Phương pháp toán tử cho mô-men góc và
cho dao động điều hòa
Lý lê
Ngày 9 tháng 9 năm 2009
Tóm tắt nội dung
Các đặc trị của những toán tử năng lượng cho dao động điều hòa
và toán tử mô-men góc của hạt chuyển động trên một mặt cầu đã được
xác định bằng cách giải phương trình vi phân. Sau đây, chúng ta sẽ
sử dụng một phương pháp khác để tìm các đặc trị này, được gọi là
phương pháp toán tử bậc thang. Theo đó, các đặc trị được xác định chỉ
cần dựa vào các mối liên hệ giao hoán của các toán tử.
1 Phương pháp toán tử bậc thang cho mô-men góc
Chúng ta đã dùng chữ cái Lđể chỉ mô-men góc orbital. Sau đây, chúng ta
sẽ dùng chữ cái Mđể chỉ mô-men góc nói chung. Có ba toán tử mô-men góc
là c
Mx,c
My,c
Mz. Tính tất của chúng cũng giống như b
Lx,b
Ly,b
Lzmà chúng ta
đã biết. Các mối liên hệ giao hoán của chúng như sau
[c
Mx,c
My] = i~c
Mz; [c
My,c
Mz] = i~c
Mx; [c
Mz,c
Mx] = i~c
My(1)
Toán tử c
M2được xác định bởi
c
M2=c
M2
x+c
M2
y+c
M2
z(2)
Chúng ta có
[c
M2,c
Mx] = [c
M2,c
My] = [c
M2,c
Mz] = 0 (3)
Nhiệm vụ của chúng ta là sẽ xác định các đặc trị của c
M2và c
Mzdựa vào
những mối liên hệ trên. Trước hết, chúng ta định nghĩa hai toán tử mới là
toán tử tăng c
M+và toán tử giảm c
M−như sau
c
M+=c
Mx+ic
My(4)
c
M−=c
Mx−ic
My(5)
c
M+và c
M−là những ví dụ về toán tử bậc thang (ladder operators). Sau
đây, chúng ta khảo sát tính giao hoán của chúng với toán tử c
Mz.
1
Ta có
c
M+c
M−= (c
Mx+ic
My)(c
Mx−ic
My)
=c
M2
x+ic
Myc
Mx−ic
Mxc
My+c
M2
y
=c
M2−c
M2
z+i[c
My,c
Mx]
Vì
[c
My,c
Mx] = −[c
Mx,c
My] = −i~c
Mz
nên c
M+c
M−=c
M2−c
M2
z+i[c
My,c
Mx] = c
M2−c
M2
z+~c
Mz(6)
Tương tự, ta tìm được
c
M−c
M+=c
M2−c
M2
z−~c
Mz(7)
Ta có
[c
M+,c
Mz] = [c
Mx+ic
My,c
Mz] = [c
Mx,c
Mz] + i[c
My,c
Mz]
với
[c
Mx,c
Mz] = −[c
Mz,c
Mx] = −i~c
My
và
[c
My,c
Mz] = i~c
Mx
Suy ra
[c
M+,c
Mz] = −i~c
My−~c
Mx=−~(c
Mx+ic
My) = −~c
M+(8)
Như vậy, chúng ta thấy
[c
M+,c
Mz] = c
M+c
Mz−c
Mzc
M+=−~c
M+(9)
Do đó c
M+c
Mz=c
Mzc
M+−~c
M+(10)
Tương tự, ta tìm được
c
M−c
Mz=c
Mzc
M−+~c
M−(11)
Gọi Ylà những đặc hàm chung của c
M2và c
Mz, ta có
c
MzY=bY (12)
c
M2Y=cY (13)
với bvà clà những đặc trị cần xác định. Áp dụng toán tử c
M+lên (12), ta
nhận được c
M+c
MzY=bc
M+Y(14)
2
với c
M+c
Mz=c
Mzc
M+−~c
M+, (14) trở thành
(c
Mzc
M+−~c
M+)Y=bc
M+Y
hay c
Mz(c
M+Y) = (b+~)(c
M+Y)(15)
Phương trình trên có nghĩa là hàm (c
M+Y)là một đặc hàm của toán tử c
Mz
với đặc trị là (b+~). Tiếp tục, áp dụng toán tử c
M+lên (15) và sử dụng
phương trình c
M+c
Mz=c
Mzc
M+−~c
M+, ta sẽ thu được
c
Mz(c
M2
+Y) = (b+ 2~)(c
M2
+Y)(16)
Cứ tiếp tục như trên nhiều lần với toán tử tăng c
M+ta sẽ thu được
c
Mz(c
Mk
+Y) = (b+k~)(c
Mk
+Y) (k= 0,1,2,3...)(17)
Tương tự, nếu ta áp dụng toán tử giảm c
M−lên (12) và lưu ý
c
M−c
Mz=c
Mzc
M−+~c
M−
ta sẽ thu được c
Mz(c
M−Y) = (b−~)(c
M−Y)(18)
c
Mz(c
Mk
−Y) = (b−k~)(c
Mk
−Y)(19)
Tóm lại, bằng cách sử dụng các toán tử tăng và toán tử giảm lên đặc
hàm với đặc trị b, chúng ta tạo ra từng nấc các giá trị đặc trị khác nhau là
b±k~.
b−~
b
b+~
b+ 2~
b−2~
Như vậy, những hàm c
Mk
±Ylà những đặc hàm của c
Mzvới những đặc trị
là b±k~:c
Mz(c
Mk
±Y) = (b±k~)(c
Mk
±Y)(20)
Sau đây chúng ta sẽ chứng minh những hàm này cũng là những đặc hàm
của c
M2với cùng những đặc trị là c; nghĩa là ta chứng minh
c
M2(c
Mk
±Y) = c(c
Mk
±Y)(21)
3
Ta thấy c
M2giao hoán với c
M+và c
M−. Thật vậy
[c
M2,c
M±] = [c
M2,c
Mx±ic
My] = [c
M2,c
Mx]±i[c
M2,c
My] = 0 (22)
Tương tự, ta có
[c
M2,c
M2
±] = [c
M2,c
M±]c
M±+c
M±[c
M2,c
M±] = 0 (23)
Do đó
[c
M2,c
Mk
±] = 0 hay c
M2c
Mk
±=c
Mk
±c
M2(24)
Từ (13), ta có
c
Mk
±c
M2Y=c
Mk
±cY =cc
Mk
±Y
Áp dụng (24), ta được
c
M2(c
Mk
±Y) = c(c
Mk
±Y)(25)
Đây là điều chúng ta cần chứng minh.
Đặt Yk=c
Mk
±Yvà bk=b±k~, từ (20) ta có
c
MzYk=bkYk(26)
suy ra c
Mzc
MzYk=c
MzbkYk=bkc
MzYk
hay c
M2
zYk=b2
kYk(27)
Lấy (25) trừ (27), ta được
c
M2(c
Mk
±Y)−c
M2
zYk=c(c
Mk
±Y)−b2
kYk(28)
Thế c
Mk
±Y=Yk, ta có
c
M2Yk−c
M2
zYk=cYk−b2
kYk(29)
hay
(c
M2
x+c
M2
y)Yk= (c−b2
k)Yk(30)
Toán tử c
M2
x+c
M2
ytương ứng với một thuộc tính vật lí không âm, do đó
nó sẽ có những đặc trị cũng không âm. Từ đó, ta suy ra
c−b2
k≥0hay √c≥ |bk|
Vì vậy
−√c≤ |bk| ≤ √c(31)
(k= 0,±1,±2,±3,...)
4
Vì clà hằng số, trong khi đó kthì thay đổi, nên các đặc trị bksẽ bị chặn
trên và chặn dưới. Chúng ta đặt bmin và bmax là những giá trị nhỏ nhất và
lớn nhất của bk.Ymin và Ymax là những đặc hàm tương ứng
c
MzYmin =bminYmin (32)
c
MzYmax =bmaxYmax (33)
Từ (33), ta có
c
M+c
MzYmax =bmax c
M+Ymax (34)
hay c
Mz(c
M+Ymax) = (bmax +~)(c
M+Ymax)(35)
(Vì c
M+c
Mz=c
Mzc
M+−~c
M+)
Phương trình (35) cho ta thấy c
M+Ymax là một đặc hàm của c
Mzvới đặc trị
là (bmax +~). Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng bmax là đặc trị lớn nhất
của c
Mz. Để loại bỏ mâu thuẫn này và để (35) đúng thì hàm c
M+Ymax phải
bị triệt tiêu; nghĩa là c
M+Ymax = 0 (36)
Áp dụng toán tử giảm lên (36) và kết hợp với (7), ta được
c
M−c
M+Ymax = 0
(c
M2−c
M2
z−~c
Mz)Ymax = 0
(c−b2
max −~bmax)Ymax = 0
(c−b2
max −~bmax) = 0
Như vậy
c=b2
max +~bmax (37)
Lý luận tương tự, ta có
c
M−Ymin = 0 (38)
c=b2
min −~bmin (39)
Từ (39) và (37), ta được
b2
max +~bmax +~bmin −b2
min = 0 (40)
Giải phương trình trên cho ta kết quả
bmax =−bmin;bmax =bmin −~(41)
Chúng ta loại nghiệm thứ hai vì bmax không thể nhỏ hơn bmin. Vậy nên
bmin =−bmax (42)
5