GV: Nguyeãn Thaønh Luaân, tröôøng THPT Vaïn Töôøng, Bình Sôn, Quaûng Ngaõi.
PH NG PHÁP T A Đ TRONG KHÔNG GIANƯƠ Ọ Ộ
(Dùng cho ôn thi Đ i h c năm 2011)ạ ọ
A. BÀI T P LUY N T PẬ Ệ Ậ
1. Cho hai mp (P1): x + y + 2z = 0, (P2): x – y + z + 1 = 0, đi m A(1, 1, 1) và đ/th ngể ẳ
:2 2
2 5 1
x y z+ −
∆ = =
−
.
a) Ch ng minh r ng (Pứ ằ 1) c t (Pắ2), vi t ph ng trình đ ng th ng d là giao tuy n c a (Pế ươ ườ ẳ ế ủ 1) v i (Pớ2).
b) L p ph ng trình hình chi u vuông góc c a ậ ươ ế ủ
∆
trên (P1).
c) L p ph ng trình đ ng th ng qua A, c t và vuông góc v i d.ậ ươ ườ ẳ ắ ớ
d) L p ph ng trình m t ph ng song song v i (Pậ ươ ặ ẳ ớ 2) và cách A m t kho ng b ng 3.ộ ả ằ
e) Xác đ nh giao đi m M c a ị ể ủ
∆
v i (Pớ2), vi t ph ng trình đ ng th ng qua M, n m trong (Pế ươ ườ ẳ ằ 2) và
vuông góc v i ớ
∆
.
f) L p ph ng trình đ ng vuông góc chung c a d và ậ ươ ườ ủ
∆
.
g) Ch ng minh d và ứ
∆
chéo nhau, l p ph ng trình m t ph ng ch a d và song song v i ậ ươ ặ ẳ ứ ớ
∆
.
h) L p ph ng trình đ ng th ng qua A, c t c d và ậ ươ ườ ẳ ắ ả
∆
.
i) L p ph ng trình m t ph ng phân giác góc t o b i (Pậ ươ ặ ẳ ạ ở 1) và (P2).
2. L p ph ng trình m t ph ng trong các tr ng h p sauậ ươ ặ ẳ ườ ợ
a) Đi qua G(1, 2, 3) và c t các tr c t a đ t i A, B, C sao cho G là tr ng tâm c a ắ ụ ọ ộ ạ ọ ủ
∆
ABC.
b) Đi qua H(2, 1, 1) và c t các tr c t a đ t i A, B, C sao cho H là tr c tâm c a ắ ụ ọ ộ ạ ự ủ
∆
ABC.
c) Đi qua M(1, 1, 1) và c t chi u d ng c a các tr c t a đ t i A, B, C sao cho ắ ề ươ ủ ụ ọ ộ ạ
OABC
V
nh nh t.ỏ ấ
3. Cho đi m Mể1(2 ; 1 ; -3) và hai m t ph ng (Pặ ẳ 1) : x + y + 2z + 3 = 0, (P2) : x + (m – 2)y + (m – 1)z – 3m = 0
1. Xác đ nh m đ (Pị ể 1) // (P2).
2. V i m v a tìm đ c trênớ ừ ượ ở
a) Tính kho ng cách gi a (Pả ữ 1) và (P2).
b) Vi t PTMP song song và cách đ u (Pế ề 1) và (P2).
c) Vi t ph ng trình m t c u ti p xúc v i (Pế ươ ặ ầ ế ớ 1) t i Mạ1 và ti p xúc v i (Pế ớ 2).
d) Vi t ph ng trình m t c u ti p xúc v i (Pế ươ ặ ầ ế ớ 1) t i Mạ1 và c t (Pắ2) theo thi t di n là đ ng tròn bkế ệ ườ
6 2
4. Cho (P): 2x – 3y + 2z – 3 = 0, (S): (x – 8)2 + (y + 8)2 + (z – 7)2 = 68
a) Ch ng minh (P) c t (S), xác đ nh tâm và bán kính đ ng tròn thi t di n.ứ ắ ị ườ ế ệ
b) Vi t ph ng trình mp song song v i (P) và ti p xúc v i (S).ế ươ ớ ế ớ
c) Vi t ph ng trình mp song song v i (P) và c t (S) theo thi t di n là đ ng tròn có bán kính ế ươ ớ ắ ế ệ ườ
51
d) Vi t ph ng trình m t c u (S’) đ i v i (S) qua (P).ế ươ ặ ầ ố ớ
5. L p ph ng trình đ ng th ng qua A(4ậ ươ ườ ẳ ; 1 ; -1) c t và t o v i dắ ạ ớ :
0
1
1
x
y t
z t
=
= +
= +
m t góc 45ộ0.
6. Cho A(4 ; -1 ; -1) và d1 :
1 3 2
2 1 1
x y z− − −
= =
−
, d2 :
3 1 1
2 1 3
x y z− − −
= =
−
a) Ch ng minh dứ1 và d2 chéo nhau. Tính góc c a chúng.ủ
b) Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a dế ươ ườ ủ 1 và d2.
c) Vi t ph ng trình đ ng th ng qua A, vuông góc dế ươ ườ ẳ 1 và c t dắ2.
7. Cho (P) : x + y – 6 = 0, d :
a) Ch ng minh d // (P). Tính kho ng cách gi a d v i (P).ứ ả ữ ớ
Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian Trang 1
GV: Nguyeãn Thaønh Luaân, tröôøng THPT Vaïn Töôøng, Bình Sôn, Quaûng Ngaõi.
b) Vi t ph ng trình mp ch a d và song song v i (P).ế ươ ứ ớ
c) Vi t ph ng trình mp ch a d và t o v i (P) m t góc ế ươ ứ ạ ớ ộ
α
v i ớ
3
os 10
c
α
=
.
d) Vi t ph ng trình m t c u có bán kính nh nh t ti p xúc v i (P) và ti p xúc d t i A(1; 1; 1).ế ươ ặ ầ ỏ ấ ế ớ ế ạ
e) Vi t ph ng trình m t c u ti p xúc d và ti p xúc v i (P) t i E(5; 1; 1)ế ươ ặ ầ ế ế ớ ạ
8. Cho d:
2 4 2
1 3 1
x y z− − −
= =
và (P): 2x + 2y + z – 5 = 0.
a) Vi t ph ng trình mp ch a d và t o v i (P) m t góc có s đo nh nh t.ế ươ ứ ạ ớ ộ ố ỏ ấ
b) Vi t ph ng trình m t c u có bán kính b ng 3, tâm thu c d và ti p xúc v i (P).ế ươ ặ ầ ằ ộ ế ớ
9. Cho d:
1 1 1
2 2 1
x y z+ + −
= =
và d’:
3 2 4
2 1 2
x y z− − −
= =
a) Ch ng minh d c t d’, tìm t a đ giao đi m. Vi t ph ng trình đ ng phân giác góc t o b i d, d’.ứ ắ ọ ộ ể ế ươ ườ ạ ở
b) Vi t ph ng trình mp ch a d và d’.ế ươ ứ
c) Vi t ph ng trình m t ph ng ch a d và t o v i d’ m t góc ế ươ ặ ẳ ứ ạ ớ ộ
α
v i sinớ
α
= 4/9.
d) Vi t ph ng trình m t ph ng ch a d’ và t o v i d m t góc l n nh t.ế ươ ặ ẳ ứ ạ ớ ộ ớ ấ
e) Vi t ph ng trình m t c u ti p xúc v i d, d’ và có tâm thu c đ ng th ng ế ươ ặ ầ ế ớ ộ ườ ẳ
2
0
1 2
x t
y
z v
= − +
=
= −
10. Cho đ ng th ng d: ườ ẳ
2
3 1 5
x y z−
= =
−
, mp(P): 2x + y – 3z – 5 = 0, A(1, 1, 2), B(2, 1, -3).
a) Vi t ph ng trình đ ng th ng đ i x ng v i d qua (P).ế ươ ườ ẳ ố ứ ớ
b) Tìm M thu c d sao cho MA + MB nh nh t.ộ ỏ ấ
c) Tìm N thu c (P) sao cho MA + MB nh nh tộ ỏ ấ
d) Tìm K thu c (P) sao cho ộ
MA MB−
nh nh t.ỏ ấ
e) Tìm L thu c d sao cho ộ
LA LB−
nh nh tỏ ấ
11. Cho đ ng th ng d: ườ ẳ
1 2 1
2 1 2
x y z− − +
= =
và m t c u (S) : (x – 4)ặ ầ 2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 27.
a) Ch ng minh r ng d c t (S) t i 2 đi m A, B. Tính đ dài AB.ứ ằ ắ ạ ể ộ
b) Vi t ph ng trình đ ng th ng song song v i d và c t (S) theo dây cung có đ dài l n nh t.ế ươ ườ ẳ ớ ắ ộ ớ ấ
c) Vi t ph ng trình m t ph ng ti p xúc v i (S) t i A.ế ươ ặ ẳ ế ớ ạ
d) Vi t ph ng trình m t ph ng vuông góc v i d vàế ươ ặ ẳ ớ
d1) Ti p xúc v i (S).ế ớ
d2) C t (S) theo thi t di n là đ ng tròn l n.ắ ế ệ ườ ớ
d3) C t (S) theo thi t di n là đ ng tròn có di n tích b ng 18ắ ế ệ ườ ệ ằ
π
.
e) Vi t ph ng trình m t ph ng ch a d và c t (S) theo thi t di n là đ ng tròn l n.ế ươ ặ ẳ ứ ắ ế ệ ườ ớ
f) Vi t ph ng trình m t ph ng ch a d và c t (S) theo thi t di n là đ ng tròn có đ ng kính AB.ế ươ ặ ẳ ứ ắ ế ệ ườ ườ
12. Cho đi m A(4; 2; 2), và m t c u (S): (x – 2)ể ặ ầ 2 + (y – 1)2 + z2 = 9.
a) Ch ng t A thu c (S). Tìm B thu c (S) sao cho AB l n nh t.ứ ỏ ộ ộ ớ ấ
b) Vi t ph ng trình đ ng th ng ti p xúc v i (S) t i A và vuông góc v i giá c a vect ế ươ ườ ẳ ế ớ ạ ớ ủ ơ
( )
; ;101−
.
c) Vi t ph ng trình đ ng th ng ti p xúc v i (S) t i A và t o v i đ ng th ng ế ươ ườ ẳ ế ớ ạ ạ ớ ườ ẳ
:3
1 2 2
x y z−
∆ = =
−
m t góc 45ộ0.
B. GI I THI U M T S BÀI THI TUY N SINH CÁC NĂMỚ Ệ Ộ Ố Ể
Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian Trang 2
GV: Nguyeãn Thaønh Luaân, tröôøng THPT Vaïn Töôøng, Bình Sôn, Quaûng Ngaõi.
Bài 1: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®iÓm A(-4; -2; 4) vµ ®êng th¼ng d:
3 2
1
1 4
x t
y t
z t
= − +
= −
= − +
.
ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ∆ ®i qua ®iÓm A c¾t vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d.
Bµi 2:
1. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A’B’C’. BiÕt A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0)
C(0; 1; 0) B’(-a; 0; b) a > 0; b > 0
a) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng B’C vµ AC’
b) Cho a, b thay ®æi nhng lu«n thom·n a + b = 1. T×m a, b ®Ó kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng
th¼ng A’C
vµ AC’ lín nhÊt
2. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ba ®iÓm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) vµ mÆt ph¼ng
(P):
x + y + z - 2 = 0. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua ba ®iÓm A, B, C vµ cã t©m thuéc mÆt ph¼ng
(P)
Bµi 3: Cho ®êng th¼ng d:
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
vµ mÆt ph¼ng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a. T×m to¹ ®é ®iÓm I thuéc d sao cho kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng 2
b. T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ®êng th¼ng d vµ mÆt ph¼ng (P). ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè
cña ®êng th¼ng ∆ n»m trong mÆt ph¼ng (P), biÕt ∆ ®i qua A vµ vu«ng gãc víi d.
Bµi 4: Cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A1B1C1 víi A(0; -3; 0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B1(4; 0; 4)
a. T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A1,C1. ViÕt PT mÆt cÇu cã t©m lµ A vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng
(BCC1B1).
b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña A1B1. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng P) ®i qua hai ®iÓm A, M vµ
song song víi BC1. mÆt ph¼ng (P) c¾t ®êng th¼ng A1C1 t¹i ®iÓm N. TÝnh ®é dµi ®o¹n MN.
Bµi 5: Cho hai ®êng th¼ng: d1:
1 2 1
3 1 2
x y z− + +
= =
−
vµ d2:
2 0
3 12 0
x y z
x y
+ − − =
+ − =
a. CMR: d1 // d2 . ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa c¶ hai ®êng th¼ng d1 vµ d2
b. MÆt ph¼ng to¹ ®é Oxz c¾t d1, d2 lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm A, B. TÝnh diÖn tÝch ∆OAB (O lµ gèc
to¹ ®é)
Bµi 6: Cho ®iÓm A(0; 1; 2) vµ hai ®/th¼ng : d1:
1 1
2 1 1
x y z− +
= = −
d2:
1
1 2
2
x t
y t
z t
= +
= − −
= +
a. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua A, ®ång thêi song song víi d1 vµ d2.
b. T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm M ∈ d1, N ∈ d2 sao cho ba ®iÓm A, M, N th¼ng hµng
Bµi 7: Cho ®iÓm A(1; 2; 3) vµ hai ®êng th¼ng d1:
2 2 3
2 1 1
x y z− + −
= =
−
, d2:
1 1 1
1 2 1
x y z− − +
= =
−
a. T×m to¹ ®é ®iÓm A’ ®èi xøng víi ®iÓm A qua ®êng th¼ng d1
b. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ∆ ®i qua A vu«ng gãc víi d1 vµ c¾t d2
Bµi 8: Cho hai ®êng th¼ng d1:
1 2
2 1 1
x y z− +
= =
−
vµ d2:
1 2
1
3
x t
y t
z
= − +
= +
=
a. Chøng minh r»ng: d1 vµ d2 chÐo nhau.
Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian Trang 3
GV: Nguyeãn Thaønh Luaân, tröôøng THPT Vaïn Töôøng, Bình Sôn, Quaûng Ngaõi.
b. ViÕt PT ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P): 7x + y - 4z = 0 vµ c¾t hai ®êng th¼ng
d1, d2
Bµi 9: Cho mÆt cÇu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 vµ mÆt ph¼ng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa trôc Ox vµ c¾t (S) theo mét ®êng trßn cã b¸n kÝnh
b»ng 3.
b. T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc mÆt cÇu (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn mÆt ph¼ng (P) lín
nhÊt
Bµi 10: Cho hai ®iÓm A(1; 4; 2); B(-1 2; 4) vµ ®êng th¼ng ∆:
1 2
1 1 2
x y z− +
= =
−
a. ViÕt PT ®êng th¼ng d ®i qua träng t©m G cña tam gi¸c OAB vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng
(OAB).
b. T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc ®êng th¼ng ∆ sao cho MA2 + MB2- nhá nhÊt
Bµi 11: Trong kh«ng gian Oxyz cho ®iÓm A(2 ;5 ;3) vµ ®êng th¼ng
2
2
12
1
:)( −
==
−zyx
d
a) T×m to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn (d)
b) Viªt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (α) chøa (d) sao cho kho¶ng c¸ch tõ A tíi (α) lµ lín nhÊt.
Bµi 12: Trong kh«ng gian Oxyz cho ®iÓm A(0 ;1 ;2) ; B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1) .
a) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ba ®iÓm A, B, C
b) T×m to¹ ®é M thuéc mÆt ph¼ng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA= MB=MC.
Bµi 13 Trong kh«ng gian Oxyz cho 4 ®iÓm A(3 ;3 ;0) ; B(3 ;0 ;3) ; C(0 ;3 ;3) ; D(3 ;3 ;3)
a) ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D
b) T×m to¹ ®é t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC
Bµi 14: Cho mp(P): 2x – 2y – z – 4 = 0 vµ mÆt cÇu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0
CMR mÆt ph¼ng c¾t mÆt cÇu, xác đ nh tâm và bán kính c a đ ng tròn giao tuy n.ị ủ ườ ế
Bài 15 : Cho (P) x – 2y + 2z – 1 = 0, d1 :
1 9
1 1 6
x y z+ +
= =
, d2 :
1 3 1
2 1 2
x y z− − +
= = −
. Xác đ nh t a đ Mị ọ ộ
thu c dộ1 sao cho M cách đ u dề2 và (P).
Bài 16 : Cho A(0, 0, 2) và đ ng th ng dườ ẳ :
2 2 3
2 3 2
x y z+ − +
= =
. Tính kho ng cách t A đ n d. Viêtsả ừ ế
ph ng trình m t c u tâm A c t d t i 2 đi m B, C sao cho BC = 8.ươ ặ ầ ắ ạ ể
Bài 17: Cho
:1 2
2 1 1
x y z− +
∆ = = −
, (P) : x – 2y + z = 0. G i C là giao đi m c a ọ ể ủ
∆
v i (P), M là đi mớ ể
thu c ộ
∆
. Tình kho ng cách t M đ n (P), bi t MC = ả ừ ế ế
6
.
Bài 18 : Cho A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) trong đó b, c > 0 và m t ph ng (P)ặ ẳ : y – z + 1 = 0.
Xác đ nh b, c bi t r ng mp(ABC) vuông góc v i mp(P) và kho ng cách t O đ n mp(ABC) b ngị ế ằ ớ ả ừ ế ằ
1/3.
Bài 19 : Cho 2 mp (P) : x + y + z – 3 = 0 và (Q) : x – y + z – 1 = 0. Vi t ph ng trình mp(R) vuôngế ươ
góc v i (P) và (Q) sao cho kho ng cách t O đ n (R) b ng 2.ớ ả ừ ế ằ
Bài 20 : Cho
:
1
3x t
y t
z t
= +
∆ =
=
và
:
2
2 1
2 1 2
x y z− −
∆ = =
. Xác đ nh t a đ đi m M thu c ị ọ ộ ể ộ
∆
1 sao cho
kho ng cách t M đ n ả ừ ế
∆
2 b ng 1.ằ
Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian Trang 4
GV: Nguyeãn Thaønh Luaân, tröôøng THPT Vaïn Töôøng, Bình Sôn, Quaûng Ngaõi.
Khoâng coøn thôøi gian cho vieäc nghó : Hoâm nay
laøm hay ngaøy mai laøm... !
Chuùc caùc em oân taäp thaät toát, thi ñaït ñieåm
cao.
Bài 1i :
M t ph ng phân giác góc t o b i (Pặ ẳ ạ ở 1), (P2) g m các đi m M(x, y, z ) th a mãnồ ể ỏ :
.......
.......
2z z+1
1 1 4 1 1 1
x y x y+ + − +
= ⇔
+ + + +
Bài 2 : Ph ng trình mp theo đo n ch nươ ạ ắ :
1
x y z
a b c
+ + =
a) G là tr ng tâm ọ (A + B + C = 3G)
b) H là tr c tâm ự
, , ( )HA BC HB AC H P⊥ ⊥ ∈
c) M thu c (P) nên ộ
3
1 1 1 111
1 3 27abc
a b c a b c
= + + ≥ ⇔ ≥
;
1 27
6 6
V abc= ≥
Bài 3 :
c) Đ ng kính Mườ 1M2 v i Mớ2 là hình chi u c a Mế ủ 1 trên (P2).
d) Gi s m t c u có tâm I(x, y, z) và bán kính Rả ử ặ ầ ; M2 là tâm c a đ ng tròn giao tuy n (C).ủ ườ ế
Ta có
( )
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1
2dR 4 6
2d
d r
R r M I M M IM d R d r R +
− = = − = − ⇔ = + ⇔ = =
d(I, (P2)) = IM2 = R – d = 2
6
(S) ti p xúc (Pế1) t i Mạ1
. , ,
1 1
2
1
3 2
x t
M I t n y t x y z
z t
− =
= ⇔ − = ⇔
+ =
uuuur ur
Thay vào kho ng cách thì t = 4 ( chú ý t ả
0≠
)
Bài 5: G i H là hình chi u c a A trên d => t a đ H. S d ng tam giác ABH vuông cân t i H suy ra B.ọ ế ủ ọ ộ ử ụ ạ
Đ ng th ng c n tìm qua 2 đi m AB.ườ ẳ ầ ể
( Ho c: Vi t pt mp(P) qua A và ch a d. G i ặ ế ứ ọ
u
∆
uur
là ch ph ng c n tìm. S d ng ỉ ươ ầ ử ụ
u
∆
uur
vuông góc v iớ
Pháp tuy n c a (P) và công th c góc, suy ra ế ủ ứ
u
∆
uur
).
Bài 7 :
c) S d ng ử ụ
Q
u u
∆
⊥
uur uur
và công th c góc gi a hai mp.ứ ữ
d) G i (S) là m t c u c n d ng. Thí (S) có đ ng kính AA’ v i A’ là hchi u vuông góc c a A/(P).ọ ặ ầ ầ ự ườ ớ ế ủ
e)
Phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian Trang 5