Phép nghịch đảo trong mặt phẳng

Chia sẻ: Phạm Minh Sơn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

278
lượt xem 33
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương trình toán chuyên THPT, phép nghịch đảo là một nội dung khá quan trọng trong hình học. Phép nghịch đảo có nhiều ứng dụng trong các bài toán chứng minh hình học vàdựng hình. Tuy nhiên, các bài toán này thường hình vẽ khá phức tạp mà phần mềm hình học phẳng tốt nhất như GSP cũng chưa có gói công cụ hữu hiệu nào để tiện cho GV và HS sử dụngtrong quá trình dạy và học. Gần đây tác giả được biết bộ công cụ của Kernel về phép nghịchđảo. Hướng dẫn sử dụng gói công...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phép nghịch đảo trong mặt phẳng

PHÉP NGH CH ð O TRONG M T PH NG Nguy n Kim Chi, Nguy n Thái Hùng, Tr n Lê Quang Ng c, 11T THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long E-mail: lazymonkey6992@yahoo.com.vn 1. Sơ lư c v phép ngh ch ñ o 1.1 ð nh nghĩa Cho ñi m O c ñ nh và m t s th c k ≠ 0 . ng v i m i ñi m M ≠ O ta luôn tìm ñư c ñi m M ' sao cho OM .OM ' = k . M ' ñư c g i là ñi m ngh ch ñ o c a M trong phép ngh ch ñ o c c O v i t s k . K Kí hi u N O : M ֏ M ' . 1.2 M t s tính ch t c a phép ngh ch ñ o 1.2.1 Phép ngh ch ñ o có tính ch t ñ i h p, t c là n u M ' = N O ( M ) thì ta cũng có M = N O ( M ') . k k 1.2.2 Xét phép ngh ch ñ o N O : M ֏ M ' . k N u t s k > 0 thì M và M ' n m cùng m t phía ñ i v i O . Khi ñó t p h p nh ng ñi m b t ñ ng c a phép ngh ch ñ o là ñư ng tròn tâm O , bán kính k , ñư ng tròn này ñư c g i là ñư ng tròn ngh ch ñ o, khi ñó n u ñi m M n m mi n trong c a ñư ng tròn thì M ' n m mi n ngoài c a ñư ng tròn ngh ch ñ o và ngư c l i. N u t s k < 0 thì hai ñi m M và M ' n m v hai phía ñ i v i O . Khi ñó không có ñi m kép cũng không có ñư ng tròn ngh ch ñ o. 1.2.3 N u phép ngh ch ñ o N O : M ֏ M ' có t s k > 0 thì m i ñư ng tròn ñi qua hai ñi m tương ng k M và M ' ñ u tr c giao v i ñư ng tròn ngh ch ñ o c a phép ngh ch ñ o ñó. 1.2.4 Hai ñi m A, B không th ng hàng v i c c ngh ch ñ o O c a N O , bi n thành hai ñi m A ', B ' qua k phép ngh ch ñ o ñó thì các ñi m A, B, A ', B ' cùng thu c m t ñư ng tròn. k 1.2.5 N u N O : A ֏ A ', B ֏ B ' , ta có A ' B ' = k AB . OA.OB 1.2.6 Phép ngh ch ñ o b o toàn ñ l n góc gi a hai ñư ng cong t i giao ñi m nhưng ñ o ngư c hư ng c a góc ñó. (Góc gi a hai ñư ng cong t i giao ñi m là góc gi a hai ti p tuy n c a chúng t i giao ñi m ñó, n u góc c a hai ñư ng cong b ng 900 thì hai ñư ng cong ñó g i là hai ñư ng cong tr c giao). k' 1.2.7 Tích c a hai phép ngh ch ñ o N O : M ֏ M ' và N O ' : M ' ֏ M '' là m t phép v t tâm O t s k k . k 1.2.8 Qua phép ngh ch ñ o N O ñư ng th ng qua c c bi n thành chính nó, ñư ng th ng không qua c c k bi n thành ñư ng tròn qua c c1. 1.2.9 Qua phép ngh ch ñ o N O , ñư ng tròn qua c c bi n thành ñư ng th ng không qua c c, ñư ng tròn k không qua c c bi n thành ñư ng tròn không qua c c. 1 k k Cách d ng. Xét nh c a ñư ng th ng d qua N O , d không qua O , k OH vuông góc v i d , N O : H ֏ H ' , nh c a d là ñư ng tròn ñư ng kính OH ' . 1
2. M t s ng d ng c a phép ngh ch ñ o Bài toán 1. Trong m t ph ng, cho tam giác ABC n i ti p ñư ng tròn (O ) . Gi s M là m t ñi m không thu c (O ) , các ñư ng th ng MA, MB c t l i ñư ng tròn (O ) l n lư t t i các ñi m A ', B ', C ' . a) Ch ng minh r ng v i M trong (O ) ta có S A ' B 'C ' MA '.MB '.MC ' = . S ABC MA.MB.MC b) Tìm t p h p các ñi m M sao cho tam giác A ' B ' C ' vuông. L i gi i. AB.BC.CA A ' B '.B ' C '.C ' A ' a) Ta có: S ABC = , và S A ' B 'C ' = . 4R 4R S A ' B 'C ' A ' B '.B ' C '.C ' A ' Do ñó = . (1) S ABC AB.BC.CA k Vì MA.MA ' = MB.MB ' = k (không ñ i) nên ta xét N M : (O) → (O) , A ֏ A ', B ֏ B ', C ֏ C '. Theo tính ch t c a phép ngh ch ñ o ta có k AB k BC k CA A' B ' = ; B 'C ' = ;C ' A' = . MA.MB MB.MC MA.MC Thay vào (1) ta ñư c ñi u ph i ch ng minh. b) Gi s tam giác A ' B ' C ' vuông A ' thì B ' C ' ñi qua O , khi ñó B ' C ' tr c giao v i O . k Xét N M như trên, qua c c M thì (O ) bi n thành (O) và ñư ng th ng B ' C ' bi n thành ñư ng tròn ( MBC ) tr c giao v i (O ) . (theo tính ch t 1.2.6 và 1.2.8) V y qu tích M là ñư ng tròn tr c giao v i (O ) , ñ ng th i ñi qua B, C . Ch ng minh tương t ñ i v i trư ng h p tam giác A ' B ' C ' vuông t i B ' và C ' . Bài toán 2. Cho ñư ng tròn (T ) tâm O bán kính R . ði m I trong hình tròn ñó. M t góc vuông thay ñ i t i ñ nh I , hai c nh c t (T ) t i A và B . Hai ñư ng tròn (T1 ), (T2 ) cùng qua I và ti p xúc v i (O ) theo th t t i A và B . Tìm qu tích M là giao ñi m th hai c a (T1 ), (T2 ). L i gi i. B ñ 1. Cho ñư ng tròn (C ) tâm I , ñi m P trong ñư ng tròn, góc vuông MPN xoay quanh ñi m P , trong ñó M và N trên (C ) . Khi ñó qu tích trung ñi m Q c a MN là m t ñư ng tròn. Ch ng minh. Th t v y QI 2 + QP 2 = QI 2 + QM 2 = R 2 . Suy ra Q thu c ñư ng tròn tâm O là trung ñi m c a PI và bán 1 kính OQ = 2 R 2 − IP 2 . 2 2
B ñ 2. Cho ñư ng tròn ( K ) tâm O , bán kính R , ñi m I trong hình tròn ñó. M t góc vuông quay xung quanh ñ nh I , hai c nh c a góc c t ñư ng tròn ( K ) t i A, B . Qu tích giao ñi m hai ti p tuy n v i ( K ) t i A và B là m t ñư ng tròn. Ch ng minh. G i N là trung ñi m c a AB . Theo ph n ch ng minh b ñ 1, qu tích N là ñư ng tròn (C ') tâm T là 1 trung ñi m c a OI và bán kính TN = 2 R 2 − OI 2 . 2 G i M là giao ñi m hai ti p tuy n c a ( K ) t i A, B . Ta có ba ñi m O, M , N th ng hàng. Tam giác OAM vuông t i A và có ñư ng cao AN , nên R 2 = OA2 = ON .OM . 2 Do ñó, t n t i phép ngh ch ñ o N O : N ֏ M . V y qu tích M là ñư ng tròn (C '') . R nh c a ñư ng 2 R tròn (C’) qua phép ngh ch ñ o N O . Ta s d ng hai b ñ trên ñ tìm qu tích c a bài toán. G i A ' và B ' l n lư t là giao ñi m th hai c a IA, IB v i (T ) . Ti p tuy n a, b t i A ', B ' tương ng c a (T ) giao nhau t i M ' . Qu tích M ' là ñư ng tròn (C '') theo b ñ 2. Phép ngh ch ñ o N Ik , k = IA.IA ' = IB.IB ', ta có A ֏ A ', B ֏ B ', (T1 ) ֏ a, (T2 ) ֏ b . Do ñó M , M ' là nh c a nhau qua phép ngh ch ñ o. V y qu tích M là (C ''') , là ñư ng tròn nh c a ñư ng tròn (C '') qua phép ngh ch ñ o NO . K M t s bài toán 1. Cho hai ñư ng tròn (O1 ) và (O2 ) tr c giao v i nhau và c t nhau A và B . L y các ñi m C và D trên hai ñư ng tròn ñó sao cho ñư ng th ng CD không ñi qua A và B . Ch ng minh r ng các ñư ng tròn ( ACD) và ( BCD) lúc ñó tr c giao v i nhau. 2. Cho tam giác ABC và các ñư ng cao BH , CK . Ch ng minh r ng ñư ng th ng HK song song v i tuy p tuy n t i A c a ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . 3. Cho m t ñư ng tròn c ñ nh tâm O và m t dây cung c ñ nh AB c a ñư ng tròn ñó. M t ñi m M di ñ ng trên ñư ng tròn (O ) . G i M ' là giao ñi m th hai c a ñư ng tròn qua M , l n lư t ti p xúc v i ñư ng th ng AB t i A và B . Hãy tìm t p h p các ñi m M ' . 4. D ng ñư ng tròn ti p xúc v i ñư ng tròn (O, R ) cho trư c ñ ng th i ti p xúc v i ñư ng th ng ∆ t i m t ñi m M cho trư c. 5. Ch ng minh r ng phép ngh ch ñ o b o t n hàng ñi m ñi u hòa v i c c ngh ch ñ o trên ñư ng th ng mang hàng ñi m ñó. Tài li u tham kh o [1] Nguy n M ng Hy, “Các phép bi n hình trong m t ph ng”, NXBGD, 2000. [2] Tr n văn T n, “Bài t p nâng cao m t s chuyên ñ hình h c 11”, 2001. [3] Tr n Ng c n, ðoàn Văn Phi Long, “Phương pháp gi i toán hình h c và gi i tích”, 1973. 3