Parabol cơ bảm đến nâng cao

Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

309
lượt xem 61
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Parabol cơ bảm đến nâng cao Trong toán học, parabol (Tiếng Anh là parabola, bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp παραβολή) là một đường conic được tạo bởi giao của một hình nón và một mặt phẳng song song với đường sinh của hình đó. Một parabol cũng có thế được định nghĩa như một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn). Trường hợp đặt biệt xảy ra khi mặt phẳng cắt tiếp xúc với mặt conic. Trong trường hợp này, giao tuyến sẽ suy...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Parabol cơ bảm đến nâng cao

C. Parabol I. ®Þnh nghÜa vµ ph−¬ng tr×nh 1. §Þnh nghÜa: trong mÆt ph¼ng, cho ®−êng th¼ng ∆ vµ mét ®iÓm F kh«ng thuéc ∆. TËp c¸c ®iÓm M trong mÆt ph¼ng sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn F b»ng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ∆ lµ mét Parabol nhËn F lµm tiªu ®iÓm vµ ∆ lµm ®−êng chuÈn. Sè p b»ng kho¶ng c¸ch tõ F ®Õn ∆ ®−îc gäi lµ tham sè tiªu. 2. Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c p  NÕu ta chän hÖ trôc täa ®é Oxy sao cho ®iÓm F  , 0  vµ ®−êng 2  p th¼ng ∆ cã ph−¬ng tr×nh: x = − , th× trong hÖ trôc ®ã, Parabol cã 2 ph−¬ng tr×nh d¹ng: 2 y = 2px 3. Mét sè tÝnh chÊt 2 a) Parbol y = 2px lµ h×nh kh«ng bÞ chÆn, cã 1 trôc ®èi xøng Ox, ®ã lµ ®−êng th¼ng qua tiªu ®iÓm vµ vu«ng gãc víi ®−êng chuÈn. Parabol kh«ng cã t©m ®èi xøng. b) NÕu ®iÓm Mo (xo, yo) thuéc Parabol, th× MoF lµ b¸n kÝnh qua p tiªu ®iÓm MoF = xo + . 2 c) T©m sai cña Parbol e = 1 II. TiÕp tuyÕn 2 Cho Parbol (P) cã ph−¬ng tr×nh y = 2px (p > 0). 1. NÕu ®iÓm Mo (xo, yo) ∈ (P) th× tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm Mo cña (P) cã ph−¬ng tr×nh d¹ng: yoy = p(x + xo). 2. §−êng th¼ng ∆ cã ph−¬ng tr×nh Ax + By + C = 0 tiÕp xóc víi 2 (P): y = 2px khi vµ chØ khi ta cã 2 B p = 2AC 1
3. NÕu ®iÓm Mo (xo, yo) kh«ng thuéc Parbol, th× ®Ó cã tiÕp tuyÕn qua ®iÓm Mo, cÇn vµ ®ñ lµ y2 > 2pxo. Khi ®ã cã hai tiÕp tuyÕn qua o ®iÓm Mo. C¸ch viÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn nh− sau: C¸ch 1. Gi¶ sö T (x1, y1) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn cÇn t×m. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã d¹ng: y1y = p(x + x1) Ta t×m (x1, y1) bëi hÖ:  y2 = 2px v× T(x , y ) ∈ (P)  1 1 1 1   y1y o = p(xo + x1 ) v× tiÕp tuyÕn qua M o (x o , yo )  C¸ch 2. XÐt ®−êng th¼ng (∆) qua ®iÓm Mo(xo, yo). Ph−¬ng tr×nh (∆) cã d¹ng: A (x − xo) + B(y − yo) = 0 hay Ax + By − (Axo + Byo) = 0, (∆). 2 2 §−êng th¼ng (∆) tiÕp xóc víi (P): y = 2px khi vµ chØ khi: B p = 2 2 −2A (Axo + Byo) hay B p + 2AByo + 2xoA = 0. Tõ ®©y, ta t×m ®−îc A, B sai kh¸c mét h»ng sè tû lÖ. III. LuyÖn tËp 2 1. Cho Parabol y = 2px, Mo(xo, yo) lµ ®iÓm trªn mÆt ph¼ng sao cho y2 > 2px o . Tõ M kÎ hai tiÕp tuyÕn ®Õn Parabol, t¹i c¸c tiÕp ®iÓm o T1 vµ T2. H·y viÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng T1T2. Lêi gi¶i: Gi¶ sö T1 (x1, y1), T2 (x2, y2). Khi ®ã tiÕp tuyÕn t¹i T1 cã ph−¬ng tr×nh d¹ng: y1y = p (x + x1). Theo gi¶ thiÕt tiÕp tuyÕn ®o qua Mo(xo, yo), nªn ta cã: yoy1 = p (xo + x1) (1) T−¬ng tù, tiÕp tuyÕn t¹i T2 (x2, y2) cã ph−¬ng tr×nh d¹ng: y2y = p (x + x1); Do tiÕp tuyÕn nµy qua Mo (xo, yo) nªn ta cã: yoy2 = p (xo + x2) (2) 2
XÐt ®−êng th¼ng ∆ : yoy = p (x + x0). Do c¸c hÖ thøc (1) vµ (2). Ta cã T1 (x1, y1), T2 (x2, y2) ∈ ∆. Do ®ã ph−¬ng tr×nh T1T2 lµ: yoy = p (x + xo). 2 2. Cho Parabol y = 2px, t×m tËp hîp c¸c ®iÓm M, tõ ®ã cã thÓ kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn tíi Parabol vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc. Lêi gi¶i: Gi¶ sö M (X, Y) vµ ∆ lµ ®−êng th¼ng qua M vµ cã hÖ sè gãc k. Ph−¬ng tr×nh cña ∆ cã d¹ng: y − Y = k(x − X) hay kx − y + (Y − kX) = 0. §−êng th¼ng ∆ tiÕp xóc víi Parabol khi vµ chØ khi: p = 2k (Y − kX) hay 2 2X.k − 2Yk + p = 0 (1) Theo gi¶ thiÕt, qua M(X, Y) cã hai tiÕp tuyÕn víi Parabol vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc, nªn ph−¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm k1, k2 mµ p p k1. k2 = − 1 hay = −1 ⇔ X = − ⇔ M (X, Y) thuéc ®−êng 2X 2 chuÈn cña Parabol. 2 5  3. Cho Parabol (P) cã ph−¬ng tr×nh y = 10x vµ ®iÓm I  , 5  2  n»m trÒn (P). Mét gãc vu«ng thay ®æi quanh I vµ hai c¹nh cña gãc vu«ng ®ã c¾t (P) t¹i M, N kh¸c I. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng MN lu«n qua ®iÓm cè ®Þnh. 2 2 Lêi gi¶i. Gi¶ sö M (10 m , 10m), N(10n , 10n).  5  Khi ®ã IM  10m 2 − ,10m − 5   2   5  IN  10n 2 − ,10n − 5   2  Ta cã IM ⊥ IN ⇔ IM.IN = 0  5  5 ⇔  10m 2 −   10n 2 −  + ( 10m − 5 ) ( 10n − 5 ) = 0  2  2 ⇔ 25 4 ( )( ) 4m 2 − 1 4n 2 − 1 + 25 ( 2m − 1 ) ( 2n − 1 ) = 0 ⇔ (2m − 1) (2n − 1) [(2m + 1)(2n + 1) + 4] = 0 3
1 1 V× M,N kh¸c I, nªn m ≠ , n ≠ , nªn 2 2 IM ⊥ IN ⇔ (2m + 1)(2n + 1) + 4 = 0 ⇔ 4 mn + 2(m + n) + 5 = 0 (1) §−êng th¼ng MN cã ph−¬ng tr×nh: x − 10m 2 y − 10m = 2 10n − 10m 2 10n − 10m ⇔ x − (m + n)y + 10mn = 0 (2) Thay 2(m + n) = − 5 − 4mn tõ (1) vµo (2), ta cã: ph−¬ng tr×nh MN: 2x + (5 + 4mn)y + 20 mn = 0 hay 4mn. (y + 5) + (2x + 5y) = 0  25  DÔ thÊy ®−êng th¼ng MN lu«n qua ®iÓm A  , −5   2  III. Bµi tËp tù gi¶i 1. §Ò thi §¹i häc Má ®Þa chÊt (1998) 2 Cho Parabol y = 64x (P) vµ ®−êng th¼ng ∆: 4x + 3y + 46 = 0. X¸c ®Þnh ®iÓm M trªn Parabol sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ∆ lµ nhá nhÊt. §¸p sè: M (+9, − 24). 2. §Ò thi §¹i häc Kinh tÕ quèc d©n 1996. 2 Cho Parabol y = ax (a > 0) (P) a) §−êng th¼ng ∆ cã ph−¬ng tr×nh y = ax + 2a c¾t Parabol t¹i hai ®iÓm. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi Parabol vµ ®−êng th¼ng ∆. 3 b) Cho ®iÓm A(a, a , ®−êng th¼ng (d) song song víi tiÕp tuyÕn t¹i A cña Parabol, c¾t Parabol t¹i hai ®iÓm MN. TÝnh tû sè diÖn tÝch cña tam gi¸c AMN vµ diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng ch¾n bëi (d) vµ Parabol. 9 §¸p sè: a) diÖn tÝch b»ng a (®vdt) 2 4
3 b) 4 2 3. Cho Parabol (P) y = 4x. Mét ®−êng th¼ng bÊt kú qua tiªu ®iÓm cña Parabol vµ c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A, B. Chøng minh r»ng tÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ A, B ®Õn trôc cña Parabol lµ mét ®¹i l−îng kh«ng ®æi. 2 4. Cho (P): y = 2px, tiªu ®iÓm F. ∆ lµ tiÕp tuyÕn cña (P) t¹i tiÕp ®iÓm M (xo, yo). a) Chøng minh r»ng ch©n ®−êng vu«ng gãc h¹ tõ F tíi ∆ n»m trªn tiÕp tuyÕn t¹i ®Ønh O cña Parabol. b) Chøng minh r»ng ®iÓm k’ ®èi xøng víi ®iÓm F qua ∆ n»m trªn ®−êng chuÈn cña (P). Chøng tá r»ng k’ lµ h×nh chiÕu cña M (xo, yo) lªn ®−êng chuÈn (D). c) §−êng th¼ng ∆ c¾t trôc Ox t¹i L. Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña NL, ë ®ã N lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn trôc Ox. d) Ph¸p tuyÕn t¹i M cña Parabol c¾t Ox t¹i Q. Chøng minh r»ng ®o¹n NQ kh«ng ®æi, khi M thay ®æi trªn (P). 5. C¸c ®Ò 2, 8, 12, 23, 30, 36, 146, 150 trong bé ®Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc. PhÇn II. Ph−¬ng ph¸p täa ®é trong kh«ng gian. Bµi 1. VÐc t¬ vµ täa ®é trong kh«ng gian. I. Nh¾c l¹i lý thuyÕt 1. HÖ trôc täa ®é §Ò c¸c vu«ng gãc trong kh«ng gian: HÖ thèng ba trôc täa ®é chung gèc O, ®«i mét vu«ng gãc víi nhau ®−îc gäi lµ hÖ trôc täa ®é §Ò c¸c vu«ng gãc trong kh«ng gian. KÝ hiÖu Oxyz hay {O, e1, e2 , e3 } , ë ®ã e1, e2 , e3 lµ c¸c vÐct¬ ®¬n vÞ ®Þnh h−íng trôc. Trôc Ox gäi lµ trôc hoµnh Trôc Oy gäi lµ trôc tung Trôc Oz gäi lµ trôc cao 2. Täa ®é cña ®iÓm vµ cña vÐc t¬ 5
Cho hÖ trôc täa ®é Oxyz. M lµ ®iÓm trong kh«ng gian H¹ MM’ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng xoy. Ta cã vÐc t¬ OM = OM ' + M ' M = OM1 + OM 2 + OM3 = xe1 + ye2 + ze3 VËy ®iÓm M t−¬ng øng víi cÆp ba sè s¾p thø tù (x, y, z), ®−îc gäi lµ c¸c täa ®é cña M, kÝ hiÖu M(x, y, z). Cho vÐc t¬ a trong kh«ng gian, khi ®ã cã duy nhÊt ®iÓm N sao cho a = ON , t−¬ng tù ta cã a = ON = a1 e1 + a 2 e2 + a3 e3 . Nh− vËy, mçi vÐct¬ a , cã duy nhÊt cÆp ba sè (a1, a2, a3) ®Ó a = a1 e1 + a 2 e2 + a 3 e3 . CÆp (a1, a2, a3) s¾p thø tù ®ã ®−îc gäi lµ c¸c täa ®é cña vÐct¬ a , kÝ hiÖu a = {a1, a 2 , a 3 } hay a ( a1 , a 2 , a 3 ) . 3. BiÓu thøc täa ®é cña c¸c phÐp to¸n trªn vÐct¬. a) Gi¶ sö M(x1, y1, z1), N(x2, y2, z2). Khi ®ã täa ®é cña vÐct¬ MN = { x2 − x1, y2 − y1, z 2 − z1 } b) Cho a = {a1, a 2 , a 3 } ; b = { b1, b2 , b3 } ; k ∈ R. Khi ®ã: a + b = {a1 + b1; a 2 + b2 ; a3 + b3 } a − b = {a1 − b1; a 2 − b2 ; a3 − b3 } k a = { ka1, ka 2 , ka 3 } . c) TÝch v« h−íng cña hai vÐct¬ a, b kÝ hiÖu: a.b = a . b . cos(a, b) = a1b1 + a 2 b2 + a 3b3 . 2 2 Khi a = b , ta cã: a = a.a = a = a1 + a 2 + a 3 . Nh− vËy 2 2 2 a = a1 + a 2 + a3 ; b = 2 2 2 b1 + b2 + b3 2 2 2 vµ ( ) cos a, b = a.b = 2 a1b1 + a 2 b2 + a 3b3 2 2 2 2 2 víi a.b a1 + a 2 + a3 . b1 + b2 + b3 a ≠ 0, b ≠ 0 Chó ý: a ⊥ b ⇔ a.b = 0 6
4. TÝch cã h−íng cña hai vÐc t¬ a) Cho hai vect¬ a = ( a1, a 2 , a 3 ) , b = ( b1, b2 , b3 ) . Ta gäi tÝch cã h−íng cña hai vÐc t¬ a, b theo thø tù ®ã lµ mét vÐct¬, kÝ hiÖu  a, b    a a  a a a a   cã c¸c täa ®é lµ:  a, b  =  2 3 , 3 1 , 1 2 ,    b b b b b b   2 3 3 1 1 2  b) TÝnh chÊt cña tÝch cã h−íng: 1.  a, b  ⊥ a,    a, b  ⊥ b   2.  a, b  = 0 khi vµ chØ khi a, b cïng ph−¬ng     3.  a, b  = a . b . sin  a, b  vµ nh− vËy ®é lín cña vÐc t¬  a, b          cã sè ®o b»ng diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh t¹o bëi hai vÐc t¬ a, b . 4.  a, b  = −  b, a      5. TÝnh hçn t¹p cña ba vÐct¬. a) Cho ba vÐc t¬ a, b, c . Ta gäi tÝch hçn t¹p cña ba vÐc t¬ a, b, c ( ) theo thø tù ®ã lµ con sè D a, b, c =  a, b  .c   b) TÝnh chÊt cña tÝch hçn t¹p: ( ) 1. D a, b, c = 0 khi vµ chØ khi ba vÐct¬ a, b, c ®ång ph¼ng. ( ) 2. NÕu D a, b, c ≠ 0 , th× D( a, b, c ) cã sè ®o b»ng thÓ tÝch cña h×nh hép dùng trªn ba vÐc t¬ a, b, c . 6. Chia ®o¹n th¼ng theo tû sè cho tr−íc. Cho hai ®iÓm A(x1, y1, z1); B(x2, y2, z2) vµ mét sè k ≠ 1. §iÓm M ®−îc gäi lµ chia ®o¹n AB theo tû sè k nÕu MA = kMB . NÕu M (x, y, x − kx 2 y − ky2 z − kz 2 z) th×: x = 1 , y= 1 , z= 1 . 1− k 1− k 1− k II. LuyÖn tËp. Bµi 1. Cho 4 ®iÓm A, B, C, D trong kh«ng gian; Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB, J lµ trung ®iÓm cña CD, G lµ trung ®iÓm cña IJ. a) Chøng minh r»ng GA + GB + GC + GD = O 7
b) Víi mäi M trong kh«ng gian, ta cã: MA + MB + MC + MD = 4MG 2 2 2 2 c) T×m ®iÓm M trong kh«ng gian ®Ó MA + MB + MC + MD nhá nhÊt. Lêi gi¶i: C©u a) vµ b) dÔ dµng chøng minh. c) Ta cã: ( ) 2 2 MA 2 = MA = MG + GA = MG 2 + GA 2 + 2MG.GA T−¬ng tù ( ) 2 2 MB 2 = MB = MG + GB = MG 2 + GB 2 + 2MG.GB 2 MC = MG 2 + GC 2 + 2MG.GC 2 MD = MG 2 + GD 2 + 2MG.GD Tõ ®ã: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 MA + MB + MC + MD = 4MG + GA + GB + GC + GD + ( 2MG. GA + GB + GC + GD + ) Do GA + GB + GC + GD = O nªn 2 2 2 2 2 2 2 2 MA + MB + MC + MD = 4MG + (GA + GB + GC + 2 GD ) . 2 2 2 2 2 2 Tõ ®ã Do GA + GB + GC + GD lµ h»ng nªn MA + MB + 2 2 MC + MD min ⇔ M ≡ G. Bµi 2. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD A’B’C’D’ c¹nh a. Gäi M lµ 1 ®iÓm chia ®o¹n AD’ theo tû sè k = − , N lµ ®iÓm chia ®o¹n BD 2 theo tØ sè k = − 2. Chøng tá r»ng MN lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña BD vµ AD’. Gi¶i C¸ch 1: 8
§Æt AB = a, AD = b, AA ' = c. Ta cã a = b = c = a vµ a, b, c vu«ng gãc víi nhau ®«i mét. Theo gi¶ thiÕt, ta cã: 1 AM = AD ' 3 NB = −2ND ⇒ AB − AN = −2 AD − AN ( ) 1 2 VËy AN = AB + AD 3 3 Do ®ã MN = AN − AM = 1 3 2 1 a+ b− b+c 3 3 ( ) 1 1 1 MN = a+ b− c 3 3 3 Ta cã: AD ' = b + c, BD = b − c DÔ thÊy MN.AD ' = 1 3 ( ) a + b − c (b + c) = 0 MN.BD = 1 3 (a+b−c )( b − a ) = 0 VËy MN lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña AD’ vµ BD. C¸ch 2: Cã thÓ chøng minh dùa vµo kiÕn thøc h×nh häc kh«ng gian líp 11. Bµi 3. Cho bèn ®iÓm A, B, C, D. Chøng minh r»ng 2 2 2 2 a) AB ⊥ CD ⇔ AC + BD = AD + BC  AB ⊥ CD  b) NÕu  th× AC ⊥ BD  AD ⊥ BC  Lêi gi¶i 2 2 2 2 2 2 2 2 a) AC + BD = AD + BC ⇔ AC − AD = BC − BD ( ⇔ AC − AD )( AC + AD ) = ( BC − BD )( BC + BD ) ( ⇔ DC. AC + AD − BC − BD = O ) ( ) ( ⇔ DC.  AC − BC + AD − BD  = O   ) 9
⇔ 2DC.AB = 0 ⇔ AB ⊥ CD . b) Theo c©u a) do AB ⊥ CD nªn ta cã: 2 2 2 2 AC + BD = AD + BC (1) Do AD ⊥ BC nªn ta cã: 2 2 2 2 AB + DC = AC + BD (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: 2 2 2 2 AD + BC = AB + DC (3) Tõ ®ã AC ⊥ BD do kÕt qu¶ trong a). III. Bµi tËp tù gi¶i. 1) Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD A’B’C’D’ c¹nh a. Gäi P, Q lµ c¸c ®iÓm x¸c ®Þnh bëi AP = − AD ', C ' Q = −C ' D 1. Chøng minh r»ng PQ qua trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng BB’. 2. TÝnh ®é dµi PQ. §¸p sè: PQ = 17.a 2) §Ò thi §¹i häc x©y dùng (1998) Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD. A1B1C1D1. H vµ K lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A vµ C1 xuèng mÆt ph¼ng (B1CD1). Chøng minh r»ng AH = 2KC1 . 3) Cho tam gi¸c ABC trong kh«ng gian. 1. T×m c¸c ®iÓm M trong kh«ng gian sao cho AM.CB = AB.CM 2. Gäi AD lµ ®−êng ph©n gi¸c ngoµi cña gãc A cña tam gi¸c ABC, D ∈ (BC). H·y biÓu diÔn vÐct¬ AD theo c¸c vÐct¬ AB vµ AC . 4) §Ò thi §¹i häc Giao th«ng vËn t¶i (2000). Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD A’B’C’D’, c¸c c¹nh cña nã cã ®é dµi b»ng 1. Trªn c¸c c¹ch BB’, CD, A’D’ lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm M, N, P sao cho: 10
B’M = CN = D’P = a (0 < a < 1). Chøng minh r»ng a) MN = −α AB + AD + (α − 1)AA ' b) AC ' vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (MNP) 5. C¸c ®Ò 88, 92, 111, 115, 120, 123 bé ®Ò thi §¹i häc − NXBGD − 1996. Bµi 2 Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng vµ ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng. I. Nh¾c l¹i lý thuyÕt 11
12