Nghiên cứu độ rộng vạch phổ hấp thụ dò tìm cộng hưởng electron-phonon trong hố lượng tử thế vuông góc cao vô hạn

NGHIÊN CỨU ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ HẤP THỤ DÒ TÌM CỘNG<br /> HƯỞNG ELECTRON-PHONON TRONG HỐ LƯỢNG TỬ THẾ<br /> VUÔNG GÓC CAO VÔ HẠN<br /> LÊ THỊ THU PHƯƠNG - BÙI ĐÌNH HỢI<br /> Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br /> Tóm tắt: Áp dụng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái, chúng tôi<br /> thiết lập biểu thức giải tích của công suất hấp thụ sóng điện từ trong hố lượng<br /> tử thế vuông góc cao vô hạn. Các điều kiện cộng hưởng electron-phonon, dò<br /> tìm cộng hưởng electron-phonon bằng quang học thu được từ đồ thị mô tả sự<br /> phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon. Sử dụng phương pháp<br /> profile, chúng tôi nghiên cứu độ rộng vạch phổ hấp thụ dò tìm cộng hưởng theo<br /> kích thước của hố. Kết quả tính số cho thấy độ rộng vạch phổ hấp thụ giảm khi<br /> kích thước của hố tăng và tăng khi nhiệt độ tăng.<br /> Từ khóa: Cộng hưởng electron-phonon, dò tìm cộng hưởng electron-phonon bằng<br /> quang học, độ rộng vạch phổ hấp thụ.<br /> <br /> 1. MỞ ĐẦU<br /> Trong các vật liệu dựa trên cấu trúc thấp chiều, các tính chất vật lý của hệ phụ<br /> thuộc vào dạng hình học, kích thước, thành phần vật liệu, môi trường vật liệu bao<br /> quanh,... và tuân theo các quy luật của vật lý lượng tử. Nguồn gốc sâu xa của các<br /> tính chất này cũng như các hiệu ứng được tạo ra là sự lượng tử hóa phổ năng lượng<br /> của hạt tải (electron, lỗ trống,....) và các chuẩn hạt (phonon, polaron,...) trong vật<br /> rắn do hiệu ứng giảm kích thước hoặc khi có mặt điện trường, từ trường. Vì vậy, đối<br /> với các hệ thấp chiều khác nhau, sự lượng tử hóa nói trên là khác nhau, bởi vậy tính<br /> chất vật lý của các hệ thấp chiều khác nhau là khác nhau và khác biệt so với vật liệu<br /> khối. Cũng chính vì vậy, đối với các bán dẫn thấp chiều, đồng thời với việc tìm kiếm<br /> các hiệu ứng vật lý mới thì việc tìm kiếm các đặc tính mới trong các hiệu ứng vật lý<br /> quen thuộc có vai trò không kém phần quan trọng. Trong số các hiệu ứng này, chúng<br /> tôi đặc biệt quan tâm đến các hiệu ứng liên quan đến tương tác electron-phonon khi<br /> có mặt của trường sóng điện từ đó là hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon khi có<br /> mặt trường laser. Đây là hiệu ứng chỉ sinh ra trong các hệ có phổ năng lượng của<br /> electron bị lượng tử hóa do hiệu ứng giảm kích thước hoặc trường ngoài.<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 03(39)/2016: tr. 48-56<br /> <br /> ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ HẤP THỤ...<br /> <br /> 49<br /> <br /> Hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon xảy ra khi hiệu năng lượng giữa hai mức của<br /> electron trong vật liệu bằng năng lượng của phonon quang. Hiệu ứng dò tìm cộng<br /> hưởng electron-phonon bằng quang học xuất hiện khi có mặt trường điện từ trong<br /> đó electron dịch chuyển giữa các mức năng lượng do hấp thụ hoặc phát xạ photon<br /> kèm theo quá trình hấp thụ phonon. Nghiên cứu cộng hưởng electron-phonon cho<br /> các thông tin về cấu trúc, xác suất tán xạ electron-phonon trong vật liệu, cho phép<br /> xác định được khối lượng hiệu dụng của electron, phổ năng lượng và xác định khoảng<br /> cách giữa các mức năng lượng của electron,... Hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon<br /> đã được quan tâm nghiên cứu cả về lí thuyết [1, 2] và thực nghiệm [3, 4] đối với<br /> bán dẫn chuẩn hai chiều [5] và chuẩn một chiều [6, 7]. Tuy nhiên, việc nghiên cứu<br /> độ rộng vạch phổ hấp thụ dò tìm cộng hưởng electron-phonon bằng quang học chưa<br /> được quan tâm nghiên cứu. Vì vậy, trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu độ rộng<br /> vạch phổ hấp thụ dò tìm cộng hưởng electron-phonon trong hố lượng tử thế vuông<br /> góc cao vô hạn khi có mặt sóng điện từ.<br /> 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA CÔNG SUẤT HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ<br /> TRONG HỐ LƯỢNG TỬ THẾ VUÔNG GÓC CAO VÔ HẠN<br /> Xét một cấu trúc hố lượng tử vuông góc có độ rộng Lz với thế giam giữ cao vô<br /> hạn giả thiết theo phương z. Do thế giam giữ nên chuyển động của electron dọc<br /> theo phương z bị lượng tử hoá với các mức năng lượng gián đoạn mà các mức con<br /> (subband) trong khi các chuyển động trong mặt phẳng (x, y) là tự do. Giải phương<br /> trình Schrodinger cho electron chuyển động trong loại hố thế này, hàm sóng và phổ<br /> năng lượng của electron ở trạng thái |αi được cho bởi [5]<br /> r<br /> <br />  n πz <br /> 2<br /> α<br /> α<br /> sin<br /> exp(i~k⊥<br /> ~r⊥ ),<br /> V<br /> Lz<br /> α 2<br /> ~2 (k⊥<br /> )<br /> α<br /> ≡ Enα (k⊥<br /> )=<br /> + nα , nα = 1, 2, 3, . . . ,<br /> 2me<br /> <br /> |αi =<br /> <br /> (1)<br /> <br /> Eα<br /> <br /> (2)<br /> <br /> trong đó, nα = n2α 0 với 0 = ~2 π 2 /(2me L2z ) là mức năng lượng con thấp nhất;<br /> V = Lx Ly Lz là thể tích chuẩn hoá của hố thế với Lx , Ly , Lz tương ứng là độ dài<br /> α<br /> chuẩn hoá theo các phương x, y, z; k⊥<br /> = (kx , ky ) là thành phần vectơ sóng của<br /> electron trong mặt phẳng x − y và me là khối lượng hiệu dụng của electron.<br /> Nếu hố lượng tử trên được đặt trong một trường sóng điện từ phân cực thẳng<br /> đặc trưng bởi vector cường độ điện trường dọc theo phương z, có biên độ E0 và<br /> tần số ω thì khi đó công suất hấp thụ sóng điện từ của hệ được cho bởi P (ω) =<br /> (E02 /2)Re[σzz (ω)] với Re σzz (ω) là phần thực của tenxơ độ dẫn chéo theo phương z,<br /> <br /> 50<br /> <br /> LÊ THỊ THU PHƯƠNG - BÙI ĐÌNH HỢI<br /> <br /> có dạng [8]<br /> Re{σzz (ω)} = e2<br /> <br /> X<br /> <br /> |jzαβ ||zαβ |<br /> <br /> α,β<br /> <br /> (fβ − fα )γαβ (ω)<br /> ,<br /> [~ω − (Eβ − Eα )]2 + [γαβ (ω)]2<br /> <br /> (3)<br /> <br /> β<br /> α<br /> ) và Eβ ≡ Enβ (k⊥<br /> ) lần lượt là năng<br /> trong đó, e là điện tích của electron, Eα ≡ Enα (k⊥<br /> lượng của electron ở trạng thái ban đầu |αi và trạng thái cuối |βi; fα ≡ fnα ,k⊥α ) là hàm<br /> phân bố Fermi-Dirac cho electron ở trạng thái |αi, zαβ = hα|z|βi và jzαβ = hα|jz |βi<br /> là các thành phần ma trận của toán tử toạ độ và toán tử dòng điện. Sau quá trình<br /> tính toán ta thu được<br /> <br /> <br /> <br /> 2π<br /> L2z (−1)nα −nβ − 1 (−1)nα +nβ − 1<br /> <br /> <br /> δkα ,kβ 2<br /> +<br /> , nếu nα 6= nβ<br /> 2<br /> 2<br /> ⊥ ⊥ π<br /> V<br /> (n<br /> −<br /> n<br /> )<br /> (n<br /> +<br /> n<br /> )<br /> α<br /> β<br /> α<br /> β<br /> (4)<br /> zαβ =<br /> 2<br /> <br />  2π δ β Lz ,<br /> nếu nα = nβ ,<br /> α<br /> V k⊥ ,k⊥ 2<br /> <br /> và<br /> jzαβ<br /> <br /> <br /> h<br /> nα −nβ<br /> − 1 (−1)nα +nβ − 1 i<br />  2πie~nα δ β (−1)<br /> +<br /> , nếu nα =<br /> 6 nβ<br /> α<br /> me V k⊥ ,k⊥<br /> nα − nβ<br /> nα + nβ<br /> =<br /> <br /> 0,<br /> nếu nα = nβ .<br /> <br /> (5)<br /> <br /> Số hạng γαβ (ω) trong (3) được gọi là hàm dạng phổ. Sử dụng lý thuyết phản ứng<br /> tuyến tính và phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái, ta thu được biểu<br /> thức của hàm dạng phổ [8]<br /> γαβ (ω)(fβ − fα ) = π<br /> <br /> X<br /> <br /> |Cβµ (q)|2<br /> <br /> µ,q<br /> <br /> n<br /> <br /> <br /> (1 + Nq )fα (1 − fµ ) − Nq fµ (1 − fα ) δ(~ω − Eµ + Eα − ~ωq )<br /> o<br /> <br /> <br /> + Nq fα (1 − fµ ) − (1 + Nq )fµ (1 − fα ) δ(~ω − Eµ + Eα + ~ωq )<br /> X<br /> + π<br /> |Cαµ (q)|2<br /> <br /> ×<br /> <br /> µ,q<br /> <br /> n<br /> <br /> <br /> (1 + Nq )fµ (1 − fβ ) − Nq fβ (1 − fµ ) δ(~ω − Eβ + Eµ − ~ωq )<br /> o<br /> <br /> <br /> + Nq fµ (1 − fβ ) − (1 + Nq )fβ (1 − fµ ) δ(~ω − Eβ + Eµ + ~ωq ) ,<br /> <br /> ×<br /> <br /> (6)<br /> trong đó δ(. . .) là hàm delta Dirac; Nq là hàm phân bố Planck cho phonon ở trạng<br /> thái có vectơ sóng q. Để thu được biểu thức tường minh cho hàm dạng phổ trong hố<br /> <br /> 51<br /> <br /> ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ HẤP THỤ...<br /> <br /> lượng tử thế vuông góc cao vô hạn ta cần tính các yếu tố ma trận trong tương tác<br /> electron-phonon<br /> Cαµ (q) = V (q)hα | ei~q~r | µi<br /> 2π<br /> = V (q)<br /> δ(q⊥ + k⊥µ − k⊥α )Inα ,nµ (qz ),<br /> Lx Ly<br /> <br /> (7)<br /> <br /> trong đó<br /> 2<br /> Inα ,nµ (qz ) =<br /> Lz<br /> <br /> ZLz<br /> dz sin(<br /> <br /> nα πz iqz z<br /> nµ πz<br /> )e sin(<br /> ).<br /> Lz<br /> Lz<br /> <br /> (8)<br /> <br /> 0<br /> <br /> Nên<br /> | Cαµ (q) |2 =<br /> <br /> 4π 2<br /> | V (q) |2 δ(q⊥ + k⊥µ − k⊥α ) | Inα ,nµ (qz ) |2 .<br /> (Lx Ly )2<br /> <br /> (9)<br /> <br /> Tiếp theo, ta tiến hành việc lấy tổng theo vectơ q và theo trạng thái |µi, |ηi. Ta sử<br /> dụng công thức chuyển tổng thành tích phân. Do các biến độc lập nhau nên có thể<br /> lấy tích phân riêng đối với từng biến. Xét tương tác electron và phonon quang, thế<br /> tán xạ cho bởi<br /> <br /> <br /> e2 ~ω0 1<br /> 1<br /> 1<br /> 2<br /> |V (q)| =<br /> −<br /> ,<br /> (10)<br /> 2<br /> 20 Ω χ∞ χ0 q⊥ + qz2<br /> trong đó 0 , χ∞ , χ0 lần lượt là hằng số điện, hằng số điện môi tần số cao và hằng số<br /> điện môi tĩnh. Bình phương yếu tố ma trận | Cαµ (q) |2 có chứa hàm Delta và chú ý<br /> Z∞<br /> −∞<br /> <br /> 2<br /> q⊥<br /> <br /> π<br /> 1<br /> | Inα ,nµ (qz ) |2 dqz =<br /> (2 + δnα ,nµ ).<br /> 2<br /> 2<br /> + qz<br /> L z q⊥<br /> <br /> Cuối cùng ta thu được<br /> <br /> <br /> e2 ~ω0 1<br /> 1<br /> γαβ (ω)(fβ − fα ) =<br /> −<br /> 80 Ω χ∞ χo<br /> X<br /> <br /> i<br /> 2me | k01(+) | h<br /> 01(+)<br /> ×<br /> (2 + δnα ,nµ ) 2 2<br /> f<br /> (1<br /> +<br /> N<br /> )<br /> −<br /> (f<br /> +<br /> N<br /> )f<br /> β<br /> q<br /> ~<br /> β<br /> q<br /> ~<br /> µ<br /> 2<br /> ~ (k⊥α − k01(+)<br /> )<br /> nµ<br /> ii<br /> 2me | k01(−) | h 01(−)<br /> − 2 2<br /> f<br /> (1 − fβ − Nq~) + Nq~fβ<br /> 2<br /> ~ (k⊥α − k01(−)<br /> ) η<br /> h<br /> i<br /> h 2m | k<br /> X<br /> e<br /> 02(+) |<br /> 02(+)<br /> f<br /> (1<br /> −<br /> f<br /> +<br /> N<br /> )<br /> −<br /> N<br /> f<br /> (2 + δnη ,nβ ) 2 2<br /> α<br /> q~<br /> q~ α<br /> 2<br /> ~ (k02(+) − k⊥β<br /> ) η<br /> nη<br /> i<br /> 2me | k02(−) | h<br /> 02(−)<br /> − 2 2<br /> fα (1 + Nq~) − (fα + Nq~)fη<br /> ,<br /> 2<br /> ~ (k02(−) − k⊥β<br /> )<br /> <br /> +<br /> <br /> (11)<br /> <br /> 52<br /> <br /> LÊ THỊ THU PHƯƠNG - BÙI ĐÌNH HỢI<br /> <br /> với<br /> k01(±)<br /> k02(±)<br /> fµ01(±)<br /> fη02(±)<br /> <br /> <br /> i1/2<br /> 2me h<br /> β2<br /> 2<br /> 2<br /> ,<br /> =<br /> k⊥ + 2 ~(ω ± ω0 ) − (nβ − nµ )0<br /> ~<br /> <br /> i1/2<br /> 2me h<br /> α2<br /> 2<br /> 2<br /> =<br /> k⊥ − 2 ~(ω ± ω0 ) − (nη − nα )0<br /> ,<br /> ~<br /> <br /> n 1  ~2 k 2<br /> o−1<br /> 01(±)<br /> 2<br /> = 1 + exp<br /> + 0 (nµ ) − EF<br /> ,<br /> kB T<br /> 2me<br /> <br /> o−1<br /> n 1  ~2 k 2<br /> 02(±)<br /> 2<br /> = 1 + exp<br /> + 0 (nη ) − EF<br /> .<br /> kB T<br /> 2me<br /> <br /> Biểu thức (11) là tường minh. Tuy nhiên, để làm rõ hơn kết quả giải tích cũng như<br /> giải thích được ý nghĩa vật lí của kết quả thu được, trong phần tiếp theo chúng tôi<br /> sẽ trình bày hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon dò tìm quang học cũng như khảo<br /> sát độ rộng vạch phổ cộng hưởng electron-phonon trong hố lượng tử thế vuông góc<br /> cao vô hạn.<br /> 3. ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ DÒ TÌM CỘNG HƯỞNG ELECTRON-PHONON BẰNG<br /> QUANG HỌC TRONG HỐ LƯỢNG TỬ THẾ VUÔNG GÓC CAO VÔ HẠN<br /> Để thấy rõ các đặc trưng vật lý của các kết quả giải tích thu được, chúng tôi thực<br /> hiện đánh giá số và vẽ đồ thị công suất hấp thụ P (ω) vào năng lượng photon đối<br /> với hố lượng tử thế vuông góc cao vô hạn GaAs. Các thông số còn lại được sử<br /> dụng [9]: điện tích e = 1.6 × 10−19 C, khối lượng hiệu dụng của electron me =<br /> 0.067m0 = 6.097 × 10−32 kg, hằng số Planck ~ = 1.04065 × 10−33 Js, hằng số<br /> Boltzmann kB = 1.38066 × 10−23 J/K, hằng số điện môi 0 = 13.5, độ thẩm điện<br /> môi cao tần χ∞ = 10.9, độ thẩm điện môi tĩnh χ0 = 12.9, năng lượng mức Fermi<br /> EF = 0.05 eV, năng lượng phonon quang ~ωq = ~ω0 =36.25 meV, biên độ điện<br /> trường E0 = 105 V/m. Các kết luận được thu nhận trong giới hạn lượng tử mạnh,<br /> trong đó chúng tôi chỉ xét các dịch chuyển xảy ra ở các vùng con của electron với<br /> nα = 1, nβ = 2 và phonon với m = 2<br /> Công suất hấp thụ P được mô tả ở hình 1 như là một hàm của năng lượng photon.<br /> Với Lz = 40 nm, ta được ∆E21 = 10.5952 meV. Từ hình vẽ ta thấy có 3 đỉnh cực<br /> đại mô tả các quá trình dịch chuyển khác nhau<br /> + Đỉnh thứ 1 định vị tại giá trị năng lượng photon ~ω = 25.6548 meV. Giá trị năng<br /> lượng này thỏa mãn điều kiện ~ω = ~ω0 − ∆E21 , hay E2 = E1 + ~ω0 − ~ω. Đây<br /> chính là điều kiện dò tìm cộng hưởng electron-phonon bằng quang học. Nó mô tả<br /> một electron ở trạng thái ban đầu có năng lượng E1 dịch chuyển lên trạng thái sau<br /> <br />