Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3
178
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
TRÊN MIỀN THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN
Đỗ Lân1, Lê Thị Thúy2
1Bộ môn Toán học - Khoa CNTT, Trường Đại học Thủy lợi, email:dolan@tlu.edu.vn
2Bộ môn Toán - Khoa KHTN, Trường Đại học Điện lực, email:thuylt@epu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Trong bài báo này, chúng tôi trình bày các lý
thuyết cơ bản của miền thay đổi theo thời gian.
Chúng tôi giới thiệu các định nghĩa về miền
thay đổi theo thời gian, phương trình cân bằng,
các điều kiện biên, điều kiện ban đầu của
phương trình cân bằng, một số phương trình cân
bằng không khuếch tán và khuếch tán, phương
trình parabolic trên miền thay đổi theo thời gian.
2. NỘI DUNG CHÍNH
2.1. Miền phụ thuộc thời gian
Giả sử
x
là một điểm trên miền cố định
cho trước
n
0
¡
(là một tập mở trơn) tại
thời điểm
t 0
, xê dịch theo đường cong
t Y(t; x)
a trên
n
¡
. Chúng ta giả sử đường
cong này là nghiệm của hệ phương trình vi
phân cổ điển ôtônôm:
.
Y t;x V Y t;x
Y 0;x x
ur
(1)
với hàm vectơ vận tốc trơn cho trước
V :
. Với mỗi
t¡
, ánh xạ:
n n
t :
¡ ¡
,
t z Y t; z
là một vi đồng phôi thỏa mãn:
i)
0 I
;
ii)
t s t s
o,
t, s ¡
.
Ta có
t
là nghịch đảo của
t
.
Khi đó miền
0
cố định ban đầu xê dịch
thành các miền
0
t t
,
t¡
, và các
biên
0
t t
 
. Các miền con W0 của
0
xê dịch thành
0
W t t W
,
t¡
, và
các biên của nó là
0
W t t W
.
2.2. Phương trình cân bằng
Định nghĩa 1. Nếu với mỗi
T 0
,
f
là
hàm được định nghĩa bởi:
t T,T
f : t t
¡
U,
y, t f y, t
và định nghĩa hàm
f
trên
0
bởi:
0
f : T,T
¡
,
f x,t f t x, t
Ta có
0
W t t W t
, là một miền
con trơn với biên
W t
. Khi đó đạo hàm
theo thời gian của hàm
T
trên W(t) kí hiệu là
W t
d
T y, t dy
dt được tính như sau:
Bổ đề 1. Với các ký hiệu như trên,
W t
d
T y, t dy
dt được viết dưới dạng hai
biểu thức sau:
y
W t W t
T
y, t dy div T y, t .V y dy
t
uuuuur
(2)
hoặc:
W t W t
T
y, t dy T y, t V y ds
t
ur r
. (3)
Giả sử phương trình cân bằng của
T y, t
:
W t W t W t
d
T y, t dy f y, t dy Jds
dt
r r
trong đó
f y, t
chỉ tỷ lệ sản sinh hay số
lượng của
T
trên mỗi đơn vị thể tích trong
W t
và
J
r
là trường vectơ chỉ sự chảy hay
sự lưu thông của
T
trên biên của
W t
. Khi
đó ta có:
y
W t W t W t
d
T y,t dy f y, t dy div Jdy
dt
r
(4)
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3
179
Từ (4) và Bổ đề 1, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1. Hàm
T
thỏa mãn phương trình
cân bằng trên miền thay đổi theo thời gian khi
và chỉ khi các đẳng thức sau được thỏa mãn:
y
y
Ty, t div T y, t V y
t
f y,t div J , y t ,t 0,
ur
r (5)
hoặc:
y 0
T x, t T x, t div V x, t
t
f x, t div J x, t , x , t 0.
ur
r (6)
2.3. Điều kiện biên và điều kiện ban đầu
Chúng ta xét điều kiện biên Dirichlet và
giả sử:
y t x
,
0
t t
,
0
t t
 
,
khi đó
T y, t 0
,
y t
 khi và chỉ khi
T x,t 0
,
0
x

.
Với điều kiện biên ban đầu, ta có
0 I
,
và
0
T y,0 T y
,
0
y
khi và chỉ khi
0
T x,0 T x
,
0
x
.
Khi đó (5) và (6) với điều kiện biên và
điều kiện ban đầu tương ứng:
y
y
0 0
Ty,t div T y,t V y
t
f y,t div J , y t ,
T y, t 0, y t , t,
T y,0 T y , y ,

ur
r
(7)
và:
y 0
0
0 0
T x, t T x, t div V x, t
t
f x,t div J x, t , x ,
T x, t 0, x , t,
T x,0 T y , x .

ur
r
(8)
Chúng ta sẽ dùng (8) để định nghĩa
nghiệm của (7), nghĩa là
T y, t
thỏa mãn (7)
khi và chỉ khi
T x,t
thỏa mãn (8).
2.4. Một số phương trình cân bằng
khuếch tán và không khuếch tán
Phương trình không dòng và không
khuếch tán:
y
0 0
T y, t div T y, t .V y f y, t ,
t
y t ,
T y,t 0, y t , t,
T y,0 T y , y ,

ur
(9)
và:
0
0
0 0
T x, t T x,t div V x, t f x,t ,
t
x ,
T x, t 0, x , t,
T x, 0 T x , x .
ur
(10)
Phương trình vận chuyển (phương trình
dòng và không khuếch tán):
Ta có
1
t t t
. Giả sử
J y, t a y,t T y,t
r r
,
y t
với
a
là
hàm lớp
1
C
từ
n
¡ ¡ ¡
. Khi đó (7) và
(8) trở thành:
y
y y
0 0
T y, t div T y, t .V y
t
T y, t a y, t div a y,t T y,t
f y,t , y t ,
T y,t 0, y t , t,
T y,0 T y , y , (11)

ur
r r
và:
x
0
0
0 0
T x, t T x,t C x,t T x, t b x, t
t
f x, t , x ,
T x, t 0, x , t,
T x, 0 T x , x , (12)
r
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3
180
trong đó,
y y
C x,t div V x, t div a x,t
ur r
,
b x, t D t y.a y,t
r r
.
Phương trình cân bằng khuếch tán:
Giả sử
y
J y, t k T y,t
r
,
y t
,
với mỗi
k 0
,
y
0 0
T y,t T y,t .V y
t
T y,t .div V y k T y,t
f y,t , t t ,
T y,t 0, y t , t,
T y,0 T y , y ,
ur
ur
(13)
và:
2
n n
k,i i
k i ik,i 1 i 1
0
0 0
T x,t T x,t div V x,t
t
T x, t T x, t
k a x,t .s x,t
x x x
f x,t
T x,t 0, x , t,
T x,0 T x , x ,


ur
(14)
trong đó:
n
k i
k,i y k y i
jj 1 j
t y t y
a x, t . .
yy
 
y t x,
và
2
ni
i y i
2
j 1 j
t y
s x,t t y
y
,
y t x
.
2.5. Phương trình parabolic trên miền
thay đổi theo thời gian
Trong mục này chúng ta xét một phương
trình parabolic trên miền thay đổi theo thời
gian. Phương trình này không nhất thiết là
phương trình cân bằng. Xét bài toán:
n
y i
ii 1
0 0
T
T y,t k T y,t y,t .g y, t
t y
c y, t T y, t f t, y , y t ,
T y,t 0, y t , t,
T y,0 T y , y ,
(15)
với
k 0
,
c y, t
là hàm trơn cho trước và
i n
g y, t g y,t ,...,g y,t
r
. Chúng ta có
các kết quả sau:
Bổ đề 2. Phương trình (15) tương đương với
x
0
0
0 0
Tx, t kdiv B x, t
t
T x, t . h x,t d x, t
c x,t T x,t f x, t , x ,
T x, t 0, x , t,
T x, 0 T x , x ,
r r
(16
)
với
x
B x, t A x,t T x, t
,
k,i
A x, t a x, t
,
n
k i
k ,i
j jj 1
t y t y
a x, t .
y y
 
,
iii
d x,t s x, t c x,t
,
i y i
s x, t t y
,
n
k ,i
i
ik 1
a x, t
c x, t x
,
y 1 y n
h x,t
g x, t . t y,..., g x, t . t y ,
r
r r
y t x
.
Bổ đề 3.
Giả sử các điều kiên trên thỏa mãn và với
điều kiện ban đầu
2
0 0
T L
thì (15) và
(16) có nghiệm duy nhất.
3. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] H. Amann, 1995, Linear and Quasilinear
Parabolic Problems, 89, Birkhauser Verlag,
Berlin.
[2] F. Cortéz and A. Rodríguez-Bernal, 2013,
PDEs in moving time dependent domains,
In: Rubio R. et al. (eds) Understanding
Complex Systems, Springer, Berlin,
Heidelberg, 559-577.
[3] P. Hartman, 1964, Ordinary differential
equations, John Wiley and sons.
[4] O.A. Ladyzhenskaya, 1969, The
mathematical theory of viscous
incompressible flow, Gordon and Breach.