Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt: Phần 2

Chia sẻ: Túcc Vânn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:226

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Cơ sở phương pháp phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt" trình bày các nội dung: Giải pháp một số bài toán dẫn nhiệt ổn định bằng phương pháp phần tử hữu hạn, dẫn nhiệt không ổn định. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt: Phần 2

Chương 4 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DẢN NHIỆT ỎN ĐỊNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÀN TỦ HỮU HẠN T rons chuơ ns này chúng ta sẽ khảo sát cách giài một số bài toán dẫn nhiệt ổn định bằns phương pháp PTHH. Mặc dù một số bài toán giải bằng phương pháp giải tích hết sức đơn giãn, nhưne khi dùne phương pháp PTHH lại khá công phu, nhưng chúng ta vẫn phải xem xét. vì chúng bao gồm các bước cơ bàn là cơ sờ quan trọng sau này áp dụng cho các bài toán phức tạp mà phươnc pháp giải tích khòns thể giải được. 4.1. DÃN NHIỆT QUA VÁCH PHẨNG MỘT LỚP Khào sát vách phẳng một lớp dàv 1. hệ số dàn nhiệt k. Phía mặt trái cỏ dòng nhiệt q, mặt phái tiếp xúc với môi trường nhiệt độ T*. hệ số toả nhiệt tại bề mặt phải là h. Coi nhiệt độ trc n s vách thay đổi bậc nhất, xác định nhiệt độ hai mặt vách. Hình 4.1. Vách phẳna và phần từ một chiều tương ứng Phằn tử hữu hạn được chọn lá một chiều bậc nhất, Hình 4.1. Đó là một đoạn thẳng ký hiệu © có hai nút là ‘ r và ‘2 ’. 4.1.1. Ma trận độ cứng và véc tơ phụ tải nhiệt Nhiệt độ hai nút và hàm nội suy tương ứng đã biết là: T = N J 1+N J 2 (4.1) X - X X, - X N = — ------ va N ------ (4.2) x 2 - X, JC, - x ] 115
+ Ma trậ n độ cứng Ma trận độ cứng của phần tử theo (3.170) [*1 IX K ' Trong đó, vi phân thể tích d v = Adx, diện tích toả nhiệt s = A diện tích dẫn nhiệt. - Tính số hạng đầu của [K]e: Với các ma trận [B], [D], [N] xác định như sau. Chọn tọa độ x l = 0 ;X, = / , thì hàm nội suy là: N. = 1- — và /V = — (4.4) l ' / Ma trận hệ số dẫn nhiệt: [D] = k Đạo hàm của hàm nội suy [B]: [ « ] .ỳ [ - l 1] nên -1 và 1 1 -1 (4.5) -1 1 Vậy số hạng đầu [K]ej ‘ 1 -l" Ak " 1 -l" A d x = —— (4.6) -1 1 / -1 1 - Tinh sô hạng sau cùa [KJe: s la diẹn tích toả nhiệt tại mặt phải cũng là A. Mặt khác toả nhiệt xảy ra ở nút 2 nên [N] lấy ơ nút 2 , tức là (4.7) 0 0 = hA (4.8) 0 1 1 16
Vậy ma trận độ cứng cùa phần tử Ak f — A* 1 -1 0 0 7 , K I J + fh\ (4.9) T -1 1 0 1 í Ak Ak ' —— + hA l + Véc to' phụ tải nhiệt {f} Theo (3.171): { / } = í r V S2 Sĩ T rons đó: - Nguồn nhiệt trong khòng có nèn qv = 0. - Số hạng thử 2 . dòne nhiệt q tại mặt trái, tức nút 1cùa phần tử nên [N] = [(N,), (N ,),] = [ l 0] - Sổ hạng thử 3, toả nhiệt tại mặt phải, tức nút 2 của phần tử nên [N] = [(N ,), ( N , ụ = [0 1] Với diện tích bức xạ Stvà tòa nhiệt s_' đều bàng A, véc tơ phụ tải nhiệt {f} là {/} = ưs = Ị q 1 ds + ịh T ds S2 S? A LUJ A (4.10) f“«~1 r~~i r * ' qA = qA + hTA hTA 4.1.2. Phương trình đặc trưng của phần tử Phương trình đặc trưng [tf~ì j r ] = Ị /■} cụ thể sẽ là / A k) í 1 -1 J V ■I I •T. qA ) ‘ (4.11) Ak_ \T. Ih T°A L l l V í dụ 4 .1 . Cho vách phẳne rộng có bề dày / = 4 cm, k = 0,5 w/m°c, q - 100 w/m2 Ta = 40IJC, h = 20 W /m 2 °c. Xác định nhiệt độ hai mặt. Giải: lay A =1 m2, thay số có: — = = 12,5; qA = 100; hTaA = 40x20 = 800. / 0,04 Thay vào (4.1 i) được: ’ 12,50 -12,50" ÍTẠ -12,50 32,50 117
--Ễ H 3 4.2. DẢN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG NHIÈU LỚP Khảo sát vách phẳng có 3 lớp, bề dày và hệ số dẫn nhiệt các lớp tương ứng là 1], Ỉ2,13 và ki, k2, k3. Mặt trái có dòng nhiệt q, mặt phải có môi trường nhiệt độ Ta hệ số toả nhiệt h, Hình 4.2. Xác định các nhiệt độ hai mặt n g o à i, các chỗ tiếp xúc và dòng nhiệt qua vách. Rời rạc vách thành 3 phần tử, mỗi lớp là một phần tử và ký hiệu các phần tử và các nút như Hình 4.2. © © h T„ . 1. ^ V s. N 13 > V Hình 4.2. Vách nhiều lóp và sơ đồ rời rạc các phần tử 4.2.1. Phương trình đặc trưng của các phần tử Từ kết quả cùa một lớp ở trên có thể viết ngay cho từng lớp như sau - Phần tử 1 - (lớp 1). Ma trận độ cứng và véc tơ phụ tải nhiệt là k^A k^A M ,= k^A k^A - l' 1 Phương trình đặc trưng của phần từ 1 qA\ (4.12) ktA I k{A I• (. 2 J ^0 J' Phân tử 2 - (lớp 2). Ma trận độ cứng và véc tơ phụ tải nhiệt là k2A k2A r '1 7 tn- kzA kzA "T t \ 118
Phương trình đặc trưng cùa phần tử 2 k2A k2A T 'T (4.13) k2A Ắc,/4 " V - P hần tử 3 - (lớp 3). Ma trận độ cứns và véc tơ phụ tài nhiệt là k^A kyA [* 1 - LA ( k.A I h A ĩ} — +M h l h Phương ttình đặc trim s của phần từ 3 M k,A h M J 0 (4.14) LA k^A ựt\ \h A T + hA v t 4.2.2. Lắp ghép các phần tử Đe lấp ghép các phần tử, mỗi phương trinh ma trận cùa từng phần tử được viết ở dạng có sô hạna toàn cục k.A k,A 212. -212. 0 0 K Tt } qA ^ 1 ^ 1 Tt >= . 0 c Phần tử 1. 0 (4.15) I 1 Ty 0 0 0 0 0 T* 0 0 0 0 0 0 0 0 o" k.A M Tt 0 0 0 h T, 0 Phần từ 2\ (4.16) k.A k.A T, 0 0 - ~ ỉ— 0 k T T. 0. 0 0 0 0 119
0 0 0 0 0 0 7, 0 KA t2 0 Phần tử 3: 0 0 (4.17) h h T, 0 k^A 'k - A x liATa, -2— + hA T* 0 0 - V h Cộng các phương trình trên lại được phương trình ma trận toàn cục sau kxA k^A 0 I1 k{A 'k .A l a ' k?A qA _ ì_ + 2 - 0 Ti V L L t2 0 (4.18) k2A / k. A l a ' ' 0 -Ì— + -Ì— T* hATa V k 13 / , kA -l— + hA Kk . Với số liệu của bài toán cụ thể giải ra dược phân bố nhiệt độ trong vách 4.3. DẨN NHIỆT QUA VÁCH PHẢNG CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG Khào sát vách phảng dày 2L, hệ số dẫn nhiệt k, nguồn trong qv, nhiệt độ hai mặt là T\V1 và Tw2 - Hình 4.3. Vách phẳng có nguồn trong 120
Trong Chưcmg 1 ta đã biết phương trình vi phàn đối với bài toán một chiều ổn định có nguồn bên trong là: ^ Ị+ % - = 0 (4.19) dx2 k Nghiệm eiải tich của bài toán là hàm bậc 2 của toạ độ, Hình 4.3. r(.v ) = - ,x: ) - L ì Z Ĩ i L x + L ì ± L l (4.20) v ’ 2k' ’ 2L 2 Nếu nhiệt độ hai mặt nsoài vách bằng nhau, nghiệm có dạng Khi đó chi cần khảo sát trên một nửa vách. Do phàn bố nhiệt độ ữ o n s vách phẳna có nsuồn bên trong là đường cong, nên có thể dùne phần tử hữu hạn 1 chiều bậc nhấi hoặc phần tử 1 chiều bậc hai. Chúng ta sẽ lần lượt khảo sát cách sử dụng hai loại phần tử đuói đày. 4.3.1. Giải bằng phần tử bậc nhất a. R ờ i rạ c m iề n n g h iệ m Xét một vách phẳng rất dài, có bề dày 2L. Chia bề dày vách thành n phần tử, n+1 nút, mỗi phần tử dài. / = 2L/n, Hình 4.4. Diện tích mặt cắt ngang truyền nhiệt A. Ở đây lấy n = 4. ® © (D ... © 0 ----- ♦ — • -----— 1 2 3 4 n n+1 2L < --------------- —------------- > Hình 4.4. Rời rạc bể dày tấm thành n phần tử, n+1 nút b. M a tr ậ n đ ộ c ứ n g v à V é c tơ p h ụ tả i Tính [ k ] và { /} - Ma trận độ cứng của phần tử nàm bẽn trong vách theo (3.170), do không có toà nhiệt, nên chi còn [* w M M M " 121
Hàm nội suy [N] của phần tử 1 chiều bậc nhất và đạo hàm của hàm nội suy [B] cũng như hai bài toán trước, nên có ỊcA 1 -1 (4.22) l -1 1 - Véc tơ phụ tải nhiệt theo (3.171), do không có bức xạ và toả nhiệt nên chỉ còn [ f} = \ q v [ N ^ d V (4.23) V Khi tính véc tơ phụ tải của mỗi phần tử ta lưu ý rằng, do qv phân bố đều trong cả phần tử, nên mỗi hàm nội suy tại mỗi nút lấy giá trị trung bình tại hai vị trí, tức là W A " ,) , M . +w , 1+0 0+1 [w ]= [w , (V (4.24) Do dó: [ * ] .! [ , ,] ; [ N Ĩ-i (4.25) qvAl [l vậy { / H i v t X p f l '- L V j A.dx = (4.26) V L 2 1 c. P h ư ơ n g trìn h đ ặ c tr ư n g c ủ a p h ầ n tử Phương trình đặc trưng của các phần tử có [A"] và I / j như nhau kA k.Ã 1 \ qvAl ỊcA 1 -1 l l 2 M - (4.27) l -1 1 kA kA qv Al FJ . / l 2 . d. P h ư ơ n g trìn h m a tr ậ n tổ n g th ể Lăp ghép các phần tử, với trường hợp có 4 phần từ 5 nút, ma trận tổng thể của hệ như sau kA _ kA qv Al l 0 0 0 / _kA kA qv A l q Al l 0 0 _---- -------- ì ) l 2 2 kA f1 kA 0 -± 2 . ^ 1 + kA kA r qv A l qv A l ' s' (4.28) l 0 [ l I ỉ \ kA kA kA _kA 0
4.3.2. Giải bằng phần tử bậc hai Phân bố nhiệt độ cùa trong vách phẳne cỏ nsuồn trong theo giải tích là hàm bậc hai, vậy có thể khảo sát bài toán bài toán trên bằng phần tử bậc hai. Mỗi phần tử bậc hai cần 3 điểm để biểu thị nhiệt độ thay đổi theo hàm bậc hai của toạ độ như đã biết. T - N i T i + NjTj + NkTk (4.29) Các hàm nội suy đã có trone phần trước: 4.V 4.X ' X 2x2 N. = = -— + ■ (4.30) / /- 7 F I r- Đạo hàm của hàm nội suy [B] đà xác định được là 4 f _ 3 4 8. í n [•]- il_ 1 (4.31) /- / I r- r- I a. M a tr ậ n đ ộ c ứ n g Đẻ tính ma trận độ cứng là [ ^ ] = j £ d ỴB~ịd V , cần phải xác định tích số: W W W Trong đó, [D] = k; và chú ý các phép nhàn ma trận sau: r 1 b. r -1 , r Q. ~ Ịr ~ì c i.b . C i .b - [ ai * = [ flifci +flA ] v à Ị bi] = a2bx a2b2 (4.32) Nên 4x_3 /2 / 4_8* 4* 3 4 8x í£ _ ỉ [ • rw w - iA / í- r- I Ĩ~ T r- 7 4x_n l2 l (4.33) ' 4x 3 '4 x 3" í 4 8xì '4 x 3' 4x l' 1 — 1 ^ 1 , / 2 /, l 1 í A 1\ 8*" ' 4x 3' r 4 f 4 8x n 1 1 !1 *■*- 1 í 4 ■[»: *-«. 1/ I2 ) J 2 / r- f 4x r U x ị 4x__\_ 4 _8 * 1 l í h J F ' [ l2 / 7 /2 T I 123
+ Tỉnh ma trận độ cứng M = í,M rM [ 4 " ' 16.1-2 24x ^ 16* 32.V2 24.r 4.V 12jc +9 — ỉ ------- — - —— + 3 / /2 / /2 1 1 (4.34) 16.V 32.V 24* ^ ^ 64jc 64jc2 I 6x „ 32 x 2 8xA 12— + 16 -——+ - ——- 4 — — dx = -V 1 ^ 7 /- 2 / r / y, 1 l2 1 V , ' 1/2 \ f Ị ^ 16.V" 12.r 4* ^16;c 32*^ 8.r 16.V 8jc , — — - ị -----4 + — —£— — +1 í / " 7 ts ì /2 / 2 / / y Sau khi lấy tích phân sẽ có: / 16.VJ 24 jc2 40 jc2 32-t3 16 x ĩ ló * 2 +9x -Ì2 x + 3;c l 3/2 2/ / V 2/ 3/2 3/2 2/ \ / 40-x: 3 2 r’ 64,v2 64JC3 24*2 , 32x3 [K ] = M ± -1 2 * 16*-----_ + - —— - 4 x — — - (4.35) 2/ 3/2 2/ 3/2 2/ 3 l2 'l ố * 3 16jc2 N ^ 24x2 32^ 16x3 8.V2 + 3jc -4x -+ x 3/2 2/ 21 3/2 3r 21 0 Thav cận sẽ được: 16 32 16 12+9 2 0 - — -1 2 ■8 + 3 3 / V \ / 14 -1 6 2 32 64 32 Afc 2 0 - — -1 2 1 6 -3 2 + 1 2 -4 - -1 6 32 - 16 M =" 7 3 ) V 61 / 2 -1 6 1 f 16 > 32 16 — -8 + 3 1 2 -4 ■4 + 1 V 3 Cuôi cùng có ma trận độ cứng của một phần tư một chiều bậc hai " 14 -1 6 2 -16 32 -16 (4.36) 2 -1 6 14 b. V éc tơ p h ụ tả i M = í r ^ i x f d V , thay [N]1 vào V 1 + l2 4.V 4.v‘ [/] = [.‘/v.[^]r‘/V' =J
lây tích phàn sẽ được: L 3.v: 2.x' ) r 1 2 1 x 21 + 3/: - /--/+ -/ 2 3 6 -9 + 4 Y 4.v: 4.V' qvAl [ / ] = T w = 30° c © © © © f — • — «— «— 3 4 5 ì X = 0 Hinh 4.5. Rời rạc các phần tử ưẻn nừa tam phàng có nguồn trong M a trậ n toàn cục của hệ: theo (4.28) ma trận toàn cục của hệ như sau kA _kA ụv Al 0 0 0 T l kA kA kA kA qv Al q AI 0 0 l í í I _kA kA kA _kA ilyAI
Cho A = lm 2 • Tính kII = 12/0,0075 = 1600 m2/W; qv.//2 = 200000x0,0075/2 = 750 w/m. Thay trị số trên vào phương trình ma trận đặc trưng toàn cục được 1600 -1600 0 0 0 750 -1600 3200 -1600 0 0 t2 1500 0 -1600 3200 -1600 0 4 T, 1500 (4.41) 0 0 -1600 3200 -1600 T* 1500 0 0 0 -1600 1600 75 750 Áp đ ặt điều kiện biên Tại bề mặt có nhiệt độ T\v = 30 = T 5 , nên phải áp đặt điều kiện biên như sau. Đe T5 = 30 thì: - Hàng thứ 5 chi có một hệ số 1 của nhiệt độ T5 là: 0.7^ + 0.7, + 0.7^ + 0.7^ + ,rs = 30 - Hàng thứ 4: nhân nhiệt độ Ts = 30 vào cột 5, là -1600x30 = - 48000, rồi chuyển sang vế phải: 07; + 0 7 ;-1 6 0 0 7 ; +32007; +07, = 30x1600 + 1500 = 49750 Ma trận toàn cục sau khi áp đặt điều kiện biên là 1600 -1600 0 0 o' 750 -1600 3200 -1600 0 0 t2 1500 0 -1600 3200 -1600 • 0 T, 1500 (4.42) 0 0 -1600 3200 0 49750 0 0 0 0 1 30 Giải ra X 37,5000 T2 37,0313 i ►— « 35,6250 (4.43) T* 33.2813 T, 30,0000 T h í dụ 4.3. Giài bài toán trên bàng phần tử một chiều bậc hai. Theo đề bài có L = 0,03 m; k =12 W/m°C; qv = 200000 w/m3 a. K h ao sá t b ă n g sơ đô 1 p h â n tử m ộ t c h iề u b ậ c h a i Phương trình đặc trưng của phần tử một chiều bậc hai 14 -16 2 t1 ' l" Ak_ -16 32 -1 6 . 126
Phần tử cỏ / = L = 0,03 m; 3 nút 1,2 và 3, Hình 4.6. Lấy A =1 m2. < © > i 11 2 / = 0.03 m < -------- — ------- > Hình 4.6. Sơ đồ sử dụns 1 phần tử bậc hai có 3 nút Tính các số hạng: k/6x/ = 12/(6x0.03) = 66.6667; qvx 1/6 = 200000x0,03/6 = 1000. Thay vào phươnc trình đặc trưiie của phần tử sẽ được ' 14 -1 6 X' r 66.6667 -1 6 32 -1 6
1=0,015 Hình 4.7. Sơ đồ sử dụng 2 phần tử bậc hai Phương trình ma trận đặc trưng của hai phần tử là như nhau ’ 1 8 6 6 ,7 -2 1 3 3 ,3 2 6 6 ,7 ' 500 X Phần tử 1 -2133,3 4 2 6 6 ,7 -2133,3 • =
So sánh các nghiệm của các phương pháp giải tích, phần tử bậc nhất, bậc hai một phần tử và hai phần tử như sau Bảng 4.1. So sánh nghiệm của các phương pháp T, T: T, T< Ts 1 phân tử 37.5101 35,6317 - 30,0000 PTHH bậc hai 2 phân từ 37.4524 36.9862 35.5843 33,2523 30,0000 PTHH bậc nhải (5 phần từ) 37,5000 37.0313 35.6250 33,2813 30,0000 Nghiệm giài tich 37,5000 37.0313 35,6250 33,2813 30,0000 Thấy rảne nghiệm PTHH khi dùng 5 phần tử bậc nhất chính xác hơn hai phần tử bậc hai. Trường hợp nhiệt độ hai mặt khác nhau Thí dụ 4.4. Vách phẳng dày 2L = 0.075 m; hệ số dẫn nhiệt k =12 W/m°C; nguồn ữong qv = 200000 w /m 3; Cho biết nhiệt độ hai mặt ngoài là Twi 45 °C; T W2 =30°c. Xác định nhiệt độ trong tấm, giải bằng 10 phằn tử bậc nhất, 11 nút. Chiều dài mỗi phần tử: / = L/10 = 0,075/10 = 0,0075(1X1) qv = 2 0 0 0 0 0 W / m 3 Twi=45°c ® ® (D @ ® © ® (D ® ® 30°c 2 3 4 5 5 7 8 9 10 ] Hình 4.6. Rời rạc vách phẳng có nguồn trong.thành 10 phần tử Phương trình đặc trưng vần có dạng như (4.39), chi khác là có 11 nút nên K là ma trận 11x11 Thay giá trị số vào được '1600 -1600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T, 750 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0 0 0 0 T* 1500 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0 0 0 T, 1500 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0 0 T, 1500 (4.54) 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0 T, 1500 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 Tt •= 1500 0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 T, 1500 0 0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 T, 1500 0 0 0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 T, 1500 0 0 0 0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600T.0 1500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1600 3200 T„ 750 Áp đặt điều kiện biên TWj = 45°c T w2 = 30°c 129
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o' V 45 0 3200 -1600 0 0 0 0 0 0 0 0 73500 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0 0 0 T, 1500 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0 0 T, 1500 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 0 T, 1500 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 0 ■= 1500 0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 0 t7 1500 0 0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 0 1500 0 0 0 0 0 0 0 -1600 3200 -1600 0 t9 1500 0 0 0 0 0 0 0 0 -1600 3200 0 T *10 49500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 T . 11. 30 Giải ra nghiệm và thể hiện trên đồ thị như sau: 45.0000 47.7188 49.5000 50.3438 50.2500 49,2188 (4.56) 47.2500 44.3438 40.5000 35.7188 30.0000 Hình 4.6. Phân bố nhiệt độ trong vách phăng có nguồn bên trong 4.4. DẢN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ Xét vách trụ đường kính trong di, ngoài d2 , hệ số dẫn nhiệt k, mặt trong có nhiệt độ Tml, mặt ngoài toả nhiệt ra môi trường hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường Ta. Khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, có thể coi thay đổi nhiệt độ là tuyến tính. Chọn 1 phần tử một chiều bậc nhất, chiều dài phần tử là bề dầy vách / = r2 - n , Hình 4.7. Hình 4.7. Vách trụ và chọn phần tử một chiều tương ứng 130
Thể tích phần tử khảo sát là V = 7i(r22- ri2) x l, vi phân thể tích là d v = 2mdr. N hư vậy biến số độc lập trong vách trụ là r thay cho X trong vách phẳng. N hiệt độ trong vách trụ vẫn tuân theo các công thức của phần tử một chiều bậc nhất, được nội suy qua nhiệt độ hai nút: T 1 = 'V N Tl +' N2*2 T (4.57) 4.4.1. Hàm nội suy Khi đặt ri = 0; r2 = r, các hàm nội suy [N] đối với vách trụ cũng giống như đối với vách phẳng sẽ là: / \ r (4.58) Ch 4.4.2. Đạo hàm của hàm nội suy Đạo hàm của hàm nội suy [B] cũng như trong vách phẳng 1] (4.59) Toạ độ r được biểu thị qua hàm nội suy như sau: r = Nf i +Ni ri (4.60) 4.4.3. Ma trận độ cứng M a ữận độ cứng của phần tử vách trụ vẫn theo công thức (4.61) - Tỉnh số hạng thứ nhất'. Tích số [ f l] r [ o ] [ f i ] đối với phần tử một chiều bậc nhất, ta đã biết là 1 -1 ' H -1 1 Ở đây, vách trụ có chiều dài phần tử là / , và /2 = (r2 - ỷ . Bởi vậy, '2 2 n k 1 -1 In k 1 -1 rdr = ■ rx [2 -1 1 -1 1 (r2 - r.) 131
Sau khi thay cận có 1 -1 (4.62) -1 1 - T ín h s ố h ạ n g th ứ h a i: Diện tích toả nhiệt mặt ngoài vách trụ là A = 2 ĩtr 2 x l . Toà nhiệt chỉ ở nút 2 đã tính ữong (4.7), nên có j /j[yv]r [w ]í/S = Ị/j 0 [0 l]rfS = 2ĩĩ.r2h "o o' (4.63) A 0 1 Vậy ma ưận độ cứng [K] là 2 t * ( ' ; +r1) 1 - l’ o o ■ + 27i.r,h 2 (4.64) -1 1 0 1 2 4.4.4. Véc tơ phụ tải nhiệt Do chi toả nhiệt tại mặt ngoài có diện tích A = 27tr2x 1, nên { f } = \ h T a[ N ^ dS = h T 2 n . r ^ (4.65) 4.4.5. Phương trình đặc trưng của phần tử Cuối cùng có phương trình đặc trưng phần tử là [ 2 n .k ír. + r J 1 -1 0 0 + 27T.r2/j 1 \ = hT 271.K 1° (4.66) l ( r2 - r. ) 2 -1 1 0 1 1 T h í d ụ 4 .4 . Tính nhiệt độ mặt ngoài và phân bố nhiệt độ trong vách trụ với số liệu sau: ĩ\ = 30 cm, Ĩ2 = 50 cm, k = 15W/m°C. Mặt trong c ó Twi =80°C; mặt ngoài có h = 10w/m2°c, = 20°c. Ta a. K h ả o s á t b ằ n g s ơ đ ồ m ộ t p h ầ n tử b ậ c n h ấ t Hình 4.8. Chọn 1 phần tử một chiều cho vách trụ 132
Chiều dài phần tử / = Ĩ 2 - ri = 50 - 30 = 20 cm - 0,2 m. M a trận độ cứng và véc tơ tải như sau 1 10 o In k (r, + r2) ' 1 -l' + 2 jr.r,h 2 [* 1 - -1 1 0 1 h - .) 2 2ỉrA5 (0,5+ 0,3) ' 1 -ì' "o o' + 2 ^ 0 ,5 .1 0 (4.67) 0,2 2 -1 1 0 1 188,4955 -188,4955 -188,4955 219,9105 0,„0,Ị»Ị=|628»185Ị (4.68) Phương ữình ma trận đặc tnm g của phần tử là 188,4955 -188,4955 0 (4.69) -188,4955 219,9105 628,3185 Áp đặt điều kiện biên: T 1 = 80°c sẽ có 1 0 80 (4.70) 0 219,9105 628,3185 + 188,4955.80 Giải ra: T2 = 71,4286°c b. K h ả o s á t b ằ n g s ơ đ ồ h a i p h ầ n tử b ậ c n h ấ t Khi coi bề dày vách trụ gồm hai phần tử, sơ đồ sẽ có ba nút: 1, 2 và 3. Chiều dài mỗi phần tử là: / = (r2 - T])/2 = (50 - 30)/2 = 10 cm, ba nút tương ứng với các toạ độ là: ri = 30 cm, r2 = 40 cm và r3 = 50 cm. T w i 1'80°c (D_ © T,=20°c h = 10W/m20C Hình 4.9. Chọn 2 phần tử một chiều cho vách trụ 133
Phàn tử 1: Phần tò 1 có hai nút 1 và 2, không có đối lưu - M a ư ận độ cứng 2n k ( 'l + 'O 1 -1 2 n .\5 (0,3+ 0,4) 1 -1 M ,= -1 1 0,1 -1 1 ( r2 " r.) 2 (4.71) ‘ 329,8672 -329,8672 -329,8672 329,8672 - Véc tơ tải W-H (4.72) - Phưcmg trình ma trận đặc trưng: 329,8672 -329,8672' (4.73) -329,8672 329,8672 Q • PAầ /1 tử 2: Phần tử 2 có hai nút là 2 và 3, có đối lưu tại nút 3 - M a trận độ cứng: o o ’ 1 -l' [K~\ ln k (rĩ +r3) + 2 n .rh 3 L Jĩ (f3 -r 2) 2 -1 1 0 1 rõ o 27T.15 (0 ,4 + 0,5) ’ 1 -1 + 2^.0,5.10 (4.74) 0,1 2 -1 1 0 1 424,115 -424,115 -424,115 455,531 - Véc tơ tài {/Ịi =„r2*,,|°Ị =10.20.2*.0,5Ị°Ị =| 62£ i8Ị (4.75) - Phương trình ma trận đặc trưng: 424,115 -424,115] í r 2Ị _ í 0 Ị (4.76) -424,115 455,531 J |7 , j [628,3181 + Lấp ghép phương trình đặc trung tổng thể: ’ 329,8672 -329,8672 0 t; 0 -329,8672 (329,8672 + 455,531) -424,115 t2 = ' ' 0 (4.77) 0 -424,115 455,531 T, 628,318 134