Nguyên tử hydro và orbital nguyên tử

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

160
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'nguyên tử hydro và orbital nguyên tử', tài liệu phổ thông, hóa học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nguyên tử hydro và orbital nguyên tử

Nguyên t hydro và orbital nguyên t Lý Lê Ngày 2 tháng 11 năm 2009 Tóm t t n i dung Nguyên t hydro là m t trong s r t ít nh ng h nhi u h t tương tác l n nhau mà phương trình Schr¨dinger c a nó có th đư c gi i m t o cách chính xác. Schr¨dinger đã s d ng nguyên t hydro đ minh h a o lý thuy t m i c a ông. Hơn n a, nh ng k t qu thu đư c t vi c gi i bài toán nguyên t hydro còn đư c là cơ s đ kh o sát nh ng nguyên t , phân t ph c t p hơn. 1 Hydro và nguyên t gi ng hydro Nguyên t hydro g m có m t proton và m t electron. N u g i e là đi n tích c a proton (e = +1, 6 · 10−19 C), thì đi n tích c a electron là −e. Thay vì ch kh o sát nguyên t hydro, chúng ta s x lí m t v n đ t ng quát hơn đó là nguyên t gi ng hydro (hydrogen-like atom). Nghĩa là, chúng ta s kh o sát nh ng h g m m t electron và h t nhân có đi n tích là Ze. Khi Z = 1, ta có nguyên t hydro; Z = 2, ta có ion He+ ; khi Z = 3, ta có ion Li2+ , . . . Nguyên t gi ng hydro là h cơ b n nh t trong hóa lư ng t . Đ i v i nh ng h nhi u nguyên t và có hơn m t electron, chúng ta không th tìm đư c l i gi i chính xác cho phương trình Schr¨dinger vì có s tương tác gi a o các electron. Trong phép g n đúng th p nh t, chúng ta b qua s tương tác này, kh o sát các electron m t cách đ c l p. Hàm sóng c a nguyên t nhi u electron x p x b ng tích các hàm sóng m t electron (hàm sóng c a nguyên t gi ng hydro). Hàm sóng m t electron đư c g i là orbital . M t orbital cho m t electron trong m t nguyên t đư c g i là orbital nguyên t . Như v y, orbital nguyên t (AO) là bi u th c toán h c m t s chuy n đ ng c a m t electron trong nguyên t . Các AO s đư c dùng đ xây d ng nh ng hàm sóng g n đúng cho các nguyên t nhi u electron cũng như cho các phân t . G i (x, y, z) là t a đ tương đ i c a electron so v i h t nhân và r là kho ng cách. Ta có r = ix + jy + kz; r = |r| = x2 + y 2 + z 2 (1) 1
Theo đ nh lu t Coulomb, th năng tương tác V (r) gi a h t nhân và electron trong h SI là Ze2 V (r) = − (2) 4πε0 r V i ε0 là h ng s đi n môi. Trong h SI, m là đơn v c a chi u dài, J là đơn v c a năng lư ng, C là đơn v c a đi n tích. Trong h đơn v gaussian CGS, V (r) đư c vi t như sau Ze2 V (r) = − (3) r v i cm là đơn v c a chi u dài, erg là đơn v c a năng lư ng, stat (stat- coulomb) là đơn v c a đi n tích. Sau đây, chúng ta bi u di n V (r) như sau Ze 2 V (r) = − (4) r e v i e = e trong h CGS và e = trong h SI. 4πε0 Vì th năng c a h hai h t như trên ch ph thu c vào t a đ tương đ i c a chúng nên ta có th tách m t bài toán cho hai h t thành hai bài toán cho m t h t. Kh i lư ng rút g n c a h là me mN µ= ≈ me (5) me + mN v i me , mN là kh i lư ng c a electron và c a h t nhân. Đ i v i h hai h t, ta có hai ki u chuy n đ ng là chuy n đ ng t nh ti n c a c h trong không gian và chuy n đ ng tương đ i gi a các h t. đây, chúng ta ch xét chuy n đ ng th hai. S chuy n đ ng tương đ i gi a electron và h t nhân trong trư ng th Ze 2 năng V (r) = − gi ng như s chuy n đ ng c a m t h t có kh i lư ng r rút g n µ. Vì hàm th năng V ch ph thu c vào r nên ta xem đây là bài toán trư ng xuyên tâm. Toán t Hamiltonian cho s chuy n đ ng này là 2 Ze 2 2 H=− − (6) 2µ r Trong đó 2 2 − 2µ là đ ng năng c a h . Trong h t a đ c u, ta có 2 ∂2 2 ∂ 1 = 2 + − 2 2 L2 ∂r r ∂r r 2
Do đó, phương trình Schr¨dinger cho nguyên t hydro là o 2 ∂2 2 ∂ l(l + 1) 2 Ze 2 − (+ )+ − ψ = Eψ (7) 2µ ∂r2 r ∂r 2µr2 r v i ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ) (8) Hàm đi u hòa c u Y (θ, ϕ) là các đ c hàm chung c a L2 và Lz . Th (8) vào (7), ta đư c 2 2 l(l + 1) 2 Ze 2 − R (r) + R (r) + R(r) − R(r) = ER(r) (9) 2µ r 2µr2 r Đ đơn gi n, ta đ t 2 a= (10) µe 2 và vi t l i (9) như sau 2 2E 2Z l(l + 1) R + R + 2 + − R=0 (11) r ae ar r2 Đ xác đ nh R, đ u tiên chúng ta tìm nghi m ti m c n R∞ , tương t như bài toán dao đ ng đi u hòa. Khi r → ∞, phương trình (11) tr thành 2E R∞ + R∞ = 0 (12) ae 2 Nghi m c a phương trình trên là R∞ = N e−αr (13) v i N là h ng s và 2E α= − (14) ae 2 Nghi m đ y đ c a (11) là tích c a nghi m ti m c n R∞ và m t hàm K(r) R(r) = N e−αr K(r) = e−αr H(r) (15) Chú ý h ng s N đã đư c nhân vào K(r). T (15), ta có R = e−αr (H − αH); R = e−αr (H − 2αH + α2 H) (16) Th k t qu trên vào (11), sau đó rút g n, ta đư c r2 H + (2r − 2αr2 )H + [(2Za−1 − 2α)r − l(l + 1)]H = 0 (17) 3
Ta th y, phương trình vi phân trên có d ng p(r)H (r) + q(r)H (r) + u(r)H(r) = 0 (18) Đây là phương trình vi phân thu n nh t b c hai v i các h s là nh ng đa th c đ u ch a r. Khi đó nghi m chu i lũy th a c a nó như sau ∞ ∞ H(r) = bj rj+s = rs bj rj = rs M (r) (19) j=0 j=0 v i bj (j = 0, 1, 2, . . .) và s là m t s nguyên. Giá tr c a s ph i đư c ch n sao cho b0 không b ng zero. L y đ o hàm b c nh t và b c hai c a H(r) r i th vào (17), ta thu đư c r2 M + (2s + 2)r − 2αr2 M + s2 + s + (2Za−1 − 2α − 2αs)r − l(l + 1) M = 0 (20) Đ ch n đư c s, chúng ta xét (20) khi r = 0. T (19), ta có M (0) = b0 ; M (0) = b1 ; M (0) = 2b2 (21) Như v y, khi r = 0, (20) tr thành b0 (s2 + s − l2 − l) = 0 (22) Vì b0 không th b ng zero, nên (s2 + s − l2 − l) = 0 (23) Đây là phương trình b c hai v i n s là s. Nghi m c a nó như sau s = l; s = −(l + 1) (24) V i trư ng h p s = −(l + 1), ta th y ∞ H(r) = bj rj+s = b0 r−(l+1) + b1 r−l + b2 r−l+1 + · · · (25) j=0 không h i t t i g c t a đ . Do đó, ch nghi m s = l đư c ch p nh n. Chúng ta có thành ph n bán kính R(r) = e−αr rl M (r) (26) Khi s = l, phương trình (20) tr thành rM + (2l + 2 − 2αr)M + (2Za−1 − 2α − 2αl)M = 0 (27) 4
Ta có ∞ M (r) = bj rj j=0 ∞ M (r) = (j + 1)bj+1 rj j=0 ∞ M (r) = (j + 1)jbj+1 rj−1 j=0 Th nh ng phương trình này vào (27), ta đư c ∞ j(j+1)bj+1 +2(l+1)(j+1)bj+1 +(2Za−1 −2α−2αl−2αj)bj rj = 0 (28) j=0 T đó, ta có công th c h i qui 2(α + αl + αj − Za−1 ) bj+1 = bj (29) j(j + 1) + 2(l + 1)(j + 1) Đ thành ph n góc R(r) xác đ nh khi r → ∞ thì (29) ph i b ng zero khi j đ t đ n m t giá tr k nào đó; nghĩa là, khi j = k thì ta có bk+1 = 0. Đi u này tương đương v i đa th c nhân v i bk trong (29) b tri t tiêu 2(α + αl + αk − Za−1 ) = 0 (k = 0, 1, 2, . . .) hay α(k + l + 1) = Za−1 (30) Đ t n=k+l+1 (n = 1, 2, 3, . . .) (31) Như v y, l có giá tr t 0 đ n n − 1, vì l =n−k−1≤n−1 (32) Phương trình (30) tr thành αn = Za−1 (33) 2E 2 v iα= − và a = , nên ae 2 µe 2 Z2 e 2 Z 2 µe 4 En = − =− 2 2 (34) n2 2a 2n Đây là nh ng m c năng lư ng tr ng thái liên k t (bound-states) c a nguyên t gi ng hydro. Ta th y chúng có giá tr âm và gián đo n. 5
M t s k t lu n Hàm sóng tr ng thái tĩnh c a nguyên t gi ng hydro là ψnlml (r) = Rnl (r)Ylml (θ, ϕ) (35) và đư c đ c trưng b i ba s lư ng t n, l, ml . Chúng th a mãn đi u ki n là đ c hàm chung c a H, L2 và Lz Hψnlml (r) = En ψnlml (r) L ψnlml (r) = l(l + 1) 2 ψnlml (r) 2 Lz ψnlml (r) = ml ψnlml (r) Nghĩa là, tr ng thái ψnlml có năng lư ng E = En , bình phương mô-men góc L2 = l(l + 1) 2 và thành ph n z c a mô-men góc Lz = ml . Năng lư ng E c a h ch ph thu c vào s lư ng t n. Tuy nhiên, tr ng thái ψ ph thu c vào c n, l, ml n = 1, 2, 3, . . . l = 0, 1, 2, . . . , n − 1 ml = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l Do đó, v i m i giá tr n ( ng v i m t m c năng lư ng) s có n giá tr l; 2l + 1 giá tr ml . Ví d , khi n = 2 thì l = 0, 1. V i l = 0, ta có m t hàm sóng ng v i ml = 0; v i l = 1, ta có ba hàm sóng ng v i ml = −1, 0, +1. Nghĩa là v i n = 2, có t t c b n hàm sóng v i cùng m c năng lư ng. Tương t , n u n = 3 thì s hàm sóng cùng m c năng lư ng là 1(l = 0, ml = 0) + 3(l = 1, ml = 0, ±1) + 5(l = 2, ml = 0, ±1, ±2) = 9 M t cách t ng quát, n u không xét y u t spin, thì v i m i giá tr n s có t t c là n2 hàm sóng ψnlml khác nhau. Như v y, b c suy bi n c a m c năng lư ng En là n2 n−1 n n n (2l + 1) = [2(k − 1) + 1] = 2 (k − 1) + 1 = n2 l=0 k=1 k=1 k=1 S lư ng t n đư c g i là s lư ng t chính, xác đ nh giá tr năng lư ng En ; l đư c g i là s lư ng t góc hay s lư ng t orbital (azimuthal quantum number hay orbital quantum number), xác đ nh đ l n c a mô-men góc L và quy t đ nh hình dáng c a các orbital; ml là s lư ng t t , xác đ nh đ l n c a Lz , hay đ l n c a mô-men góc trên tr c z. Các đ c tr En mô t các m c năng lư ng đư c phép c a nguyên t . Chúng có giá tr âm b i vì electron tr ng thái liên k t. Khi n → ∞, thì E∞ → 0, và electron tr thành h t t do. 6
2 Quang ph nguyên t Electron trong nguyên t tr ng thái ni có th h p th năng lư ng (ví d khi ti p xúc v i b c x đi n t ) và nh y lên tr ng thái có m c năng lư ng nj cao hơn (tr ng thái kích thích). Sau m t th i gian, electron tr v m c năng lư ng nf th p hơn nj . Trong quá trình đó, electron s phát ra m t photon có năng lư ng là hc Eγ = hν = = Ej − Ef (36) λ Suy ra 1 Ej − Ef = (37) λ hc Ví d , đ i v i nguyên t hydro (Z = 1), khi electron chuy n t tr ng thái kích thích th 1 (n = 2) v tr ng thái cơ b n n = 1, ta có 1 E2 − E1 e2 1 1 1 1 = = ( 2 − 2 ) = RH ( 2 − 2 ) (38) λ hc 2ahc n1 n2 n1 n2 1 v i RH = 109.677, 58 cm−1 là h ng s Rydberg c a hydro; = ν đư c g i ¯ λ là s sóng. Sau đây là h ng s Rydberg c a m t s nguyên t gi ng hydro Nguyên t R (cm−1 ) 1H 109.677, 58 2H 109.707, 42 4 He+ 109.722, 26 7 Li2+ 109.728, 72 9 Be3+ 109.737, 31 Khi kh o sát ph phát x c a các đám mây hydro b ion hóa, ta th y có 4 v ch ph r t đ c bi t trong vùng kh ki n đó là v ch đ (v ch Hα) t i 656 nm; v ch xanh lá cây t i 486 nm; v ch tím xanh t i 434 nm; v ch tím t i 410 nm. Đi u này có th gi i thích như sau. Năng lư ng đư c phép (eV ) c a nguyên t hydro Z 2 µe 4 1 En = − 2 2 = −13, 6 2 (39) 2n n tr ng thái cơ b n (n = 1), thì E1 = −13, 6 eV T (36), t n s c a s chuy n d ch j → f là 1 1 hνjf = Ej − Ef = −13, 6 2 − n2 nf j 7
N u ta s d ng h ng s Plank h = 0, 414 · 10−14 eV·s, thì 1 1 νjf = 3, 29 · 1015 2 − n2 s−1 (40) nf j Đ dài sóng tương ng là c n2 n2 j f λjf = = 91, 2 2 nm (41) νjf nj − n2f S chuy n d ch xu ng tr ng thái cơ b n: dãy Lyman N u electron t các tr ng thái nj = 2, 3, 4, . . . v tr ng thái cơ b n nf = 1, các v ch ph phát x n m trong vùng có đ dài sóng λj→1 = 91, 17 nm → 121, 56 nm Đây là đ dài sóng c a các b c x đi n t thu c vùng t ngo i (UV). Nh ng v ch ph này đư c g i là dãy Lyman, theo tên c a nhà v t lí Theodore Lyman ngư i đã phát hi n ra chúng năm 1906. S chuy n d ch xu ng tr ng thái kích thích th nh t: dãy Balmer N u electron t các tr ng thái nj = 3, 4, 5 . . . v tr ng thái kích thích th nh t nf = 2, các v ch ph phát x n m trong vùng có đ dài sóng λj→2 = 364, 49 nm → 656, 11 nm Đây là đ dài sóng c a các b c x đi n t thu c vùng kh ki n và đư c g i là dãy Balmer. Đ c bi t s chuy n d ch 3 → 2 có đ dài sóng 3·2 λ32 = 91, 2 = 656, 11 nm (42) 32− 22 r t phù h p v i k t qu th c nghi m 656,28 nm. N u electron t các tr ng thái nj = 4, 5, 6 . . . v tr ng thái kích thích th hai nf = 3, nó s phát ra các b c x đi n t thu c vùng h ng ngo i (IR), g i là dãy Paschen. Các v ch ph Lyman, Balmer, Paschen c a nguyên t hydro cũng có th đư c gi i thích d a vào mô hình nguyên t c a Bohr. Tuy nhiên, m u nguyên t Bohr không giúp ta gi i thích đư c s tách các v ch ph khi đ t nguyên t trong t trư ng (hi u ng Zeeman) và trong đi n trư ng (hi u ng Stark). Nh ng hi n tư ng này có th đư c gi i thích m t cách rõ ràng và đ y đ d a vào lý thuy t lư ng t . 8
3 Hàm sóng c a nguyên t hydro Nh ng hàm sóng đ y đ c a nguyên t gi ng hydrogen g m c ph n góc và ph n bán kính có d ng 1 ψnlml = Rnl (r)Ylml (θ, ϕ) = Rnl (r)Θlml (θ) √ eiml ϕ (43) 2π v i Θlml (θ) đư c xác đ nh như sau l−|ml | |ml | Θlml (θ) = sin θ ak cosk θ k=0 Sau đây, chúng ta xác đ nh hàm Rnl (r) n−l−1 l −Zr/na Rnl (r) = r e bj rj (44) j=0 3.1 Hàm sóng tr ng thái cơ b n Đ i v i nguyên t gi ng hydro tr ng thái cơ b n, ta có n = 1, l = 0, ml = 0 Vì v y, ph n bán kính (44) tr thành R10 (r) = b0 e−Zr/a (45) H ng s b0 đư c xác đ nh t đi u ki n chu n hóa ∞ ∞ |R(r)|2 r2 dr = 1 ⇒ |b0 |2 e−2Zr/a r2 dr = 1 (46) 0 0 Áp d ng công th c tính tích phân ∞ n! xn e−qx dx = (47) 0 q n+1 Z 3/2 −Zr/a ⇒ R10 (r) = 2 e (48) a Khi n = 1, l = 0, ml = 0, ph n góc Ylml là 1 Y00 = √ 4π Như v y, ta có hàm sóng đ y đ tr ng thái cơ b n 1 Z 3/2 −Zr/a ψ100 =√ e (49) π a Chúng ta th y, tr ng thái cơ b n, hàm sóng không ph thu c vào thành ph n góc và có tính đ i x ng c u. Theo (49), |ψ|2 c c đ i khi r = 0. Tuy nhiên, đi u này không có nghĩa là v trí d tìm th y electron nh t là trong khu v c g n h t nhân. Chúng ta s kh o sát v n đ này ph n sau. 9
3.2 Hàm sóng tr ng thái kích thích th nh t Khi n = 2, thì l = 0, 1 và m = −1, 0, 1. Như v y, chúng ta có tr ng thái ψ200 = R20 (r)Y00 (θ, ϕ) ψ21−1 = R21 (r)Y1−1 (θ, ϕ) ψ210 = R21 (r)Y10 (θ, ϕ) ψ211 = R21 (r)Y11 (θ, ϕ) D a vào đi u ki n chu n hóa, ta xác đ nh đư c 1 Z 3/2 Zr −Zr/2a ψ200 = √ 1− e (50) π 2a 2a 1 Z 5/2 ψ21−1 = √ re−Zr/2a sin θe−iϕ (51) 8 π a 1 Z 5/2 ψ210 = √ re−Zr/2a cos θ (52) π 2a 1 Z 5/2 ψ211 = √ re−Zr/2a sin θeiϕ (53) 8 π a T k t qu trên, ta th y khi l = 0 và m = 0 thì hàm sóng không ph thu c vào thành ph n góc. Th t v y, c hai tr ng thái ψ100 và ψ200 ch ph thu c vào thành ph n bán kính. M t cách t ng quát, đ i v i tr ng thái l = 0, ta có 1 ψn00 = Rn0 (r)Y00 (θ, ϕ) = √ Rn0 (r) (54) 4π Thành ph n bán kính trong hàm sóng nguyên t gi ng hydro Z 3/2 −Zr/a R10 = 2 e a 1 Z 3/2 Zr −Zr/2a R20 = √ 1− e 2 2a 2a 1 Z 5/2 −Zr/2a R2±1 = √ re 2 6 a 3 Z 3/2 2Zr 2Z 2 r2 −Zr/3a R30 = √ 1− − e 3 3 2a 3a 27a2 8 Z 3/2 Zr Z 2 r2 −Zr/3a R3±1 = √ − e 27 6 2a a 6a2 4 Z 7/2 2 −Zr/3a R3±2 = √ r e 81 30 2a 10
4 Kí hi u hàm sóng M t s hàm sóng đ u tiên thư ng đư c kí hi u như sau n l ml ψnlml Kí hi u 1 0 0 ψ100 1s 2 0 0 ψ200 2s 1 −1, 0, 1 ψ21−1 ψ210 ψ211 2p 3 0 0 ψ300 3s 1 −1, 0, 1 ψ31−1 ψ310 ψ311 3p 2 −2, −1, 0, 1, 2 ψ32−2 ψ32−1 ψ320 ψ321 ψ322 3d 4 0 0 ψ400 4s 1 −1, 0, 1 ψ41−1 ψ410 ψ411 4p 2 −2, −1, 0, 1, 2 ψ42−2 ψ42−1 ψ420 ψ421 ψ422 4d 3 −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ψ43−3 ψ43−2 ψ43−1 ψ430 ψ431 ψ432 ψ433 4f Như v y, ta th y bên c nh dùng s đ ch giá tr l, chúng ta có th dùng ch cái đ kí hi u l l 0 1 2 3 4 5··· Kí hi u s p d f g h · · · Các ch cái trên có ngu n g c quang ph nguyên t : s− sharp; p− principal; d− diffuse; f − fundamental. Sau đó, các giá tr l đư c kí hi u theo th t alphabet, tr j không đư c s d ng. Trư c l, chúng ta ghi giá tr n. Ví d , hàm sóng tr ng thái cơ b n ψ100 là ψ1s ho c đơn gi n là 1s. 5 M t đ xác su t theo bán kính Xác su t tìm th y electron trong vùng có t a đ r đ n (r+dr), θ đ n (θ+dθ), ϕ đ n (ϕ + dϕ) đư c xác đ nh như sau |ψ|2 dτ = |R(r)|2 |Y (θ, ϕ)|2 r2 sin θdrdθdϕ (55) Đ tính xác su t tìm th y electron d c theo t a đ bán kính c a nó t r đ n (r + dr), theo m i hư ng trong không gian, không b gi i h n b i thành ph n góc, chúng ta l y tích phân toàn ph n c a θ và ϕ, c đ nh thành ph n bán kính 2π π |R(r)|2 r2 dr |Y (θ, ϕ)|2 sin θdθdϕ = |R(r)|2 r2 dr (56) 0 0 b i vì thành ph n góc đư c chu n hóa 2π π |Y (θ, ϕ)|2 sin θdθdϕ = 1 (57) 0 0 11
Như v y, xác su t tìm th y electron theo bán kính theo m i hư ng trong không gian đư c xác đ nh d a vào hàm |R(r)|2 r2 . Do đó, m c dù khi r = 0, thành ph n bán kính c a hàm sóng tr ng thái cơ b n Z 3/2 R1s = 2 e−Zr/a a đ t c c đ i, nhưng xác su t tìm th y electron t i g c t a đ (gi s h t nhân đư c đ t t i g c t a đ ) là b ng không vì r = 0 thì |R(r)|2 r2 dr = 0. Đ t U (r) = |R(r)|2 r2 . các tr ng thái 1s, 2s và 2p, nh ng hàm U (r) như sau Z 3 2 −2Zr/a U10 (r) = 4 r e (58) a 1 Z 3 2 Zr 2 −Zr/a U20 (r) = r 2− e (59) 8 a a 1 Z 5 4 −Zr/a U21 (r) = r e (60) 24 a Xác su t tìm th y electron c c đ i cho tr ng thái ψ1s đư c tính b ng cách cho đ o hàm c a U (r) b ng zero dU10 (r) Z 3 Zr −2Zr/a =8 r 1− e =0 (61) dr a a suy ra a0 rmax = (62) Z Đ i v i nguyên t hydro, ta có Z = 1, nên 2 rmax = a0 = = 0, 5292 ˚ A (63) µe 2 trong đó mp me mp me µ = µH = ≈ ≈ me (64) mp + me mp Giá tr a0 còn đư c g i là bán kính Bohr. Theo Bohr, tr ng thái cơ b n thì electron di chuy n quanh h t nhân trên quĩ đ o có bán kính là a0 . Th c s , electron không chuy n đ ng trên m t quĩ đ o nh t đ nh nào c , vì b t c giá tr xác đ nh nào c a r thì bình phương hàm sóng cũng không âm nên ta đ u có th tìm th y electron. 6 Hàm sóng th c c a nguyên t gi ng hydro Nh ng hàm sóng như 1 Z 5/2 ψ2p−1 = √ re−Zr/2a sin θe−iϕ 8 π a 12
và 1 Z 5/2 ψ2p1 = √ re−Zr/2a sin θeiϕ 8 π a đ u là nh ng hàm ph c. Đ bi n chúng thành nh ng hàm th c, chúng ta ti n hành t h p tuy n tính chúng v i nhau. Chúng ta đã có k t lu n: s t h p tuy n tính các đ c hàm c a m t m c năng lư ng suy bi n cũng là m t đ c hàm v i cùng đ c tr năng lư ng c a toán t Hamiltonian. Hai hàm sóng ψ2p−1 và ψ2p1 chính là các đ c hàm c a m t m c năng lư ng suy bi n (n = 2) nên hàm t h p tuy n tính c a hai hàm này s là m t đ c hàm v i cùng đ c tr năng lư ng. Có hai cách đ t h p hai hàm này thành m t hàm th c. Cách th nh t như sau 1 1 Z 5/2 ψ2px = √ (ψ2p−1 + ψ2p1 ) = √ re−Zr/2a sin θ cos ϕ (65) 2 4 2π a đây, chúng ta đã áp d ng phương trình d ng mũ c a s ph c e±ix = cos x ± i sin x 1 H s √ là t đi u ki n chu n hóa ψ2px 2 |ψ2px |2 dτ = |a(ψ2p−1 + ψ2p1 )|2 dτ = |a|2 |ψ2p−1 |2 dτ + |ψ2p1 |2 dτ ∗ ∗ + ψ2p1 ψ2p−1 dτ + ψ2p−1 ψ2p1 dτ Ta có ψ2p−1 , ψ2p1 chu n hóa và tr c giao v i nhau |ψ2p−1 |2 dτ = |ψ2p1 |2 dτ = 1 S tr c giao c a ψ2p−1 và ψ2p1 đư c ch ng minh như sau 2π 2π ∗ ∗ ψ2p1 ψ2p−1 dτ = ψ2p−1 ψ2p1 dτ 0 0 2π 2π = A (e−iϕ )∗ (eiϕ )dϕ = A e2iϕ dϕ 0 0 2π = A [cos(2ϕ) + i sin(2ϕ)]dϕ 0 2π 2π = A cos(2ϕ)dϕ + A i sin(2ϕ)dϕ 0 0 = 0 13
Do đó 1 |ψ2px |2 dτ = |a|2 (1 + 1 + 0) = 1 ⇒ a = √ 2 Vì x = r sin θ cos ϕ, nên ta có 1 Z 5/2 ψ2px = √ re−Zr/2a sin θ cos ϕ 4 2π a 1 Z 5/2 = √ xe−Zr/2a (66) 4 2π a Cách t h p tuy n tính th hai là 1 Z 5/2 ψ2py = b(ψ2p1 − ψ2p−1 ) = √ re−Zr/2a sin θ sin ϕ 4 2π a V i y = r sin θ sin ϕ, ta có 1 Z 5/2 ψ2py = √ ye−Zr/2a (67) 4 2π a Như v y, v i tr ng thái n = 2, chúng ta có ba hàm sóng (orbital) sau 1 Z 5/2 ψ2p0 = √ re−Zr/2a cos θ π 2a 1 Z 5/2 = √ ze−Zr/2a = 2pz π 2a (vì r cos θ = z) 1 Z 5/2 ψ2py = √ ye−Zr/2a = 2py 4 2π a 1 Z 5/2 ψ2px = √ xe−Zr/2a = 2px 4 2π a Các ch s x, y, z nghĩa là ph n góc c a orbital có giá tr l n nh t trên các tr c x, y, z tương ng. Các hàm ψ2p−1 và ψ2p1 là nh ng đ c hàm c a L2 v i đ c tr L2 = l(l + 1) 2 = 2 2 . Do đó, các hàm t h p tuy n tính ψ2px và ψ2py cũng là nh ng đ c hàm c a L2 v i cùng đ c tr là 2 2 . Tuy nhiên, ψ2p−1 và ψ2p1 là nh ng đ c hàm c a Lz v i đ c tr khác nhau là Lz = ml = ± . Vì v y, ψ2px và ψ2py không ph i là nh ng đ c hàm c a Lz . Ti n hành tương t , chúng ta cũng s xây d ng đư c hàm th c cho nh ng hàm sóng o c a nh ng tr ng thái năng lư ng cao hơn. Ví d , khi n = 3, l = 2, ta có năm hàm sóng là ψ3d0 , ψ3d±1 , ψ3d±2 . Trong đó ch có m t hàm th c là ψ3d0 (vì ml = 0 nên thành ph n e−iml ϕ = 1). T h p tuy n tính 4 hàm o còn l i, cho ta 4 hàm th c tương ng và đư c kí hi u là 3dxz , 3dyz , 3dx2 −y2 , 3dxy . Hàm ψ3d0 đư c kí hi u là 3dz 2 . 14
Bài t p 1. Nh ng câu h i sau đ u liên qua đ n nguyên t H a) Chúng ta đã xác đ nh đư c 3 s lư ng t n, l, ml cho thành ph n bán kính và thành ph n góc c a H. Hãy vi t nh ng giá tr đư c phép c a chúng S lư ng t Giá tr đư c phép n l ml b) Cho bi t s ph thu c c a các thành ph n bán kính và góc vào các s lư ng t Thành ph n S lư ng t R(r) Θ(θ) Φ(ϕ) c) Vi t bi u th c liên h c a năng lư ng, mô-men góc, hình chi u c a mô-men góc lên tr c z v i các s lư ng t Tính ch t Công th c tính E L Lz d) Có bao nhiêu tr ng thái (hàm sóng) ψ(r, θ, ϕ) = Rn (r)Ylm (θ, ϕ) trong các trư ng h p sau S lư ng t S tr ng thái l=2 n=1 n=2 e) Vi t công th c tính xác su t tìm th y electron l n nh t, tính giá tr trung bình r và tính xác su t tìm th y electron là 90% theo r Đ i lư ng Công th c tính Pmax (R(r)) r P (R(r)) = 0, 9 f) V hình chi u c a mô-men góc lên tr c z cho electron tr ng thái 3d. Vi t công th c tính góc t o b i L và Lz . 15
2. tr ng thái cơ b n, hàm sóng c a nguyên t hydro trong đơn v nguyên t 1 có d ng 1 ψ1s (r) = √ e−r π Tính xác su t tìm th y electron trong nguyên t hydro tr ng thái cơ b n khi r ≤ a0 . V i a0 là bán kính Bohr. 3. Các m c năng lư ng đư c phép c a electron trong ion He+ là 1 En = k n2 a) Tính giá tr k, cho bi t ion He+ có Z = 2. b) Khi electron trong ion He+ tr ng thái ni v tr ng thái nj có năng lư ng th p hơn, nó s phát ra m t photon có đ dài sóng λij . Xây d ng công th c tính λij (nm) theo ni và nj . c) T k t qu trên, tính đ dài sóng c a s d ch chuy n ni = 2, 3, 4 v nj = 1 cho ion He+ . Tính s sóng ν (cm−1 ) tương ng. ¯ 4. Khi n = 3 và l = 2, chúng ta có 4 hàm o sau 3d±1 = ke−αr r2 sin θ cos θe±iϕ 3d±2 = k e−αr r2 sin2 θe±2iϕ v i k, k và α là nh ng h ng s th c. Hãy tìm các hàm t h p tuy n tính −i 3dxz = √ (3d1 − 3d−1 ) 2 1 3dx2 −y2 = √ (3d2 + 3d−2 ) 2 −i 3dxy = √ (3d2 − 3d−2 ) 2 √ trong đó i = −1. Ta có th áp d ng phương trình 1 1 ix cos x = (eix + e−ix ); sin x = (e − e−ix ) 2 2i 1 Trong đơn v nguyên t (atomic units - au) thì = 1, me = 1, e0 = 1 và a0 = 2 /me e2 = 1 0 16