Phương pháp phase field với phân rã trực giao ten xơ biến dạng mô phỏng hư hỏng kết cấu chứa vật liệu đẳng hướng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này giới thiệu sự phân rã trực giao ten-xơ biến dạng mà được chứng minh thỏa mãn cho vật liệu đẳng hướng. Điều kiện này được đưa vào phương pháp phase field để dự đoán hư hỏng của các kết cấu chứa vật liệu đẳng hướng đại diện cho các trạng thái chịu tải thường gặp như: Uốn dầm ba điểm, kéo và cắt tấm với các dạng hư hỏng mở rộng vết nứt (dạng I) hoặc nứt do cắt, trượt (dạng II) của cơ học phá hủy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp phase field với phân rã trực giao ten xơ biến dạng mô phỏng hư hỏng kết cấu chứa vật liệu đẳng hướng

Hội thảo Khoa học Quốc tế Phát triển Xây dựng bền vững trong điều kiện Biến đổi khí hậu khu vực đồng bằng Sông Cửu Long SCD2021 PHƯƠNG PHÁP PHASE FIELD VỚI PHÂN RÃ TRỰC GIAO TEN-XƠ BIẾN DẠNG MÔ PHỎNG HƯ HỎNG KẾT CẤU CHỨA VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG MODELING OF DAMAGE IN STRUCTURES CONTAINING ISOTROPIC MATERIAL BY PHASE FIELD METHOD WITH STRAIN ORTHOGONAL DECOMPOSITIONS Vũ Bá Thành, Ngô Văn Thức ABSTRACT: The phase field method is a robust simulation tool to simulate crack propagation in structures. Most of the previous studies often paid little attention or ignored the strain orthogonal decompositions conditions, leading to inaccurate assessment of material behavior. Therefore, this paper introduces the strain orthogonal decompostions which have been demonstrated to be satisfactory for isotropic material. This orthogonal condition is added to the phase field method to predict the damage of the structures containing isotropic material representing the commonly encountered loading states such as: three-point beam bending test, tension and shear test of a plate with cracks opening mode (mode I) or in-plane shear mode (mode II) of fracture mechanics. KEYWORDS: phase field method, strain orthogonal decompositions, crack, isotropic material. TÓM TẮT: Phương pháp phase field là một công cụ mạnh để mô phỏng lan truyền vết nứt trong kết cấu. Hầu hết các nghiên cứu trước đây thường ít quan tâm hoặc bỏ qua điều kiện phân rã trực giao các thành phần ten-xơ biến dạng, dẫn tới việc đánh giá thiếu chính xác ứng xử vật liệu. Do đó, bài báo này giới thiệu sự phân rã trực giao ten-xơ biến dạng mà được chứng minh thỏa mãn cho vật liệu đẳng hướng. Điều kiện này được đưa vào phương pháp phase field để dự đoán hư hỏng của các kết cấu chứa vật liệu đẳng hướng đại diện cho các trạng thái chịu tải thường gặp như: uốn dầm ba điểm, kéo và cắt tấm với các dạng hư hỏng mở rộng vết nứt (dạng I) hoặc nứt do cắt, trượt (dạng II) của cơ học phá hủy. TỪ KHÓA: phương pháp phase field, phân rã trực giao ten-xơ biến dạng, vết nứt, vật liệu đẳng hướng. Vũ Bá Thành Department of Bridge and Tunnel Engineering, Faculty of Civil Engineering, University of Transport and Communications, No 3 Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam Email: thanhvb@utc.edu.vn Tel: 0976936750 Ngô Văn Thức Department of Science and International Affairs, Mien Tay Construction University, 20B, Pho Co Dieu Street, Ward 3, Vinh Long City, Vinh Long Province. Email: ngovanthuc@mtu.edu.vn Tel: 0939423461 67
SCD2021 International Conference on sustainable construction development in the context of climate change in the Mekong Delta 1. ĐẶT VẤN ĐỀ cầu và ten-xơ biến dạng lệch. Phép phân rã này được [9, 12] chứng minh là thỏa mãn điều kiện Hiện tượng nứt là một trong những vấn đề trực giao các thành phần ten-xơ biến dạng tương thường gặp nhất trong kết cấu xây dựng. Do đó, ứng với vật liệu đẳng hướng. Do đó, bài báo này việc tìm hiểu, xác định nguyên nhân và đưa ra sử dụng phương pháp phase field kết hợp điều được biện pháp khắc phục hiện tượng này là một kiện phân rã trực giao này của [9] để mô phỏng vấn đề cấp thiết hiện nay. Chủ đề này đã được sự phát triển vết nứt trong một vài kết cấu điển nghiên cứu rộng rãi kể từ các công trình của hình bằng vật liệu đẳng hướng. Các kết quả đạt Griffith [5] và Irwin [6] xuất hiện, nó được coi được của phương pháp đề xuất được so sánh với là nền móng của cơ học phá hủy với việc đưa ra kết quả của các phương pháp tham chiếu khác lý thuyết về cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính như thực nghiệm và mô phỏng để chứng minh (LEFM) và hệ số cường độ ứng suất (SIF). Đã tính đúng đắn của phương pháp đưa ra. có hai cách tiếp cận để mô phỏng hình thái vết nứt của kết cấu: (i) tiếp cận mô phỏng vết nứt 2. PHƯƠNG PHÁP PHASE FIELD VỚI PHÉP không liên tục với trường chuyển vị được phép PHÂN RÃ TRỰC GIAO TEN-XƠ BIẾN DẠNG không liên tục tại các nút trên bề mặt vết nứt và 2.1. Các phương trình năng lượng (ii) tiếp cận mô phỏng vết nứt liên tục với trường chuyển vị là liên tục tại mọi vị trí trong kết cấu. Cho một miền  là một vật thể bị nứt, trong đó Các lý thuyết đại diện cho tiếp cận (i) là LEFM là biên ngoài của . Trạng thái của vết nứt được được trình bày trong [5, 6] và mô hình vùng dính mô tả bằng một biến phase field d(x), x . kết (CZM) được nêu trong [1, 4, 7], nhưng cách Trong phương pháp phase field, theo [10], năng tiếp cận này vị trí vết nứt cần phải được kiểm lượng toàn phần  trong một vật thể  khi chịu soát nghiêm ngặt nhất là các vết nứt giao nhau tác động của lực được mô tả: hoặc một hệ thống các vết nứt hình thành trong   E(u, d)  W ext   Wu (, d)d  kết cấu. Các khó khăn của tiếp cận (i) là động  (1) lực cho các phương pháp khác phát triển, đó là   g c  (d, d)d   f .ud   F.ud cách tiếp cận (ii) mà trong đó có phương pháp    F phase field. Đây là một phương pháp kết hợp với phần tử hữu hạn, trong đó trường chuyển vị là Trong đó E(u,d)   Wu ( ,d)d   g c  (d, d)d liên tục kể cả vị trí vết nứt và trạng thái hư hỏng   được mô tả bằng một hàm suy biến của biến là hàm năng lượng biến dạng trong vật thể bị phase field. Gần đây, các nghiên cứu liên quan tới nứt, W ext   f . u d   F .ud là công của lực F.u phương pháp phase field để mô phỏng hư hỏng  F trong kết cấu chứa vật liệu giòn/ tựa giòn [2, 3, tác động vào vật thể, f và F là lực khối trong vật 11, 14, 15] với ten-xơ biến dạng được chia thành thể và ngoại lực trên biên ∂F, là vị trí vết nứt phần âm và phần dương đại diện cho phần nén trong miền vật thể , gc là năng lượng kháng nứt, và phần kéo của kết cấu khi chịu tác động của tải d2 l trọng. Các nghiên cứu trên có nhược điểm được  (d, d)   d.d là hàm mật độ vết nứt, [12] nhận định là phần âm và phần dương của 2l 2 ten-xơ biến dạng không thỏa mãn điều kiện trực u là biến chuyển vị, l là tham số chiều dài và giao ngay cả khi ten-xơ độ cứng đàn hồi là đẳng s    u   u ij i, j   u j,i / 2 là ten-xơ biến dạng. hướng, điều này có thể dẫn tới việc xuất hiện các điểm kỳ dị khi kết cấu bắt đầu hư hỏng. Một Áp dụng điều kiện dừng của hàm năng lượng nghiên cứu của [9] đã đưa ra phép phân rã toàn phần (1), ta nhận được phương trình biến ten-xơ biến dạng thành phần ten-xơ biến dạng phân ∂ theo hai biến d và  được viết như sau: 68
Hội thảo Khoa học Quốc tế Phát triển Xây dựng bền vững trong điều kiện Biến đổi khí hậu khu vực đồng bằng Sông Cửu Long SCD2021  d   W  :   u    u d.d   g c d.d  Trong đó         / 2 ,  và  là hệ số d  d d   (2) Lamé, mô đun      trong mô hình 2D và W 1   u :   u d   f . ud   Fud  0 Tr   R  (Tr ) với R   sign  Tr  1    F 2 (xem [14]). Công thức (2) phải thỏa mãn với các giá trị tùy Theo [14], ta đặt hàm lịch sử biến dạng theo ý của ∂u và ∂d, tức là số hạng thứ nhất và thứ hai thời gian  như sau: của ∂ được xác định lần lượt như sau: x (9) Wu   d d.d   d d.d  0 g c (3) 2.2. Bài toán phase field   Áp dụng nguyên lý tiêu hao năng lượng của [8] W  u :   u d   f . ud   Fud  0 (4) kết hợp với (3), (6), (7) và (9), ta có hệ phương F trình trên miền  với biên ngoài ∂ và vec-tơ pháp tuyến n để xác định giá trị của biến d(x), Điều kiện phân rã trực giao ten-xơ biến dạng x như sau: được mô tả chi tiết trong [12] theo phương pháp phân tích lý thuyết với các trường hợp cụ thể tại của các dạng vật liệu. Theo [9], với vật liệu đẳng hướng để thỏa mãn điều kiện phân rã này, ten-xơ x tại (10) biến dạng  này được phân rã thành hai thành phần như sau: x n tại 1 1   S   D , S  Tr( 1,  D    Tr( 1 (5)  (d, d) d 2 2 Trong đó, d  (d, d)    ld d l Trong đó, S là ten-xơ biến dạng cầu, D là của (3) là đạo hàm của  (d, d) theo biến d, d ten-xơ biến dạng lệch và 1 = 1;1;0 . T là toán tử Laplace của biến d. Hàm mật độ năng lượng đàn hồi Wu được chia Công thức (101) có thể phân tích được như sau: thành hai phần như dưới đây: Wu (u, d)    (){g(d)  k}    () (6) Trong đó, hàm suy biến g(d) = (1-d)2 được sử (11) dụng để mô phỏng sự thay đổi độ cứng của vật thể bị nứt, k là số thực vô cùng nhỏ để đảm bảo không xuất hiện điểm kỳ dị trong quá trình hư 2.3. Bài toán chuyển vị hỏng kết cấu. Tương tự, với nguyên lý tiêu hao năng lượng Từ các công thức (5) và (6) kết hợp với [9, 12], của [8] với các điều kiện biên để xác định giá trị hai thành phần năng lượng đàn hồi đại diện cho của biến u(x), x như sau: phần kéo và phần nén của kết cấu chịu tải được xác định:  u f   ()   Tr()     D :  D 2 (7) 2 u x u tại (12)    ()   Tr()   2 (8)  n F tại 2 69
V H SCD2021 International Conference on sustainable construction development in the context of climate change in the Mekong Delta Wu 3. CÁC KẾT QUẢ MÔ PHỎNG Với ứng suất Cauchy   , từ công thức  (4) ta có dạng yếu của bài toán chuyển vị được 3.1. Kéo một tấm có vết nứt mồi viết lại như dưới đây: Mô phỏng hư hỏng của Hmột tấm chịu kéo   :   u  d   f . udV      F Fud (13) bằng phương pháp phase field sử dụng phép phân tích trực giao được viết trên phần mềm Từ (6) và (13), ứng suất  được phân tích: Matlab 2014b. Tấm có kích thước 1x1 mm chứa vết nứt mồi dài 0.5 mm được chia thành   ()   ()   g(d)  k  22136 phần tử tam giác bằng phân phần mềm   GMSH 4.8.4 với hai loại lưới có kích thước hmin  g(d)  k      (14) = 0.001 mm và h = 0.02 mm.  g(d)  k C   C   :  Kích thước và điều kiện biên của tấm như Từ (7) và (8) và (14), ta có các thành phầnVứng trong Hình 1. Tại góc dưới bên trái được cố định suất  như dưới đây:   ()     Tr()  1+ 2 D (15)    ()     Tr()  1 (16)  Từ biểu thức (14), (15), (16) và (5), ta có:    1  C   R  1T1  2  I - 1T1 (17)   2  Hình 1. Kích thước tấm và điều kiện biên   C   R 1T1 (18)  Thay (17), (18) và (14) vào (13), ta có phương trình dưới đây:   1 T   g(d)  k  R 1 1  2 I - 2 1 1 :  u     u  d T  (19)   R 1 1:  u     u  d   f .ud   Fud T   F a) b) Hình 2. (a) Vết nứt theo mô phỏng hiện tại; Thuật toán (b) vết nứt trong tham chiếu [2] Cho giá trị ban đầu của chuyển vị u0, biến phase field d0 hàm lịch sử biến dạng FOR j=1,2…,n Bài toán chuyển vị Tính giá trị uj theo công thức (19) Bài toán phase field Tính hàm lịch sử biến dạng từ uj theo công thức (9) Tính giá trị dj theo công thức (11) END Hình 3. So sánh đường cong tải trọng- chuyển vị 70
Hội thảo Khoa học Quốc tế Phát triển Xây dựng bền vững trong điều kiện Biến đổi khí hậu khu vực đồng bằng Sông Cửu Long SCD2021 chuyển vị theo hai phương, các điểm khác của Mục tiêu của ví dụ này để mô phỏng hư hỏng cạnh dưới chuyển dịch tự do theo phương ngang. kết cấu đại diện cho hư hỏng dạng II. Tấm được Tại cạnh trên, tấm được gia tải đều theo phương chia thành 31236 phần tử tam giác với hai loại đứng với bước chuyển vị là u = 10-5 mm tới khi kích thước hmin = 0.001 mm và h = 0.02 mm. Các kết cấu bị nứt hoàn toàn. tham số vật liệu được lấy giống như ví dụ 3.1 Tham số vật liệu được lấy theo [2] với λ và [2]. Tham số chiều dài được sử dụng là l = 121.15 GPa và μ = 80.77 GPa, gc = 0.0027 kN/ = 0.015 mm như tham chiếu. [2] mm. Trong các ví dụ của bài báo này tham số chiều dài thỏa mãn l 2hmin như yêu cầu trong [15]. Ví dụ này, ta lấy l = 0.015 mm như trong [2]. Hình 2a và Hình 2b là sự phát triển vết nứt theo hai phương pháp. Đây cũng là dạng vết nứt đại diện cho hư hỏng do mở rộng vết nứt thuần túy (dạng I). Hình 3 thể hiện so sánh hai đường cong ứng xử vật liệu theo mô phỏng hiện tại và a) b) tham chiếu [2]. Trong đó [2] sử dụng phương Hình 5. (a) Vết nứt theo mô phỏng hiện tại; pháp phase field không xét tới phép phân rã trực (b) vết nứt trong tham chiếu [2] giao ten-xơ biến dạng. Đối với hư hỏng dạng I của cơ học phá hủy trong ví dụ này, ta thấy kết quả Hình 5a và Hình 5b thể hiện đường nứt theo giữa phương pháp hiện tại và [2] là tương đồng hai phương pháp, trong khi Hình 6 so sánh hai cả về đường nứt và đường cong ứng xử. Điều này đường cong ứng xử tải trọng - chuyển vị theo có thể giải thích như sau, trong mô hình hiện tại phương pháp mô phỏng hiện tại và tham chiếu [2]. toàn bộ phần ten-xơ biến dạng lệch chỉ gây ra vết nứt do cắt, trượt (dạng II), nó không ảnh hưởng Từ các kết quả này, ta thấy rằng ở giai đoạn đàn tới vết nứt dạng I này. hồi thì ứng xử vật liệu của hai mô hình là tương tự. Nhưng khi hình thành vết nứt có sự khác nhau 3.2. Cắt một tấm có vết nứt mồi giữa hai mô hình: (i) giá trị tải trọng trong đường Ví dụ tiếp theo thể hiện một tấm có kích thước cong ứng xử tại điểm bắt đầu nứt của mô hình 1x1 mm chứa vết nứt mồi dài 0.5 mm chịu cắt hiện tại nhỏ hơn so với [2] (xem Hình 6), và (ii) như được thể hiện trên Hình 4. Với các điểm ở đường nứt khi kết cấu gần phá hủy hoàn toàn của cạnh dưới của tấm được giữ cố định chuyển vị mô hình hiện tại lệch về góc dưới bên phải của theo hai phương, trong khi các điểm ở cạnh trên tấm nhiều hơn so với mô hình [2] (xem Hình 5). của tấm được gia tải đều theo phương ngang ở biên trên với chuyển vị u = 10-5 mm. Hình 4. Kích thước tấm và điều kiện biên Hình 6. So sánh đường cong tải trọng- chuyển vị 71
SCD2021 International Conference on sustainable construction development in the context of climate change in the Mekong Delta Điều này có thể giải thích là trong mô hình hiện ở khu vực hư hỏng của kết cấu theo phương pháp tại toàn bộ ten-xơ biến dạng lệch gây ra hư hỏng hiện tại và tham chiếu [2] và [13] tương ứng. Ta dạng II (xem công thức (7)), còn mô hình [2] thì thấy rằng cả ba mô hình, vết nứt đều hình thành ten-xơ biến dạng lệch này được chia cho cả hai tại vết nứt mồi và lan truyền tới lỗ thứ 2 của dầm thành phần năng lượng đàn hồi đại diện cho phần trong sự kết hợp giữa hư hỏng dạng I và và dạng kéo và phần nén. II bởi dầm có cấu tạo không đối xứng và vết nứt mồi nằm lệch sang bên trái. Do trong mô hình 3.3. Uốn ba điểm một dầm không đối xứng của [2] và [13] không thu được đường cong ứng Một dầm chứa 3 lỗ tròn với đường kính 0.5 mm xử tải trọng- chuyển vị nên Hình 9 chỉ thể hiện và một vết nứt mồi dài 1 mm nằm phía bên trái được đường cong ứng xử của phương pháp đề của dầm. Dầm có kích thước LH = 208 mm với xuất. Do đó, chúng tôi không phân tích sau hơn khoảng cách hai gối là 18 mm. Với gối bên trái về ưu nhược điểm của các mô hình này. Nhưng cố định chuyển vị theo hai phương, gối bên phải ta thấy rằng mô hình hiện tại không tạo ra điểm di động theo phương ngang, điều kiện tải trọng kỳ dị khi vết nứt lan truyền và được kiểm chứng được thể hiện như Hình 7. Dầm được gia tải với bằng thực nghiệm của [13]; đường cong ứng xử bị bước chuyển vị không đổi u = -210-5 mm tại giảm thẳng đứng khi kết cấu bắt đầu nứt, điều này điểm giữa cạnh trên của dầm. Hai kích thước lưới hoàn toàn tự nhiên đối với dầm chịu uốn. tam giác được sử dụng là hmin = 0.005 mm tại khu Từ các kết quả đạt được, ta thấy rằng phương vực vết nứt dự định đi qua và h = 0.1 mm tại khu pháp đề xuất là công cụ tin cậy để mô phỏng hư vực khác với 52314 phần tử. Mục tiêu của ví dụ hỏng trong dầm chịu uốn ba điểm không đối là mô phỏng vết nứt với sự kết hợp giữa hư hỏng xứng với đường phát triển vết nứt phức tạp. dạng I và hư hỏng dạng II của cơ học phá hủy. Các tham số của vật liệu được lấy như [2] với λ = 12 GPa và μ = 8 GPa, gc = 0.001 kN/mm. Tham số chiều dài l = 0.025 mm như trong [2]. Kết quả đạt được bằng phương pháp đề xuất được so sánh với phương pháp mô phỏng [2] và phương pháp thực nghiệm của Bittencourt và cộng sự. [13] Hình 7. Kích thước và điều kiện biên của dầm Hình 8. (a) Đường nứt của mô phỏng hiện tại; Đường nứt theo phương pháp đề xuất và tham (b) đường nứt của [2]; (c) hình dạng vết nứt của mô chiếu [2] được thể hiện trong Hình 8a và Hình 8b. phỏng hiện tại; (d) hình dạng vết nứt của [2]; Hình 8c đến Hình 8e thể hiện hình dạng vết nứt (e) hình dạng vết nứt của [13] 72
Hội thảo Khoa học Quốc tế Phát triển Xây dựng bền vững trong điều kiện Biến đổi khí hậu khu vực đồng bằng Sông Cửu Long SCD2021 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A. Needleman, A continuum model for void nucleation by inclusion debonding, J. Appl. Mech, 54 (1987) 525–531. [2] C. Miehe, M. Hofacker, F. Welschinger, A phase field model for rate-independent crack propagation: robust algorithmic implementation based on operator splits, Comput. Methods Appl. Mech. Eng, 199(2010) 2765-2778. [3] C. Miehe, F. Welschinger, M. Hofacker, Thermodynamically consistent phase-field models of fracture:Variational principles and multi-field Hình 9. Đường cong tải trọng - chuyển vị FE implementations, Int. J. Numer. Methods Eng, 83 (2010) 1273–1311. 4. KẾT LUẬN [4] D.S. Dugdale, Yielding of steel sheets containing slits, J. Mech. Phys. Solids, 8 (1960) 100–104. Bài báo này đã mô tả chi tiết phương pháp [5] G.A. Griffith, The phenomena of rupture and phase field với việc sử dụng phép phân rã trực flow in solid, Philosophical Transaction of the Royal giao ten-xơ biến dạng để mô phỏng sự phát triển Society London Series A. 221 (1921) 163-198. của đường nứt trong các kết cấu bằng vật liệu [6] G.R. Irwin, Analysis of stress and strains near đẳng hướng chịu các tác động điển hình của tải the end of a crack traversing a plate, J. Appl. Mech, trọng như uốn dầm, kéo và cắt tấm đại diện cho 24(1957) 361-364. hư hỏng dạng I và hư hỏng dạng II của cơ học [7] G.I. Barenblatt, The formation of equilibrium phá hủy. Các kết quả đạt được theo phương pháp cracks during brittle fracture. General ideas and hiện tại được so sánh với các phương pháp tham hypotheses. Axially-symmetric cracks, J. Appl. Math. chiếu như mô phỏng hoặc thực nghiệm đều cho Mech, 23 (1959) 622–636. thấy sự tương đồng giữa các kết quả. Ưu điểm của [8] G.A. Francfort, J.J. Marigo, Revisiting brittle phương pháp hiện tại là thỏa mãn điều kiện trực fracture as an energy minimization problem, J. Mech. giao ten-xơ biến dạng, dễ áp dụng vào mô hình số Phys. Solids, 46(1998), 1319-1342. và không làm phát sinh các điểm kỳ dị trong quá [9]. H. Amor, J.J. Marigo, C. Maurini, Regularized trình hình thành vết nứt. formulation of the variational brittle fracture Từ các kết quả khả quan này khi mô phỏng with unilateral contact: Numerical experiments, J. vật liệu đẳng hướng, nghiên cứu tiếp theo sẽ phân Mech. Phys. Solids, 57 (2009) 1209–1229. tích dạng tổng quát của phân rã trực giao ten-xơ [10] J. M. Sargado, E.Keilegavlen, I. Berre, J.M. biến dạng cho các loại vật liệu giòn/ tựa giòn còn Nordbottenn, High-accuracy phase-field models for lại như vật liệu trực hướng hoặc dị hướng, vật liệu brittle fracture based on a new family of degradation nhiều pha với ảnh hưởng của mặt phân giới như functions, J. Mech. Phys. Solids, 111 (2018) 458-489. bê tông và áp dụng phép phân rã này vào phương [11] J.Y. Wu, M. Cervera, A novel positive/negative pháp phase field để mô phỏng hư hỏng của chúng. projection in energy norm for the damage modeling Lời cảm ơn: Tác giả Ngô Văn Thức được tài of quasi-brittle solids, Int. J. Solids Struct, 139 (2018) trợ bởi Nhà tài trợ thuộc Tập đoàn Vingroup và 250–269. hỗ trợ bởi chương trình học bổng đào tạo thạc sĩ, [12] Q.C. He, Q. Shao, Closed-form coordinate-free tiến sĩ trong nước của Quỹ Đổi mới sáng tạo decompositions of the two-dimensional strain and Vingroup (VINIF), Viện Nghiên cứu Dữ liệu lớn stress for modeling tension–compression dissymmetry, J. Appl. Mech, 86 (2019) 031007. (VinBigdata), mã số VINIF.2020.TS.86. 73
SCD2021 International Conference on sustainable construction development in the context of climate change in the Mekong Delta [13] T.N. Bittencourt, P.A. Wawrzynek, A.R. Ingraffea, [15] Vũ Bá Thành, Ngô Văn Thức, Bùi Tiến Thành, J.L. Sousa, Quasi-automatic simulation of crack Trần Thế Truyền, Đỗ Anh Tú, Mô phỏng sự hình thành propagation for 2D LEFM problems, Eng. Fract. và lan truyền vết nứt trong dầm bê tông cường độ Mech, 55 (1996) 321–334. cao có chất kết dính bổ sung nano-silica bằng phương [14] T.T. Nguyen, J. Yvonnet, Q.Z. Zhu, M. Bornert, pháp phase field, Tạp chí khoa học Giao thông vận tải, C. Chateau, A phase field method to simulate crack 72 (2021) 672-686. nucleation and propagation in strongly heterogeneous materials from direct imaging of their microstructure, Eng. Fract. Mech, 139 (2015) 18-39. 74