Phương pháp Front -Tracking cho định luật bảo toàn

Chia sẻ: Batman_1 Batman_1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong vật lý, định luật bảo toàn là các định luật có nội dung: đại lượng vật lý trong hệ kín qua các quá trình khác nhau hay tác động tương tác không thay đổi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp Front -Tracking cho định luật bảo toàn

ViÖn To¸n häc Hµ Néi 1/34 LuËn v¨n Th¹c sÜ To¸n häc Ph¬ng ph¸p Front-Tracking Cho §Þnh LuËt B¶o Toµn Häc viªn: NguyÔn An Kh¬ng Hµ Néi, 26/10/2004
Môc ®Ých 2/34 • ph¬ng ph¸p front-tracking) tr×nh bµy mét ph¬ng ph¸p sè ( ®Ó gi¶i bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu vµ bµi to¸n biªn ®èi víi ®Þnh luËt b¶o toµn v« híng trong kh«ng gian mét chiÒu d¹ng ut + H (u)x = 0 (x, t) ∈ R × (0, ∞). • chuyÓn ph¬ng ph¸p nãi trªn sang ¸p dông cho bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu ®èi víi ph¬ng tr×nh Hamilton-Jacobi d¹ng vt + H (vx) = 0 (x, t) ∈ R × (0, ∞), v (x, 0) = v0(x) x ∈ R.
Môc lôc 3/34 1 NghiÖm entropy cho ®Þnh luËt b¶o toµn 4 2 NghiÖm nhít cho PT Hamilton-Jacobi 10 3 Hµm víi biÕn ph©n toµn phÇn bÞ chÆn 12 4 Ph¬ng ph¸p front-tracking cho bµi to¸n Cauchy ®èi víi ®Þnh luËt b¶o toµn v« híng trong kh«ng gian mét chiÒu 14 5 Ph¬ng ph¸p front-tracking cho bµi to¸n biªn Dirich- let ®èi víi ®Þnh luËt b¶o toµn v« híng 21 6 ChuyÓn ph¬ng ph¸p front-tracking sang cho bµi to¸n Cauchy ®èi víi ph¬ng tr×nh Hamilton-Jacobi 27
NghiÖm entropy cho ®Þnh luËt b¶o toµn 4/34 NghiÖm tÝch ph©n u ∈ L∞(R × (0, ∞)) §Þnh nghÜa 1. Ta nãi hµm lµ mét nghiÖm tÝch ph©n cña bµi to¸n ut + H (u)x = 0 (x, t) ∈ R × (0, ∞), (1) u(x, 0) = u0(x) x ∈ R, (2) nÕu nh ®¼ng thøc ∞ ∞ ∞ (uϕt + H (u)ϕx)dxdt + u0(x)ϕ(x, 0)dx = 0. (3) −∞ −∞ 0 1 ϕ(x, t) ∈ C0 (R × [0, ∞)). ®óng víi mäi hµm thö
§iÒu kiÖn Rankine-Hugoniot C1 u Gi¶ sö hµm lµ nghiÖm ph©n bè thuéc tõng m¶nh cña (1), u tøc lµ tháa ∞ ∞ 5/34 (uϕt + H (u)ϕx)dxdt = 0, (4) −∞ 0 1 ϕ(x, t) ∈ C0 (R × (0, ∞)) víi mäi hµm thö vµ tån t¹i mét sè h÷u C (x, t) h¹n c¸c ®êng cong tr¬n trong mÆt ph¼ng sao cho hµm C1 u thuéc líp bªn ngoµi c¸c ®êng ®ã, cßn ngang qua c¸c u ®êng ®ã hµm kh«ng liªn tôc cã bíc nh¶y. Khi ®ã b»ng c¸ch chän c¸c hµm thö phï hîp vµ dïng tÝch ph©n tõng phÇn, tõ (4) ta thu ®îc ®¼ng thøc sau ®©y H ( u l ) − H (u r ) = s (u l − u r ) C, ˙ (5) däc theo mçi ®êng cong C x = s(t) trong ®ã lµ ph¬ng tr×nh cña ®êng cong vµ ul,r = lim u(x, t) x→s(t)−,+
C ®iÒu kiÖn Rankine- däc theo ®êng cong . §¼ng thøc (5) gäi lµ σ ul , ur , H (ul ), H (ur ) Hugoniot. Chó ý r»ng vËn tèc vµ c¸c gi¸ trÞ C nãi chung lµ sÏ thay ®æi däc theo ®êng cong . MÆc dï vËy, [H (u)] = H (ul ) − H (ur ) σ [u] = s(ul − ur ) ˙ biÓu thøc vµ vÉn 6/34 lu«n c©n b»ng. NghiÖm entropy cho bµi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu u ∈ L∞(R × [0, ∞)) lµ mét §Þnh nghÜa 2. (Kruzkov) Mét hµm (1.1)-(1.2) nÕu u tháa bÊt ®¼ng thøc nghiÖm entropy cña bµi to¸n entropy ∞ ∞ (|u − k |ϕt + sign(u − k )(H (u) − H (k ))ϕx)dxdt+ −∞ 0 (6) ∞ |u0(x) − k |ϕ(x, 0)dx ≥ 0, + −∞ ∞ ϕ(x, t) ∈ C0 (R × [0, ∞)), ϕ ≥ 0 vµ mäi k ∈ R. víi mäi hµm thö
R × (0, T ] NÕu ta xÐt ®Þnh luËt b¶o toµn trong miÒn th× bÊt ®¼ng thøc entropy (7) sÏ cã d¹ng ∞ T (|u − k |ϕt + sign(u − k )(H (u) − H (k ))ϕx)dxdt+ 7/34 −∞ 0 (7) ∞ ∞ |u0(x) − k |ϕ(x, 0)dx − |u(x, T ) − k |ϕ(x, T )dx ≥ 0 + −∞ −∞ ∞ ϕ(x, t) ∈ C0 (R × [0, T ]), ϕ ≥ 0 k∈R víi mäi hµm thö vµ mäi . NghiÖm entropy cho bµi to¸n biªn Dirichlet Ta xÐt bµi to¸n t×m nghiÖm duy nhÊt cña ®Þnh luËt b¶o toµn v« híng trong kh«ng gian nhiÒu chiÒu ut + divH (u) = 0 (x, t) ∈ Ω × (0, T ) (8) víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = u0(x) x ∈ Ω, (9)
vµ ®iÒu kiÖn biªn u(x, t) = r(x, t) (10) ∂ Ω × (0, T ) trªn mét phÇn cña sÏ ®îc nãi râ ë sau, trong ®ã H = (H1, H2, ..., Hn) T >0 8/34 lµ hµm liªn tôc Lipschitz vµ . Bµi to¸n biªn (8)-(9)-(10) lµ ®Æt kh«ng chØnh nÕu ta ®ßi hái ®iÒu kiÖn biªn (10) tháa m·n theo nghÜa m¹nh. V× lÝ do nµy, ta ph¶i t×m c¸ch söa ®æi ®iÒu kiÖn biªn mét c¸ch thÝch hîp ®Ó bµi to¸n trë nªn ®Æt chØnh. Trong [B-L-N], c¸c t¸c gi¶ ®ã ®· hiÖu chØnh ®iÒu kiÖn biªn (10) thµnh sign(γu(x, t)−k )(H (γu(x, t))−H (k )).n(x) ≥ 0, ∀k ∈ I (r(x, t), γu(x, t)), (11) (x, t) ∈ ∂ Ω × (0, T ) I (α, β ) víi hÇu hÕt , trong ®ã kÝ hiÖu cho ®o¹n L1 α β γu u cã hai ®Çu mót lµ vµ , kÝ hiÖu cho -vÕt cña . u(x, t) ∈ L∞(Ω × (0, ∞)) lµ nghiÖm §Þnh nghÜa 3. Ta nãi mét hµm entropy cña bµi to¸n (8)-(9)-(10) nÕu u tháa m·n bÊt ®¼ng thøc (en-
tropy) T [|u − k |ϕt + sign(u − k )(H (u) − H (k )). x ϕ]dxdt− L ϕ (u ) = Ω 0 T 9/34 − [sign(r − k )(H (γu) − H (k ))ϕ].n(x)dxdt+ ∂Ω 0 |u0(x) − k |ϕ(x, 0)dx ≥ 0, + Ω (12) ∞ ϕ(x, t) ∈ C0 (Ω × [0, T )), ϕ ≥ 0 vµ mäi k ∈ R. víi mäi hµm thö
NghiÖm nhít cho PT Hamilton-Jacobi 10/34 u §Þnh nghÜa 4. Mét hµm bÞ chÆn vµ liªn tôc ®Òu ®îc gäi lµ mét nghiÖm nhít cña bµi to¸n Cauchy x ∈ R, t > 0; u t + H (u x ) = 0 u(x, 0) = u0(x) x ∈ R. nÕu: u = g trªn R × {t = 0}, (i) ∞ (ii) u lµ nghiÖm nhít díi, tøc lµ víi mäi ϕ ∈ C R × (0, ∞) , nÕu u − ϕ cã mét cùc ®¹i ®Þa ph¬ng t¹i ®iÓm (x0 , t0 ) ∈ R × (0, ∞) th× ϕt(x0, t0) + H (ϕx(x0, t0)) ≤ 0, vµ ϕ ∈ C ∞ R × (0, ∞) u (iii) lµ nghiÖm nhít trªn, tøc lµ víi mäi ,
u − ϕ cã mét cùc tiÓu ®Þa ph¬ng t¹i ®iÓm (x0, t0) ∈ Rn × (0, ∞) nÕu th× ϕt(x0, t0) + H (ϕx(x0, t0)) ≥ 0. 11/34
Hµm víi biÕn ph©n toµn phÇn bÞ chÆn 12/34 Mét trong nh÷ng tÝnh chÊt ®¸ng chó ý nhÊt cña c¸c hµm cã biÕn ph©n toµn phÇn bÞ chÆn lµ kÕt qu¶ sau {un(x)}n §Þnh lý 1. (Nguyªn lý lùa chän Helly) Gi¶ sö lµ mét d·y c¸c hµm cã biÕn ph©n toµn phÇn bÞ chÆn trªn kho¶ng h÷u h¹n hoÆc (a, b). Khi ®ã nÕu tån t¹i mét h»ng sè C > 0 kh«ng phô thuéc v« h¹n n sao cho vµo ||un||L∞ ≤ C T V (u n ) ≤ C vµ {unk (x)} cña d·y {un(x)}n th× tån t¹i mét d·y con sao cho unk (x) → u(x) khi k → ∞, ∀x ∈ (a, b). u cã biÕn ph©n toµn phÇn bÞ chÆn trªn kho¶ng (a, b) vµ H¬n n÷a hµm ta cã tÝnh chÊt nöa liªn tôc díi T V (u) ≤ lim inf T V (un). n→∞
{un(x, t)}n §Þnh lý 2. [H-R, Theorem A.8] Gi¶ sö lµ mét d·y c¸c (a, b) × [0, ∞). Khi hµm x¸c ®Þnh trªn ®ã nÕu tån t¹i mét h»ng sè C > 0 kh«ng phô thuéc vµo n sao cho ||un(., t)||L∞ ≤ C ; T V (un(., t)) ≤ C, ∀t ∈ [0, ∞) 13/34 vµ ||un(., t) − un(., s)||L1 ≤ C |t − s|, ∀t, s ∈ [0, ∞) {unk (x, t)} cña d·y {un(x, t)}n th× tån t¹i mét d·y con sao cho unk (x, t) → u(x, t) khi k → ∞, ∀(x, t) ∈ (a, b) × [0, ∞); unk (., t) → u(., t) trong L1 (a, b) khi k → ∞, ∀t ∈ [0, ∞). loc u x H¬n n÷a hµm cã biÕn ph©n toµn phÇn bÞ chÆn theo biÕn trªn (a, b) vµ ta cã kho¶ng ||u(., t)||L∞ ≤ C ; T V (u(., t)) ≤ C, ∀t ∈ [0, ∞) vµ ||u(., t) − u(., s)||L1 ≤ C |t − s|, ∀t, s ∈ [0, ∞).
Ph¬ng ph¸p front-tracking cho bµi to¸n Cauchy ®èi víi ®Þnh luËt b¶o toµn v« híng trong 14/34 kh«ng gian mét chiÒu Ta b¾t ®Çu b»ng viÖc ®a ra mét thñ tôc gi¶i chÝnh x¸c bµi to¸n Cauchy ut + H (u)x = 0 (x, t) ∈ R × (0, T ] (13) u(x, 0) = u0(x) x ∈ R, (14) H u0 ë ®ã lµ hµm liªn tôc vµ tuyÕn tÝnh tõng khóc, lµ hµm h»ng H ®iÓm g·y tõng khóc (nhËn h÷u h¹n gi¸ trÞ). Ta gäi mét cña lµ H ®iÓm mµ t¹i ®ã hµm lµ kh«ng liªn tôc.
§Ó gi¶i bµi to¸n (2.1)-(2.2) trong trêng hîp nµy, tríc hÕt ta u0 gi¶ bµi to¸n Riemann t¬ng øng, víi ®îc cho bëi ul x < 0, víi u 0 (x ) = (15) 15/34 x ≥ 0. ur víi H∗ H ul ur B©y giê gäi lµ bao låi díi cña gi÷a vµ : H∗(u; ul , ur ) := sup g (u)| g (u) g (u) ≤ H (u), ∀u ul ur . låi vµ gi÷a vµ g T¬ng tù, gäi H ∗(u; ul , ur ) := inf g (u)| g (u) g (u) ≥ H (u), ∀u ul ur . lâm vµ gi÷a vµ g H ul ur lµ bao lâm trªn cña gi÷a vµ . §Æt H∗(u; ul , ur ) ul < u r , if H (u; ul , ur ) = H ∗(u; ul , ur ) ul > u r . if
H H Do lµ hµm liªn tôc tuyÕn tÝnh tõng ®o¹n nªn hµm còng u1 = ul , uN = ur liªn tôc vµ tuyÕn tÝnh tõng ®o¹n. §Æt vµ gi¶ N −2 H ul ur u2, ..., uN −1 sö cã ®iÓm g·y n»m gi÷a vµ lµ sao ui < ui+1 ul < u r ui > ui+1 ul > ur cho nÕu vµ nÕu . B©y giê ®Æt 16/34 σ0 = −∞, σN = +∞ vµ ∼ ∼ H (ui+1) − H (ui) H (ui+1) − H (ui) i = 1, ..., N − 1. σi = = víi ui+1 − ui ui+1 − ui (16) i = 1, .., N Ωi Víi mçi ta ®Þnh nghÜa nh sau: Ωi = (x, t) | 0 ≤ t ≤ T, tσi−1 < x ≤ tσi . vµ Khi ®ã ta cã, xem H×nh 1. MÖnh ®Ò 1. [K-R, Proposition 2.1] NÕu ta ®Æt (x, t) ∈ Ωi, u(x, t) = ui for (17) u lµ nghiÖm entropy cña bµi to¸n Riemann (2.1)-(2.3). th×
17/34 u. H×nh 1: C¸c front trong nghiÖm B©y giê chóng ta x©y dùng nghiÖm chÝnh x¸c cña bµi to¸n Cauchy (14)-(15) ut + H (u)x = 0, (x, t) ∈ R × (0, T ]; u(x, 0) = u0(x), x ∈ R, víi hµm gi¸ trÞ ban ®Çu tæng qu¸t h¬n mét chót, ®ã lµ c¸c hµm u0 h»ng tõng khóc. V× hµm gi¸ trÞ ban ®Çu lµ h»ng trªn tõng ®o¹n nªn nã x¸c ®Þnh mét d·y c¸c bµi to¸n Riemann.
18/34 u(x, t) H×nh 2: Mét nghiÖm front-tracking; lµ h»ng tõng m¶nh trªn mét sè h÷u h¹n miÒn cña mÆt ph¼ng (x, t). u0 chØ nhËn Bæ ®Ò 1. [H-R, Lemma 2.6] Víi mçi hµm h»ng tõng khóc khóc H , chØ cã h÷u h¹n gi¸ trÞ vµ mäi hµm liªn tôc tuyÕn tÝnh tõng h÷u h¹n va ch¹m gi÷a c¸c front cña nghiÖm entropy cña bµi to¸n t > 0. (14)-(15) víi u(x, t) lµ nghiÖm front-tracking Bæ ®Ò 2. [H-R, Theorem 2.14] Gi¶ sö ||H ||Lip cña bµi to¸n (14)-(15) vµ gäi lµ h»ng sè Lipschitz cña hµm H . Khi ®ã
||u(., t)||∞ ≤ ||u0||∞, víi mäi t > 0; (i) (ii) T V (u(., t)) ≤ T V (u0 ), víi mäi t > 0; (iii) ||u(., t) − u(., s)||1 ≤ ||H ||Lip T V (u0 )|t − s|, víi mäi s, t > 0. 19/34 Nh vËy ph¬ng ph¸p front-tracking cho ta nghiÖm entropy H cña tÊt c¶ c¸c bµi to¸n Cauchy mµ ë ®ã lµ hµm tuyÕn tÝnh u0 liªn tôc tõng khóc cßn lµ hµm h»ng trªn tõng ®o¹n vµ cã h÷u h¹n ®iÓm gi¸n ®o¹n. B©y giê ta trë l¹i xÐt bµi to¸n Cauchy tæng qu¸t ut + H (u)x = 0 (x, t) ∈ R × (0, ∞) (18) u(x, 0) = u0(x) x ∈ R, (19) H [m, M ] trong ®ã hµm lµ liªn tôc Lipschitz trªn ®o¹n víi h»ng L1(R) ∩ BV (R) L u0 sè Lipschitz vµ lµ thuéc vµo , nhËn gi¸ trÞ [m, M ] u0 trong ®o¹n . §Ó gi¶i bµi to¸n nµy ta sÏ xÊp xØ hµm bëi mét d·y c¸c hµm h»ng tõng khóc víi h÷u h¹n bíc nh¶y, xÊp H xØ hµm bëi mét d·y c¸c hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc tõng khóc víi h÷u h¹n ®iÓm g·y. Sau ®ã gi¶i chÝnh x¸c c¸c bµi to¸n xÊp xØ
nµy b»ng ph¬ng ph¸p front-tracking vµ lÊy giíi h¹n d·y nghiÖm u nµy trong kh«ng gian thÝch hîp ta sÏ thu ®îc hµm giíi h¹n nghiÖm cña bµi to¸n tæng qu¸t (19)-(20). u(x, t) §Þnh lý 3. Hµm thu ®îc ë trªn lµ nghiÖm entropy cña bµi 20/34 to¸n (19)-(20). Ngoµi ra ta cßn cã c¸c ®¸ng gi¸ ||u(., t)||∞ ≤ ||u0||∞, víi mäi t > 0; (i) (ii) T V (u(., t)) ≤ T V (u0 ), víi mäi t > 0; (iii) ||u(., t) − u(., s)||1 ≤ ||H ||Lip T V (u0 )|t − s|, víi mäi s, t > 0. Ph¸p front-tracking cho ta mét ph¬ng ph¸p míi dïng ®Ó chøng minh sù tån t¹i nghiÖm entropy duy nhÊt cña bµi to¸n Cauchy (vµ c¶ bµi to¸n biªn Dirichlet) ®èi víi ®Þnh luËt b¶o toµn v« híng. Do ®ã còng chøng minh ®îc sù tån t¹i nghiÖm nhít duy nhÊt cña bµi to¸n Cauchy ®èi víi ph¬ng tr×nh Hamilton- Jacobi.