Phép tính Tenxơ_chương 1

Chia sẻ: Nguyễn Thị Giỏi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

472
lượt xem 130
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cơ học môi trường liên tục (CHMTLT) nghiên cứu các đại lượng vật lý mang tính độc lập với mọi hệ tọa độ biểu diễn chúng. Các đại lượng vật lý này được xác định bởi một hệ tọa độ thích hợp. Theo toán học những đại lượng như vậy được biểu diễn bởi ten-xơ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phép tính Tenxơ_chương 1

Cơ học môi trường liên tục 1 GVC Trần Minh Thuận Chương 1 PHÉP TÍNH TEN-XƠ 1.1. TEN-XƠ VÀ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC: Cơ học môi trường liên tục (CHMTLT) nghiên cứu các đại lượng vật lý mang tính độc lập với mọi hệ tọa độ biểu diễn chúng. Các đại lượng vật lý này được xác định bởi một hệ tọa độ thích hợp. Theo toán học những đại lượng như vậy được biểu diễn bởi ten-xơ. Ten-xơ hiện hữu độc lập với hệ tọa độ bất kỳ và được xác định trong một hệ tọa độ bởi các thành phần của nó. Định rõ các thành phần của ten-xơ trong 1 hệ tọa độ sẽ xác định được các thành phần của nó trong các hệ tọa độ khác. Định luật biến đổi các thành phần của một ten-xơ được sử dụng ở đây như là công cụ để xác định ten-xơ. Định luật vật lý của cơ học môi trường liên tục được biểu diễn bởi các phương trình ten-xơ. Bởi vì sự biến đổi của ten-xơ thì tuyến tính và đồng nhất. Những phương trình ten-xơ như vậy nếu nó có hiệu lực trong một hệ tọa độ thì sẽ hiệu lực đối với mọi hệ tọa độ khác. Sự bất biến của phương trình ten-xơ dưới phéïp biến đổi tọa độ là trọng điểm của phương pháp ten-xơ trong cơ học môi trường liên tục. 1.2. TEN-XƠ TỔNG QUÁT _ TEN-XƠ DESCARTES _ HẠNG CỦA TEN-XƠ: - Ten-xơ tổng quát: là các ten-xơ được xét trong các hệ tọa độ cong bất kỳ. - Ten-xơ Descartes: là các ten-xơ được giới hạn trong các phéïp biến đổi hệ tọa độ đồng nhất với nhau. - Hạng của ten-xơ: Trong không gian Euclide 3 chiều, chẳng hạn như N không gian vật lý thông thường, số thành phần của ten-xơ là 3 , N được gọi là bậc hay hạng của ten-xơ. Nghĩa là: * ten-xơ hạng zero sẽ được xác định trong bất cứ hệ tọa độ không gian 3 chiều nào bởi 1 thành phần và được gọi là số vô hướng. * ten-xơ hạng nhất sẽ có 3 thành phần tọa độ trong không gian vật lý, được gọi là véc-tơ, nhằm biểu diễn các đại lượng vật lý có ý nghĩa cả về độ lớn và chiều. * ten-xơ hạng hai tương ứng với nhị thức (dyadics). Nhiều đại lượng quan trọng trong CHMTLT được biểu diễn bởi ten-xơ hạng 2 (có 9 thành phần trong hệ tọa độ Descartes). * các ten-xơ hạng cao hơn như hạng ba (triadics) hoặc hạng tư (tetradics) được định nghĩa và xuất hiện trong toán học của CHMTLT. 1.3. VÉC-TƠ VÀ SỐ VÔ HƯỚNG: 1.3.1. Véc-tơ: Các đại lượng vật lý như là: lực, vận tốc,..hàm chứa cường độ và chiều, được biểu diễn trong không gian 3 chiều bởi các đoạn thẳng có định hướng và tuân theo luật hình bình hành về phéïp cộng véc-tơ. Đó là sự biểu diễn hình học của ten-xơ hạng nhất, được gọi là véc-tơ, bao gồm các loại như sau: - Véc-tơ đơn vị (ê): là véc-tơ có độ lớn là 1 đơn vị. - Véc-tơ hoành vi: là các véc-tơ có cùng độ lớn, phương và chiều. - Véc-tơ đối đẳng: là các véc tơ có cùng độ lớn, cùng phương nhưng ngược chiều.
Cơ học môi trường liên tục 2 GVC Trần Minh Thuận r Ký hiệu: Véc tơ được ký hiệu bởi các chữ cái thường và in đậm a, hoặc a , độ lớn của véc tơ được ký hiệu bởi chữ thường a hoặc a . 1.3.2. Số vô hướng: Các đại lượng vật lý như: khối lượng và năng lượng,... chỉ có ý nghĩa về độ lớn nên được biểu diễn bởi các ten-xơ hạng zero, gọi là số vô hướng. Ký hiệu: bởi các chữ thường như a, b, l. 1.4. CÁC PHÉP TÍNH VÉC TƠ VÀ SỐ VÔ HƯỚNG: 1.4.1. Cộng véc tơ : tuân theo luật hình bình hành, phéïp trừ véc tơ tuân theo luật tam giác. Phép cộng véc tơ có tính giao hoán và kết hợp. r r r r r r r r r r r r r r r r r c = a + b = b + a ; d = a - b = _b + a ; (a + b ) + c = a + (b + c) = g [1.1] a+b=c a-b=d [a+b]+c=g -b b c a+b a a e f c d g a b Hình 1. Biểu diễn phép cộng của các véc tơ. 0≤θ≤π v a×b=v a a θ θ b b Hình 2. Biểu diễn các phéïp nhân của các véc tơ. 1.4.2. Nhân véc tơ cho một số vô hướng: tạo thành một véc tơ mới có cùng phương nhưng khác về độ lớn. Luật nhân véc tơ có tính kết hợp và phân bố. r r r m(nb) = n(mb) = (mn)b r r r r (m + n)b = (n + m)b = mb + nb [1.2] r r r r r r m(a + b) = m(b + a) = ma + mb Một véc tơ chia cho độ lớn của nó cho ra 1 véc tơ đơn vị có cùng phương với véc tơ ban đầu. r ˆ b b= [1.3] b 1.4.3. Tích vô hướng và hữu hướng của véc tơ:
Cơ học môi trường liên tục 3 GVC Trần Minh Thuận r r a/.Tích vô hướng hay tích chấm (.) : của 2 véc tơ a và b là một số vô hướng, ký hiệu: r r r r λ = a.b = b .a = ab cos θ [1.4] r r ˆ Tích vô hướng của véc tơ a với véc tơ đơn vị e sẽ cho hình chiếu của véc tơ a ˆ trên hướng của véc tơ e . r r r b/. Tích hữu hướng hay tích chéo (() của véc tơ a trên véc tơ b là véc tơ c cho bởi: r r r r r v = a × b = - b × a = (ab sin θ )e ˆ [1.5] o r r θ là góc kẹp < 180 giữa 2 véc tơ a và b ˆ e là véc tơ đơn vị trực giao với mặt phẳng tạo bởi 2 véc tơ theo quy tắc bàn tay phải. r r r Độ lớn của véc tơ v bằng với diện tích của hình bình hành có 2 cạnh là a và b . Tích véc tơ thì không giao hoán. c/. Tam tích vô hướng (scalar triple product): là tích vô hướng của 2 véc tơ trong đó 1 véc tơ được tạo ra từ tích hữu hướng của 2 véc tơ khác. r r r r r r r r r a.(b × c ) = (a × b ).c = a.b × c = λ [1.6] Vị trí của các dấu (.) và (() có thể trao đổi và vì dấu của tích hữu hướng phải thực hiện trước nên các dấu ngoặc không cần thiết. Độ lớn của λ là thể tích của r r r hình khối bình hành có a , b và c là các cạnh biên. d/. Tam tích hữu hướng hay tam tích véc tơ (vector triple product): là tích hữu hướng của r véc tơ trong đó 1 véc tơ là tích véc tơ của 2 véc tơ khác. 2 r r r r r r r r r a × (b × c) = (a.c)b - (a.b )c = w [1.7] r r r Véc tơ tích w sẽ nằm trên mặt phẳng của b và c . 1.5. NHỊ TÍCH VÀ NHỊ THỨC: r r 1.5.1. Nhị tích: Tích véc tơ bất định của 2 véc tơ a và b được định nghĩa bởi rr phép nhân ghéïp (juxtaposition), ký hiệu: ab , được gọi là nhị tích. Tích bất định, một cách tổng quát, thì khôngrgiao hoán: rr r ab ≠ b a [1.8] Véc tơ đầu tiên trong nhị tích được gọi là tiền kiện và véc tơ thứ hai được gọi là hậu thức. 1.5.2. Nhị thức D: Tương ứng với 1 ten-xơ hạng hai được biểu diễn theo tổng hữu hạn của các nhị tích. r r r r r r D = a1 b1 + a 2 b 2 + ... + aN b N [1.9]
Cơ học môi trường liên tục 4 GVC Trần Minh Thuận _ Nhị thức liên hiệp Dc : Khi tiền kiện và hậu thức hoán đổi vị trí trong mỗi nhị tích. r r r r r r Dc = b1 a1 + b2 a 2 +...+ bN a N [1.10] _ Nhị thức vô hướng Ds: Nếu mỗi nhị tích được thay bằng tích vô hướng của 2 véc tơ thì được gọi là số vô hướng của nhị thức D. r r r r r r Ds = a1 . b1 + a 2 . b 2 + ... + a N . b N [1.11] _ Nhị thức véc tơ D v : Nếu mỗi nhị tích được thay bằng tích hữu hướng của 2 véc tơ, thì được gọi là véc tơ của nhị thức D. r r r r r r Dv = a1 × b1 + a 2 × b 2 + ... + a N × b N [1.12] ˆ ˆ ˆ _ Nhị thức đơn vị hay nhân tử lũy đẳng I: là nhị thức trong đó e1 , e2 , e3 là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide 3 chiều bất kỳ. I = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [1.13] Và: I.v =v .I =v [1.14] Tích véc tơ bất định tuân theo luật phân bố: r r r rr rr a( b + c ) = ab + ac [1.15] r r r rr rr ( a + b )c = ac + b c [1.16] r r r r rr r r rr r r ( a + b )( c + d ) = ac + ad + b c + b d [1.17] nếu λ và µ là 2 số vô hướng thì: rr rr rr ( λ + µ )ab = λab + µab [1.18] r r r r rr ( λa )b = a( λb ) = λ( ab ) [1.19] r r Tích chấm của v .D và D. v là 1 véc tơ được r định nghĩa bởi: r rr r rr r rr r v .D = ( v .a1 )b1 + ( v .a2 )b2 + ... + ( v .an )bn = u [1.20] r r r r r r r r r r r D.v = a1 ( b1 .v ) + a2 ( b2 .v ) + ... + an ( bn .v ) = w [1.21] D trong biểu thức [1.20] được gọi là nhân tố sau và trong biểu thức [1.21] là nhân tố trước. Hai nhị r thức D và E bằng nhau nếu và chỉ nếu: r r r v .D = v .E hoặc D.v = E.v [1.22] r Tích chéo v với nhị thức D: là 1 nhị thức r r r r r r r r r r v × D = ( v × a1 )b1 + ( v × a2 )b2 + ... + ( v × an )bn = F [1.23]
Cơ học môi trường liên tục 5 GVC Trần Minh Thuận r r r r r r r r r r D × v = a1 ( b1 × v ) + a2 ( b2 × v ) + ... + an ( bn × v ) = G [1.24] rr rr Tích chấm của 2 nhị tích ab và c d là 1 nhị tích được định nghĩa bởi: rr rr r r rr ab .cd = ( b.c )ad [1.25] Tích chấm của 2r nhị thức D và E là 1 nhịrthức: r r r r r r r r r r D.E = ( a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn ).(c1d1 + c 2 d 2 + ... + c n d n ) r r r r r r r r r r r r = ( b1 .c1 )a1 d1 + ( b1 .c 2 )a1d 2 + ... + ( bn .c n )an d n = G [1.26] Nhị thức nghịch đảo: hai nhị thức D và E được gọi là nghịch đảo của nhau khi E.D = D.E = I [1.27] -1 -1 ký hiệu: E = D và D = E [1.28] Nhị thức tự liên hiệp hay đối xứng nếu: D = Dc [1.29] Nhị thức phản đối xứng nếu: D = - Dc [1.30] Mỗi nhị thức đều có thể được biểu diễn duy nhất như là tổng của các nhị thức đối xứng và phản đối xứng: 1 1 D = (D + Dc ) + (D - Dc ) = G + H [1.31] 2 2 trong đó 1 1 Gc = (Dc + (Dc )c ) = (Dc + D) = G [1.32] 2 2 1 1 Hc = (Dc - (Dc )c ) = (Dc - D) = - H [1.33] 2 2 1.6. CÁC HỆ TỌA ĐỘ_ VÉC TƠ CƠ SỞ_ BỘ BA VÉC TƠ ĐƠN VỊ: 1.6.1. Hệ tọa độ Descartes vuông góc : Biểu diễn bằng ba trục vuông góc nhau từng đôi một Oxyz. r _ Các véc tơ cơ sở: Một véc tơ v bất kỳ được biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính với 3 véc tơ tùy ý, không cùng mặt phẳng và khác không của hệ tọa độ bất kỳ được gọi là 3 véc tơ cơ sở. r r r r v = λa + µb + νc [1.34] Các véc tơ cơ sở được giả thuyết là độc lập tuyến tính do đó phương trình: r r r r λa + µb + νc = 0 [1.35] được thỏa chỉ nếu: λ = µ = ν = 0 _ Bộ ba véc tơ đơn vị: Thường các véc tơ cơ sở của hệ tọa độ Descartes vuông góc được chọn là 3 véc tơ đơn vị ˆ , ˆ , k dọc theo 3 trục tọa độ. Các véc tơ i j ˆ cơ sở cấu thành bộ 3 véc tơ đơn vị theo luật bàn tay phải. ˆ × ˆ = k ; ˆ × k = i ;k × i = ˆ i j ˆ j ˆ ˆ ˆ ˆ j [1.36] và ˆ .ˆ = ˆ .ˆ = k .k = 1 ii j j ˆ ˆ
Cơ học môi trường liên tục 6 GVC Trần Minh Thuận ˆ j j ˆ ˆˆ i .ˆ = ˆ .k = k .i = 0 Tập họp các véc tơ cơ sở như vậy được gọi là cơ sở trực chuẩn r v = v x i + v y ˆ + v zk ˆ j ˆ [1.37] r trong đó các thành phần Descartes là hình chiếu của v trên các hệ trục: r v x = v .ˆ = v cos α i  rˆ v y = v . j = v cos β [1.38] rˆ v = v .k = v cos γ  z z z r γ r v v ˆ k $ k β y α y ˆ j ˆ j x ˆ x ˆ i i Hình 3. Các véc tơ cơ sở. r Véc tơ đơn vị của v được cho bởi: r ˆ ev = v /v [1.39a] với ev = (cosα )ˆ + (cosβ ) ˆ + (cosγ )k ˆ i j ˆ [1.39b] Do đó véc tơ đơn vị bất kỳ sẽ có các thành phần Descartes là các cosin chỉ phương của véc tơ đó. Theo dạng các thành phần Descartes , tích vô hướng của r r 2 véc tơ a và b là: rr a.b = (a x i + a y ˆ + a z k ).(bx i + by ˆ + bz k ) ˆ j ˆ ˆ j ˆ = (a x bx + a y by + az bz ) [1.40] r r và tích hữu hướng của a và b là: r r a × b = (a y bz - az by )ˆ + (az bx - a x bz ) ˆ + (a x by - a y bx )k i j ˆ [1.41] hay được viết dưới dạng định thức: ˆ i ˆ j kˆ r r a × b = ax ay az [1.42] b x b y bz
Cơ học môi trường liên tục 7 GVC Trần Minh Thuận rrr Tam tích vô hướng của 3 véc tơ a,b ,c có thể được viết dưới dạng định thức sau: ax ay az rr r [ a.b × c ] = b x by bz [1.43] cx cy cz rr và nhị tích ab được viết thành: rr ab = (a x ˆ + a y ˆ + a z k )(bx ˆ + by ˆ + bz k ) i j ˆ i j ˆ = a x bx i i + a x by iˆ + a x bz ˆk + ˆˆ ˆj iˆ [1.44] a y bx ˆˆ + a y by ˆˆ + a y bz ˆk + ji jj jˆ a z bx kˆ + a z by kˆ + a z bz kk ˆi ˆj ˆˆ rr trong đó có 9 thành phần của nhị tích ab . Do đó có thể viết 1 nhị tích bất kỳ thành dạng 9 thành phần như trên. _ Nhị thức đơn vị (hay là nhân tử lũy đẳng) có 9 thành phần dưới dạng bộ ba véc tơ đơn vị ˆ , ˆ , k , được viết: i j ˆ I = ˆˆ + ˆˆ + kk ii jj ˆ ˆ [1.45] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Bộ ba các véc tơ cơ sở ( eR , eθ , e z ) của hệ tọa độ trụ và ( er , eθ , eφ ) ở đây đều không có phương cố định và vì thế ,nói chung , là hàm vị trí. z z ˆ er ˆ ez ˆ eθ r ˆ eθ r v φ ˆ eφ v ˆ eR r o y o y θ θ x x R Hình 4. a/Hệ tọa độ trụ b/ Hệ tọa độ cầu
Cơ học môi trường liên tục 8 GVC Trần Minh Thuận 1.7. HÀM VÉC TƠ TUYẾN TÍNH - TOÁN TỬ VÉC TƠ TUYẾN TÍNH VÀ NHỊ THỨC: r r 1.7.1. Hàm véc tơ tuyến tính: cho 1 véc tơ a là hàm số của véc tơ b , ký hiệu: r a=f b r () [1.46] Hàm số f được gọi là tuyến tính khi: r r r r f( b + c ) = f( b ) + f( c ) r r [1.47] f( λb ) = λf( b ) λ là số vô hướng bất kỳ. Theo [1.37] : r a = f(bx ˆ + by ˆ + bz k ) i j ˆ [1.48a] Nếu f tuyến tính: r a = bx f( ˆ ) + by f( ˆ ) + bz f( k ) i j ˆ r r r Đặt: f($) = u , f($) = v , f(k) = w i j $ suy ra: r r r r r r ˆ r a = u ( ˆ .b ) + v ( ˆ .b ) + w ( k .b ) i j r r rr r = ( uˆ + vˆ + wk ).b i j hay r r a = D.b [1.48b] r r rˆ trong đó D = uˆ + vˆ + wk là 1 nhị thức được xem như là 1 toán tử véc tơ tuyến i j tính. 1.8. KÝ HIỆU CHỈ SỐ_ KHOẢNG VÀ QUI ƯỚC CỘNG CHỈ SỐ: 1.8.1. Ký hiệu chỉ số: Thành phần ten_xơ hạng bất kỳ, cũng như chính bản thân ten_xơ đó có thể được biểu diễn chính xác và rõ ràng bởi các ký hiệu chỉ số. Chỉ số được gắn phía dưới hay phía trên của các chữ thường ( véc tơ ) hay chữ in hoa (ten_xơ hạng 2 trở lên). j pq Ví dụ: ai, bj, Tij, Fi , ∈ijk, R . Trường hợp xuất hiện các chỉ số trên và chỉ số dưới đồng thời cho 1 ten_xơ, thì dấu chấm kèm theo cho biết chỉ số đó là chỉ số thứ nhì. i .j ij D .j, Di , B ..jk 1.8.2. Khoảng của chỉ số và qui ước cộng chỉ số: Một ký hiệu chỉ số cóï thể xuất hiện giống nhau 2 lần trong 1 ten_xơ. - Nếu 1 chỉ số chỉ xuất hiện 1 lần thì khoảng của chỉ số sẽ lấy giá trị số j nguyên từ 1,2,..,N. Chỉ số này được gọi là chỉ số tự do, ví dụ các ten_xơ: ai, b , Dij, Eijk, có i, j, k đều là các chỉ số tự do. Hạng của ten_xơ được xác định bằng với tổng số các chỉ số tự do của ten xơ đó. - Nếu cùng 1 ký hiệu chỉ số xuất hiện hai lần trong một ten_xơ thì được hiểu là chỉ số giả, giá trị của ten_xơ đó được tính bằng tổng các giá trị trong khoảng biến
Cơ học môi trường liên tục 9 GVC Trần Minh Thuận thiên của chỉ số này, kết quả là chỉ số này sẽ biến mất, đây là qui ước cộng chỉ số. Ví dụ: xi = Cij zj có thể khai triển thành  x1 = C11 z1 + C12 z2 + C13 z3   x 2 = C21 z1 + C22 z2 + C23 z3  x =C z +C z +C z  3 31 1 32 2 33 3 hay: xi = Ci1z1 + Ci2z2 + Ci3z3 [1.49] tức là chỉ số j đã biến mất trong ten_xơ xi - Ten_xơ hạng 1 (véc tơ) cóï thể nhận biết bởi 1 chỉ số tự do sau đây: p Aijbj ; Fikk ; R .qp ; ∈ijkujvk - Ten_xơ hạng 2 sẽ có 2 chỉ số tự do sau đây: .j i ij ij Dij ; Di ; D .j ; D ; Aijip ; B ..jk; δijukvk - Ten_xơ hạng 3 sẽ có 3 chỉ số tự do .v.v.., và số vô hướng λ sẽ không có chỉ số đi kèm tức là ten_xơ hạng zero. - Ten_xơ Aij được biểu diễn bằng 1 ma trận vuông có 9 thành phần là 9 hệ số: A11 A12 A13 Aij = A21 A22 A23 [1.50] A31 A32 A33 tương tự thành phần của ten_xơ hạng 1 trong không gian 3 chiều cóï thể khai triển thành dạng 1 hàng hay 1 cột. a1 a i = (a1 , a2 , a3 ) hay a i = a2 [1.51] a3 m Tổng quát đối với khoảng của chỉ số là N thì 1 ten_xơ hạng m sẽ có N thành phần. Thí dụ đối với khoảng N của chỉ số i và j đều là 2 thì ta có ten_xơ: Aij = BipCjqDpq được khai triển theo 4 thành phần sau: A11 = B11C11D11 + B12C11D21 + B12C12D22 + B11C12D12 A12 = B11C21D11 + B11C22D12 + B12C21D21 + B12C22D22 A21 = B21C11D11 + B21C12D12 + B22C11D21 + B22C12D22 A22 = B21C21D11 + B21C22D12 + B22C21D21 + B22C22D22 Nếu khoảng của i và j là 3 thì ten_xơ Aij trên có 9 phương trình đại diện cho 9 thành phần của ten_xơ. 1.8.3. Ngoại lệ của quy ước cộng chỉ số: Trong hệ toạ độ Descartes, 1 véc tơ cóï thể được biểu diễn bằng kết hợp tuyến tính của 3 véc tơ cơ sở mang chỉ số như sau:
Cơ học môi trường liên tục 10 GVC Trần Minh Thuận r ˆ ˆ ˆ v = v1e1 + v 2 e2 + v 3 e3 [1.52a] kết hợp với qui ước cộng chỉ số, ta viết thành: r ˆ v = v i ei [1.52b] r trong đó v là ký hiệu véc tơ mang ý nghĩa ten_xơ hạng 1, i là chỉ số tự do của ten_xơ hạng 1. Chú ý : i ở đây không mang ý nghĩa của chỉ số giả do đó luật về cộng chỉ số không có hiệu lực trong trường hợp này. Tương tự ten_xơ hạng 2 cũng được biểu diễn bởi kết hợp tuyến tính của 3 véc tơ cơ sở mang chỉrsố: r ˆ ˆ ˆ ˆ ab = (ai ei )(b j e j ) = ai b j ei e j [1.53a] hay thu gọn thành nhị thức: ˆ ˆ D = Dij ei e j [1.53b] z r v ˆ e3 ˆ e2 y ˆ e1 x r Hình 5. Véc tơ V được biểu diễn bởi các véc tơ cơ sở. 1.9. PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ _ CÁC LOẠI TEN_XƠ: i 1 2 3 1.9.1. Phéïp biến đổi tọa độ: Gọi x là hệ toạ độ x , x , x trong không gian Euclide i 1 2 3 3 chiều, và θ là hệ toạ độ θ , θ , θ thứ hai trong cùng 1 không gian. Hàm biến đổi tọa độ: θi = θi(x1,x2,x3) [1.54] 1 2 3 i 1 2 3 sẽ gắn vào bất kỳ điểm (x ,x ,x ) nào trong hệ x các giá trị tọa độ mới (θ , θ , θ ) i trong hệ θ . i Giả sử hàm θ đơn trị, liên tục và khả vi ta có định thức:
Cơ học môi trường liên tục 11 GVC Trần Minh Thuận ∂θ 1 ∂θ 1 ∂θ 1 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂θ 2 ∂θ 2 ∂θ 2 ∂θ i J= = [1.55] ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x j ∂θ 3 ∂θ 3 ∂θ 3 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 Được gọi là Jacobian của phép biến đổi. Nếu Jacobian không triệt tiêu thì sẽ có 1 hàm nghịch đảo duy nhất là: i i 1 2 3 x = x (θ , θ , θ ) [1.56] i i Các hệ toạ độ θ và x mang ý nghĩa tổng quát. Do đó cóï thể là hệ toạ độ cong hay hệ toạ độ Descartes. 1.9.2. Ten_xơ phản biến: véc tơ vi phân dθ được cho bởi: i ∂θ i dθ i = dx j [1.57] ∂x j được gọi là véc tơ phản biến. Một cách tổng quát ten_xơ phản biến hạng 1 được biểu diễn như sau: ∂θ i j b' i = b [1.58] ∂x j j trong đó đạo hàm riêng phần được tính tại điểm P; b là các thành phần của j i i ten_xơ trong hệ toạ độ x ; b’ là các thành phần của ten_xơ trong hệ toạ độ θ . Chú ý: ký hiệu chỉ số i, j được gắn ở phía trên của ký hiệu biểu diễn ten_xơ phản biến. tương tự ten_xơ phản biến hạng 2 được viết: ∂θ i ∂θ j rs B' ij = r B [1.59] ∂x ∂x s 1.9.3. Ten_xơ hiệp biến: được ký hiệu bởi chỉ số nằm ở phía dưới của ten_xơ. Được định nghĩa là đạo hàm riêng phần của một hàm số vô hướng theo tọa độ. 1 2 3 Nếu φ = φ(x ,x ,x ) là 1 hàm số thì: ∂φ ∂x j ∂φ = [1.60] ∂θ i ∂θ i ∂x j Một cách tổng quát những đại lượng bi được gọi là các thành phần của 1 ten_xơ hiệp biến hạng 1 nếu được viết: ∂θ i j b' i = b [1.61] ∂x j i trong đó b’i là các thành phần hiệp biến trong hệ θ và bj là các thành phần hiệp j biến trong hệ x . Tổng quát các ten_xơ hiệp biến hạng 2 tuân theo luật biến đổi: ∂x r ∂x s Bij = i ' Brs [1.62] ∂θ ∂θ j
Cơ học môi trường liên tục 12 GVC Trần Minh Thuận Ngoài ra còn có các ten_xơ hổn tạp ( vừa là hiệp biến và phản biến ) được viết như sau: ∂θ r ∂x n ∂x q m T ' r sp = T .nq [1.63] ∂x m ∂θ s ∂θ p trong đó các chỉ số r, m là của thành phần phản biến và s, p, n, q là của thành phần hiệp biến của ten_xơ. 1.9.4. Ten_xơ Metric _ Ten_xơ Descartes: Ten_xơ Metric: i i Gọi x là hệ toạ độ Descartes vuông góc 3 chiều và θ là hệ toạ độ khác bất kỳ (vuông hay cong), trong cùng 1 không gian. r 1 2 3 Gọi véc tơ x là véc tơ vị trí của điểm bất kỳ P(x ,x ,x ) có thành phần i Descartes là x . Bình phương của vi phân khoảng cách ds giữa 2 điểm lân cận r r r P ( x ) và Q( x + dx ) cho bởi: 2 i i (ds) = dx .dx [1.64] Từ phép biến đổi tọa độ [1.56]: i i 1 2 3 x = x (θ ,θ ,θ ) i và lấy vi phân của x là: ∂x i dx = p dθ p i [1.64a] ∂θ Suy ra: ∂x i ∂x i ( ds ) 2 = p dθ p dθ q = G pq dθ p dθ q [1.64b] ∂θ ∂θ q trong đó ten_xơ hạng 2 Gpq được gọi là ten_xơ metric hay ten_xơ cơ bản của không gian. i i Nếu θ là hệ toạ độ Descartes vuông góc, và thay bằng ký hiệu x’ , thì: ∂x i ∂x i G pq = = δ pq [1.64c] ∂x' p ∂x' q trong đó: δpq được gọi là delta Kronecker được định nghĩa bởi: δpq = 0 nếu p ≠ q và δpq = 1 nếu p = q [1.64d] nếu biểu diễn bằng ma trận ta có dạng sau:  1 0 0  [ ] δ pq =  0 1 0  [1.64e]   0 0 1 - Ten_xơ Descartes:
Cơ học môi trường liên tục 13 GVC Trần Minh Thuận 2 i i Trong hệ toạ độ đồng nhất, tức là (ds) = dx dx , phép biến đổi tọa độ giữa các hệ toạ độ này được gọi là phép biến đổi trực giao, và những ten_xơ được giới hạn trong phép biến đổi đó được gọi là ten_xơ Descartes. Đối với ten_xơ Descartes thì không phân biệt giữa các thành phần phản biến và hiệp biến, và thường dùng chỉ số phía dưới để ký hiệu ten_xơ. Trong phép biến đổi tọa độ các đạo hàm riêng phần được thay bằng các hằng số. (cho các công thức [1.61], [1,62]) 1.10. ĐỊNH LUẬT BIẾN ĐỔI CÁC TEN_XƠ DESCARTES : 1.10.1. Ký hiệu Kronecker: Gọi 2 hệ tọa độ Ox1 x2 x3 và O x’1 x’2 x’3 là 2 hệ tọa độ vuông góc Descartes (hình 6). Ký hiệu aij chỉ cosin của góc giữa 2 trục tọa độ x’i và xj a ij = cos( x' i , x j ) [1.65] x3 x’2 r v x’3 ˆ e' 2 cos-1a13 ˆ x’1 e3 ˆ e'1 ˆ e' 3 cos-1a12 ˆ e1 ˆ e2 x2 x1 -1 cos a11 r Hình 6. Phép biến đổi hệ trục cho véc tơ v Góc của các hệ trục của một hệ tọa độ đối với 1 hệ tọa độ khác cho bởi bảng sau đây: x1 x2 x3 x’1 a11 a12 a13 [1.66a] x’2 a21 a22 a23 x’3 a31 a32 a33 hay ta có thể viết dưới dạng ten_xơ biến đổi: a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 [1.66b] a31 a32 a33 ˆ Gọi e' i là véc tơ đơn vị trên trục x’i , từ [1.39b] ta viết thành:
Cơ học môi trường liên tục 14 GVC Trần Minh Thuận e'1 = a11 e1 + a12 e2 + a13 e3 = a1 j e j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [1.67] ˆ Tổng quát cho các véc tơ cơ sở đơn vị e' i ta có: e' i = a ij e j ˆ ˆ [1.67a] hay e j = a ij e' i ˆ ˆ [1.67b] r Đối với 1 véc tơ v bất kỳ ta có : r v = v jej ˆ [1.67c] hoặc: r v = v' i e' i ˆ [1.67d] suy ra: r v = v' i aij e j = v j aij e' i ˆ ˆ [1.67e] tức là: v j = v' i aij = aij v' i = akj v' k [1.67f] Tương tự khi thay đổi dấu phẩy cho 2 vế, ta viết được: v' i = aij v j = aik v k [1.67g] Cuối cùng ta có: v j = aij aik v k [1.67h] hay v' i = aij akj v' k [1.67k] Từ 2 phương trình[1.67h] và [1.67k] nhất thiết phải trở thành: vj = vj và v’i = v’i vì thế hệ số aijakj phải bằng 1 khi i = k hoặc bằng 0 khi i ≠ k, và tương tự aijaik phải bằng 1 khi j = k hoặc bằng 0 khi j ≠ k. Do đó có thể dùng ký hiệu Kronecker để biểu diễn aijakj và aijaik: aijakj = δik và aijaik = δjk [1.68] 1.10.2. Các điều kiện trực giao: Từ phương trình[1.68] ta có thể khai triển thành 9 phương trình, được gọi là các điều kiện trực giao theo cosin chỉ phương aij. Ký hiệu Kronecker thường được gọi là toán tử thay thế, chẳng hạn: δijbj = δi1b1 + δi2b2 + δi3b3 =bi [1.69a] hay δijFik = δ1jF1k + δ2jF2k + δ3jF3k =Fjk [1.69b] Dựa vào luật biến đổi ta có 1 số công thức biến đổi cho thành phần của nhị tích và ten_xơ trên hệ tọa độ mới: _ Nhị tích: u' i v' j = (aipu p )(a jq v q ) = aip a jq u pv q [1.70a]
Cơ học môi trường liên tục 15 GVC Trần Minh Thuận _ Ten_xơ hạng 2: T ' ij = aip a jqT pq [1.70b] Do điều kiện trực giao ta viết được: Tij = a pi aqj T ' pq [1.70c] th _ Ten_xơ hạng N : T ' ijk .... = aip a jq a km ......T pqm [1.70d] 1.11. PHÉP TÍNH TEN_XƠ: 1.11.1. Cộng trừ ten_xơ: Các ten_xơ Descartes có cùng hạng có thể cộng hoặc trừ các thành phần tương ứng với nhau. Aijk... ± Bijk... = Tijk ... [1.71a] 1.11.2. Nhân 1 số vô hướng cho ten_xơ: tạo thành 1 ten_xơ mới có cùng hạng. Trong đó các thành phần của ten_xơ được nhân cho số vô hướng đó. bi = λai [1.71b] Bij = λAij 1.11.3. Tích ngoài của ten_xơ (Outer Product)(ngoại tích): Ngoại tích của 2 ten_xơ có hạng bất kỳ là 1 ten_xơ mới có các thành phần được tạo bởi vìệc nhân mỗi thành phần của ten_xơ thứ nhất cho tất cả các thành phần của ten_xơ thứ hai. Hạng của ten_xơ mới bằng tổng các hạng của 2 ten_xơ yếu tố. Chú ý: Ngoại tích được thành lập bằng phép nhân ghép các ten_xơ yếu tố. ai b j = Tij ; DijTkm = Φ ijkm [1.71c] v i Fjk = aijk ; ε ijk v m = Θ ijkm 1.11.4. Nội tích hay phép thu gọn của 1 ten_xơ: là cách gán 2 chỉ số tự do của ten_xơ thành chỉ số giả. Đưa đển 1 ten_xơ mới có hạng kém hơn 2 bậc so với ten_xơ cũ ( đối với phép thu gọn 2 chỉ số). _ Thu gọn Tij trở thành Tii và u i v j trở thành uivi , tức là: Tii = T11 + T22 + T33 = α và uivi = u1v1 + u2v2 + u3v3 = β [1.71d] _Thu gọn của Eijak trở thành 1 trong 3 dạng sau đây: E ij a j = ai [1.72e] E ij ai = b j hoặc là E ii ak = d k trong đó:
Cơ học môi trường liên tục 16 GVC Trần Minh Thuận E ij a j = E i1 a1 + E i2 a2 + E i3 a3 E ij ai = E1j a1 + E 2j a2 + E 3j a3 [1.73f] E ii ak = E11 ak + E 22 ak + E 33 ak _ Thu gọn của EijFkm trở thành 1 trong các dạng sau đây: E ij Fim = G jm ; E ij Fkk = Pij E ij Fki = H jk ; E ij Fjm = Qim [1.73g] E ii Fkm = K km ; E ij Fkj = Rik Ta có bảng thống kê: Ngoại tích Nội tích Ký hiệu chỉ số Ký hiệu chữ rr ai b j = Dij aibi =λ a.b = λ r r ai E jk = Gijk ai E ji = h j E .a = h r r ai E ik = fk a.E = f E ij Fkm = H ijkm E ij F jm = Gim E.F = G 2 E ij E km = Lijkm E ij E jm = Bim E.E =(E) 1.11.5. Tích hữu hướng của véc tơ_ Số hoán vị_ Véc tơ đối ngẫu: r r Nhằm mục đích biểu diễn tích (×) hữu hướng của a × b , ten_xơ hạng 3, ∈ijk , được định nghĩa như là số hoán vị hay ten_xơ luân phiên. Trong đó: ∈ijk = 1 nếu i,j,k là hoán vị chẳn theo thứ tự 1,2,3,1,2.. ∈ijk = -1 nếu i,j,k là hoán vị lẻ theo thứ tự 3,2,1,3,2.. ∈ijk = 0 nếu i,j,k không hoán vị, tức là có cùng 2 hay 3 chỉ số giống nhau. r r r do đó a × b = c được viết như sau: ∈ijk a j bk = c i [1.74a] r rr hoặc tam tích vô hướng: a × b.c = λ được viết thành ∈ijk ai b j c k = λ [1.74b] Tương tự trong sự biểu diễn tam tích vô hướng bằng định thức thì ∈ijk cũng dùng để biểu diễn giá trị của định thức 3×3. _ Véc tơ đối ngẫu của ten_xơ Tij hạng 2 bất kỳ được định nghĩa: v i =∈ijk T jk = Tv [1.74c] tương đương với nhị thức véc tơ Tv của nhị thức T. 1.12. MA TRẬN _ MA TRẬN BIỂU DIỄN TEN_XƠ DESCATES:
Cơ học môi trường liên tục 17 GVC Trần Minh Thuận 1.12.1. Các loại ma trận thường gặp: _ Ma trận M×N, có M hàng và N cột, được ký hiệu là A hoặc [ Aij ] là 1 mãng cho bởi:  A11 A12 ... A1N  A A22 ... A2 N  A = [Aij ] =  21  [1.75]  ... ... ... ...     AM1 AM 2 ... AMN  _ Ma trận vuông: có M = N _ Ma trận cột: M × 1 được ký hiệu [Ak1] _ Ma trận hàng: 1 × N được ký hiệu [A1k] _ Ma trận không: có các phần tử bằng zero. _ Ma trận đường chéo: gồm các số hạng từ A11...ANN nằm trên đường chéo, các số hạng còn lại bằng 0. _ Ma trận đơn vị: là ma trận đường chéo có các số hàng A11...ANN = 1 T _ Ma trận chuyển vị A : là ma trận thành lập bởi hoán đổi hàng thành cột T của ma trận A. Ký hiệu A là ma trận N×M. _ Cộng ma trận: Các ma trận có cùng số hàng và số cột có thể cộng hoặc trừ từng số hạng tương ứng với từng vị trí hàng và cột. _ Nhân ma trận: Với điều kiện ma trận thứ 1 (M × P) có số cột P bằng với số hàng của ma trận thứ hai (P × N), sẽ tạo thành 1 ma trận M × N. Được ký hiệu bằng dấu nhân ghép sau đây: AB=C hay [A ][B ] = [C ] ij jk ik [1.76a] Nói chung phép nhân ma trận không giao hoán: AB≠BA [1.76b] _ Ma trận kỳ dị: là 1 ma trận vuông có định thức của nó Aij = 0 hay A = 0 . _ Phần phụ đại số của 1 phần tử Aij của ma trận vuông A được ký hiệu bởi : A * ij = (− 1) M ij i+ j [1.76c] trong đó M ij là định thức con của Aij , tức làì định thức của ma trận còn lại khi sau khi loại bỏ bớt 1 hàng và 1 cột của Aij _ Ma trận liên hợp của ma trận A: là ma trận trong đó các thành phần của A được thay bằng các phần phụ đại số A * ij và hoán đổi vị trí hàng thành cột (adjoint matrix).
Cơ học môi trường liên tục 18 GVC Trần Minh Thuận -1 _ Ma trận nghịch đảo của A ký hiệu là A : là ma trận được định nghĩa bằng ma trận liên hợp chia cho định thức của ma trận A với điều kiện A không là ma trận kỳ dị, tức làì A ≠ 0 : A −1 = [A * ] ji [1.76d] Aij Từ định nghĩa ma trận nghịch đảo ta có: -1 -1 A A=AA =I [1.76e] hay: IA=AI=A [1.76f] I là ma trận đơn vị có các số hàng là 1 tại các vị trí đường chéo và zero ở các vị trí khác. Tất nhiên ma trận đơn vị sẽ biểu diễn cho Ký hiệu Kronecker, δ ij, và nhị thức đơn vị, I. T -1 _ Gọi ma trận A là ma trận trực giao nếu A = A hay: T T A A=AA =I [1.76g] Một cách tổng quát, bất kỳ các ten_xơ hạng 2 (hay nhị thức), hạng 1 (véc tơ), hạng zero (vô hướng) các thành phần của chúng đểu có thể được biểu diễn theo 1 ma trận (3×3), (1×3) hay (3×1), và số đại số một cách tương ứng. Nhưng ngược lại không phải mỗi ma trận đểu có thể biểu hiện cho 1 ten_xơ. 1.12.2. Các phép tính ma trận của ten_xơ: _ Tích vôrhướng của 2 véc tơ: là 1 số vô hướng, rr r a.b = b.a = λ hay laì ai bi = bi ai = λ [1.77a] biểu diễn bằng ma trận là: [a1i][bi1] = [λ]  b1  hoặc là: [a1 ,a2 , a3 ]b2  = [a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ]   [1.77b] b3    _ Tích giữa véc tơ và nhị thức: là 1 véc tơ, r r a.E = b hoặc ai E ij = b j biểu diễn bằng ma trận là: [ a1i ][ E ij ] = [ b1 j ] [1.77c] E11 E12 E13  [a1 E11 + a2 E 21 + a3 E 31 , hoặc: [a1 ,a2 , a3 ]E 21 E 22 E 23  = a1E12 + a2 E 22 + a3 E 32 ,   [1.77d] E 31 E 32 E 33  a1 E13 + a2 E 23 + a3 E 33 ]   _ Tích giữa nhị thức và véc tơ: là 1 véc tơ,
Cơ học môi trường liên tục 19 GVC Trần Minh Thuận r r E .a = c hoặc E ij a j = c i [1.77c] biểu diễn bằng ma trận là: [ E ij ][ a j1 ] = [ c i 1 ] [1.77d] E11 E12 E13   a1   a1 E11 + a2 E12 + a3 E13  hoặc: E E E  a  = a E + a E + a E  [1.77e]  21 22 23   2   1 21 2 22 3 23  E 31 E 32 E 33  a3  a1 E 31 + a2 E 32 + a3 E 33       _ Tích của 2 nhị thức là 1 nhị thức: E.F = G hoàûc E ij F jk = Gik [1.77f] biểu diễn bằng ma trận là: [ E ij ][ F jk ] = [ G ik ] [1.77g] trong đó phép nhân tương đương với nội tích hay phép thu gọn ten_xơ. 1.12.3. Sự đối xứng của nhị thức, ma trận và ten_xơ: _ Nhị thức D đối xứng: nếu D = Dc [1.78a] và phản đối xứng nếu D =-Dc [1.78b] ( trong đó Dc là nhị thức liên hiệp của D ). _ Ten_xơ Dij đối xứng: nếu Dij = D ji [1.78c] và phản đối xứng nếu Dij = −D ji [1.78d] hay ta cóï thể viết: Dij = 1 (Dij + D ji ) + 1 (Dij − D ji ) [1.78e] 2 2 Ký hiệu: Dij = D ij + D[ ij ] [1.78f] trong đó D ij là phần đối xứng và D[ ij ] là phần phản đối xứng. Tổng quát cho ten_xơ có hạng bất kỳ ta có: Rijkm = Rikjm ( Đối xứng ở k và j ) ∈ijk = − ∈kji ( Phản đối xứng ở k và i ) [1.79g] Gijkm = G jimk ( Đối xứng ở i và j, k và m) β ijk = β ikj = β kij = β jik ( Đối xứng ở tất cả chỉ số) _ Ma trận A đối xứng nếu nó bằng với ma trận chuyển vị
Cơ học môi trường liên tục 20 GVC Trần Minh Thuận  A11 A12 A13  A = A =  A12 A22 A23   T  [1.79h]  A13 A23 A33    ( trong đó chỉ có 6 thành phần phân biệt ) và phản đối xứng nếu:  0 B12 B13  B = −B T = − B12  0 B23   [1.79k] − B13  − B23 0  1.13. GIÁ TRỊ CHÍNH, PHƯƠNG CHÍNH CỦA TEN_XƠ ĐỐI XỨNG HẠNG 2: Bởi vì các ten_xơ quan trọng trong cơ học môi trường liên tục thường là đối xứng nên ta chỉ xét cho các ten_xơ đối xứng mà thôi. Đối với mỗi ten_xơ đối xứng Tij xác định tại 1 điểm nhất định trong không gian sẽ liên kết với véc tơ pháp tuyến đơn vị n j của mỗi phương tạo ra véc tơ: v i = Tij n j [1.80] Nếu trong đó vi song song với phương ni ta có: Tij n j = λn i [1.81] Phương ni được gọi là phương chính hay trục chính của ten_xơ Tij mặt khác n i = δ ij n j [1.82] suy ra (T ij − λδ ij )n j = 0 [1.83] Khai triển thành 3 phương trình sau: (T11 -λ)n1 + T12n2 + T13n3 =0 [1.83a] T21n1 + (T22 - λ)n2 + T23n3 =0 [1.83b] T31n1 + T32n2 + (T33 -λ)n3 = 0 [1.83c] Đối với mỗi λ nghiệm không có giá trị là ni = 0, tuy nhiên mục đích ở đây là tìm nghiệm tổng quát theo điều kiện nini = 1. Để cho hệ thống phương trình có nghiệm tổng quát thì định thức của các hệ số ma trận phải bằng 0. Tij − λδ ij = 0 [1.84a] khai triển định thức ta được: λ3 - IT λ2 + IITλ - IIIT = 0 [1.84b] được gọi là phương trình đặc trưng của Tij . Trong đó các số vô hướng IT, IIT, IIIT được gọi là các bất biến thứ nhất, thứ hai, và thứ ba. Nghĩa là: IT = Tii = tr Tij (trace of Tij ) [1.84c] IIT = 1 (TiiT jj − TijTij ) [1.84d] 2