Phân tích uốn phi tuyến dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGP với các liên kết đàn hồi

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo "Phân tích uốn phi tuyến dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGP với các liên kết đàn hồi", lý thuyết dầm Timoshenko được sử dụng để phân tích uốn phi tuyến dầm sandwich có lõi bằng vật liệu FGP với các liên kết đàn hồi ở hai đầu mút dầm. Hệ phương trình cân bằng và điều kiện biên cho dầm được thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng cực tiểu. Nghiệm giải tích được xây dựng từ việc giải trực tiếp hệ phương trình vi phân với các ẩn số chuyển vị. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích uốn phi tuyến dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGP với các liên kết đàn hồi

475 571 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Phân tích uốn phi tuyến dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGP với các liên kết đàn hồi Hương Quý Trường1,2*, Đặng Xuân Hùng1,2 , Trần Minh Tú1,2 và Nguyễn Văn Long1,2 1 Trường Đại học Xây dựng Hà Nội, số 55 đường Giải phóng, Hai Bà Trưng, Hà Nội 2 Nhóm nghiên cứu Cơ học vật liệu và kết cấu tiên tiến (MAMS), Đại học Xây dựng HN *Email: truonghq@huce.edu.vn Tóm tắt. Trong bài báo này, lý thuyết dầm Timoshenko được sử dụng để phân tích uốn phi tuyến dầm sandwich có lõi bằng vật liệu FGP với các liên kết đàn hồi ở hai đầu mút dầm. Hệ phương trình cân bằng và điều kiện biên cho dầm được thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng cực tiểu. Nghiệm giải tích được xây dựng từ việc giải trực tiếp hệ phương trình vi phân với các ẩn số chuyển vị. Kết quả tính toán được kiểm chứng, so sánh với nghiên cứu của tác giả khác sử dụng các liên kết hoàn toàn lý tưởng. Ảnh hưởng của tham số vật liệu, tải trọng và độ cứng của các liên kết đàn hồi lên ứng xử tĩnh của dầm được đánh giá, phân tích qua các ví dụ số. Từ khóa: Dầm sandwich, vật liệu FGP, phân tích uốn phi tuyến, dầm Timoshenko, liên kết đàn hồi. 1. Mở đầu Vật liệu rỗng (functionally graded porous materials - FGPMs) là một loại vật liệu có cơ tính biến thiên kiểu mới. Loại vật liệu này tuy không được cấu thành từ hai loại vật liệu khác nhau nhưng do có các lỗ rỗng phân bố với mật độ biến thiên theo quy luật nhất định nên các tính chất cơ lý hiệu dụng của vật liệu cũng biến thiên tương tự như vật liệu FGM (functionally graded material) truyền thống. Với cấu trúc như vậy, vật liệu FGP có trọng lượng nhẹ, khả năng cách âm, cách nhiệt và thẩm thấu tốt [1-3]. Do đó, vật liệu này rất thích hợp để làm lớp lõi cho kết cấu sandwich. Tuy nhiên để hạn chế hiện tượng tập trung ứng suất, người ta thường sử dụng lớp bề mặt là vật liệu đẳng hướng hoặc vật liệu FGM sao cho tính chất của vật liệu liên tục tại mặt tiếp xúc giữa lớp lõi và lớp bề mặt. Về kết cấu dầm sandwich, một số tác giả trong và ngoài nước đã tiến hành nghiên cứu các bài toán phân tích tĩnh, dao động riêng và ổn định của dầm sandwich có lớp lõi là vật liệu đẳng hướng, lớp bề mặt bằng vật liệu FGM [4-7] hay lớp lõi bằng vật liệu FGP, lớp bề mặt bằng vật liệu FGM [8-10]. Các nghiên cứu này tuy phong phú về đối tượng, phương pháp và điều kiện biên nhưng vẫn chỉ dừng lại ở các bài toán phân tích tuyến tính và điều kiện biên với các liên kết lý tưởng. Các nghiên cứu về bài toán phi tuyến tĩnh, ổn định và dao động riêng của dầm sandwich nói chung, dầm sandwich có lớp lõi làm bằng vật liệu rỗng nói riêng cũng đã được một số tác giả trong và ngoài nước thực hiện bằng các phương pháp Ritz, phần tử hữu hạn [11-14]. Ngoài ra, một số tác giả bằng các biến đổi giải tích và phương pháp Galerkin đã xây dựng được nghiệm giải tích cho các bài toán phân tích phi tuyến dầm sandwich [15]. Các nghiên cứu về ảnh hưởng của liên kết đàn hồi cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước [16-21]. Tuy vậy các nghiên cứu này vẫn chủ yếu thực hiện trên các đối tượng khung và dầm đẳng hướng. Trong bài báo này, nhóm tác giả xây dựng lời giải giải tích dạng hiển cho bài toán phân tích tĩnh dầm sandwich có lớp lõi làm bằng vật liệu FGP và lớp bề mặt làm bằng vật liệu đẳng hướng với các liên kết đàn hồi ở hai đầu. Hệ phương trình cân bằng và điều kiện biên tương ứng được thiết lập trên cơ sở lý thuyết dầm Timoshenko và nguyên lý thế năng cực tiểu. Các ví dụ kiểm chứng và khảo sát ảnh hưởng của các tham số được thực hiện sau đó chứng minh độ tin cậy của nghiệm giải tích đã xây dựng và cho thấy bức tranh tổng quan về sự làm việc của kết cấu.
476 572 Hương Quý Trường, Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú và Nguyễn Văn Long 2. Cơ sở lý thuyết 2.1. Dầm sandwich với lớp lõi FGP Xét dầm sandwich bao gồm hai lớp vật liệu bề mặt ở trên cùng và dưới cùng bằng vật liệu đẳng hướng (kim loại) có cùng chiều dày h f , và lớp lõi bằng vật liệu FGP (bọt kim loại) có chiều dày h c Dầm có chiều dài L; tiết diện có bề rộng b, chiều cao tiết diện h = h c + 2h f , và liên kết đàn hồi ở hai đầu mút dầm. Các trục tọa độ x, y nằm trong mặt phẳng ngang, trục z theo phương chiều cao dầm. Do vật liệu có cấu trúc đối xứng theo tọa độ chiều cao, mặt trung hòa của dầm trùng với mặt trung bình (xem Hình 1). Giả thiết rằng, liên kết đàn hồi tại mỗi đầu được đặc trưng bởi ba lò xo có độ cứng uốn và độ cứng xoắn: ku , kw , kθ tại đầu mút trái dầm (z = 0), và ku , kw , kθL tại đầu mút phải dầm (z = L). 0 0 0 L L Hình 1. Mô hình dầm FGM xốp có liên kết đàn hồi ở hai đầu Tính chất cơ học của các lớp vật liệu dầm sandwich trong đó lớp lõi bằng vật liệu rỗng (FGP) phân bố không đều-đối xứng [22, 23]: a. Lớp kim loại trên cùng: z3 ≤ z ≤ z4 {E ( z ), G( z )} = {E1 , G1} (1) b. Lớp lõi bọt kim loại [22, 23]: z2 ≤ z ≤ z3 πz {E ( z ), G( z )} = {E1 , G1} 1 − e0 cos  h  (2)   c. Lớp kim loại dưới cùng: z1 ≤ z ≤ z2 {E ( z ), G( z )} = {E1 , G1} (3) trong đó, hệ số mật độ lỗ rỗng e0 được xác định bởi: e0 =2 /E1 = 2 /G1 ; E1 , G1 và E2 , G2 lần lượt 1− E 1− G là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi trượt ( Gi = Ei /  2 (1 + ν )  ; i= 1; 2 ). Hệ số Poisson được coi là không thay đổi theo tọa độ chiều cao dầm:   ν = conts. 2.2. Các phương trình quan hệ-Hệ phương trình chủ đạo Sử dụng lý thuyết Timoshenko (TBT) [24], trường chuyển vị bao gồm: u (= u0 ( x) + zθ x ( x); w( x, z ) = w0 ( x) x, z ) (4) trong đó u0 , w0 và θ x là các thành phần chuyển vị của điểm trên mặt trung hòa của dầm.
477 Phân tích uốn phi tuyến dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGP xét đến ảnh hưởng của 573 các liên kết đàn hồi Theo đó, các thành phần biến dạng có kể đến thành phần phi tuyến hình học von Kármán: 2 2 w0, x w0, x ε x =, x + u =0, x + u + zθ x , x =x + zκ x ; γ xz = w, x + u, z = w0, x + θ x = γ xz ε0 0 0 (5) 2 2 Các thành phần ứng suất trong lớp thứ n liên hệ với các thành phần biến dạng theo định luật Hooke: σ xn ) = E ( n ) ( z )ε x ; τ xz ) = G ( n ) ( z )γ xz ( (n (6) Áp dụng nguyên lý thế năng cực tiểu [24]: δU + δV = 0 (7) Biến phân thế năng biến dạng đàn hồi của dầm: ( ) L δ U = ∫ ∫ (σ xδε x + τ xz δγ xz ) dAdx + ku u0δ u0 + kw w0δ w0 + kθ θ xδθ x 0 0 0 0A x =0 ( + ku u0δ u0 + kw w0δ w0 + kθLθ xδθ x L L ) x=L (8) L  ∂δ u0 ∂δ w0  ∂δθ x  ∂δ w0  = ∫  N x  ∂x + w0, x ∂x  + M x ∂x + Qxz  ∂x + δθ x   dx 0     ( + ku u0δ u0 + k w w0δ w0 + kθ θ xδθ x 0 0 0 ) x =0 ( + ku u0δ u0 + k w w0δ w0 + kθLθ xδθ x L L ) x=L trong đó: N x , M x và Qxz là các thành phần nội lực, chúng liên hệ với các thành phần chuyển vị:  w0, x  2 = A11  u0, x + Nx  2   ; M x = D11θ x= A55 w0, x + θ x , x ; Qxz s ( ) (9)   h /2 h /2 h /2 với: A11 = b ∫ E ( z )dz; D11 = b ∫ z 2 E ( z )dz; A55 = bks ∫ G ( z )dz. s − h /2 − h /2 − h /2 Hệ số hiệu chỉnh cắt ks = 5/6 được sử dụng trong nghiên cứu này. Lưu ý rằng, do tính đối xứng của vật liệu, đã giúp loại bỏ được các tương tác màng-uốn trong dầm (B 11 = 0). Biến phân thế năng của tải trọng uốn q: L δ V = − ∫ qδ w0 dx (10) 0 Thay các biểu thức của δ U và δ V từ (8) và (10) vào (7), rồi tích phân từng phần, ta được:  0 L 0 ( 0 =  N xδ u0 + M xδθ x + Vxzδ w0  + ku u0δ u0 + k w w0δ w0 + kθ θ xδθ x 0 0 ) x =0 + ( ku u0δ u0 L + k w w0δ w0 L + kθ θ xδθ x L ) x=L (11) L ( ) ( − ∫  N x , xδ u0 + M x , x − Qxz δθ x + N x w0, xx + Qxz , x + q δ w0  dx   ) 0
478 574 Hương Quý Trường, Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú và Nguyễn Văn Long ∂w0 trong đó: Vxz N x = + Qxz . ∂x Cho các hệ số của các biến phân trên chiều dài dầm L bằng không, hệ phương trình cân bằng thu được có dạng: δ u0 : N x, x = 0; δ w0 : N x w0, xx + Qxz , x + q = δθ x : M x, x − Qxz = 0; 0 (12) Các tham số điều kiện biên: chuyển vị, lực cũng có thể rút ra từ (11): ( ) 0 = N x + k u u0 δ u 0 + Vxz + k w w0 δ w0 = L= L= L x LL x ( + M x + kθLθ x δ w0 x ) ( ) (13) x 0 −(N u 0 0 − k u )δ u xz − k w 0 0 0 0 − (V x − kθ θ x δθ x w )δ w − (M ) = 0 = 0= 0 x x x Theo đó, các phương trình điều kiện biên: Tại x = 0: (N x ) − k u u0 δ u 0 ; 0 (V xz 0 ) − k w w0 δ w0 ; ( M − kθ θ ) δθ = x 0 0 x x (14) Tại x = L: ( ) N x + ku u0 δ u0 = L 0; (V xz + kw L w ) δ w = ( M + kθ θ ) δ w = 0 0 0; x 0 L x 0 Thay (9) vào (12), hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị nhận được như sau:   w0, x  2  ( ) 0;  A11  u A11 u0, xx + w0, x w0, xx = 0, x +    2   + A55  w0, xx + A55θ x , x + q =  s  s 0;   (15) D11θ x, xx − A55 w0, x − A55θ x = s s 0 3. Lời giải giải tích Từ phương trình thứ nhất trong (12), suy ra N x = N 0 là hằng số, hay: 2 w0, x N0 u0, x + = (16) 2 A11 Do đó, chuyển vị màng: 1 N u0 = w0, x dx + 0 x + C0 − ∫ 2 (17) 2 A11 trong đó: N 0 , C0 là các hằng số tích phân, được xác định theo điều kiện biên của bài toán. Thay (16) vào phương trình thứ hai trong (15), sau một số biến đổi ta được: N D + As D ( s ) s s A55 D N 0 D11 + A55 D11 w0, xxxx − N 0 A55 w0, xx = D11q, xx ; θ x =0 11 s 2 55 11 w0, xxx − w0, x − 11 q, x A55 q − − s2 A55 (18) Phương trình thứ nhất trong (18) chỉ còn một ẩn w 0 , ta sẽ giải nghiệm phương trình này trước; sau khi giải được w 0 , ta sẽ suy ra θ x từ phương trình thứ hai. Phương trình thứ nhất có thể viết lại:
479 Phân tích uốn phi tuyến dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGP xét đến ảnh hưởng của 575 các liên kết đàn hồi a1w0, xxxx − a2 w0, xx = a3 (19) trong đó: = a1 (N 0 ) + A55 D11 ; a2 = N 0 A55 ; = A55 q − D11q, xx . s s a3 s Đây là phương trình vi phân cấp 4, nghiệm của nó bao gồm nghiệm của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng: w0 ( x) w0 ( x) + w0p ( x) = h (20) Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất thu được từ (19) có dạng: w0 ( x) = Aeλ x h (21) trong đó λ là nghiệm của phương trình đại số: a1λ 4 − a2 λ 2 = 0 (22) Từ đây suy nghiệm tổng quát w0 ( x) : h w0 ( x) C1eλ0 x + C2 e − λ0 x + C3 x + C4 ; λ0= h = a2 /a1 (23) Nghiệm riêng w0p ( x) xác định theo dạng tải trọng phân bố: s A55 w0p ( x) = − q0 x 2 với tải phân bố đều ( q = q0 ) 2a2 s A55 x w0p ( x) = − q0 x3 với tải phân bố bậc nhất ( q = q0 ) 6a2 L L (24) As q D q a As q  2 x2 w0p ( x) =02 x 4 +  11 20 − 1 2552 0 − 55  a L  x với tải phân bố bậc hai ( q = q0 2 )  12a2 L  2 a2 L  L A55 + D11α 2 s π w0p ( x) = q0 với tải phân bố hình sin ( q q0 sin α x; α = = ) a1α + a2α 4 2 L Chú ý rằng, năm hằng số tích phân C 0 , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 và hằng số lực dọc N 0 có thể được xác định bằng cách sử dụng phương pháp giải lặp với ẩn số là N 0 thông qua sáu phương trình điều kiện biên trong (14). 4. Kết quả số và thảo luận Trong nghiên cứu này, ứng xử uốn phi tuyến được thực hiện cho dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGP có xét đến ảnh hưởng của các liên kết đàn hồi. Để thuận tiện, các công thức không thứ nguyên được sử dụng [25, 26]: w0,max L q0 L4 w= ; N = Nx ; P= (25) h E1h 4 E1h 4 4.1. Ví dụ Kiểm chứng
480 576 Hương Quý Trường, Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú và Nguyễn Văn Long Xét dầm đẳng hướng E = 70 GPa; ν = 0,3; h = 0,1 m; L/h = 20 với hai trường hợp điều kiện biên hạn chế dịch chuyển trong mặt phẳng: khớp hai cạnh SS (các độ cứng lò xo tương ứng là ς1 = == =η1 = = và ngàm hai cạnh CC (các độ cứng lò xo tương ứng là ς 2 ξ1 ξ 2 ∞, η2 0 ) ς1 = ς 2 = ξ1 = ξ 2 = η1 = η2 = ∞ ), dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều q = q0 . Các kết quả độ võng w0,max q0 L4 không thứ nguyên w = của dầm với các giá trị tải phân bố không thứ nguyên P = khác h Eh 4 nhau được trình bày trong Bảng 1. Lời giải giải tích với dạng nghiệm chính xác trong bài báo được so sánh với Zhang [26] sử dụng phương pháp Ritz dựa trên lý thuyết dầm bậc cao ba ẩn số chuyển vị. Các kết quả tính toán cho thấy, với cả hai dạng điều kiện biên và các tham số tải P khác nhau, nghiệm giải tích cho kết quả độ võng không thứ nguyên w hoàn toàn phù hợp với kết quả phân tích của Zhang [26] (sai số lớn nhất là 0,79% khi điều kiện biên là CC và tải trọng P = 200). Bảng 1. Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên w cho dầm đẳng hướng Điều kiện biên Nguồn q0 L4 P= Eh 4 1 8 30 80 120 200 SS Zhang [26] 0,1474 0,598 1,053 1,515 1,748 2,086 Present 0,1474 0,5979 1,0532 1,5142 1,7474 2,0858 Sai số (%) 0,02 0,01 0,02 0,05 0,03 0,01 CC Zhang [26] 0,0321 0,246 0,7042 1,221 1,475 1,837 Present 0,0322 0,2467 0,7067 1,2273 1,4849 1,8515 Sai số (%) 0,28 0,28 0,36 0,52 0,67 0,79 4.2. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, liên kết đàn hồi lên ứng xử uốn phi tuyến của dầm sandwich Xét dầm sandwich có lớp lõi bằng bọt kim loại (metal foam): E 1 = 200 GPa, ν = 0,3; h = 0,1 m; L/h = 20. Các liên kết sử dụng là đàn hồi tuyệt đối với ku k= ku ; k= k= k w ; kθ0 k= kθ và = uL 0 0 w L w = θL được xác định thông qua các tham số độ cứng không thứ nguyên: ku L3 k w L3 k L bh3 =ς ,ξ = = w ; I= ,η (26) E1 I E1 I E1 I 12 1.6 25 Tải phân bố đều Sandwich FGP (1-4-1): Sandwich FGP (1-4-1): Tải phân bố bậc nhất 1.4 e = 0,5; = = 10 9 , = 10 2 e = 0,5; = = 10 9 , = 10 2 0 Tải phân bố bậc hai 0 20 Tải phân bố hình sin 1.2 1 15 0.8 10 0.6 0.4 Tải phân bố đều 5 Tải phân bố bậc nhất 0.2 Tải phân bố bậc hai Tải phân bố hình sin 0 0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 P P Hình 2. Đường cong tải-độ võng của dầm với các Hình 3. Đường cong tải-lực dọc của dầm với các
481 Phân tích uốn phi tuyến dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGP xét đến ảnh hưởng của 577 các liên kết đàn hồi dạng tải trọng phân bố khác nhau dạng tải trọng phân bố khác nhau Hình 2 và Hình 3 tương ứng là đồ thị mô tả đường cong tải-độ võng, đường cong tải-lực dọc của dầm sandwich FGP (cấu hình 1-4-1: h c /h f = 4) dưới tác dụng của tải trọng phân bố q. Bốn trường hợp tải được xem xét bao gồm: tải phân bố đều, tải phân bố bậc nhất, tải phân bố bậc hai và tải phân bố hình sin. Các kết quả trên đồ thị cho thấy ảnh hưởng rõ rệt của quy luật phân bố tải trọng lên ứng xử phi tuyến của dầm. Rõ ràng là với tất cả các mức tải khảo sát, tải trọng phân bố đều luôn cho kết quả độ võng w và lực dọc N lớn nhất, tiếp đến là tải trọng phân bố hình sin, tải trọng phân bố bậc nhất; tải trọng phân bố bậc hai luôn cho kết quả nhỏ nhất. Ảnh hưởng của tỷ lệ chiều dày các lớp vật liệu trong dầm sandwich FGP lên đường cong tải-độ võng, đường cong tải-lực dọc dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều q 0 được thể hiện qua đồ thị tương ứng trên Hình 4 và Hình 5. Bốn cấu hình dầm sandwich được xem xét bao gồm: (1-1-1), (1-2- 1), (1-4-1) và (1-8-1) với ý nghĩa: h c /h f = 1, 2, 4, 8. Có thể nhận thấy, với tất cả các mức tải khảo sát, khi tăng hàm lượng FGP trong cấu hình sandwich, độ võng w tăng nhẹ, trong khi đó lực dọc N giảm nhẹ. 1.6 25 Sandwich FGP: Sandwich FGP: 1.4 Tải phân bố đều; e 0 = 0,5; Tải phân bố đều; e = 0,5; = = 10 9 , = 10 2 0 = = 10 9 , = 10 2 20 1.2 1 15 0.8 10 0.6 0.4 1-1-1 1-1-1 5 1-2-1 1-2-1 0.2 1-4-1 1-4-1 1-8-1 1-8-1 0 0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 P P Hình 4. Ảnh hưởng của tỷ lệ chiều dày các lớp Hình 5. Ảnh hưởng của tỷ lệ chiều dày các lớp lên đường cong tải-độ võng của dầm sandwich lên đường cong tải-lực dọc của dầm sandwich Ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng e 0 lên đường cong tải-độ võng, đường cong tải-lực dọc của trong dầm sandwich FGP (1-4-1) dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều q 0 được thể hiện qua đồ thị tương ứng trên Hình 6 và Hình 7. Các kết quả cho thấy, khi tăng hệ số lỗ rỗng thì độ võng w tăng đáng kể trong khi lực dọc N giảm. 1.6 25 Sandwich FGP (1-4-1): Sandwich FGP (1-4-1): 1.4 Tải phân bố đều; = = 10 9 , = 10 2 Tải phân bố đều; = = 10 9 , = 10 2 20 1.2 1 15 0.8 10 0.6 e = 0.1 e = 0.1 0 0 0.4 e = 0.3 e = 0.3 0 5 0 e = 0.5 e = 0.5 0.2 0 0 e = 0.8 e = 0.8 0 0 0 0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 P P
482 578 Hương Quý Trường, Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú và Nguyễn Văn Long Hình 6. Đường cong tải-độ võng của dầm với các Hình 7. Đường cong tải-lực dọc của dầm với các hệ số lỗ rỗng e 0 khác nhau hệ số lỗ rỗng e 0 khác nhau Hình 8-Hình 13 là đồ thị thể hiện ảnh hưởng của tham số độ cứng lò xo lên đường cong tải-độ võng, đường cong tải-lực dọc của trong dầm sandwich FGP dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều q 0 . Như mong đợi, Hình 8 và Hình 9 cho thấy khi tham số độ cứng lò xo ngang ς còn nhỏ, tương tự như trường hợp dầm không hạn chế dịch chuyển trong mặt phẳng, lực dọc trong dầm rất nhỏ, ứng xử của dầm gần như tuyến tính. Khi độ cứng lò xo ngang tăng lên, lực dọc tăng, ứng xử uốn của dầm trở nên phi tuyến rõ rệt, độ võng của dầm giảm. 3.5 25 =1 Sandwich FGP (1-4-1): Sandwich FGP (1-4-1): = 10 2 = 10 9 3 Tải phân bố đều; e = 0,5; = = 10 9 Tải phân bố đều; e 0 = 0,5; = 0 20 = 10 4 = 10 9 2.5 15 2 1.5 10 1 =1 = 10 2 5 0.5 = 10 4 = 10 9 0 0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 P P Hình 8. Đường cong tải-độ võng của dầm với các Hình 9. Đường cong tải-lực dọc của dầm với các tham số độ cứng lò xo ngang khác nhau các tham số độ cứng lò xo ngang khác nhau Về ảnh hưởng của lò xo đứng: các kết quả trên Hình 10 và Hình 11 cho thấy, độ cứng của lò xo xo đứng ξ ảnh hưởng trực tiếp lên khả năng chống uốn của dầm, độ võng giảm khi tăng độ cứng của các lò xo đứng. Một điều thú vị là, độ cứng của lò xo đứng lại không làm thay đổi lực dọc trong dầm. 2.5 25 Sandwich FGP (1-4-1): Sandwich FGP (1-4-1): Tải phân bố đều; e = 0,5; = = 10 9 Tải phân bố đều; e = 0,5; = = 10 9 0 0 2 20 1.5 15 1 10 = 10 3 = 10 3 0.5 3 5 3 = 5x10 = 5x10 = 10 4 = 10 4 = 10 9 = 10 9 0 0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 P P Hình 10. Đường cong tải-độ võng của dầm với Hình 11. Đường cong tải-lực dọc của dầm với các các tham số độ cứng lò xo đứng khác nhau các tham số độ cứng lò xo đứng khác nhau Về ảnh hưởng của lò xo xoắn: các kết quả trên Hình 12 và Hình 13 cho thấy, độ cứng của lò xo xo xoắn η ảnh hưởng rất lớn lên ứng xử uốn của dầm. Khi tăng độ cứng lò xo xoắn thì cả độ võng và lực dọc trong dầm đều giảm.
483 Phân tích uốn phi tuyến dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGP xét đến ảnh hưởng của 579 các liên kết đàn hồi 1.8 35 Sandwich FGP (1-4-1): Sandwich FGP (1-4-1): 1.6 Tải phân bố đều; e = 0,5; = = 10 9 30 Tải phân bố đều; e = 0,5; = = 10 9 0 0 1.4 25 1.2 1 20 0.8 15 0.6 10 =1 =1 0.4 = 10 = 10 5 0.2 = 10 2 = 10 2 = 10 9 = 10 9 0 0 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 P P Hình 12. Đường cong tải-độ võng của dầm với Hình 13. Đường cong tải-lực dọc của dầm với các các tham số độ cứng lò xo xoắn khác nhau các tham số độ cứng lò xo xoắn khác nhau 6. Kết luận Bài báo xây dựng mô hình tính toán chuyển vị, biến dạng, ứng suất và nội lực trong dầm sandwich FGP với các liên kết đàn hồi. Nghiệm giải tích sử dụng lời giải chính xác đã thiết lập cho dầm dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko; chương trình tính viết trên nền Matlab được kiểm chứng, cho thấy đủ tin cậy. Các khảo sát số cho phép đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, tải trọng tác dụng và điều kiện liên kết đến độ võng và lực dọc trong dầm. Các kết quả nhận được cho thấy: - Quy luật phân bố của tải trọng có ảnh hưởng rõ rệt lên ứng xử uốn phi tuyến của dầm; tải phân bố đều luôn cho kết quả độ võng và lực dọc lớn nhất so với ba quy luật tải trọng còn lại; - Khi tăng chiều dày lớp lõi FGP so với các lớp bề mặt; hoặc tăng hệ số lỗ rỗng trong vật liệu FGP trong cấu hình sandwich, độ võng w tăng nhẹ, trong khi đó lực dọc N giảm nhé; - Độ cứng của các lò xo có ảnh hưởng rất khác nhau lên ứng xử uốn của dầm; một điểm chung là độ cứng các lò xo càng lớn thì độ võng của dầm càng giảm mạnh. Tài liệu tham khảo [1] Lefebvre, L.P., Banhart, J., and Dunand, D.C., Porous metals and metallic foams: current status and recent developments. Advanced engineering materials, 2008. 10(9): p. 775-787. [2] Badiche, X., et al., Mechanical properties and non-homogeneous deformation of open-cell nickel foams: application of the mechanics of cellular solids and of porous materials. Materials Science and Engineering: A, 2000. 289(1-2): p. 276-288. [3] Avalle, M., Belingardi, G., and Montanini, R., Characterization of polymeric structural foams under compressive impact loading by means of energy-absorption diagram. International journal of impact engineering, 2001. 25(5): p. 455-472. [4] Vo, T.P., et al., Finite element model for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams based on a refined shear deformation theory. Engineering structures, 2014. 64: p. 12-22. [5] Nguyen, T.-K., et al., Vibration and buckling analysis of functionally graded sandwich beams by a new higher-order shear deformation theory. Composites Part B: Engineering, 2015. 76: p. 273-285. [6] Vo, T.P., et al., Static behaviour of functionally graded sandwich beams using a quasi-3D theory. Composites Part B: Engineering, 2015. 68: p. 59-74. [7] Nguyen, T.-K., et al., An analytical solution for buckling and vibration analysis of functionally graded sandwich beams using a quasi-3D shear deformation theory. Composite Structures, 2016. 156: p. 238-252.
484 580 Hương Quý Trường, Đặng Xuân Hùng, Trần Minh Tú và Nguyễn Văn Long [8] Magnucka-Blandzi, E. and Magnucki, K., Effective design of a sandwich beam with a metal foam core. Thin- Walled Structures, 2007. 45(4): p. 432-438. [9] Trường, H.Q., Hùng, Đ.X., Tú, T.M., Phân tích dao động riêng dầm sandwich FGM xốp với điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp Ritz. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXDHN, 2021. 15(5V): p. 15-27. [10] Hùng, Đ.X., Tú, T.M., Trường, H.Q., Phân tích ổn định dầm sandwich FGM xốp với các điều kiện biên khác nhau theo phương pháp Ritz. Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn lần thứ XV, Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp, Đại học Thái Nguyên, 2021: p. 461-470. [11] Bilasse, M., Daya, E., and Azrar, L., Linear and nonlinear vibrations analysis of viscoelastic sandwich beams. Journal of Sound and vibration, 2010. 329(23): p. 4950-4969. [12] Dariushi, S. and Sadighi, M., A new nonlinear high order theory for sandwich beams: An analytical and experimental investigation. Composite Structures, 2014. 108: p. 779-788. [13] Chen, D., Kitipornchai, S., and Yang, J., Nonlinear free vibration of shear deformable sandwich beam with a functionally graded porous core. Thin-Walled Structures, 2016. 107: p. 39-48. [14] Nematollahi, M.S., et al., Nonlinear vibration of functionally graded graphene nanoplatelets polymer nanocomposite sandwich beams. Applied Sciences, 2020. 10(16): p. 5669. [15] Kargani, A., Kiani, Y., and Eslami, M., Exact solution for nonlinear stability of piezoelectric FGM Timoshenko beams under thermo-electrical loads. Journal of Thermal Stresses, 2013. 36(10): p. 1056-1076. [16] Liên, T.V., Khiêm, N.T., Phương pháp độ cứng động lực trong phân tích và chẩn đoán kết cấu, 2017, Nhà xuất bản Xây dựng. [17] Hào, T.A., Khuyến, H.T., Phân tích kết cấu khung phẳng có liên kết đàn hồi tại nút. Tạp Chí Khoa Học Công Nghệ Xây Dựng (KHCNXD) - ĐHXDHN, 2017. 4(1): p. 65-73. [18] Liên, T.V., Thắng, N.T., Bình, N.T., Phân tích kết cấu khung bằng phương pháp phần tử hữu hạn khoảng. Tạp Chí Khoa Học Công Nghệ Xây Dựng 2013. 15(3): p. 18-28. [19] Chun, K., Free vibration of a beam with one end spring-hinged and the other free. Transactions of the ASME, 1972: p. 1154. [20] Maurizi, M., Rossi, R., and Reyes, J., Vibration frequencies for a uniform beam with one end spring-hinged and subjected to a translational restraint at the other end. Journal of Sound and Vibration, 1976. 48(4): p. 565- 568. [21] Doyle, P.F. and Pavlovic, M.N., Vibration of beams on partial elastic foundations. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 1982. 10(5): p. 663-674. [22] Chen, D., J. Yang, and S. Kitipornchai, Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams. International Journal of Mechanical Sciences, 2016. 108: p. 14-22. [23] Barati, M.R. and Zenkour, A.M., Investigating post-buckling of geometrically imperfect metal foam nanobeams with symmetric and asymmetric porosity distributions. Composite Structures, 2017. 182: p. 91-98. [24] Reddy, J.N., Theory and analysis of elastic plates and shells. 2006: CRC press. [25] Atmane, H.A., Tounsi, A., and Bernard, F., Effect of thickness stretching and porosity on mechanical response of a functionally graded beams resting on elastic foundations. International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2017. 13(1): p. 71-84. [26] Zhang, D.-G., Nonlinear bending analysis of FGM beams based on physical neutral surface and high order shear deformation theory. Composite Structures, 2013. 100: p. 121-126.