Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của một số hệ vi phân đa trị trong không gian vô hạn chiều

BỘ GI(cid:129)O DỤC V(cid:128) Đ(cid:128)O TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM H(cid:128) NỘI

(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) * (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)

ĐỖ L(cid:133)N

D(cid:129)NG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ HỆ VI PH(cid:133)N ĐA TRỊ TRONG KH˘NG GIAN V˘ HẠN CHIỀU

LUẬN (cid:129)N TIẾN SĨ TO(cid:129)N HỌC

H(cid:160) Nội - 2016

BỘ GI(cid:129)O DỤC V(cid:128) Đ(cid:128)O TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM H(cid:128) NỘI

(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22) * (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)

ĐỖ L(cid:133)N

D(cid:129)NG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ HỆ VI PH(cid:133)N ĐA TRỊ TRONG KH˘NG GIAN V˘ HẠN CHIỀU

Chuy¶n ng(cid:160)nh: Phương tr…nh vi ph¥n v(cid:160) t‰ch ph¥n M¢ số: 62 46 01 03

LUẬN (cid:129)N TIẾN SĨ TO(cid:129)N HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS Trần Đ…nh Kế

H(cid:160) Nội - 2016

LỜI CAM ĐOAN

T(cid:230)i xin cam đoan đ¥y l(cid:160) c(cid:230)ng tr…nh nghi¶n cứu của t(cid:230)i dưới sự hướng dẫn

của PGS. TS. Trần Đ…nh Kế. C¡c kết quả được ph¡t biểu trong luận ¡n l(cid:160)

trung thực v(cid:160) chưa từng được c(cid:230)ng bố trong c¡c c(cid:230)ng tr…nh của c¡c t¡c giả

kh¡c.

Nghi¶n cứu sinh

Đỗ L¥n

LỜI CẢM ƠN

Luận ¡n n(cid:160)y được thực hiện tại Bộ m(cid:230)n Giải t‰ch, Khoa To¡n - Tin, Trường

Đại học Sư phạm H(cid:160) Nội, dưới sự hướng dẫn nghi¶m khắc, tận t…nh, chu đ¡o

của PGS. TS. Trần Đ…nh Kế. T¡c giả xin b(cid:160)y tỏ lÆng k‰nh trọng v(cid:160) biết ơn

s¥u sắc đến Thầy, người đ¢ dẫn dắt t¡c giả v(cid:160)o một hướng nghi¶n cứu tuy kh(cid:226)

khăn, vất vả nhưng thực sự th(cid:243) vị v(cid:160) c(cid:226) (cid:254) nghĩa.

T¡c giả tr¥n trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Gi¡m hiệu, PhÆng Sau Đại học,

Ban Chủ nhiệm Khoa To¡n- Tin, Trường Đại học Sư phạm H(cid:160) Nội, đặc biệt

l(cid:160) c¡c thầy gi¡o, c(cid:230) gi¡o trong Bộ m(cid:230)n Giải t‰ch đ¢ lu(cid:230)n gi(cid:243)p đỡ, tạo điều kiện

thuận lợi v(cid:160) động vi¶n t¡c giả trong suốt qu¡ tr…nh học tập v(cid:160) nghi¶n cứu.

T¡c giả xin được b(cid:160)y tỏ lÆng biết ơn đến Ban Gi¡m hiệu trường Đại học

Thủy Lợi, c¡c đồng nghiệp tại Bộ m(cid:230)n To¡n học, Khoa C(cid:230)ng nghệ th(cid:230)ng tin,

Trường Đại học Thủy lợi đ¢ lu(cid:230)n gi(cid:243)p đỡ, tạo điều kiện thuận lợi v(cid:160) động vi¶n

t¡c giả trong suốt qu¡ tr…nh học tập v(cid:160) nghi¶n cứu.

Lời cảm ơn sau c(cid:242)ng, t¡c giả xin d(cid:160)nh cho gia đ…nh, những người lu(cid:230)n y¶u

thương, chia sẻ, động vi¶n t¡c giả vượt qua kh(cid:226) khăn để ho(cid:160)n th(cid:160)nh luận ¡n.

T¡c giả

Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1. C(cid:129)C KH˘NG GIAN H(cid:128)M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. L(cid:157) THUYẾT NỬA NH´M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1. Nửa nh(cid:226)m li¶n tục mạnh v(cid:160) c¡c trường hợp đặc biệt . . 16

1.2.2. Nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3. ĐỘ ĐO KH˘NG COMPACT (MNC) V(cid:128) C(cid:129)C ƯỚC LƯỢNG

ĐỘ ĐO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4. (cid:129)NH XẠ N(cid:146)N V(cid:128) C(cid:129)C ĐỊNH L(cid:157) ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO

(cid:129)NH XẠ ĐA TRỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5. TẬP H(cid:211)T TO(cid:128)N CỤC CHO NỬA D`NG ĐA TRỊ . . . . . . 30

1.6. GIẢI T(cid:157)CH BẬC PH(cid:133)N SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.1. Đạo h(cid:160)m v(cid:160) t‰ch ph¥n bậc ph¥n số . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2. C(cid:230)ng thức nghiệm cho b(cid:160)i to¡n với phương tr…nh vi ph¥n

bậc ph¥n số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Chương 2. D(cid:129)NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BAO

H(cid:128)M THỨC VI PH(cid:133)N H(cid:128)M NỬA TUYẾN T(cid:157)NH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1. ĐẶT B(cid:128)I TO(cid:129)N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM T(cid:157)CH PH(cid:133)N . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP H(cid:211)T TO(cid:128)N CỤC . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4. (cid:129)P DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.1. Bao h(cid:160)m thức trong miền bị chặn . . . . . . . . . . . . 50

2.4.2. Bao h(cid:160)m thức trong miền kh(cid:230)ng bị chặn . . . . . . . . . 52

Chương 3. NGHIỆM ĐỐI TUẦN HO(cid:128)N CỦA BAO H(cid:128)M THỨC VI PH(cid:133)N

NỬA TUYẾN T(cid:157)NH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1. ĐẶT B(cid:128)I TO(cid:129)N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2. SỰ TỒN TẠI CỦA LỚP NGHIỆM ĐỐI TUẦN HO(cid:128)N . . . . 56

3.3. (cid:129)P DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.1. V‰ dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.2. V‰ dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Chương 4. T(cid:157)NH ỔN ĐỊNH YẾU CỦA HỆ VI PH(cid:133)N BẬC PH(cid:133)N SỐ

NỬA TUYẾN T(cid:157)NH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1. ĐẶT B(cid:128)I TO(cid:129)N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2. KH˘NG GIAN H(cid:128)M V(cid:128) ĐỘ ĐO . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TR(cid:150)N NỬA TRỤC . . . . . . . . . . 78

4.4. T(cid:157)NH ỔN ĐỊNH YẾU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5. (cid:129)P DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6. TRƯỜNG HỢP B(cid:128)I TO(cid:129)N ĐƠN TRỊ . . . . . . . . . . . . . 100

DANH MỤC C˘NG TR(cid:156)NH KHOA HỌC CỦA T(cid:129)C GIẢ LI(cid:150)N QUAN

ĐẾN LUẬN (cid:129)N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

T(cid:128)I LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

MỞ ĐẦU

1. Lịch sử vấn đề v(cid:160) l‰ do chọn đề t(cid:160)i

Thuật ngữ hệ vi ph¥n đa trị được d(cid:242)ng để chỉ c¡c b(cid:160)i to¡n với bao h(cid:160)m

thức vi ph¥n hoặc c¡c phương tr…nh vi ph¥n (đạo h(cid:160)m ri¶ng) m(cid:160) t‰nh duy

nhất nghiệm của n(cid:226) bị ph¡ vỡ. C¡c hệ vi ph¥n đa trị kh(cid:230)ng chỉ l(cid:160) m(cid:230) h…nh

tổng qu¡t của phương tr…nh vi ph¥n m(cid:160) cÆn xuất ph¡t từ nhiều b(cid:160)i to¡n quan

trọng, trong đ(cid:226) c(cid:226) thể kể đến b(cid:160)i to¡n điều khiển phản hồi đa trị, b(cid:160)i to¡n

ch‰nh quy h(cid:226)a phương tr…nh vi ph¥n với phần phi tuyến kh(cid:230)ng li¶n tục, c¡c bất

đẳng thức vi biến ph¥n. Nghi¶n cứu d¡ng điệu nghiệm của bao h(cid:160)m thức tiến

h(cid:226)a trong phạm vi luận ¡n n(cid:160)y bao gồm c¡c c¥u hỏi về t‰nh ổn định (hoặc ổn

định yếu) của nghiệm, sự tồn tại tập h(cid:243)t của hệ động lực sinh bởi tập nghiệm

v(cid:160) c¡c lớp nghiệm đặc biệt (nghiệm đối tuần ho(cid:160)n, nghiệm ph¥n r¢).

C¡c bao h(cid:160)m thức tiến h(cid:226)a trong kh(cid:230)ng gian hữu hạn chiều đ¢ được nghi¶n

cứu từ kh¡ sớm. C¡c kết quả về t‰nh giải được v(cid:160) cấu tr(cid:243)c tập nghiệm đ¢ được

tr…nh b(cid:160)y một c¡ch hệ thống trong c¡c cuốn s¡ch chuy¶n khảo [9, 32]. Tiếp

theo đ(cid:226), bao h(cid:160)m thức tiến h(cid:226)a trong kh(cid:230)ng gian Banach tổng qu¡t v(cid:160) ứng

dụng của n(cid:226) trở th(cid:160)nh chủ đề nghi¶n cứu c(cid:226) t‰nh thời sự trong hơn một thập

kỷ qua. C¡c cuốn s¡ch chuy¶n khảo theo hướng n(cid:160)y c(cid:226) thể kể đến [42, 72].

Nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận của nghiệm l(cid:160) một trong những vấn đề

trung t¥m của l‰ thuyết định t‰nh phương tr…nh vi t‰ch ph¥n. C(cid:230)ng cụ để

nghi¶n cứu d¡ng điệu nghiệm của c¡c hệ vi ph¥n (đạo h(cid:160)m ri¶ng) l(cid:160) đa dạng

t(cid:242)y theo đặc trưng từng hệ. Đối với c¡c phương tr…nh vi ph¥n thường, l‰ thuyết

ổn định Lyapunov l(cid:160) c(cid:230)ng cụ hữu hiệu để giải quyết vấn đề n(cid:160)y. Ngo(cid:160)i ra, một

số phương ph¡p kh¡c như phương ph¡p so s¡nh (xem [58]), phương ph¡p điểm

bất động (xem [19]) cũng được sử dụng. Trong khi đ(cid:226), để nghi¶n cứu d¡ng

điệu nghiệm của c¡c phương tr…nh đạo h(cid:160)m ri¶ng, người ta thường sử dụng l‰

thuyết tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục (xem [27]).

C¡c kết quả c(cid:242)ng với c¡c lược đồ nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận nghiệm

của c¡c hệ vi ph¥n thường v(cid:160) phương tr…nh đạo h(cid:160)m ri¶ng đ¢ được ph¡t triển

cho c¡c bao h(cid:160)m thức vi ph¥n. Do t‰nh chất kh(cid:230)ng duy nhất nghiệm của b(cid:160)i

to¡n Cauchy ứng với bao h(cid:160)m thức tiến h(cid:226)a, l‰ thuyết ổn định Lyapunov kh(cid:230)ng

khả dụng trong việc nghi¶n cứu t‰nh ổn định của nghiệm dừng. Đối với c¡c

bao h(cid:160)m thức tiến h(cid:226)a trong kh(cid:230)ng gian hữu hạn chiều, kh¡i niệm ổn định

yếu đ¢ được đề xuất bởi Filippov năm 1988 (xem [36]) v(cid:160) phương ph¡p h(cid:160)m

Lyapunov cải tiến để chứng minh t‰nh ổn định yếu cho bao h(cid:160)m thức tiến h(cid:226)a

đ¢ được tr…nh b(cid:160)y trong [2]. Đối với c¡c bao h(cid:160)m thức tiến h(cid:226)a trong kh(cid:230)ng

gian v(cid:230) hạn chiều, c¡ch tiếp cận thường được sử dụng nhất l(cid:160) l‰ thuyết tập

h(cid:243)t.

Trong v(cid:160)i thập kỷ trở lại đ¥y, l‰ thuyết tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục ph¡t triển mạnh

mẽ v(cid:160) thu được rất nhiều kết quả c(cid:226) t‰nh hệ thống (xem t(cid:160)i liệu chuy¶n khảo

[65]). Đối với c¡c hệ vi ph¥n đa trị, l‰ thuyết tập h(cid:243)t cũng tương đối ho(cid:160)n thiện

với nhiều lược đồ nghi¶n cứu. Trong đ(cid:226) đ¡ng ch(cid:243) (cid:254) nhất l(cid:160) l‰ thuyết tập h(cid:243)t

to(cid:160)n cục cho nửa dÆng đa trị được giới thiệu bởi Melnik v(cid:160) Valero năm 1998

(xem [52]) c(cid:242)ng với l‰ thuyết nửa dÆng suy rộng của Ball [11, 12]. Những đ¡nh

gi¡, so s¡nh về hai phương ph¡p n(cid:160)y đ¢ được Caraballo ph¥n t‰ch trong [22].

Ngo(cid:160)i ra cÆn c(cid:226) l‰ thuyết h(cid:243)t quỹ đạo được ph¡t triển bởi Chepyzov v(cid:160) Vishik

năm 1997 (xem [28]), đ¥y cũng l(cid:160) một c(cid:230)ng cụ hữu hiệu để nghi¶n cứu d¡ng

điệu nghiệm của c¡c hệ đạo h(cid:160)m ri¶ng m(cid:160) t‰nh duy nhất nghiệm kh(cid:230)ng được

bảo đảm. Tiếp sau đ(cid:226) l‰ thuyết tập h(cid:243)t l(cid:242)i, tập h(cid:243)t đều cho c¡c hệ động lực đa

trị cũng được x¥y dựng để l(cid:160)m việc với c¡c hệ vi ph¥n kh(cid:230)ng (cid:230)-t(cid:230)-n(cid:230)m (xem

[23, 24, 53]). Đặc biệt, trong c¡c năm 2014-2015, những cải tiến đ¡ng kể cho l‰

thuyết tập h(cid:243)t đ¢ được c(cid:230)ng bố trong c¡c c(cid:230)ng tr…nh [30, 41]. Những kết quả

mới nhất n(cid:160)y tập trung v(cid:160)o việc giảm nhẹ điều kiện về t‰nh li¶n tục v(cid:160) đưa

ra ti¶u chuẩn compact tiệm cận cho nửa nh(cid:226)m/nửa qu¡ tr…nh dựa tr¶n độ đo

kh(cid:230)ng compact. Tuy nhi¶n những ti¶u chuẩn n(cid:160)y khi ¡p dụng cho c¡c hệ vi

ph¥n h(cid:160)m cÆn gặp phải nhiều kh(cid:226) khăn về mặt kỹ thuật do kh(cid:230)ng gian pha

tương ứng c(cid:226) cấu tr(cid:243)c phức tạp.

Trong luận ¡n n(cid:160)y, sử dụng lược đồ của Melnik v(cid:160) Valero, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n

cứu sự tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục cho nửa dÆng đa trị sinh bởi lớp bao h(cid:160)m thức

vi ph¥n nửa tuyến t‰nh

t (cid:21) 0; (1) u′(t) 2 Au(t) + F (u(t); ut);

u(s) = φ(s); s 2 [(cid:0)h; 0]; (2)

ở đ¥y u l(cid:160) h(cid:160)m nhận gi¡ trị trong kh(cid:230)ng gian Banach X, ut l(cid:160) h(cid:160)m trễ, tức l(cid:160) ut(s) = u(t + s) với s 2 [(cid:0)h; 0], F l(cid:160) một h(cid:160)m đa trị x¡c định tr¶n một tập con của X (cid:2) C([(cid:0)h; 0]; X) v(cid:160) A : D(A) (cid:26) X ! X l(cid:160) một to¡n tử tuyến t‰nh thỏa

m¢n điều kiện Hille-Yosida nhưng x¡c định kh(cid:230)ng tr(cid:242) mật, tức l(cid:160) D(A) ̸= X.

Như đ¢ đề cập trong [71], trong nhiều b(cid:160)i to¡n nửa tuyến t‰nh, th(cid:160)nh phần

phi tuyến nhận gi¡ trị nằm ngo(cid:160)i D(A). Khi đ(cid:226) ta cần phải nghi¶n cứu trường

hợp m(cid:160) to¡n tử A kh(cid:230)ng x¡c định tr(cid:242) mật. Ta c(cid:226) thể t…m thấy trong [31] c¡c

m(cid:230) h…nh cụ thể với to¡n tử A được x¡c định kh(cid:230)ng tr(cid:242) mật.

Với giả thiết to¡n tử A x¡c định kh(cid:230)ng tr(cid:242) mật v(cid:160) thỏa m¢n điều kiện

Hille-Yosida, đ¢ c(cid:226) một số nghi¶n cứu về t‰nh giải được cũng như t‰nh ổn định

nghiệm của b(cid:160)i to¡n dạng (1)-(2). Cụ thể, c¡c kết quả cho trường hợp F l(cid:160)

h(cid:160)m đơn trị c(cid:226) trong [1, 4, 35, 71]. Trong trường hợp bao h(cid:160)m thức, c(cid:226) thể kể

đến c¡c kết quả [26, 59].

C¡c kết quả về sự tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục cho lớp b(cid:160)i to¡n (1)-(2) chưa

được biết đến nhiều. Trong trường hợp F l(cid:160) h(cid:160)m đơn trị, điều kiện tồn tại tập

h(cid:243)t to(cid:160)n cục đ¢ được nghi¶n cứu trong [76] (với trễ hữu hạn) v(cid:160) trong [18] (với

trễ v(cid:230) hạn). Trong c¡c nghi¶n cứu n(cid:160)y, c¡c t¡c giả đặt ra hai điều kiện sau

(cid:15) nửa nh(cid:226)m sinh bởi phần tuyến t‰nh tr¶n D(A) l(cid:160) compact;

(cid:15) h(cid:160)m phi tuyến thỏa m¢n điều kiện Lipschitz.

Khi nghi¶n cứu lớp b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i cố gắng giảm nhẹ hai điều kiện kể tr¶n trong trường hợp trễ hữu hạn. Cụ thể, nếu S′((cid:1)) l(cid:160) kh(cid:230)ng compact,

ch(cid:243)ng t(cid:230)i sẽ giả thiết F thỏa m¢n một điều kiện ch‰nh quy biểu diễn bởi độ

đo kh(cid:230)ng compact, điều kiện n(cid:160)y được thỏa m¢n nếu F = F1 + F2 với F1 l(cid:160)

một h(cid:160)m đơn trị c(cid:226) t‰nh chất Lipschitz cÆn F2 đa trị v(cid:160) compact.

Trong v(cid:160)i thập kỷ trở lại đ¥y, c¡c phương tr…nh/bao h(cid:160)m thức tiến h(cid:226)a bậc

ph¥n số đ¢ thu h(cid:243)t sự quan t¥m của nhiều nh(cid:160) nghi¶n cứu bởi c¡c ứng dụng

của ch(cid:243)ng trong việc m(cid:230) tả c¡c hiện tượng khoa học, kỹ thuật. C¡c phương

tr…nh vi ph¥n bậc ph¥n số được d(cid:242)ng để m(cid:230) tả c¡c b(cid:160)i to¡n ở nhiều lĩnh vực,

v‰ dụ như b(cid:160)i to¡n về lưu biến học, mạng điện, điện h(cid:226)a học... Chi tiết hơn,

ta c(cid:226) thể xem tại c¡c t(cid:160)i liệu chuy¶n khảo của Miller v(cid:160) Ross [54], Podlubny

[64], v(cid:160) Kilbas v(cid:160) c¡c cộng sự [44]. Gần đ¥y, do t‰nh ứng dụng của đạo h(cid:160)m

bậc ph¥n số trong m(cid:230) h…nh h(cid:226)a đồng thời với sự ph¡t triển của giải t‰ch bậc

ph¥n số, nhiều hệ vi ph¥n bậc nguy¶n được mở rộng th(cid:160)nh c¡c m(cid:230) h…nh bậc

ph¥n số. Theo hướng ph¡t triển n(cid:160)y, ta c(cid:226) thể kể tới c¡c kết quả ti¶u biểu

[57, 83, 84].

Trong luận ¡n, b¶n cạnh lớp bao h(cid:160)m thức tiến h(cid:226)a bậc nhất, ch(cid:243)ng t(cid:230)i

nghi¶n cứu một lớp bao h(cid:160)m thức tiến h(cid:226)a bậc ph¥n số (cid:11) 2 (0; 1) với mục

ti¶u t…m ra c¡c điều kiện chấp nhận được cho t‰nh ổn định của nghiệm dừng.

Tuy nhi¶n với c¡c phương tr…nh/bao h(cid:160)m thức tiến h(cid:226)a bậc ph¥n số, c¡ch tiếp

cận của l‰ thuyết tập h(cid:243)t lại kh(cid:230)ng khả dụng khi nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm

cận nghiệm do to¡n tử nghiệm kh(cid:230)ng c(cid:226) t‰nh chất kiểu nửa nh(cid:226)m. Hơn nữa,

với c¡c bao h(cid:160)m thức tiến h(cid:226)a bậc ph¥n số, c¡c kh¡i niệm ổn định theo nghĩa

Lyapunov cũng kh(cid:230)ng thể ¡p dụng được. Do đ(cid:226), ch(cid:243)ng t(cid:230)i đưa ra kh¡i niệm

Ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường khi nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm

cận của lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n bậc ph¥n số c(cid:226) xung, với điều kiện kh(cid:230)ng

CD(cid:11)

cục bộ v(cid:160) trễ hữu hạn dạng

0 u(t) 2 Au(t) + F (t; u(t); ut); t > 0; t ̸= tk; k 2 (cid:3);

(3)

(4) ∆u(tk) = Ik(u(tk));

u(s) + g(u)(s) = φ(s); s 2 [(cid:0)h; 0]; (5)

0 ; (cid:11) 2 (0; 1), l(cid:160) đạo h(cid:160)m bậc ph¥n số theo nghĩa Caputo, A l(cid:160) một to¡n tử tuyến t‰nh đ(cid:226)ng trong X sinh ra nửa nh(cid:226)m li¶n tục mạnh W ((cid:1)), F : k ) (cid:0) u(t(cid:0) R+ (cid:2) X (cid:2) C([(cid:0)h; 0]; X) ! P(X) l(cid:160) một ¡nh xạ đa trị, ∆u(tk) = u(t+ k ), k 2 (cid:3) (cid:26) N, Ik v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m li¶n tục, ut l(cid:160) h(cid:160)m trễ theo thời gian t, tức l(cid:160) ut(s) = u(t + s); s 2 [(cid:0)h; 0].

trong đ(cid:226) CD(cid:11)

Hệ (3)-(5) l(cid:160) dạng tổng qu¡t h(cid:226)a của b(cid:160)i to¡n Cauchy c(cid:226) xung (m(cid:230) tả bởi

(4)) v(cid:160) điều kiện ban đầu kh(cid:230)ng cục bộ (điều kiện (5)). Trong c¡c m(cid:230) h…nh

thực tế, điều kiện kh(cid:230)ng cục bộ cho những m(cid:230) tả tốt hơn so với điều kiện ban

M∑

đầu cổ điển, v‰ dụ, điều kiện

i=1

u(s) + ciu((cid:28)i + s) = φ(s); s 2 [(cid:0)h; 0];

cho ph†p ta th¶m c¡c đo đạc tại c¡c thời điểm kh¡c thời điểm ban đầu. Kết

quả đầu ti¶n v(cid:160) (cid:254) nghĩa vật l‰ cho b(cid:160)i to¡n kh(cid:230)ng cục bộ c(cid:226) thể xem trong [20].

C¡c phương tr…nh vi ph¥n với điều kiện ban đầu kh(cid:230)ng cục bộ đ¢ được nghi¶n

cứu bởi nhiều t¡c giả, điển h…nh l(cid:160) c¡c kết quả [26, 47, 48]. Mặt kh¡c, điều kiện

xung (4) được sử dụng để m(cid:230) tả c¡c hệ động lực c(cid:226) sự thay đổi trạng th¡i đột

ngột tại một số thời điểm, thường gặp trong vật l‰, sinh học, kĩ thuật,... C¡c

kết quả cơ bản về phương tr…nh vi ph¥n c(cid:226) xung c(cid:226) thể t…m thấy trong c¡c t(cid:160)i

liệu [14, 46].

Gần đ¥y, một số trường hợp ri¶ng của b(cid:160)i to¡n (3)-(5) dưới dạng bao h(cid:160)m

thức được nghi¶n cứu rộng r¢i. Về sự tồn tại v(cid:160) t‰nh chất tập nghiệm, ch(cid:243)ng ta

c(cid:226) thể kể tới một số kết quả ti¶u biểu trong c¡c c(cid:230)ng tr…nh [25, 81, 82], trong

đ(cid:226), t‰nh giải được của b(cid:160)i to¡n được x†t tr¶n khoảng compact v(cid:160) cấu tr(cid:243)c của

tập nghiệm dạng R(cid:14) được xem x†t. Lớp b(cid:160)i to¡n điều khiển được ứng với bao

h(cid:160)m thức vi ph¥n bậc ph¥n số cũng được nghi¶n cứu trong một số b(cid:160)i b¡o gần

đ¥y như [66, 80]. Tuy nhi¶n, một trong những c¥u hỏi quan trọng nhất đối với

lớp b(cid:160)i to¡n (3)-(5), đ(cid:226) l(cid:160) t‰nh ổn định của nghiệm chưa được nghi¶n cứu.

Để nghi¶n cứu t‰nh ổn định nghiệm cho lớp b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i đưa ra

kh¡i niệm ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường: K(cid:254) hiệu (cid:6)(φ) l(cid:160) tập

nghiệm của b(cid:160)i to¡n (3)-(5) ứng với điều kiện ban đầu φ sao cho 0 2 (cid:6)(0).

Nghiệm tầm thường của b(cid:160)i to¡n (3)-(5) được gọi l(cid:160) ổn định tiệm cận yếu nếu

n(cid:226) thỏa m¢n hai điều kiện

1) ổn định: với mọi ϵ > 0, tồn tại (cid:14) > 0 sao cho nếu ∥φ∥h < (cid:14) th… ∥ut∥h < ϵ với mọi u 2 (cid:6)(φ) v(cid:160) t > 0, ở đ¥y ∥ (cid:1) ∥h k(cid:254) hiệu chuẩn sup trong C([(cid:0)h; 0]; X);

2) h(cid:243)t yếu: với mọi φ 2 B, tồn tại u 2 (cid:6)(φ) thỏa m¢n ∥ut∥h ! 0 khi

t ! +1.

Ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n cứu t‰nh ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường cho

hệ (3)-(5) bằng c¡ch sử dụng l(cid:254) thuyết điểm bất động cho ¡nh xạ n†n tr¶n c¡c

kh(cid:230)ng gian h(cid:160)m ph(cid:242) hợp.

Trong nghi¶n cứu định t‰nh c¡c hệ vi t‰ch ph¥n, c(cid:242)ng với l‰ thuyết ổn định,

việc t…m c¡c lớp nghiệm đặc biệt, v‰ dụ như nghiệm tuần ho(cid:160)n, đối tuần ho(cid:160)n

cũng l(cid:160) hướng nghi¶n cứu thu h(cid:243)t sự quan t¥m của nhiều nh(cid:160) to¡n học. Nghiệm

đối tuần ho(cid:160)n của c¡c hệ vi ph¥n được sử dụng trong nhiều qu¡ tr…nh vật l‰

(c(cid:226) thể xem trong [13, 16, 45]). Một số kết quả về sự tồn tại nghiệm đối tuần

ho(cid:160)n cho c¡c lớp phương tr…nh tiến h(cid:226)a tuyến t‰nh v(cid:160) nửa tuyến t‰nh đ¢ được

thiết lập, bắt nguồn từ c¡c nghi¶n cứu của Okochi (xem [60], [61], [62]). Theo

hướng n(cid:160)y, ta c(cid:226) kể tới c¡c kết quả ti¶u biểu của Haraux ([38]), Liu ([49]),

Wang ([79]). Năm 2012, bằng c¡ch tiếp cận của l‰ thuyết nửa nh(cid:226)m, Liu [50]

chứng minh được sự tồn tại của nghiệm yếu đối tuần ho(cid:160)n cho lớp b(cid:160)i to¡n

nửa tuyến t‰nh dạng

u′(t) = Au(t) + f (t; u(t)); t 2 R;

u(t + T ) = (cid:0)u(t); t 2 R;

trong đ(cid:226), A l(cid:160) to¡n tử sinh của một C0(cid:0)nửa nh(cid:226)m c(cid:226) t‰nh chất hyperbolic. Từ

kết quả n(cid:160)y, nhiều kết quả tương tự cho c¡c b(cid:160)i to¡n dạng trừu tượng trong

kh(cid:230)ng gian Banach đ¢ được chứng minh theo c¡ch tiếp cận của l‰ thuyết nửa

nh(cid:226)m. Điển h…nh c(cid:226) thể kể tới c¡c kết quả [29, 51, 56].

Tuy nhi¶n, c¡c kết quả tương tự cho c¡c bao h(cid:160)m thức tiến h(cid:226)a cÆn ‰t được

biết đến. Sự tồn tại nghiệm đối tuần ho(cid:160)n cho những lớp bao h(cid:160)m thức tiến

h(cid:226)a theo c¡ch tiếp cận của l‰ thuyết nửa nh(cid:226)m l(cid:160) một vấn đề thời sự, c(cid:226) (cid:254)

nghĩa khoa học v(cid:160) hứa hẹn nhiều ứng dụng trong c¡c b(cid:160)i to¡n thực tế. Đồng

thời, nghiệm c(cid:226) t‰nh chất đối tuần ho(cid:160)n cũng l(cid:160) một kiểu d¡ng điệu đặc biệt

của nghiệm. Do đ(cid:226), trong luận ¡n n(cid:160)y, sử dụng c¡ch tiếp cận của l‰ thuyết nửa

nh(cid:226)m v(cid:160) h(cid:160)m Lyapunov-Perron đa trị, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n cứu sự tồn tại của

nghiệm đối tuần ho(cid:160)n cho lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n c(cid:226) dạng đa diện

u′(t) 2 Au(t) + F (t; u(t)); t 2 R; (6)

u(t + T ) = (cid:0)u(t); t 2 R; (7)

trong đ(cid:226), F (t; u(t)) = convff1(t; u(t)); :::; fn(t; u(t))g, ở đ¥y conv l(cid:160) k(cid:254) hiệu

bao lồi đ(cid:226)ng; A l(cid:160) to¡n tử Hille-Yosida c(cid:226) miền x¡c định D(A) kh(cid:230)ng tr(cid:242) mật

sao cho A sinh ra nửa nh(cid:226)m hyperbolic trong D(A). Như ta đ¢ biết, trong c¡c

b(cid:160)i to¡n điều khiển phản hồi, biến điều khiển thường được lấy trong một miền

c(cid:226) dạng đa diện. Ngo(cid:160)i ra c¡c hệ vi ph¥n với F c(cid:226) dạng đa diện cho ph†p m(cid:230)

tả t‰nh "kh(cid:230)ng chắc chắn" của ngoại lực, v… vậy, b(cid:160)i to¡n (6)-(7) l(cid:160) một b(cid:160)i

to¡n c(cid:226) (cid:254) nghĩa khoa học v(cid:160) ứng dụng.

2. Mục đ‰ch (cid:21) Đối tượng (cid:21) Phạm vi nghi¶n cứu của luận ¡n

Mục đ‰ch của luận ¡n l(cid:160) nghi¶n cứu t‰nh giải được cũng như d¡ng điệu tiệm

cận nghiệm của một số lớp hệ vi ph¥n đa trị trong kh(cid:230)ng gian v(cid:230) hạn chiều

theo c¡ch tiếp cận của l‰ thuyết ổn định v(cid:160) l‰ thuyết tập h(cid:243)t.

Đối tượng nghi¶n cứu cụ thể của luận ¡n l(cid:160) hai lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n

nửa tuyến t‰nh bậc một v(cid:160) bậc ph¥n số (cid:11) 2 (0; 1). Phạm vi nghi¶n cứu của

luận ¡n bao gồm những nội dung sau:

(cid:15) Nội dung 1: Nghi¶n cứu t‰nh giải được v(cid:160) sự tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục

cho lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n m(cid:160) phần tuyến t‰nh sinh ra nửa nh(cid:226)m t‰ch

ph¥n.

(cid:15) Nội dung 2: Nghi¶n cứu sự tồn tại lớp nghiệm đối tuần ho(cid:160)n cho c¡c

bao h(cid:160)m thức vi ph¥n kiểu đa diện m(cid:160) trong đ(cid:226) phần tuyến t‰nh sinh ra

một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n.

(cid:15) Nội dung 3: Nghi¶n cứu t‰nh giải được tr¶n cả nửa trục v(cid:160) t‰nh ổn định

yếu cho lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n bậc ph¥n số c(cid:226) xung, với điều kiện

kh(cid:230)ng cục bộ v(cid:160) trễ hữu hạn. Đặc biệt trong trường hợp đơn trị, ch(cid:243)ng

t(cid:230)i nghi¶n cứu t‰nh duy nhất của nghiệm ph¥n r¢.

C¡c kết quả nghi¶n cứu thu được tr¶n c¡c m(cid:230) h…nh tổng qu¡t sau đ(cid:226) được ¡p

dụng cho c¡c hệ vi ph¥n thường c(cid:226) trễ v(cid:160) c¡c hệ vi ph¥n đạo h(cid:160)m ri¶ng trong

c¡c miền bị chặn v(cid:160) kh(cid:230)ng bị chặn.

3. Phương ph¡p nghi¶n cứu

(cid:15) Để nghi¶n cứu t‰nh giải được của c¡c lớp b(cid:160)i to¡n phi tuyến, ch(cid:243)ng t(cid:230)i sử

dụng l‰ thuyết nửa nh(cid:226)m [63], phương ph¡p ước lượng theo độ đo kh(cid:230)ng

compact v(cid:160) c¡c định l‰ điểm bất động cho ¡nh xạ đa trị n†n [42, 17, 26],

kết hợp với c¡c c(cid:230)ng cụ của giải t‰ch đa trị, giải t‰ch bậc ph¥n số. Trong

trường hợp chứng minh sự tồn tại nghiệm đối tuần ho(cid:160)n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i sử

dụng phương ph¡p h(cid:160)m Lyapunov-Perron đa trị.

(cid:15) Để nghi¶n cứu sự tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục cho nửa dÆng đa trị, ch(cid:243)ng

t(cid:230)i sử dụng lược đồ của Melnik v(cid:160) Valero [52].

(cid:15) Để nghi¶n cứu t‰nh ổn định của bao h(cid:160)m thức vi ph¥n bậc ph¥n số,

ch(cid:243)ng t(cid:230)i sử dụng c¡c định l‰ điểm bất động cho ¡nh xạ n†n.

4. Cấu tr(cid:243)c v(cid:160) c¡c kết quả của luận ¡n

Ngo(cid:160)i phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục c(cid:230)ng tr…nh đ¢ c(cid:230)ng bố v(cid:160) T(cid:160)i liệu

tham khảo, luận ¡n được chia l(cid:160)m bốn chương:

(cid:15) Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nhắc lại c¡c

kết quả về l‰ thuyết nửa nh(cid:226)m, l‰ thuyết độ đo kh(cid:230)ng compact (MNC)

v(cid:160) ¡nh xạ n†n, c¡c kiến thức về giải t‰ch bậc ph¥n số v(cid:160) l‰ thuyết tập

h(cid:243)t to(cid:160)n cục cho nửa dÆng đa trị.

(cid:15) Chương 2: D¡ng điệu tiệm cận nghiệm của một lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n

h(cid:160)m nửa tuyến t‰nh. Trong chương n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i chứng minh t‰nh giải

được v(cid:160) sự tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục cho một lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n

với trễ hữu hạn m(cid:160) phần tuyến t‰nh của n(cid:226) sinh ra một nửa nh(cid:226)m t‰ch

ph¥n. Kết quả n(cid:160)y mở rộng c¡c kết quả đ¢ biết từ m(cid:230) h…nh đơn trị sang

m(cid:230) h…nh đa trị nhờ sử dụng c¡c kỹ thuật mới về đ¡nh gi¡ độ đo kh(cid:230)ng

compact.

(cid:15) Chương 3: Nghiệm đối tuần ho(cid:160)n của bao h(cid:160)m thức vi ph¥n nửa tuyến

t‰nh. Trong chương n(cid:160)y, sử dụng phương ph¡p h(cid:160)m Lyapunov-Perron v(cid:160)

l‰ thuyết nửa nh(cid:226)m ch(cid:243)ng t(cid:230)i chứng minh được sự tồn tại lớp nghiệm đối

tuần ho(cid:160)n của bao h(cid:160)m thức vi ph¥n dạng đa diện, m(cid:160) phần tuyến t‰nh

sinh ra một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n.

(cid:15) Chương 4: T‰nh ổn định yếu của hệ vi ph¥n bậc ph¥n số nửa tuyến t‰nh.

Trong chương n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n cứu một lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n

bậc ph¥n số, c(cid:226) xung, với trễ hữu hạn v(cid:160) điều kiện kh(cid:230)ng cục bộ. Với lớp

b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i chứng minh được t‰nh giải được tr¶n nửa trục,

đưa ra kh¡i niệm ổn định tiệm cận yếu v(cid:160) chứng minh t‰nh ổn định tiệm

cận yếu cho nghiệm dừng của b(cid:160)i to¡n. Đặc biệt, trong trường hợp h(cid:160)m

phi tuyến l(cid:160) đơn trị, ch(cid:243)ng t(cid:230)i chứng minh được sự tồn tại v(cid:160) duy nhất

của nghiệm ph¥n r¢.

5. (cid:222) nghĩa của c¡c kết quả của luận ¡n

C¡c kết quả thu được trong luận ¡n g(cid:226)p phần l(cid:160)m phong ph(cid:243) th¶m hướng

nghi¶n cứu ổn định nghiệm cho c¡c hệ vi ph¥n đa trị trong kh(cid:230)ng gian Banach

tổng qu¡t, c(cid:226) thể ¡p dụng cho nhiều lớp phương tr…nh đạo h(cid:160)m ri¶ng phi tuyến

cũng như c¡c hệ vi ph¥n thường c(cid:226) trễ.

C¡c kết quả ch‰nh của luận ¡n đ¢ được c(cid:230)ng bố trong 02 b(cid:160)i b¡o tr¶n c¡c

tạp ch‰ khoa học chuy¶n ng(cid:160)nh (liệt k¶ ở mục "Danh mục c(cid:230)ng tr…nh khoa

học của t¡c giả li¶n quan đến luận ¡n"), 02 b(cid:160)i đ¢ ho(cid:160)n th(cid:160)nh ở dạng tiền ấn

phẩm. C¡c nội dung ch‰nh trong luận ¡n đ¢ được b¡o c¡o tại:

1) Đại hội To¡n học to(cid:160)n quốc, Nha Trang, 2013;

2) X¶mina của Bộ m(cid:230)n Giải t‰ch, Khoa To¡n - Tin, Trường Đại học Sư

phạm H(cid:160) Nội;

3) X¶mina Tối ưu v(cid:160) điều khiển, Viện To¡n học, Viện h(cid:160)n l¥m Khoa học

v(cid:160) C(cid:230)ng nghệ Việt Nam.

4) X¶mina L‰ luyết định t‰nh phương tr…nh vi ph¥n, Bộ m(cid:230)n To¡n cơ bản,

Viện To¡n ứng dụng v(cid:160) Tin học, Đại học B¡ch Khoa H(cid:160) Nội.

5) X¶mina của phÆng Phương tr…nh vi ph¥n, Viện To¡n học, Viện h(cid:160)n l¥m

Khoa học v(cid:160) C(cid:230)ng nghệ Việt Nam.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. C(cid:129)C KH˘NG GIAN H(cid:128)M

Trong luận ¡n n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i sử dụng c¡c kh(cid:230)ng gian h(cid:160)m sau (xem [6]). Giả

sử Ω l(cid:160) một tập con đo được, bị chặn trong Rn.

(cid:15) Lp(Ω); 1 (cid:20) p < 1, l(cid:160) kh(cid:230)ng gian bao gồm tất cả c¡c h(cid:160)m khả t‰ch

Ω

Lebesgue bậc p tr¶n Ω. Chuẩn tr¶n Lp(Ω) được định nghĩa như sau: ( ∫ )1=p : jujpdx ∥u∥Lp(Ω) :=

Ch(cid:243) (cid:254) rằng Lp(Ω) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach phản xạ khi 1 < p < +1.

(cid:15) L1(Ω) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian bao gồm tất cả c¡c h(cid:160)m đo được v(cid:160) bị chặn hầu

khắp tr¶n Ω với chuẩn

ju(x)j: ∥u∥L1(Ω) := ess sup x2Ω

loc(Ω); 1 (cid:20) p < 1, l(cid:160) kh(cid:230)ng gian c¡c h(cid:160)m khả t‰ch Lebesgue địa phương bậc p tr¶n Ω

(cid:15) Lp

Lp loc(Ω) := ff : f 2 Lp(K) với mọi tập compact K (cid:26) Ωg:

Giả sử (E; ∥ (cid:1) ∥E ) l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach. Trong luận ¡n n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i sử

dụng c¡c kh(cid:230)ng gian h(cid:160)m phụ thuộc thời gian sau:

(cid:15) C([a; b]; E) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian bao gồm tất cả c¡c h(cid:160)m u : [a; b] ! E li¶n tục

từ [a; b] v(cid:160)o E với chuẩn

∥u(t)∥E : ∥u∥C([a;b];E) = sup t2[0;T ]

(cid:15) Lp(a; b; E) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian bao gồm tất cả c¡c h(cid:160)m u : (a; b) ! E sao cho

E dt

( ∫ )1=p ∥u(t)∥p < +1: ∥u∥Lp(a;b;E) :=

1.2. L(cid:157) THUYẾT NỬA NH´M

1.2.1. Nửa nh(cid:226)m li¶n tục mạnh v(cid:160) c¡c trường hợp đặc biệt

Trong mục n(cid:160)y, ta đưa ra c¡c kh¡i niệm cơ bản về l‰ thuyết nửa nh(cid:226)m; to¡n

tử sinh v(cid:160) một số trường hợp đặc biệt thường gặp. C¡c kiến thức trong mục

n(cid:160)y c(cid:226) thể xem trong t(cid:160)i liệu chuy¶n khảo [63, 34].

Giả sử E l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach v(cid:160) L(E) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian c¡c to¡n tử

tuyến t‰nh bị chặn tr¶n E, ta c(cid:226) c¡c định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1. Một họ c¡c ¡nh xạ S(t) 2 L(E), 0 (cid:20) t < 1, được gọi l(cid:160) nửa

nh(cid:226)m tr¶n E nếu n(cid:226) thỏa m¢n:

(i) S(0) = I, I l(cid:160) ph†p đồng nhất tr¶n E,

(ii) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t; s (cid:21) 0.

Định nghĩa 1.2. Một to¡n tử tuyến t‰nh A được gọi l(cid:160) to¡n tử sinh của nửa nh(cid:226)m fS(t)gt(cid:21)0 nếu n(cid:226) được x¡c định bởi:

; Ax = lim t!0 S(t)x (cid:0) x t

với mọi x 2 D(A), trong đ(cid:226) D(A) l(cid:160) miền x¡c định của A:

tồn tại g: D(A) = fx 2 E : lim t!0 S(t)x (cid:0) x t

Định nghĩa 1.3. Nửa nh(cid:226)m fS(t)gt(cid:21)0 được gọi l(cid:160) nửa nh(cid:226)m li¶n tục mạnh

(C0-nửa nh(cid:226)m) nếu

S(t)x = x; lim t!0

với mọi x 2 E.

Định l‰ sau đ¥y cho ta một điều kiện cần để to¡n tử tuyến t‰nh A sinh ra

một C0-nửa nh(cid:226)m:

Định l‰ 1.1. To¡n tử sinh của một C0-nửa nh(cid:226)m phải l(cid:160) một to¡n tử tuyến

t‰nh đ(cid:226)ng v(cid:160) x¡c định tr(cid:242) mật.

jf (s)j < 1g l(cid:160) V‰ dụ. X†t E = Cb(R+) = ff : R+ ! R : ∥f ∥ = sup s2R+

kh(cid:230)ng gian c¡c h(cid:160)m li¶n tục bị chặn tr¶n R+. Họ to¡n tử fS(t)gt(cid:21)0 được x¡c

định như sau:

S(t) : E ! E

(S(t)f )(s) = f (t + s); s 2 R+:

Khi đ(cid:226) fS(t)gt(cid:21)0 l(cid:160) một C0-nửa nh(cid:226)m v(cid:160) to¡n tử sinh của n(cid:226) l(cid:160) to¡n tử đạo

h(cid:160)m

Af (s) = f ′(s);

với miền x¡c định D(A) = ff 2 E : f khả vi v(cid:160) f ′ 2 Eg.

Định l‰ 1.2. Giả sử fS(t)gt(cid:21)0 l(cid:160) một C0-nửa nh(cid:226)m. Khi đ(cid:226) tồn tại c¡c hằng số ! (cid:21) 0 v(cid:160) M (cid:21) 1 sao cho

∥S(t)∥ (cid:20) M e!t; với mọi t (cid:21) 0:

Khi đ(cid:226)

(cid:15) Nếu ! < 0 th… nửa nh(cid:226)m fS(t)gt(cid:21)0 được gọi l(cid:160) ổn định mũ.

(cid:15) Nếu ! (cid:20) 0; M = 1 th… nửa nh(cid:226)m fS(t)gt(cid:21)0 được gọi l(cid:160) nửa nh(cid:226)m co.

Định l‰ sau đ¥y cho ta điều kiện cần v(cid:160) đủ để một to¡n tử tuyến t‰nh sinh ra C0(cid:0)nửa nh(cid:226)m.

Định l‰ 1.3. Một to¡n tử tuyến t‰nh A tr¶n kh(cid:230)ng gian Banach E l(cid:160) to¡n tử sinh của một C0(cid:0)nửa nh(cid:226)m fS(t)gt(cid:21)0 thỏa m¢n ∥S(t)∥ (cid:20) M e!t với c¡c hằng số M (cid:21) 1; ! 2 R v(cid:160) với mọi t (cid:21) 0 nếu v(cid:160) chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa

m¢n:

1) A l(cid:160) to¡n tử tuyến t‰nh đ(cid:226)ng với miền x¡c định D(A) tr(cid:242) mật trong E;

2) Tập giải (cid:26)(A) chứa tập f(cid:21) 2 C : Re(cid:21) > !g v(cid:160) to¡n tử giải R((cid:21); A) =

((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1 thỏa m¢n điều kiện Hille-Yosida: ∥R((cid:21); A)n∥ (cid:20) M ((cid:21) (cid:0) !)n ; với (cid:21) > a v(cid:160) n = 1; 2; :::

Định nghĩa 1.4. Cho fS(t)gt(cid:21)0 l(cid:160) một C0-nửa nh(cid:226)m tr¶n E. Nửa nh(cid:226)m fS(t)gt(cid:21)0 được gọi l(cid:160):

(a) nửa nh(cid:226)m li¶n tục theo chuẩn nếu ¡nh xạ t 7! S(t) li¶n tục tại mọi t > 0

theo chuẩn trong L(E);

(b) nửa nh(cid:226)m khả vi nếu với mỗi x 2 E th… ¡nh xạ t 7! S(t)x khả vi tại mọi

t > 0;

Ta biết rằng nếu nửa nh(cid:226)m fS(t)gt(cid:21)0 l(cid:160) khả vi hoặc compact th… n(cid:226) li¶n

tục theo chuẩn (xem [34]).

. (cid:25) 2

Định nghĩa 1.5. X†t ∆(cid:14) = fz 2 C : j arg zj < (cid:14)g, với 0 < (cid:14) < Họ fS(z)gz2∆(cid:14)[f0g (cid:26) L(E) được gọi l(cid:160) nửa nh(cid:226)m giải t‰ch nếu

(i) S(0) = I;

(ii) S(z + z′) = S(z)S(z′), với mọi z; z′ 2 ∆(cid:14);

(iii) z 7! S(z)x li¶n tục tại mọi z 2 ∆(cid:14); với x 2 E;

(iv) z 7! S(z) l(cid:160) h(cid:160)m giải t‰ch trong ∆(cid:14).

Cuối c(cid:242)ng, ta đưa ra kh¡i niệm nửa nh(cid:226)m hyperbolic.

Định nghĩa 1.6. Nửa nh(cid:226)m fS(t)gt(cid:21)0 tr¶n E được gọi l(cid:160) nửa nh(cid:226)m hyperbolic nếu E c(cid:226) thể viết được dưới dạng tổng trực tiếp E = Es (cid:8) Eu của hai kh(cid:230)ng gian con đ(cid:226)ng v(cid:160) fS(t)gt(cid:21)0(cid:0)bất biến, sao cho hạn chế fSs(t)gt(cid:21)0 tr¶n Es v(cid:160) fSu(t)gt(cid:21)0 tr¶n Eu của fS(t)gt(cid:21)0 thỏa m¢n

(i) Nửa nh(cid:226)m fSs(t)gt(cid:21)0 l(cid:160) ổn định mũ tr¶n Es;

(ii) To¡n tử Su(t) l(cid:160) khả nghịch tr¶n Eu v(cid:160) fSu(t)(cid:0)1gt(cid:21)0 l(cid:160) ổn định mũ đều

tr¶n Eu.

Ta đ¢ biết rằng (xem [34]), một nửa nh(cid:226)m li¶n tục mạnh fS(t)gt(cid:21)0 l(cid:160) hyperbolic nếu tồn tại ph†p chiếu P 2 L(E) giao ho¡n với fS(t)gt(cid:21)0 sao cho Es = RgP; Eu = KerP . Hơn nữa, tồn tại c¡c hằng số N; (cid:14) > 0 sao cho

(1.1) ∥Ss(t)P x∥ (cid:20) N e(cid:0)(cid:14)t∥x∥; 8t (cid:21) 0; x 2 E;

(1.2) ∥Su(t)Qx∥ (cid:20) N e(cid:14)t∥x∥; 8t (cid:20) 0; x 2 E;

ở đ¥y Q = I (cid:0) P . Đặc biệt, trong trường hợp P = I th… nửa nh(cid:226)m hyperbolic

ch‰nh l(cid:160) nửa nh(cid:226)m ổn định mũ.

t(cid:21)0 l(cid:160) một nửa nh(cid:226)m hyperbolic đ(cid:226) l(cid:160) (cid:27)(S(t)) \ (cid:0) = ∅ với mọi t > 0, trong đ(cid:226) (cid:0) = fz 2 C : jzj = 1g (xem [34]).

Ch(cid:243)ng ta c(cid:226) một điều kiện cần v(cid:160) đủ để fS(t)g

Chi tiết hơn về đặc trưng phổ của t‰nh hyperbolic, c(cid:226) thể xem trong [34].

1.2.2. Nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n

Trong mục trước, ta đ¢ đề cập đến l‰ thuyết C0(cid:0)nửa nh(cid:226)m, một c(cid:230)ng cụ

mạnh để nghi¶n cứu c¡c phương tr…nh tiến h(cid:226)a. Tuy nhi¶n, trong nhiều t…nh huống, l‰ thuyết C0(cid:0)nửa nh(cid:226)m kh(cid:230)ng khả dụng. V‰ dụ, to¡n tử Schr(cid:127)odinger A = i∆ sinh ra một C0(cid:0)nửa nh(cid:226)m tr¶n L2(Rn) với miền x¡c định D(A) = H 2(Rn)\C 2(Rn), tuy nhi¶n, tr¶n c¡c kh(cid:230)ng gian Lp(Rn) với p ̸= 2, H(cid:127)ormander [39] đ¢ chứng minh rằng A kh(cid:230)ng sinh ra C0(cid:0)nửa nh(cid:226)m.

Ngo(cid:160)i ra, trong c¡c b(cid:160)i to¡n x¡c định bởi hệ vi ph¥n kh(cid:230)ng thuần nhất,

h(cid:160)m ngoại lực c(cid:226) thể nhận gi¡ trị nằm ngo(cid:160)i D(A). V‰ dụ, ta x†t b(cid:160)i to¡n

Cauchy

u′(t) = Au(t) + f (t); t (cid:21) 0;

u(0) = x;

ở đ(cid:226), h(cid:160)m f nhận gi¡ trị trong kh(cid:230)ng gian Banach X chứa D(A) nhưng kh(cid:230)ng

tr(cid:242)ng với D(A). Khi đ(cid:226), A kh(cid:230)ng x¡c định tr(cid:242) mật trong X n¶n n(cid:226) kh(cid:230)ng sinh ra C0(cid:0) nửa nh(cid:226)m tr¶n X. L(cid:243)c n(cid:160)y, ta cần một kh¡i niệm mới cho ph†p biểu

diễn nghiệm của b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y.

Ta sẽ tr…nh b(cid:160)y ở mục n(cid:160)y kh¡i niệm nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n v(cid:160) c¡c t‰nh chất

của n(cid:226). Để t…m hiểu chi tiết hơn về nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n, c(cid:226) thể tham khảo c¡c

t(cid:160)i liệu [7, 43, 55, 70, 71].

Định nghĩa 1.7. Một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n l(cid:160) một họ fS(t)gt(cid:21)0 c¡c to¡n tử tuyến t‰nh bị chặn tr¶n E thỏa m¢n c¡c t‰nh chất:

(i) S(0) = 0;

0 (S(t + r) (cid:0) S(r))vdr, với mọi t; s (cid:21) 0, v 2 E.

(ii) t 7! S(t)v li¶n tục với mỗi v 2 E; ∫ (iii) S(s)S(t)v =

Nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n được gọi l(cid:160) kh(cid:230)ng suy biến nếu từ S(t)v = 0 với mọi

t (cid:21) 0 k†o theo v = 0.

Nhận x†t 1.1. Nếu fT (t)gt(cid:21)0 l(cid:160) một C0(cid:0)nửa nh(cid:226)m tr¶n kh(cid:230)ng gian Banach ∫ E th… fS(t) := 0 T (s)dsgt(cid:21)0 l(cid:160) một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n tr¶n E.

Định nghĩa 1.8. To¡n tử A được gọi l(cid:160) to¡n tử sinh của nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n fS(t)gt(cid:21)0 tr¶n E nếu tồn tại ! 2 R sao cho (!; +1) (cid:26) (cid:26)(A) v(cid:160)

∫

R((cid:21); A)v = ((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1v = (cid:21) e(cid:0)(cid:21)tS(t)vdt

với mọi (cid:21) > ! v(cid:160) mọi v 2 E.

Mối li¶n hệ giữa nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n v(cid:160) to¡n tử sinh của n(cid:226) được thể hiện

trong mệnh đề sau (xem [7, 8]).

Mệnh đề 1.1. Cho A l(cid:160) to¡n tử sinh của nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n fS(t)gt(cid:21)0. Khi

đ(cid:226)

1) với mọi x 2 E v(cid:160) t (cid:21) 0: ∫ ∫ ) ( S((cid:28) )xd(cid:28) 2 D(A) v(cid:160) S(t)x = A S((cid:28) )xd(cid:28) + tx;

2) với mọi x 2 D(A); t (cid:21) 0:

S(t)x 2 D(A); AS(t)x = S(t)Ax;

v(cid:160) ∫

S(t)x = S((cid:28) )Axd(cid:28) + tx;

3) R((cid:21); A)S(t) = S(t)R((cid:21); A), với mọi t (cid:21) 0; (cid:21) > !.

Định nghĩa 1.9. ([43]) Nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n fS(t)gt(cid:21)0 được gọi l(cid:160) li¶n tục

Lipschitz địa phương, nếu với mọi (cid:28) > 0, tồn tại hằng số L((cid:28) ) > 0 sao cho

∥S(t) (cid:0) S(s)∥L(E) (cid:20) Ljt (cid:0) sj; với mọi t; s 2 [0; (cid:28) ]:

Ta đ¢ biết rằng (xem [43]), một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n li¶n tục Lipschitz địa

phương l(cid:160) bị chặn mũ.

Bổ đề 1.1. ([43]) C¡c mệnh đề sau tương đương:

(i) A l(cid:160) to¡n tử sinh của một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n kh(cid:230)ng suy biến, li¶n tục

Lipschitz địa phương;

(ii) A thỏa m¢n điều kiện Hille-Yosida, tức l(cid:160), tồn tại M (cid:21) 0 v(cid:160) ! 2 R sao

cho (!; +1) (cid:26) (cid:26)(A) v(cid:160)

supf((cid:21) (cid:0) !)n∥((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)n∥L(E) : n 2 N; (cid:21) > !g (cid:20) M:

Ta đ¢ biết rằng (xem trong [43]) nếu fS(t)gt(cid:21)0 l(cid:160) một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n sinh bởi một to¡n tử Hille-Yosida A, th… với mỗi v cố định, to¡n tử Sv : R+ ! X với Sv(t) = S(t)v l(cid:160) khả vi, v(cid:160) đạo h(cid:160)m của n(cid:226) l(cid:160) to¡n tử S′ v : R+ ! D(A)

v(t) = S′(t)v. Hơn nữa, họ c¡c to¡n tử fS′(t)gt(cid:21)0 l(cid:160) một C0-nửa nh(cid:226)m

với S′

tr¶n D(A) sinh bởi th(cid:160)nh phần A0 của A, được định nghĩa bởi

D(A0) = fv 2 D(A) : Av 2 D(A)g;

A0v = Av; với v 2 D(A0):

tr¶n kh(cid:230)ng gian X = C([0; 1]) (kh(cid:230)ng gian c¡c

V‰ dụ. X†t to¡n tử A = (cid:0) d dx h(cid:160)m li¶n tục tr¶n [0; 1]) với D(A) = fu 2 C 1([0; 1]) : u(0) = u(1) = 0g. Rª

r(cid:160)ng D(A) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian con thực sự của X tức l(cid:160) A kh(cid:230)ng x¡c định tr(cid:242) mật.

Với (cid:21) > 0 v(cid:160) (cid:23) 2 X ta c(cid:226)

∫

R((cid:21); A)(cid:23)(x) = e(cid:0)(cid:21)y(cid:23)(x (cid:0) y)dy; x 2 [0; 1]:

Do đ(cid:226)

∫ ∫ 1

e(cid:0)(cid:21)ydy (cid:20) e(cid:0)(cid:21)ydy = jR((cid:21); A)(cid:23)(x)j (cid:20) ∥(cid:23)∥X ∥(cid:23)∥X : 1 (cid:21)

Từ đ(cid:226)

: ∥R((cid:21); A)∥L(X) (cid:20) 1 (cid:21)

Bất đẳng thức cuối suy ra A thỏa m¢n điều kiện Hille-Yosida v(cid:160) do đ(cid:226) n(cid:226) sinh ra một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n tr¶n X. Ở đ¥y, A sinh ra một C0(cid:0)nửa nh(cid:226)m tr¶n

C0[0; 1] = D(A).

Mệnh đề 1.2. ([43, 71]) Cho fS(t)gt(cid:21)0 l(cid:160) một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n li¶n tục Lipschitz địa phương tr¶n E v(cid:160) f : [0; T ] ! E l(cid:160) một h(cid:160)m khả t‰ch Bochner.

Khi đ(cid:226) h(cid:160)m V : [0; T ] ! E, với

∫

V (t) = S(t (cid:0) s)f (s)ds

l(cid:160) khả vi li¶n tục v(cid:160) ∫

∥f (s)∥ds ∥V ′(t)∥ (cid:20) 2LT

với mọi t 2 [0; T ], trong đ(cid:226) LT l(cid:160) hằng số Lipschitz của S tr¶n [0; T ].

Ngo(cid:160)i ra, ta cũng c(cid:226) (xem [71]) ∫

R((cid:21); A)V ′(t) = S′(t (cid:0) s)R((cid:21); A)f (s)ds:

do đ(cid:226) ∫

S′(t (cid:0) s)(cid:21)R((cid:21); A)f (s)ds; V ′(t) = lim (cid:21)!1

(cid:21)R((cid:21); A)v = v với mọi v 2 D(A). do lim (cid:21)!1

Sử dụng l‰ thuyết nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n, Thieme [70] đ¢ nghi¶n cứu b(cid:160)i to¡n

Cauchy

u′(t) = Au(t) + f (t); t 2 J = [0; T ]; (1.3)

(1.4) u(0) = u0;

trong đ(cid:226) f 2 L1(J; X) v(cid:160) u0 2 D(A) cho trước, từ đ(cid:226) đưa ra kh¡i niệm nghiệm

t‰ch ph¥n v(cid:160) định l‰ tồn tại duy nhất nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n.

Định nghĩa 1.10. H(cid:160)m u : J ! D(A) được gọi l(cid:160) một nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n (1.3)-(1.4) nếu u 2 C(J; X); u(0) = u0 v(cid:160) ∫

S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21) (cid:0) A)(cid:0)1f (s)ds; t 2 J: u(t) = S′(t)u(0) + lim (cid:21)!+1

Định l‰ 1.4. Nếu A l(cid:160) to¡n tử sinh của một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n th… tồn tại duy nhất một nghiệm t‰ch ph¥n u = u((cid:1); u0; f ) của b(cid:160)i to¡n (1.3)-(1.4) với mỗi f 2 L1(J; X); u0 2 D(A).

1.3. ĐỘ ĐO KH˘NG COMPACT (MNC) V(cid:128) C(cid:129)C ƯỚC LƯỢNG ĐỘ ĐO

Trong mục n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i đưa ra c¡c kh¡i niệm v(cid:160) một số đ¡nh gi¡, ước lượng

cơ bản thường d(cid:242)ng cho độ đo kh(cid:230)ng compact. Chi tiết hơn, c(cid:226) thể xem trong

[3, 42].

X†t (E; ∥ (cid:1) ∥E ) l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach. K(cid:254) hiệu

(cid:15) P(E) = fA (cid:26) E : A ̸= ∅g,

(cid:15) B(E) = fA 2 P(E) : A bị chặng,

(cid:15) K(E) = fA 2 P(E) : A compact g,

(cid:15) Kv(E) = fA 2 K(E) : A lồig.

Định nghĩa 1.11. H(cid:160)m (cid:12) : B(E) ! R+ được gọi l(cid:160) độ đo kh(cid:230)ng compact

(MNC) trong E nếu

(cid:12)(co Ω) = (cid:12)(Ω) với mọi Ω 2 B(E);

trong đ(cid:226) co Ω l(cid:160) bao lồi đ(cid:226)ng của Ω. Độ đo (cid:12) được gọi l(cid:160):

i) đơn điệu nếu Ω0; Ω1 2 B(E); Ω0 (cid:26) Ω1 k†o theo (cid:12)(Ω0) (cid:20) (cid:12)(Ω1);

ii) kh(cid:230)ng suy biến nếu (cid:12)(fag [ Ω) = (cid:12)(Ω) với mỗi a 2 E; Ω 2 B(E);

iii) bất biến với nhiễu compact nếu (cid:12)(K [ Ω) = (cid:12)(Ω) với mọi tập compact

tương đối K (cid:26) E v(cid:160) Ω 2 B(E);

iv) nửa cộng t‰nh đại số nếu (cid:12)(Ω0 + Ω1) (cid:20) (cid:12)(Ω0) + (cid:12)(Ω1) với mỗi Ω0; Ω1 2

B(E);

v) ch‰nh quy nếu (cid:12)(Ω) = 0 tương đương với t‰nh compact tương đối của Ω.

Một v‰ dụ quan trọng của độ đo kh(cid:230)ng compact l(cid:160) độ đo Hausdorff (cid:31)((cid:1)),

được định nghĩa như sau

(cid:31)(Ω) = inff" > 0 : Ω c(cid:226) "-lưới hữu hạng:

Ngo(cid:160)i c¡c t‰nh chất đ¢ n¶u trong định nghĩa tr¶n, độ đo Hausdorff c(cid:226) th¶m

c¡c t‰nh chất sau:

(cid:15) t‰nh nửa thuần nhất: (cid:31)(tΩ) (cid:20) jtj(cid:31)(Ω) với mỗi Ω 2 B(E) v(cid:160) t 2 R;

(cid:15) t‰nh Lipschitz: j(cid:31)(Ω0) (cid:0) (cid:31)(Ω1)j (cid:20) dH (Ω0; Ω1), với mọi Ω0; Ω1 2 B(E) v(cid:160)

dH l(cid:160) khoảng c¡ch Hausdorff giữa hai tập hợp;

d(x; Em), (cid:15) nếu E l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach t¡ch được th… (cid:31)(Ω) = lim m!1 sup x2Ω

1∪

trong đ(cid:226) fEmg l(cid:160) một d¢y c¡c kh(cid:230)ng gian con hữu hạn chiều của E m(cid:160)

m=1

Em (cid:26) Em+1; m = 1; 2; ::: v(cid:160) Em = E.

Dựa v(cid:160)o độ đo Hausdorff (cid:31), ta đưa ra kh¡i niệm độ đo rời rạc (cid:31)0 như sau:

(cid:31)0(Ω) = supf(cid:31)(D) : D 2 ∆(Ω)g;

trong đ(cid:226) ∆(Ω) l(cid:160) họ tất cả c¡c tập con kh(cid:230)ng qu¡ đếm được của Ω (xem [3]).

Ta c(cid:226)

(cid:31)(Ω) (cid:20) (cid:31)0(Ω) (cid:20) (cid:31)(Ω); 1 2

với mọi tập bị chặn Ω (cid:26) E. Khi đ(cid:226), ta c(cid:226) t‰nh chất t‰nh chất sau:

Mệnh đề 1.3. X†t (cid:31) l(cid:160) độ đo Hausdorff trong E v(cid:160) Ω (cid:26) E l(cid:160) một tập bị chặn. Khi đ(cid:226), với mọi ϵ > 0, tồn tại một d¢y fxng (cid:26) Ω sao cho

(cid:31)(Ω) (cid:20) 2(cid:31)(fxng) + ϵ:

Định nghĩa 1.12. Nếu J = (a; b) v(cid:160) Ω (cid:26) L1(J; E) thỏa m¢n điều kiện: với

mọi f 2 Ω; ∥f (t)∥ (cid:20) (cid:23)(t) hầu khắp t 2 J, với (cid:23) 2 L1(J) := L1(J; R), th… ta

n(cid:226)i rằng Ω l(cid:160) một tập bị chặn t‰ch ph¥n.

Mệnh đề 1.4. [42] Nếu fwng (cid:26) L1(J; E) l(cid:160) bị chặn t‰ch ph¥n, th… ∫ ({ ∫ })

(cid:31) (cid:20) 2 wn(s)ds (cid:31)(fwn(s)g)ds;

với t 2 J.

(cid:129)p dụng Mệnh đề 1.3 v(cid:160) Mệnh đề 1.4, ta c(cid:226) mệnh đề sau đ¥y.

Mệnh đề 1.5. Giả sử D (cid:26) L1(J; E) thỏa m¢n

1) D bị chặn t‰ch ph¥n;

2) (cid:31)(D(t)) (cid:20) q(t) với hầu khắp t 2 J;

∫ )

trong đ(cid:226) q 2 L1(J). Khi đ(cid:226) ( ∫ (cid:31) D(s)ds (cid:20) 4 q(s)ds;

0 (cid:24)(s)ds : (cid:24) 2 Dg.

ở đ¥y ∫ ∫ 0 D(s)ds = f

Chứng minh. Với ϵ > 0, tồn tại một d¢y f(cid:24)ng (cid:26) D sao cho

) ({ ∫ })

( ∫ (cid:31) D(s)ds (cid:20) 2(cid:31) + ϵ; (cid:24)n(s)ds

∫ )

0 ∫

do Mệnh đề 1.3. (cid:129)p dụng Mệnh đề 1.4, ta c(cid:226) ( ∫ (cid:31) D(s)ds (cid:20) 4 (cid:31)(f(cid:24)n(s)g)ds + ϵ

(cid:20) 4 q(s)ds + ϵ:

Do ϵ l(cid:160) bất k…, ta c(cid:226) điều phải chứng minh.

C¡c ước lượng sau đ¥y sẽ được d(cid:242)ng trong Chương 3.

Mệnh đề 1.6.

1) Nếu fwng (cid:26) L1 loc(R; E) bị chặn t‰ch ph¥n th… ta c(cid:226) ∫ })

(cid:0)1

(cid:20) 2 với t 2 R; (1.5) ({ ∫ (cid:31) wn(s)ds (cid:31)(fwn(s)g)ds;

v(cid:160)

∫ })

(cid:20) 2 ({ ∫ (cid:31) với t 2 R: (1.6) wn(s)ds (cid:31)(fwn(s)g)ds;

loc(R; E) thỏa m¢n

2) Giả sử D (cid:26) L1

(a) D bị chặn t‰ch ph¥n,

(b) (cid:31)(D(t)) (cid:20) q(t) hầu khắp t 2 R;

trong đ(cid:226) q 2 L1

loc(R; R+). Khi đ(cid:226) ( ∫ (cid:31)

∫ )

(cid:0)1

D(s)ds (cid:20) 4 q(s)ds; (1.7)

v(cid:160) ∫ ( ∫ )

(cid:31) D(s)ds (cid:20) 4 q(s)ds; (1.8)

t t ∫ ∫ t t (cid:0)1 (cid:24)(s)ds : (cid:24) 2 Dg. (cid:0)1 D(s)ds = f

ở đ¥y

Chứng minh. 1. Từ Mệnh đề 1.4, ta c(cid:226)

∫ })

(cid:20) 2 với mọi h 2 R: ({ ∫ (cid:31) wn(s)ds (cid:31)(fwn(s)g)ds;

Vậy,

∫ })

h!(cid:0)1

({ ∫ (cid:31) (cid:20) 2 lim với mọi h 2 R: wn(s)ds (cid:31)(fwn(s)g)ds; lim h!(cid:0)1

Do t‰nh chất Lipschitz của độ đo Hausdorff, ta c(cid:226)

({ ∫ }) ({ ∫

})(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:31) (cid:0) (cid:31) wn(s)ds

∫ wn(s)ds ( ∫ )

(cid:20) dH

fwn(s)gds ∫ fwn(s)gds; ( ∫ {

h1 ( ∫ d

(cid:20) max d ; wn(s)ds; sup n ) fwn(s)gds h2 ∫ )}

fwn(s)gds sup n wn(s)ds; ∫ ∫

∥ wn(s)ds (cid:0) wn(s)ds∥ (cid:20) sup n ∫

∥ wn(s)ds∥

(cid:20) sup n ∫

loc(R):

(cid:20) (cid:23)(s)ds; với (cid:23) 2 L1

t h1

t h2

loc(R; R+), ta thu được j(cid:31)(f ∫ (cid:31)(f

∫ wn(s)dsg)j ! 0

h!(cid:0)1

Do (cid:23) 2 L1 khi jh1 (cid:0) h2j ! 0. Tức l(cid:160) lim ∫ wn(s)dsg) (cid:0) (cid:31)(f ∫ t h wn(s)dsg) = (cid:31)(f (cid:0)1 wn(s)dsg).

h (cid:31)(fwn(s)g)ds =

∫ Mặt kh¡c, ∫ t (cid:0)1 (cid:31)(fwn(s)g)ds. Từ đ(cid:226) ta c(cid:226) (1.5). L‰ lim h!(cid:0)1

luận tương tự, ta thu được (1.6). 2. (cid:129)p dụng Mệnh đề 1.3, ta c(cid:226), với ϵ > 0, tồn tại d¢y (cid:24)n 2 D thỏa m¢n

) ({ ∫ })

(cid:0)1

( ∫ (cid:31) D(s)ds (cid:20) 2(cid:31) + ϵ; (cid:24)n(s)ds

(cid:129)p dụng (1.5) cho đ¡nh gi¡ n(cid:160)y, ta thu được

∫ )

(cid:0)1

( ∫ (cid:31) D(s)ds (cid:20) 4 (cid:31)(f(cid:24)n(s)g)ds + ϵ

(cid:0)1 t

∫

(cid:0)1

(cid:20) 4 q(s)ds + ϵ:

Do ϵ l(cid:160) bất kỳ, ta c(cid:226) (1.7). L‰ luận tương tự, ta thu được (1.8).

Để kết th(cid:243)c mục n(cid:160)y, ta định nghĩa (cid:31)-chuẩn của một ¡nh xạ tuyến t‰nh bị

chặn T (T 2 L(E)) (xem [3]):

(1.9) ∥T ∥(cid:31) = inff(cid:12) > 0 : (cid:31)(T (B)) (cid:20) (cid:12)(cid:31)(B) với mọi tập bị chặn B (cid:26) Eg:

Ta biết rằng (cid:31)-chuẩn của T được t‰nh bởi c(cid:230)ng thức

∥T ∥(cid:31) = (cid:31)(T (B1)) = (cid:31)(T (S1));

trong đ(cid:226) B1 v(cid:160) S1 tương ứng l(cid:160) h…nh cầu đơn vị v(cid:160) mặt cầu đơn vị trong E.

Ta cũng c(cid:226) kết quả

∥T ∥(cid:31) (cid:20) ∥T ∥L(E);

với ∥T ∥L(E) l(cid:160) chuẩn to¡n tử trong L(E). Rª r(cid:160)ng, T l(cid:160) to¡n tử compact nếu v(cid:160) chỉ nếu ∥T ∥(cid:31) = 0.

1.4. (cid:129)NH XẠ N(cid:146)N V(cid:128) C(cid:129)C ĐỊNH L(cid:157) ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO (cid:129)NH XẠ

ĐA TRỊ

L‰ thuyết điểm bất động cho ¡nh xạ n†n l(cid:160) c(cid:230)ng cụ cơ bản để chứng minh sự

tồn tại nghiệm cho c¡c b(cid:160)i to¡n đề cập trong luận ¡n n(cid:160)y. Chi tiết hơn về ¡nh

xạ n†n v(cid:160) c¡c định l‰ điểm bất động cho ¡nh xạ n†n, c(cid:226) thể xem trong [42, 3].

Trước ti¶n, ta nhắc lại một số kh¡i niệm của giải t‰ch đa trị.

Định nghĩa 1.13. Cho Y l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian metric, ¡nh xạ đa trị F : Y !

P(E) được gọi l(cid:160):

(i) nửa li¶n tục tr¶n nếu F (cid:0)1(V ) = fy 2 Y : F(y) \ V ̸= ∅g l(cid:160) một tập

đ(cid:226)ng trong Y với mỗi tập đ(cid:226)ng V (cid:26) E;

(ii) nửa li¶n tục tr¶n yếu nếu F (cid:0)1(V ) l(cid:160) tập đ(cid:226)ng trong Y với mọi tập đ(cid:226)ng

yếu V (cid:26) E;

(iii) đ(cid:226)ng nếu đồ thị (cid:0)F = f(y; z) : z 2 F (y)g l(cid:160) một tập đ(cid:226)ng trong Y (cid:2) E;

(iv) compact nếu ảnh F(Y ) l(cid:160) tiền compact trong E;

(v) tựa compact nếu hạn chế của n(cid:226) tr¶n mỗi tập compact A (cid:26) Y l(cid:160) compact.

Bổ đề 1.2. [42, Định l‰ 1.1.12] Giả sử G : Y ! K(E) l(cid:160) một ¡nh xạ đa trị

đ(cid:226)ng, tựa compact. Khi đ(cid:226), G l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n.

Bổ đề 1.3. [17, Mệnh đề 2] Cho E l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach v(cid:160) Ω l(cid:160) một tập

con kh¡c rỗng của một kh(cid:230)ng gian Banach kh¡c. Giả sử rằng G : Ω ! P(E)

l(cid:160) một ¡nh xạ đa trị nhận gi¡ trị lồi compact yếu. Khi đ(cid:226), G l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n yếu nếu v(cid:160) chỉ nếu fxng (cid:26) Ω, xn ! x0 2 Ω v(cid:160) yn 2 G(xn) k†o theo yn ⇀ y0 2 G(x0).

Định l‰ điểm bất động sau đ¥y l(cid:160) một trường hợp đặc biệt của kết quả

trong [37].

Bổ đề 1.4. Giả sử E l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach v(cid:160) D (cid:26) E l(cid:160) một tập con

kh¡c rỗng, compact v(cid:160) lồi. Nếu to¡n tử đa trị F : D ! P(D) l(cid:160) đ(cid:226)ng với gi¡

trị lồi v(cid:160) đ(cid:226)ng, th… F c(cid:226) điểm bất động.

Định nghĩa 1.14. (cid:129)nh xạ li¶n tục F : Z (cid:18) E ! E được gọi l(cid:160) một ¡nh xạ

n†n theo độ đo (cid:12) ((cid:12)-n†n) nếu với tập bị chặn Ω (cid:26) Z, m(cid:160)

(cid:12)(Ω) (cid:20) (cid:12)(F(Ω))

sẽ k†o theo t‰nh compact tương đối của Ω.

Với (cid:12) l(cid:160) một độ đo đơn điệu, kh(cid:230)ng suy biến trong E, ứng dụng của l‰

thuyết bậc t(cid:230)p(cid:230) cho ¡nh xạ n†n (xem [3, 42]), ta c(cid:226) định l‰ điểm bất động sau.

Định l‰ 1.5. [42, Hệ quả 3.3.1] Giả sử M l(cid:160) một tập con lồi, đ(cid:226)ng, bị chặn

của E v(cid:160) F : M ! P(M) l(cid:160) một ¡nh xạ đ(cid:226)ng v(cid:160) (cid:12)-n†n. Khi đ(cid:226) F ix(F) :=

fx 2 F(x)g l(cid:160) một tập compact kh¡c rỗng.

1.5. TẬP H(cid:211)T TO(cid:128)N CỤC CHO NỬA D`NG ĐA TRỊ

Trong mục n(cid:160)y, ta nhắc lại c¡c kh¡i niệm về nửa dÆng đa trị v(cid:160) tập h(cid:243)t to(cid:160)n

cục cho nửa dÆng đa trị theo lược đồ của Melnik v(cid:160) Valero (xem [52]). Giả sử

(cid:0) l(cid:160) một nửa nh(cid:226)m con kh(cid:230)ng tầm thường của nửa nh(cid:226)m cộng t‰nh c¡c số thực R v(cid:160) (cid:0)+ = (cid:0) \ [0; 1).

Định nghĩa 1.15. (cid:129)nh xạ G : (cid:0)+ (cid:2) E ! P(E) được gọi l(cid:160) một nửa dÆng đa

trị nếu c¡c điều kiện sau được thỏa m¢n

1) G(0; w) = fwg, với mọi w 2 E.

2) G(t1 + t2; x) (cid:26) G(t1; G(t2; x)), với mọi t1; t2 2 (cid:0)+, x 2 E,

trong đ(cid:226) G(t; B) = [x2BG(t; x), B (cid:26) E.

T (B)(B) l(cid:160)

Nửa dÆng đa trị được gọi l(cid:160) ngặt nếu G(t1 + t2; w) = G(t1; G(t2; w)) với mọi w 2 E v(cid:160) t1; t2 2 (cid:0)+. G được gọi l(cid:160) bị chặn chung cuộc nếu với mỗi tập bị chặn B (cid:26) E, tồn tại số T (B) > 0 sao cho (cid:13)+

T (B)(B) l(cid:160) bị chặn. Ở đ¥y, (cid:13)+ ∪ T (B)(B) =

t(cid:21)T (B)

G(t; B). tập c¡c quỹ đạo sau thời điểm T (B) : (cid:13)+

Định nghĩa 1.16. Một tập bị chặn B1 (cid:26) E được gọi l(cid:160) một tập hấp thụ của nửa dÆng đa trị G nếu với mỗi tập bị chặn B (cid:26) E, tồn tại (cid:28) = (cid:28) (B) (cid:21) 0 sao

(cid:28) (B)(B) (cid:26) B1.

cho (cid:13)+

Định nghĩa 1.17. Tập con A (cid:26) E được gọi l(cid:160) tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục của nửa dÆng

đa trị G nếu n(cid:226) thỏa m¢n c¡c điều kiện sau:

1) A h(cid:243)t mọi tập B 2 B(E), nghĩa l(cid:160) dist(G(t; B); A) ! 0 khi t ! 1,

với mọi tập bị chặn B (cid:26) E, trong đ(cid:226) dist((cid:1); (cid:1)) k‰ hiệu nửa khoảng c¡ch

Hausdorff của hai tập con trong E;

2) A l(cid:160) nửa bất biến ¥m, tức l(cid:160) A (cid:26) G(t; A); 8t 2 (cid:0)+.

Định l‰ sau đ¥y cho ch(cid:243)ng ta một điều kiện đủ để tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục

của một nửa dÆng đa trị G.

Định l‰ 1.6. [52] Giả sử nửa dÆng G thỏa m¢n c¡c t‰nh chất:

1) G(t; (cid:1)) l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n v(cid:160) c(cid:226) gi¡ trị đ(cid:226)ng với mỗi t 2 (cid:0)+;

2) G t¡n xạ điểm, tức l(cid:160) tồn tại K > 0 sao cho với w 2 E; u(t) 2 G(t; w),

th… ∥u(t)∥E (cid:20) K với t (cid:21) t0(∥w∥E );

3) G l(cid:160) tiệm cận tr¶n nửa compact, tức l(cid:160) nếu B l(cid:160) một tập đ(cid:226)ng trong E T (B)(B) bị chặn, th… mỗi d¢y (cid:24)n 2 G(tn; B) với

sao cho với T (B) > 0; (cid:13)+ tn ! 1 l(cid:160) tiền compact trong E.

Nếu G l(cid:160) bị chặn chung cuộc, th… n(cid:226) chứa một tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục compact A

trong E. Hơn nữa, nếu G l(cid:160) một nửa dÆng ngặt, th… A l(cid:160) bất biến, tức l(cid:160) A = G(t; A) với mỗi t 2 (cid:0)+.

1.6. GIẢI T(cid:157)CH BẬC PH(cid:133)N SỐ

1.6.1. Đạo h(cid:160)m v(cid:160) t‰ch ph¥n bậc ph¥n số

X†t L1(0; T ; E) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian c¡c h(cid:160)m khả t‰ch tr¶n khoảng (0; T ), theo nghĩa

Bochner.

Định nghĩa 1.18. T‰ch ph¥n bậc (cid:11) > 0 của h(cid:160)m f 2 L1(0; T ; E) được x¡c

định bởi ∫

(t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1f (s)ds; I (cid:11) 0 f (t) = 1 (cid:0)((cid:11))

trong đ(cid:226) (cid:0) l(cid:160) h(cid:160)m Gamma.

Định nghĩa 1.19. X†t h(cid:160)m f 2 C N ([0; T ]; E), đạo h(cid:160)m bậc (cid:11) 2 (N (cid:0) 1; N )

CD(cid:11)

theo nghĩa Caputo được x¡c định bởi ∫

0 f (t) =

(t (cid:0) s)N (cid:0)(cid:11)(cid:0)1f (N )(s)ds: 1 (cid:0)(N (cid:0) (cid:11))

Ch(cid:243) (cid:254) rằng, c(cid:226) nhiều kh¡i niệm đạo h(cid:160)m bậc ph¥n số kh¡c nhau, nhưng

hai định nghĩa theo kiểu Riemann-Liouville v(cid:160) Caputo l(cid:160) được sử dụng rộng

r¢i nhất.

CD(cid:11)

0 u(t) = u(t);

0 I (cid:11)

N (cid:0)1∑

CD(cid:11)

Với u 2 C N ([0; T ]; E), ta c(cid:226) t‰nh chất

0 u(t) = u(t) (cid:0)

k=0

tk: I (cid:11) 0 u(k)(0) k!

1.6.2. C(cid:230)ng thức nghiệm cho b(cid:160)i to¡n với phương tr…nh vi ph¥n bậc ph¥n số

Giả sử (X; ∥ (cid:1) ∥) l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach. X†t b(cid:160)i to¡n Cauchy với phương

CD(cid:11)

tr…nh vi ph¥n bậc ph¥n số c(cid:226) xung

(1.10)

0 u(t) = Au(t) + f (t); t ̸= tk; tk 2 (0; +1); k 2 (cid:3); k ) (cid:0) u(t(cid:0)

k ) = Ik(u(tk));

u(t+ (1.11)

(1.12) u(0) = u0;

(cid:11) , cÆn Ik l(cid:160) c¡c h(cid:160)m li¶n tục.

trong đ(cid:226) A l(cid:160) to¡n tử tuyến t‰nh đ(cid:226)ng trong X sinh ra nửa nh(cid:226)m li¶n tục mạnh W ((cid:1)) thỏa m¢n ∥W (t)x∥ (cid:20) MA∥x∥; 8t (cid:21) 0; x 2 X. Ở đ¥y, ta x†t (cid:3) (cid:26) N, f 2 Lp(0; T ; X) với p > 1

Với (cid:11) 2 (0; 1), ¡p dụng biến đổi Laplace cho phương tr…nh (1.10), ta thu

được

L[((cid:1))(cid:0)(cid:11) (cid:3) u′]((cid:21)) = AL[u]((cid:21)) + L[f ]((cid:21));

0 u =

do CD(cid:11) ((cid:1))(cid:0)(cid:11) (cid:3) u′, ở đ¥y L[(cid:1)] l(cid:160) biến đổi Laplace cho c¡c h(cid:160)m gi¡ 1 (cid:0)(1 (cid:0) (cid:11)) 1 (cid:0)(1 (cid:0) (cid:11))

trị v†c tơ, ta c(cid:226)

∑

k2(cid:3)

e(cid:0)(cid:21)tk Ik (cid:0) u(0)) = AL[u]((cid:21)) + L[f ]((cid:21)): 1 (cid:0)(1 (cid:0) (cid:11)) (cid:0)(1 (cid:0) (cid:11)) (cid:21)1(cid:0)(cid:11) ((cid:21)L[u]((cid:21)) (cid:0)

Vậy

k2(cid:3)

L[u]((cid:21)) = (cid:21)(cid:11)(cid:0)1((cid:21)(cid:11)I (cid:0) A)(cid:0)1u0 ∑ + (cid:21)(cid:11)(cid:0)1((cid:21)(cid:11)I (cid:0) A)(cid:0)1 (1.13) e(cid:0)(cid:21)tk Ik + ((cid:21)(cid:11)I (cid:0) A)(cid:0)1L[f ]((cid:21)):

Đặt S(cid:11)(t) v(cid:160) P(cid:11)(t); t 2 R+; l(cid:160) c¡c to¡n tử thỏa m¢n

(1.14) L[S(cid:11)]((cid:21)) = (cid:21)(cid:11)(cid:0)1((cid:21)(cid:11)I (cid:0) A)(cid:0)1;

(1.15) L[((cid:1))(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)]((cid:21)) = ((cid:21)(cid:11)I (cid:0) A)(cid:0)1:

Thay v(cid:160)o (1.13) ta c(cid:226)

∑

k(cid:21)1

L[u]((cid:21)) = L[S(cid:11)]((cid:21))u0 + L[S(cid:11)]((cid:21))(e(cid:0)(cid:21)tk Ik)

(1.16) + L[((cid:1))(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)]((cid:21))L[f ]((cid:21)):

(cid:129)p dụng c¡c t‰nh chất của ph†p biến đổi Laplace (về tịnh tiến v(cid:160) t‰ch chập),

ta thu được

∑

u(t) = S(cid:11)(t)u0 + S(cid:11)(t (cid:0) tk)Ik(u(tk))

∫

+ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)(t (cid:0) s)f (s)ds; t > 0:

Biểu diễn cụ thể của S(cid:11) v(cid:160) P(cid:11) được đưa ra trong [84]:

∫ 1

0 ∫ 1

(1.17) S(cid:11)(t)x = ϕ(cid:11)((cid:18))W (t(cid:11)(cid:18))xd(cid:18);

(1.18) P(cid:11)(t)x = (cid:11) (cid:18)ϕ(cid:11)((cid:18))W (t(cid:11)(cid:18))xd(cid:18);

(cid:11) );

với ϕ(cid:11) l(cid:160) h(cid:160)m mật độ x¡c suất tr¶n khoảng (0; 1), tức l(cid:160), ϕ(cid:11)((cid:18)) (cid:21) 0 v(cid:160) ∫ 1 0 ϕ(cid:11)((cid:18))d(cid:18) = 1. Cụ thể, ϕ(cid:11) được x¡c định bởi

(cid:11) (cid:11)((cid:18)(cid:0) 1

ϕ(cid:11)((cid:18)) =

n=1

(cid:18)(cid:0)1(cid:0) 1 1∑ ((cid:0)1)n(cid:0)1(cid:18)(cid:0)(cid:11)n(cid:0)1 (cid:0)(n(cid:11) + 1) sin(n(cid:25)(cid:11)): (cid:11)((cid:18)) = 1 (cid:11) 1 (cid:25) n!

Theo [84], ta c(cid:226) c¡c ước lượng sau cho S(cid:11)(t) v(cid:160) P(cid:11)(t):

(1.19)

∥x∥; 8x 2 X: (1.20) ∥S(cid:11)(t)x∥ (cid:20) MA∥x∥; ∥P(cid:11)(t)x∥ (cid:20) MA (cid:0)((cid:11))

Chương 2

D(cid:129)NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BAO H(cid:128)M THỨC VI PH(cid:133)N H(cid:128)M NỬA TUYẾN T(cid:157)NH

Trong chương n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n cứu hệ động lực sinh bởi một lớp bao

h(cid:160)m thức vi ph¥n m(cid:160) th(cid:160)nh phần tuyến t‰nh sinh ra một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n.

Ở đ¥y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i sử dụng c¡c kĩ thuật ước lượng cho độ đo kh(cid:230)ng compact để

chứng minh t‰nh giải được to(cid:160)n cục v(cid:160) sự tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục cho nửa

dÆng đa trị sinh bởi hệ. Kết quả n(cid:160)y của ch(cid:243)ng t(cid:230)i l(cid:160) sự tổng qu¡t h(cid:226)a một số

kết quả gần đ¥y đ¢ thực hiện cho m(cid:230) h…nh đơn trị.

Nội dung của chương n(cid:160)y dựa tr¶n b(cid:160)i b¡o số 2 trong Danh mục c(cid:230)ng tr…nh

khoa học của t¡c giả li¶n quan đến luận ¡n.

2.1. ĐẶT B(cid:128)I TO(cid:129)N

Với (X; ∥ (cid:1) ∥) l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n cứu lớp bao h(cid:160)m

thức tiến ho¡ sau

t (cid:21) 0; (2.1) u′(t) 2 Au(t) + F (u(t); ut);

u(s) = φ(s); s 2 [(cid:0)h; 0]; (2.2)

ở đ¥y u l(cid:160) h(cid:160)m nhận gi¡ trị trong X, ut l(cid:160) h(cid:160)m trễ, tức l(cid:160) ut(s) = u(t+s) với s 2 [(cid:0)h; 0], F l(cid:160) một h(cid:160)m đa trị x¡c định tr¶n một tập con của X (cid:2) C([(cid:0)h; 0]; X).

Trong chương n(cid:160)y, ch(cid:243)ng ta x†t A : D(A) (cid:26) X ! X l(cid:160) một to¡n tử tuyến

t‰nh thỏa m¢n điều kiện Hille-Yosida với miền x¡c định kh(cid:230)ng tr(cid:242) mật, sinh ra nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n fS(t)gt(cid:21)0 .

2.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM T(cid:157)CH PH(cid:133)N

Trong mục n(cid:160)y, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n tr¶n

đoạn [0; T ] với 8T > 0. K(cid:254) hiệu

Pc(X) = fD 2 P(X) : D l(cid:160) tập đ(cid:226)ngg;

Ch = fφ 2 C([(cid:0)h; 0]; X) : φ(0) 2 D(A)g;

Cφ = fv : J ! D(A); v 2 C(J; X); v(0) = φ(0)g:

Với v 2 Cφ, ta k‰ hiệu v[φ] 2 C([(cid:0)h; T ]; X) l(cid:160) h(cid:160)m x¡c định như sau

8 >< v(t) nếu t 2 [0; T ] v[φ](t) = >: φ(t) nếu t 2 [(cid:0)h; 0]:

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n, ta giả thiết

(A) To¡n tử A thỏa m¢n điều kiện Hille-Yosida, sinh ra nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n fS(t)gt(cid:21)0 v(cid:160) đạo h(cid:160)m của n(cid:226) l(cid:160) C0-nửa nh(cid:226)m fS′(t)gt(cid:21)0 tr¶n D(A) li¶n

tục theo chuẩn.

Đối với th(cid:160)nh phần phi tuyến của b(cid:160)i to¡n (2.1)-(2.2), ta giả thiết

(F) H(cid:160)m đa trị F : D(A) (cid:2) Ch ! Pc(X) thỏa m¢n:

(1) F l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n với gi¡ trị compact yếu, lồi;

(2) ∥F (x; y)∥ := supf∥(cid:24)∥ : (cid:24) 2 F (x; y)g (cid:20) a∥x∥ + b∥y∥Ch + c, với mọi

x 2 D(A), y 2 Ch, ở đ¥y a; b; c l(cid:160) c¡c hằng số kh(cid:230)ng ¥m;

(3) nếu fS′(t)g kh(cid:230)ng compact, th… (cid:31)(F (B; C)) (cid:20) p(cid:31)(B)+q (cid:31)(C(t)), sup t2[(cid:0)h;0]

với mọi B (cid:26) D(A); C (cid:26) Ch, ở đ¥y p; q 2 R+:

Đặt

PF (v) = ff 2 L1(J; X) : f (t) 2 F (v(t); v[φ]t); hầu khắp t 2 Jg;

kết quả sau được chứng minh như trong [17, Định l‰ 1].

Mệnh đề 2.1. Giả sử (F)(1) (cid:0) (F)(2) thỏa m¢n. Khi đ(cid:226) PF (u) ̸= ∅ với mỗi u 2 Cφ. Hơn nữa, PF : C(J; X) ! P(L1(J; X)) l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n yếu với

gi¡ trị compact yếu, lồi.

Ta c(cid:226) định nghĩa nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n (2.1)-(2.2).

Định nghĩa 2.1. Với mỗi φ 2 Ch cho trước, một h(cid:160)m u : [(cid:0)h; T ] ! X được gọi l(cid:160) một nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n (2.1)-(2.2) tr¶n [(cid:0)h; T ] với điều kiện ban đầu φ nếu tồn tại f 2 PF (u) sao cho

(cid:21)!+1

8 >< S′(t)φ(0) + lim ∫ 0 S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1f (s)ds; t (cid:21) 0; u(t) = >: φ(t); t 2 [(cid:0)h; 0]:

B¥y giờ, ta x¡c định to¡n tử đa trị F : Cφ ! P(Cφ) như sau { }

F(v)(t) = ; S′(t)φ(0) + W(f )(t) : f 2 PF (v)

trong đ(cid:226) ∫

(cid:21)!+1

W(f )(t) = lim S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1f (s)ds; t (cid:21) 0: (2.3)

Khi đ(cid:226), v 2 Cφ l(cid:160) một điểm bất động của F khi v(cid:160) chỉ khi v[φ] l(cid:160) một nghiệm

t‰ch ph¥n của (2.1)-(2.2).

Định nghĩa 2.2. Một d¢y ffng (cid:26) L1(J; X) được gọi l(cid:160) nửa compact nếu n(cid:226) l(cid:160) bị chặn t‰ch ph¥n v(cid:160) ffn(t)g 2 K(t), hầu khắp t 2 J, với K(t) (cid:26) X; t 2 J,

l(cid:160) một họ c¡c tập compact.

Ta đ¢ biết rằng nếu ffng l(cid:160) nửa compact trong L1(J; X), th… n(cid:226) cũng l(cid:160)

compact yếu (xem [42, Mệnh đề 4.2.1]). Ch(cid:243)ng ta cần tới kết quả sau (chứng

minh c(cid:226) trong [59, Mệnh đề 7]).

Mệnh đề 2.2. Giả sử (A) thỏa m¢n. Nếu D (cid:26) L1(J; X) l(cid:160) bị chặn t‰ch ph¥n, th… W(D) l(cid:160) li¶n tục đồng bậc trong C(J; X). Nếu D = ffng l(cid:160) một d¢y

nửa compact th… fW(fn)g l(cid:160) compact tương đối trong C(J; X). Hơn nữa, nếu fn ⇀ f (cid:3) trong L1(J; X) th… W(fn) ! W(f (cid:3)) trong C(J; X).

Sau đ¥y l(cid:160) kết quả về sự tồn tại nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n.

Định l‰ 2.1. Giả sử rằng (A) v(cid:160) (F) thỏa m¢n. Khi đ(cid:226), b(cid:160)i to¡n (2.1)-(2.2) c(cid:226) ‰t nhất một nghiệm t‰ch ph¥n với mỗi φ 2 Ch cho trước.

Chứng minh. Đầu ti¶n, ta c(cid:226) nhận x†t ∥(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1∥L(X) = 1, do lim (cid:21)!+1

(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1v = v với mỗi v 2 D(A).

lim (cid:21)!+1 B¥y giờ, ta chỉ ra sự tồn tại của một tập lồi, đ(cid:226)ng M0 (cid:26) Cφ thỏa m¢n F(M0) (cid:26) M0. Lấy z 2 F(u). Từ định nghĩa của to¡n tử nghiệm, ta c(cid:226) ∫

S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1f (s)ds∥ ∥z(t)∥ (cid:20) ∥S′(t)∥L(X)∥φ(0)∥ + ∥ lim (cid:21)!+1 ∫

∥S′(t (cid:0) s)∥L(X)∥(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1∥L(X)∥f (s)∥ds

(cid:20) M ∥φ(0)∥ + lim (cid:21)!+1 ∫ t

(cid:20) M ∥φ(0)∥ + M (a∥u(s)∥ + b∥us∥Ch + c)ds;

t2[0;T ]

trong đ(cid:226) M = sup ∥S′(t)∥.

Mặt kh¡c, ta c(cid:226)

(cid:18)2[(cid:0)h;0]

∥u((cid:26))∥: ∥us∥Ch = sup ∥u(s + (cid:18))∥ (cid:20) ∥φ∥Ch + sup (cid:26)2[0;s]

Từ đ(cid:226) thu được

∫

∥z(t)∥ (cid:20) M ∥φ(0)∥ + M ∥u((cid:26))∥ + c)ds (a∥u(s)∥ + b∥φ∥Ch + b sup (cid:26)2[0;s] ∫

∥u((cid:26))∥)ds (a∥u(s)∥ + b sup (cid:26)2[0;s] (cid:20) M ∥φ(0)∥ + M T (b∥φ∥Ch + c) + M ∫

∥u((cid:26))∥)ds; (cid:20) M1 + M (a + b) sup (cid:26)2[0;s]

với M1 = M ∥φ(0)∥ + M T (b∥φ∥Ch + c). Do th(cid:160)nh phần cuối l(cid:160) tăng theo t, ta c(cid:226) ∫

∥u((cid:26))∥ds: (2.4) ∥z((cid:26))∥ (cid:20) M1 + M (a + b) sup (cid:26)2[0;t] sup (cid:26)2[0;s]

Đặt

∥u(s)∥ (cid:20) (t); t 2 Jg; M0 = fu 2 Cφ : sup s2[0;t]

với l(cid:160) nghiệm duy nhất của phương tr…nh ∫

(s)ds: (t) = M1 + M (a + b)

Rª r(cid:160)ng, M0 l(cid:160) một tập con đ(cid:226)ng, lồi trong Cφ v(cid:160) (2.4) đảm bảo rằng F(M0) (cid:26) M0.

Đặt

1∩

Mk+1 = coF(Mk); k = 0; 1; 2; :::

k=0

ở đ¥y co l(cid:160) k‰ hiệu bao đ(cid:226)ng lồi của một tập con trong Cφ. Ta c(cid:226) Mk l(cid:160) đ(cid:226)ng, lồi v(cid:160) Mk+1 (cid:26) Mk với mọi k 2 N. Đặt M = Mk, th… M l(cid:160) một tập con đ(cid:226)ng lồi của Cφ v(cid:160) F(M) (cid:26) M. Ta

sẽ chứng minh M l(cid:160) compact bằng c¡ch sử dụng Định l‰ Arzel(cid:18)a-Ascoli. Thật vậy, với mỗi k (cid:21) 0; PF (Mk) l(cid:160) bị chặn t‰ch ph¥n do giả thiết (F)(2). Do đ(cid:226), Mệnh đề 2.2 cho ta t‰nh li¶n tục đồng bậc của F(Mk). Từ đ(cid:226) k†o theo Mk+1 cũng l(cid:160) li¶n tục đồng bậc với mọi k (cid:21) 0. Vậy M l(cid:160) li¶n tục đồng bậc.

Để ¡p dụng được Định l‰ Arzel(cid:18)a-Ascoli, ta cần chứng minh M(t) l(cid:160) compact với mỗi t (cid:21) 0. Điều n(cid:160)y tương đương với (cid:22)k(t) = (cid:31)(Mk(t)) ! 0 khi k ! 1,

với (cid:31) l(cid:160) độ đo Hausdorff tr¶n X.

Nếu fS′(t)g l(cid:160) compact th… dễ d(cid:160)ng kiểm tra được ) (∫

(cid:31) S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1PF (Mk)(s)ds (cid:22)k+1(t) = (cid:31)(Mk+1(t)) (cid:20) lim (cid:21)!1 ∫ ( (cid:31) ds ) S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1PF (Mk)(s) (cid:20) 4 lim (cid:21)!1

= 0;

do Mệnh đề 1.5. Ngược lại, nếu fS′(t)g l(cid:160) kh(cid:230)ng compact, ta c(cid:226) ∫

(cid:22)k+1(t) (cid:20) 4M (cid:31) (PF (Mk)(s)) ds

∫

(cid:20) 4M [p (cid:31)(Mk(s)) + q (cid:31)(Mk[φ](s + (cid:28) ))]ds sup (cid:28) 2[(cid:0)h;0] ∫

(cid:20) 4M (cid:31)(Mk((cid:28) )]ds [p (cid:31)(Mk(s)) + q sup (cid:28) 2[0;s] ∫

(cid:20) 4M (p + q) (cid:22)k((cid:28) )ds; sup (cid:28) 2[0;s]

theo (F)(3). Do vế phải l(cid:160) kh(cid:230)ng giảm theo t n¶n ∫

(cid:22)k+1((cid:28) ) (cid:20) 4M (p + q) (cid:22)k((cid:28) )ds: sup (cid:28) 2[0;t] sup (cid:28) 2[0;s]

(cid:22)k((cid:28) ), ta c(cid:226) Đặt (cid:17)k(t) = sup (cid:28) 2[0;t]

∫

(cid:17)k+1(t) (cid:20) 4M (p + q) (cid:17)k(s)ds:

(cid:17)k(t), th… Đặt (cid:17)1(t) = lim k!1 ∫

(cid:17)1(t) (cid:20) 4M (p + q) (cid:17)1(s)ds:

(cid:129)p dụng bất đẳng thức Gronwall-Bellman, ta thu được (cid:17)1(t) = 0 với mọi t 2 J. Do 0 (cid:20) (cid:22)k(t) (cid:20) (cid:17)k(t) ! 0 khi t ! 1, ta c(cid:226) (cid:22)k(t) ! 0 với k ! 1.

B¥y giờ, ta x†t F : M ! P(M). Để ¡p dụng Bổ đề 1.4, ta cÆn phải chứng minh F l(cid:160) đ(cid:226)ng. X†t fung (cid:26) M với un ! u(cid:3) v(cid:160) vn 2 F (un) với vn ! v(cid:3). Ta

c(cid:226)

vn(t) 2 S′(t)φ(0) + W ◦ PF (un)(t):

Lấy fn 2 PF (un) sao cho

(2.5) vn(t) = S′(t)φ(0) + W(fn)(t):

Từ t‰nh nửa li¶n tục tr¶n yếu của PF (Mệnh đề 2.1), ta x†t Bổ đề 1.3 khi fn ⇀ f (cid:3) trong L1(J; X) v(cid:160) f (cid:3) 2 PF (u(cid:3)). Hơn nữa, đặt K(t) = F (fun(t); un[φ]tg)

th… ffn(t)g 2 K(t) hầu khắp t 2 J với K(t) l(cid:160) compact trong X do F l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n. Từ (F)(2), ta c(cid:226) ffng bị chặn t‰ch ph¥n. Do đ(cid:226) ffng l(cid:160) d¢y nửa compact. (cid:129)p dụng Mệnh đề 2.2 ta c(cid:226) t‰nh compact của fW(fn)g

trong C(J; X). Vậy ta c(cid:226) thể chuyển qua giới hạn trong (3.7) để thu được v(cid:3)(t) = S′(t)φ(0) + W(f (cid:3))(t) với f (cid:3) 2 PF (u(cid:3)). Suy ra, v(cid:3) 2 F(u(cid:3)). Định l‰

được chứng minh.

Phần cÆn lại của mục n(cid:160)y, ta chứng minh một số t‰nh chất của tập nghiệm,

những t‰nh chất n(cid:160)y sẽ được d(cid:242)ng để chứng minh sự tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục

trong mục sau.

Gọi (cid:25)T ; T > 0, l(cid:160) to¡n tử chặt cụt tr¶n đoạn [0; T ] t¡c động tr¶n C([0; +1); X),

tức l(cid:160), với z 2 C([0; +1); X); (cid:25)T (z) l(cid:160) hạn chế của z tr¶n đoạn [0; T ]. K‰ hiệu

(cid:6)(φ) = fu 2 C([0; +1); X) : u[φ] l(cid:160) một nghiệm t‰ch ph¥n

của (2.1)-(2.2) tr¶n [(cid:0)h; T ] với mọi T > 0g:

Bổ đề 2.1. Giả sử (A) v(cid:160) (F) thỏa m¢n v(cid:160) fφng (cid:26) Ch l(cid:160) một d¢y con hội tụ. Khi đ(cid:226) (cid:25)T ◦ (cid:6)(fφng) l(cid:160) compact tương đối trong C([0; T ]; X). Đặc biệt, (cid:25)T ◦ (cid:6)(φ) l(cid:160) compact với mỗi φ 2 Ch .

Chứng minh. Lấy vn 2 (cid:25)T ◦ (cid:6)(φn); n 2 N, ta c(cid:226)

vn(t) 2 S′(t)φn(0) + W ◦ PF (vn)(t); t 2 [0; T ]:

Ta cần chỉ ra rằng fvng l(cid:160) li¶n tục đồng bậc v(cid:160) fvn(t)g l(cid:160) compact tương đối với mỗi t 2 [0; T ]. Đ¡nh gi¡ tương tự như (2.4) cho ta

∫

(2.6) ∥vn(t)∥ (cid:20) M1 + M (a + b) ∥vn((cid:26))∥ds; 8t 2 [0; T ]; sup (cid:26)2[0;s]

t2[0;T ]

trong đ(cid:226) M = sup ∥S′(t)∥L(X), v(cid:160)

∥φn∥Ch + c): M1 = M sup n ∥φn(0)∥ + M T (b sup n

Do vế phải của (2.6) l(cid:160) kh(cid:230)ng giảm theo t, ta c(cid:226)

∫

wn(t) (cid:20) M1 + M (a + b) wn(s)ds; 8t 2 [0; T ];

∥vn((cid:26))∥. (cid:129)p dụng bất đẳng thức Gronwall-Bellman, ta thu với wn(t) = sup (cid:26)2[0;t]

được t‰nh bị chặn của fwng, từ đ(cid:226) k†o theo t‰nh bị chặn của fvng trong C([0; T ]; X). Lấy fn 2 PF (vn) sao cho

vn(t) = S′(t)φn(0) + W(fn)(t):

Từ (F)(2), ta c(cid:226) ffng l(cid:160) bị chặn t‰ch ph¥n do t‰nh bị chặn của fvng. Nếu fS′(t)g l(cid:160) compact th… fvng hiển nhi¶n l(cid:160) compact. Trong trường hợp fS′(t)g l(cid:160) kh(cid:230)ng compact, ta c(cid:226) fW(fn)g l(cid:160) tập li¶n tục đồng bậc nhờ Mệnh đề 2.2. Điều n(cid:160)y chứng tỏ fvng l(cid:160) li¶n tục đồng bậc. Hơn nữa, ∫

(cid:31)(fvn(t)g) = (cid:31)(fS′(t)φn(0) + lim (cid:21)!+1 ({ ∫ S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1fn(s)dsg) } )

(cid:21)!+1

(cid:20) lim (cid:31) ds S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1fn(s)

∫

∥S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1∥L(X)(cid:31)(ffn(s)g)ds

(cid:20) 2 lim (cid:21)!+1 ∫ t

(cid:20) 2M [p(cid:31)(fvn(s)g) + q (cid:31)(fvn[φn](s + (cid:18))g)]ds sup (cid:18)2[(cid:0)h;0] ∫

(cid:20) 2M (p + q) (cid:31)(fvn((cid:26))g)ds: sup (cid:26)2[0;s]

L‰ luận tương tự như trong chứng minh Định l‰ 2.1, ta thu được fvn(t)g l(cid:160) compact tương đối với mỗi t 2 [0; T ].

B¥y giờ, ta sẽ chứng minh (cid:25)T ◦ (cid:6)(φ) l(cid:160) compact với mỗi φ 2 Ch. Tức l(cid:160) ta cần chỉ ra (cid:25)T ◦(cid:6)(φ) l(cid:160) đ(cid:226)ng. Giả sử vn 2 (cid:25)T ◦(cid:6)(φ), vn ! v(cid:3) trong C([0; T ]; X). L‰ luận tương tự như trong chứng minh Định l‰ 2.1, ta thu được v(cid:3) 2 (cid:25)T ◦(cid:6)(φ). Tức l(cid:160), (cid:25)T ◦ (cid:6)(φ) l(cid:160) đ(cid:226)ng. Như vậy, định l‰ được chứng minh.

B¥y giờ, ta định nghĩa nửa dÆng đa trị sinh bởi (2.1)-(2.2) như sau

G : R+ (cid:2) Ch ! P(Ch);

G(t; φ) = fut : u[φ] l(cid:160) một nghiệm t‰ch ph¥n của (2.1) (cid:0) (2.2)g:

L‰ luận tương tự như trong [52], ta c(cid:226) G l(cid:160) một nửa dÆng đa trị ngặt, tức l(cid:160)

G(t1 + t2; φ) = G(t1; G(t2; φ)); với mọi t1; t2 2 R+; φ 2 Ch:

Ta sẽ chứng minh t‰nh nửa li¶n tục tr¶n của G trong bổ đề sau.

Bổ đề 2.2. Với giả thiết (A) v(cid:160) (F) th… G(t; (cid:1)) l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n với gi¡ trị

compact với mỗi t > 0.

Chứng minh. Ta c(cid:226) (cid:25)t ◦ (cid:6)(φ) l(cid:160) compact trong C([0; t]; X) với mỗi t > 0 như đ¢ chứng minh trong Bổ đề 2.1. Suy ra, G(t; φ) l(cid:160) compact với mỗi φ 2 Ch, nghĩa l(cid:160) G(t; (cid:1)) nhận gi¡ trị compact. Để ¡p dụng Bổ đề 1.2, ta cÆn phải chứng

minh G(t; (cid:1)) l(cid:160) tựa compact v(cid:160) c(cid:226) đồ thị đ(cid:226)ng.

Đầu ti¶n ta chứng minh G(t; (cid:1)) tựa compact. Giả sử rằng K (cid:26) Ch l(cid:160) một tập compact. Lấy fzng (cid:26) G(t; K), th… tồn tại d¢y fϕng (cid:26) K sao cho zn 2 G(t; ϕn). C(cid:226) thể giả sử fϕng hội tụ tới ϕ(cid:3) trong Ch. Đặt un 2 (cid:6)(ϕn) sao cho

(2.7) zn(s) = un[ϕn](t + s); s 2 [(cid:0)h; 0]:

Từ Bổ đề 2.1, ta c(cid:226) (cid:25)t ◦ (cid:6)(fϕng) l(cid:160) compact tương đối trong C([0; t]; X). Do đ(cid:226), c(cid:226) một d¢y con của fung (ta cũng k‰ hiệu l(cid:160) fung) sao cho

(cid:25)t(un) ! u(cid:3) trong C([0; t]; X):

Vậy, từ (2.7), ta c(cid:226) fzng hội tụ tới u(cid:3)[ϕ(cid:3)]t.

un, th… B¥y giờ ta chứng minh G(t; (cid:1)) c(cid:226) đồ thị đ(cid:226)ng. Lấy fφng l(cid:160) một d¢y trong Ch hội tụ tới φ(cid:3) v(cid:160) (cid:24)n 2 G(t; φn) sao cho (cid:24)n ! (cid:24)(cid:3). Ta phải chứng minh (cid:24)(cid:3) 2 G(t; φ(cid:3)). Chọn un 2 (cid:6)(φn) sao cho (cid:24)n(s) = un[φn](t + s). Từ Mệnh đề 2.1, fung c(cid:226) d¢y con hội tụ (cũng k‰ hiệu l(cid:160) fung). Giả sử u(cid:3) = lim n!1

un[φn] ! u(cid:3)[φ(cid:3)] trong C([(cid:0)h; t]; X) v(cid:160) (cid:24)(cid:3)(s) = u(cid:3)[φ(cid:3)](t + s); s 2 [(cid:0)h; 0]. Ta chỉ cần chứng minh u(cid:3) 2 (cid:25)t ◦ (cid:6)(φ(cid:3)). Lấy fn 2 PF (un) sao cho

(2.8) un(r) = S′(t)φn(0) + W(fn)(r); r 2 [0; t]:

Từ (F)(2) v(cid:160) t‰nh bị chặn của fung, ta c(cid:226) ffng (cid:26) L1(0; t; X) l(cid:160) bị chặn t‰ch ph¥n. Hơn nữa, K(r) = F (fun(r); un[φn]rg); r 2 [0; t], l(cid:160) compact v(cid:160) ffn(r)g (cid:26) K(r), n¶n ffng l(cid:160) d¢y nửa compact. (cid:129)p dụng Mệnh đề 2.2, ta c(cid:226) fn ⇀ f (cid:3) v(cid:160) W(fn) ! W(f (cid:3)). Do đ(cid:226), c(cid:226) thể chuyển qua giới hạn (2.8) để thu

được

u(cid:3)(r) = S′(t)φ(cid:3)(0) + W(f (cid:3))(r); r 2 [0; t]:

M(cid:160) PF l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n yếu, n¶n f (cid:3) 2 PF (u(cid:3)). Từ đ(cid:226) suy ra u(cid:3) 2 (cid:25)t ◦(cid:6)(φ(cid:3)).

Định l‰ được chứng minh.

2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP H(cid:211)T TO(cid:128)N CỤC

Để chứng minh sự tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục, ch(cid:243)ng ta cần th¶m giả thiết sau

đ¥y.

(S) fS′(t)gt(cid:21)0 l(cid:160) nửa nh(cid:226)m co. Ngo(cid:160)i ra, fS′(t)gt(cid:21)0 l(cid:160) ổn định mũ với số mũ

(cid:11), v(cid:160) (cid:31)-giảm với số mũ (cid:12), nghĩa l(cid:160)

∥S′(t)∥L(X) (cid:20) e(cid:0)(cid:11)t; ∥S′(t)∥(cid:31) (cid:20) N e(cid:0)(cid:12)t; 8t > 0;

trong đ(cid:226) (cid:11); (cid:12) > 0; N (cid:21) 1.

Ta c(cid:226) nhận x†t rằng, nếu fS′(t)g l(cid:160) nửa nh(cid:226)m compact th… ∥S′(t)∥(cid:31) = 0; 8t > 0. Trong trường hợp n(cid:160)y, ta c(cid:226) thể chọn (cid:12) = +1.

K‰ hiệu (cid:31)C l(cid:160) độ đo Hausdorff tr¶n Ch. Ta c(cid:226) c¡c t‰nh chất sau của (cid:31)C (đ¢

được đề cập trong [3]):

1) (cid:31)(D(s)) (cid:20) (cid:31)C(D), với mọi D 2 Ch; sup s2[(cid:0)h;0]

s2[(cid:0)h;0]

(cid:31)(D(s)): 2) nếu D l(cid:160) li¶n tục đồng bậc th… (cid:31)C(D) = sup

Ta nhắc lại bất đẳng thức Halanay (xem chứng minh trường hợp tổng qu¡t

trong [77]).

Mệnh đề 2.3. Giả sử h(cid:160)m f : [t0 (cid:0) (cid:28); T ) ! R+; 0 (cid:20) t0 < T < +1 thỏa m¢n

bất đẳng thức

f ′(t) (cid:20) (cid:0)(cid:13)f (t) + (cid:23) f (s); sup s2[t(cid:0)(cid:28);t]

với t (cid:21) t0; trong đ(cid:226) (cid:13) > (cid:23) > 0. Khi đ(cid:226)

f (t) (cid:20) (cid:20)e(cid:0)ℓ(t(cid:0)t0); t (cid:21) t0;

s2[t0(cid:0)(cid:28);t0]

trong đ(cid:226) (cid:20) = sup f (s) v(cid:160) ℓ l(cid:160) nghiệm của phương tr…nh (cid:13) = ℓ + (cid:23)e(cid:0)ℓ(cid:28) .

Sử dụng bất đẳng thức Halanay, ta chứng minh Bổ đề sau về t‰nh n†n của

to¡n tử GT = G(T; (cid:1)).

Bổ đề 2.3. Giả sử c¡c giả thiết (A), (F) v(cid:160) (S) thỏa m¢n. Nếu (cid:12)(cid:0)4N (p+q) >

0 th… tồn tại T > h v(cid:160) một số (cid:16) 2 [0; 1) sao cho

(cid:31)C(GT (B)) (cid:20) (cid:16) (cid:1) (cid:31)C(B); với mọi tập bị chặn B (cid:26) Ch:

Chứng minh. X†t B (cid:26) Ch l(cid:160) một tập bị chặn, đặt D = (cid:6)(B), ta c(cid:226) ∫

S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1PF (D)(s)ds; t (cid:21) 0: (2.9) D(t) (cid:26) S′(t)B(0) + lim (cid:21)!+1

Ta c(cid:226) nhận x†t rằng (cid:25)t(D) bị chặn trong C([0; t]; X) với mỗi t > 0. Do đ(cid:226), nếu fS′(t)g l(cid:160) compact th… (cid:31)(D(t)) = 0. Trong trường hợp ngược lại, tức l(cid:160) fS′(t)g l(cid:160) kh(cid:230)ng compact. Đặt

8 >< (cid:31)(D(t)); t (cid:21) 0; v(t) = (2.10) >: (cid:31)(B(t)); t 2 [(cid:0)h; 0]:

Từ (2.9) ta c(cid:226)

∫ )

0 { ∫ (cid:31)

( v(t) (cid:20) (cid:31)(S′(t)B(0)) + (cid:31) S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1PF (D)(s)ds lim (cid:21)!+1

} S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1PF (D)(s)ds)

(cid:20) N e(cid:0)(cid:12)t(cid:31)(B(0)) + lim (cid:21)!+1 ∫ t

(cid:20) N e(cid:0)(cid:12)t(cid:31)(B(0)) + 4N e(cid:0)(cid:12)(t(cid:0)s)(cid:31)(PF (D)(s))ds;

do giả thiết (S) v(cid:160) Mệnh đề 1.5. Do đ(cid:226)

∫

v(t) (cid:20) e(cid:0)(cid:12)t[N (cid:31)(B(0)) + 4N e(cid:12)s(p(cid:31)(D(s)) + q (cid:31)(D[B]((cid:18))))ds]; sup (cid:18)2[s(cid:0)h;s]

ở đ¥y

8 >< D(t); t (cid:21) 0 D[B](t) = >: B(t); t 2 [(cid:0)h; 0]:

K‰ hiệu z(t) l(cid:160) vế phải của bất đẳng thức tr¶n v(cid:160) đặt z(s) = N v(s) với

s 2 [(cid:0)h; 0], ta c(cid:226) v(t) (cid:20) z(t), 8t (cid:21) (cid:0)h, v(cid:160)

z′(t) = (cid:0)(cid:12)z(t) + 4N [pv(t) + q v(s)] sup s2[t(cid:0)h;t]

(cid:20) (cid:0)((cid:12) (cid:0) 4N p)z(t) + 4N q z(s); t (cid:21) 0: sup s2[t(cid:0)h;t]

(cid:129)p dụng bất đẳng thức Halanay cho z, ta thu được

s2[(cid:0)h;0]

z(t) (cid:20) sup z(s)e(cid:0)ℓt = N sup v(s)e(cid:0)ℓt; t (cid:21) 0;

trong đ(cid:226) ℓ l(cid:160) nghiệm của phương tr…nh (cid:12) (cid:0) 4N p = ℓ + 4N qeℓh. Do đ(cid:226)

s2[(cid:0)h;0]

v(t) (cid:20) z(t) (cid:20) N sup (cid:31)(B(s))e(cid:0)ℓt (cid:20) N (cid:31)C(B)e(cid:0)ℓt; t (cid:21) 0;

nhờ định nghĩa của v trong (2.10). Từ đ(cid:226) ta c(cid:226)

v(T + (cid:18)) (cid:20) N (cid:31)C(B)e(cid:0)ℓ(T (cid:0)h): sup (cid:18)2[(cid:0)h;0]

Từ (2.9), ta c(cid:226)

T +(cid:18)

∫

S′(T + (cid:18) (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1PF (D)(s)ds; DT ((cid:18)) (cid:26) S′(T + (cid:18))B(0) + lim (cid:21)!+1

(cid:26) S′(T + (cid:18))B(0) + W ◦ PF (D)(T + (cid:18)); (cid:18) 2 [(cid:0)h; 0]:

Do T > h v(cid:160) S′((cid:1)) l(cid:160) li¶n tục theo chuẩn, n¶n S′(T + (cid:1))B(0) li¶n tục đồng bậc trong Ch. Từ Mệnh đề 2.2, suy ra W ◦ PF (D)(T + (cid:1)) cũng l(cid:160) li¶n tục đồng bậc trong Ch. Tức l(cid:160), DT cũng li¶n tục đồng bậc. Từ đ¥y ta suy ra

(cid:18)2[(cid:0)h;0]

(cid:31)(D(T + (cid:18))) = sup (cid:31)C(DT ) = sup v(T + (cid:18)) (cid:20) (cid:16) (cid:1) (cid:31)C(B);

ℓ ln N v(cid:160) nhận x†t

với (cid:16) = N e(cid:0)ℓ(T (cid:0)h). Cuối c(cid:242)ng, chọn T > h + 1

GT (B) = (cid:6)(B)T = DT ;

ta c(cid:226) điều phải chứng minh.

Bổ đề 2.4. Giả sử rằng (A), (F) v(cid:160) (S) thỏa m¢n. Khi đ(cid:226) G c(cid:226) một tập hấp

thụ bị chặn, với điều kiện (cid:11) > a + b.

(cid:20) C, ta

Chứng minh. Với t > 0 v(cid:160) B (cid:26) Ch l(cid:160) một tập bị chặn, φ 2 B; ∥φ∥Ch x†t u[φ] x¡c định bởi

∫

S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1f (s)ds; u(t) = S′(t)φ(0) + lim (cid:21)!+1

với f 2 PF (u). Sử dụng giả thiết (F)(2) v(cid:160) (S), ta c(cid:226) ∫

R = d < (cid:11) (cid:0) a. Đầu ti¶n, ta (cid:20) R.

∥u(t)∥ (cid:20) e(cid:0)(cid:11)t∥φ(0)∥ + (2.11) e(cid:0)(cid:11)(t(cid:0)s)[a∥u(s)∥ + b∥us∥Ch + c]ds:

∥Ch

Do (cid:11) (cid:0) a > b, ta c(cid:226) thể chọn R > 0 sao cho b + c sẽ chứng minh nghiệm u[φ] thỏa m¢n t‰nh chất: 9t0 > 0 sao cho ∥ut0 Giả sử ngược lại: với mọi t > 0, ∥ut∥Ch > R th… ( ) ( )

b + b + (cid:20) ∥us∥Ch = d∥us∥Ch ; 8s (cid:21) 0: b∥us∥Ch + c = ∥us∥Ch c R c ∥us∥Ch

Do đ(cid:226), biểu thức (2.11) cho ta ∫

∥u(t)∥ (cid:20) e(cid:0)(cid:11)t∥φ(0)∥ + t (cid:21) 0: e(cid:0)(cid:11)(t(cid:0)s)[a∥u(s)∥ + d∥us∥Ch ]ds;

Đặt

8 >< e(cid:0)(cid:11)t∥φ(0)∥ + t (cid:21) 0; ∫ 0 e(cid:0)(cid:11)(t(cid:0)s)[a∥u(s)∥ + d∥us∥Ch ]ds; v(t) = >: ∥φ(t)∥; t 2 [(cid:0)h; 0]:

Từ đ(cid:226) ta c(cid:226) ∥u(t)∥ (cid:20) v(t), 8t (cid:21) (cid:0)h v(cid:160)

v′(t) (cid:20) (cid:0)((cid:11) (cid:0) a)v(t) + d v(s); t (cid:21) 0: sup s2[t(cid:0)h;t]

(cid:129)p dụng bất đẳng thức Halanay, ta thu được

∥u(t)∥ (cid:20) ∥φ∥Ch e(cid:0)ℓt (cid:20) Ce(cid:0)ℓt với mọi t (cid:21) 0;

trong đ(cid:226) ℓ l(cid:160) một số dương.

Vậy,

(cid:18)2[(cid:0)h;0]

∥u(t + (cid:18))∥ (cid:20) Ce(cid:0)ℓ(t+(cid:18)); 8t (cid:21) h: (2.12) R < ∥ut∥Ch = sup

Với t l(cid:160) đủ lớn, th… (2.12) m¥u thuẫn với điều giả sử.

Như vậy, ta vừa chứng minh được: với mỗi ∥φ∥ (cid:20) C, tồn tại t0 > 0 sao cho (cid:20) R; 8t (cid:21) t0. Giả sử ngược lại ∥Ch (cid:20) R. B¥y giờ ta sẽ chứng minh ∥ut∥Ch

∥ut0 rằng tồn tại t1 (cid:21) t0 sao cho

∥ut1 ∥Ch (cid:20) R nhưng ∥ut∥Ch > R với mọi t 2 (t1; t1 + (cid:18));

với (cid:18) > 0. X†t u[φ] tr¶n [t1; t1 + (cid:18)), ta c(cid:226) ∫

S′(t (cid:0) s)(cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1f (s)ds; u(t) = S′(t (cid:0) t1)u(t1) + lim (cid:21)!1

trong đ(cid:226) f 2 PF (u). Do đ(cid:226) ∫

∥u(t)∥ (cid:20) e(cid:0)(cid:11)(t(cid:0)t1)∥u(t1)∥ + e(cid:0)(cid:11)(t(cid:0)s)[a∥u(s)∥ + d∥us∥Ch ]ds; t 2 [t1; t1 + (cid:18)):

L‰ luận tương tự như ở tr¶n, với mọi t 2 [t1; t1 + (cid:18)) th…

(cid:20) R: ∥u(t)∥ (cid:20) ∥ut1 ∥Ch e(cid:0)ℓ(t(cid:0)t1) (cid:20) ∥ut1 ∥Ch

Do đ(cid:226), với t 2 (t1; t1 + (cid:18)), ta c(cid:226)

s2[(cid:0)h;0]

r2[t(cid:0)h;t]

∥u(t + s)∥ = sup ∥u(r)∥ ∥ut∥Ch = sup

r2[t1(cid:0)h;t]

(cid:20) sup ∥u(r)∥

= maxf ∥u(r)∥g sup r2[t1(cid:0)h;t1] ∥u(r)∥; sup r2[t1;t]

∥u(r)∥g (cid:20) R; = maxf∥ut1 ∥Ch ; sup r2[t1;t]

m¥u thuẫn với điều giả sử. Vậy, ta c(cid:226) thể chọn h…nh cầu t¥m 0 với b¡n k‰nh

R l(cid:160) một tập hấp thụ của nửa dÆng đa trị G, ở đ(cid:226) R được chọn thỏa m¢n

R > . c (cid:11) (cid:0) a (cid:0) b

Bổ đề 2.5. Giả sử (A), (F) v(cid:160) (S) thỏa m¢n. Nếu (cid:12) (cid:0) 4N (p + q) > 0, th… G

l(cid:160) tiệm cận tr¶n nửa compact.

Chứng minh. Lấy B (cid:26) Ch l(cid:160) một tập con bị chặn v(cid:160) (cid:4)B l(cid:160) họ tất cả c¡c d¢y f(cid:24)k : (cid:24)k 2 G(tk; B); tk ! 1g. K‰ hiệu

(cid:22) = supf(cid:31)C(Ω) : Ω 2 (cid:4)Bg:

Ta sẽ chứng minh rằng (cid:22) = 0. Giả sử ngược lại rằng (cid:22) > 0, khi đ(cid:226) với (cid:18) 2 (0; (1 (cid:0) (cid:16))(cid:22)), tồn tại Ω(cid:18) = f(cid:24)kg 2 (cid:4)B sao cho

(cid:31)C(Ω(cid:18)) > (cid:22) (cid:0) (cid:18):

Ở đ¥y, (cid:16) được lấy ở Bổ đề 2.3. Cố định T > h, với mỗi tk 2 (T; 1) tồn tại một số mk 2 N sao cho tk = mkT + rk; rk 2 [0; T ). Lấy (cid:28)k = (mk (cid:0) 1)T + rk; th…

(cid:24)k 2 G(tk; B) = G(T + (cid:28)k; B) = GT (G((cid:28)k; B)); c(cid:226) thể lấy (cid:17)k 2 G((cid:28)k; B) sao cho (cid:24)k 2 GT ((cid:17)k): Từ đ(cid:226) suy ra

(cid:31)C(Ω(cid:18)) = (cid:31)C(f(cid:24)kg)

(cid:20) (cid:31)C(GT (f(cid:17)kg)) (cid:20) (cid:16)(cid:31)C(f(cid:17)kg) (cid:20) (cid:16)(cid:22) < (cid:22) (cid:0) (cid:18):

M¥u thuẫn với điều giả sử. Định l‰ được chứng minh.

Kết hợp c¡c Bổ đề 2.2, 2.4 v(cid:160) 2.5, ta thu được kết quả về sự tồn tại tập

h(cid:243)t to(cid:160)n cục cho nửa dÆng đa trị G.

Định l‰ 2.2. Giả sử rằng c¡c giả thiết (A), (F) v(cid:160) (S) thỏa m¢n. Khi đ(cid:226), nửa

dÆng đa trị G sinh bởi hệ (2.1)-(2.2) c(cid:226) một tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục compact trong Ch với điều kiện

minf(cid:11) (cid:0) (a + b); (cid:12) (cid:0) 4N (p + q)g > 0:

2.4. (cid:129)P DỤNG

2.4.1. Bao h(cid:160)m thức trong miền bị chặn

Giả sử Ω l(cid:160) một tập bị chặn, mở trong Rn với bi¶n trơn @Ω v(cid:160) O (cid:26) Ω l(cid:160) một

m∑

tập con mở. X†t b(cid:160)i to¡n

i=1

(t; x) (cid:0) ∆xu(t; x) + (cid:21)u(t; x) = f (x; u(t; x)) + bi(x)vi(t); x 2 Ω; t > 0; @u @t

(2.13) ] [∫ ∫

; 1 (cid:20) i (cid:20) m; (2.14) vi(t) 2 k1;i(y)u(t (cid:0) h; y)dy; k2;i(y)u(t (cid:0) h; y)dy

u(t; x) = 0; x 2 @Ω; t (cid:21) 0; (2.15)

u(s; x) = φ(s; x); x 2 Ω; s 2 [(cid:0)h; 0]; (2.16)

trong đ(cid:226) ∆x l(cid:160) to¡n tử Laplace theo biến kh(cid:230)ng gian x, (cid:21) > 0, f : Ω (cid:2) R ! R l(cid:160) một h(cid:160)m li¶n tục, bi 2 C(Ω); kj;i 2 L1(O) với i 2 f1; :::; mg; j = 1; 2, v(cid:160) φ 2 Ch = C([(cid:0)h; 0]; C(Ω)).

M(cid:230) h…nh n(cid:160)y c(cid:226) thể coi như một b(cid:160)i to¡n điều khiển với điều khiển v =

(v1; :::; vm), cho bởi dạng phản hồi được biểu diễn bởi bao h(cid:160)m thức (2.14). Ở đ¥y, khoảng [z1; z2] = f(cid:28) z1 + (1 (cid:0) (cid:28) )z2 : (cid:28) 2 [0; 1]g.

Trong v‰ dụ n(cid:160)y, ta đặt u(t)(x) = u(t; x) v(cid:160) xem h(cid:160)m cần t…m u l(cid:160) một

h(cid:160)m v†c tơ x¡c định tr¶n R+ v(cid:160) nhận gi¡ trị trong C(Ω). Đặt

X = C(Ω);

X0 = C0(Ω) = fv 2 C(Ω) : v = 0 tr¶n @Ωg;

jv(x)j. Ta định nghĩa ở đ¥y X v(cid:160) X0 được trang bị chuẩn sup ∥v∥ = supx2Ω

A1v = ∆v;

0 (Ω) : ∆v 2 C(Ω)g;

v 2 D(A1) = fv 2 C0(Ω) \ H 1

trong đ(cid:226) ∆ l(cid:160) to¡n tử Laplace tr¶n Ω. Hiển nhi¶n,

D(A1) = X0 $ X:

(cid:129)p dụng kết quả trong [69, Định l‰ 5] (cho trường hợp m = 1 ), ta c(cid:226): nếu @Ω

l(cid:160) ch‰nh quy địa phương thuộc lớp C 2;(cid:22); (cid:22) > 0 (xem [69]), th… A1 sinh ra một nửa nh(cid:226)m giải t‰ch fetA1gt(cid:21)0 tr¶n X0. Hơn nữa, do ph†p nh(cid:243)ng D(A1) (cid:26) X0 l(cid:160) compact, ở đ¥y D(A1) được x¡c định với chuẩn ∥v∥A1 = ∥v∥X + ∥∆v∥X , n¶n A1 c(cid:226) giải thức compact (xem [34, Mệnh đề 4.25]) v(cid:160) do đ(cid:226) nửa nh(cid:226)m fetA1 gt(cid:21)0 l(cid:160) compact. Mặt kh¡c, từ [75, Định l‰ 4.1.4], ta c(cid:226) fetA1gt(cid:21)0 l(cid:160) nửa

nh(cid:226)m co, tức l(cid:160)

∥etA1∥L(X) (cid:20) 1; 8t > 0:

Đặt A = A1 (cid:0) (cid:21)I. Ta thấy rằng, A sinh ra một nửa nh(cid:226)m compact v(cid:160) giải t‰ch fetAgt(cid:21)0 tr¶n X0 m(cid:160)

∥etA∥L(X) (cid:20) e(cid:0)(cid:21)t; 8t > 0:

B¥y giờ, ta đặt F1 : X0 ! X, F2 : C([(cid:0)h; 0]; X) ! P(X) với

m∑

(2.17) F1(v)(x) = f (x; v(x)); ] [∫ ∫

i=1

: (2.18) F2(w)(x) = bi(x) k1;i(y)w((cid:0)h; y)dy; k2;i(y)w((cid:0)h; y)dy

Như vậy, b(cid:160)i to¡n (2.13)-(2.16) l(cid:160) một m(cid:230) h…nh cụ thể của b(cid:160)i to¡n trừu tượng

(2.1)-(2.2) với F (v; w) = F1(v) + F2(w).

Ta giả thiết th¶m rằng, tồn tại c¡c h(cid:160)m a; b 2 C(Ω) thỏa m¢n

jf (x; r)j (cid:20) a(x)jrj + b(x); 8x 2 Ω; r 2 R:

Ta thu được

∥F1(v)∥ (cid:20) ∥a∥ (cid:1) ∥v∥ + ∥b∥; 8v 2 C0(Ω):

Với F2, ta c(cid:226)

m∑

∫

i=1

∥F2(w)∥ (cid:20) jk1;i(y)jdy; ∫ ∥bi∥ maxf jk2;i(y)jdyg (cid:1) ∥w∥Ch :

Từ Định l‰ 2.2, nửa dÆng sinh bởi (2.13)-(2.16) c(cid:226) m(cid:230)t tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục compact

trong C([(cid:0)h; 0]; C(Ω)) nếu

m∑

∫

i=1

∥a∥ + ∫ ∥bi∥ maxf jk1;i(y)jdy; jk2;i(y)jdyg < (cid:21):

2.4.2. Bao h(cid:160)m thức trong miền kh(cid:230)ng bị chặn

Ta ch(cid:243) (cid:254) rằng, nếu A sinh ra một C0-nửa nh(cid:226)m fT (t)gt(cid:21)0 tr¶n X th… n(cid:226) cũng sinh ra một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n fS(t)gt(cid:21)0, được x¡c định bởi

∫

S(t)v = T (s)vds; v 2 X:

Do đ(cid:226) kết quả của ch(cid:243)ng ta c(cid:226) thế ¡p dụng trong trường hợp n(cid:160)y. Ta lại x†t

b(cid:160)i to¡n (2.13)-(2.16) nhưng trong miền Ω = Rn v(cid:160) O l(cid:160) miền bị chặn trong

m∑

Rn. Ta c(cid:226) thể viết lại như sau

i=1

(t; x) (cid:0) ∆xu(t; x) + (cid:21)u(t; x) = f (x; u(t; x)) + bi(x)vi(t); x 2 Rn; t > 0; @u @t

(2.19) ] ∫ [∫

; 1 (cid:20) i (cid:20) m; (2.20) vi(t) 2 k1;i(y)u(t (cid:0) h; y)dy; k2;i(y)u(t (cid:0) h; y)dy

u(s; x) = φ(s; x); x 2 Rn; s 2 [(cid:0)h; 0]: (2.21)

Trong m(cid:230) h…nh n(cid:160)y, ta giả thiết

1) bi 2 L2(Rn), kj;i 2 L2(O); j = 1; 2; 1 (cid:20) i (cid:20) m v(cid:160) φ 2 C([(cid:0)h; 0]; L2(Rn));

2) f : Rn (cid:2) R ! R sao cho f ((cid:1); z) l(cid:160) đo được với mỗi z 2 R v(cid:160) tồn tại

(cid:20) 2 L2(Rn) m(cid:160)

(2.22) jf (x; z1) (cid:0) f (x; z2)j (cid:20) (cid:20)(x)jz1 (cid:0) z2j; 8x 2 Rn; z1; z2 2 R:

Đặt

A1v = ∆v; v 2 D(A1) = H 2(Rn);

X = L2(Rn):

Ta đ¢ biết rằng A1 sinh ra một nửa nh(cid:226)m giải t‰ch T1((cid:1)) tr¶n X (xem chứng minh tại [34, Định l‰ 5.15]). Hơn nữa, T1((cid:1)) l(cid:160) một nửa nh(cid:226)m co. Do đ(cid:226), A = A1 (cid:0)(cid:21)I sinh ra một nửa nh(cid:226)m giải t‰ch T ((cid:1)) x¡c định bởi T (t) = e(cid:0)(cid:21)tT1(t)

v(cid:160)

∥T (t)∥ (cid:20) e(cid:0)(cid:21)t; 8t > 0:

Suy ra T ((cid:1)) l(cid:160) nửa nh(cid:226)m ổn định mũ v(cid:160) (cid:31)-giảm với số mũ (cid:21).

X†t F1; F2 cho bởi (2.17)-(2.18). Từ (2.22), ta thu được

∥F1(v1) (cid:0) F1(v2)∥ (cid:20) ∥(cid:20)∥ (cid:1) ∥v1 (cid:0) v2∥; 8v1; v2 2 X:

Vậy

(cid:31)(F1(B)) (cid:20) ∥(cid:20)∥ (cid:1) (cid:31)(B); 8B 2 B(X):

i=1. Do đ(cid:226)

Mặt kh¡c, với tập bị chặn C (cid:26) C([(cid:0)h; 0]; X) ta thấy rằng F2(C) l(cid:160) tập con bị chặn của một kh(cid:230)ng gian v(cid:230) hạn chiều sinh bởi fbigm

(cid:31)(F2(C)) = 0:

Đặt F (v; w) = F1(v) + F2(w), th…

(cid:31)(F (B; C)) (cid:20) (cid:31)(F1(B)) + (cid:31)(F2(C)) (cid:20) ∥(cid:20)∥ (cid:1) (cid:31)(B);

với mọi B 2 B(X); C 2 B(C([(cid:0)h; 0]; X)). Do đ(cid:226), F thỏa m¢n (F)(3) với

p = ∥(cid:20)∥; q = 0.

B¥y giờ, ta kiểm tra điều kiện (F)(2). Ta c(cid:226)

m∑

∥F1(v)∥ (cid:20) ∥(cid:20)∥ (cid:1) ∥v∥ + ∥f ((cid:1); 0)∥;

i=1

∥F2(w)∥ (cid:20) ∥bi∥ maxf∥k1;i∥L2(O); ∥k2;i∥L2(O)g (cid:1) ∥w∥C([(cid:0)h;0];X):

m∑

Vậy, điều kiện (F)(2) được thỏa m¢n với

i=1

a = ∥(cid:20)∥; b = ∥bi∥ maxf∥k1;i∥L2(O); ∥k2;i∥L2(O)g:

Từ Định l‰ 2.2, ta thu được định l‰ sau về sự tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục.

Định l‰ 2.3. Nửa dÆng đa trị sinh bởi hệ (2.19)-(2.21) c(cid:226) tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục

m∑

compact trong C([(cid:0)h; 0]; L2(Rn)) với điều kiện

i=1

maxf4∥(cid:20)∥; ∥(cid:20)∥ + ∥bi∥ maxf∥k1;i∥L2(O); ∥k2;i∥L2(O)g < (cid:21):

Kết luận Chương 2

Trong chương n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n cứu bao h(cid:160)m thức vi ph¥n c(cid:226) trễ hữu

hạn với phần tuyến t‰nh sinh ra nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n. C¡c kết quả đạt được

bao gồm:

1) Chứng minh sự tồn tại nghiệm to(cid:160)n cục đối với b(cid:160)i to¡n (Định l‰ 2.1).

2) Chứng minh sự tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục cho nửa dÆng sinh bởi b(cid:160)i to¡n

(Định l‰ 2.2).

3) Đưa ra hai b(cid:160)i to¡n minh họa cho kết quả trừu tượng, một bao h(cid:160)m

thức trong miền bị chặn v(cid:160) một bao h(cid:160)m thức tr¶n to(cid:160)n bộ kh(cid:230)ng gian Rn

(Mục 2.4).

Trong c¡c lược đồ chứng minh sự tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục của Ball v(cid:160) của

Melnik-Valero, việc chỉ ra t‰nh compact tiệm cận của nửa dÆng l(cid:160) một bước

quan trọng v(cid:160) kh(cid:226). Th(cid:230)ng thường, t‰nh chất n(cid:160)y thỏa m¢n nếu nửa nh(cid:226)m sinh bởi phần tuyến t‰nh (trong b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y l(cid:160) S′((cid:1))) l(cid:160) compact. Tuy nhi¶n, với

c¡c hệ đạo h(cid:160)m ri¶ng trong miền kh(cid:230)ng bị chặn th… y¶u cầu n(cid:160)y l(cid:160) kh(cid:230)ng thực tế. Trong chứng minh của ch(cid:243)ng t(cid:230)i, nửa nh(cid:226)m S′((cid:1)) được giả thiết l(cid:160) li¶n tục

theo chuẩn, kh(cid:230)ng nhất thiết compact. Ở đ¥y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i đ¢ sử dụng c¡ch tiếp

cận bằng c¡c ước lượng độ đo kh(cid:230)ng compact để khắc phục kh(cid:226) khăn khi loại bỏ t‰nh compact của nửa nh(cid:226)m S′((cid:1)) cũng như t‰nh li¶n tục Lipschitz của phần

phi tuyến. Hơn nữa, nhờ c¡c ước lượng dựa v(cid:160)o bất đẳng thức Halanay, ch(cid:243)ng

t(cid:230)i cũng thu được t‰nh chất t¡n xạ bị chặn của nửa dÆng G dưới c¡c giả thiết

nhẹ hơn so với c¡c giả thiết đ¢ đưa ra trong [76].

Chương 3

NGHIỆM ĐỐI TUẦN HO(cid:128)N CỦA BAO H(cid:128)M THỨC VI PH(cid:133)N NỬA TUYẾN T(cid:157)NH

Trong chương n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n cứu sự tồn tại nghiệm đối tuần ho(cid:160)n

cho một lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n c(cid:226) dạng đa diện m(cid:160) phần tuyến t‰nh của

n(cid:226) sinh ra một nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n. Sử dụng c¡ch tiếp cận của l‰ thuyết nửa

nh(cid:226)m v(cid:160) ¡p dụng c¡c định l‰ điểm bất động cho ¡nh xạ n†n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i chứng

minh được sự tồn tại của nghiệm đối tuần ho(cid:160)n cho b(cid:160)i to¡n tổng qu¡t n(cid:160)y.

Nội dung của chương n(cid:160)y dựa tr¶n b(cid:160)i b¡o số 4 trong Danh mục c(cid:230)ng tr…nh

khoa học của t¡c giả li¶n quan đến luận ¡n.

3.1. ĐẶT B(cid:128)I TO(cid:129)N

Cho (X; ∥ (cid:1) ∥) l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach. Trong chương n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n

cứu b(cid:160)i to¡n sau

u′(t) 2 Au(t) + F (t; u(t)); t 2 R; (3.1)

u(t + T ) = (cid:0)u(t); t 2 R (3.2)

trong đ(cid:226) u nhận gi¡ trị trong X, F (t; u(t)) = coff1(t; u(t)); (cid:1) (cid:1) (cid:1) ; fn(t; u(t))g, ở

đ¥y co l(cid:160) k(cid:254) hiệu bao lồi đ(cid:226)ng; A l(cid:160) to¡n tử thỏa m¢n điều kiện Hille-Yosida

c(cid:226) miền x¡c định D(A) kh(cid:230)ng tr(cid:242) mật, tức l(cid:160) D(A) ̸= X.

3.2. SỰ TỒN TẠI CỦA LỚP NGHIỆM ĐỐI TUẦN HO(cid:128)N

Ta k(cid:254) hiệu BC(R; X) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach c¡c h(cid:160)m li¶n tục, bị chặn từ R

v(cid:160)o X với chuẩn

∥u∥BC(R;X) = supf∥u(t)∥ : t 2 Rg;

loc(R; X) l(cid:160) tập tất cả c¡c h(cid:160)m x¡c định tr¶n R v(cid:160) lấy gi¡ trị trong

k(cid:254) hiệu L1

X, v(cid:160) khả t‰ch cục bộ theo nghĩa Bochner.

Một h(cid:160)m u 2 BC(R; X) được gọi l(cid:160) T (cid:0) đối tuần ho(cid:160)n nếu

u(t + T ) = (cid:0)u(t); 8t 2 R:

K(cid:254) hiệu PT A(R; X) l(cid:160) tập tất cả c¡c h(cid:160)m T (cid:0)đối tuần ho(cid:160)n từ R v(cid:160)o X. Ta thấy rằng PT A(R; X) c(cid:242)ng với chuẩn sup l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach.

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm đối tuần ho(cid:160)n của b(cid:160)i to¡n, ta giả thiết

to¡n tử A v(cid:160) c¡c h(cid:160)m fi (i = 1; (cid:1) (cid:1) (cid:1) ; n) thỏa m¢n c¡c điều kiện sau.

(A) To¡n tử A thỏa m¢n điều kiện Hille-Yosida. Hơn nữa, nửa nh(cid:226)m fS′(t)gt(cid:21)0

sinh bởi A tr¶n D(A) l(cid:160) nửa nh(cid:226)m hyperbolic.

(F) C¡c h(cid:160)m fi : R (cid:2) D(A) ! X; i = 1; (cid:1) (cid:1) (cid:1) ; n thỏa m¢n:

(1) fi((cid:1); x) đo được mạnh với mọi x 2 D(A) v(cid:160) fi(t; (cid:1)) li¶n tục với hầu

khắp t 2 R;

loc(R; R+); L1

(2) ∥fi(t; x)∥ (cid:20) m(t)(∥x∥ + 1), với mọi x 2 D(A), trong đ(cid:226) m 2

(3) nếu fS′(t)g kh(cid:230)ng compact, th… (cid:31)(fi(t; B)) (cid:20) k(t)(cid:31)(B), với mọi tập

loc(R; R+),

bị chặn B (cid:26) D(A), trong đ(cid:226) k 2 L1

(4) fi(t + T; (cid:0)x) = (cid:0)fi(t; x) với mọi x 2 D(A).

Nhận x†t 3.1. Ch(cid:243)ng ta c(cid:226) nhận x†t về giả thiết (F)(3) như sau: nếu fi(t; (cid:1))

thỏa m¢n điều kiện Lipschitz, tức l(cid:160)

jjfi(t; v1) (cid:0) fi(t; v2)jj (cid:20) k(t)(jjv1 (cid:0) v2jj);

th… (F)(3) được thỏa m¢n. Hơn nữa, nếu S′(t); t > 0; l(cid:160) compact hoặc fi(t; (cid:1))

l(cid:160) ho(cid:160)n to(cid:160)n li¶n tục (với mỗi t cố định) th… (F)(3) cũng được thỏa m¢n với

k = 0.

T A(R; X) l(cid:160) tập tất cả c¡c h(cid:160)m khả t‰ch địa phương c(cid:226) t‰nh chất

K(cid:254) hiệu L1

T A(R; X) = ff 2 L1 L1

loc(R; X) : f (t + T ) = (cid:0)f (t); hầu khắp t 2 Rg:

T (cid:0)đối tuần ho(cid:160)n từ R v(cid:160)o X

T A(R; X) c(cid:242)ng với chuẩn ∫

Ta thấy rằng L1

T A(R;X) = L1

∥f ∥ ∥f (t)∥dt

l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach.

Với v 2 BC(R; X), đặt

F (v) = ff 2 L1

T A(R; X) : f (t) 2 F (t; v(t)); hầu khắp t 2 Rg:

P T A

Ta c(cid:226) mệnh đề sau.

Mệnh đề 3.1. Giả sử (F)(1) (cid:0) (F)(2) thỏa m¢n. Khi đ(cid:226)

T A(R; X))

: BC(R; X) ! P(L1 P T A F

l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n yếu nhận gi¡ trị lồi v(cid:160) compact yếu.

F (v) ̸= ∅, P T A

F (v) l(cid:160) lồi v(cid:160) compact yếu với mọi v 2 BC(R; X). Ta sẽ chứng minh P T A l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n yếu. F Giả sử fung (cid:26) BC(R; X) với un ! u v(cid:160) wn 2 P T A F (un). Từ (F)(2), fwn : n (cid:21) 1g (cid:26) L1 T A(R; X) l(cid:160) khả t‰ch đều. Ngo(cid:160)i ra, d¢y wn thỏa m¢n wn(t) 2 C(t) := F (t; fun(t) : n (cid:21) 1g) v(cid:160) tập C(t) l(cid:160) compact yếu. Do đ(cid:226) ch(cid:243)ng ta c(cid:226) thể giả sử wn ⇀ w trong L1

T A(R; X).

Chứng minh. Từ định nghĩa ta c(cid:226) ngay P T A

trong L1

Từ định l‰ Mazur, tồn tại (cid:22)wn 2 convfwk : k (cid:21) ng sao cho (cid:22)wn ! w T A(R; X), do đ(cid:226) (cid:22)wn(t) ! w(t) hầu khắp t 2 [0; 2T ]. Để chứng minh w(t) 2 F (t; u(t)) hầu khắp t 2 [0; 2T ], ta lập luận như sau. Lấy t 2 [0; 2T ] sao cho w(t) 2 F (t; un(t)) với mọi n (cid:21) 1 v(cid:160) (cid:22)wn(t) ! w(t). Với ϵ > 0 cho trước, ta c(cid:226) wn(t) 2 F (t; u(t))+ϵB(0; ϵ) với n đủ lớn, do vậy (cid:22)wn(t) 2 F (t; u(t))+ϵB(0; ϵ)

với n đủ lớn, do t‰nh chất lồi của vế phải. Từ đ(cid:226), w(t) 2 F (t; u(t)) v(cid:160) mệnh đề

được chứng minh.

Ta định nghĩa nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n như sau.

Định nghĩa 3.1. Một nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n (3.1)-(3.2) l(cid:160) một h(cid:160)m u 2 PT A(R; X) thỏa m¢n phương tr…nh t‰ch ph¥n ∫

S′(t (cid:0) s)R(cid:21)f (s)ds; u(t) = S′(t (cid:0) s)u(s) + lim (cid:21)!+1

F (u).

trong đ(cid:226) R(cid:21) = (cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1, với mọi t > s v(cid:160) s 2 R; f 2 P T A

Trước khi đi v(cid:160)o chứng minh định l‰ ch‰nh, ta chứng minh bổ đề sau.

T A(R; X), ta định nghĩa

Bổ đề 3.1. Cho g 2 L1

∫ ∫

(cid:21)!+1

(cid:0)1

((cid:8)g)(t) := lim S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28); S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28) (cid:0) lim (cid:21)!+1

với t 2 R. Khi đ(cid:226) ((cid:8)g)(t) được x¡c định với mỗi t 2 R v(cid:160) (cid:8)g thuộc v(cid:160)o PT A(R; X).

Chứng minh. Ta k(cid:254) hiệu

∫

(cid:21)!+1

(cid:0)1

W1(g)(t) = lim S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28);

∫

(cid:21)!+1

W2(g)(t) = lim S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28);

Đầu ti¶n, ta c(cid:226) (cid:21)((cid:21)I (cid:0) A)(cid:0)1v = v, với mọi như vậy, ((cid:8)g)(t) := W1(g)(t) (cid:0) W2(g)(t). ∥R(cid:21)∥L(X) = 1, do lim (cid:21)!+1 lim (cid:21)!+1

v 2 D(A).

Từ điều kiện (1.2) về t‰nh hyperbolic của fS′(t)g, ta c(cid:226)

∫

(cid:21)!+1

(cid:0)1

∥W1(g)(t)∥ (cid:20) lim ∥S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)g((cid:28) )∥d(cid:28)

∫

(cid:0)1

N e(cid:0)(cid:14)(t(cid:0)(cid:28) )∥R(cid:21)∥:∥g((cid:28) )∥d(cid:28)

(cid:20) lim (cid:21)!+1 ∫

(cid:0)1

(cid:20) N e(cid:0)(cid:14)(t(cid:0)(cid:28) )∥g((cid:28) )∥d(cid:28)

∫

t(cid:0)T T

(cid:20) ∥g((cid:28) )∥d(cid:28) N 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T ∫

= ∥g((cid:28) )∥d(cid:28): N 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T

Tương tự, ta c(cid:226) đ¡nh gi¡:

∫

∥g((cid:28) )∥d(cid:28): ∥W2(g)(t)∥ (cid:20) N 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T

Do đ(cid:226), (cid:8)g x¡c định v(cid:160) bị chặn.

Mặt kh¡c, với mỗi t; h 2 R,

t+h

∥((cid:8)g)(t + h) (cid:0) ((cid:8)g)(t)∥ ∫

(cid:21)!+1

(cid:0)1 ∫

(cid:13) (cid:13) (cid:13) lim = S′(t + h (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28)

(cid:21)!+1

(cid:0) lim S′(t + h (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28)

t+h t

∫ ∫

(cid:0)1

t ∫

(cid:13) (cid:13) (cid:13) S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28) S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28) + lim (cid:21)!+1 (cid:0) lim (cid:21)!+1 ∫

(cid:21)!+1

(cid:0)1

(cid:0)1 ∫

t+h

(cid:20) (cid:13) (cid:13) (cid:13) lim S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28) S′(t + h (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28) (cid:0) lim (cid:21)!+1

(cid:21)!+1

+ lim S′(t + h (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28)

∫

(cid:21)!+1

+ lim S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28)

∫

(cid:21)!+1

(cid:0) lim S′(t + h (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28)

t+h

∫

(cid:21)!+1 ∫

t ∥(S′(t + h (cid:0) (cid:28) ) (cid:0) S′(t (cid:0) (cid:28) ))P R(cid:21)g((cid:28) )∥d(cid:28)

(cid:0)1

(cid:13) (cid:13) (cid:13) + lim S′(t + h (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28)

t+h

(cid:20) lim (cid:21)!+1 ∫

∥S′(t + h (cid:0) (cid:28) )P g((cid:28) )∥d(cid:28) ∫

∥(S′(t + h (cid:0) (cid:28) ) (cid:0) S′(t (cid:0) (cid:28) ))QR(cid:21)g((cid:28) )∥d(cid:28)

t+h

+ lim (cid:21)!+1 ∫

+ ∥S′(t + h (cid:0) (cid:28) )Qg((cid:28) )∥d(cid:28)

:= I1 + I2 + I3 + I4:

Ta c(cid:226)

t+h

∫ ∫

∥S′(t + h (cid:0) (cid:28) )P g((cid:28) )∥d(cid:28) (cid:20) N e(cid:0)(cid:14)(t+h(cid:0)(cid:28) )∥g((cid:28) )∥d(cid:28); I2 =

I4 = 0. I2 = 0. L‰ luận tương tự, ta cũng c(cid:226) lim h!0

k†o theo lim h!0 Với I1, do t 7! S′(t); t > 0 l(cid:160) li¶n tục, sử dụng định l‰ hội tụ trội Lebesgue, ta

thu được

∫

(cid:0)1

∥[S′(t + h (cid:0) (cid:28) ) (cid:0) S′(t (cid:0) (cid:28) )]P g((cid:28) )∥d(cid:28) = 0: lim h!0 I1 = lim h!0

I3 = 0. Do đ(cid:226), (cid:8)g li¶n tục. Tương tự, ta c(cid:226) lim h!0

Cuối c(cid:242)ng, với mỗi t 2 R,

t+T

∫

(cid:21)!+1

(cid:0)1

((cid:8)g)(t + T ) = lim S′(t + T (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28)

∫

t+T

S′(t + T (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28)

(cid:0) lim (cid:21)!+1 ∫

(cid:21)!+1

(cid:0)1 ∫

= lim S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)g((cid:28) + T )d(cid:28)

t ∫

(cid:0) lim S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)g((cid:28) + T )d(cid:28)

(cid:21)!+1

(cid:0)1 ∫

= (cid:0) lim S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28)

(cid:21)!+1

+ lim S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)g((cid:28) )d(cid:28)

= (cid:0) ((cid:8)g)(t):

Do đ(cid:226), (cid:8)g l(cid:160) T (cid:0)đối tuần ho(cid:160)n.

B¥y giờ, ta x†t to¡n tử đa trị F : PT A(R; X) ! P(PT A(R; X)) được định

nghĩa như sau

{ ∫

(cid:0)1 ∫

F(v)(t) = S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28) lim (cid:21)!+1 }

F (v)

(cid:21)!+1

(cid:0) lim : S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28) : f 2 P T A

Mệnh đề 3.2. Một h(cid:160)m u 2 PT A(R; X) l(cid:160) nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n (3.1)-(3.2) nếu v(cid:160) chỉ nếu n(cid:226) l(cid:160) một điểm bất động của F.

Chứng minh. Đầu ti¶n, ta giả sử u 2 PT A(R; X) l(cid:160) một nghiệm t‰ch ph¥n của

(3.1)-(3.2), khi đ(cid:226) với mọi t > s,

∫

s ∫

(3.3) S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28); P u(t) = S′(t (cid:0) s)P u(s) + lim (cid:21)!+1

(3.4) S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28); Qu(t) = S′(t (cid:0) s)Qu(s) + lim (cid:21)!+1

F (u). Cho s ! (cid:0)1 trong (3.3) v(cid:160) s ! +1 trong (3.4), ta c(cid:226)

với f 2 P T A

∫

(cid:21)!+1

(cid:0)1 ∫

P u(t) = lim S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)P f ((cid:28) )d(cid:28);

(cid:21)!+1

Qu(t) = (cid:0) lim S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28);

nhờ t‰nh chất (1.2). Do đ(cid:226) ta thu được

u(t) = P u(t) + Qu(t) ∫ ∫

(cid:21)!+1

(cid:0)1

= lim S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28); S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28) (cid:0) lim (cid:21)!+1

Vậy u l(cid:160) một điểm bất động của F. Ngược lại, giả sử u 2 PT A(R; X) l(cid:160) một điểm bất động của F, nghĩa l(cid:160) u thỏa

m¢n phương tr…nh

∫ ∫

(cid:21)!+1

(cid:0)1

u(s) = lim S′(s (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28); S′(s (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28) (cid:0) lim (cid:21)!+1

(3.5)

F (R; X). Khi đ(cid:226), với mọi t > s; s 2 R, t¡c động hai vế của

với s 2 R; f 2 P T A

(3.5) bởi S′(t (cid:0) s), ta c(cid:226)

∫

(cid:0)1 ∫

S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28) S′(t (cid:0) s)u(s) = lim (cid:21)!+1

S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28)

(cid:0) lim (cid:21)!+1 ∫

(cid:21)!+1

(cid:0)1 ∫ t

= lim S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28)

(cid:21)!+1

s ∫

(cid:0) lim S′(t (cid:0) (cid:28) )P R(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28)

(cid:21)!+1

t ∫

(cid:0) lim S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28)

(cid:21)!+1

(cid:0) lim

S′(t (cid:0) (cid:28) )QR(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28) ∫

(cid:21)!+1

= u(t) (cid:0) lim S′(t (cid:0) (cid:28) )R(cid:21)f ((cid:28) )d(cid:28);

do đ(cid:226) u l(cid:160) một nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n (3.1)-(3.2). Mệnh đề được chứng

minh.

T A(R; X) thỏa m¢n, với mọi f 2 Ω; ∥f (t)∥ (cid:20) (cid:23)(t) với hầu khắp loc(R; R+), th… ta n(cid:226)i rằng Ω l(cid:160) bị chặn t‰ch ph¥n trong

Nếu Ω (cid:26) L1

t 2 R, trong đ(cid:226) (cid:23) 2 L1 T A(R; X). L1

T A(R; X) được gọi l(cid:160) nửa compact nếu T A(R; X) v(cid:160) ffn(t)g 2 K(t), với hầu khắp

Định nghĩa 3.2. Một d¢y ffng (cid:26) L1 n(cid:226) l(cid:160) bị chặn t‰ch ph¥n trong L1

t 2 R, trong đ(cid:226) K(t) (cid:26) X; t 2 R, l(cid:160) một họ c¡c tập compact.

Ta c(cid:226) bổ để sau đ¥y, chứng minh của bổ đề n(cid:160)y tương tự như trong [59,

Mệnh đề 7].

T A(R; X) l(cid:160) một tập bị T A(R; X) v(cid:160) mỗi tập D(t) = ff (t) : f 2 Dg l(cid:160) chặn t‰ch ph¥n trong L1 compact tương đối với hầu khắp t 2 R th… W1(D); W2(D) l(cid:160) compact tương đối trong PT A(R; X). Đặc biệt, nếu D = ffng l(cid:160) một d¢y nửa compact th…

Mệnh đề 3.3. Giả sử (A) thỏa m¢n. Nếu D (cid:26) L1

T A(R; X) th… Wi(fn) ! Wi(f (cid:3)); i = 1; 2 trong PT A(R; X).

fW1(fn)g; fW2(fn)g l(cid:160) compact tương đối trong PT A(R; X). Hơn nữa, nếu fn ⇀ f (cid:3) trong L1

Ta c(cid:226) kết quả sau đ¥y về sự tồn tại nghiệm đối tuần ho(cid:160)n của b(cid:160)i to¡n

(3.1)-(3.2).

Định l‰ 3.1. Giả sử rằng (A) v(cid:160) (F) thỏa m¢n. Khi đ(cid:226), b(cid:160)i to¡n (3.1)-(3.2)

c(cid:226) ‰t nhất một nghiệm t‰ch ph¥n với điều kiện

∫

m(s)ds < 1: (3.6) 2N 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T

Chứng minh. Bước 1: Đầu ti¶n, ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một h…nh cầu đ(cid:226)ng BR t¥m 0 b¡n k‰nh R trong PT A(R; X) thỏa m¢n F(BR) (cid:26) BR.

Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại d¢y fvng (cid:26) PT A(R; X) sao cho ∥vn∥PT A(R;X) (cid:20)

n nhưng 9z 2 F (vn) m(cid:160) ∥z∥PT A(R;X) > n. Do z 2 F (vn); z(t) = W1(f )(t) (cid:0) W2(f )(t); t 2 R; f 2 P T A F (vn). L‰ luận tương tự như trong Bổ đề 3.1, ta thu

được

∫ ∫

(cid:0)1 ∫

S′(t (cid:0) s)R(cid:21)Qf (s)ds∥ ∥z(t)∥ (cid:20) ∥ lim (cid:21)!1 S′(t (cid:0) s)R(cid:21)P f (s)ds∥ + ∥ lim (cid:21)!1

(cid:20) ∥f (s)∥ds

∫

(cid:20) m(s)(∥vn(s)∥ + 1)ds

∫

m(s)ds: 2N 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T 2N 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T (cid:20) 2N (n + 1) 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T

Do đ(cid:226) ∫

m(s)ds: n < ∥z∥PT A(R;X) (cid:20) 2N (n + 1) 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T

Cho n ! +1, ta c(cid:226) ∫

1 (cid:20) m(s)ds; 2N 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T

điều n(cid:160)y m¥u thuẫn so với (3.6). Vậy tồn tại một h…nh cầu đ(cid:226)ng BR 2 PT A(R; X) thỏa m¢n F(BR) (cid:26) BR.

Bước 2: Tiếp theo, ta sẽ x¥y dựng một tập D compact kh¡c rỗng, lồi trong

PT A(R; X) thỏa m¢n F(D) (cid:26) D.

Đặt M0 = BR. Rª r(cid:160)ng M0 l(cid:160) một tập con đ(cid:226)ng của PT A(R; X) v(cid:160)

F(M0) (cid:26) M0. Đặt

Mk+1 = coF(Mk); k = 0; 1; 2; :::

1∩

ở đ¥y co l(cid:160) bao lồi đ(cid:226)ng của một tập trong PT A(R; X). Ta thấy Mk l(cid:160) lồi, đ(cid:226)ng v(cid:160) Mk+1 (cid:26) Mk với mọi k 2 N.

k=0

Đặt M =

F(M) (cid:26) M. Hơn nữa, từ (F)(2) ta c(cid:226) với mỗi k (cid:21) 0; P T A Mk, th… M l(cid:160) một tập con lồi, đ(cid:226)ng trong PT A(R; X) v(cid:160) F (Mk) l(cid:160) bị chặn

t‰ch ph¥n. Do đ(cid:226), M cũng l(cid:160) bị chặn t‰ch ph¥n.

Ta sẽ chứng minh M(t) l(cid:160) compact với mỗi t, tức l(cid:160) (cid:22)k(t) = (cid:31)(Mk(t)) ! 0

khi k ! 1 với mỗi t. Thật vậy, nếu fS′(t)g compact th… ta c(cid:226) ngay (cid:22)k(t) = 0; 8t (cid:21) 0, do

) (∫ (cid:22)k+1(t) = (cid:31)(Mk+1(t)) t

(cid:0)1 (∫

(cid:31) S′(t (cid:0) s)P R(cid:21)PF (Mk)(s)ds (cid:20) lim (cid:21)!1 )

S′(t (cid:0) s)QR(cid:21)PF (Mk)(s)ds

(cid:31) + lim (cid:21)!1 ∫

(cid:0)1 ∫

(cid:31) (S′(t (cid:0) s)P R(cid:21)PF (Mk)(s)) ds (cid:20) 4 lim (cid:21)!1

(cid:31) (S′(t (cid:0) s)QR(cid:21)PF (Mk)(s)) ds + 4 lim (cid:21)!1

= 0:

Ngược lại, nếu fS′(t)g kh(cid:230)ng compact th…

(cid:0)1 ∫

∫ ( (cid:31) ds S′(t (cid:0) s)P R(cid:21)P T A ) F (Mk)(s) (cid:22)k+1(t) (cid:20) 4 lim (cid:21)!1

) (cid:31) ds ( S′(t (cid:0) s)QR(cid:21)P T A

F (Mk)(s) ) F (Mk)(s)

(cid:0)1 ∫

+ 4 lim (cid:21)!1 ∫ t ( P T A (cid:20) 4N e(cid:0)(cid:14)(t(cid:0)s)(cid:31) ds

F (Mk)(s)

) ( P T A ds + 4N e(cid:14)(t(cid:0)s)(cid:31)

∫

F (Mk)(s))ds;

t(cid:0)T

(cid:20) (cid:31)(P T A 8N 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T

do (1.2). Từ (F)(3), ta c(cid:226)

∫

t(cid:0)T

k(s)(cid:31)(Mk(s))ds; (cid:22)k+1(t) (cid:20) 8N 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T

(cid:22)k(t), ta c(cid:226) Đặt (cid:22)1(t) = lim k!1

∫

t(cid:0)T

(cid:22)1(t) (cid:20) k(s)(cid:22)1(s)ds: 8N 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T

Chọn a 2 R sao cho a < t (cid:0) T , khi đ(cid:226)

∫

(cid:22)1(t) (cid:20) k(s)(cid:22)1(s)ds: 8N 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:14)T

(cid:129)p dụng bất đẳng thức Gronwall-Bellman ta thu được (cid:22)1(t) = 0 với mọi

t 2 R. Từ đ(cid:226), ta c(cid:226) t‰nh compact của M(t).

Từ Mệnh đề 3.3, ta c(cid:226) W1(M) v(cid:160) W2(M) l(cid:160) c¡c tập compact tương đối trong PT A(R; X). Điều n(cid:160)y k†o theo F(M ) cũng l(cid:160) tập compact tương đối.

Đặt

D = coF(M):

Ta c(cid:226) D l(cid:160) một tập compact kh¡c rỗng, lồi trong PT A(R; X) v(cid:160) F(D) (cid:26) D do F(D) = F(coF(M)) (cid:26) F(M) (cid:26) coF(M) = D.

Bước 3: X†t F : D ! P(D). Để ¡p dụng định l‰ điểm bất động trong Bổ đề 1.4, ta cÆn phải chứng minh rằng F c(cid:226) đồ thị đ(cid:226)ng. Lấy fung (cid:26) D với un ! u(cid:3) v(cid:160) vn 2 F(un) m(cid:160) vn ! v(cid:3). Ta c(cid:226)

F (un)(t):

vn(t) 2 (W1 (cid:0) W2) ◦ P T A

F (un) sao cho

Lấy fn 2 P T A

(3.7) vn(t) = W1(fn)(t) (cid:0) W2(fn)(t):

Từ P T A l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n yếu do Mệnh đề 3.1, ¡p dụng Bổ đề 1.3 ta F (u(cid:3)). Hơn nữa, đặt K(t) = thu được fn ⇀ f (cid:3) trong L1(0; T ; X) v(cid:160) f (cid:3) 2 P T A F (ft; un(t)g) th… ffn(t)g (cid:26) K(t) với hầu khắp t 2 R, trong đ(cid:226) K(t) l(cid:160) compact trong X do F (t; (cid:1)) l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n. Lại từ (F)(2), ta thấy ffng l(cid:160) bị chặn t‰ch ph¥n. Do đ(cid:226) ffng l(cid:160) một d¢y nửa compact. (cid:129)p dụng Mệnh đề 2.2 ta thu được t‰nh compact của fW1(fn)g v(cid:160) fW2(fn)g trong PT A(R; X). Từ đ(cid:226), chuyển qua giới hạn trong (3.7) ta c(cid:226) v(cid:3)(t) = W1(f (cid:3))(t) (cid:0) W2(f (cid:3))(t) trong đ(cid:226) F (u(cid:3)). Tức l(cid:160) v(cid:3) 2 F (u(cid:3)). Vậy định l‰ đ¢ được chứng minh. f (cid:3) 2 P T A

3.3. (cid:129)P DỤNG

3.3.1. V‰ dụ 1

X†t Ω l(cid:160) một tập mở bị chặn trong Rn với bi¶n @Ω trơn. X†t b(cid:160)i to¡n

t 2 R; x 2 Ω; (3.8) (t; x) (cid:0) ∆xu(t; x) + (cid:21)u(t; x) = f (t; x);

t 2 R; x 2 Ω; (3.9) @u @t f (t; x) 2 [ ~f1(t; x; u(t; x))); ~f2(t; x; u(t; x))];

u(t + T; x) = (cid:0)u(t; x); t 2 R; x 2 Ω; (3.10)

u(t; x) = 0; t 2 R; x 2 @Ω; (3.11)

với ∆x l(cid:160) to¡n tử Laplace theo biến x, (cid:21) > 0.

Tương tự như trong phần ứng dụng của Chương 2, ta x†t

X = C(Ω);

X0 = C0(Ω) = fv 2 C(Ω) : v = 0 tr¶n @Ωg;

jv(x)j v(cid:160) định nghĩa với chuẩn ∥v∥ = supx2Ω

A1v = ∆v;

0 (Ω) : ∆v 2 C0(Ω)g;

v 2 D(A1) = fv 2 C0(Ω) \ H 1

Đặt A = A1 (cid:0) (cid:21)I. Ta thấy rằng A sinh ra một nửa nh(cid:226)m compact v(cid:160) giải

t‰ch fetAgt(cid:21)0 tr¶n X0 m(cid:160)

∥etA∥L(X) (cid:20) e(cid:0)(cid:21)t; 8t (cid:21) 0:

Do vậy, (A) v(cid:160) (F)(3) thỏa m¢n. X†t fi : R (cid:2) C0(Ω) ! C(Ω), với i = 1; 2, x¡c định bởi

fi(t; v)(x) = ~fi(t; x; v(x));

trong đ(cid:226), c¡c h(cid:160)m ~fi : R (cid:2) Ω (cid:2) R ! R thỏa m¢n:

(H1) ~fi((cid:1); x; z) l(cid:160) đo được với mọi x 2 Ω, z 2 R; ~fi(t; (cid:1); z) li¶n tục với mỗi

t; z 2 R, v(cid:160) ~fi(t; x; (cid:1)) li¶n tục với mọi t 2 R v(cid:160) x 2 Ω;

loc(R; R+); L1

(H2) j ~fi(t; x; z)j (cid:20) m(t)(jzj + 1), với mọi t; z 2 R; x 2 Ω, trong đ(cid:226) m 2

(H3) ~fi(t + T; x; (cid:0)z) = (cid:0) ~fi(t; x; z), với mọi t; z 2 R; x 2 Ω.

Khi đ(cid:226), từ (H2), ta c(cid:226)

j ~fi(t; x; v(x))j ∥fi(t; v)∥ = sup x2 (cid:22)Ω

m(t)(jv(x)j + 1) (cid:20) sup x2 (cid:22)Ω

jv(x)j + 1) = m(t)(∥v∥ + 1): (cid:20) m(t)(sup x2 (cid:22)Ω

Do đ(cid:226), (F)(2) thỏa m¢n với F (t; v) = [f1(t; v); f2(t; v)]. Từ (H3), ta thấy rằng

giả thiết (F)(4) thỏa m¢n. Hơn nữa, giả thiết (F)(1) được thỏa m¢n do (H1).

Do đ(cid:226), b(cid:160)i to¡n (3.8)-(3.11) c(cid:226) nghiệm T (cid:0)đối tuần ho(cid:160)n với điều kiện ∫

m(s)ds < 1: 2 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:21)T

3.3.2. V‰ dụ 2

M∑

Ta x†t b(cid:160)i to¡n

k;l=1

@tu(t; x) = @k(akl(x)@l)u(t; x) + a0(x)u(t; x) + f (t; x); x 2 Ω; t 2 R;

(3.12)

t 2 R; x 2 Ω; (3.13) f (t; x) 2 [ ~f1(t; x; u(t; x))); ~f2(t; x; u(t; x))];

M∑

u(t + T; x) = (cid:0)u(t; x); t 2 R; x 2 Ω; (3.14)

k;l=1

(3.15) nk(x)akl(x)@lu(t; x) = 0; t 2 R; x 2 @Ω:

Ở đ¥y, Ω (cid:18) RM l(cid:160) một miền bị chặn với bi¶n @Ω thuộc lớp C 2 v(cid:160) n((cid:1)) l(cid:160) trường

v†ctơ ph¡p tuyến đơn vị ngo(cid:160)i. Ta giả thiết c¡c hệ số thỏa m¢n:

M∑

akl 2 C 1(Ω); k; l = 1; (cid:1) (cid:1) (cid:1) ; M; a0 2 C(Ω):

k;l=1

với akl(x)vkvl (cid:21) (cid:17)jvj2, trong đ(cid:226) (cid:17) > 0; x 2 Ω; v 2 RM .

M∑

Với X = Lp(Ω); 1 < p < 1, x†t to¡n tử

k;l=1

A(x; D) := @k(akl(x)@l) + a0(x)

M∑

p>1

k;l=1

∩ D(A) = W 2;p(Ω) : A((cid:1); D)f 2 C(Ω); nk((cid:1))akl((cid:1))@lf = 0 tr¶n @Ω với miền x¡c định 8 < :f 2 9 = ; :

Từ kết quả của Schnaubelt [68], ta c(cid:226) A sinh ra một nửa nh(cid:226)m hyperbolic T ((cid:1))

tr¶n X với c¡c hệ số M; (cid:21), tức l(cid:160) tồn tại ph†p chiếu P v(cid:160) c¡c hằng số M; (cid:21) > 0

sao cho T (t) ker P = ker P v(cid:160)

∥T (t)x∥ (cid:20) M e(cid:0)(cid:21)t∥x∥; với t (cid:21) 0 v(cid:160) x 2 RgP;

e(cid:21)t∥x∥; với t (cid:21) 0 v(cid:160) x 2 KerP: ∥T (t)x∥ (cid:21) 1 M

Do đ(cid:226), giả thiết (A) thỏa m¢n. X†t fi : R (cid:2) Lp(Ω) ! Lp(Ω), với i = 1; 2, x¡c định như sau

fi(t; v)(x) = ~fi(t; x; v(x));

với ~fi : R (cid:2) Ω (cid:2) R ! R thỏa m¢n

(H4) ~fi((cid:1); (cid:1); z) đo được với mỗi z 2 R v(cid:160) ~fi(t; x; (cid:1)) li¶n tục với hầu khắp t 2 R

v(cid:160) x 2 Ω ;

loc(R; R+); L1

(H5) j ~fi(t; x; z)j (cid:20) ~m(t)(jzj + 1), với mọi t; z 2 R; x 2 Ω, trong đ(cid:226) ~m 2

loc(R; R+),

(H6) j ~fi(t; x; z) (cid:0) ~fi(t; x; z′)j (cid:20) k(t)jz (cid:0) z′j, với k 2 L1

(H7) ~fi(t + T; x; (cid:0)z) = (cid:0) ~fi(t; x; z), với mọi t; z 2 R; x 2 Ω.

Với F (t; v) = [f1(t; v); f2(t; v)], ta thấy rằng c¡c giả thiết (F)(1); (F)(4) thỏa

m¢n từ c¡c điều kiện (H4); (H7) tương ứng.

Hơn nữa, từ (H5), ta c(cid:226)

( ∫ ) 1

Ω

∥fi(t; v)∥Lp(Ω) (cid:20)

~m(t)p(jv(y)j + 1)pdy ( ∫ ) 1

Ω

p ):

(cid:20) ~m(t) (jv(y)j + 1)pdy

(cid:20) ~m(t)(∥v∥Lp(Ω) + jΩj 1

Do đ(cid:226), giả thiết (F)(2) thỏa m¢n. Mặt kh¡c,

( ∫ ) 1

Ω

jfi(t; x; v1(x)) (cid:0) fi(t; x; v2(x))jpdx ∥fi(t; v1) (cid:0) fi(t; v2)∥Lp(Ω) =

Ω

( ∫ ) 1 (cid:20) (k(t)jv1(x) (cid:0) v2(x)j)pdx

(cid:20) k(t)∥v1 (cid:0) v2∥Lp(Ω):

Như vậy, từ Ch(cid:243) (cid:254) 3.1, ta c(cid:226) giả thiết (F)(3) thỏa m¢n.

Từ đ(cid:226), ta c(cid:226) kết quả sau đ¥y về sự tồn tại nghiệm dựa tr¶n Định l‰ 3.1.

Định l‰ 3.2. B(cid:160)i to¡n (3.12)-(3.15) c(cid:226) nghiệm T -đối tuần ho(cid:160)n với điều kiện

∫

~m(s)ds < 1: 2N 1 (cid:0) e(cid:0)(cid:21)T

Kết luận Chương 3

Trong chương n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i đ¢ nghi¶n cứu lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n c(cid:226)

dạng đa diện m(cid:160) trong đ(cid:226), th(cid:160)nh phần tuyến t‰nh sinh ra một nửa nh(cid:226)m t‰ch

ph¥n. C¡c kết quả đạt được bao gồm:

1) Chứng minh sự tồn tại nghiệm đối tuần ho(cid:160)n cho b(cid:160)i to¡n (Định l‰ 3.1).

2) Đưa ra hai v‰ dụ minh họa cho c¡c kết quả trừu tượng đạt được (Mục

3.3).

C¡c kết quả trong chương n(cid:160)y l(cid:160) sự mở rộng sang trường hợp bao h(cid:160)m

thức cho một số kết quả gần đ¥y theo c¡c tiếp cận của l‰ thuyết nửa nh(cid:226)m. Sử

dụng phương ph¡p h(cid:160)m Lyapunov-Peron đa trị kết hợp với c¡c kỹ thuật ước

lượng, đ¡nh gi¡ độ đo kh(cid:230)ng compact, ch(cid:243)ng t(cid:230)i đ¢ chứng minh được sự tồn

tại nghiệm đối tuần ho(cid:160)n cho b(cid:160)i to¡n (3.1)-(3.2) dưới c¡c điều kiện đ¢ được

giảm nhẹ hơn so với c¡c kết quả đ¢ biết. V(cid:160) theo sự hiểu biết của t¡c giả, đ¥y

cũng l(cid:160) kết quả dạng bao h(cid:160)m thức đầu ti¶n cho b(cid:160)i to¡n nghiệm đối tuần

ho(cid:160)n.

Chương 4

T(cid:157)NH ỔN ĐỊNH YẾU CỦA HỆ VI PH(cid:133)N BẬC PH(cid:133)N SỐ NỬA TUYẾN T(cid:157)NH

Trong chương n(cid:160)y, dựa tr¶n kh¡i niệm ổn định tiệm cận yếu của Fillipov

đưa ra cho bao h(cid:160)m thức vi ph¥n trong kh(cid:230)ng gian hữu hạn chiều, ch(cid:243)ng t(cid:230)i

đưa ra kh¡i niệm ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường cho bao h(cid:160)m

thức tiến h(cid:226)a bậc ph¥n số, sau đ(cid:226) chứng minh t‰nh ổn định yếu của b(cid:160)i to¡n

với bao h(cid:160)m thức vi ph¥n bậc ph¥n số c(cid:226) xung, điều kiện ban đầu kh(cid:230)ng cục

bộ v(cid:160) trễ hữu hạn.

Nội dung của chương n(cid:160)y dựa tr¶n c¡c b(cid:160)i b¡o số 1 v(cid:160) 3 trong Danh mục

c(cid:230)ng tr…nh khoa học của t¡c giả li¶n quan đến luận ¡n.

4.1. ĐẶT B(cid:128)I TO(cid:129)N

CD(cid:11)

Với (X; ∥ (cid:1) ∥) l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach, x†t b(cid:160)i to¡n

0 u(t) 2 Au(t) + F (t; u(t); ut); t > 0; t ̸= tk; k 2 (cid:3);

(4.1)

(4.2) ∆u(tk) = Ik(u(tk));

u(s) + g(u)(s) = φ(s); s 2 [(cid:0)h; 0]; (4.3)

0 ; (cid:11) 2 (0; 1), l(cid:160) đạo h(cid:160)m bậc ph¥n số theo nghĩa Caputo, A l(cid:160) một to¡n tử tuyến t‰nh đ(cid:226)ng trong X sinh ra nửa nh(cid:226)m li¶n tục mạnh W ((cid:1)), F : k ) (cid:0) u(t(cid:0) R+ (cid:2) X (cid:2) C([(cid:0)h; 0]; X) ! P(X) l(cid:160) một ¡nh xạ đa trị, ∆u(tk) = u(t+ k ), k 2 (cid:3) (cid:26) N, Ik v(cid:160) g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m sẽ được định nghĩa cụ thể trong mục sau. Ở đ¥y, ut l(cid:160) h(cid:160)m trễ theo thời gian t, tức l(cid:160) ut(s) = u(t + s); s 2 [(cid:0)h; 0].

trong đ(cid:226) D(cid:11)

Để nghi¶n cứu t‰nh ổn định cho lớp b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i đưa ra kh¡i

niệm sau đ¥y về t‰nh ổn định yếu của nghiệm kh(cid:230)ng của b(cid:160)i to¡n (4.1)-(4.3):

K(cid:254) hiệu (cid:6)(φ) l(cid:160) tập nghiệm của b(cid:160)i to¡n (4.1)-(4.3) ứng với điều kiện ban đầu

φ sao cho 0 2 (cid:6)(0). Nghiệm kh(cid:230)ng của b(cid:160)i to¡n (4.1)-(4.3) được gọi l(cid:160) ổn định

tiệm cận yếu nếu n(cid:226) l(cid:160)

2) h(cid:243)t yếu: với mọi φ 2 B, tồn tại u 2 (cid:6)(φ) thỏa m¢n ∥ut∥h ! 0 khi

t ! +1.

4.2. KH˘NG GIAN H(cid:128)M V(cid:128) ĐỘ ĐO

X†t E = P C(J; X) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian c¡c h(cid:160)m x¡c định tr¶n J (cid:26) R v(cid:160) nhận gi¡

trị trong X sao cho

(cid:15) u li¶n tục tr¶n J n ftk : k 2 (cid:3)g;

k ) = u(tk).

k ) = lim t!t

k ) = lim t!t+ k

(cid:0) k

(cid:15) tồn tại u(t+ u(t) v(cid:160) u(t(cid:0) u(t) sao cho u(t(cid:0)

Nếu J l(cid:160) một khoảng compact, P C(J; X) c(cid:242)ng với chuẩn

∥u(t)∥; ∥u∥P C = sup t2J

l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach. Gọi (cid:31)P C l(cid:160) độ đo Hausdorff tr¶n P C(J; X), ta c(cid:226) c¡c t‰nh chất sau (xem [40]): với mọi tập bị chặn D (cid:26) P C(J; X),

(cid:15) supt2J (cid:31)(D(t)) (cid:20) (cid:31)P C(D), với D(t) = fu(t) : d 2 Dg;

(cid:15) Nếu D l(cid:160) tập đồng li¶n tục tr¶n mỗi khoảng (tk(cid:0)1; tk] (cid:26) J th…

(cid:31)P C(D) = supt2J (cid:31)(D(t)).

Trong trường hợp J l(cid:160) nửa trục, tức l(cid:160) J = [(cid:0)h; +1), ta x†t kh(cid:230)ng gian

= 0g; P Cϱ([(cid:0)h; +1); X) = fu 2 P C([(cid:0)h; +1); X) : lim t!+1 u(t) ϱ(t)

trong đ(cid:226) ϱ : R+ ! [1; +1) l(cid:160) một h(cid:160)m li¶n tục v(cid:160) kh(cid:230)ng giảm. Ta c(cid:226) P Cϱ([(cid:0)h; +1); X) c(cid:242)ng với chuẩn

t2[(cid:0)h;0]

; ∥u∥ϱ = sup ∥u(t)∥ ϱ(t) ∥u(t)∥ + sup t(cid:21)0

l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach. Tuy nhi¶n, trong trường hợp n(cid:160)y, ch(cid:243)ng ta kh(cid:230)ng

x¡c định v(cid:160) t‰nh to¡n được độ đo Hausdorff tr¶n P Cϱ. Do đ(cid:226), ch(cid:243)ng ta phải

x¥y dựng một độ đo mới c(cid:226) t‰nh chất đơn điệu, kh(cid:230)ng suy biến v(cid:160) ch‰nh quy

tr¶n kh(cid:230)ng gian n(cid:160)y. Với u 2 P Cϱ, k(cid:254) hiệu (cid:25)T (u) l(cid:160) hạn chế của u tr¶n [(cid:0)h; T ], tức l(cid:160) (cid:25)T (u) 2 P C([(cid:0)h; T ]; X). Với D (cid:26) P Cϱ, đặt

(4.4) (cid:31)P C((cid:25)T (D)); (cid:31)1(D) = sup T >0

T !+1

d1(D) = lim ; (4.5) ∥u(t)∥ ϱ(t) sup u2D sup t(cid:21)T

(cid:31)(cid:3)(D) = (cid:31)1(D) + d1(D): (4.6)

Ta thấy rằng (cid:31)1((cid:1)) v(cid:160) d1((cid:1)) l(cid:160) c¡c độ đo đơn điệu kh(cid:230)ng suy biến, do đ(cid:226) (cid:31)(cid:3)((cid:1)) cũng c(cid:226) c¡c t‰nh chất đ(cid:226). B¥y giờ ta chứng minh t‰nh ch‰nh quy của (cid:31)(cid:3)((cid:1)).

Bổ đề 4.1. Nếu Ω (cid:26) P Cϱ([(cid:0)h; +1); X) l(cid:160) một tập bị chặn thỏa m¢n (cid:31)(cid:3)(Ω) =

0, th… Ω l(cid:160) tập compact tương đối.

Chứng minh. Do d1(Ω) = 0, với ϵ > 0 bất kỳ, ta c(cid:226) thể chọn T > 0 sao cho

; 8t (cid:21) T; 8u 2 Ω: (4.7) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) < u(t) ϱ(t) ϵ 3

Với fung l(cid:160) một d¢y trong Ω, ta c(cid:226) (cid:31)1(fung) = 0, do đ(cid:226) (cid:31)P C((cid:25)T (fung)) = 0, tức l(cid:160) funj[(cid:0)h;T ]g c(cid:226) một d¢y con hội tụ trong P C([(cid:0)h; T ]; X) (ta vẫn k(cid:254) hiệu l(cid:160) n). Vậy, tồn tại N (ϵ) 2 N thỏa m¢n

; 8n; m (cid:21) N (ϵ): ∥un(t) (cid:0) um(t)∥ < ϵ 3 sup t2[(cid:0)h;0] ∥un(t) (cid:0) um(t)∥ + sup t2[0;T ]

Như vậy,

; 8n; m (cid:21) N (ϵ): (4.8) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) < un(t) ϱ(t) (cid:0) um(t) ϱ(t) ϵ 3 sup t2[(cid:0)h;0] ∥un(t) (cid:0) um(t)∥ + sup t2[0;T ]

Kết hợp (4.7)-(4.8), ta c(cid:226)

t2[(cid:0)h;0]

∥un (cid:0) um∥ϱ = sup (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

t2[(cid:0)h;0]

(cid:20) sup (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) un(t) ϱ(t) un(t) ϱ(t) ∥un(t) (cid:0) um(t)∥ + sup t2[0;T ]

t2[(cid:0)h;0]

(cid:20) sup (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:0) um(t) ϱ(t) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) un(t) ∥un(t) (cid:0) um(t)∥ + sup ϱ(t) t(cid:21)0 (cid:0) um(t) ϱ(t) (cid:0) um(t) ϱ(t) un(t) ϱ(t) un(t) ϱ(t) (cid:0) um(t) ϱ(t) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) + sup (cid:13) t(cid:21)T (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) + sup (cid:13) t(cid:21)T

∥un(t) (cid:0) um(t)∥ + sup t2[0;T ] (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) um(t) ϱ(t)

+ + = ϵ; + sup t(cid:21)T ϵ 3 ϵ 3 (cid:20) ϵ 3

với mọi n; m (cid:21) N (ϵ). Do đ(cid:226) fung l(cid:160) d¢y Cauchy trong P Cϱ([(cid:0)h; +1); X). Ta

c(cid:226) điều phải chứng minh.

Gọi (cid:8)(t; s) l(cid:160) một họ c¡c to¡n tử tuyến t‰nh bị chặn tr¶n X với t; s 2

[0; T ]; s (cid:20) t. Kết quả sau đ¥y đ¢ được chứng minh trong [67, Bổ đề 1].

Mệnh đề 4.1. Giả thiết rằng (cid:8) thỏa m¢n c¡c điều kiện sau:

((cid:8)1) tồn tại một h(cid:160)m (cid:26) 2 Lq(0; T ); q > 1 sao cho ∥(cid:8)(t; s)∥ (cid:20) (cid:26)(t (cid:0) s) với mọi

t; s 2 [0; T ]; s (cid:20) t;

((cid:8)2) ∥(cid:8)(t; s) (cid:0) (cid:8)(r; s)∥ (cid:20) ϵ với 0 (cid:20) s (cid:20) r (cid:0) ϵ; r < t = r + h (cid:20) T , trong đ(cid:226)

ϵ = ϵ(h) ! 0 khi h ! 0.

Khi đ(cid:226), to¡n tử S : Lq′ (0; T ; X) ! C([0; T ]; X) được định nghĩa bởi

∫

0 biến mỗi tập bị chặn th(cid:160)nh một tập li¶n tục đồng bậc, trong đ(cid:226) q′ l(cid:160) số mũ

(Sg)(t) := (cid:8)(t; s)g(s)ds

q + 1

q′ = 1.

li¶n hợp của q, tức l(cid:160) 1

(cid:11) , ta x¡c định to¡n tử tuyến t‰nh

Với p > 1

Q(cid:11) : Lp(0; T ; X) ! C([0; T ]; X); ∫

(4.9) Q(cid:11)(f )(t) = (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)(t (cid:0) s)f (s)ds:

Mệnh đề 4.2. Giả sử nửa nh(cid:226)m W ((cid:1)) sinh bởi A l(cid:160) li¶n tục theo chuẩn. Khi

đ(cid:226):

1) Với mỗi tập bị chặn Ω (cid:26) Lp(0; T ; X), Q(cid:11)(Ω) l(cid:160) một tập li¶n tục đồng

bậc trong C([0; T ]; X). Hơn nữa, ta c(cid:226) ước lượng sau ∫

(t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥(cid:31) (cid:1) (cid:31)(Ω(s))ds: (cid:31)P C(Q(cid:11)(Ω)) (cid:20) 4 sup t2[0;T ]

2) Nếu ffng (cid:26) Lp(0; T ; X) l(cid:160) một d¢y nửa compact, tức l(cid:160) ffn(t) : n (cid:21) 1g (cid:26) K(t) với K(t) l(cid:160) họ c¡c tập compact, v(cid:160) ∥fn(t)∥ (cid:20) (cid:23)(t) với hầu khắp t 2 [0; T ] với (cid:23) 2 Lp(0; T ), th… fQ(cid:11)(fn)g l(cid:160) compact tương đối trong C([0; T ]; X). Hơn nữa, nếu fn ⇀ f trong Lp(0; T ; X) th… Q(cid:11)(fn) !

Q(cid:11)(f ) trong C([0; T ]; X).

Chứng minh. (1) Do W ((cid:1)) l(cid:160) li¶n tục theo chuẩn, ta c(cid:226) P(cid:11)((cid:1)) cũng li¶n tục theo chuẩn (xem [78]). Vậy (cid:8)(t; s) = (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)(t (cid:0) s) thỏa m¢n ((cid:8)1) (cid:0) ((cid:8)2)

trong Mệnh đề 4.1. Do đ(cid:226), ch(cid:243)ng ta c(cid:226) t‰nh li¶n tục đồng bậc của Q(cid:11)(Ω). Khi

đ(cid:226)

(cid:31)(Q(cid:11)(Ω)(t)): (cid:31)P C(Q(cid:11)(Ω)) = sup t2[0;T ]

(cid:129)p dụng Mệnh đề 1.5, ta c(cid:226) ) (∫

0 ∫

(cid:31) (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)(t (cid:0) s)Ω(s)ds (cid:31)P C(Q(cid:11)(Ω)) = sup t2[0;T ] ∫ ) ( (cid:31) ds (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)(t (cid:0) s)Ω(s) (cid:20) 4 sup t2[0;T ]

(t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥(cid:31) (cid:1) (cid:31) (Ω(s)) ds: (cid:20) 4 sup t2[0;T ]

(2) Từ chứng minh tr¶n, d¢y fQ(cid:11)(fn)g l(cid:160) li¶n tục đồng bậc. Hơn nữa, ta c(cid:226) }) ({∫

(cid:31) (fQ(cid:11)(fn)(t)g) = (cid:31) (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)(t (cid:0) s)fn(s)ds

∫

(cid:20) 4 (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥(cid:31) (cid:1) (cid:31) (ffn(s)g) ds

= 0;

do Mệnh đề 1.5. Như vậy fQ(cid:11)(fn)(t)g l(cid:160) một tập tiền compact, với mỗi t 2 [0; T ]. (cid:129)p dụng Định l‰ Arzel(cid:160)-Ascoli, fQ(cid:11)(fn)g l(cid:160) tiền compact trong

C([0; T ]; X).

Khẳng định cuối c(cid:242)ng được chứng minh như sau. Sử dụng bất đẳng thức H(cid:4)older, ta c(cid:226) Q(cid:11) : Lp(0; T ; X) ! C([0; T ]; X) l(cid:160) bị chặn, suy ra n(cid:226) li¶n tục. Do

đ(cid:226), n(cid:226) li¶n tục theo t(cid:230)p(cid:230) yếu (xem [15, Định l‰ 3.10]), tức l(cid:160) Q(cid:11)(fn) ⇀ Q(cid:11)(f ) trong C([0; T ]; X). Từ t‰nh tiền compact của fQ(cid:11)(fn)g, ta c(cid:226) sự hội tụ n(cid:160)y l(cid:160)

mạnh trong C([0; T ]; X). Định l‰ được chứng minh.

4.3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TR(cid:150)N NỬA TRỤC

Trong mục n(cid:160)y, ta x†t ϱ(t) = e(cid:14)t với (cid:14) > 0. Với b(cid:160)i to¡n (4.1)-(4.3), x†t c¡c

giả thiết:

( A) C0-nửa nh(cid:226)m fW (t)gt(cid:21)0 sinh bởi A l(cid:160) li¶n tục theo chuẩn v(cid:160) bị chặn

to(cid:160)n cục, tức l(cid:160)

∥W (t)x∥ (cid:20) MA∥x∥; 8t (cid:21) 0; x 2 X:

( F) Th(cid:160)nh phần phi tuyến F : R+ (cid:2) X (cid:2) C([(cid:0)h; 0]; X) ! P(X) thỏa m¢n:

1) ¡nh xạ đa trị (v; w) 7! F (t; v; w) l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n với mỗi t 2 R+;

2) ¡nh xạ đa trị t 7! F (t; u(t); ut) c(cid:226) h(cid:160)m chọn đo được mạnh với mỗi

u 2 P Cϱ;

loc(R+) thỏa m¢n

3) tồn tại h(cid:160)m m 2 Lp

∥F (t; v; w)∥ = supf∥(cid:24)∥ : (cid:24) 2 F (t; v; w)g (cid:20) m(t)(∥v∥+∥w∥h);

với mọi (t; v; w) 2 R+ (cid:2) X (cid:2) C([(cid:0)h; 0]; X);

loc(R+) sao cho

4) nếu W ((cid:1)) kh(cid:230)ng compact, tồn tại k 2 Lp

[ ]

t2[(cid:0)h;0]

(cid:31)(F (t; V; W )) (cid:20) k(t) (cid:31)(V ) + sup (cid:31)(W (t)) ;

với hầu khắp t 2 R+, v(cid:160) mọi tập bị chặn V (cid:26) X; W (cid:26) C([(cid:0)h; 0]; X).

( G) H(cid:160)m g : P Cϱ ! C([(cid:0)h; 0]; X) li¶n tục v(cid:160) thỏa m¢n

1) ∥g(u)∥h (cid:20) (cid:9)g(∥u∥ϱ) với mọi u 2 P Cϱ, trong đ(cid:226) (cid:9)g l(cid:160) một h(cid:160)m

thực x¡c định tr¶n R+;

2) tồn tại số kh(cid:230)ng ¥m (cid:17) thỏa m¢n (cid:31)h(g(D)) (cid:20) (cid:17)(cid:1)(cid:31)1(D) với mọi tập bị chặn D (cid:26) P Cϱ, trong đ(cid:226) (cid:31)h l(cid:160) độ đo Hausdorff trong C([(cid:0)h; 0]; X).

( I) H(cid:160)m Ik : X ! X; k 2 (cid:3); li¶n tục v(cid:160) thỏa m¢n:

k2(cid:3) lk < 1 v(cid:160)

∑ 1) tồn tại d¢y số thực kh(cid:230)ng ¥m flkgk2(cid:3) sao cho

∥Ik(x)∥ (cid:20) lk ∥x∥; với mọi x 2 X; k 2 (cid:3):

2) Tồn tại d¢y số thực kh(cid:230)ng ¥m f(cid:22)kgk2(cid:3) sao cho

(cid:31)(Ik(B)) (cid:20) (cid:22)k(cid:31)(B);

với mọi tập bị chặn B (cid:26) X;

3) D¢y ftk : k 2 (cid:3)g thỏa m¢n inf k2(cid:3)(tk+1 (cid:0) tk) > 0.

F (u) = ff 2 Lp P p

loc(R+; X) : f (t) 2 F (t; u(t); ut) hầu khắp t 2 R+g:

Với u 2 P Cϱ, đặt

Định nghĩa 4.1. H(cid:160)m u : [(cid:0)h; +1) ! X được gọi l(cid:160) một nghiệm t‰ch ph¥n

của b(cid:160)i to¡n (4.1)-(4.3) nếu u(t) + g(u)(t) = φ(t) với t 2 [(cid:0)h; 0], v(cid:160) tồn tại

F (u) sao cho

f 2 P p

∑

u(t) = S(cid:11)(t)[φ(0) (cid:0) g(u)(0)] + S(cid:11)(t (cid:0) tk)Ik(u(tk))

+ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)(t (cid:0) s)f (s)ds;

với t > 0.

Với φ 2 C([(cid:0)h; 0]; X) cho trước, đặt F : P Cϱ ! P(P Cϱ) l(cid:160) ¡nh xạ đa trị

x¡c định bởi 8

φ(t) (cid:0) g(u)(t); t 2 [(cid:0)h; 0];

∑ F(u)(t) = S(cid:11)(t (cid:0) tk)Ik(u(tk))

F (u)

0 (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)(t (cid:0) s)f (s)ds : f 2 P p

} S(cid:11)(t)[φ(0) (cid:0) g(u)(0)] + {∫ >>>>>< >>>>>: + ; t > 0:

Khi đ(cid:226), u l(cid:160) một nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n (4.1)-(4.3) nếu v(cid:160) chỉ nếu n(cid:226)

l(cid:160) một điểm bất động của to¡n tử nghiệm F.

Đầu ti¶n, để kiểm tra t‰nh đ(cid:226)ng của F, ta chứng minh bổ đề sau đ¥y.

loc(R+; X) với f (cid:3) 2 P p

F (vn) th… fn ⇀ f (cid:3) trong L1

F (v(cid:3)).

Bổ đề 4.2. Giả sử rằng (F) thỏa m¢n. Nếu fvng (cid:26) P Cϱ với vn ! v(cid:3) v(cid:160) fn 2 P p

Chứng minh. X†t fvng (cid:26) P Cϱ m(cid:160) vn ! v(cid:3); fn 2 P p F (vn). Ta c(cid:226) ffn(t)g (cid:26) C(t) := F (t; fvn(t); (vn)tg), l(cid:160) một tập compact với hầu khắp t 2 R+, do giả thiết (F)(1). Với T > 0 cho trước, từ giả thiết (F)(3), ta c(cid:226) ffnj[0;T ]g bị chặn bởi một h(cid:160)m Lp-khả t‰ch. Theo [33, Hệ quả 3.3], ffng l(cid:160) tập compact yếu trong Lp(0; T ; X). Do đ(cid:226), c(cid:226) thể giả sử fn ⇀ f 1(cid:3) 2 Lp(0; T ; X). (cid:129)p dụng Bổ đề Mazur (xem [15]), tồn tại d¢y ~fn 2 coffi : i (cid:21) ng sao cho ~fn ! f 1(cid:3) trong Lp(0; T ; X). V… vậy ~fn(t) ! f 1(cid:3)(t) hầu khắp t 2 [0; T ]. Do F nhận gi¡ trị compact v(cid:160) F (t; (cid:1); (cid:1)) l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n, ta c(cid:226) với ϵ > 0

t ) + Bϵ

F (t; vn(t); (vn)t) (cid:26) F (t; v(cid:3)(t); v(cid:3)

với mọi n đủ lớn, ở đ¥y Bϵ l(cid:160) h…nh cầu trong X c(cid:226) t¥m ở gốc tọa độ v(cid:160) b¡n

k‰nh ϵ. Vậy

t ) + Bϵ; hầu khắp t 2 [0; T ]:

fn(t) 2 F (t; v(cid:3)(t); v(cid:3)

t ) + Bϵ, bao h(cid:160)m thức tr¶n vẫn đ(cid:243)ng khi thay fn(t) t ) + Bϵ với hầu khắp t 2 [0; T ]. Do ϵ l(cid:160) bất t ) với hầu khắp t 2 [0; T ].

Do t‰nh lồi của F (t; v(cid:3)(t); v(cid:3) bởi ~fn(t). Vậy, f 1(cid:3)(t) 2 F (t; v(cid:3)(t); v(cid:3) kỳ, ta thu được f 1(cid:3)(t) 2 F (t; v(cid:3)(t); v(cid:3)

Lặp lại l‰ luận ở tr¶n cho t 2 [(j (cid:0) 1)T; jT ]; j = 1; 2; ::: ta c(cid:226) fn ⇀ f j(cid:3) trong t ) với hầu khắp t 2 [(j (cid:0) 1)T; jT ].

loc(R+; X) như sau

Lp((j (cid:0) 1)T; jT ; X) với f j(cid:3)(t) 2 F (t; v(cid:3)(t); v(cid:3) Ta x¡c định f (cid:3) 2 Lp

f (cid:3)(t) = f j(cid:3)(t) nếu t 2 [(j (cid:0) 1)T; jT ];

ta c(cid:226) được điều phải chứng minh.

B¥y giờ, ta sẽ chứng minh t‰nh đ(cid:226)ng của to¡n tử nghiệm.

Bổ đề 4.3. Giả sử rằng (A), (F), (G) v(cid:160) (I) thỏa m¢n. Khi đ(cid:226), to¡n tử

nghiệm F l(cid:160) đ(cid:226)ng.

F (vn) sao cho 8

Chứng minh. X†t fvng (cid:26) P Cϱ l(cid:160) một d¢y hội tụ tới v(cid:3) v(cid:160) zn 2 F(vn) sao cho zn ! z(cid:3). Ta sẽ chứng minh z(cid:3) 2 F(v(cid:3)). Từ định nghĩa của F, ta lấy fn 2 P p

∑ (4.10) S(cid:11)(t (cid:0) tk)Ik(vn(tk)) zn(t) =

>>>>>< φ(t) (cid:0) g(vn)(t); t 2 [(cid:0)h; 0]; S(cid:11)(t)[φ(0) (cid:0) g(vn)(0)] + >>>>>: +Q(cid:11)(fn)(t); t > 0;

trong đ(cid:226) Q(cid:11) đ¢ được định nghĩa trong (4.9). Từ Bổ đề 4.2, fn ⇀ f (cid:3) trong

F (v(cid:3)). Ta sẽ chứng minh

φ(t) (cid:0) g(v(cid:3))(t); t 2 [(cid:0)h; 0];

loc(R+; X) với f (cid:3) 2 P p Lp 8 >>>>>< >>>>>:

∑ z(cid:3)(t) = (4.11) S(cid:11)(t)[φ(0) (cid:0) g(v(cid:3))(0)] + S(cid:11)(t (cid:0) tk)Ik(v(cid:3)(tk))

+Q(cid:11)(f (cid:3))(t); t > 0:

Với t 2 [(cid:0)h; 0], do g li¶n tục, ta c(cid:226) ngay điều cần chứng minh. Với t > 0, lấy

T > 0 sao cho t (cid:20) T , l‰ luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 4.2, ta c(cid:226) d¢y ffnj[0;T ]g l(cid:160) nửa compact. (cid:129)p dụng Mệnh đề 4.2, Q(cid:11)(fn) ! Q(cid:11)(f (cid:3)) trong C([0; T ]; X) v(cid:160) Q(cid:11)(fn)(t) ! Q(cid:11)(f (cid:3))(t) trong X. Do t‰nh li¶n tục của g

v(cid:160) Ik, chuyển qua giới hạn trong (4.10) ta thu được (4.11). Định l‰ được chứng

minh.

Từ đ¥y, ta sẽ chứng minh t‰nh n†n của to¡n tử nghiệm.

Bổ đề 4.4. Giả thiết như trong Bổ đề 4.3. Nếu

∫ ∑

k2(cid:3)

ℓ := (cid:17)MA + MA (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥(cid:31)k(s)ds < 1; (4.12) (cid:22)k + 8 sup t(cid:21)0

ta c(cid:226)

(cid:31)1(F(D)) (cid:20) ℓ (cid:1) (cid:31)1(D);

với mọi tập bị chặn D (cid:26) P Cϱ.

Chứng minh. X†t D (cid:26) P Cϱ l(cid:160) một tập bị chặn. Với v 2 D, ta biểu diễn

F(v) = F1(v) + F2(v) + F3(v), trong đ(cid:226)

8 >< t > 0; S(cid:11)(t)[φ(0) (cid:0) g(v)(0)]; F1(v)(t) =

φ(t) (cid:0) g(v)(t); t 2 [(cid:0)h; 0];

∑ >: 8 >>< t > 0; S(cid:11)(t (cid:0) tk)Ik(v(tk)); F2(v)(t) =

t 2 [(cid:0)h; 0];

F (v)(t);

>>: 0; 8 >< t > 0; Q(cid:11) ◦ P p F3(v)(t) = >: t 2 [(cid:0)h; 0]: 0;

Từ t‰nh chất nửa cộng t‰nh đại số của (cid:31)1, ta c(cid:226)

(cid:31)1(F(D)) (cid:20) (cid:31)1(F1(D)) + (cid:31)1(F2(D)) + (cid:31)1(F3(D)):

Với z1; z2 2 F1(D), tồn tại u1; u2 2 D để 8 >< t (cid:21) 0; S(cid:11)(t)[φ(0) (cid:0) g(u1)(0)]; z1(t) =

t 2 [(cid:0)h; 0] φ(t) (cid:0) g(u1)(t);

>: 8 >< t (cid:21) 0; S(cid:11)(t)[φ(0) (cid:0) g(u2)(0)]; z2(t) = >: t 2 [(cid:0)h; 0]: φ(t) (cid:0) g(u2)(t);

Do đ(cid:226)

8 >< t (cid:21) 0; ∥S(cid:11)(t)∥∥g(u1) (cid:0) g(u2)∥h; ∥z1(t) (cid:0) z2(t)∥ (cid:20) >: t 2 [(cid:0)h; 0]: ∥g(u1) (cid:0) g(u2)∥h;

Ta thu được

jjz1 (cid:0) z2jj(cid:26) (cid:20) MA∥g(u1) (cid:0) g(u2)∥h:

Vậy

(cid:31)PC(F1(D)) (cid:20) MA(cid:31)h(g(D)):

(cid:129)p dụng (G)(2), ta c(cid:226)

(4.13) (cid:31)1(F1(D)) (cid:20) (cid:17)MA (cid:31)1(D):

B¥y giờ, ta x†t z1; z2 2 F2(D), khi đ(cid:226) tồn tại u1; u2 2 D thỏa m¢n

∑

z1(t) (cid:0) z2(t) = S(cid:11)(t (cid:0) tk)[Ik(u1(tk)) (cid:0) Ik(u2(tk))]:

Do đ(cid:226) ∑

k2(cid:3)

jjz1 (cid:0) z2jj(cid:26) (cid:20) MA jjIk(u1(tk)) (cid:0) Ik(u2(tk))jj:

Vậy

∑

k2(cid:3) ∑

(cid:31)1(F2(D)) (cid:20) MA (cid:31)(Ik(D(tk)))

k2(cid:3)

(cid:22)k(cid:31)(D(tk))

k2(cid:3)

) (cid:20) MA ( ∑ (cid:20) (cid:31)1(D); (4.14) MA (cid:22)k

do giả thiết (I)(2).

F (D)j[0;T ] bị chặn Lp(0; T ; X), do đ(cid:226)

X†t F3(D), ta c(cid:226) Ω = P p

(cid:25)T (F3(D)) = Q(cid:11)(Ω);

v(cid:160) ta c(cid:226) đ¡nh gi¡

∫

(4.15) (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥(cid:31) (cid:1) (cid:31)(Ω(s))ds; (cid:31)P C((cid:25)T (F3(D))) (cid:20) 4 sup t2[0;T ]

do Mệnh đề 4.2. Từ (F)(4), ta c(cid:226)

(cid:31)(Ω(s)) (cid:20) (cid:31)(F (s; D(s); Ds))

r2[(cid:0)h;0]

(cid:20) k(s)[(cid:31)(D(s)) + sup (cid:31)(D(s + r))]

(cid:20) 2k(s)(cid:31)P C((cid:25)T (D)):

Thế v(cid:160)o (4.15), ta thu được

( ) (cid:31)P C((cid:25)T (F3(D))) ∫

t2[0;T ]

(cid:20) 8 sup (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥(cid:31)k(s)ds (cid:31)P C((cid:25)T (D)):

Do đ(cid:226)

( ) ∫

(cid:31)1(D): (4.16) (cid:31)1(F3(D)) (cid:20) (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥(cid:31)k(s)ds 8 sup t(cid:21)0

Kết hợp (4.13)-(4.14) v(cid:160) (4.16), ta thu được

(cid:31)1(F(D)) (cid:20) ℓ (cid:1) (cid:31)1(D); (4.17)

trong đ(cid:226) ℓ được x¡c định bởi (4.12). Định l‰ được chứng minh.

(cid:27)t

Bổ đề 4.5. Giả thiết như trong Bổ đề 4.3. Giả sử ∫

m(s)ds < 1; (4.18) ∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥ ϱ(t (cid:0) s) # := sup t>0 ∫

(cid:27)t

m(s)ds < 1; (4.19) (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥ ϱ(t (cid:0) s) (cid:20) := sup t>0

với (cid:27) 2 (0; 1), khi đ(cid:226)

d1(F(D)) (cid:20) 2(cid:20) (cid:1) d1(D); (4.20)

với mọi tập bị chặn D (cid:26) P Cϱ.

Chứng minh. X†t D (cid:26) P Cϱ l(cid:160) một tập bị chặn. Sử dụng ph¥n t‰ch F = F1 + F2 + F3 như trong chứng minh Bổ đề 4.4, ta sẽ chứng minh

d1(F1(D)) = d1(F2(D)) = 0:

Với ϵ > 0 cho trước, ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại T > 0 sao cho

< ϵ; 8t (cid:21) T; v 2 D; i = 1; 2: ∥Fi(v)(t)∥ ϱ(t)

Chọn R > 0 thỏa m¢n supf∥v∥ϱ : v 2 Dg (cid:20) R, ta c(cid:226), với t > 0

(cid:20) (∥φ∥h + ∥g(v)∥h) ∥F1(v)(t)∥ ϱ(t) ∥S(cid:11)(t)∥ ϱ(t)

(∥φ∥h + (cid:9)g(∥v∥ϱ))

(cid:20) (∥φ∥h + (cid:9)g(R)) (cid:20) MA ϱ(t) ∥S(cid:11)(t)∥ ϱ(t)

< ϵ; for all t (cid:21) T1; 8v 2 D;

∥S(cid:11)(t)∥ ϱ(t)

do ! 0 khi t ! +1.

X†t F2, chọn N0 2 (cid:3) sao cho

k>N0

∑ : (4.21) RMA lk < ϵ 2

Chọn T2 > 0 thỏa m¢n

k(cid:20)N0

∑ R (4.22) lk < ; 8t (cid:21) T2: ∥S(cid:11)(t)∥ ϱ(t) ϵ 2

Khi đ(cid:226) với mỗi v 2 D, từ (I)(2) ta c(cid:226)

∑

k2(cid:3) ∑

∥S(cid:11)(t (cid:0) tk)∥∥Ik(v(tk))∥ ∥F2(v)(t)∥ ϱ(t)

k2(cid:3) ∑

∥S(cid:11)(t (cid:0) tk)∥lk∥v(tk)∥ (cid:20) 1 ϱ(t) (cid:20) 1 ϱ(t)

∑

k(cid:20)N0

k>N0

∥S(cid:11)(t (cid:0) tk)∥lk + lk (cid:20) R ϱ(t) RMA ϱ(t)

k>N0

∑ ∑ (cid:20) R lk + RMA lk ∥S(cid:11)(t (cid:0) tk)∥ ϱ(t (cid:0) tk)

k(cid:20)N0 ϵ 2

+ < = ϵ; 8t (cid:21) T2 + tN0: ϵ 2

do (4.21)-(4.22) v(cid:160) ϱ((cid:1)) l(cid:160) kh(cid:230)ng giảm, ϱ(t) (cid:21) 1; 8t (cid:21) 0.

F (v)

B¥y giờ, ta sẽ đ¡nh gi¡ d1(F3(D)). Lấy z 2 F3(v); v 2 D. Chọn f 2 P p

sao cho ∫

z(t) = (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)(t (cid:0) s)f (s)ds; t > 0;

ta c(cid:226) ∫

0 (∫

(cid:27)t

(cid:20) ds ∥z(t)∥ ϱ(t) ∥f (s)∥ ϱ(s) ∫ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥ ϱ(t (cid:0) s) ) t (cid:20) + (cid:2)(t; s)ds; (4.23)

trong đ(cid:226)

(cid:2)(t; s) = ; (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥m(s) ϱ(t (cid:0) s) ∥v(s)∥ + ∥vs∥h ϱ(s)

do (G)(1) v(cid:160) (F)(3). Lấy t > 0 sao cho (cid:27)t (cid:0) h > 0. Ta c(cid:226), với s 2 [0; (cid:27)t],

(cid:28) 2[(cid:0)h;0]

(∥v(s)∥ + sup ∥v(s + (cid:28) )∥) = ∥v(s)∥ + ∥vs∥h ϱ(s)

(∥v(s)∥ + sup ∥v((cid:28) )∥) 1 ϱ(s) (cid:20) 1 ϱ(s) ∥v((cid:28) )∥ + sup (cid:28) 2[0;s]

(cid:28) 2[(cid:0)h;0]

(cid:20) sup ∥v((cid:28) )∥ + ∥v((cid:28) )∥)

(cid:28) 2[(cid:0)h;0] 1 ϱ(s) ∥v(s)∥ ϱ(s)

(cid:28) 2[(cid:0)h;0]

(cid:20) sup ∥v((cid:28) )∥ + (∥v(s)∥ + sup (cid:28) 2[0;s] ∥v((cid:28) )∥ ϱ((cid:28) ) + sup (cid:28) 2[0;s]

(cid:20) 2R:

(cid:27)t

Do đ(cid:226) ∫ ∫

m(s)ds (cid:2)(t; s)ds (cid:20) 2R

∫ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥ ϱ(t (cid:0) s) (cid:27)t (cid:20) m(s)ds ∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥ ϱ(t (cid:0) s)

0 2R [(1 (cid:0) (cid:27))t]1(cid:0)(cid:11) 2R# [(1 (cid:0) (cid:27))t]1(cid:0)(cid:11) ;

(cid:20) (4.24)

trong đ(cid:226) # được cho trong (4.18). Mặt kh¡c, với s (cid:21) (cid:27)t ta c(cid:226)

(cid:28) 2[(cid:0)h;0]

(∥v(s)∥ + sup ∥v(s + (cid:28) )∥) = ∥v(s)∥ + ∥vs∥h ϱ(s)

(cid:28) 2[(cid:0)h;0]

(cid:20) + sup 1 ϱ(s) ∥v(s)∥ ϱ(s)

r(cid:21)(cid:27)t(cid:0)h

+ sup (cid:20) 2 sup : ∥v(s + (cid:28) )∥ ϱ(s + (cid:28) ) ∥v(r)∥ ϱ(r) ∥v(r)∥ ϱ(r) ∥v(r)∥ ϱ(r) (cid:20) sup r(cid:21)(cid:27)t

) Khi đ(cid:226) ∫ (∫

r(cid:21)(cid:27)t(cid:0)h

(cid:27)t

(cid:2)(t; s)ds (cid:20) m(s)ds 2 sup (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥ ϱ(t (cid:0) s) ∥v(r)∥ ϱ(r)

r(cid:21)(cid:27)t(cid:0)h

(cid:20) 2(cid:20) sup ; (4.25) ∥v(r)∥ ϱ(r)

trong đ(cid:226) (cid:20) được định nghĩa trong (4.19). (cid:129)p dụng c¡c đ¡nh gi¡ (4.24)-(4.25)

v(cid:160)o (4.23), ta c(cid:226)

r(cid:21)(cid:27)t(cid:0)h

2R# (cid:20) ; ∥z(t)∥ ϱ(t) [(1 (cid:0) (cid:27))t]1(cid:0)(cid:11) + 2(cid:20) sup ∥v(r)∥ ϱ(r)

(cid:27) , v 2 D; z 2 F3(v). Từ bất đẳng thức cuối suy ra

với mọi t > h

d1(F3(D)) (cid:20) 2(cid:20) (cid:1) d1(D):

Bổ đề được chứng minh.

Kết hợp c¡c Bổ đề 4.4 v(cid:160) 4.5, ta thu được bổ đề sau.

(cid:27)t

Bổ đề 4.6. Giả sử rằng (A), (F), (G) v(cid:160) (I) thỏa m¢n. Khi đ(cid:226), to¡n tử nghiệm F l(cid:160) (cid:31)(cid:3)-n†n với điều kiện ∫ ∑ (4.26) ℓ = (cid:17)MA + MA (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥(cid:31)k(s)ds < 1; (cid:22)k + 8 sup t(cid:21)0 ∫

k2(cid:3) ∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥ ϱ(t (cid:0) s)

m(s)ds < 1; (4.27) # = sup t>0 ∫

(cid:27)t

m(s)ds < ; (4.28) (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥ ϱ(t (cid:0) s) 1 2 (cid:20) = sup t>0

với (cid:27) 2 (0; 1).

Chứng minh. Từ Mệnh đề 4.4 v(cid:160) 4.5, với mọi tập bị chặn D (cid:26) P Cϱ, ta c(cid:226)

(cid:31)1(F(D)) + d1(F(D)) (cid:20) maxfℓ; 2(cid:20)g (cid:1) ((cid:31)1(D) + d1(D)):

Vậy

(cid:31)(cid:3)(F(D)) (cid:20) maxfℓ; 2(cid:20)g (cid:1) (cid:31)(cid:3)(D):

Nếu (cid:31)(cid:3)(F(D)) (cid:21) (cid:31)(cid:3)(D) th… (cid:31)(cid:3)(D) (cid:20) maxfℓ; 2(cid:20)g (cid:1) (cid:31)(cid:3)(D), như vậy (cid:31)(cid:3)(D) = 0 do maxfℓ; 2(cid:20)g < 1. Khi đ(cid:226) D l(cid:160) tập compact tương đối.

Định l‰ 4.1. Giả thiết như trong Bổ đề 4.6. Giả sử

∑

k2(cid:3) ∫

+ MA lk (1 + MA) lim inf r!+1 (cid:9)g(r) r (4.29)

ds < 1; (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥m(s) ϱ(t (cid:0) s) + 2 sup t>0

khi đ(cid:226), b(cid:160)i to¡n (4.1)-(4.3) c(cid:226) ‰t nhất một nghiệm t‰ch ph¥n trong P Cϱ.

Chứng minh. Từ Bổ đề 4.3, ta c(cid:226) F l(cid:160) đ(cid:226)ng. Hơn nữa, F l(cid:160) (cid:31)(cid:3)-n†n do Bổ đề 4.6. Ngo(cid:160)i ra, F nhận gi¡ trị compact. Thật vậy, với v 2 P Cϱ, ta c(cid:226)

(cid:31)(cid:3)(F(v)) (cid:20) maxfℓ; (cid:20)g (cid:1) (cid:31)(cid:3)(fvg) = 0:

Tức l(cid:160) (cid:31)(cid:3)(F(v)) = 0 v(cid:160) do đ(cid:226) F(v) l(cid:160) tập tiền compact do Bổ đề 4.1. Từ t‰nh đ(cid:226)ng của F, ta c(cid:226) F(v) l(cid:160) compact.

Để ¡p dụng Định l‰ 1.5, ta cÆn phải chứng minh rằng tồn tại R > 0 sao cho

F(BR) (cid:26) BR;

trong đ(cid:226) BR l(cid:160) h…nh cầu trong P Cϱ, t¥m tại gốc tọa độ, b¡n k‰nh R.

Đầu ti¶n, ta sẽ kiểm tra F(P Cϱ) (cid:26) P Cϱ. Lấy v 2 P Cϱ, th… d1(fvg) = 0.

F (vn) thỏa m¢n 8

Sử dụng (4.20), ta c(cid:226) d1(F(v)) = 0. Từ đ(cid:226) ta c(cid:226) F(v) (cid:26) P Cϱ.

φ(t) (cid:0) g(vn)(t); t 2 [(cid:0)h; 0]; ∑ S(cid:11)(t)[φ(0) (cid:0) g(vn)(0)] + S(cid:11)(t (cid:0) tk)Ik(vn(tk)) zn(t) =

0 (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)(t (cid:0) s)fn(s)ds; t > 0;

∫ B¥y giờ, ta sẽ chứng minh tồn tại R > 0 thỏa m¢n F(BR) (cid:26) BR. Giả sử ngược lại, với mỗi n 2 N, tồn tại vn 2 Bn v(cid:160) zn 2 F(vn) sao cho ∥zn∥ϱ > n. Chọn fn 2 P p >>>>>< >>>>>: +

ta thu được, với mọi t (cid:21) 0,

∑ (cid:20) [∥φ∥h + (cid:9)g(∥vn∥ϱ)] + lk ∥zn(t)∥ ϱ(t) ∥S(cid:11)(t (cid:0) tk)∥ ϱ(t (cid:0) tk) ∥vn(tk)∥ ϱ(tk) ∥S(cid:11)(t)∥ ϱ(t) ∫

+ m(s)ds; (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥ ϱ(t (cid:0) s) ∥vn(s)∥ + ∥(vn)s∥h ϱ(s)

(cid:20) MA; 8t (cid:21) 0;

(cid:20) n; 8s (cid:21) 0;

∥vn(s + (cid:28) )∥ nhờ c¡c giả thiết (G)(1), (I)(2) v(cid:160) (F)(3). Do ∥S(cid:11)(t)∥ ϱ(t) ∥vn(s)∥ ϱ(s) ∥(vn)s∥h ϱ(s) (cid:20) 1 ϱ(s)

(cid:28) 2[(cid:0)h;0]

(cid:20) sup ∥vn(s + (cid:28) )∥ sup (cid:28) 2[(cid:0)h;0] 1 ϱ(s + (cid:28) )

(cid:20) ∥vn∥ϱ (cid:20) n;

ta c(cid:226)

∑

(cid:20) MA(∥φ∥h + (cid:9)g(n)) + nMA lk ∥zn(t)∥ ϱ(t) ∫

k2(cid:3) (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥ ϱ(t (cid:0) s)

+ 2n m(s)ds:

( )

k2(cid:3)

1 < = Từ đ(cid:226), ta c(cid:226) ∥zn∥ϱ n ∥zn(t)∥ ϱ(t) ∥zn∥h + sup t>0 ∫ ∑ m(s)ds: + MA (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥ ϱ(t (cid:0) s) 1 n (cid:20) (1 + MA)(∥φ∥h + (cid:9)g(n)) n lk + 2 sup t>0

Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức cuối, ta thu được điều m¥u thuẫn với

(4.29). Định l‰ được chứng minh.

4.4. T(cid:157)NH ỔN ĐỊNH YẾU

Trong mục n(cid:160)y, để chứng minh t‰nh ổn định yếu của nghiệm kh(cid:230)ng, ta phải

thay c¡c giả thiết (A), (F) and (G) bởi c¡c giả thiết mạnh hơn:

( A*) Nửa nh(cid:226)m W ((cid:1)) sinh bởi A l(cid:160) li¶n tục theo chuẩn v(cid:160) ổn định mũ, tức l(cid:160)

tồn tại (cid:12) > 0 sao cho

∥W (t)x∥ (cid:20) MAe(cid:0)(cid:12)t∥x∥; 8t (cid:21) 0; x 2 X:

loc(R+).

( F*) H(cid:160)m phi tuyến đa trị F thỏa m¢n ( F) với m 2 L1(R+) \ Lp

( G*) H(cid:160)m kh(cid:230)ng cục bộ g thỏa m¢n ( G) với (cid:9)g(r) = (cid:23) (cid:1) r; 8r (cid:21) 0, ở đ¥y (cid:23) l(cid:160)

một hằng số dương.

Ta c(cid:226) mệnh đề sau đ¥y.

Mệnh đề 4.3. [5] Nếu giả thiết (A*) thỏa m¢n, th… c¡c to¡n tử giải thức S(cid:11)((cid:1)); P(cid:11)((cid:1)) l(cid:160) ổn định tiệm cận, tức l(cid:160)

∥S(cid:11)(t)∥; ∥P(cid:11)(t)∥ ! 0 khi t ! +1:

Như vậy, trong mục n(cid:160)y, chọn ϱ(t) (cid:17) 1 với mọi t (cid:21) 0, ta c(cid:226)

; ! 0 khi t ! +1: ∥S(cid:11)(t)∥ ϱ(t) ∥P(cid:11)(t)∥ ϱ(t)

X†t kh(cid:230)ng gian

u(t) = 0g; P C0 = fu 2 P C([(cid:0)h; +1); X) : lim t!+1

với chuẩn

∥u(t)∥: ∥u∥1 = sup t(cid:21)(cid:0)h

Khi đ(cid:226), PC0 l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach. X†t ¡nh xạ nghiệm F tr¶n PC0 v(cid:160) l‰

luận tương tự như trong Mục 4.3., ta chứng minh được sự tồn tại của nghiệm

h(cid:243)t to(cid:160)n cục như sau.

Định l‰ 4.2. Giả sử (A*), (F*), (G*) v(cid:160) (I) thỏa m¢n. Khi đ(cid:226), b(cid:160)i to¡n

(4.1)-(4.3) c(cid:226) nghiệm t‰ch ph¥n thỏa m¢n ∥u(t)∥ = o(1) khi t ! +1, với điều

kiện

k2(cid:3)

∫ ∑ (4.30) ℓ = (cid:17)MA + MA (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥(cid:31)k(s)ds < 1; (cid:22)k + 8 sup t(cid:21)0 ∫ ∑

k2(cid:3)

ϖ = (1 + MA)(cid:23) + MA (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥m(s)ds < 1: lk + 2 sup t>0

(4.31)

Chứng minh. Trong trường hợp n(cid:160)y, c¡c giả thiết của Bổ đề 4.6 v(cid:160) Định l‰ 4.1

đều thỏa m¢n. Do m 2 L1(R+), ta c(cid:226) điều kiện (4.27) thỏa m¢n. Hơn nữa, điều

kiện (4.28) được suy ra từ (4.31), trong khi điều kiện (4.31) ch‰nh l(cid:160) (4.29).

Như vậy, ta c(cid:226) ngay điều phải chứng minh.

Sau đ¥y l(cid:160) định l‰ ch‰nh của mục n(cid:160)y.

Định l‰ 4.3. Với c¡c giả thiết của Định l‰ 4.2 thỏa m¢n. Khi đ(cid:226), nghiệm kh(cid:230)ng

của b(cid:160)i to¡n (4.1)-(4.3) l(cid:160) ổn định tiệm cận yếu.

Chứng minh. Đặt (cid:6)(φ) l(cid:160) tập c¡c nghiệm t‰ch ph¥n của b(cid:160)i to¡n (4.1)-(4.3)

với điều kiện ban đầu φ. Ta thấy 0 2 (cid:6)(0) do F (t; 0; 0) = 0, g(0) = 0 v(cid:160) Ik(0) = 0; k 2 (cid:3). Từ Định l‰ 4.2 ta c(cid:226), với mỗi φ 2 C([(cid:0)h; 0]; X) tồn tại u 2 (cid:6)(φ) sao cho ∥u(t)∥ ! 0 khi t ! +1. Do đ(cid:226), ta c(cid:226) ∥ut∥h ! 0 khi t ! +1, tức l(cid:160) nghiệm kh(cid:230)ng l(cid:160) h(cid:243)t yếu. Như vậy, ta cÆn phải chứng minh

rằng nghiệm n(cid:160)y l(cid:160) ổn định.

F (u) sao cho

X†t φ 2 C([(cid:0)h; 0]; X) v(cid:160) u 2 (cid:6)(φ), khi đ(cid:226), tồn tại f 2 P p

u(t) = φ(t) (cid:0) g(u)(t); t 2 [(cid:0)h; 0]; ∑

u(t) = S(cid:11)(t)[φ(0) (cid:0) g(u)(0)] + S(cid:11)(t (cid:0) tk)I(u(tk))

∫

+ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)(t (cid:0) s)f (s)ds; t > 0:

Sử dụng c¡c giả thiết (F*), (G*) v(cid:160) (I), ta c(cid:226)

∥u(t)∥ (cid:20) ∥φ∥h + (cid:23)∥u∥1; t 2 [(cid:0)h; 0]; ∑

k2(cid:3) ∫ t

∥u(t)∥ (cid:20) MA(∥φ∥h + (cid:23)∥u∥1) + MA∥u∥1 lk

(t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥m(s)ds; t > 0; + 2∥u∥1 sup t>0

k2(cid:3)

trong đ(cid:226) ∥ (cid:1) ∥1 l(cid:160) chuẩn trong P C0. Từ c¡c ước lượng n(cid:160)y, ta c(cid:226) [ ∫ ∑ ∥u∥1 (cid:20) ] ∥u∥1 (1 + MA)(cid:23) + MA (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥m(s)ds lk + 2 sup t>0

+ (1 + MA)∥φ∥h:

Do đ(cid:226)

∥φ∥h; 8t > 0; ∥ut∥h (cid:20) ∥u∥1 (cid:20) 1 + MA 1 (cid:0) ϖ

trong đ(cid:226) ϖ được cho trong (4.31). Bất đẳng thức cuối n(cid:160)y cho ta t‰nh ổn định

của nghiệm kh(cid:230)ng. Như vậy, định l‰ được chứng minh.

4.5. (cid:129)P DỤNG

Ở mục n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i ¡p dụng c¡c kết quả trừu tượng đạt được ở tr¶n cho một

hệ vi ph¥n lưới

(4.32) d(cid:11) dt(cid:11) ui(t) = (Au(t))i + fi(t); t > 0; t ̸= tk; k 2 N;

(4.33) fi(t) 2 [f1i(t; ui(t); ui(t (cid:0) (cid:26)(t))); f2i(t; ui(t); ui(t (cid:0) (cid:26)(t)))];

N∑

(4.34) ∆ui(tk) = Iik(ui(tk));

j=1

(4.35) ui(s) + cjui((cid:28)j + s) = φi(s); s 2 [(cid:0)h; 0]; (cid:28)j > 0;

d(cid:11) dt(cid:11) l(cid:160) đạo h(cid:160)m theo nghĩa Caputo bậc trong đ(cid:226) u = (ui) : [(cid:0)h; +1) ! ℓ2, (cid:11) 2 (0; 1), A : ℓ2 ! ℓ2 l(cid:160) to¡n tử tuyến t‰nh x¡c định bởi

(Av)i = vi+1 (cid:0) (2 + (cid:21))vi + vi(cid:0)1; v 2 ℓ2;

i2Z v2

∑ c¡c d¢y (vi)i2Z thỏa m¢n ∑ v(cid:230) hướng (u; v)ℓ2 =

(cid:26) : R+ ! [0; h] l(cid:160) một h(cid:160)m li¶n tục, (cid:21) l(cid:160) một số dương. Ở đ¥y ℓ2 l(cid:160) kh(cid:230)ng gian i < 1, v(cid:160) l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Hilbert với t‰ch i2Z uivi, k‰ hiệu [f1; f2] = f(cid:28) f1 + (1 (cid:0) (cid:28) )f2 : (cid:28) 2 [0; 1]g. Hệ vi ph¥n dạng lưới như (4.32)-(4.35) xuất hiện trong nhiều b(cid:160)i to¡n thực

tiễn, v‰ dụ như xử l‰ ảnh, b(cid:160)i to¡n nhận dạng mẫu, kỹ thuật điện,... N(cid:226) cũng

c(cid:226) thể được coi như một m(cid:230) h…nh nửa rời rạc của bao h(cid:160)m thức đạo h(cid:160)m ri¶ng

bậc ph¥n số

@(cid:11) @t(cid:11) u(x; t) = @2 @x2 u(x; t) (cid:0) (cid:21)u(x; t) + f (x; t); x 2 R; t > 0;

f (x; t) 2 [f1(x; t; u(x; t); u(x; t (cid:0) (cid:26)(t))); f2(x; t; u(x; t); u(x; t (cid:0) (cid:26)(t)))];

j=1

∆u(x; tk) = Ik(x; u(x; tk)); N∑ u(x; s) + cju(x; (cid:28)j + s) = φ(x; s); s 2 [(cid:0)h; 0];

trong đ(cid:226) ta rời rạc h(cid:226)a biến x.

X†t B : ℓ2 ! ℓ2 l(cid:160) to¡n tử tuyến t‰nh định nghĩa bởi (Bv)i = vi+1 (cid:0) vi, th… B(cid:3) được x¡c định bởi (B(cid:3)v)i = vi(cid:0)1 (cid:0) vi. Hơn nữa, nếu ~A : ℓ2 ! ℓ2 được x¡c định bởi ( ~Av)i = vi+1 (cid:0) 2vi + vi(cid:0)1 th…

(cid:0) ~A = BB(cid:3) = B(cid:3)B:

Ta c(cid:226) A = ~A (cid:0) (cid:21)I l(cid:160) to¡n tử bị chặn tr¶n ℓ2. Do đ(cid:226) nửa nh(cid:226)m fetA : t (cid:21) 0g l(cid:160)

li¶n tục đều (xem [34]) v(cid:160) do đ(cid:226) n(cid:226) li¶n tục theo chuẩn. Tuy nhi¶n, nửa nh(cid:226)m

n(cid:160)y l(cid:160) kh(cid:230)ng compact, do n(cid:226) c(cid:226) thể mở rộng th(cid:160)nh nh(cid:226)m fetA : t 2 Rg v(cid:160) to¡n tử I = etAe(cid:0)tA l(cid:160) kh(cid:230)ng compact.

Để thu được kết quả ổn định mũ của fetA : t (cid:21) 0g, ta x†t hệ

= ~Av(t) (cid:0) (cid:21)v(t); v(t) 2 ℓ2: dv(t) dt

Nh¥n hai vế với v ta c(cid:226)

∥v(t)∥2 = ( ~Av(t); v(t)) (cid:0) (cid:21)∥v(t)∥2 1 2 d dt

= (cid:0)(B(cid:3)Bv(t); v(t)) (cid:0) (cid:21)∥v(t)∥2 = (cid:0)∥Bv(t)∥2 (cid:0) (cid:21)∥v(t)∥2

(cid:20) (cid:0)(cid:21)∥v(t)∥2:

(cid:129)p dụng Bổ đề Gronwall ta c(cid:226)

∥v(t)∥ (cid:20) e(cid:0)(cid:21)t∥v(0)∥;

v(cid:160) do đ(cid:226) ∥etA∥ (cid:20) e(cid:0)(cid:21)t; t (cid:21) 0, tức l(cid:160) nửa nh(cid:226)m fetA : t (cid:21) 0g l(cid:160) ổn định mũ.

Như vậy, giả thiết (A*) thỏa m¢n.

Trước khi x†t tới cấu tr(cid:243)c của hệ (4.32)-(4.35), ta nhắc lại về độ đo Haus- dorff trong ℓ2 (xem [10, Định l‰ 4.2]). Gọi Rn : ℓ2 ! ℓ2 l(cid:160) to¡n tử tuyến t‰nh

x¡c định bởi ∑

jij>n

Rn(v) = viei;

trong đ(cid:226) ei = ((cid:14)ij)j2Z. Khi đ(cid:226) (cid:31) : 2ℓ2 ! R+ được x¡c định bởi

] [ ) 1 ( ∑

jij>n

jvij2 (cid:31)(B) = lim sup n!+1 ∥Rn(v)∥] = lim sup n!+1 [sup v2B sup v2B

l(cid:160) độ đo Hausdorff trong ℓ2.

B¥y giờ ta x†t c¡c giả thiết

(N1) C¡c h(cid:160)m f1i; f2i : R+ (cid:2) R2 ! R; i 2 Z; li¶n tục v(cid:160) thỏa m¢n

maxfjf1i(t; y; z)j2; jf2i(t; y; z)j2g (cid:20) m2(t)(jyj2 +jzj2); 8(t; (cid:17); z) 2 R+ (cid:2)R2;

trong đ(cid:226) m 2 C(R+; R+) thỏa m¢n

m(t) (cid:20) Cm 1 + t(cid:11)+1 với Cm > 0:

(N2) C¡c h(cid:160)m Iik : R ! R, i 2 Z; k 2 N, l(cid:160) c¡c h(cid:160)m li¶n tục v(cid:160)

jIik(y)j (cid:20) lkjyj;

k2N lk < 1.

∑ với flk : k 2 Ng l(cid:160) một d¢y kh(cid:230)ng ¥m thỏa m¢n

X†t f1; f2 : R+ (cid:2) ℓ2 (cid:2) C([(cid:0)h; 0]; ℓ2) ! ℓ2 l(cid:160) c¡c h(cid:160)m được x¡c định như sau

f1(t; v; w) = (f1i(t; vi; wi((cid:0)(cid:26)(0))))i2Z;

f2(t; v; w) = (f2i(t; vi; wi((cid:0)(cid:26)(0))))i2Z:

Như vậy f1; f2 l(cid:160) li¶n tục. Hơn nữa, từ (N1) ta c(cid:226)

∑

i2Z

∥f1(t; v; w)∥2 = jf1i(t; vi; wi((cid:0)(cid:26)(0)))j2

i2Z

∑ (cid:20) m2(t) (jvij2 + jwi((cid:0)(cid:26)(0))j2)

= m2(t)(∥v∥2 + ∥w((cid:0)(cid:26)(0))∥2

s2[(cid:0)h;0]

(cid:20) m2(t)(∥v∥2 + sup ∥w(s)∥2):

Tương tự

s2[(cid:0)h;0]

∥w(s)∥2): ∥f2(t; v; w)∥2 (cid:20) m2(t)(∥v∥2 + sup

Đặt

F (t; v; w) = [f1(t; v; w); f2(t; v; w)]; v 2 ℓ2; w 2 C([(cid:0)h; 0]; ℓ2);

ta c(cid:226)

∥F (t; v; w)∥ (cid:20) m(t)(∥v∥ + ∥w∥h):

Mặt kh¡c, với mỗi (t; v; w) 2 R+ (cid:2) ℓ2 (cid:2) C([(cid:0)h; 0]; ℓ2), F (t; v; w) l(cid:160) một tập lồi, tức l(cid:160), F l(cid:160) h(cid:160)m đa trị với gi¡ trị lồi. Ngo(cid:160)i ra, F (t; v; w) (cid:26) spanff1(t; v; w); f2(t; v; w)g, tức l(cid:160) F (t; v; w) l(cid:160) một tập bị chặn nằm trong kh(cid:230)ng gian con hai chiều của ℓ2, do đ(cid:226) F (t; v; w) l(cid:160) compact. Do f1; f2 li¶n tục, h(cid:160)m đa trị (v; w) 7! F (t; v; w) đ(cid:226)ng. Điều n(cid:160)y k†o theo F (t; (cid:1); (cid:1)) l(cid:160) nửa li¶n tục tr¶n với mỗi t 2 R. Ch(cid:243) (cid:254) rằng với mỗi u 2 P C0, (cid:28) 2 [0; 1], h(cid:160)m

f (t) = (cid:28) f1(t; u(t); u(t (cid:0) (cid:26)(t))) + (1 (cid:0) (cid:28) )f2(t; u(t); u(t (cid:0) (cid:26)(t))); (cid:28) 2 [0; 1]

l(cid:160) đo được mạnh. Vậy, (F)(1)-(F)(3) thỏa m¢n.

B¥y giờ, ta đ¡nh gi¡ (cid:31)(F (t; V; W )) với V (cid:26) ℓ2; W (cid:26) C([(cid:0)h; 0]; ℓ2) l(cid:160) c¡c

tập bị chặn. Ta c(cid:226)

1 2

jij>n

0 1 ∑ @ A ∥Rn[f1(t; v; w)]∥ = jf1i(t; vi; wi((cid:0)(cid:26)(0)))j2 sup (v;w)2V (cid:2)V

1 2

jij>n 0

0 ∑ 1 ] A @ (cid:20) m(t) [ jvij2 + jwi((cid:0)(cid:26)(0))j2 sup (v;w)2V (cid:2)V

1 2

2 ]

jij>n

jij>n 1

1 0 1 [ ∑ ∑ @ A @ A + (cid:20) m(t) jwi((cid:0)(cid:26)(0))j2 jvij2 sup (v;w)2V (cid:2)V

1 2

2 ]

jij>n

1 0 0 [ ∑ ∑ @ A @ A (cid:20) m(t) jwi((cid:0)(cid:26)(0))j2 jvij2 + sup w2W sup v2V ] [

= m(t) : ∥Rn(w((cid:0)(cid:26)(0)))∥ sup v2V ∥Rn(v)∥ + sup w2W

Qua giới hạn bất đẳng thức cuối c(cid:242)ng, ta được

] (cid:31)(f1(t; V; W )) (cid:20) m(t)

s2[(cid:0)h;0]

[ (cid:31)(V ) + (cid:31)(W ((cid:0)(cid:26)(0))) [ (cid:31)(V ) + sup ] (cid:31)(W (s)) : (cid:20) m(t)

l‰ luận tương tự cho f2, ta c(cid:226)

s2[(cid:0)h;0]

[ (cid:31)(V ) + sup ] (cid:31)(W (s)) : (cid:31)(f2(t; V; W )) (cid:20) m(t)

Ta c(cid:226)

F (t; V; W ) (cid:26) coff1(t; V; W ) [ f2(t; V; W )g;

n¶n

(cid:31)(F (t; V; W )) (cid:20) (cid:31) (f1(t; V; W ) [ f2(t; V; W ))

(cid:20) maxf(cid:31) (f1(t; V; W )) ; (cid:31) (f2(t; V; W ))g

s2[(cid:0)h;0]

(cid:20) m(t) [ (cid:31)(V ) + sup ] (cid:31)(W (s)) :

Như vậy (F)(4) thỏa m¢n v(cid:160) như vậy (F*) cũng được thỏa m¢n với k = m.

Ta x†t Ik : ℓ2 ! ℓ2; k 2 N, x¡c định bởi

Ik(v) = (Iik(vi))i2Z:

Từ t‰nh li¶n tục của Iik suy ra t‰nh li¶n tục của Ik. Hơn nữa, từ (N2) ta c(cid:226)

( ( ) 1 ) 1 ∑ ∑

i2Z

∥Ik(v)∥ = jIik(vi)j2 (cid:20) lk jvij2

= lk∥v∥:

1 2

Do đ(cid:226) (I)(1) được thỏa m¢n. Với V (cid:26) ℓ2 l(cid:160) một tập bị chặn. Ta c(cid:226) 0 1 ∑ @ A jIik(vi)j2 sup v2V ∥Rn(Ik(v))∥ = sup v2V

jij>n 0

1 2

jij>n

1 ∑ A @ jvij2 ∥Rn(v)∥: (cid:20) lk sup v2V = lk sup v2V

Qua giới hạn bất đẳng thức cuối khi n ! +1, ta thu được

(cid:31)(Ik(V )) (cid:20) lk(cid:31)(V ):

Như vậy, giả thiết (I) thỏa m¢n với (cid:22)k = lk; k 2 N; với điều kiện infftk+1 (cid:0) tk : k 2 Ng > 0.

Đối với điều kiện kh(cid:230)ng cục bộ, x†t h(cid:160)m g : P C0 ! C([(cid:0)h; 0]; ℓ2) x¡c định

N∑

bởi

j=1

(g(u)(s))i = cjui((cid:28)j + s):

N∑

Từ đ(cid:226) ta c(cid:226), với u; v 2 P C0,

j=1 0

∥g(u)(s) (cid:0) g(v)(s)∥ (cid:20) jcjj∥u((cid:28)j + s) (cid:0) v((cid:28)j + s)∥

N∑

t2[(cid:0)h;(cid:28)N ]

j=1

@ (cid:20) A sup ∥u(t) (cid:0) v(t)∥: jcjj

N∑

Điều n(cid:160)y k†o theo 1 0

j=1

@ ∥g(u) (cid:0) g(v)∥h (cid:20) jcjj A ∥u (cid:0) v∥P C([(cid:0)h;(cid:28)N ];ℓ2):

N∑

Bất đẳng thức cuối n(cid:160)y cho ta 0 1

j=1

@ A ∥u∥1; ∥g(u)∥h (cid:20) jcjj

N∑

1 0

j=1

@ (cid:31)h(g(D)) (cid:20) jcjj

N∑

0 A (cid:31)P C((cid:25)T (D)); T = (cid:28)N ; 1

j=1

@ (cid:20) A (cid:31)1(D): jcjj

N j=1

∑ Do đ(cid:226) (G*) thỏa m¢n với (cid:17) = (cid:23) = jcjj.

Cuối c(cid:242)ng, ta đưa ra ước lượng cho t‰ch ph¥n ∫

I(t) = (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥m(s)ds:

(cid:0)((cid:11)) ; 8t (cid:21) 0.

Ch(cid:243) (cid:254) rằng trong trường hợp n(cid:160)y ∥etA∥ (cid:20) 1; do đ(cid:226) ∥P(cid:11)(t)∥ (cid:20) 1

Vậy ) ∫ (∫ t

t 2

0 ((

I(t) (cid:20) Cm (cid:0)((cid:11)) (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1 1 + s(cid:11)+1 ds ) ∫ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1 1 + s(cid:11)+1 ds + )(cid:11)(cid:0)1 ∫ t

t 2

0 )

(t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1ds )(cid:11)+1 t 2 ds 1 + s(cid:11)+1 + (cid:20) Cm (cid:0)((cid:11)) 1 + 1 ( t 2 (

; J(t) + (cid:20) Cm (cid:0)((cid:11)) 1 (cid:11)

trong đ(cid:226) ( )(cid:11)(cid:0)1 ∫ t

J(t) = t 2 ds 1 + s(cid:11)+1 :

t!+1

J(t) = lim J(t) = 0; lim t!0

100

ta c(cid:226) supt>0 J(t) < 1, vậy supt>0 I(t) < 1. Từ c¡c điều kiện (4.30)-(4.31) thỏa m¢n với c¡c hệ số Cm; lk; cj nhỏ, ta thu được t‰nh ổn định tiệm cận yếu

của nghiệm kh(cid:230)ng của hệ (4.32)-(4.35).

4.6. TRƯỜNG HỢP B(cid:128)I TO(cid:129)N ĐƠN TRỊ

Trong mục n(cid:160)y, ta x†t một trường hợp đặc biệt của b(cid:160)i to¡n (4.1)-(4.3), đ(cid:226) l(cid:160)

CD(cid:11)

khi h(cid:160)m F l(cid:160) h(cid:160)m đơn trị, k(cid:254) hiệu l(cid:160) f . Khi đ(cid:226), b(cid:160)i to¡n trở th(cid:160)nh

0 u(t) = Au(t) + f (t; u(t); ut); t ̸= tk; tk 2 (0; +1); k 2 (cid:3);

(4.36)

(4.37) ∆u(tk) = Ik(u(tk));

u(s) + g(u)(s) = φ(s); s 2 [(cid:0)h; 0]: (4.38)

Đối với b(cid:160)i to¡n đơn trị n(cid:160)y, ta chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm

ph¥n r¢ u 2 PC0 với c¡c điều kiện:

(Aa) Nửa nh(cid:226)m W ((cid:1)) sinh bởi A l(cid:160) li¶n tục theo chuẩn v(cid:160) ổn định mũ, tức l(cid:160)

tồn tại (cid:12) > 0 sao cho

∥W (t)x∥ (cid:20) MAe(cid:0)(cid:12)t∥x∥; 8t (cid:21) 0; x 2 X:

(Fa) f ((cid:1); v; w) đo được với mỗi v 2 X, f (t; (cid:1); (cid:1)) li¶n tục hầu khắp t 2 R+; f (t; 0; 0) =

(cid:11) thỏa m¢n

0, v(cid:160) tồn tại k 2 Lp(R+); p > 1

jjf (t; v1; w1) (cid:0) f (t; v2; w2)jj (cid:20) k(t)(jjv1 (cid:0) v2jj + jjw1 (cid:0) w2jjh); t 2 R+;

với mọi v1; v2 2 X; w1; w2 2 C([(cid:0)h; 0]; X).

(Ga) g l(cid:160) một h(cid:160)m li¶n tục thỏa m¢n g(0) = 0 v(cid:160) tồn tại số kh(cid:230)ng ¥m (cid:17) để

jjg(w1) (cid:0) g(w2)jj (cid:20) (cid:17)jjw1 (cid:0) w2jj1;

với mọi w1; w2 2 PC0.

101

( Ia ) Ik; k 2 (cid:3); li¶n tục, Ik(0) = 0 v(cid:160) tồn tại một d¢y f(cid:22)kg; k 2 (cid:3) thỏa m¢n

jjIk(x) (cid:0) Ik(y)jj (cid:20) (cid:22)kjjx (cid:0) yjj; với mọi x; y 2 X:

X†t to¡n tử nghiệm F tr¶n kh(cid:230)ng gian PC0, ¡p dụng nguy¶n l‰ ¡nh xạ co

Banach, ta c(cid:226) định l‰ sau về sự tồn tại v(cid:160) duy nhất nghiệm ph¥n r¢ của b(cid:160)i

to¡n (4.36)-(4.38).

k2(cid:3)

Định l‰ 4.4. Giả sử (A), (Fa), (Ga), (Ia) v(cid:160) (R) thỏa m¢n. Khi đ(cid:226), b(cid:160)i to¡n (4.36)-(4.38) c(cid:226) duy nhất nghiệm u 2 PC0, với điều kiện ∫ ( ) ∑ (4.39) (cid:17) + (cid:22)k (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥k(s)ds < 1: MA + 2 sup t(cid:21)0

Chứng minh. Để chứng minh định l‰ n(cid:160)y, ch(cid:243)ng ta sẽ sử dụng nguy¶n l‰ ¡nh xạ co Banach. Đầu ti¶n, ta chứng minh F giữ bất động PC0. Ở đ¥y, ta gọi

∑

F(u)(t) = S(cid:11)(t)[φ(0) (cid:0) g(u)(0)] + S(cid:11)(t (cid:0) tk)Ik(u(tk))

∫

+ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1P(cid:11)(t (cid:0) s)f (s; u(s); us)ds; t > 0:

Lấy u 2 PC0 m(cid:160) R = jjujj1 > 0. Ta sẽ chứng minh F(u) 2 PC0, tức l(cid:160), F(u)(t) ! 0, khi t ! +1.

Với ϵ > 0 cho trước, tồn tại T1 > 0 m(cid:160)

(4.40) jju(t)jj (cid:20) ϵ; 8t > T1;

(cid:28) 2[(cid:0)h;0]

(4.41) jjutjjh = sup jju(t + (cid:28) )jj (cid:20) ϵ; 8t > T1 + h:

k2(cid:3)

∑ Mặt kh¡c, từ giả thiết (cid:22)k < +1, tồn tại N0 2 N thỏa m¢n

∑

k>N0

(cid:22)k (cid:20) ϵ:

102

Do đ(cid:226), với t > 0,

k(cid:20)N0 ∑

jjF(u)(t)jj (cid:20) jjS(cid:11)(t)jj(jjφjjh + jjg(u)jjh) ∑ + jjS(cid:11)(t (cid:0) tk)jj jjIk(u(tk))jj

k>N0 ∫ t

+ jjS(cid:11)(t (cid:0) tk)jj jjIk(u(tk))jj

+ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1jjP(cid:11)(t (cid:0) s)jj jjf (s; u(s))jjds

k>N0

∑ (cid:20) jjS(cid:11)(t)jj(jjφjjh + (cid:17)R) ∑ + R jjS(cid:11)(t (cid:0) tk)jj (cid:22)k + RMA (cid:22)k

k(cid:20)N0 t

∫

+ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1jjP(cid:11)(t (cid:0) s)jj k(s) (jju(s)jj + jjusjjh)ds

= E1(t) + E2(t) + E3(t)

trong đ(cid:226)

E1(t) = jjS(cid:11)(t)jj(jjφjjh + (cid:17)R); ∑ ∑

k>N0

E2(t) = R jjS(cid:11)(t (cid:0) tk)jj (cid:22)k + RMA (cid:22)k;

k(cid:20)N0 t

∫

E3(t) = (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1jjP(cid:11)(t (cid:0) s)jj k(s) (jju(s)jj + jjusjjh)ds:

Từ giả thiết (Aa), tồn tại T2 > 0 thỏa m¢n

jjS(cid:11)(t)jj (cid:20) ϵ; jjP(cid:11)(t)jj (cid:20) ϵ; 8t > T2;

v… vậy

(4.42) E1(t) (cid:20) (1 + (cid:17))Rϵ; 8t > T2:

Ngo(cid:160)i ra, ta c(cid:226)

k(cid:20)N0

) ( ∑ (4.43) E2(t) (cid:20) (cid:22)k + MA Rϵ; 8t > T2 + tN0 :

103

T1+h

B¥y giờ, ta x†t E3(t), với t > T1 + h ta c(cid:226) ∫ ( ∫ )

T1+h

0 ∫

T1+h

+ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1jjP(cid:11)(t (cid:0) s)jj k(s) (jju(s)jj + jjusjjh)ds E3(t) =

(cid:20) 2R (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1jjP(cid:11)(t (cid:0) s)jj k(s)ds

∫

T1+h

+ 2ϵ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1jjP(cid:11)(t (cid:0) s)jj k(s)ds

T1+h

V… vậy, ∫

(t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1 k(s)ds E3(t) (cid:20) 2Rϵ

∫

T1+h

+ 2ϵ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1jjP(cid:11)(t (cid:0) s)jj k(s)ds

T1+h

0 ∫

với t > T2 + T1 + h. Khi đ(cid:226), ¡p dụng bất đẳng thức H(cid:4)older, ta c(cid:226) ( ∫ )1=p′( ∫ )1=p (t (cid:0) s)((cid:11)(cid:0)1)p′ ds (k(s))pds E3(t) (cid:20) 2Rϵ

T1+h

+ 2ϵ (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1jjP(cid:11)(t (cid:0) s)jj k(s)ds

( ) (cid:20) ϵ (4.44) 2RC(cid:11)(t) jjkjjLp(R+) + 1

, p p (cid:0) 1 với t > T2 + T1 + h, trong đ(cid:226) p′ = { [ ]}1=p′ ; C(cid:11)(t) = t((cid:11)(cid:0)1)p′+1 (cid:0) (t (cid:0) T1 (cid:0) h)((cid:11)(cid:0)1)p′+1 1 ((cid:11) (cid:0) 1)p′ + 1

đến đ¥y, ta sử dụng t‰nh chất ∫

T1+h

2 (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1jjP(cid:11)(t (cid:0) s)jj k(s)ds < 1

từ (4.39). Kết hợp (4.42), (4.43) v(cid:160) (4.44) cho ta

jjF(u)(t)jj (cid:20) Cϵ

g, trong đ(cid:226) với t > maxfT2 + T1 + h; T2 + tN0 ) ( ∑ C = (1 + (cid:17))R + (cid:22)k + MA R + 2RC(cid:11)(t) jjkjjLp(R+) + 1

k(cid:20)N0 ( ∑

)

k2(cid:3)

(cid:20) (1 + (cid:17))R + (cid:22)k + MA R + 2RC(cid:11)(t) jjkjjLp(R+) + 1:

104

; p′ < , ta thấy 0 < ((cid:11) (cid:0) 1)p′ + 1 < 1. Từ đ(cid:226) Với C(cid:11)(t), từ p > 1 (cid:11) 1 1 (cid:0) (cid:11) [ ( )((cid:11)(cid:0)1)p′+1] 1 (cid:0) 1 (cid:0) T1 + h t((cid:11)(cid:0)1)p′+1 (cid:0) (t (cid:0) T1 (cid:0) h)((cid:11)(cid:0)1)p′+1 = t((cid:11)(cid:0)1)p′+1 t

khi t ! 1: s [((cid:11) (cid:0) 1)p′ + 1](T1 + h)t((cid:11)(cid:0)1)p′

Do đ(cid:226) C(cid:11)(t) l(cid:160) bị chặn, v… vậy C cũng bị chặn. Từ đ(cid:226) suy ra F(PC0) (cid:26) PC0. Nhiệm vụ cÆn lại của ch(cid:243)ng ta l(cid:160) chứng minh F l(cid:160) ¡nh xạ co. Thật vậy,

với u; v 2 PC0, ta c(cid:226)

jjF(u)(t) (cid:0) F (v)(t)jj

(cid:20) jjS(cid:11)(t)jj jjg(u) (cid:0) g(v)jjh ∑ + jjS(cid:11)(t (cid:0) tk)jj jjIk(u(tk)) (cid:0) Ik(v(tk))jj

0 (cid:20) MA (cid:17)jju (cid:0) vjj1 +

( (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1jjP(cid:11)(t (cid:0) s)jj jjf (s; u(s); us) (cid:0) f (s; v(s); vs)jjds ) ∑ jju (cid:0) vjj1 MA (cid:22)k

( ∫

jju (cid:0) vjj1; + 2 ) (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1jjP(cid:11)(t (cid:0) s)jj k(s)ds

nhờ c¡c giả thiết (Fa), (Ga) v(cid:160) (Ia). Do đ(cid:226)

jjF(u) (cid:0) F (v)jj1 (cid:20) ℓjju (cid:0) vjj1;

k2(cid:3)

với ∫ ( ) ∑ ℓ = (cid:17) + (cid:22)k (t (cid:0) s)(cid:11)(cid:0)1∥P(cid:11)(t (cid:0) s)∥k(s)ds < 1: MA + 2 sup t(cid:21)0

Vậy, ta c(cid:226) kết quả cần chứng minh.

Kết luận Chương 4

Trong chương n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n cứu t‰nh ổn định yếu cho lớp bao h(cid:160)m

thức vi ph¥n bậc ph¥n số c(cid:226) xung, trễ hữu hạn với điều kiện kh(cid:230)ng cục bộ.

C¡c kết quả đạt được bao gồm:

105

1) Chứng minh sự tồn tại nghiệm tr¶n nửa trục của b(cid:160)i to¡n tổng qu¡t

(Định l‰ 4.1).

2) Chứng minh t‰nh ổn định tiệm cận yếu của nghiệm kh(cid:230)ng (Định l‰ 4.3).

3) (cid:129)p dụng kết quả trừu tượng thu được, chứng minh t‰nh ổn định yếu của

một hệ vi ph¥n lưới (Mục 4.5).

4) Trong trường hợp b(cid:160)i to¡n đơn trị, chứng minh sự tồn tại v(cid:160) duy nhất

nghiệm ph¥n r¢ (Định l‰ 4.4).

Theo sự hiểu biết của t¡c giả, c¡c kết quả n(cid:160)y l(cid:160) những nghi¶n cứu đầu

ti¶n về t‰nh ổn định cho lớp b(cid:160)i to¡n dạng (4.1)-(4.3). C¡c kỹ thuật ước lượng

t‰ch ph¥n bậc ph¥n số v(cid:160) ước lượng theo độ đo kh(cid:230)ng compact c(cid:226) thể sử dụng

để nghi¶n cứu t‰nh ổn định nghiệm cho nhiều lớp b(cid:160)i to¡n theo hướng sử dụng

l(cid:254) thuyết điểm bất động.

106

KẾT LUẬN V(cid:128) KIẾN NGHỊ

1. C¡c kết quả đạt được

Trong luận ¡n n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i đ¢ nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận của một

số hệ vi ph¥n đa trị trong kh(cid:230)ng gian Banach tổng qu¡t. Luận ¡n đ¢ đạt được

c¡c kết quả sau:

(cid:15) Đối với lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n c(cid:226) trễ hữu hạn m(cid:160) phần tuyến t‰nh

sinh ra nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n: Chứng minh t‰nh giải được to(cid:160)n cục v(cid:160) sự

tồn tại tập h(cid:243)t to(cid:160)n cục của nửa dÆng đa trị sinh bởi b(cid:160)i to¡n.

(cid:15) Đối với lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n dạng đa diện, phần tuyến t‰nh sinh

ra nửa nh(cid:226)m t‰ch ph¥n: Chứng minh được sự tồn tại nghiệm đối tuần

ho(cid:160)n.

(cid:15) Đối với lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n bậc ph¥n số, c(cid:226) xung, với điều kiện

kh(cid:230)ng cục bộ v(cid:160) trễ hữu hạn: Chứng minh được t‰nh giải được tr¶n nửa

trục v(cid:160) t‰nh ổn định tiệm cận yếu. Trong trường hợp đặc biệt, h(cid:160)m phi

tuyến đơn trị v(cid:160) thỏa m¢n điều kiện Lipschitz, chứng minh được sự tồn

tại v(cid:160) duy nhất nghiệm ph¥n r¢.

2. Kiến nghị một số vấn đề nghi¶n cứu tiếp theo

B¶n cạnh c¡c kết quả đ¢ đạt được trong luận ¡n, một số vấn đề mở li¶n

quan cần được tiếp tục nghi¶n cứu:

(cid:15) Nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận (theo c¡ch tiếp cận của l‰ thuyết tập h(cid:243)t

hoặc l‰ thuyết ổn định) của một số lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n với trễ biến

107

thi¶n hoặc trễ v(cid:230) hạn c(cid:242)ng với c¡c vần đề li¶n quan như t‰nh ch‰nh qui

của nghiệm, t‰nh trơn của tập h(cid:243)t, t‰nh ổn định trong thời gian hữu hạn

của nghiệm.

(cid:15) Nghi¶n cứu sự tồn tại của c¡c lớp nghiệm đặc biệt như nghiệm tuần ho(cid:160)n,

đối tuần ho(cid:160)n, nghiệm tối ưu của một số lớp bao h(cid:160)m thức vi ph¥n nửa

tuyến t‰nh kh(cid:230)ng c(cid:226) cấu tr(cid:243)c đa diện.

108

DANH MỤC C˘NG TR(cid:156)NH KHOA HỌC CỦA T(cid:129)C GIẢ LI(cid:150)N QUAN ĐẾN LUẬN (cid:129)N

1) T.D. Ke and D. Lan (2014), Decay integral solutions for a class of impul-

sive fractional differential equations in Banach spaces, Fractional Calcu-

lus and Applied Analysis, Volume 17, Number 1, 96-121.

2) T.D. Ke and D. Lan (2014), Global attractor for a class of functional

differential inclusions with Hille(cid:21)Yosida operators, Nonlinear Analysis:

Theory, Methods and Applications, Volume 103, 72(cid:21)86

3) T.D. Ke and D. Lan, Generalized Cauchy problem governed by fractional

differential inclusions on the half-line, submitted

4) T.D. Ke and D. Lan, Existence of anti-periodic solutions for a class of

polytope differential inclusions with Hille-Yosida operators, submitted

109

T(cid:160)i liệu tham khảo

[1] M. Adimy, H. Bouzahir and K. Ezzinbi (2002), Local existence and sta-

bility for some partial functional differential equations with infinite delay,

Nonlinear Anal. 48, 323-348.

[2] S. Adly and L.B. Khiet (2014), Stability and invariance results for a class

of non-monotone set-valued Lur’e dynamical systems, Appl. Anal. 93, no.

5, 1087(cid:21)1105.

[3] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina and B.N.

Sadovskii (1992), Measures of Noncompactness and Condensing Opera-

tors, Birkh(cid:4)auser, Boston-Basel-Berlin.

[4] M. Alia and K. Ezzinbi (2008), Strong solutions for some nonlinear partial

functional differential equations with infinite delay, Electron. J. Differen-

tial Equations 91, 1-19.

[5] C.T. Anh and T.D. Ke (2014), On nonlocal problems for retarded frac-

tional differential equations in Banach spaces, Fixed Point Theory 15,

No.2, 373-392.

[6] Anthony W. Knapp (2005), Basic Real Analysis, Birkh(cid:4)auser, Boston-

Basel-Berlin.

[7] W. Arendt (1987), Resolvent positive operators, Proc. Lond. Math. Soc.

(3) 54 (2), 321(cid:21)349.

110

[8] W. Arendt, C.J.K. Batty, M. Hieber and F. Neubrander (2001), Vector-

valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, in: Monographs in

Mathematics, vol. 96, Birkhauser Verlag, Basel.

[9] J.P. Aubin and A. Cellina (1984), Differential Inclusions. Set-valued Maps

and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin.

[10] J. M. Ayerbe Toledano, T. Dom‰nguez Benavides and G. L(cid:226)pez Acedo

(1997), Measures of noncompactness in metric fixed point theory. Operator

Theory: Advances and Applications, 99. Birkh(cid:4)auser Verlag, Basel.

[11] J.M. Ball (1997), Continuity properties and global attractor of generalized

semiflows and the Navier-Stokes equations, J. Nonlinear Sci. 7, 475-502.

[12] J.M. Ball (2004), Global attractor for damped semilinear wave equations,

Discrete Contin. Dyn. Syst. 10, 31-52.

[13] M.T. Batchelor, R.J. Baxter, M.J. O’Rourke and C.M. Yung (1995), Exact

solution and interfacial tension of the six-vertex model with anti-periodic

boundary conditions, Journal of Physics A: Math. Theo. 28, 2759-2770.

[14] M. Benchohra, J. Henderson and S. Ntouyas (2006), Impulsive Differ-

ential Equations and Inclusions, in: Contemporary Mathematics and its

Applications, Vol. 2. Hindawi, New York.

[15] H. Brezis (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differ-

ential Equations, Universitext. Springer, New York.

[16] L.L. Bonilla and F.J. Higuera (1995), The onset and end of the Gunn

effect in extrinsic semiconductors, SIAM J. Appl. Math. 55, 1625-1649

[17] D. Bothe (1998), Multivalued perturbations of m-accretive differential in-

clusions, Israel J. Math 108, 109-138.

111

[18] H. Bouzahir, H. You and R. Yuan (2011), Global attractor for some partial

functional differential equations with infinite delays, Funkcialaj Ekvacioj

54, 139-156.

[19] T.A. Burton (2006), Stability by Fixed Point Theory for Functional Dif-

ferential Equations, Dover Publications, New York.

[20] L. Byszewski (1991), Theorems about the existence and uniqueness of

solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem, J. Math.

Anal. Appl. 162, 494-505.

[21] T. Caraballo and P. E. Kloeden (2009), Non-autonomous attractor for

integro-differential evolution equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser.

S 2, 17-36.

[22] T. Caraballo, P. Marin-Rubio and J.C. Robinson (2003), A comparision

between to theories for multi-valued semiflows and their asymptotic be-

haviour, Set-Valued Analysis 11, 297-322.

[23] T. Caraballo, M. J. Garrido-Atienza, B. Schmalfuss and J. Valero (2008),

Non-autonomous and random attractors for delay random semilinear

equations without uniqueness, Discrete Contin. Dyn. Syst. 21, 415-443.

[24] T. Caraballo, J. A. Langa, V. S. Melnik and J. Valero(2003), Pullback

attractors of nonautonomous and stochastic multivalued dynamical sys-

tems, Set-Valued Analysis 11, 153-201.

[25] A. Cernea (2012), On the existence of mild solutions for nonconvex frac-

tional semilinear differential inclusions, Electron. J. Qual. Theory Differ.

Equ. 64, 1-15.

[26] N.M. Chuong and T.D. Ke (2012), Generalized Cauchy problem involving

nonlocal and impulsive conditions, J. Evol. Equ. 12, 367-392.

112

[27] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (2002), Attractors for Equations of Math-

ematics Physics, American Mathematical Society Colloquium Publica-

tions, Vol. 49, American Mathematical Society, Providence.

[28] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (1997), Evolution equations and their

trajectory attractors, J. Math. Pures Appl. 76, 913-964.

[29] Y. Chen, D. O’Regan and R.P. Agarwal (2012), Anti-periodic solutions for

semilinear evolution equations in Banach spaces, J. Appl. Math. Comput.

38, 63(cid:21)70.

[30] M. Coti Zelati and P. Kalita (2015), Minimality properties of set-valued

processes and their pullback attractors, SIAM J. Math. Anal. 47, 1530-

1561.

[31] G. Da Prato and E. Sinestrari (1987), Differential Operators with Non-

Dense Domain, Ann. Sc. Norm. Pisa. 14, 285-344.

[32] K. Deimling (1992), Multivalued differential equations, Walter de Gruyter

& Co., Berlin.

[33] J. Diestel, W. M. Ruess and W. Schachermayer (1993), Weak compactness

in Ll((cid:22); X), Proc. Amer. Math. Soc. 118, 447-453.

[34] K.-J. Engel and R. Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Lin-

ear Evolution Equations, with contributions by S. Brendle, M. Campiti,

T. Hahn, G. Metafune, G. Nickel, D. Pallara, C. Perazzoli, A. Rhandi,

S. Romanelli and R. Schnaubelt. Graduate Texts in Mathematics, 194.

Springer-Verlag, New York.

[35] K. Ezzinbi and S. Lalaoui Rhali (2003), Positivity and stability for some

partial functional differential equations, NoDEA Nonlinear Differential

Equations Appl. 10, 15-32.

113

[36] A. F. Filippov (1988), Differential Equations with Discontinuous Right-

hand Sides, translated from the Russian. Mathematics and its Applica-

tions (Soviet Series), Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht.

[37] L. G(cid:226)rniewicz and M. Lassonde (1994), Approximation and fixed points

for compositions of R(cid:14)-maps, Topology Appl. 55 (3), 239-250.

[38] A. Haraux (1989), Anti-periodic solutions of some nonlinear evolution

equations, Manuscripta Math. 63, 479-505.

[39] L. H(cid:127)ormander (1960), Estimates for translation invariance operators in

Lp spaces, Acta Math. 104, 93-139.

[40] S. Ji and S. Wen (2010), Nonlocal Cauchy Problem for Impulsive Differ-

ential Equations in Banach Spaces, Int. J. Nonlinear Sci. 10, 88-95.

[41] P. Kalita and G. Lukaszewicz (2014), Global attractors for multivalued

semiflows with weak continuity properties, Nonlinear Anal. 101, 124-143.

[42] M. Kamenskii, V. Obukhovskii and P. Zecca (2001), Condensing Multi-

valued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in:

de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 7, Walter

de Gruyter, Berlin, New York.

[43] H. Kellerman and M. Hieber (1989), Integrated semigroup, J. Funct. Anal.

84, 160-180.

[44] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava and J.J. Trujillo (2006), Theory and Appli-

cations of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam.

[45] D.S. Kulshreshtha, J.Q. Liang and H.J.W. Muller-Kirsten (1993), Fluc-

tuation equations about classical field configurations and supersymmetric

quantum mechanics, Ann. Physics. 225, 191-211.

114

[46] V. Lakshmikantham, D.D. Bainov and P. S. Simeonov (1989), Theory

of impulsive differential equations, World Scientific Publishing Co., Inc.,

Teaneck, NJ.

[47] J.H. Liu (2003), A remark on the mild solutions of non-local evolution

equations, Semigroup Forum 66, 63-67.

[48] H. Liu and J.-C. Chang (2009), Existence for a class of partial differential

equations with nonlocal conditions, Nonlinear Anal. 70, 3076-3083.

[49] Z.H. Liu (2010), Anti-periodic solutions to nonlinear evolution equations,

J. Funct. Anal. 258, 2026-2033.

[50] Q. Liu (2011), Existence of anti-peroidic mild solution for semilinear evo-

lution equation, J. Math. Anal. Appl. 377 (1), 110-120.

[51] J.H. Liu et al (2015), Existence of anti-periodic mild solutions to

semilinear nonautonomous evolution equations, J. Math. Anal. Appl.,

http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2014.12.043

[52] V.S. Melnik and J. Valero (1998), On attractors of multivalued semi-flows

and differential inclusions, Set-Valued Analysis 6, 83-111.

[53] V.S. Melnik and J. Valero (2000), On global attractors of multivalued

semiprocesses and nonautonomous evolution inclusions, Set-Valued Anal-

ysis 8, 375-403.

[54] K. S. Miller and B. Ross (1993), An Introduction to the Fractional Calculus

and Fractional Differential Equations, A Wiley-Interscience Publication.

John Wiley & Sons, Inc., New York.

[55] F. Neubrander (1988), Integrated semigroups and their applications to

the abstract Cauchy problem, Pacific J. Math. 135 (1), 111(cid:21)155.

115

[56] G.M. N’Gu†r†kata and V. Valmorin (2012), Antiperiodic solutions of semi-

linear integrodifferential equations in Banach spaces, Appl. Math. Com-

put. 218, 11118(cid:21)11124.

[57] G.M. N’Gu†r†kata (2009), A Cauchy problem for some fractional abstract

differential equation with nonlocal conditions, Nonlinear Anal. 70, 1873-

1876.

[58] P.H.A. Ngoc (2015), Novel criteria for exponential stability of nonlinear

differential systems with delay, IEEE Trans. Automat. Control. 60, no. 2,

485-490.

[59] V. Obukhovskii and J.-C. Yao (2010), On impulsive functional differential

inclusions with Hille-Yosida operators in Banach spaces, Nonlinear Anal.

73, 1715-1728.

[60] H. Okochi (1988), On the existence of periodic solutions to nonlinear

abstract parabolic equations, J. Math. Soc. Japan. 40, 541(cid:21)553.

[61] H. Okochi (1990), On the existence of anti-periodic solutions to a nonlinear

evolution equation associated with odd subdifferential operators, J. Funct.

Anal. 91, 246(cid:21)258.

[62] H. Okochi (1990), On the existence of anti-periodic solutions to nonlin-

ear parabolic equations in noncylindrical domains, Nonlinear Anal. 14,

771(cid:21)783

[63] A. Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Par-

tial Differential Equations, Springer-Verlag, New York.

[64] I. Podlubny (1999), Fractional Differential Equations. An Introduction to

Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of

Their Solution and Some of Their Applications, Mathematics in Science

and Engineering. 198. Sandiego, CA: Academic Press.

116

[65] G. Raugel (2002), Global Attractors in Partial Differential Equations, In

Handbook of dynamical systems, Vol. 2, pp. 885-892, North - Holland,

Amsterdam.

[66] R. Sakthivel, R. Ganesh and S.M. Anthoni (2013), Approximate controlla-

bility of fractional nonlinear differential inclusions, Appl. Math. Comput.

225, 708-717.

[67] T.I. Seidman (1987), Invariance of the reachable set under nonlinear per-

turbations, SIAM J. Control Optim. 25 (5), 1173-1191.

[68] R.Schnaubelt (2001), Asymptotically autonomous parabolic evolution

equations, J. Evol. Equ. 1, 19(cid:21)37.

[69] H.B. Stewart (1974), Generation of analytic semigroups by strongly ellip-

tic operators, Trans. Amer. Math. Soc. 199, 141-162.

[70] Horst R. Thieme (1990), Semiflows generated by Lipschitz perturbations

of non-densely defined operators, Differential Integral Equations 3(6),

1035-1066.

[71] Horst R. Thieme (1990), Integrated semigroups and integrated solutions

to abstract cauchy problems, J. Math. Anal. Appl. 152, 416(cid:21)447.

[72] A. Tolstonogov (2000), Differential Inclusions in a Banach Space, Trans-

lated from the 1986 Russian original and revised by the author. Kluwer

Academic Publishers, Dordrecht.

[73] J. Valero (2000), Finite and infinite-dimensional attractor of multivalued

reaction-diffusion equations, Acta Math. Hungar. 88:3, 239-258.

[74] J. Valero (2001), Attractors of parabolic equations without uniqueness, J.

Dynam. Differential Equations. 13, 711-744.

117

[75] I.I. Vrabie (2003), C0-semigroups and applications, North-Holland Math-

ematics Studies, 191. North-Holland Publishing Co., Amsterdam.

[76] H. You and R. Yuan (2010), Global attractor for some partial functional

differential equations with finite delay, Nonlinear Anal. 72, 3566-3574.

[77] W. Wang (2010), Generalized Hanalay inequality for stability of nonlinear

neutral functional differential equations, J. Ineq. Appl., ArtID 475019, 16

pages.

[78] R. N. Wang, D.-H. Chena and T.-J. Xiao (2012), Abstract fractional

Cauchy problems with almost sectorial operators, J. Differential Equa-

tions 252, 202-235.

[79] Y. Wang (2010), Antiperiodic solutions for dissipative evolution equations,

Mathematical and Computer Modelling 51, 715-721.

[80] R.N. Wang, Q.M. Xiang and P.X. Zhu (2014), Existence and approxi-

mate controllability for systems governed by fractional delay evolution

inclusions, Optimization 63, 1191-1204.

[81] R. N. Wang and Q. H. Ma (2014), Some new results for multi-valued

fractional evolution equations, Appl. Math. Comput. 257, 285-294.

[82] R.N. Wang, P.X. Zhu and Q.H. Ma (2015), Multi-valued nonlinear pertur-

bations of time fractional evolution equations in Banach spaces, Nonlinear

Dyn. 80, 1745-1759.

[83] Y. Zhou and F. Jiao (2010), Nonlocal Cauchy problem for fractional evo-

lution equations, Nonlinear Anal.: Real World Applications 11, 4465-4475.

[84] Y. Zhou and F. Jiao (2010), Existence of mild solutions for fractional

neutral evolution equations, Comp. Math. Appl. 59 (2010), 1063-1077.

Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của một số hệ vi ph ân đa trị trong không gian vô hạn chiều

BỘ GI(cid:129)O DỤC V(cid:128) Đ(cid:128)O TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM H(cid:128) NỘI

ĐỖ L(cid:133)N

D(cid:129)NG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ HỆ VI PH(cid:133)N ĐA TRỊ TRONG KH˘NG GIAN V˘ HẠN CHIỀU

LUẬN (cid:129)N TIẾN SĨ TO(cid:129)N HỌC

H(cid:160) Nội - 2016

BỘ GI(cid:129)O DỤC V(cid:128) Đ(cid:128)O TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM H(cid:128) NỘI

ĐỖ L(cid:133)N

D(cid:129)NG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ HỆ VI PH(cid:133)N ĐA TRỊ TRONG KH˘NG GIAN V˘ HẠN CHIỀU

Chuy¶n ng(cid:160)nh: Phương tr…nh vi ph¥n v(cid:160) t‰ch ph¥n M¢ số: 62 46 01 03

LUẬN (cid:129)N TIẾN SĨ TO(cid:129)N HỌC

PGS. TS Trần Đ…nh Kế

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

Mục lục

MỞ ĐẦU

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương 2

D(cid:129)NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BAO H(cid:128)M THỨC VI PH(cid:133)N H(cid:128)M NỬA TUYẾN T(cid:157)NH

Chương 3

NGHIỆM ĐỐI TUẦN HO(cid:128)N CỦA BAO H(cid:128)M THỨC VI PH(cid:133)N NỬA TUYẾN T(cid:157)NH

Chương 4

T(cid:157)NH ỔN ĐỊNH YẾU CỦA HỆ VI PH(cid:133)N BẬC PH(cid:133)N SỐ NỬA TUYẾN T(cid:157)NH

KẾT LUẬN V(cid:128) KIẾN NGHỊ

DANH MỤC C˘NG TR(cid:156)NH KHOA HỌC CỦA T(cid:129)C GIẢ LI(cid:150)N QUAN ĐẾN LUẬN (cid:129)N

T(cid:160)i liệu tham khảo

Có thể bạn quan tâm

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển nguồn nhân lực du lịch trong các cơ sở lưu trú tại Hà Nội

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển nguồn nhân lực du lịch trong các cơ sở lưu trú tại Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Giáo dục đạo đức sinh thái cho sinh viên các trường đại học tại Thành phố Hồ Chí Minh hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Giáo dục đạo đức sinh thái cho sinh viên các trường đại học tại Thành phố Hồ Chí Minh hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Công tác hoằng pháp và hoạt động của đạo tràng Phật giáo tỉnh Lào Cai hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Hành vi nguy cơ ảnh hưởng đến sức khỏe tâm thần của học sinh trung học phổ thông tại Hà Nội hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Hành vi nguy cơ ảnh hưởng đến sức khỏe tâm thần của học sinh trung học phổ thông tại Hà Nội hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Đảng bộ tỉnh Đồng Nai lãnh đạo công tác bảo tồn và phát huy giá trị các di tích lịch sử - văn hóa từ năm 1996 đến năm 2015

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Đảng bộ tỉnh Đồng Nai lãnh đạo công tác bảo tồn và phát huy giá trị các di tích lịch sử - văn hóa từ năm 1996 đến năm 2015

Luận án Tiến sĩ: Thực hiện Pháp lệnh thực hiện dân chủ ở xã, phường, thị trấn vùng dân tộc thiểu số tỉnh Quảng Nam hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Thực hiện Pháp lệnh thực hiện dân chủ ở xã, phường, thị trấn vùng dân tộc thiểu số tỉnh Quảng Nam hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Công tác hoằng pháp và hoạt động của đạo tràng Phật giáo tỉnh Lào Cai hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu chất lượng dịch vụ viễn thông di động tại Tổng công ty viễn thông Viettel

Luận án Tiến sĩ: Nâng cao chất lượng cơ sở vật chất các trường đại học tư thục trên địa bàn thành Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Năng lực cạnh tranh của doanh nghiệp nhỏ và vừa trên địa bàn tỉnh Phú Thọ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng tới sự thành công trong khởi sự kinh doanh của phụ nữ khu vực miền Bắc

Luận án Tiến sĩ: Kiểm soát nội bộ tại Tập đoàn xăng dầu Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Kiểm soát nội bộ tại Tập đoàn xăng dầu Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu giải pháp phát triển trung tâm logistics quốc tế cho khu vực kinh tế trọng điểm phía Bắc

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các nhân tố ảnh hưởng đến mức độ công bố thông tin trên báo cáo thường niên của các ngân hàng thương mại Việt Nam

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của một số hệ vi phân đa trị trong không gian vô hạn chiều