BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Văn Ý
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU:
XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA NGHIỆM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Văn Ý
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU:
XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA NGHIỆM
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CÔNG TÂM
Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến Thầy Nguyễn Công Tâm lời cảm
ơn sâu sắc nhất về sự giúp đỡ của Thầy trong việc hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hoàn Hóa và thầy Nguyễn Thành
Long đã đọc và cho nhiều ý kiến đóng góp bổ ích.
Xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán – Tin học
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Đại học khoa học
tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt
khóa học.
Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc phòng Khoa học Công nghệ và
Sau đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh,
Ban Giám hiệu trường THPT Chuyên Hùng Vương – Bình Dương đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình học.
Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp Cao học giải tích K16
cũng như các anh chị và các bạn trong nhóm xemina do Thầy Nguyễn
Thành Long chủ trì đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong thời gian học tập và
nghiên cứu.
Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình
tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành
luận văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 – 2008.
Nguyễn Văn Ý
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1: CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ ...................................................... 5
1.1. Các không gian hàm thông dụng ....................................................... 5
.
1 p≤
1.2. Không gian hàm
≤ ∞ ............................................ 6
pL
(0, T X , ) ;
1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach. .................................... 7
pL
1.4. Đạo hàm trong (0, T X ................................................................ 8 ) ;
qL Q . ................................................. 9
(
)
1.5. Bổ đề về tính compact của Lions. ..................................................... 8
1.7. Một số kết quả khác .......................................................................... 9
1.6. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong
Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM............................... 10
2.1. Giới thiệu ......................................................................................... 10
2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính............................................................. 10
2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. ........................................................ 21
Chương 3: SỰ HỘI TỤ CẤP HAI............................................................... 25
3.1. Dãy lặp cấp hai................................................................................25
3.2. Sự hội tụ bậc hai..............................................................................34
Chương 4: DÁNG ĐIỆU NGHIỆM KHI
..................... 40
.
0
0
λ
→
, δ
→
+
+
,
4.1. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số
.λδ ............ 40
4.2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo một tham số λ. ............. 42
4.3. Khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp
1.
....................... 45
N +
Chương 5: KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ......................... 54
KẾT LUẬN .................................................................................................... 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 57
1
MỞ ĐẦU
Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện trong khoa học ứng dụng ( Vật lý,
Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,...) rất phong phú và đa dạng. Đây là nguồn đề tài
mà rất nhiều nhà toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn
như trong [2, 4 – 12, 14 – 22] và các tài liệu tham khảo trong đó. Chính vì
vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghĩa lý luận và
thực tiễn.
Trong luận văn nầy, chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải
tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn
điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các định lí điểm bất động,
phương pháp khai triển tiệm cận... nhằm khảo sát một bài toán biên có liên
quan đến các vấn đề trong khoa học và ứng dụng.
Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau
u
u u ( ,
)
F x t
( , ), 0
t T
,
(0.1)
1, 0
x < <
u λ
tt
x
t
(0.2)
u
t (0, )
u
t
− + = < < σ ∂ x ∂
(0.3)
u x
( ,0)
( ),
( ,0)
(cid:4) u x
( ),
(cid:4) u x u x
=
=
0
t
1
(0.4)
u u ( ,
)
u
f u
( ),
σ
=
+
δ
x
x
,
trong đó
là các hàm
,λ δ là các hằng số không âm cho trước;
f F 0 , ,
(cid:4) u u(cid:4) , 1
cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
)
đã có rất nhiều công trình nghiên cứu. Khởi
Trường hợp
u u ( , σ σ=
x
xt
(cid:92)
)
)
,
2 (
),
đầu với trường hợp
u ( β
u λ
0,λ>
Cβ∈
β = (0) 0,
u u ( , = σ σ
=
+
x
xt
x
xt
0,
β ε′ ≥ > bài toán (0.1) – (0.3) đã được xét bởi Greenberg, MacCamy, Mizel
[10]. Đây là mô hình toán học mô tả dao động dọc của một thanh đàn hồi nhớt
phi tuyến,
( , )
u x t là độ dịch chuyển so với vị trí cân bằng. Từ khi xuất hiện
= = (1, ) 0,
2
công trình [10], đã có rất nhiều công trình công bố liên quan đến bài toán nầy,
chẳng hạn như: Greenberg [11], Greenberg, MacCamy [12], Dafermos [6],
Andrews [2], Clements [4].
Phương trình (0.1) với (0.4) về mặt hình thức có dạng
(0.5)
( , ,
,
,
),
u
u
f x t u u u
−
=
tt
xx
x
t
trong đó
tuy nhiên về mặt ý nghĩa
( , ,
,
,
)
F x t ( , )
′ ( ) f u u
,
=
+
δ
−
f x t u u u t
x
u λ t
x
thì có những điểm khác biệt riêng.
Trong [9], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của phương trình
3
(0.6)
u
u
u
u
−
−
u 2 α α ε
=
−
b + với ,
0ε> bé.
1
2
xx
tt
t
Trong bài báo của Caughey và Ellison [5], đã hợp nhất các xấp xỉ trong
các trường hợp trước đây để bàn về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định tiệm
cận của nghiệm cổ điển cho một hệ động lực phi tuyến liên tục.
Trong [7], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu
tiệm cận khi
0ε→ của nghiệm yếu của bài toán (0.3), (0.5) liên kết với điều
kiện biên Dirichlet thuần nhất
(0.7)
(1, ) 0,
u
t (0, )
u
t
=
=
trong đó các số hạng phương trình (0.5) cho bởi
(0.8)
f
t u u ,
ε=
f 1( ,
).t
N
2
([0,
]
f C∈
∞ × (cid:92) thỏa )
0,
Nếu
t
= với mọi
t ≥ một khai
1
f 1( ,0,0) 0
triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.3), (0.7), (0.8) đến cấp
1N + theo ε thu
được với ε đủ nhỏ.
Trong [14, 15], Long và Alain Phạm đã nghiên cứu bài toán (0.3), (0.5)
f
với số hạng phi tuyến có dạng
=
).t
f u u 1( ,
Trong [14], các tác giả xét nó với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
(0.9)
(0, ) t
hu
(0, ) t
g t
u
t
=
+
( ), (1, ) 0, =
xu
3
trong đó
0h > là hằng số cho trước và trong [15] với điều kiện tổng quát hơn
t
(0.10)
t (0, )
g t ( )
hu
t (0, )
k t (
s u ) (0, )
s ds u
t , (1, ) 0.
=
+
−
−
=
xu
∫
0
Trong [16], Long và Diễm đã nghiên cứu bài toán (0.3), (0.5) với điều
kiện biên hỗn hợp thuần nhất
(0.11)
u
t (0, )
t (0, )
u
t (1, )
t
−
=
+
(1, ) 0, =
x
h u 0
x
h u 1
0
trong đó
h+
> và các số
, h h là các hằng số không âm cho trước với 0
1
h 0
1
hạng phi tuyến vế phải có dạng
f
( , ,
,
,
)
( , ,
,
,
).
(0.12)
ε
=
+
f x t u u u t
x
f x t u u u 1 t
x
2
3
1
3
(cid:92)
([0,1]
[0,
)
),
([0,1]
[0,
)
(cid:92) )
Trong trường hợp
f C ∈
× ∞ ×
f C ∈
× ∞ ×
1
các tác giả đã thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu uε đến cấp hai
theo
,ε với ε đủ nhỏ [16].
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm
địa phương của bài toán (0.1) – (0.4). Chứng minh được nhờ vào phương
pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ
yếu và tính compact. Tiếp đến chúng tôi khảo sát sự tồn tại của dãy lặp cấp
hai và sự hội tụ của dãy này về nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4) tương
ứng. Sau cùng chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu
,uλδ
cũng như sự
(phụ thuộc
,λ δ) của bài toán (0.1) – (0.4) khi ( ,
) λδ
→
(0 ,0 ) + +
khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán nhiễu theo tham số nhiễu λ
đến cấp
1,N + tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo λ
N
,
(0.13)
k λ
u x t ( , ) λ
≈ ∑
k
0
=
k
0,1,...,
N
,
và thiết lập đánh giá theo
=
theo nghĩa cần chỉ ra các hàm (cid:108)( , ), ku x t
dạng
(cid:108) u x t ( , ) k
4
N
N
1 +
C
.
(0.14)
N λ
−
+
−
≤
k
k λ k
T
u t λ
u λ
k λ t
∑
∑
k
k
0
0
=
=
∞ L
∞ L
(0,
2 ; T L
)
(0,
; T H
)
1 0
Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:
(cid:108) u (cid:108) u
Phần mở đầu, tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua
các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn.
(cid:190) Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm
việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng
compact giữa các không gian hàm.
(cid:190) Chương 2, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất
nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4).
(cid:190) Chương 3, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và hội tụ của
dãy lặp cấp hai về nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4).
(cid:190) Chương 4, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu
của bài toán (0.1) – (0.4) và sự khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp
N + 1.
(cid:190) Chương 5, minh họa cho khai triển tiệm cận theo λ ở chương 4
bằng một trường hợp cụ thể.
5
Chương 1: CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ.
1.1. Các không gian hàm thông dụng.
Đầu tiên ta đặt các kí hiệu sau
(0,1),
(0,
T T ),
0
Ω =
= Ω ×
> và bỏ
TQ
),
),
qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng:
mC Ω (
pL Ω (
mH Ω ( ),
m
m
, (
).
p L
(
H
(
m pW Ω Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau:
p L=
Ω ),
H=
Ω )
m p ,
,2 (
W
m p , (
).
mW=
Ω ),
W=
Ω ( có thể xem trong [1, 3]).
2 L
)
2 (
Ta định nghĩa
L= Ω là không gian Hilbert với tích vô hướng
1
2
(1.1.1)
u v ,
u x v x dx u v L . ,
( ) ( )
,
=
∈
∫
0
Kí hiệu
.
để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.1), nghĩa là
1
1 2
2
2
u
u u ,
u x ( )
dx
,
u L .
(1.1.2)
=
=
∈
∫
0
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Định nghĩa không gian Sobolev cấp 1
1
H
:
.
(1.1.3)
2 L′ ∈
{ 2 v L v = ∈
}
Không gian này cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng
u v ,
u v ,
′ u v′ ,
.
=
+
(1.1.4)
1
H
để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.4), nghĩa là
Kí hiệu
.
1
H
1
u
u u ,
,
.
(1.1.5)
=
u H ∈
1
1
H
H
1H sau
Ta có bổ đề liên hệ giữa hai không gian
2L và
1
là compact và
Bổ đề 1.1. Phép nhúng
H
0(
)
C Ω-
1
(1.1.6)
v
2
v
,
v H
.
≤
∀ ∈
0
1
C
H
(
)
Ω
Chứng minh. Xem Adams[1].
6
Ta cũng sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không
gian
1
1
H
(1.1.7)
H
D
(
)
(
= Ω =
H Ω ) .
1 0
C ∞ c
Bổ đề 1.2. Ta có phép nhúng từ
H
(
)
là compact và
0 C Ω-
1 0
0
1 0
x
(
)
C
H
Ω
1 0
(1.1.8)
1
1
v v v v H , ≤ = ∀ ∈
1 0
x
H
H
H
1 0
v v v v v H . ≤ = ≤ ∀ ∈ 1 2 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
1
Chứng minh bổ đề 1.2 không khó khăn.
0H là
1
H
: (0)
v
Một cách đặc trưng khác để xác định
=
1 0
{ v H v = ∈
} (1) 0 . =
(1.1.9)
Bổ đề 1.3. Đồng nhất
2L với
2( )L ′ (đối ngẫu của
2L ). Khi đó ta có
1
2 L
2( L ′ )
1 H −
(
với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.
0H -
′ ≡ ≡ - 1 )H 0
Chú thích 1.2. Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng
1
2L để chỉ cặp tích đối ngẫu
,⋅ ⋅ trong
1H − . Chuẩn trong
2L được
0H và
H
1 H− ,
1 0
giữa , ⋅ ⋅
⋅
X
. . Ta cũng ký hiệu để chỉ chuẩn trong không gian Banach ký hiệu bởi
p
. ≤ ∞
.X X và gọi X ′ là không gian đối ngẫu của
1.2. Không gian hàm
p L
(0, T X ; ), 1 ≤
.
⋅
X
Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là Ta kí hiệu
≤ ∞ là không gian các lớp tương đương chứa hàm
pL
(0, ; ), T X 1 p≤
T
1 p
p
u
u t ( )
dt
,
u : (0, T ) X→ đo được sao cho
< ∞
=
p
(0,
)
L
; T X
X
∫
0
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
nếu 1 p≤ < ∞
và
7
=
pL
(0,
T X ;
)
X
u , nếu p = ∞ . ess 0 u t sup ( ) t T < <
Khi đó ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh của chúng có thể tìm
p
≤ ∞
thấy trong Lions[13].
Bổ đề 1.4.
p L
p
,
(0, T X ; ), 1 ≤ là không gian Banach.
Bổ đề 1.5. Gọi X ′ là đối ngẫu của X. Khi đó, với
′ =
p
1
p −
′
pL
′ là đối ngẫu của )
pL
(0, T X ; (0, T X ). ; 1 p< < ∞ ,
pL
T X cũng phản xạ. Hơn nữa, nếu X phản xạ thì (0, ) ;
Bổ đề 1.6.
1( L
′ ))
∞ L
′ ).
=
1(0, L
(0, T X ; (0, T X ; Hơn nữa, các không gian
∞ L
′ không phản xạ. )
T X ), ; (0, T X ;
Chú thích 1.3. Nếu
p L
p L
p X L =
Ω
=
Ω ×
( ) thì (0, T X ; ) ( (0, T )).
1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach.
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến
tính liên tục từ D ((0, )) T vào X được gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có
giá trị trong .X Tập hợp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là
′ ((0, D
∞
)) ; T X = L D ( ((0, T )); X = {u: ) D ((0, )) T →X: u tuyến tính, liên tục}.
Chú thích 1.4. Ta kí hiệu
cC
D T thay cho (0, ) D ((0, T hoặc )) ((0, T ))
để chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn và có giá compact trong (0, ).T
theo
Định nghĩa 1.2. Cho
′∈u D T X Ta định nghĩa đạo hàm
(0, ). ; du dt
nghĩa phân bố của u bởi công thức
= −
ϕ ∀ ∈
(1.3.1) u , D T (0, ). , ϕ du dt d ϕ dt
Bổ đề 1.7.
pL
′⊂
(0, T X ; ) D T X (0, ; ) với phép nhúng liên tục.
8
Chứng minh của bổ đề 1.7 có thể tìm thấy trong Lions[13].
1.4. Đạo hàm trong
pL
pL
(0, T X ). ;
′∈
(0, T X ta có thể coi ) ; u D T X (0, ; ) và do đó Do bổ đề 1.7, u ∈ du dt
′D T X Ta có kết quả sau:
p
là phần tử của (0, ). ;
Bổ đề 1.8. Nếu
′∈
u u , L (0, T X ; ) thì u bằng hầu hết một hàm liên tục
từ [0, ]T vào .X
Chứng minh của bổ đề 1.8 có thể tìm thấy trong Lions[13].
1.5. Bổ đề về tính compact của Lions.
0
1
0
1
Cho ba không gian Banach X X X với , , X X- - với các phép X
nhúng liên tục sao cho
0
1
(1.5.1) , X X là phản xạ,
0X
X- là compact. (1.5.2) Phép nhúng
, 1
T
i
0,1.
< < +∞ ≤
, ≤ +∞ =
p i
′
v
p L 1
(0, W T
)
(0,
; T X
) :
(0,
; T X
Ta đặt Với 0
∈
0
1
{ p v L = ∈ 0
} ) .
(1.5.3)
p
Ta trang bị cho W T chuẩn sau (0, )
=
+
0
p 1
L
L
(0, W T
)
(0,
; T X
)
(0,
; T X
)
0
1
(1.5.4) v v v′ .
pL
0 (0,
Khi đó W T là không gian Banach. Hiển nhiên (0, ) (0, W T - ) T X ). ;
Ta có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact.
Bổ đề 1.9. (Bổ đề về tính compact của Lions[13]). Với giả thiết (1.5.1),
-
p L 0
<
ip
thì phép nhúng W T (0, ) (0, T X ; ) là (1.5.2) và nếu 1 0,1 i , < ∞ =
compact.
Chứng minh. Có thể tìm thấy trong Lions[13], trang 57.
9
1.6. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong
qL Q ( ).
Bổ đề 1.10. Cho Q
N(cid:92)
q
là tập mở, bị chặn của và
G
trong đó C là hằng số độc
< < +∞ sao cho,
C≤
mG G L Q ∈
qm L
lập với m và
G→ hầu khắp nơi trong Q. Khi đó,
G→ yếu trong
mG
mG
qL Q ( ).
q , , ( ), 1
1.7. Một số kết quả khác.
Bổ đề sau đây liên quan đến một bất phương trình tích phân và nó rất
Giả sử
f
cần thiết cho việc đánh giá tiên nghiệm trong các chương sau.
Bổ đề 1.11. (Bổ đề Gronwall). ]
[ : 0,
T → (cid:92) là hàm khả tích, không âm trên [
]0,T và thỏa bất
t
],
[0, T∈
f
t ( )
với hầu hết
trong đó
( )
đẳng thức
≤
+
,C C là 2
1
1
t ∫ C C f s ds 2 0
các hằng số không âm.
2
Khi đó
f
t ( )
,C t
với hầu hết
t
].
T∈ [0,
C e≤ 1
Cuối cùng ta cần đến bổ đề sau.
Bổ đề 1.12. Cho dãy
}η thỏa mãn m{
0, 0
m
1,2,...
(1.7.1)
=
≤
+
≤
=
η 0
m
m
1
, η ζη τ−
trong đó 0
1,
0
τ
≤ < ζ
≥ là các hằng số cho trước. Khi đó
(1.7.2)
với mọi
1.m ≥
,
η
≤
m
1
τ −
ζ
u t
Trong luận văn ta kí hiệu ( )u t ,
( ),
( ),
( ),
u t= (cid:5)
u t= (cid:5)(cid:5)
= ∇
( ) tu t
( ) ttu t
( ) xu t
2
2
u x t
( , ),
x t ( , ),
x t ( , ),
x t ( , ),
x t ( , ).
để lần lượt chỉ
u t ( )
= Δ
xxu t ( )
u 2
u ∂ t ∂
∂ t ∂
u ∂ x ∂
u ∂ 2 x ∂
10
Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM.
2.1. Giới thiệu.
Trong chương này chúng tôi xét bài toán biên và giá trị đầu sau:
u
u
F x t
t T
( ) f u
( , ), 0
,
1, 0
−
+
+
δ
u λ
=
x < <
< <
x
tt
t
x
u
t
(2.1.1)
( (0, ) t
=
u x
( ,0)
( ,0)
( ),
) (1, ) 0, u = (cid:4) ( ), u x u x
=
=
t
0
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
trong đó
,λ δ là các hằng số không âm cho trước;
,
(cid:4) là các hàm f F u u(cid:4) , , 1
0
cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
Trong chương này, ta sẽ thiết lập một định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
yếu của bài toán (2.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với
phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu.
1
2L gồm các
0H và trực chuẩn trong
Xét một cơ sở trực giao { }jw của
j
hàm
2 sin(
),
1,2,...
được lập từ các hàm riêng của toán tử Laplace
=
j x π
=
jw
2
w
w
,
1, 2,....
2 H j ,
−Δ = −
−Δ
=
=
=
sao cho
j
, λ λ π j
j w H j
2 j
j
1 ∈ ∩ 0
1
w λ cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của
0H
/j
j
}
∂ 2x ∂ Hơn nữa, dãy {
đối với tích vô hướng
, u v
( , ) a u v
.
(2.1.2)
=
=
, u v x
x
H
1 0
(cid:4) u x 1
2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính.
Ta thành lập các giả thiết sau:
(
0, λ δ>
≥ 0,
)H 1
2
,
,
(
∈
1 ∈ ∩ 0
0
1 0
)H 2
F
F t
t
F
∞ L
2 L
(
,
(0,
),
thỏa
(0, ) t
(1, ) 0,
0,
∈
; ∞
=
= ∀ ≥
)H 3
F ∂ x ∂
(cid:4) u H (cid:4) H u H 1
11
2 (
(
f ′
(0) 0.
f C∈
=
)H 4
Bài toán (2.1.1) được viết lại
t T
(2.2.1)
(cid:105)( , , f x t u u
,
,
), 0
1, 0
(cid:5)(cid:5) u u −
+
=
x < <
< <
(cid:5) u λ
xx
x
u
u
t
(2.2.2)
(0, ) t
=
= (1, ) 0,
(cid:5)
u x
( ,0)
(cid:4) ( ), u x u x
( ,0)
( ),
(2.2.3)
=
=
0
(cid:4) u x 1
trong đó
(2.2.4)
(cid:105)( , , ( , ), f x t u x t u x t
( , ))
F x t ( , )
f u x t u x t
( ( , ))
( , ).
δ ′
=
+
x
x
0,
Với
0,M >
T > ta đặt:
i ( )
f
(2.2.5)
(
,
)
sup
( ) : u
1, 2),
=
=
u M ≤
=
K K M f i
i
{
} 2 ( i
2
2
W M T (
,
) {
∞ v L
(0,
T H ;
H
) :
(0,
;
),
(
),
= ∈
∩
∞ (cid:5) v L ∈
∈
1 0
(2.2.6)
2
v
,
(cid:5) v
(cid:5)(cid:5) T H v L Q T M
1 0 ,
(cid:5)(cid:5) v
},
≤
∞ L
∞ L
(0,
;
)
(0,
T H ;
)
)
∩
2 L Q ( T
1 T H H 0
1 0
,
)
) :
(
(0,
T L ;
(2.2.7)
∈(cid:5)(cid:5)
W M T 1(
{ ∞ v W M T v L , = ∈
}2 ) .
trong
W M T bằng qui nạp và
)
,
Tiếp theo, ta xây dựng dãy { }mu
1(
chứng minh nó hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (2.2.1) – (2.2.3) với sự lựa
chọn
0,M >
0T > thích hợp.
Ta xét thuật giải xấp xỉ tuyến tính sau:
Giả sử rằng
Chọn số hạng đầu
,
).
∈
u W M T 1(
0
,
).
(2.2.8)
mu
1
1( W M T
− ∈
Ta liên kết bài toán (2.2.1) – (2.2.3) với bài toán biến phân sau:
sao cho
Tìm
,
)
∈
mu W M T 1(
v H
(2.2.9)
(
(cid:5) ( ), u t v
( ), F t v
,
+
+
=
∀ ∈
λ
(cid:5)(cid:5) ( ), u t v m
( ), ) a u t v m
m
m
1 0
u
(0)
(0)
(2.2.10)
=
=
m
(cid:5) (cid:4) , u u 0
m
(cid:4) , u 1
trong đó
(cid:92) và )
12
u
( , ) F x t
(cid:105) ( , , f x t u
( , )) x t
=
∇
m
(2.2.11)
u
( , ) F x t
( , ), x t ′ ( f u
1 m − ( , )) x t
( , ). x t
1 − δ
=
m +
∇
m
m
1 −
1 −
Sự tồn tại của mu được cho bởi định lí sau
Định lí 2.1. Giả sử
là đúng. Khi đó, tồn tại các hằng số
(
H
)
)
H− (
1
4
dương
,M T và một dãy qui nạp tuyến tính
( W M T
,
)
xác định bởi
⊂
{ } mu
1
(2.2.9) – (2.2.11).
Chứng minh. Gồm các bước sau.
1
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. Xét một cơ sở trực giao Hilbert { }jw của
0H
và trực chuẩn trong
2L như trong mục 2.1.
Đặt
k
)
)
(2.2.12)
u
t ( )
t w ( )
,
k ( m
k ( c mj
j
= ∑
j
1 =
(
k
trong đó
) ( ) t
thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau:
mjc
)
)
(2.2.13)
t w ( ),
a u (
t w ( ),
)
(cid:5) u
t w ( ),
F t w ( ),
k
,
, 1
+
+
λ
=
j ≤ ≤
( k (cid:5)(cid:5) u m
j
( ) k m
j
( k m
j
m
j
)
(2.2.14)
u
(0)
(cid:4) u
,
(0)
k
,
(cid:5) u
, 1
=
=
j ≤ ≤
k ( m
k ( ) m
0
k
(cid:4) u 1 k
trong đó
k
2
)
(cid:4) u
w
H
(2.2.15)
,
=
→
H∩
1 0
0
k
( k mj
j
(cid:4) mạnh trong u 0
∑α
j
1 =
k
1
)
w
(2.2.16)
=
→
0.H
(cid:4) mạnh trong u 1
(cid:4) u 1 k
( k mj
j
∑β
j
1 =
Hệ (2.2.13), (2.2.14) có thể viết thành một dạng khác
)
)
)
( ) t
( ) t
( ) t
( ), F t w
,
λ
+
+
=
( k (cid:5)(cid:5) c mj
2 ( k c j mj
( k (cid:5) c λ mj
m
j
(2.2.17)
)
)
)
)
k
(0)
,
(0)
.
, 1
=
=
j ≤ ≤
k ( c mj
k ( α mj
k ( (cid:5) c mj
k ( β mj
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
Từ
(2.2.17) ta có 1
13
)
)
(
t λ t e ( )
t λ t e ( )
( ),
k
.
, 1
=
j ≤ ≤
( k (cid:5) c mj
λ′ + ) t
2 ( k c j mj
t λ e F t w m
j
Do đó ta suy ra rằng
)
t
)
)
)
t λ
−
s r −
e
( ) t
(1
)
( ) s ds
=
+
−
−
( ) k c mj
( k α mj
2 λ j
( k c mj
∫
( k β mj λ
0
r ( λ ∫ dr e 0
(2.2.18)
t
r
)
s r −
dr
( λ e
. F s w ds
( ),
+
m
j
∫
∫
0
0
Bổ đề 2.1. Giả sử rằng
1mu − thỏa (2.2.8). Khi đó hệ (2.2.13) có nghiệm
k
(
duy nhất
) ( )
t trên một khoảng 0
. ≤ ≤t T
mu
Chứng minh bổ đề 2.1. Bỏ qua các chỉ số m, k trong cách viết và ta
)
)
,
.
Ta viết lại hệ (2.2.18)
viết
( ),
,
c t α β lần lượt thay cho
( ) k c mj
( k ( k t α β ( ), mj mj
j
j
j
thành phương trình điểm bất động
t T
(2.2.19)
( ) c t
( Uc t
)( ), 0
,
=
≤ ≤
trong đó
Uc
Uc
c
(
,...,
((
=
=
) ), k
) ,...,( 1
( Uc
)
), c Uc k ( ) t
( Vc
c 1 =
+
j
γ j
) ( ), t j
r
t
)
t λ
−
s r −
(2.2.20)
e
dr
( λ e
F s w ds
( ) t
(1
)
( ),
,
=
+
−
+
α j
m
j
∫
∫
0
0
β j λ t
)
s r −
k
( Vc
( ) c s ds
, 1
.
= −
j ≤ ≤
j
) ( ) t j
2 λ j
∫
r ( λ dr e ∫ 0
0
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ γ j ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Ta chỉ cần chứng minh: tồn tại một số tự nhiên
0p sao cho toán tử
0
p 0
U
T
X
:
([0,
];
là co, tức là tồn tại hằng số
sao cho
[0,1)
X C =
k →(cid:92) )
∈ρ
p 0
p 0
(2.2.21)
,
ρ
U c U d −
≤
c d −
∀
, c d X ∈
X
X
ở đây, ta sử dụng chuẩn trong X như sau
k
c
( ) ,
.
(2.2.22)
=
c X ∈
c t j
X
∑
sup 0 t T j ≤ ≤
1 =
Sau đây, bằng qui nạp ta sẽ chứng minh rằng
p∀ ∈ (cid:96) ta có ,
14
2
p
k
T
(2.2.23)
p ( U c
p ( U d
,
[0,
]
,
−
≤
c d −
∀
, c d X ∈
t ∀ ∈
) ( ) t j
) ( ) t j
X
∑
( ) t σ (2 )! p
j
1 =
với
.kσ π=
1,
p = ta có
• Với
r
t
k
k
2
( Uc
( Ud
(
( ) d s ds
) k π
−
≤
−
) ( ) t j
) ( ) t j
( ) c s j
j
∑
∑∫ ∫ dr
j
j
1 =
1 =
0
0
(2.2.24)
2
.
≤
c d −
X
( t) σ 2!
Vậy (2.2.23) đúng với
p = 1.
1,
• Giả sử (2.2.23) đúng với
p ≥ tức là
2
p
k
T
p ( U c
p ( U d
,
[0,
].
(2.2.25)
−
≤
c d −
∀
, c d X ∈
t ∀ ∈
) ( ) t j
) ( ) t j
X
∑
( ) t σ (2 )! p
j
1 =
1,
• Ta sẽ chứng minh (2.2.23) đúng với
p + nghĩa là
2
k
T
1 p + ( U c
p 1 + ( U d
, c d X t
[0,
].
(2.2.26)
−
≤
c d −
∀
, ∈ ∀ ∈
) ( ) t j
) ( ) t j
X
∑
2)!
2 p σ + ) ( t (2 p +
j
1 =
Thật vậy
k
k
p
1 p + U c (
1 p + U d (
p U U c ( (
U U d ( (
(2.2.27)
−
=
−
t ) ( ) j
t ) ( ) j
t )) ( ) j
t )) ( ) j
∑
∑
j
j
1 =
1 =
r
t
k
s ds
p ( U c
p ( U d
2 σ
−
≤
) ( ) s j
) ( ) j
∑∫ ∫ dr
j
1 =
0
0
t
r
2
p
dr
ds
2 σ≤
c d −
X
∫
∫
( ) s σ (2 )! p
0
0
2
,
[0,
T
].
=
c d −
∀
c d X , ∈
t ∀ ∈
X
2)!
2 p σ + t ) ( (2 p +
Từ (2.2.27) suy ra (2.2.26) đúng. Như vậy (2.2.23) đúng
p∀ ∈ (cid:96) .
15
2
p
0
nên tồn tại số tự nhiên
Mặt khác, do
=
0p sao cho
lim p →+∞
) T ( σ p (2 )!
1.
0pU là co. Theo nguyên lý ánh xạ co, ta suy ra rằng
< Tức toán tử
( σ (2
pT 02 ) p )! 0
k
(
) ( )
.
hệ (2.2.13) có duy nhất nghiệm
t trên 0
≤ ≤t T Vậy bổ đề 2.1 được
mu
chứng minh.(cid:44)
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm.
Đặt
2
2
)
)
)
)
,
(2.2.28)
X
t ( )
(cid:5) u
t ( )
a u (
t u ( ),
(cid:5) u
s ( )
ds
=
+
t ( )) 2 +
( k m
( ) k m
( k m
( k m
( k m
t ∫ λ 0
2
2
k
)
)
)
)
)
(2.2.29)
,
(cid:5) u
s ( )
ds
t ( )
(cid:5) a u (
(cid:5) t u ( ),
t ( ))
t ( )
+
=
u + Δ
k ( m
( Y m
k ( m
k ( m
k ( m
t ∇∫ 2 λ 0
t
)
)
(2.2.30)
S
t ( )
X
t ( )
t ( )
2 s ds ( ) .
=
+
k ( m
k ( ) m
k ( ) Y m
k ( m
+ ∫ (cid:5)(cid:5) u
0
Đánh giá thứ nhất.
(
k
Nhân (2.2.13) với
) ( ) t
và lấy tổng theo j, ta được
(cid:5) mjc
2
)
)
)
)
)
)
(2.2.31)
(cid:5) t u ( ),
t ( )
a u (
(cid:5) t u ( ),
t ( ))
(cid:5) u
t ( )
(cid:5) F t u ( ),
t ( ) .
+
+
=
λ
k ( (cid:5)(cid:5) u m
k ( m
k ( m
k ( m
k ( m
m
k ( m
Do đó
)
)
X
t ( )
(cid:5) F t u ( ),
t ( ) .
=
k ( m
m
k ( m
1 2
d dt
Suy ra
t
)
)
(2.2.32)
X
t ( )
X
(cid:5) F s u ( ),
s ds ( ) .
=
k ( m
k ( m
m
k ( ) m
+ ∫ (0) 2
0
Đánh giá thứ hai.
2
Trong (2.2.13) thay
sau đó đơn giản cho
,
w
w
= −
Δ
jλ ta được
j
j
1 2 λ j
16
)
)
)
t ( ),
w
a u (
t ( ),
w
)
(cid:5) u
t ( ),
w
( ),
w
.
(2.2.33)
−Δ
+
−Δ
+
−Δ
=
−Δ
λ
( k (cid:5)(cid:5) u m
j
( k m
j
( k m
j
F t m
j
Hơn nữa, ta có:
)
)
t ( ),
w
t w ( ),
),
(2.2.34)
−Δ
=
( k (cid:5)(cid:5) u m
( k (cid:5)(cid:5) a u ( m
j
j
)
)
a u (
t ( ),
w
)
u
t ( ),
w
,
(2.2.35)
−Δ
= Δ
Δ
( k m
j
( k m
j
)
)
(cid:5) u
t ( ),
w
(cid:5) a u (
t w ( ),
),
(2.2.36)
−Δ
=
k ( m
k ( m
j
j
1
j
m
j
∫
0
1
(2.2.37)
( ), w ( , ) ( ) −Δ = − F x t w x dx Δ F t m
m
j
m
j
0
1 ∫ + ∇ 0
F x t w x ( ) ( , ) ( , ) ( ) = − ∇ F x t w x dx ∇
j
( ), ( ). = a F t w m
)
)
)
t w ( ),
)
u
t ( ),
w
(cid:5) a u (
t w ( ),
)
( ),
(
).
Nhờ vào (2.2.33) – (2.2.37) ta có
+ Δ
Δ
+
=
λ
( k (cid:5)(cid:5) a u ( m
j
( k m
j
( k m
j
a F t w m
j
k
(
) ( ) t
(2.2.38)
jw bởi
(cid:5) mu
)
)
)
)
)
(cid:5) t u ( ),
t ( ))
t ( ),
t ( )
(cid:5) a u (
(cid:5) t u ( ),
t ( ))
u + Δ
(cid:5) u Δ
+
λ
( k (cid:5)(cid:5) a u ( m
( k m
( ) k m
( k m
( k m
( k m
ta được Trong (2.2.38) thay
)
( ),
(
t ( )).
=
(cid:5) a F t u m
( k m
Do đó ta có
k
)
)
(2.2.40)
t ( )
( ),
(
t ( )).
=
( Y m
(cid:5) a F t u m
( k m
1 2
d dt
Tích phân theo t, ta được
t
)
)
)
k
k
t ( )
( ),
(
s ds ( )) .
(2.2.41)
=
( Y m
( Y m
(cid:5) a F s u m
( k m
+ ∫ (0) 2
0
Từ (2.2.32) và (2.2.41) suy ra
(2.2.39)
17
t
t
2
)
)
)
S
t ( )
S
(cid:5) F s u ( ),
s ds ( )
s ( )
ds
=
(0) 2 +
+
k ( m
k ( ) m
m
k ( m
k ( (cid:5)(cid:5) u m
∫
∫
0
0
t
)
2
( ),
(
s ds ( ))
+
(2.2.42)
(cid:5) a F s u m
( k m
∫
)
S
(0)
I
I
.
=
+
0 I + + 1
2
3
( k m
Sau đây, ta sẽ lần lượt đánh giá các tích phân trong (2.2.42).
t
)
Tích phân thứ nhất
(cid:5) F s u ( ),
s ds ( )
.
m
k ( m
I 1
= ∫ 2
0
Ta có
t
t
)
)
(2.2.43)
2
(cid:5) F s u ( ),
s ds ( )
2
(cid:5) F s u ( )
s ds ( ) .
=
≤
m
k ( m
m
k ( m
I 1
∫
∫
0
0
Do (2.2.8) nên từ (2.2.5) – (2.2.7) ta suy ra
i ( )
i ( )
(2.2.44)
f
u (
x t ( , ))
f
z ( )
1, 2, ( , )
.
≤
≤
=
m
K i , i
x t Q ∈ T
1 −
sup z M ≤
Do đó, từ (2.2.11) và (2.2.44) ta có
(2.2.45)
F x t ( , )
F x t ( , )
x t ( , ) .
≤
+
δ
m
K u ∇ 1
m
1 −
Suy ra
2
2
F t ( )
u
t ( )
≤
+
∇
δ
F t ( ) m
m
K 1
1 −
(
)
2
2
2
F t ( )
(2.2.46)
≤
+
2 2 δ
2 K M 1
2
2
F
.
≤
+
2 2 δ
2 K M 1
2 ∞ L
(0,
2 T L ;
)
Sử dụng bất đẳng thức
2
2
(cid:92)
2
ab
a
a b ,
0,
(2.2.47)
≤
+
∀
, ∈ ∀ >
b ε
ε
1 ε
ta suy ra từ (2.2.43) và (2.2.46) rằng
18
t
t
2
2
)
k ( m
∫ 3
∫
0
0
t
2
2
)
ds (cid:5) u ( ) s ds ≤ + ( ) F s m I 1 1 3
2 δ
k ( m
2 1
2 ∞ L
(0,
2 T L ;
)
∫
0
(2.2.48)
t
2
3 T F K M T (cid:5) u ( ) s ds ≤ + + 2 3 2 3
2 δ
k ( ) m
2 1
2 ∞ L
(0,
2 T L ;
)
∫ 3
0
t
2
)
T F K M T X ( ) s ds + ≤ + 2 3 2 3
2 δ
k ( m
2 1
2 ∞ L
(0,
2 T L ;
)
∫ 3
0
t
2
)
T F K M T S ( ) . s ds + ≤ + 2 3 2 3
k ( m
2
0
Tích phân thứ hai I s ( ) ds . = ∫ (cid:5)(cid:5) u
)
)
)
t w ( ),
t w ( ),
(cid:5) u
t w ( ),
F t w ( ),
.
Ta có phương trình (2.2.13) được viết lại
u − Δ
+
=
λ
( k (cid:5)(cid:5) u m
j
( k m
j
( k m
j
m
j
(2.2.49)
) ( ), t
jw bởi
)
t ( )
u
t ( )
(cid:5) u
t ( )
Do đó thay thế ta được (cid:5)(cid:5) k ( mu
≤ Δ
+
+
λ
k ( ) (cid:5)(cid:5) u m
k ( m
k ( ) m
F t ( ) m
.
t
t
t
2
2
2
)
)
Do đó
2 3 λ
2
( k m
( k m
∫ 3
∫ 3
∫
0
0
0
(2.2.50) I s ( ) ds (cid:5) u s ( ) ds ds . ≤ u Δ + + F s ( ) m
t
t
k
)
Do (2.2.28) – (2.2.30) và (2.2.46), ta suy từ (2.2.50) rằng
2 3 λ
( Y m
k ( ) m
2
∫
∫ 3
0
0
I s ds ( ) X s ds ( ) ≤ +
2 2 δ
2 1
2 ∞ L
(0,
2 T L ;
)
) 2 K M ds
t ( ∫ 3 2 0
t
)
2
F (2.2.51) + +
2 λ
2 6 δ
k ( m
2 1
2 ∞ L
(0,
2 T L ;
)
∫
0
t
)
3(1 ) S s ds ( ) T F 6 K M T . ≤ + + +
3
( k m
0
I ( ), ( s ds ( )) . Tích phân thứ ba (cid:5) a F s u m = ∫ 2
19
t
t
)
Ta có
k ( m
k ( ) m
3
∫
∫
0
0
(2.2.52) I 2 ( ), ( s ds ( )) 2 (cid:5) u s ds ( ) . = ≤ ∇ ∇ (cid:5) a F s u m F s ( ) m
0
1
u
x t ( , )
u
t ( )
u
t ( )
2
M
2,
∇
≤ ∇
≤ ∇
≤
m
m
m
1 −
1 −
1 −
C
(
)
H
Ω
Ta có
2
F t ( )
′′ ( f u
t ( ))(
u
t ( ))
′ ( f u
t ( ))
u
t ( ).
δ
δ
∇
= ∇
+
∇
+
Δ
F t ( ) m
m
m
m
m
1 −
1 −
1 −
1 −
Do (2.2.5), (2.2.6) và (2.2.44), ta suy từ (2.2.53) rằng
2
0
F t ( )
K
u
t ( )
t ( )
∇
≤ ∇
+
δ
∇
+
δ
F t ( ) m
m
m
2
K u Δ 1
1 −
1 −
C
(
)
Ω
(2.2.54)
F
(2
).
≤ ∇
+
δ
+
M K M K 2 1
∞ L
(0,
2 T L ;
)
Do đó từ (2.2.52) kết hợp với (2.2.28) – (2.2.30), (2.2.47) và (2.2.54) ta
được
t
t
2
2
)
2
I
ds
(2.2.53)
( ) s
ds
≤
∇
+
∇
( ) F s m
k ( m
3
∫
∫
1 2
0
0
t
t
k
2
2
)
(2.2.55)
2
(2
)
2
F
ds
( ) s ds
≤
∇
+
+
+
2 2 δ
( Y m
M K M K 2 1
2 ∞ L
(0,
2 T L ;
)
(
)
∫
∫
1 2
0
0
t
2
2
)
(2
)
2
T F
M K M K T
S
( ) . s ds
≤ ∇
+
+
+
2 δ
k ( m
2
1
2 ∞ L
(0,
2 T L ;
)
∫
0
Từ (2.2.42), (2.2.48), (2.2.51), (2.2.55) ta có
t
)
)
S
t ( )
S
(0)
D M T (
,
)
)
S
s ds ( )
,
(2.2.56)
≤
+
+
(8 3 +
2 λ
k ( m
k ( ) m
k ( m
1
∫
0
trong đó
(cid:5) u
1
(0,
)
(0,
)
2 ∞ L
2 ; T L
2 ∞ L
2 ; T L
(2.2.57)
2
2 M T
T F T F D M T ( , ) = + ∇ 20 3
2 δ
2 K 1
2
MK ( 2 ) . + + + K 1 20 3 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
Bây giờ ta đánh giá số hạng:
20
2
2
)
0
0
0
( k m
k
k
k
S (0) (cid:4) a u ( , (cid:4) u ) ( , ) (cid:4) u . (2.2.58) = + + + Δ (cid:4) u 1 k (cid:4) (cid:4) a u u 1 1 k k
2
Do (2.2.15) – (2.2.16) nên tồn tại 0M > độc lập với k và m sao cho
) (0)
S
. , k m
≤
∀
( k m
M 2
Tiếp theo ta chọn hằng số
0T > sao cho
2
2
(2.2.60)
D M T M ,
)
exp
(8 3
.
+
≤
− +
2 Tλ )
1(
(
)
M 2
Từ (2.2.56), (2.2.58) – (2.2.60) ta suy ra
t
)
2
)
(2.2.61)
S
exp
(8 3
T )
)
S
s ds ( )
,
0
t T
.
t M ( ) ≤
− +
2 λ
+
(8 3 +
2 λ
≤ ≤
( k m
( k m
(
)
∫
0
2
k
)
(
2
(8 3
exp
T )
,
(2.2.62)
0
t T
.
t M ( ) ≤
− +
+
2 λ
2 λ
≤ ≤
mS
Do bổ đề Gronwall, ta suy ra từ (2.2.61) rằng (
( exp (8 3
)
) t M ) ≤
Vậy ta có
)
k
(
W M T (
,
)
.
(2.2.63)
m k ,
∈
∀
mu
)k
sao cho:
Bước 3. Qua giới hạn. Từ (2.2.63) ta có thể lấy từ dãy {
}( mu
một dãy con {
}( )ik mu
2
(2.2.64)
u
∞ L
(0,
T H ;
H
)
yếu*,
u→ trong
∩
( )ik m
m
1 0
∞ L
(0,
T H ;
)
yếu*,
(2.2.65)
( )ik u→(cid:5) u m
(2.2.59)
1 0
(2.2.66)
( )ik u→(cid:5)(cid:5) u m
(cid:5) trong m
2 ( L Q yếu, )T
(2.2.67)
,
).
∈
mu W M T (
Qua giới hạn trong (2.2.13), (2.2.14) và nhờ vào (2.2.64) – (2.2.67) ta
2 (0, L
T yếu.
)
có mu thỏa (2.2.9) – (2.2.11) trong
Mặt khác, ta suy từ (2.2.9) – (2.2.11) rằng
(cid:5)(cid:5) trong m
,
u
)
∞ L
(0,
2 T L ;
).
(2.2.68)
u = Δ −
+
∇
∈
m
m
m
m
1 −
1 −
Do đó
Vậy định lí 2.1 được chứng minh xong.(cid:44)
,
).
∈
mu W M T 1(
(cid:4) f x t u ( , , (cid:5) u λ (cid:5)(cid:5) u m
21
2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Trong phần này ta sẽ chứng tỏ rằng bài toán (2.2.1) – (2.2.3) có duy
nhất một nghiệm yếu. Ta giới thiệu không gian
(0,
∞ T H v L ) :
;
(0,
2 T L ;
(2.3.1)
∈(cid:5)
W T ( ) 1
1 0
{ ∞ v L = ∈
} ) .
Chú ý rằng
1( )W T là một không gian Banach đối với chuẩn
v
v
.
(2.3.2)
= ∇
+ (cid:5) v
)
∞ L
(0,
2 T L ;
)
∞ L
(0,
2 T L ;
)
W T 1 (
Định lí 2.2. Giả sử
(
H
)
)
là đúng. Khi đó tồn tại các hằng số
H− (
1
4
0,M >
0T > sao cho bài toán (2.2.1) – (2.2.3) có duy nhất nghiệm yếu
,
).
∈
u W M T 1(
được xác định bởi (2.2.9) –
Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính {
}mu
(2.2.11) hội tụ mạnh về u trong không gian
1( ).W T
Hơn nữa, ta cũng có đánh giá sai số
(2.3.3)
u
u
(cid:5) u
(cid:5) u
m ,
m
+
−
≤
∀
∇ − ∇ m
m
Ck T
(0,
)
(0,
)
∞ L
2 ; T L
∞ L
2 ; T L
trong đó
(2.3.4)
2)
T
2 ( δ=
K MK +
< 1,
Tk
1
2
và C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào
T u u và ,
,
0
1
.Tk
Chứng minh.
là một dãy Cauchy trong
(i) Sự tồn tại nghiệm. }mu Ta sẽ chứng minh {
1( ).W T
u
.
Đặt
=
−
v m
m
u Khi đó mv thỏa bài toán biến phân sau
m
1 +
(
t ( )
F t v ( ),
v H
,
〉 = 〈
−
〉 ∀ ∈
+ 〈 λ
1 0
F m
m
1 +
(2.3.5)
(cid:5) v t v ( ), m
=
a v t v ( ), ) m (0) 0. =
v m
〉 + (cid:5) v m
⎧〈 ⎨ ⎩
Ta lấy
v
(2.3.5) rồi sau đó tích phân theo t, ta được
v= (cid:5) trong
m
1
(cid:5)(cid:5) v t v ( ), m (0)
22
2
2
a v t v t ( ),
(
s ( )
ds
+
( )) 2 +
m
m
t ∫ λ 0
(2.3.6)
t
2
s ( )
=
〈
−
( ) s ds . 〉
F m
(cid:5) v t ( ) m (cid:5) v m
m
1 +
∫
0
Ta có
t ( )
( ))
′ ( f u
t ( ))
u
−
=
∇
−
∇
F m
′ ( f u t m
u t ( ) m
m
m
1 +
1 −
1 −
(2.3.7)
( ) t
f
( ) t
u
=
∇
+
∇
F t ( ) m { δ
} t ( ) } ( ) , t
{ δ ′ ( ( )) f u t m
v m
′′ ( λ m
( )) t v m
m
1 −
1 −
1 −
trong đó
t ( )
u
t ( )
t ( ), 0
=
+
< < 1.
θ
λ m
m
v θ m
1 −
1 −
Do (2.2.5) và (2.2.6) nên từ (2.3.7) ta suy ra
t ( )
2
t ( )
−
≤
∇
t MK ( ) +
F m
F t ( ) m
K 1
v m
2
v m
1 +
1 −
1 −
)
2
MK
)
t ( )
(2.3.8)
( δ ( δ
≤
+
∇
K 1
2
v m
1 −
2
)
.
≤
( δ
+
K 1
MK v 2
1 −
m W T (
)
1
Do đó từ (2.3.7) và (2.3.8) ta suy ra
2
2
(cid:5) F s v ( ), m
m
m
t ∫ λ 0
t
(2.3.9)
a v t v t ( ), ( s ( ) ds + ( )) 2 + (cid:5) v t ( ) m (cid:5) v m
1 −
)
( W T 1
∫
0
2 ) s ds ( ) ≤ ( δ + K 1 MK v 2 m (cid:5) v m
1 −
(0,
)
)
∞ L
2 ; T L
( W T 1
2 . ≤ ( δ + K 1 MK T v ) 2 m (cid:5) v m
Suy ra
2
.
( δ
≤
+
(cid:5) v m
K 1
MK T v ) 2 m
1 −
∞ L
(0,
2 T L ,
)
)
W T ( 1
(2.3.10)
Kết hợp (2.3.9) và (2.3.10) ta được
1 −
)
)
W T ( 1
W T ( 1
(2.3.11) ≤ ∀ m , v m k v T m
2
)
1.
2 ( δ=
+
< Do đó
Tk
K 1
MK T 2
u
u
(1
-1)
≤
−
−
trong đó
m . ∀
u 1
u 0
m p
m
m k T
k T
+ −
)
( W T 1
)
( W T 1
(2.3.12)
23
1( ).W T Do đó tồn tại
là dãy Cauchy trong Từ (2.3.12) ta suy { }mu
u W T∈ 1( )
sao cho
mu
1( ).W T
(2.3.13) u→ mạnh trong
1(
Ta chú ý rằng ), , một dãy con ∈mu W M T khi đó có thể lấy từ { }mu
}jmu {
2
∞ L
sao cho
u→ trong
1 0
jmu
(0, T H ; H ) yếu *, (2.3.14) ∩
∞ L
1 0
(cid:5) trong (0, T H ; ) yếu *, (2.3.15) u→(cid:5) jmu
2 ( L Q yếu, )T
(cid:5)(cid:5) trong (2.3.16) u→(cid:5)(cid:5) jmu
(2.3.17) u W M T ( , ). ∈
Ta chú ý rằng
m
1 −
j
j
(0,
)
)
∞ L
2 ; T L
( W T 1
(cid:4) f x t u ( , , , u ) 2 ) u . (2.3.18) − ∇ ≤ ( δ + − F t ( ) m K 1 MK u 2
Từ (2.3.14) và (2.3.18) ta thu được
∞L
2 T L ).
x
mạnh trong (0, ; (2.3.19) f x t u u ( , , , ) → (cid:4) F t ( ) jm
j
m m ta thu Khi đó qua giới hạn trong (2.2.9) – (2.2.11) khi , = → +∞
được từ (2.3.13) – (2.3.17) rằng
, ∀ ∈
x
1 0
(2.3.20) (cid:5)(cid:5) u t v ( ), a u t v ( ( ), ) (cid:5) u t v ( ), (cid:4) f x t u u ( , , , ), v v H , + + λ =
và các điều kiện đầu
u
(0)
(0)
=
=
(cid:5) (cid:4) u u , 0
(cid:4) u . 1
(2.3.21)
Mặt khác, từ (2.3.20) và (2.3.21) ta có
∞ L
2 T L ;
xx
x
u (cid:4) f x t u u ( , , , ) (0, ). (2.3.22) = − + ∈ u tt u λ t
Vậy ta thu được
,
).
∈
u W M T 1(
(2.3.23)
Sự tồn tại nghiệm được chứng minh hoàn tất. (cid:44)
24
,u u là hai nghiệm yếu của bài toán (2.2.1) – (2.2.3) sao cho
(ii) Sự duy nhất nghiệm.
2
Giả sử 1
iu W M T i 1( )(
(2.3.24) , 1,2). ∈ =
u t ( )
=
−
u t ( ) 1
u t ( ) 2
Khi đó thỏa bài toán biến phân sau:
∀ ∈
1 0
(2.3.25) (cid:5)(cid:5) u t v ( ), a u t v ( ( ), ) (cid:5) u t v ( ), v H , + + λ = − (cid:4) F t ( ) 1 (cid:4) F t v ( ), 2
và các điều kiện đầu
(2.3.26) u (0) (cid:5) u= (0) 0, =
trong đó
(2.3.27) , 1,2). = ∇ = (cid:4) ( ) F t i (cid:4) ( , , f x t u i )( u i i
t
2
2
Lấy v u= (cid:5) trong (2.3.25) rồi tích phân theo ,t ta được
∫ (cid:4)
t ∫ 2 λ 0
0
(2.3.28) (cid:5) u t ( ) a u t u t ( ( ), ( )) (cid:5) u s ( ) ds 2 + = − + − (cid:4) (cid:5) ( ), ( ) F s u s ds . 2 F s ( ) 1
2
Đặt
(cid:5) u t ( ) a u t u t ( ( ), ( )). (2.3.29) ( ) t σ = +
Ta có
{ δ
} ( ) ,
(2.3.30) ( )) u t ( ) f − = ∇ + ∇ (cid:4) ′′ ( ( )) ( ) t u t λ (cid:4) F t ( ) 1 (cid:4) F t ( ) 2 ′ ( f u t 1 u t 2
( )), 0 1. t ( ) với = + − < < θ (cid:4) λ u t ( ) 2 ( u t ( ) θ 1 u t 2
t
Từ (2.3.28) – (2.3.30) ta suy ra
2
∫
0
2 MK ) (cid:5) u s u s ds ( ) ( ) σ ( ) 2 ( t ≤ δ + ∇ K 1
t
(2.3.31)
t ∀ ∈
2
∫ σ
0
MK T 2 ) s ds ( ) , [0, ]. ≤ ( δ + K 1
i e u . , 1
2
Do bổ đề Gronwall, ta suy ra u . t ( ) 0, σ = =
Định lí 2.2 được chứng minh xong. (cid:44)
25
Chương 3: SỰ HỘI TỤ CẤP HAI.
3.1. Dãy lặp cấp hai.
(
H
)
)
H− (
1
3
Trong chương này, ta xét bài toán (2.1.1) với các giả thiết
và
3(
( (cid:92) và ) f ′ f C∈ = (0) 0. )H 5
0,>M
i ( )
Với ta đặt
i
{
(3.1.1) u ( ) : 1,3). sup ( ) f , = u M ≤ = = K K M f i
} i 2 ( Ta xét thuật giải xấp xỉ tuyến tính sau: Ta chọn u ≡ Giả sử
0
0.
,
),
mu
1
W M T 1(
− ∈
(3.1.2)
mu W M T m 1(
và xét bài toán biến phân tuyến tính: Tìm hàm )( , 1) ∈ ≥ thỏa
1 0
m
m
m
( (cid:5) u t v ( ), v H , λ + + = ∀ ∈ (cid:5)(cid:5) u t v ( ), m a u t v ( ), ) m (cid:4) F t v ( ), m (3.1.3) (0) (0) , = = (cid:5) (cid:4) u u , 0 (cid:4) u 1 ⎧ ⎪ ⎨ u ⎪⎩
trong đó
} )
{
m
m
m
m
1 −
1 −
1 −
F f u ( ) u ( u ) ′ ( f u = + + − δ (cid:4) F m (3.1.4)
m
m
m
m
m
m
1 −
1 −
1 −
1 −
F u u ′ u f u ( ) u ( ′′ f u ( )}. = + − ) ∇ ∂ x ∂ { + ∇ δ
Định lí 3.1. Giả sử
1
3
5
( H ) ) và ( )H là đúng. Khi đó, tồn tại các H− (
0,M >
}
mu
hằng số , ) thỏa (3.1.3) – ⊂ 0T > và dãy lặp tuyến tính { W M T 1(
(3.1.4).
Chứng minh. Gồm các bước.
k
)
)
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. Đặt
( k m
( k c mj
j
j
1 =
(
k
) ( ) t
u t ( ) t w ( ) , (3.1.5) = ∑
mjc
thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến sau trong đó
26
)
)
)
k
)
( k (cid:5)(cid:5) u m
j
( k m
j
( k m
j
j
)
)
, 1
k ( m
k ( m
0
k
t w ( ), a u ( t w ( ), ) (cid:5) u t w ( ), t w ( ), , λ + + = (cid:4) ( F m (3.1.6) (0) (cid:4) u , (cid:5) u (0) k , = = j ≤ ≤ (cid:4) u 1 k ⎧ ⎪ ⎨ u ⎪⎩
k
)
)
trong đó
( k m
m
-1
m
m
1 −
1 −
)
)
F f u { ( ) u ( u ) ′ ( f u )} = + + − δ (cid:4) ( F m (3.1.7)
( k m
m
( k m
m
m
m
1 −
1 −
1 −
1 −
k
)
) )}, F u ′ ( f u ( u u u ′′ ( f u = + − ) ∇ ∂ x ∂ { + ∇ δ
2 H ,∩H
(cid:4) u
w
=
→
1 0
0
k
( k mj
j
(cid:4) mạnh trong u 0
∑α
j
1 =
k
1
)
(3.1.8)
0.H
( k mj
j
∑β
j
1 =
(3.1.9) w = → (cid:4) u 1 k (cid:4) mạnh trong u 1
)
)
k
)
Hệ (3.1.6) có thể viết thành một dạng khác
k ( (cid:5)(cid:5) c mj
k 2 ( c j mj
k ( ) (cid:5) c λ mj
j
)
)
)
)
, 1
( k c mj
( k α mj
( k (cid:5) c mj
( k β mj
t ( ) t ( ) t ( ) t w ( ), , λ + + = (cid:4) ( F m (3.1.10) (0) , (0) k . = = j ≤ ≤ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
)
)
k
)
(
t λ t e ( )
t λ t e ( )
t w ( ),
k
.
, 1
=
j ≤ ≤
( k (cid:5) c mj
λ′ + ) t
2 ( k c j mj
(cid:4) t ( λ e F m
j
Từ (3.1.10) ta có 1
)
)
t λ
−
Do đó ta suy ra rằng
k ( ) c mj
k ( α mj
( k β mj λ
t
r
)
s r −
t ( ) (1 e ) = + −
( λ e
[
] ) ,
m
m
m
1 −
1 −
∫
∫
0
0
t
)
s r −
dr F u ′′ ( f u u δ + − (3.1.11) w ds j ∇ 1 −
2 λ j
( ) k c mj
∫
0
r ( λ ∫ dr e 0
t
r
k
)
)
s r −
( λ e
s ds ( ) −
i
( k mi
m
1 −
i
1 =
∑∫ ∫ dr δ 0
0
t
r
k
)
)
s r −
( λ e
′ ( f u , s ds ( ) + ) ∇ w w c j
i
( k mi
m
m
1 −
1 −
i
1 =
∑∫ ∫ dr δ 0
0
u ′′ ( f u ) , s ds ( ) . + ∇ w w c j
27
Bổ đề 3.1. Giả sử
1
3
5
( H ) ) và ( )H là đúng. Với H− ( 0,M > 0T > cố
k ( )
định, khi đó, hệ (3.1.6) – (3.1.9) có duy nhất nghiệm yếu trên một khoảng
mT
[0, ] ]. T⊂ [0,
Chứng minh. Bỏ qua các chỉ số m, k trong cách viết và ta viết
)
)
j
j
j
( ) k c mj
( k mj
( k mj
, . ( ), , c t α β lần lượt thay cho t α β Ta viết lại hệ (3.1.11) thành ( ),
,
phương trình điểm bất động
c Hc=
(3.1.12)
trong đó
c ( ,..., (( Hc Hc = =
t λ
−
( ( ( ( Hc Kc Lc Mc + = + + c 1 ) ( ) t j c Hc ), k ( ) q t j ) ,...,( 1 ) ( ) t j ) ), k ) ( ) t j ) ( ), t j
α j
β j λ r
t
)
s r −
(1 e ) = + − q t ( ) j
( λ e
[
] ) ,
m
m
m
1 −
1 −
∫
∫
0
0
t
)
s r −
dr F u ′′ ( f u , u δ + − w ds j ∇ 1 −
j
2 = − ∫ λ j
0
r ( λ ∫ dr e 0
t
r
k
)
s r −
(3.1.13) ( Kc c s ds ( ) , t ) ( ) j
( λ e
i
j
m
1 −
i
1 =
∑∫ ∫ dr δ 0
0
t
r
k
)
s r −
( Lc ′ ( f u ( ) , , = ) ∇ t ) ( ) j w w c s ds i
( λ e
i
j
m
m
1 −
1 −
i
1 =
∑∫ ∫ dr δ 0
0
)
(
k
( Mc u ′′ ( f u ) ( ) , = ∇ t ) ( ) j w w c s ds . i
mT
0
)
k
S
:
,
Với mỗi ] và ta đặt T∈ [0, 0ρ> (sẽ được chọn sau),
k (cid:92) ),
c
≤
=
( T m
} { c Y c ρ = ∈
Y
Y
c t ( ) , 1
k
)
0
sup ( t T ≤ ≤ m
k
c t ( )
( ) ,
với mỗi
c
,...,
)
Y
.
=
∈ Rõ ràng S là quả cầu đóng, khác
c t j
c 1(
c k
1
= ∑
j
1 =
k
)
(
0
trống và ta có toán tử
H Y :
.
Y→ Tiếp theo, ta chọn
0ρ> và
> sao cho
mT
([0, ]; trong đó Y C =
28
i)
( ) H S
, S⊂
n
n
1 −
H
H H [
]:
S
S
ii)
≡
→ là co với n ∈ (cid:96) nào đó.
Thật vậy,
i) Với
c
,...,
)
Y
,
=
∈ ta có
c 1(
c k
(3.1.14)
(
Hc
(
Kc
(
Lc
(
Mc
≤
+
+
+
t ) ( ) j
q t ( ) j
t ) ( ) j
t ) ( ) j
t ) ( ) , j
ta cũng có đánh giá sau
r
t
2
∫
∫
0
0
t
( Kc ( ( ) , k ) π ≤ t ) ( ) j dr c s ds j
(3.1.15)
1
1
∫
r ∫ k K dr c s ds 0
0
t
r
( Lc ( ) , δ π ≤ t ) ( ) j
2
1
∫
∫
0
0
( 2 Mc MK . ( ) dr c s ds δ ≤ ) ( ) t j ⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
t
Hc t ( )
q t ( )
( )
≤
+
ρ
1
1
1
∫
r (cid:4) ∫ D dr c s ds 0
0
Do vậy
2
k
)
q
2 t c
q
, ρ
≤
+
≤
+
( T m
(
)
Y
T
T
(cid:4) D ρ 2
(cid:4) D ρ 2
2
với
(cid:4) D
k
)
(
2
MK
,
q
=
+
=
2
T
)
( k k K + ρ π δ π 1
t T
q t sup ( ) . 1 0 ≤ ≤
k
)
(
qρ>
và
]
sao cho
Chọn
T∈ (0,
mT
T
k
)
0
).
q
(3.1.17)
<
≤
−
( ρ
( T m
T
2 (cid:4) Dρ ρ
Khi đó
k
)
,
tức là
Hc
q
c S
H S ( )
≤
+
, < ρ ρ
∀ ∈
S⊂ .
( T m
(
)2
T
Y
(cid:4) D ρ 2
(3.1.16)
29
k
)
c d ,
,
S∈ với mọi
],
ta
ii) Bây giờ ta sẽ chứng minh với mọi
t
( T∈ [0, m
có
n
n
n
2
( )
,
(cid:96) .
(3.1.18)
t
H c t H d t ( ) −
≤
c d −
n ∀ ∈
Y
1
(cid:4) n D ρ n (2 )!
Với
1,
n = dễ kiểm tra rằng (3.1.18) đúng.
Giả sử (3.1.18) đúng với
1,
n ≥ khi đó ta có
r
t
n
n
n
n
1 +
1 +
( )
( )
( )
H c t H d t ( ) −
≤
dr H c s H d s ds −
1
1
∫
∫
(cid:4) D ρ 2
0
0
r
2
n
(3.1.19)
s
c d ds
≤
−
Y
∫
(cid:4) n D ρ n (2 )!
0
2
2
n
+
t
,
=
c d −
Y
n
(2
2)!
t (cid:4) ∫ D dr ρ 0 (cid:4) 1 n + D ρ +
k
)
].
Do đó
với mọi
t
( T∈ [0, m
2
n
2
n
(
)
n
n
k
)
.
(3.1.20)
H c H d −
≤
c d −
≤
c d −
( T m
(
)
Y
Y
Y
(cid:4) n D ρ n (2 )!
(cid:4) D T ρ n (2 )!
Vậy (3.1.18) đúng
n∀ ∈ (cid:96) .
2
n
(
)
Mặt khác, do
0
nên tồn tại số tự nhiên
=
0n sao cho
lim n →+∞
(cid:4) D T ρ n (2 )!
n 02
(
)
Tức toán tử
0 :nH S
1.
0
<
S→ là co. Do đó, H có duy nhất một
≤
(cid:4) D T ρ n (2 )! 0
k
(
điểm bất động trên
) ( ) t
mu
k
(
)
[0,
].
trên một khoảng
,S tức là hệ (3.1.6)-(3.1.9) có duy nhất nghiệm Bổ đề 3.1 được chứng minh hoàn toàn.(cid:44)
mT
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm.
)
)
k
)
Với
S
t được xác định bởi (2.28) – (2.30), ta suy ra ( )
t X ( ),
( k m
( k m
( t Y ( ), m
30
t
t
2
)
)
)
k
S
t ( )
S
(cid:5) s u ( ),
s ds ( )
s ( )
ds
=
(0) 2 +
+
( k m
( ) k m
( F m
( ) k m
( k (cid:5)(cid:5) u m
∫
∫
0
0
t
k
)
)
2
(cid:5) s u ( ),
s ds ( ))
+
(3.1.21)
( a F ( m
k ( m
∫
)
0 (0)
S
I
I
.
=
+
+
+
k ( m
* I 1
* 2
* 3
Ta có các đánh giá sau đây.
Tích phân thứ nhất. Ta có
t
t
k
k
)
)
)
(3.1.22)
2
(cid:5) s u ( ),
s ds ( )
2
(cid:5) s u ( )
s ds ( )
,
=
≤
(cid:4) ( F m
k ( m
(cid:4) ( F m
k ( ) m
* I 1
∫
∫
0
0
Ta có
k
)
)
)
t ( )
F t ( )
t ( )
2
.
(3.1.23)
δ
δ
≤
+
+
t M ( ) +
( F m
K u ∇ 1
( k m
( k m
( MK u 2
)
Do đó
k
)
)
)
t ( )
F t ( )
u
t ( )
δ
δ
≤
+
∇
+
( F m
K 1
( k m
( k m
)
)
F
2
2 M K
u
2
MK
t ( )
(3.1.24)
δ
≤
+
+
∇
+
K 1
2
2
( k m
∞ L
(0,
2 T L ;
)
)
F
2
2 M K
S
2
MK
t ( ).
δ
≤
+
+
+
K 1
2
2
( k m
∞ L
(0,
2 T L ;
)
( MK u 2 2 ( δ ( δ
t M ( ) + ) )
Vậy
2
2
)
)
k
(3.1.25)
t ( )
3
F
4 M K
2
MK
S
t ( ).
2 6 δ
2 3 δ
≤
+
+
+
2 2
K 1
2
( F m
( k m
(0,
)
2 ∞ L
2 ; T L
(
)
Từ (2.2.47), (3.1.22) và (3.1.25), ta có đánh giá sau
T F 3
4 M K T
≤
+
2 6 δ
* I 1
2 2
(0,
)
2 ∞ L
2 ; T L
t
(3.1.26)
2
)
MK
S
2
)
s ds ( ) .
+
K 1
2
( k m
( 2 1 3 ( + + δ
)
∫
0
Tích phân thứ hai. Ta có
(3.1.27)
t ( )
u
t ( )
(cid:5) u
t ( )
t ( ) .
≤ Δ
+
λ
( ) k (cid:5)(cid:5) u m
( ) k m
( ) k m
+ (cid:4) ( ) k F m
Kết hợp với (3.1.25) ta suy ra
31
2
2
2
2
k
)
)
)
)
2 3 λ
k ( (cid:5)(cid:5) u m
k ( m
k ( m
)
t ( ) t ( ) (cid:5) u t ( ) 3 t ( ) 3 u ≤ Δ + + (cid:4) ( F m
4 M K
2 δ
k ( m
2 2
2 ∞ L
(0,
2 T L ;
)
2
)
(3.1.28)
) S 18 3(1 ( ) 9 t + + ≤ +
2 9 δ
k ( m
2
2 λ ( T F 9
S 2 MK t ( ) + + K 1
4 M K
2 2
2 ∞ L
(0,
2 T L ;
)
2
2
)
18 ≤ T F ) 2 δ +
2 + λ δ
k ( m
2
(
)
3 2 MK S t ( ). + + + K 1 ⎡ 3 1 ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦
t
2
)
Do vậy
k ( (cid:5)(cid:5) u m
* 2
∫
0
I s ( ) ds =
4 M K T
2 δ
2 2
2 ∞ L
(0,
2 T L ;
)
t
2
2
T F 9 18 (3.1.29) ≤ +
2 + λ δ
k ( ) m
2
(
)
∫
0
3 2 MK S ( ) . s ds + + + K 1 ⎡ 3 1 ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦
t
t
k
k
)
)
)
Tích phân thứ ba. Ta có
( a F ( m
k ( m
( F m
k ( ) m
* 3
∫
∫
0
0
I 2 (cid:5) s u ( ), s ds ( )) 2 s ( ) (cid:5) u s ds ( ) . (3.1.30) = ≤ ∇ ∇
k
)
)
)
với
k ( m
m
( k m
m
m
m
1 −
1 −
1 −
1 −
(3.1.31) F u ′ ( f u ) u ( u u ′′ ( f u )}. = { δ + ∇ + − ) ∇ (cid:4) ( F m
k
)
)
Ta có
( k m
m
1 −
1 −
1 −
)
m u
u ′ ( f u ) u ′′ ( f u u ∇ F δ = ∇ + Δ δ + ∇ ) ∇ (cid:4) ( F m
m )
( ) k m ′′ ( f u
m
1 −
( k m −
m
( ) k m
m
m
1 −
1 −
1 −
2
u u ( δ + ∇ − ∇ ) ∇ (3.1.32) u ) ) ( u δ +
m 1 − u Δ (
1 m − ′′ ( f u )
m
k ( ) m
m
m
1 −
1 −
1 −
u ) f u ′′′ ( u ). ( u δ + − ∇
)
)
u
x t ( , )
u
t ( )
u
t ( )
S
t ( ),
Ta cũng có
≤
≤ ∇
≤
0
( ) k m
( k m
( k m
( ) k m
C
(
)
Ω
(3.1.33)
32
)
)
)
0
1
( k m
( k m
( k m
C
(
)
H
Ω
2
2
)
)
(3.1.34)
u x t ( , ) u t ( ) 2 u t ( ) ≤ ∇ ≤ ∇ ∇
( k m
( k m
)
u t ( ) u t ( ) 2 ∇ + Δ ≤
( k m
2 S t ( ), ≤
0
m
m
m
1 −
1 −
1 −
C
(
)
Ω
u
x t ( , )
u
t ( )
2
u
t ( )
∇
≤ ∇
≤
∇
0
1
m
m
m
1 −
1 −
1 −
C
(
)
H
Ω
u x t ( , ) u t ( ) u , (3.1.35) ≤ ≤ ∇ t M ( ) ≤
2
u
t ( )
M 2 .
≤
≤
2
m
1 −
H
Do vậy
k
)
)
)
x t ( , )
F x t ( , )
x t ( , )
K M S
t ( )
∇
≤ ∇
+
δ
+
2 δ
(cid:4) ( F m
K u Δ 1
( k m
2
( k m
)
K M S
+
2 δ
t M ( ) +
( k m
2
(
)
(3.1.37)
)
K
S
x t ( , )
+
δ
t M u ( ) Δ
+
2
( k m
m
1 −
(
)
)
2
K
( 2
M
)
S
.
+
δ
t M ( ) +
3
( k m
(
)
2,L ta có
Lấy chuẩn trong
k
)
)
)
(3.1.36)
( k m
2
( k m
t ( ) F t ( ) t ( ) K M S t ( ) ∇ ≤ ∇ + δ + 2 δ (cid:4) ( F m K u Δ 1
2
( ) k m
(
)
(3.1.38)
)
K M S + 2 δ t M ( ) +
2
( k m
m
1 −
(
)
)
2
K S t ( ) + δ t M u ( ) Δ +
3
k ( m
(
)
)
)
K ( 2 M ) S + δ t M ( ) +
k ( m
2
( k m
∞ L
(0,
2 T L ;
)
)
F t ( ) K M S t ( ) ≤ ∇ + δ + 2 δ K S 1
2
( k m
(
)
)
K M S + 2 δ t M ( ) +
k ( m
2
(
)
)
2
K M S + δ t M ( ) +
( k m
3
(
)
K ( 2 M ) S . + δ t M ( ) +
33
k
)
Do đó
2 M K (3
δ
(cid:4) ( F m
3
2
∞ L
(0,
2 ; T L
)
)
t ( ) F 2 MK ) ∇ ≤ ∇ + +
2 K M S
( k m
2
3
5 2 ) MK ( ). t ( δ + + + K 1
t
t
k
)
)
)
Kết hợp với (2.2.47), ta suy ra từ (3.1.30) rằng
(cid:5) u
( ) k F m
( k m
( F m
( k m
* 3
∫
∫
0
0
t
k
)
)
2 s ds ( )
I 2 s ( ) s ds ( ) 2 s ( ) S s ds ( ) ≤ ∇ ∇ ≤ ∇
( F m
( k m
∫
0
t ∫ ≤ ∇ 0
t
k
)
)
S s ds ( ) +
2 s ds ( )
( F m
( k m
∫
0
t ∫ ≤ ∇ 0
2
4 M K (3
(3.1.39) S s ds ( ) +
2 3 δ
2
2 ∞ L
(0,
2 ; T L
)
t
)
2 = T F 3 ∇ + + MK T ) 3
2 2 )
( k m
2
( 2 1 3 ( + + δ
)
∫
0
5 MK 2 S s ds ( ) . + + K 1 K M 3
t
)
Từ (3.1.26), (3.1.29) và (3.1.39) ta có
( k m
( ) k m
( ) k m
2
3
∫ D M T D M S +
0
(3.1.40) S t ( ) S (0) ( ( ) ) , s ds ( ) , ≤ +
trong đó
2
2 ∞ L
2 ∞ L
(0,
2 T L ;
)
(0,
2 T L ;
)
4
2
D M T ( , T F ) 12 = + T F 3 ∇
2 3 δ
2 2
2
3
2
2 λ
2
2
2
(3 K 2 MK ) , + + + ⎤ ⎦ (3.1.41) 12 ( 2 MK ) ⎡ 8 M T K ⎣ 2 δ ) 5 3 = + + D M ( 3 K 1
2 3 δ
2
)
0,M >
5 MK 2 . + + + K 1 K M 2 + ( ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩
2
độc lập với k và m sao cho Từ (3.1.8)–(3.1.9) ta suy ra tồn tại
) (0)
( k m
S k m . , (3.1.42) ≤ ∀ M 2
Tiếp theo ta chọn hằng số 0T > sao cho
34
2
)
2
( TD M 3
2(
(3.1.43) D M T M e− ) , . + ≤ M 2
t
)
−
)
)
TD M 3 (
Từ (3.1.40) – (3.1.43) ta suy ra
2 t M e ( )
k ( m
k ( m
3
∫ D M S
0
(3.1.44) S ( ) s ds ( ) t T . , 0 ≤ + ≤ ≤
(
(
)
−
)
2
k
)
3
3
Do bổ đề Gronwall, ta suy ra rằng
2 t M e ( )
TD M tD M ) e
( k m
( t T m
(
(3.1.45) S M T . , 0 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
mT
)
k
(
i.e. T Vậy ta có .=k )
mu
(3.1.46) W M T ( , ) k m . , ∈ ∀
(
(
Bước 3. Qua giới hạn.
mu {
mu {
2
Từ (3.1.46) ta có thể lấy từ dãy }k ) một dãy con }ik ) sao cho:
∞ L
( )ik m
m
1 0
(3.1.47) u (0, T H ; H ) yếu*, u→ trong ∩
∞ L
( )ik u→(cid:5) u m
(cid:5) trong m
1 0
(3.1.48) (0, T H ; ) yếu*,
2 ( L Q yếu, )T
( )ik u→(cid:5)(cid:5) u m
(cid:5)(cid:5) trong m
(3.1.49)
,
).
∈
mu W M T (
(3.1.50)
Qua giới hạn trong (3.1.6) và nhờ vào (3.1.47) – (3.1.50) ta có mu thỏa
2 (0, L
(3.1.3) trong T yếu. )
Mặt khác, ta suy từ (3.1.3) rằng
∞ L
2 T L ;
(cid:5) u λ
(cid:5)(cid:5) u m
m
m
(3.1.51) (0, ). u = Δ − + ∈(cid:4) F m
,
).
∈
mu W M T 1(
Do đó Vậy định lí 3.1 được chứng minh xong.(cid:44)
3.2. Sự hội tụ bậc hai.
Định lí 3.2. Giả sử
1
3
5
}mu
( H ) ) và ( H− ( )H là đúng. Khi đó dãy lặp {
xác định bởi định lí 3.1 là dãy lặp cấp hai theo nghĩa
35
2
m
m
1 −
)
)
W T ( 1
W T ( 1
u u C u u , với mọi , (3.2.1) − ≤ − m ∈ (cid:96)
trong đó C là một hằng số độc lập với .m
1( )W T đến nghiệm yếu u của
Hơn nữa, dãy nầy cũng hội tụ mạnh trong
m
bài toán (2.2.1) – (2.2.3) và có một đánh giá sai số
m
2 β T
)
W T ( 1
(3.2.2) u u m − ≤ ∀ ∈ (cid:96) , C T
Tβ<
trong đó 0 .m < 1, ,TC là các hằng số độc lập với
là dãy Cauchy trong
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh { }mu
1( ).W T
m
m
1 +
(
t ( )
,
v H
,
u . Đặt = − v m u Khi đó mv thỏa bài toán biến phân sau:
λ
+
+
=
−
∀ ∈
(cid:5)(cid:5) v t v ( ), m
a v t v ( ), ) m
(cid:5) v t v ( ), m
(cid:4) F m
(cid:4) F t v ( ), m
1 0
1 +
(3.2.3)
(0)
(0) 0, =
v m
(cid:5) v= m
(3.2.4)
với
(cid:4) F m
m
m
m
m
m
m
1 −
1 −
1 −
1 −
(3.2.5) F ′ ( u f u ) u ( u u ′′ ( f u )}. = { δ + ∇ + − ) ∇
t
Trong (3.2.3) ta thay v bởi rồi tích phân theo t ta được ,mv(cid:5)
(cid:4) (cid:5) F s v ( ), m m
1 +
∫ (cid:4) F m
0
(3.2.6) s ( ) s ds ( ) , ( ) 2 t = − σ m
2
2
2
trong đó
(cid:5) v t ( ) m
(cid:5) v m
t ∫ 2 λ 0
(3.2.7) t ( ) s ( ) ds . = + ∇ + σ m v t ( ) m
Ta có
(cid:4) F m
(cid:4) F m
1 +
1 + ∇
m { v δ m
m
m
m v − m
m
m
m 1 − u ∇ 1 −
1 −
1 −
u ′ ( f u )} ′ ( u f u − { δ = ∇ − ∇ (3.2.8) ) m ′′ u f u ( ) ′′ f u ( )}. +
Khai triển f ′ và f ′′ Taylor và lần lượt cấp hai và cấp một
36
f
′ f u (
)
′ f u (
)
′′ f u (
)
′′′ u (
),
=
+
+
+
m
m
v m
m
2 v m
m
vθ m 1
1 −
1 −
1 −
1 −
1 −
1 −
1 2
(3.2.9)
′′ ( f u
)
′′ ( f u
)
f
′′′ u (
),
=
+
+
m
v m
m
m
vθ 2 m
1 −
1 −
1 −
1 −
(3.2.10)
0 trong đó < 1. , θ θ< 1 2
m
m
m
1 +
1 −
1 −
1 −
u ( ′ ( f u ) ′′ ( f u ) − δ = ∇ + (cid:4) F m (cid:4) F m v m
2 v m
m
m
m
1 −
1 −
1 −
1 −
f ′′′ ( u )) ′ ( u f u ) + + δ − ∇ v θ 1 m (3.2.11)
(
)
1 + 1 2 v δ m
m
1 −
1 −
1 −
1 m − ′′ ( f u
′′ ( f u ) f ′′′ ( u ) u + + + ∇ v m θ 2 v m
m
m
m u ∇ 1 −
1 −
1 −
) − v δ m
( δ
)
m
m
m
m
m
1 −
1 +
1 −
1 −
) u u u ′′ ( f u ) + + ∇ − = ∇ δ ′ ( v f u m v m v m v m ∇ 1 − ∇ 1 −
2 v δ m
m
m
1 +
1 −
1 −
u f ′′′ u ( ) + + v θ 1 m ∇ 1 −
1 −
) ∇
)
1 − v m
m
m
1 −
1 −
u ′′ ( f u ) u f m ) + + = ∇ δ θ 2 v m
m
m v m
1 −
1 −
′′′ ( u v + m m ( v ∇ + ∇ δ 1 m − ′′ ( f u ) + 1 2 v v δ 1 m m − ′ ( v f u m v δ m ∇ 1 −
2 v δ m
m
m
1 +
1 −
1 −
u f ′′′ u ( ) + + v θ m 1 ∇ 1 −
1 −
1 −
1 −
f ) ∇ + +
m
m
1 −
1 −
1 −
v m u ′′′ ( u m ′′′ ( u f ) ∇ + + v m v m 1 2 v δ m v δ m θ 2 θ 2 v m 1 − v m 1 −
)
m
m
1 −
( v ∇ + ∇ δ 1 m − ′′′ ( u f
) u ′′ ( f u ) + = ∇ δ v m
1 m − ∇
1 −
1 −
1 m − ′′ f u (
m )
) u v m + + θ 2 v m
m
1 −
1 −
+ ′ ( v f u m v δ m v δ m v 1 m − v ∇ m 1 −
m
m
2 v δ m
1 +
1 −
1 −
u f ′′′ ( u ) + + v θ 1 m ∇ 1 −
m
1 −
1 −
1 −
f ′′′ u ( ). ∇ + + v m θ 2 v m 1 2 v δ m v 1 m −
Do đó
37
x t ( , )
−
(cid:4) F m
(cid:4) F x t ( , ) m
1 +
x t ( , )
δ
≤
K
t ( )
x t ( , )
u x t ( , )
δ
+
∇
∇
+ ∇
∇
2
v m
v m
v t ( ) m
m
1 −
K v ∇ 1 m (
)
K
u
t ( )
x t ( , )
δ
+
∇
∇
∇
v m
v t ( ) m
m
3
1 −
1 −
K
t ( )
x t ( , )
δ
+
∇
∇
2
v m
v m
1 −
1 −
2
K
u
t ( )
x t ( , )
δ
+
∇
∇
v m
m
3
1 −
1 +
K
t ( )
x t ( , )
1 2 δ
+
∇
∇
∇
v m
v t ( ) m
v m
3
1 −
1 −
(3.2.12)
x t ( , ) ≤ δ
2
m
x t M v t ( , ) ( ) + δ ∇ + K M v 2 ∇ m
) ( , ) x t
3
m
1 −
1 −
K ( ) t u K v ∇ 1 m ( ∇ + δ ∇ ∇ v m ( ) v t m
2
1 −
1 −
2
K ( ) t ( , ) x t + δ ∇ ∇ v m v m
m
3
1 −
1 +
K ( ) t u ( , ) x t + δ ∇ ∇ v m
3
1 −
1 −
K ( ) t ( , ) . x t + ∇ ∇ ∇ 1 2 δ v m ( ) v t m v m
2,L ta có
Lấy chuẩn trong
(cid:4) F m
(cid:4) F t ( ) m
m
m
2
1 +
)
t ( ) K M v t M v t ( ) ( ) 2 − ≤ δ ∇ + δ ∇ ∇ + K 1 v t ( ) m
m
3
1 −
1 −
K t ( ) u t ( ) + δ ∇ ∇ ∇ v m
2
2
3
2
m
1 −
1 −
1 +
( v t ( ) m 1 2
2
(3.2.13) K ( ) t K ( ) t u ( ) t + δ ∇ ∇ ∇ δ + v m v m
3
1 −
≤
δ
∇
+
3 δ
K M v t ( ) ∇
K 1
v t ( ) m
m
2
2 K M v t ( )
+
2 δ
∇
m
3
2
2
K
t ( )
t ( )
+
δ
∇
+
δ
v m
K M v ∇ m
2
3
1 −
1 −
1 2 2
( ) t
+
2 δ
K M v ∇ m
3
1 −
K ( ) t + δ ∇ ∇ v m ( ) v t m
38
3
2
≤
+
K M K M +
∇
v t ( ) m
2
K 1
3
( δ
)2
2
K
t ( )
+
+
∇
v m
2
K M 3
1 −
5 2
⎛ δ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
2
3
2
t ( )
≤
+
K M K M +
2
K 1
3
σ m
( δ
)
K
K M v
.
+
+
2
3
1 −
)
2 m W T (
1
5 2
⎛ δ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Ta suy từ (3.2.7) – (3.2.13) rằng
t
s ( )
s ds ( )
( ) 2 t =
−
σ m
(cid:4) F m
(cid:4) (cid:5) F s v ( ), m m
1 +
∫
0
t
2
s ( )
s ds ( )
≤
−
(cid:4) F m
(cid:4) F s ( ) m
(cid:5) v m
1 +
∫
0
t
t
2
2
s ( )
ds
ds
(3.2.14)
≤
−
+
(cid:4) F m
(cid:4) F s ( ) m
(cid:5) v s ( ) m
1 +
∫
∫
0
0
2
K
2 2 δ
≤
+
2
3
1 −
4 m W T (
)
1
5 2
⎛ ⎜ ⎝
⎞ K M v ⎟ ⎠
t
2
2
1 2
3
2
( ) . s ds
2 δ
+ +
+
K M K M +
K 1
2
3
(
)
∫ σ m
)
(
0
Do bổ đề Gronwall, ta suy từ (3.2.14) rằng
2
K
2 δ
t ( ) 2 ≤
+
2
3
1 −
)
4 m W T (
1
5 2
⎛ ⎜ ⎝
⎞ K M v ⎟ ⎠
2
2
(3.2.15)
3
2
exp
2 δ
1 2 +
+
K M K M +
×
K 1
2
3
(
)
)
(
⎤ ⎥ ⎦
,
≡
⎡ T ⎢ ⎣ (1) D v T
1 −
)
4 m W T (
1
trong đó
2
2
(1)
2
(3.2.16)
exp
3
2
.
K
2 2 δ
2 δ
=
+
1 2 +
+
K M K M +
2
K M 3
K 1
3
2
TD
(
)
σ m
)
(
⎡ T ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
5 2
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Ta suy từ (3.2.15) rằng
39
2
,
(3.2.17)
≤
1
v m
m
T
vμ −
)
)
( W T 1
( W T 1
trong đó
(1)
2
=
TD
(3.2.18)
2 2
K
=
+
2
K M 3
5 2
⎞ ⎟ ⎠
2
2
exp
T
3
2
.
2 δ
×
1 2 +
+
K M K M +
K 1
2
3
(
)
)
(
⎛ δ ⎜ ⎝ 1 ⎡ ⎢ 2 ⎣
⎤ ⎥ ⎦
u
2
M
,
nên ta suy từ (3.2.18) rằng
Do
−
≤
u 1
0
)
( W T 1
m
(3.2.19)
u
u
m p ,
,
−
≤
∀
m
+
m p W T (
)
1
)
2 β T (1 − μ β T
T
với
1.
là dãy Cauchy trong
< Khi đó, ta suy từ (3.2.19) rằng {
2 TMβ μ=
T
}mu
sao cho
1( ).W T Do đó tồn tại
u W T∈ 1( )
(3.2.20)
u→ mạnh trong
mu
1( ).W T
Bằng các lập luận tương tự như trong chứng minh ở định lí 2.2, ta chỉ
,
)
là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (2.2.1)–
ra được rằng
∈
u W M T 1(
(2.2.3).
,m cho
ta thu được (3.2.2).
Trong (3.2.19), cố định
p
,→ +∞
Lập lại lí luận tương tự như phần trên, ta thu được (3.2.1). Vậy định lí
3.2 được chứng minh xong. (cid:44)
μ T
40
.
Chương 4: DÁNG ĐIỆU NGHIỆM KHI
0
0
λ
→
, δ
→
+
+
4.1. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số
.λ δ ,
Ta xét bài toán nhiễu sau đây,
u
f u ( )
F x t
( , ),
t T
,
0
, 1 0
+
δ
+
u λ
=
x < <
< <
−
(
)
x
t
tt
,
,
)λδP (
(cid:4) u x
t u ( , ) 1 = (cid:4) u x u x ( ),
( ).
0 ( , ) 0
=
=
t
0
1
∂ ⎧ u ⎪ x ∂ ⎪ u t ( , ) 0 = ⎨ ⎪ u x ( , ) 0 ⎪ ⎩
,
và
,
thỏa các giả
với các tham số bé
0
0
,λ δ với
< ≤
< ≤
λ λ *
δ δ *
(cid:4) (cid:4) u u F f , , 1
0
(
H
)
).
Khi đó theo định lí 2.1, 2.2, bài toán
(
thiết
H− (
,
)Pλδ có duy nhất
2
4
nghiệm yếu phụ thuộc vào
,
,λ δ kí hiệu là
, .uλδ Ta sẽ nghiên cứu dáng điệu
tiệm cận của nghiệm bài toán
.δ
,
)λδP theo các tham số bé λ và (
như trong chương 3. Chú ý
Ta vẫn sử dụng các giả thiết
(
H
)
)
H− (
2
4
)k
trong chứng
rằng, các đánh giá tiên nghiệm của dãy xấp xỉ Galerkin {
}( mu
(
minh của định lý 2.1 cho bài toán
,
)Pλδ thỏa
)
k
(
(4.1.1)
,
),
m k ,
,
∈
∀
mu
W M T 1(
,m k và
,
trong đó
,M T là các hằng số độc lập với
.λ δ Do đó, giới hạn
,uλδ
)k
khi k → +∞ sau đó
trong các không gian hàm thích hợp của dãy {
}( mu
(
m → +∞ sẽ là nghiệm yếu duy nhất của bài toán
,
)Pλδ thỏa
,
).
(4.1.2)
,
W M T 1(
u λδ ∈
Khi đó, ta có thể chứng minh tương tự như trong chứng minh các định
lý 2.1, 2.2 rằng giới hạn
,uλδ
0,0u trong các không gian hàm thích hợp của họ
khi
)P tương ứng với (
0 là nghiệm yếu duy nhất của bài toán
λ
→
, →0 δ+
+
0,0
,
).
u
u
λ δ= = 0 thỏa
≡
∈
0
W M T 1(
0,0
41
Hơn nữa, ta có định lý sau.
Định lý 4.1. Giả sử các giả thiết
là đúng. Khi đó tồn tại
(
H
)
)
H− (
2
4
,
,
các hằng số
0
0
,λ δ với
0,M >
0T > sao cho, với mọi
< ≤
< ≤
λ λ *
δ δ *
,
)
thỏa mãn một đánh
bài toán
,
)λδP có duy nhất nghiệm yếu (
,
W M T 1(
u λδ ∈
giá tiệm cận
2
,
(4.1.3)
u
u
(cid:4) C
−
≤
2 + λ δ
0
, λδ
)
( W T 1
,
,
trong đó C(cid:4) là hằng số chỉ phụ thuộc vào
M T λ δ , .
*
*
Chứng minh.
u
.
i) Đặt
v u =
− 0 Khi đó v thỏa bài toán biến phân sau
, λδ
(4.1.4)
( ( ), (cid:5) ( ), v t w (cid:5)(cid:5) ( ), ) v t w a v t w + + λ
0
1 0
, λδ
, λδ
, , (cid:5) ( ), u t w ′ ( f u , u w w H = − + ) ∇ ∀ ∈ λ δ
(0) v (cid:5) v = (0) 0. = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
t
2
2
2
t ( )
(cid:5) v t ( )
v t ( )
(cid:5) v s ( )
ds
σ
=
+ ∇
+
2 λ ∫
0
t
t
(cid:5) (cid:5) ( ), ( ) u s v s ds
′ ( f u
s ( ))
u
(cid:5) ( ), ( ) s v s ds
Lấy w v t= (cid:5) ( ) trong (4.1.4)1, rồi sau đó tích phân theo ,t ta được
+
∇
0
, λδ
, λδ
2 λ = − ∫
2 δ ∫
0
0
I
I
.
=
+
* 1
* 2
Ta có các đánh giá sau:
t
t
I
(cid:5) u s ( )
(cid:5) v s ds ( )
(cid:5) M v s ds ( )
≤
≤
2 λ
* 1
0
2 λ ∫
∫
0
0
(4.1.6)
t
t
2
2
2
2
2
,
M T
(cid:5) ( ) v s
ds
M T
( ) s ds
≤
λ
+
≤
λ
+
∫
σ ∫
0
0
(4.1.5)
42
t
* 2
, λδ
, λδ
0
t
I ′ ( f u s ( )) u (cid:5) ( ), ( ) s v s ds ≤ ∇ 2 δ ∫
1
, λδ
∫
0
t
(4.1.7)
K u s ( )) (cid:5) v s ds ( ) 2 δ ≤ ∇
1
0
t
2
2
2
( ) 2 δ ≤ (cid:5) K M v s ds ∫
2 1
∫
0
t
2
2
K M T (cid:5) v s ( ) ds δ ≤ +
2 1
0
K M T s ds ( ) . δ ≤ + σ ∫
t
2
2
Do (4.1.5) – (4.1.7) nên
2 λ δ +
σ
2 1
2 + ∫
0
(4.1.9) )( ) ( ) t M T K ( ) . s ds ( 1 ≤ + σ
t
2
2
2
2
Do bổ đề Gronwall, ta suy từ (4.1.39) rằng
σ
λ δ +
2 1
T
2
2
2
2
2 1
)( ) ( ) t M T K e ( 1 ≤ + (4.1.10) M T T K e ) ), ]. ( 1 [ , 0 ≤ + t ∀ ∈ ( λ δ +
2
2
Do vậy
λ δ +
0
, λδ
)
( W T 1
u u (cid:4) C , (4.1.11) − ≤
2
2 1
với (cid:4) C T K Me ) .T Định lí 4.1 được chứng minh.(cid:44) ( 1 = +
4.2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo một tham số
.λ
0
0 < ≤δ δ ta cố định một
*,λ λ< ≤
*,
Tiếp theo, trong hai tham số ,λ δ ,
Q P theo tham số bé (
(
)
)
λ
, λδ
tham số ≡ ,δ và ta xét bài toán nhiễu .λ Vẫn với
0
1
2
4
thỏa các giả thiết ( H ) ). Khi đó theo định lí 2.1, 2.2, bài (cid:4) (cid:4) u u F f , , , H− (
,
,uλδ thỏa mãn (4.1.2). Từ đây, ta có thể
( toán )Pλδ có duy nhất nghiệm yếu
,
,uλδ khi
λ +→ 0 là nghiệm
0,u δ trong các không gian hàm thích hợp của họ
chứng minh tương tự như trong chứng minh của định lý 4.1, rằng giới hạn
43
)
(
Q P tương ứng với λ= 0 thỏa (
≡0 )
0,
δ
yếu duy nhất của bài toán
0,
δ ∈
u , ). W M T 1(
Hơn nữa, ta có định lý sau.
Định lí 4.2. Giả sử các giả thiết
(
H
)
)
H− (
2
4
là đúng. Khi đó tồn tại
0
*,λ λ< ≤
0 < ≤δ δ *,
các hằng số 0,M > 0T > sao cho, với mọi ,λ δ với
,
)λδP có duy nhất nghiệm yếu (
,
(
)
, ) thỏa mãn bài toán W M T 1( u λδ ∈
Q P tương ứng với λ= 0 có duy nhất nghiệm yếu (
≡0 )
0,
δ
i) Bài toán
0,
δ ∈
)
u , ). W M T 1(
Q P ≡ ) ( (
0
*,δ δ< ≤
,uλδ của bài toán
, λδ
λ
nghiệm yếu ii) Với δ cố định,
( )W T1
. λ +→ 0
0,u δ trong không gian
khi hội tụ mạnh về
0,
δ
)
W T ( 1
(4.2.1) u − , λ Hơn nữa, ta có đánh giá sai số ≤ (cid:4) C 1 u , λδ
,
,
M T λ δ . ,
1 là hằng số chỉ phụ thuộc vào
*
*
trong đó C(cid:4)
Chứng minh.
, .
δ
, λδ
i) Đặt Khi đó v thỏa bài toán biến phân sau v u = u − 0
λ
λ
0,
δ
( ( ), (cid:5) v t w ( ), (cid:5) u t w ( ), (cid:5)(cid:5) ( ), v t w a v t w ) + + = −
δ
0,
1 0
, λδ
δ
δ
, λδ
(4.2.2) u w H ′ f u ( ′ f u ( , , + ) ∇ − ) ∇ ∀ ∈ u w , 0,
v (cid:5) v (0) = (0) 0. = ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
Lấy w v t= (cid:5) ( ) trong (4.2.2)1, rồi sau đó tích phân theo ,t ta được
44
t
2
2
2
t ( )
(cid:5) v t ( )
v t ( )
(cid:5) v s ( )
ds
σ
=
+ ∇
+
2 λ ∫
0
t
(cid:5) u
(cid:5) ( ), ( ) s v s ds
0
, δ
2 λ = − ∫
0
t
′ ( f u
( )) s
u
( ) s
′ ( f u
( )) s
u
(cid:5) ( ), ( ) s v s ds
+
∇
−
∇
0
0
, λδ
, λδ
, δ
, δ
2 δ ∫
0
t
t
(cid:5) u
(cid:5) ( ), ( ) s v s ds
′ ( f u
( )) s
(cid:5) ( ), ( ) v s v s ds
= −
+
∇
0
, δ
, λδ
2 λ ∫
2 δ ∫
0
0
t
′ ( f u
( )) s
′ ( f u
( )) s
u
(cid:5) ( ), ( s v s
)
ds
+
−
∇
0
0
, λδ
, δ
, δ
(
)
2 δ ∫
0
J
J
J
.
=
+
+
* 1
* 2
* 3
Ta có các đánh giá sau:
t
J
(cid:5) u
(cid:5) ( ), ( ) s v s ds
=
2 λ
* 1
0
, δ
∫
0
t
t
(cid:5) u
s ( )
(cid:5) v s ds ( )
(cid:5) M v s ds ( )
(4.2.4)
≤
≤
2 λ
0
, δ
∫
2 λ ∫
0
0
t
t
2
2
2
2
2
,
M T
(cid:5) ( ) v s
ds
M T
( ) s ds
≤
λ
+
≤
λ
+
∫
σ ∫
0
0
t
J
′ ( f u
s ( ))
(cid:5) ( ), ( ) v s v s ds
=
∇
2 δ
* 2
, λδ
∫
0
t
K
v s ( )
(cid:5) v s ds ( )
(4.2.5)
≤
∇
2 δ
*
1
∫
0
t
s ds ( )
,
≤
*
1
K δ σ ∫
0
(4.2.3)
45
t
J
′ ( f u
s ( ))
′ ( f u
s ( ))
u
(cid:5) ( ), ( ) s v s ds
=
−
∇
2 δ
* 3
0
0
, λδ
, δ
, δ
)
(
∫
0
t
u
′′ f u (
s ( )
v s v s ( )) ( )
(cid:5) s v s ds ( ), ( )
=
+
∇
2 δ
θ 3
0
0
, δ
, δ
∫
0
t
K
u
v s ( )
s ( )
(cid:5) v s ds ( )
(4.2.6)
≤
∇
∇
2 δ
*
2
0
, δ
∫
0
(cid:5) v s ds ( ) .
≤
∇
2 δ
*
2
t K M v s ( ) ∫ 0
t
s ds ( ) .
≤
δ
*
K M 2
σ ∫
0
Do (4.2.3) – (4.2.6) ta có
t
2 M T
(
)
s ds ( ) .
(4.2.7)
2 t ( ) σ λ
≤
+
+
K K M +
( 1
)
δ *
1
2
σ ∫
0
Do bổ đề Gronwall, ta suy từ (4.2.7) rằng
(
)
(
)
+
+
( 1 + δ *
( 1 + δ *
) K K M t 2
1
) K K M T 2
1
2 M Te
2 M Te
,
T
].
(4.2.8)
[ , 0
2 ( ) t σ λ
≤
≤
2 λ
t ∀ ∈
Do vậy
(4.2.9)
u
−
0,
≤ (cid:4) C , λ 1
u , λδ
δ
)
W T ( 1
)
+
( 1 δ+
* (
) K K M T 2
1
1 2
với
T Me
.
Định lí 4.2 được chứng minh.(cid:44)
2
=(cid:4) C 1
4.3. Khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp
N + 1.
Ta định nghĩa một số kí hiệu sau:
Với mỗi đa chỉ số
,...,
)
x
,...,
x
)
,N
=
∈ (cid:93) và
=
∈ (cid:92) ta đặt
N
1( α α α N
x 1(
N +
N
(4.3.1)
!...
,
!,
α x
...
xα
.
... + +
=
= α α 1
! = α α α α N
N
1
α x 1 1
N
Trước hết ta sử dụng bổ đề sau
N
(cid:96)
(cid:92)
m N ,
,
x
(
,...,
x
)
,
(cid:92) .
λ
∈
=
∈
∈
Bổ đề 4.2. Cho
Khi đó
N
x 1
m
N
mN
m
]
x ( )
,
(4.3.2)
k λ
i x λ i
[ P k
∑
∑
i
1 =
k m =
⎛ ⎜ ⎝
⎞ = ⎟ ⎠
46
[
m
]( ),
x m k mN ≤ ≤
trong đó hệ số
phụ thuộc vào
x
,...,
x
được xác
=
kP
x 1(
)N
định bởi công thức
m
]
α
P
x ( )
,
,
=
x m k mN ≤ ≤
[ k
m
)
∈
m ! ∑ ! α α
( A k
(4.3.3)
N
m
)
(cid:93)
:
.
A
k
α
α
α = ∈
=
=
( k
i
N +
∑ , m i
}
{
i
1 =
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
Việc chứng minh bổ đề 4.2 được nghiệm lại từ các phép tính đại số
thông thường nên chúng tôi bỏ qua chi tiết.(cid:44)
Bây giờ, chúng tôi giả thiết thêm
N
2 (
f C +∈
(
(cid:92) ).
)6H
Với một tham số δ cố định,
0
*.δ δ< ≤
Ta ký hiệu lại
u
,
)
là nghiệm yếu của
Q P ( ) (
∈
0
0,
W M T 1(
u δ≡
≡0 )
0,
δ
tương ứng với
0.λ=
Ta cũng xét các hàm
1,2,...,
N
trong đó
,
),
(với
=
∈
, iu i
iu W M T 1(
0,M >
0T > được chọn thích hợp), là nghiệm của bài toán sau:
,
t T
Lu
, 0
1, 0
x < <
< <
=
u − Δ = i
i (0, ) t
t
i =
(1, ) 0, =
)iQ(cid:4) (
( ,0)
( ,0) 0,
1,...,
,
i
N
=
=
=
u i (cid:5) u x i
⎧ ⎪ u ⎨ i ⎪ u x ⎩ i
trong đó
i
(
)
[
]
m
)
1,...,
.
(4.3.4)
(cid:5)(cid:5) u (cid:4) F i
f
i
N
= −
=
1
0
i
m ( u P u i
δ− +
∑
m
1 =
!
1 m
∂ ⎛ ⎜ x ∂ ⎝
⎞ ( ) , ⎟ ⎠
,
)
Giả sử
là nghiệm yếu của bài toán
)
Q P ( ). (
≡
∈
≡
λ
, λδ
W M T 1(
u λ
u , λδ
Khi đó
N
h
−
=
−
(4.3.5)
i u λ i
v u = λ
u λ
∑
0
i
=
thỏa bài toán
(cid:5) u (cid:4) F i
47
Lv
(
)
f h ( )
E x t
( , ), 0
t T
,
1, 0
= −
f v h +
−
+
x < <
< <
(
)
λ
(4.3.6)
t
v
(0, ) t
=
∂ x ∂ (1, ) 0, v = (cid:5) ( ,0) 0, v x
( ,0) v x
=
=
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
trong đó
N
i
E x t ( , )
f h ( )
f u (
(cid:5) v + λ δ
(4.3.7)
= −
−
−
λ
(
)0 )
i
λ
∑
i
1 =
∂ x ∂
(cid:4) . F (cid:5) h + λ δ
Bổ đề 4.3. Giả sử
N
1,
0
≥
0, > λ δ
> và (
H
)
),
(
H− (
)6H là đúng.
3
2
Khi đó
N
1 +
(4.3.8)
E
,
(0,
).
≤
λ
λ
N
*
λ
∞ L
(0,
2 T L ;
)
(cid:4) C ∀ ∈ λ
Chứng minh. Với
1,
N = việc chứng minh bổ đề 4.3 là đơn giản, chúng
tôi bỏ qua chi tiết.
Xét
N ≥ Đặt 2.
N
i
u
h
.
(4.3.9)
h u =
+
u λ
=
+
0
0
1
i
∑
i
1 =
Bằng cách dùng khai triển Taylor cho hàm
quanh
f h ( )
f u (
h
)
=
+
0
1
,N sau đó áp dụng bổ đề 4.2, ta được
điểm
0u đến cấp
1
N
(
)
(
1)
m
N
N
+
1 +
f
f
f h ( )
f u (
)
u h ( )
(1
u (
=
+
+
−
) θ
+
h d h ) θ θ
0
0
m 1
0
1
N 1
∑
∫
m
1 =
1 m
1 N
!
!
0
(4.3.10)
k
N
(
)
]
k
m
m
f
R
f u (
)
u P u ( ( )
)
=
+
+
( ), λ
0
0
[ k
N
m
k
1 =
1 =
1 m
!
⎡ ∑ ∑ ⎢ ⎣
⎤ λ ⎥ ⎦
với
mN
N
(
)
]
m
m
k
R
f
u (
)
P u ( )
( ) λ
=
λ
0
N
[ k
∑
∑
2
k N
m
1 = +
=
1 m
!
(4.3.11)
1
(
1)
N
N
+
1 +
(1
.
f
( u
−
) θ
+
) h d h θ θ
+
0
1
N 1
∫
!
1 N
0
Do đó
48
(4.3.12)
N
N
(cid:5) u
f h ( )
f u (
)
= −
1 + k λ
−
k λ
+
δ
−
(
)
k
(cid:4) F k
0
E x t ( , ) λ
1 −
∑
∑
k
k
1 =
1 =
∂ x ∂
N
k
m
(
)
]
1 + (cid:5) u
f
)
= −
N λ
−
−
δ
k λ
N
(cid:4) (cid:5) F u + k
k
m [ u P u ( ( ) k
0
1 −
∑
∑
k
m
1 =
1 =
1 m
!
∂ ⎛ ⎜ x ∂ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
δ
( ) λ
+
(
)
R N
∂ x ∂
N
mN
m
m
(
1)
]
(
)
+
f
1 + (cid:5) u
f
)
u (
) ∇
= −
+
k λ
N λ
m [ u P u ( ( ) k
m [ ] P u ( ) k
N
0
u ∇ + 0
0
(
)
⎤ ⎦
⎡ ⎣
k N
δ m
2
=
1 = +
1 ∑ ∑ m !
1
(
1)
N
N
+
1 +
f
(1
u (
−
+
) θ
+
δ
0
N h d h ) θ θ 1 1
∫
1 N x !
0
∂ ⎡ ⎢ ∂ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
N
mN
(
1)
]
N
m
m
k
+
1 + (cid:5) u
f
u
)
λ
δ
λ
= −
+
∇
0
0
N
[ u P u ( ( ) k
2
k N
m
=
1 = +
1 ∑ ∑ m !
N
mN
(
)
]
m
m
k
f
u (
P u ( )
δ
λ
+
) ∇
0
[ k
(
)
2
k N
m
1 = +
1 ∑ ∑ m !
1
(
2)
N
N
1 +
+
u h
f
(1
u (
δ
) θ
h d ) θ θ
+
∇
−
+
N 0 1
0
1
∫
!
0
1
(
2)
N
N
1 +
+
h h
f
u (
δ
+
∇
+
N 1 1
0
h d ) θ θ 1
(1 ) θ θ − ∫
0
1
= 1 N 1 N N
N
N
(
1)
+
h h
(1
f
u (
δ
) θ
) h d . θ θ
+
∇
−
+
N 1 1
0
1
∫
! 1 + N !
0
Ta có các đánh giá sau
Đánh giá thứ nhất.
1 +
(4.3.13)
1 + (cid:5) u
(cid:5) u
.
N λ
N − λ
≤
N
∞ N L
(0,
2 T L ;
)
∞ L
(0,
2 T L ;
)
Đánh giá thứ hai.
49
(
m
1)
+
N
mN
f
)
m
]
k
0
u
P u ( )
δ
∇
λ
[ k
0
∑
∑
m
k N
2
=
1 = +
u ( !
m
∞ L
(0,
2 T L ;
)
N
mN
N
m
]
1 +
1 − −
P u ( )
≤
δλ
K u ∇
λ
[ k
*
0
k N *
∞ L
(0,
2 T L ;
)
∞ L
(0,
2 T L ;
)
k N
m
2
=
1 = +
(4.3.14)
1 ∑ ∑ m !
N
1 +
≤
δλ
K u ∇
×
*
0
∞ L
(0,
2 T L ;
)
m
N
mN
N
N
1 − −
1 +
u
,
λ
λ
×
≡
i
1 N
k N *
∑ ∑ ∑
∑
∞ L
(0,
2 T L ;
)
)
m
i
m k N 2
1 = +
=
1 =
α
∈
1 ! α
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
( A k
(
m
)
với
K
f
z ( ) ,
u
C
.
=
≤
0
1
∞ L
(0,
2 T L ;
)
sup z C ≤ 1 m N 1 1 ≤ ≤ +
Đánh giá thứ ba.
(
m
)
N
mN
f
)
0
u
∇
∇
k λ
0
[ ] m P u ( ) k
(
)
∑
∑
2
(cid:4) C
k N
=
1 = +
u ( m !
(0,
)
∞ L
2 ; T L
N
mN
1 − −
1 +
∇
≤
K u ∇
N δλ *
0
[ ] m P u ( ) k
(
)
(0,
)
∞ L
2 ; T L
k N λ * )
(0,
∞ L
2 ; T L
k N
1 = +
1 ∑ ∑ m !
1 +
≤
K u ∇
2 m = ×
N δλ *
0
)
∞ L
N
mN
N
1 − −
...
1 − ∇
×
α u α 1 1 i
α u ... N N
α α u u i i 1 − 1 i i −
α u u i 1 + 1 i i +
∑
m
)
2
k N
m
i
1 = +
=
1 =
α ∈
∑ ∑ ∑ !
1 m
2 ; (0, T L ! m ! α
k N λ * )
(0,
∞ L
2 ; T L
( A k
1 +
≤
K u ∇
×
N δλ *
0
(0,
)
2 ; T L
N
mN
N
α 1
α N
1 − −
u
...
.
×
∇
∇
u 1
δ m
N
∑ ∑ ∑ ∑
(0,
)
(0,
k N λ * )
∞ L
2 ; T L
∞ L
2 ; T L
)
m
i
2 m k N
1 =
1 = +
=
α
∈
∞ L 1 ! α
( A k
1 +
≤
K u ∇
×
N δλ *
0
)
2 ; T L
N
mN
α 1
α N
2
N
1 − −
1 +
.
u
...
×
∇
∇
α i
≡ (cid:4) NC
u 1
N
∑ ∑ ∑
(0,
)
(0,
k N λ * )
∞ L
2 ; T L
∞ L
2 ; T L
)
m
(4.3.15)
2 m k N
=
1 = + ∈ α
∞ (0, L m ! α
( A k
Đánh giá thứ tư.
λ
50
1
N
N
N
(
2)
1 +
+
f
(1
u (
∇
−
+
) θ
u h 0 1
0
h d ) θ θ 1
∫
1 N
!
0
(0,
)
∞ L
2 ; T L
1
N
1 +
N
u
(1
)
−
∇
d θ θ
δ
0
h 1
(0,
)
(0,
)
∞ L
2 ; T L
∞ L
2 ; T L
∫
(4.3.16)
2 + !
0
N
1 +
N
N
1 −
u
u
≤
∇
1 + λ δ
δ ≤ ∇ * (cid:4) K N N
*
0
i *
i
(0,
)
(0,
)
∞ L
2 ; T L
∞ L
2 ; T L
i
1 =
(
2 N + 1)! +
⎛ ∑ ∇⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
N
1 +
,
λ (cid:4) K N
≡
3 N
N
(
)
m
(cid:4) K
sup
f
u ( ) :
u
,
1,
N
2.
=
≤
∇
m N =
+
+
với
m
∑
(0,
)
u ∞ i L
; T L
(cid:4) C λ
}2
{
0
i
=
Đánh giá thứ năm.
1
N
N
N
(
2)
1 +
+
f
u (
∇
+
h h 1 1
0
h d ) θ θ 1
(1 ) θ θ − ∫
1 N
0
(0,
)
∞ L
2 ; T L
1
N
1 +
N
d
(1
)
≤
−
∇
∇
δ
h 1
h 1
∞ L
∞ L
(0,
2 T L ;
)
(0,
2 T L ;
)
(4.3.17)
! (cid:4) K N N
2 + !
0
N
1 +
N
N
1 +
u
u
≤
∇
∇
N λ
i
i
i 1 − λ *
i λ *
∑
∑
∞ L
∞ L
(0,
2 T L ;
)
(0,
2 T L ;
)
i
i
1 =
1 =
δ * θ θ θ ∫
(cid:4) K N 2 + 2)! +
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
1 +
(cid:4) C
.
≡
N λ
4 N
Đánh giá thứ sáu.
1
N
N
N
N
(
1)
+
h h
(1
f
u (
δ
) θ
h d ) θ θ
∇
−
+
1 1
0
1
∫
1 + ! N
0
∞ L
(0,
2 T L ;
)
1
N
1 +
(
N
N
N
1 +
(1
)
h
δ
d θ θ
≤
−
∇
*
1
∞ L
(0,
2 T L ;
)
∫
(4.3.18)
0
N
1 +
N
N
1 +
1 −
N
1 +
u
λ δ
λ
≤
*
i *
∞ i L
(0,
2 T L ;
)
i
1 =
!
⎛ ∑ ∇⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
N
1 +
(cid:4) C
(cid:4) K 1) + N ! (cid:4) K N .
λ
≡
5 N
Do (4.3.13) – (4.3.18) nên từ (4.3.12) ta suy ra rằng
N
1 +
E
(cid:4) C
(0,
),
(4.3.19)
≤
, λ λ
∀ ∈
λ
N
*
λ
∞ L
(0,
2 T L ;
)
trong đó
(cid:4) C
(cid:5) u
(cid:4) C
(cid:4) C
.
=
+
... + +
N
N
1 N
5 N
(0,
)
∞ L
2 ; T L
δ * N (
51
Ta có bổ đề 4.3 được chứng minh xong. (cid:44)
xác định bởi :
v ≡ 0,
Bây giờ, ta xét dãy { }mv
0
Lv
(
f v (
h
)
f h
( ))
= −
(cid:5) v λ
+
−
m
m
1
m
1 −
E x t
t T
+ ∇ δ− ( , ), 0
1, 0
,
+
x < <
< <
λ
(4.3.20)
t
v
t (0, )
(1, ) 0, =
=
m
m
v x
v (cid:5) v x
m
( ,0)
1.
=
( ,0) 0, =
≥
m
m
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
Với
ta có bài toán
1,=m
E x t
( , ), 0
1, 0
t T
,
Lv
x < <
< <
1
v
t
λ= t (0, ) =
(1, ) 0, =
(4.3.21)
1
1
v (cid:5) v x
v x
( ,0)
( ,0) 0.
=
=
1
1
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
Nhân hai vế (4.3.21)1 với 1v(cid:5) rồi tích phân theo t, ta được
t
2
N
1 +
(4.3.22)
(cid:5) v t ( )
a v t v t ( ),
(
(cid:5) E s v s ds
( ),
( )
(cid:4) (cid:5) C T v
.
+
( )) 2 =
≤
2 λ
1
1
1
1
1
N
λ
(0,
)
∞ L
2 T L ;
∫
0
Dẫn đến
N
1 +
(4.3.23)
(cid:5) v
(cid:4) C T
.
≤
2 λ
1
N
(0,
)
∞ L
2 T L ;
Do đó
1
N
v
(cid:4) C T
.
(4.3.24)
≤
λ + 4
1
N
)
W T ( 1
Tiếp theo ta sẽ chứng minh tồn tại hằng số
độc lập với m và
,λ
,TK(cid:4)
sao cho
N
1 +
v
(cid:4) K
,
m .
(4.3.25)
η
= ∇
+
≤
λ
∀
m
m
(cid:5) v m
T
(0,
)
(0,
)
∞ L
2 T L ;
∞ L
2 T L ;
Nhân hai vế (4.3.20)1 với mv(cid:5) rồi tích phân theo t, ta được
52
2
a v t v t ( ),
( ))
(
+
(cid:5) v t ( ) m
m
m
t
≤
(cid:5) v m
1 −
(0,
)
(cid:5) s ds v ( ) ∞ m L
2 T L ;
2 λ ∫
0
t
(4.3.26)
(
f v (
h
)
f h
( ))
+
∇
+
−
m
1 −
(0,
)
(cid:5) ds v ∞ m L
2 T L ;
2 δ ∫
0
t
2
( )
.
+
λ
(0,
)
(cid:5) E s ds v ∞ m L
2 T L ;
∫
0
Ta có
t
.
(4.3.27)
2 λ
≤
2 λ
*
(cid:5) s ds v ( ) m
m
(cid:5) T v m
(cid:5) v m
1 −
1 −
(0,
)
(0,
)
(0,
)
∞ L
2 T L ;
∞ L
2 T L ;
∞ L
2 T L ;
∫ (cid:5) v
0
(
f v (
′ ( f v
( ))
)
h
f h
)
′ ( ) f h
h
∇
+
=
h + ∇ −
∇
m
m
m
1 −
1 −
1 −
(4.3.28)
h
)
)( h v + ∇ ′ ( f h v
v
= ∇
+
−
+
+
) ∇
m
m
m
1 −
1 −
1 −
− ′ ( h f v [ ′′ ( f h
hv
′ ( )] f h ′ f h v (
)
v
, 0
1.
+
+
+
= ∇
) ∇
v η
< < η
m
m
m
m
1 −
1 −
1 −
1 −
Ta cũng có
N
N
h
u
M
M
(1
1 − ) .
(4.3.29)
∇
∇
≤
≤
−
≤
i λ *
i λ *
λ *
i
∑
∑
(0,
)
(0,
)
∞ L
2 T L ;
∞ L
2 T L ;
0
0
i
i
=
=
Dẫn đến
1
(4.3.30)
(
f v (
h
)
f h
( ))
v
MK
(1
K
∇
+
−
≤ ∇
−
λ − )
+
m
m
*
2
1
1 −
1 −
⎡ ⎣
⎦ , ⎤
∞ L
2 T L ;
)
(0,
với
i ( )
1
sup
f
u ( ) :
(1
1,2.
(4.3.31)
λ − )
=
u M ≤
−
+
=
iK
*
{
} M i ,
t
(
f v (
h
)
f h
( ))
∇
+
−
m
1 −
(cid:5) ds v ∞ m L
(0,
2 T L ;
)
2 δ ∫ 0
(4.3.32)
1 −
MK
(1
)
K T ]
v
.
≤
−
+
∇
m
(cid:5) v m
2 [( δ *
2
λ *
1
1 −
∞ L
∞ L
(0,
2 T L ;
)
(0,
2 T L ;
)
t
1 +
(4.3.33)
2
( )
.
N 2 λ
≤
(cid:5) E s ds v m
(cid:4) (cid:5) C T v m
N
λ
(0,
)
(0,
)
∞ L
2 ; T L
∞ L
2 ; T L
∫
0
Do (4.3.26), (4.3.27), (4.3.32), (4.3.33) nên
m
1,2,...,
(4.3.34)
, η ζη τ
≤
+
=
= 0,
m
m
η 0
1 −
53
trong đó
1 −
[
MK
(1
)
K T ]} ,
+
=
−
+
λ *
2
1
(4.3.35)
1 +
* (cid:4) TC 2
.N
λ
N
2{ ζ λ δ ⎧⎪ * ⎨ =⎪⎩ τ
1ζ < (với
Giả sử
0T > thích hợp). Khi đó theo bổ đề 1.13, chương 1,
ta được
1 +
(4.3.36)
v
(cid:4) K
,
m ,
N λ
= ∇
+
≤
∀
η m
m
(cid:5) v m
T
∞ L
(0,
2 T L ;
)
∞ L
(0,
2 T L ;
)
N
(cid:4) K
.
với
=
T
(cid:4) TC 2 1 ζ −
xác định bởi (4.3.20) hội tụ mạnh
Mặt khác, dãy lặp tuyến tính { }mv
trong không gian
1( )W T về nghiệm yếu v của bài toán (4.3.6).
Do đó, cho m → +∞ trong (4.3.36), ta được
N
1 +
v
(cid:5) v
(4.3.37)
∇
+
≤ (cid:4)
K λ
T
∞ L
∞ L
(0,
2 ; T L
)
(0,
2 ; T L
)
hay
N
N
i
i
N
1 +
u
(cid:4) K
.
(4.3.38)
∇
+
−
≤
λ
(cid:5) u λ
λ
i
i
T
u ∇ − λ
(cid:5) u λ
∑
∑
i
i
0
0
=
=
∞ L
∞ L
(0,
2 T L ;
)
(0,
2 T L ;
)
Vậy, ta có định lí sau
Định lí 4.5. Giả sử các giả thiết
(
H
)
),
(
H− (
3
2
)6H là đúng. Khi đó tồn
M
0,
T
0
tại các hằng số
>
> sao cho,
, 0
1,
∀
≤ bài toán (
≤ ≤ λ λ λ *
)λQ có
duy nhất nghiệm yếu
,
)
và thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N+1
1
( u W M T λ ∈
theo λ như sau
N
1
i
N
(4.3.39)
u
)
=
λ
u O +
λ + (
i
λ
∑
i
0
=
theo nghĩa
N
N
i
i
N
1 +
(cid:44)
(4.3.40)
u
(cid:5) u
(cid:4) K
.
u ∇ −
λ
∇
+
−
(cid:5) u λ
≤
λ
i
i
T
λ
λ
∑
∑
i
i
0
0
=
=
∞ L
∞ L
(0,
2 ; T L
)
(0,
2 ; T L
)
54
Chương 5: KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ.
Trong chương này, chúng ta xét một ví dụ cụ thể về khai triển tiệm cận
5
nghiệm yếu của bài toán (
F
0,
f u ( )
u
đến cấp
≡
=
N = 5.
)Qλ tương ứng với
Gọi
u u u
,
,
,...,
u
lần lượt là nghiệm yếu của các bài toán sau:
0
1
5
λ
4
u , t T , (cid:5) u 0 , 1 0 5 x < < < < ∇
= )λQ (
0
1
4
(cid:4) u x ( ), = = (cid:5)(cid:5) u u u + − Δ = − λ δ ⎧ ⎪ ( , ) u ( , ) t u t , 0 0 1 = ⎨ ⎪ (cid:5) (cid:4) ( ), ( , ) u x u x u x ( , ) 0 0 ⎩
0
)Q ( 0
, t T , 1 0 x < < < <
0
1
( ), (cid:4) u x = = (cid:5)(cid:5) , u u u u 5 − Δ = ∇ δ ⎧ ⎪ ( , ) ( , ) , t u t u 0 1 0 = = ⎨ ⎪ (cid:5) (cid:4) ( ), ( , ) ( , ) u x u x u x 0 0 ⎩
0
k
k
k
, , (cid:4) F t T u , 1 0 x < < < <
0
k
k
)kQ (
, ( , ) t 1 ( , ) t 0 = =
k
k
u (cid:5) u x k ( , ) 0 , 0 ,..., 1 , 5 ( , ) 0 = = = (cid:5)(cid:5) ⎧ − Δ = u ⎪ u ⎨ ⎪ u x ⎩
được tính tường minh như sau: trong đó các hàm 1,...,5) (cid:4) kF k = (
0
3 0
0 1
4 0
1
1
u u u }, (cid:4) F (5.1) (cid:5) u = − + 5 {4 u δ ∇ u + ∇
1
1
2
4 0
3 0
0 1
2
3 0
0
2
2 0
2 0 1
3 0
1 1
u ) 4 u u u u (cid:4) F (cid:5) u = − + 5 { ( u δ ∇ + ∇ + ∇ (5.2) u 4 u u u 6 u u u 4 u u }, + ∇ + ∇ + ∇
2
2 0
0
3
3
u u (cid:4) F (cid:5) u = − + 5 {6 u δ ∇
3
4 0
2 0
0 1 2
3 0
1 2
(5.3) u u u 6 u u u u 4 u u + ∇ + ∇ + ∇
3 0
2 1
3 0 1
0
2 0
2 1 1
u 4 u u u 6 u u }, + ∇ + u u u 4 ∇ + ∇
4
3
3 0
0
4
4
4 0
2 0
0 1 3
(cid:4) F u u u u u u u u 12 (cid:5) u = − + u 5 {4 δ ∇ + ∇ + ∇
3 0
1 3
3 1
2 0
2 0 1
(5.4) u u u u u u u 4 ( + ∇ + ∇ u ) 6 + ∇
2 0
2 1
4 0 1
3 1 1
0
u u u u u 4 }, + ∇ + ∇ + u u u 4 ∇
55
4
3 0
0
5
4 0
5
u u u (cid:4) F (cid:5) u = − + 5 {4 u δ ∇ u + ∇
5
2 0 1 2
0
3 3
2
3
3
2
4 1
1 4
12 u u u u u 4 ( u u u u u u u u ) (5.5) + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇
2 0
1 4
0
2
3
2 0
2 1 2
1 2
2
5
i
u 12 u u u ( u u u ) 6 ( u u )}. + ∇ + + ∇ + u u u ∇
i
λ
λ
∑
i
0
=
4
4
(
) (
(cid:5) v
h
v
h
5
+ λ δ
v h +
) h ∇ + ∇ − ∇
⎤ ⎦
⎡ ⎣ ( , ),
,
E x t
t T
0
, 1 0
+
x < <
< <
λ
Khi đó u h là nghiệm yếu của bài toán v u = − u λ ≡ −
,
0
=
,
( , ) t u 1 = (cid:5) ( , ) u x 0
0
=
=
⎧ − Δ = − (cid:5)(cid:5) v v ⎪ ⎪ ⎨ ( , ) u t 0 ⎪ ⎪ ( , ) u x 0 ⎩
trong đó
m
5
5
k
6
5
uα
(5.7)
E x t ( , )
...
.
= −
λ
(cid:5) u λ δ 5
α u 1 1
5
λ
+ ∑ ∑ ∑
m
k
2
6
=
=
!
1 !... α α 5
1
k
m = α 5 ... 5 + +
=
... + + α 1 2 + α α 1 2
α 5
Bằng cách đánh giá tương tự như ở bổ đề 4.3 ta cũng thu được
(5.8)
λ≤ (cid:4) 6.
Kλ E
được xác định như ở
Tiếp theo, bằng cách xây dựng dãy hàm { }mv
Khi đó, ta có
(4.3.20) và thực hiện các đánh giá tương tự cho dãy hàm { }.mv
5
(5.6)
Định lí 5.1. Cho
N
5,
F
0,
f u ( )
u
.
Giả sử các giả thiết
=
≡
=
M
0,
T
0
(
H
)
),
(
)H là đúng. Khi đó, tồn tại các hằng số
>
> sao cho
H− (
2
3
6
với mọi λ bé, bài toán (
)Qλ có duy nhất một nghiệm yếu uλ thỏa mãn một
đánh giá tiệm cận đến cấp 5 như sau
5
i
)
=
λ
6 ( λ
(5.9)
u O + i
u λ
∑
i
0
=
theo nghĩa
5
5
i
i
u
(cid:4) K
,
(5.10)
∇
+
−
≤
λ
(cid:5) u λ
6 λ
i
i
T
u ∇ − λ
(cid:5) u λ
∑
∑
i
i
0
0
=
=
∞ L
∞ L
(0,
2 ; T L
)
(0,
2 ; T L
)
trong đó
.M T (cid:44)
,
TK(cid:4) là hằng số chỉ phụ thuộc vào
56
KẾT LUẬN
Luận văn sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để khảo sát phương
trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện Dirichlet thuần nhất. Phương pháp
này không những giúp ta chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm
cũng như sự khai triển tiệm cận nghiệm mà bản thân nó còn thiết lập nghiệm
xấp xỉ tuyến tính hóa bằng một thuật giải thích hợp.
Nội dung chính của luận văn tập trung ở các chương 2, 3 và 4.
Ở chương 2, chúng tôi nghiên cứu phương trình sóng phi tuyến
u
u
f u ( )
F x t
( , ), 0
t T
,
1, 0
−
+
δ
+
u λ
=
x < <
< <
(
)
tt
x
t
x
với điều kiện biên và đầu
u
t (0, )
t
=
u x
( ,0)
( ,0)
( ),
u (1, ) 0, = (cid:4) u x u x ( ),
=
=
t
0
(cid:4) u x 1
,
trong đó
,λδ là các hằng số không âm cho trước;
(cid:4) là các hàm f F u u(cid:4) , , 1
0
cho trước thỏa các điều kiện được chỉ ra.
Chúng tôi thu được kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Trong chương 3, chúng tôi thu được sự tồn tại của dãy lặp cấp hai và sự
hội tụ của dãy đó về nghiệm của bài toán tương ứng.
Trong chương 4, chúng tôi thu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm
yếu
( ,
(phụ thuộc
cũng như khai triển
u u λδ )
=
,λδ) khi ( ,
) λδ
→
(0 ,0 ) + +
1.
tiệm cận của bài toán nhiễu tương ứng theo các tham số λ đến cấp
N +
Cuối cùng là một trường hợp cụ thể minh họa cho phần khai triển tiệm
cận của nghiệm yếu theo λ ở chương 4.
57
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. R. A. Adams (1975), Sobolev spaces, Academic press, New York 1975.
2. G. Andrews (1980), On the existence of solutions to the equation
) ,
u
u
J. Differential Equations 35 (1980) 200 – 231.
=
+
( uσ
tt
xxt
x
x
3. H. Brézis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie Applications, Masson
Paris, 1983.
4. J. Clements (1975), On the existence and uniqueness of solutions of the
equation
u
u (
)
u
f
,
Canad. Math. Bull. 18 (1975) 181
σ
−
= Δ
=
tt
i
N t
x i
∂ x ∂
i
– 187.
5. T. Caughey, J. Elison (1975), Existence uniqueness and stability of
solution of a class of nonlinear differential equations, J. Math. Anal.
Appl. 51(1975), 1 – 32.
6. C. M. Dafermos (1969), The mixed initial boundary value problem for the
equation of nonlinear one dimensional viscoelasticity, J. Differential
Equations 6 (1969) 71 – 86.
7. Alain Phạm Ngọc Định (1983), Sur un problèmes hyperbolique faiblement
nonlinéaire en dimension, Demonstratio Math. 16 (1983), 269 – 289.
8. Alain Phạm Ngọc Định, Nguyễn Thành Long (1986), Linear
approximation and asymptotic expansion associated to the wave
equation in one dimension, Demonstratio Math. 19 (1) (1986), 45 – 63.
9. F. Ficken, B. Fleishman (1957), Initial value problem and time periodic
solutions for a nonlinear wave eqution, Communs Pure Appl. Math. 10
(1957), 331 – 356.
10. J. M. Greenberg, R.C. MacCamy, V. J. Mizel (1968), On the existence,
58
uniqueness
and
stability
of
solutions
of
the
equation
J. Math. Mech. 17 (1968) 707 – 728.
u
,
′ ( u u ) σ
u λ
+
=
x
xx
xtx
ρ 0
tt
11. J. M. Greenberg (1969), On the existence, uniqueness and stability of
solutions of the equation
J. Math. Anal.
X
E X X
)
(
,
X λ
=
+
ρ 0
tt
x
xx
xtx
Appl. 25 (1969) 575 – 591.
12. J. M. Greenberg, R.C. MacCamy, On the exponential stability of
solutions of
(
,
) E u u
J. Math. Anal. Appl. 31 (1970) 406
+
u λ
=
u ρ
x
xx
xtx
tt
– 417.
13. J.L. Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux
limites non-linéaires, Dunod; Gauthier-Villars, Paris, 1969.
14. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1992), On the
f u u
quasilinear wave equation
( , ) 0
u − Δ +
= associated with a
ttu
mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 19 (7) (1992) 613 –
623.
15. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1995), A semilinear
wave equation associated with a linear differential equation with
Cauchy data, Nonlinear Anal. 24 (8) (1995) 1261 – 1279.
16. Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm (1997), On the nonlinear wave
associated with
the mixed
equation
u
u
f x t u u u
( , ,
,
,
)
−
=
tt
xx
x
t
homogeneous conditions, Nonlinear Anal. 29 (11) (1997) 1217 – 1230.
[ http://dx.doi.org/10.1016/S0362-546X(97)87360-9 ]
17. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm
(2002), Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated
with the Kirchhoff-Carrier operator, J. Math. Anal. Appl. 267 (1)
(2002), 116–134. [ http://dx.doi.org/10.1006/jmaa.2001.7755 ]
18. Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2007), On a nonlinear
59
Kirchhoff–Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic
convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio
Math. 40 (2) (2007), 365–392.
[http://demmath.mini.pw.edu.pl/pdf/dm40_2.pdf].
19. Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường (2007), Existence and
asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed
nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. Theory, Methods &
Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (3) (2007), 842 – 864.
[ http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2006.06.044 ].
20. Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc
(2005), On
the nonlinear wave equation with
the mixed
nonhomogeneous condition: Linear approximation and asymptotic
expansion of solution, Demonstratio Math. 38 (2) (2005), 365 – 386.
21. Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long,
(2008), On a nonlinear wave equation associated with the boundary
conditions involving convolution, Nonlinear Anal. Theory, Methods &
Applications, Series A: Theory and Methods (accepted for publication)
[http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2008.08.004].
22. Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc, Alain Phạm Ngọc Định,
Nguyễn Thành Long (2008), The regularity and exponential decay of
solution for a linear wave equation associated with two-point boundary
conditions, (Submitted).
[HAL: hal-00294600, version 1;
[http://hal.archives-ouvertes.fr/index.php?halsid=cj2heosk2a4budruq
6sj9l3ff 0&view_this_doc=hal-00294600&version=1]
[arXiv:0807.1510;
http://fr.arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0807/0807.1510v1.pdf].
