu trữ các số liệu tính toán trung gian [4], [5], [6]. Một số<br /> tác giả đã sử dụng các phương pháp BICGSTAB, BICGSTAB tiền điều kiện,<br /> BICGSTAB2, BICGSTAB(3) và GPBICG để giải phương trình Poisson và đã thu được<br /> các kết quả chính xác với thời gian tính toán được rút ngắn nhiều lần [7], [8], [9], [10].<br /> Đó là động lực để chúng tôi tiến hành tìm nghiệm của phương trình Poisson bằng hai<br /> phương pháp TFQMR và GMRES(m) [5] với mục đích tìm ra những phương pháp tối<br /> ưu, hoạt động ổn định hơn và cho kết quả nhanh hơn.<br /> Chúng tôi đã xây dựng hai chương trình mô phỏng mới và thực hiện tính toán trên máy<br /> tính Dell Inspiron 14R-N4010 (Intel(R) Core(TM) i3 CPU M370 @ 2.4GHz DDR 4GB).<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 04(20)/2011: tr. 5-12<br /> <br /> 6<br /> <br /> ĐÀO HỮU HÀ - ĐINH NHƯ THẢO<br /> <br /> Kết quả chỉ ra rằng chương trình mô phỏng sử dụng thuật toán TFQMR có nhiều ưu điểm<br /> còn chương trình mô phỏng sử dụng thuật toán GMRES(m) thực tế không hiệu quả.<br /> 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG HAI THUẬT TOÁN<br /> TFQMR VÀ GMRES(m)<br /> Giả sử vật liệu là đồng nhất thì phương trình Poisson trong trường hợp ba chiều có dạng<br /> <br /> ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ<br /> ρ<br /> + 2 + 2 =− ,<br /> 2<br /> ∂x<br /> ∂y<br /> ∂z<br /> εS<br /> <br /> (1)<br /> <br /> ở đây ϕ là điện thế, ρ là mật độ điện tích, ε S là hằng số điện môi tĩnh trong linh kiện;<br /> x , y , z là ba biến không gian. Để có thể dễ dàng thực hiện sai phân hữu hạn ta chia<br /> mô hình linh kiện thành các ô lưới và giả sử khoảng cách giữa các nút lưới theo các<br /> chiều không gian là bằng nhau, Δx = Δy = Δz . Tiến hành lấy sai phân hữu hạn phương<br /> trình (1) ta thu được hệ phương trình sau.<br /> <br /> ϕi −1, j ,k + ϕi , j −1,k + ϕi , j ,k −1 − 6ϕi , j ,k + ϕi +1, j ,k + ϕi , j +1,k + ϕi , j ,k +1 = −<br /> <br /> ρi , j , k 2<br /> Δx , (2)<br /> εS<br /> <br /> ở đây i = 1, N x , j = 1, N y , k = 1, N z với N x , N y , N z lần lượt là số nút lưới theo các<br /> chiều không gian Ox , Oy , Oz . Đây chính là hệ phương trình tuyến tính thưa cực lớn<br /> mà ta cần giải. Hai giải thuật TFQMR và GMRES(m) [5] để tìm nghiệm của phương<br /> trình Poisson được khai triển trong Bảng 1.<br /> Bảng 1. Thuật toán TFQMR và GMRES(m) để tìm nghiệm của phương trình Poisson.<br /> 1<br /> <br /> Thuật toán GMRES(m)<br /> Chọn ϕ0 ban đầu<br /> <br /> 1<br /> <br /> Thuật toán TFQMR<br /> Chọn ϕ0 ban đầu<br /> <br /> 2<br /> <br /> r0 = b – Aϕ0, β = ||r0||2, v1 = r0/β,<br /> <br /> 2<br /> <br /> w0 = u0 = r0 = b – Aϕ0, v0 = Au0, d0 = 0<br /> <br /> 3<br /> <br /> Do j = 1, 2,…, m<br /> <br /> 3<br /> <br /> τ0 = ||r0||2, θ0 = η0 = 0<br /> <br /> 4<br /> <br /> wj = Avj<br /> <br /> 4<br /> <br /> Chọn rg ≠ 0 bất kỳ, ρ0 = (rg,r0);<br /> <br /> 5<br /> <br /> Doi: Do I = 1,…, j<br /> <br /> 5<br /> <br /> Do m = 0, 1, 2,…<br /> <br /> 6<br /> <br /> hi,j = (vi,wj), wj = wj – hi,jvi<br /> <br /> 6<br /> <br /> If m chẵn thì tính<br /> <br /> 7<br /> <br /> Enddo Doi<br /> <br /> 7<br /> <br /> αm+1 = αm = ρm/(vm,rg)<br /> <br /> 8<br /> <br /> hj+1,j = ||wj||2<br /> <br /> 8<br /> <br /> um+1 = um - αmvm<br /> <br /> 9<br /> <br /> vj+1 = wj/hj+1,j<br /> <br /> 9<br /> <br /> Endif<br /> <br /> 10<br /> <br /> Enddo<br /> <br /> 10<br /> <br /> 11<br /> <br /> ym (là tối thiểu của ||βe1 – Hmy||2)<br /> <br /> 11<br /> <br /> wm+1 = wm - αmAum<br /> dm+1 = um + ( /αm)ηmdm;<br /> <br /> 12<br /> <br /> ϕ m = ϕ 0 + v my m<br /> <br /> 12<br /> <br /> 13<br /> <br /> If ϕm thoả mãn thì stop<br /> <br /> 13<br /> <br /> θm+1 = ||wm+1||/τm; cm+1 = 1/(1+θm+1)1/2<br /> τm+1 = τmθm+1cm+1; ηm+1 =<br /> α m;<br /> <br /> TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG HAI PHƯƠNG PHÁP...<br /> <br /> 14<br /> <br /> Else<br /> <br /> 14<br /> <br /> ϕm+1 = ϕm ηm+1dm+1;<br /> <br /> 15<br /> <br /> ϕ0 = ϕm<br /> <br /> 15<br /> <br /> If m lẻ thì tính:<br /> <br /> 16<br /> <br /> Goto 2<br /> <br /> 16<br /> <br /> ρm+1 = (wm+1,rg); βm-1 = ρm+1/ρm-1<br /> <br /> 17<br /> <br /> um+1 = wm+1 + βm-1um<br /> <br /> 18<br /> <br /> vm+1 = Aum+1 + βm-1(Aum + βm-1vm-1)<br /> <br /> 19<br /> <br /> Endif<br /> <br /> 20<br /> <br /> Enddo<br /> <br /> 7<br /> <br /> 3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ THẢO LUẬN<br /> Để kiểm tra hiệu năng của chương trình giải phương trình Poisson ba chiều chúng tôi<br /> tích hợp chương trình này vào chương trình mô phỏng bằng phương pháp Monte –<br /> Carlo tập hợp tự hợp để mô phỏng động lực học của hạt tải trong các đi-ốt p-i-n bán dẫn<br /> GaAs. Mô hình cấu trúc của đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs gồm một lớp bán dẫn thuần (i)<br /> kẹp giữa hai lớp bán dẫn pha tạp loại p và loại n như được chỉ ra trong Hình 1, trong đó<br /> mỗi lớp có độ dày tương ứng là di = 340 nm , d p = d n = 50 nm . Mật độ pha tạp acceptor<br /> và donor tương ứng là N A = 0.5 ×1017 cm −3 và N D = 2.5 × 1017 cm −3 . Các hạt tải kích<br /> thích quang được tạo ra trong linh kiện bằng cách chiếu một xung laser với chiều dài<br /> xung là 12 fs và năng lượng photon là 1.49 eV , mật độ hạt tải quang là<br /> N ex = 5 × 1016 cm −3 sau thời gian 1 ps . Kích thước theo ba chiều không gian của đi-ốt là<br /> Lx × Ly × Lz = 440 nm ×100 nm ×100 nm , giả sử đi-ốt được nuôi cấy theo phương Ox .<br /> Linh kiện được chia thành các ô lưới không gian với Δx = Δy = Δz = 50 ×10−10 m . Như<br /> vậy ta sẽ có N x = 89 nút<br /> lưới theo phương Ox ,<br /> N y = 21 nút lưới theo<br /> phương Oy và N z = 21 nút<br /> lưới theo phương Oz . Điện<br /> trường ngoài được đặt vào<br /> linh kiện dọc theo phương<br /> Ox và đi-ốt được phân cực<br /> nghịch, xem Hình 1.<br /> Hình 1. Mô hình đi-ốt p-i-n GaAs<br /> Hình 2 mô tả sự thay đổi<br /> vận tốc trôi dạt của điện tử theo các phương Ox , Oy và Oz và vận tốc trôi dạt toàn<br /> phần ứng với điện trường ngoài Eext = 100 kV cm , được tính toán với hai giải thuật giải<br /> phương trình Poisson khác nhau: Hình 2a) là kết quả tính toán với giải thuật<br /> GMRES(m) còn Hình 2b) là kết quả tính toán với giải thuật TFQMR. Cả hai giải thuật<br /> đều cho những kết quả tương tự nhau.<br /> <br /> 8<br /> <br /> ĐÀO HỮU HÀ - ĐINH NHƯ THẢO<br /> <br /> Hình 3 mô tả sự phụ thuộc của vận tốc trôi dạt của điện tử theo thời gian ứng với các giá<br /> trị điện trường ngoài Eext = 100 kV cm và 150kV cm , cũng được tính toán với hai giải<br /> thuật giải phương trình Poisson khác nhau và hai giải thuật cho những kết quả gần như<br /> trùng khớp.<br /> <br /> Hình 2. Vận tốc trôi dạt của điện tử theo các phương khác nhau và vận tốc trôi dạt toàn phần<br /> như là hàm của thời gian ứng với Eext = 100 kV cm được tính toán với hai giải thuật giải<br /> phương trình Poisson khác nhau: a) GMRES(m), b) TFQMR<br /> <br /> Hình 3. Vận tốc trôi dạt toàn phần của điện tử<br /> như là hàm của thời gian ứng với các điện<br /> trường ngoài khác nhau và được tính toán với<br /> hai giải thuật khác nhau<br /> <br /> Hình 4. Vận tốc trôi dạt của điện tử theo<br /> phương Ox như là hàm của thời gian thu<br /> được bằng ba chương trình mô phỏng khác<br /> nhau ứng với Eext = 100 kV cm<br /> <br /> Hình 4 cho kết quả so sánh vận tốc của điện tử thu được bằng ba chương trình mô<br /> phỏng ba chiều sử dụng thuật toán GMRES(m), thuật toán TFQMR và thuật toán<br /> BICGSTAB(3) [8], ba đồ thị gần như trùng nhau hoàn toàn, đặc biệt chương trình dùng<br /> thuật toán TFQMR cho kết quả trùng hoàn toàn với kết quả thu được khi sử dụng thuật<br /> <br /> TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH POISSON BA CHIỀU BẰNG HAI PHƯƠNG PHÁP...<br /> <br /> 9<br /> <br /> toán BICGSTAB(3). Điều đó cho thấy phương pháp TFQMR hoạt động hiệu quả hơn<br /> phương pháp GMRES(m) do chương trình ba chiều sử dụng thuật toán BICGSTAB(3)<br /> đã được chứng minh là cho kết quả phù hợp với thực nghiệm [8].<br /> Hình 5 mô tả sự phân bố điện thế không gian trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs theo hai<br /> phương Ox , Oy tại mặt cắt z = 50 nm ứng với điện trường ngoài Eext = 100 kV cm được<br /> tính toán bằng ba chương trình mô phỏng ba chiều sử dụng ba thuật toán GMRES(m),<br /> TFQMR và BICGSTAB(3). Ba đồ thị trong hình 5 đều gần như trùng nhau hoàn toàn.<br /> Kết quả này cũng phù hợp với các kết quả đã được công bố trước đây [1], [8].<br /> <br /> Hình 5. Phân bố điện thế không gian trong đi-ốt<br /> p-i-n bán dẫn GaAs theo hai phương Ox, Oy tại<br /> mặt cắt z = 50 nm ứng với Eext = 100 kV cm ,<br /> được tính toán bằng ba chương trình mô phỏng<br /> khác nhau<br /> <br /> Hình 6. Sự phụ thuộc của chuẩn Euclid của<br /> vectơ thặng dư vào số vòng lặp của chương<br /> trình con Poisson ứng với Eext = 100 kV cm<br /> <br /> Để so sánh tốc độ hội tụ và tính ổn định của hai thuật toán TFQMR và GMRES(m) với<br /> các đặc trưng tương ứng của thuật toán BICGSTAB(3), chúng tôi đã tiến hành khảo sát<br /> sự phụ thuộc của chuẩn Euclid của vectơ thặng dư vào số vòng lặp của chương trình con<br /> Poisson, Hình 6. Chuẩn Euclid của vectơ thặng dư được tính theo công thức [4].<br /> <br /> r 2 = rT r ,<br /> <br /> (7)<br /> <br /> với r = b − Aϕ là vectơ thặng dư. Từ đồ thị ta thấy rằng, cả hai thuật toán TFQMR và<br /> GMRES(m) đều cần số vòng lặp lớn hơn rất nhiều để tìm ra nghiệm có cùng chuẩn<br /> Euclid của vector thặng dư so với nghiệm tìm được bằng thuật toán BICGSTAB(3).<br /> Điều này có nghĩa là cả hai thuật toán này có tốc độ hội tụ chậm hơn thuật toán<br /> BICGSTAB(3). Tuy nhiên, đồ thị tương ứng với hai thuật toán TFQMR và GMRES(m)<br /> trơn hơn đồ thị tương ứng với thuật toán BICGSTAB(3), hàm ý rằng hai thuật toán này<br /> cho kết quả ổn định hơn thuật toán BICGSTAB(3).<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản