Phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán cơ học chất lỏng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán cơ học chất lỏng trình bày về hai phương pháp phân tích trực chuẩn: Phương pháp POD cổ điển và phương pháp POD snapshot. Trong đó phương pháp POD snapshot được sử dụng khi kích cỡ của biến thời gian nhỏ hơn đáng kể so với kích cỡ của biến không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán cơ học chất lỏng

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 PHÉP PHÂN TÍCH TRỰC CHUẨN PHÂN TÍCH DỮ LIỆU TRONG BÀI TOÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG Nguyễn Đức Hậu Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG trong không gian con với số chiều là N POD dạng: Phương pháp phân tích trực giao theo giá N POD trị riêng (Proper Orthogonal Decomposition- POD) là một phương pháp phân tích các dữ u ( X) ≈ ∑ ( u,Φ i )Φ i ( X ) . i =1 liệu, nó xấp xỉ một hệ các phương trình có số Điều kiện tối ưu hóa theo nghĩa tích vô chiều lớn thành hệ có cỡ nhỏ hơn. Phương hướng trên không gian hàm H theo nghĩa pháp này được sử dụng trong cơ học chất tìm được các modes Φ i ∈ H ( Ω ) trực chuẩn lỏng bởi Lumley [1] năm 1967 để xác định sao cho cực tiểu hóa sai số sau: cấu trúc của dòng chảy rối và sau đó xây N POD dựng một mô hình rút gọn có thể xấp xỉ được u ( X) − ∑ ( u,Φ i )Φ ( X ) , năng lượng của dòng chảy. Ý tưởng ban đầu i =1 của phương pháp POD là công cụ để xử lý trong đó . kí hiệu là trung bình theo thời các dữ liệu tuy nhiên sau đó phương pháp gian của tập hợp các dữ liệu ban đầu này được sử dụng rất nhiều để xấp xỉ hệ Theo Lumley 1967 bài toán cực tiểu hóa phương trình Navier-Stokes để xây dựng lại trên dẫn đến bài toán cực đại hóa sau: và kiểm soát dòng chảy. Phương pháp POD Xác định các véc tơ đơn vị trên không là một phương pháp tuyến tính trong đó ta sẽ gian H* ( Ω ) = H ( Ω ) \ {0} sao cho có cực đại xác định một hệ sơ sở trực chuẩn để xấp xỉ (một cách tối ưu) các dữ liệu ban đầu là tập hóa sau: hợp rời rạc hoặc liên tục có cỡ lớn (các kết ( u,Ψ )2 quả thực nghiệm hay là các kết quả số tại các max . thời điểm khác nhau). Ψ ∈H* ( Ω ) (Ψ ,Ψ ) Ta định nghĩa toán tử tuyến tính: 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU K : H (Ω ) → H (Ω ) Ta xét các dữ liệu dạng u( X ) với xác định Ψ 6 K (Ψ ) = ( C ( X ,.) ,Ψ ( X ) ) , trên H ( Ω ) . H là một không gian Hilbert với với C ( X , X' ) = u ( X ) u ( X' ) là ten sơ tương tích vô hướng ( .,.) với chuẩn . H và Ω là giao có tính chất đối xứng. một miền không gian và thời gian Dễ dàng chứng minh được toán tử K là Ω = X × [ 0,T ] với T > 0 . H là không gian toán tử đối xứng, không âm nghĩa là L2 ( Ω ) với tích vô hướng: ∀Φ ,Ψ ∈ H ( Ω ) ta có: (Φ ,Ψ ) = ∫ Φ ( X )Ψ ( X ) dX . ( KΦ ,Ψ ) = (Φ ,KΨ ) , Ω ( KΦ ,Φ ) ≥ 0 . Phương pháp POD cổ điển là phương pháp xấp xỉ ở đó ta xác định một hệ cơ sở trực Theo định lý Riesz về phổ của toán tử chuẩn từ đó ta xác định xấp xỉ tốt nhất của u tuyến tính K có vô hạn các giá trị riêng thực 156
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 không âm có thể được sắp theo thứ tăng dần ∞ C ( X , X' ) = ∑ λiΦ i ( X )Φ i ( X' ) . λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ ... ≥ 0 , và i =1 +∞ Vì {Φ i } trực chuẩn nên ta có: ∑ λi < ∞. i =1 ai a j = ( u,Φ i ) u,Φ j ( ) Các hàm riêng của K là trực giao. Ta có thể chọn các hàm riêng là trực chuẩn. Bài toán cực đại hóa trên trở thành tìm Ψ ∈ H * = ∫ u ( X )Φ i ( X ) d X ∫ u ( X ' )Φ j ( X ' ) d X ' H H sao cho: ( KΨ ,Ψ ) = max ( KΦ ,Φ ) . = ∫ ∫ u ( X ) u ( X' ) Φ i ( X )Φ i ( X' ) dXdX' HH (Ψ ,Ψ ) Φ ∈H*( Ω ) (Φ ,Φ ) Xét hàm FΦ : \→ \ xác định bởi công = ∫ KΦ i ( X' )Φ j ( X' ) dX' H thức: ( = KΦ i ,Φ j ) FΦ ( ε ) = ( K (Ψ + εΦ ) ,Ψ + εΦ ) . = λi (Φ i ,Φ j ) (Ψ + εΦ ,Ψ + εΦ ) = λiδ ij . Nhận thấy rằng FΦ ( ε ) ≤ FΦ ( 0 ) và FΦ ' ( 0 ) = 0 . Giá trị riêng λi = ai 2 tương ứng với động Từ đó dẫn đến: năng trung bình sinh ra bởi mode thứ i . Động ( KΨ ,Ψ ) Ψ ,Φ . năng toàn phần của cả bài toán là: (Ψ ,Φ ) = ( ) ∞ ∞ (Ψ ,Ψ ) ∫ C ( X, X ) dX = ∑ ai 2 = ∑ λi = E . Đặt λ = ( KΨ ,Ψ ) . H i =1 i =1 (Ψ ,Ψ ) Động năng sinh ra đối với hệ cơ sở Vậy Ψ là nghiệm của bài toán: POD là: N POD KΨ = λΨ . Bài toán tối ưu hóa bây giờ trở thành bài E N POD = ∑ λi . i =1 toán giá trị riêng. Tất cả các véc tơ riêng Ψ Ta có hai tiêu chuẩn để đánh giá một hệ cơ tương ứng các giá trị riêng lớn nhất của K . sở POD được chọn. Tiêu chuẩn thứ nhất là Các modes POD chính là các hàm riêng của sai số: toán tử K tương ứng với N POD các giá trị N POD 2 riêng lớn nhất. Và bài toán cực tiểu hóa được S ( N POD ) = u− ∑ ( u,Φ i )Φ i ( X ) . i =1 xét trên hệ cơ sở rút gọn với số chiều là N POD . Tiêu chuẩn thứ hai là tỉ số giữa động năng Công thức xấp xỉ trở thành: của hệ cơ sở POD với động năng toàn phần: N POD E N POD T ( N POD ) = . u ( X) ≈ ∑ aiΦ i ( X ) , E i =1 Trong thực hành tiêu chuẩn thứ hai thường trong đó các modes POD {Φ i } trực chuẩn được sử dụng để đánh giá số lượng mode cần (Φ i ,Φ j ) = δij và hệ số ai được xác định bởi thiết để sinh ra đủ động năng cần thiết. ai = ( u,Φ i ) . 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Nếu N POD → ∞ ta nhận được công thức đúng: a) Trường hợp rời rạc với số chiều ∞ hữu hạn u ( X ) = ∑ aiΦ i ( X ) . Trong bài toán thực nghiệm hay là bài toán i =1 mô hình số mô phỏng dòng chảy dữ liệu nhận Ten sơ tương giao được xác định bởi: được sắp xếp dưới dạng ma trận. 157
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 ⎡ u ( x1 ,t1 ) ⎢ u x1 ,t Nt ⎤ " ⎥ ( ) lại của bùn cát trong phòng thí nghiệm của trường hợp e13 (xem [2]). Hình 2 là chín U =⎢ " " " ⎥ modes đầu tiên trong hệ cơ sở POD snapshot ⎢ ⎥ ⎢u xN x ,t1 ⎣ ( ) " u xN x ,t Nt ⎥ ⎦ ( ) đối với trường nồng độ. Ta thấy rằng modes ở đó N x là số các điểm không gian x rời rạc đầu tiên ứng với giá trị riêng lớn nhất là trung bình của cả quá trình diễn tiến của (các điểm đo trong bài toán thực nghiệm hay nồng độ khối. Các modes tiếp theo thể hiện là các nút lưới trong bài toán mô phỏng) và rõ hơn quá trình rời của bùn cát. Chín modes Nt là số các thời điểm nghiên cứu. này sinh ra khoảng 90% động năng của hệ Khi đó cực tiểu hóa sai số trong trường ban đầu. hợp rời rạc là: Nt N POD 1 min Nt ∑ u ( x,ti ) − ∑ a j ( ti )Φ j ( x ) i =1 j =1 Ma trận ten sơ tương giao cỡ N x × N x xác định bởi: Hình 2. Chín modes đầu tiên ⎡ 1 ⎤ Cx = ⎢ ⎣ Nt ( ( )) u ( xi ) ,u x j ⎥ ⎦ của hệ cơ sở POD 4. KẾT LUẬN b) Phương pháp POD snapshot Phương pháp POD snapshot được đưa ra Trong bài báo này tác giả trình bày về hai bởi Sirovich [3] năm 1987. Mục đích trong phương pháp phân tích trực chuẩn: Phương phương pháp này là phép lấy trung bình được pháp POD cổ điển và phương pháp POD lấy theo không gian còn ma trận ten sơ tương snapshot. Trong đó phương pháp POD giao sẽ phụ thuộc vào thời gian có cỡ là snapshot được sử dụng khi kích cỡ của biến Nt × Nt : thời gian nhỏ hơn đáng kể so với kích cỡ của Ct = ⎡⎣Cij ⎤⎦ biến không gian. Một áp dụng của phương với pháp POD snapshot trong phân tích dữ liệu số của mô hình hai pha mô phỏng dòng chảy Cij = 1 Nt ( ( )) u ( ti ) ,u t j và vận chuyển bùn cát đối với trường nồng độ bùn cát được xem xét. Phương pháp POD snapshot được dùng trong trường hợp khi N x thực sự lớn hơn Nt . 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO Đó chính là các trường hợp với các dữ liệu là [1] Lumley, J. L. (1967), The structure of kết quả thực nghiệm hay kết quả số. inhomogeneous turbulent flows, c) Áp dụng phương pháp POD snapshot Atmospheric turbulence and radio wave propagation, Moscow: Nauka, 167-178. Tiếp theo ta sẽ sử dụng phương pháp POD [2] Nguyen D.H., Guillou S., Nguyen K.D., để phân tích kết quả số của mô hình hai pha. Pham Van Bang D., Chauchat J. (2012), “Simulation of dredged sediment releases into homogeneous water using a twophase model”. Advances in Water Resources 48, 102–112. [3] Sirovich, L. (1987), Turbulence and the Hình 1. Nồng độ bùn cát trong kết quả số dynamics of coherent structures, Quarterly of Applied Mathematics, 5, 561-590. Trong Hình 1 biểu diễn kết quả số của mô hình hai pha khi mô phỏng quá trình rơi trở 158