Sách luyện thi THPT Quốc gia môn Toán Hình học: Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia - Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:207

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách "Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia môn Toán - Tập 2: Hình học" là sản phẩm của đội ngũ giáo viên đầy nhiệt huyết của CCBook. Sách bao gồm kiến thức 3 lớp 10, 11,12 với mong muốn hỗ trợ học sinh ôn thi THPT đạt điểm số môn Toán cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia. Phần 1 chúng ta sẽ tìm hiểu về phần hình học lớp 12. Mời thầy cô và các em cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sách luyện thi THPT Quốc gia môn Toán Hình học: Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia - Phần 1

CHƯƠNG 3 CHUYÊN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN PHẦN 1: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong bài toán hình chóp 1. Phương pháp giải Cách chọn hệ trục tọa độ: - Hệ trục tọa độ nằm trên 3 đường thẳng đôi một vuông góc. - Gốc tọa độ thường là chân đường cao của hình chóp, lăng trụ có đáy là hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông hoặc có thể là trung điểm của cạnh nào đó, hoặc theo giả thiết của bài toán. Một số cách chọn hệ trục tọa độ:  Tứ diện  Hình chóp đáy là tứ giác lồi 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA  OB  a;OC  2a . Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng: 2a 2a 5 2a 2a A. B. C. D. 3 5 2 3 Hướng dẫn Gắn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Trang 1 Trang 153 155
a a  O  0;0;0  , A  a;0;0  , B  0;a;0  , C  0;0; 2a  , M  ; ;0  2 2      a a  AC  a;0; 2a  , OC  0;0; 2a  , OM   ; ;0  . 2 2      2 OM, AC    a; a;  OM, AC   a 2   a 2     a a 3a    2   2 2       OM, AC  OC  a 2  OM, AC  OC  a 2 .     Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng    OM, AC  OC a 2 2a   d  OM, AC       . OM, AC  3a 3   2 → Chọn A. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau AB  6a, AC  7a, AD  4a . Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP là: 7 3 28 3 A. a B. 14a 3 C. a D. 7a 3 2 3 Hướng dẫn Do AB; AC; AD đôi một vuông góc với nhau chọn hệ trục tọa độ Oxyz theo hình vẽ. Chọn a = 1, ta có tọa độ các điểm: A  0;0;0  , B  0;6;0  , C  7;0;0  , D  0;0; 4 . Khi đó để tính thể tích tứ diện AMNP ta cần tìm tọa độ A; M; N; P do M; N; P là trung điểm lần lượt của BC; CD; BD ta có tọa độ các đỉnh như sau: 7  M là trung điểm BC nên có tọa độ M  ;3;0  , 2  7  N là trung điểm CD nên có tọa độ N  ;0; 2  , 2  P là trung điểm BD nên có tọa độ P  0;3; 2    7    7   AM   ;3;0  , AN   ;0; 2  , AP   0;3; 2  . 2  2    21    21  AM, AN    6; 7;   ;  AM, AN  .AP  3.7  2.  42    2   2 Tính thể tích V của tứ diện AMNP là: 1    V   AM, AN  AP  7 . 6 Thay a = 1 vào các đáp án, ta thấy đáp án D là đáp án đúng. → Chọn D. Trang 2 Trang 154 156
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA   ABCD  và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCM). a 3 a 2 A. a 2 B. a 3 C. D. 2 2 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A  O , tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AS. Khi đó:  a  A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a;a;0  , D  0;a;0  , M  0;0;a  , N  0; ;a  .  2      Ta có: BC   0;a;0  , BM   a;0;a    BC, BM    a 2 ;0;a 2  . Mặt phẳng (BCM) có vectơ pháp tuyến  1   n  2 .  BC, BM   1;0;1 . a Phương trình của (BCM) là: x + z – a = 0. Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCM) là: a a d  A,  BCM     . 12  12 2 → Chọn D. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và mp  SAD   mp  ABCD  . Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm của DC, BC, SB, SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP. 3 a 5 a 5 a 5 A. a 5 B. C. D. 10 10 6 12 Hướng dẫn Gọi O là trung điểm của AD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó:  a   a   a   a  A  0;  ;0  , B  a;  ;0  , C  a; ;0  , D  0; ;0  .  2   2   2   2   a 3 a a  N  a;0;0  ,S  0;0;  , M  ; ;0  .  2   2 2   a a 3 a a a 3 K  0; ;  , P  ;  ;  .  4 4  2 4 4    a a a 3  a MK    ;  ;   2;1;  3 .    2 4 4  4  Đường thẳng MK có vectơ chỉ phương là a  2;1;  3 .   Trang 3 Trang 155 157
  a a a 3  a AP   ; ; 2 4 4   2;1; 3 .     4  Đường thẳng AP có vectơ chỉ phương là b  2;1; 3 .       3a a 3    Ta có: a, b   2 3; 4 2;0 , AK   0; ;  .  4 4     a, b  .AK 3 3a   3a Vậy d  MK; AP       a, b  2 15 2 5   → Chọn A. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAD cân tại S 4 và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng a 3 . Tính 3 khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD). 2 4 8 3 A. a B. a C. a D. a 3 3 3 4 Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SC tạo với đáy một góc 45 . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD). a 2 a 2 a a 3 A. B. C. D. 3 3 3 3 Đáp án 1-B 2-A Dạng 2: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong bài toán hình lăng trụ 1. Bài tập tự luyện Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BB’. Tính thể tích của khối tứ diện A’CMN. a3 a3 a3 a3 A. B. C. D. 4 8 16 32 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có: A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a;a;0  , D  0;a;0  , A '  0;0;a  , B'  a;0;a  , C '  a;a;a  , D '  0;a;a  Thể tích của khối tứ diện A’CMN là: 1    V   A ' N, A ' M  .A 'C 6 Ta có: Trang 4 Trang 156 158
 a   a    a    a   N  a;0;  , M  0; ;0   A ' N   a;0;   , A ' M   0; ; a  , A 'C   a;a; a   2  2   2  2     a 2 a2     a 3 a3 3   A ' N, A ' M    ;a 2 ;  và  A ' N, A ' M  .A 'C   a 3   a 3 .  4 2 4 2 4 1 3 3 a3 Vậy thể tích của khối tứ diện A’CMN là: V  . a  . 6 4 8 → Chọn B. Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân, AA '  2a, AB  AC  a . Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A’B’C’. I là tâm của hình chữ nhật AA’B’B. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IG và G’C, biết hai đường thẳng này song song với nhau. 5 5 5 5 A. 2a B. a C. 3a D. 4a 41 41 41 41 Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. A  O  0;0;0  . Khi đó tọa độ của các điểm là: a a  a a  a  B  a;0;0  , C  0;a;0  , A '  0;0; 2a  , B'  a;0; 2a  , C '  0;a; 2a  , G  ; ;0  , G '  ; ; 2a  , I  ;0;a  3 3  3 3  2  ( I và I’ là trung điểm của AB’ và A’B)   a a    a 2a    a 2a   IG    ; ; a  , G 'C    ; ; 2a  , GC    ; ;0  .  6 3   3 3   3 3    G 'C, GC    d  IG, G 'C   d  G, G 'C    G 'C    4a 2 2a 2  Ta có G 'C, GC    ; ;0   3 3  5 Vậy d  IG, G 'C   2a . 41 → Chọn A. Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đường thẳng OI sao cho MO  2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng: 6 13 6 85 17 13 7 85 A. B. C. D. 65 85 65 85 Trang 5 Trang 157 159
Hướng dẫn Không giảm tính tổng quát, giả sử cạnh hình lập phương bằng 6. Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, sao cho gốc tọa độ trùng với điểm B’. Khi đó, C '  6;0;0  , D '  6;6;0  , M  3;3;1 , A  0;6;6  , B  0;0;6  .   MC'  3; 3; 1 , MD '   3;3; 1 Suy ra vectơ pháp tuyến của (MC’D’) là:    n1   MC', MD '   6;0;18   6 1;0;3 .   MA  3;3;5 , MB   3; 3;5 Suy ra vectơ pháp tuyến của (MAB) là:    n1   MA, MB   30;0;18   6  5;0;3  . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB), ta có   n1.n 2 14 cos =    . n1 n 2 340 6 85 Vậy sin   1  cos 2   85 → Chọn B. 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy là 60 . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’). a 13a 3a a A. B. C. D. 13 13 13 3 13 Câu 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  AD  a, AA '  b . Gọi M là trung điểm của cạnh CC’. Tính thể tích của khối tứ diện BDA’M. a 2b a 2b a 2b a 2b A. V  B. V  C. V  D. V  2 4 8 16 Đáp án 1-C 2-B Phần 2: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là: 1 1 5 10 A. B. C. D. 10 5 10 5 Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC). a2 5 a 2 10 a 2 10 a2 5 A. B. C. D. 16 16 32 32 Trang 6 Trang 158 160
a 3 Câu 3. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi các cạnh AB  AD  a, AA'= và 2   60 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Tính khoảng cách giữa hai góc BAD đường thẳng A’C và MN. a 15 a 15 a 15 a 15 A. B. C. D. 10 5 20 15 Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, có AA1  2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB1. Lấy điểm M di động trên AA1 . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MC1D. 3a 2 5a 2 a 2 42 a 2 15 A. SMC1D  B. SMC1D  C. SMC1D  D. SMC1D  4 4 4 4 Câu 5. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và mặt phẳng (C’AB) hợp với mặt đáy (ABC) một góc bằng   0    90  . Tìm  để hai mặt phẳng (ABC’) và (A’B’C’) vuông góc với nhau. A.   90 B.   60 C.   45 D.   30 Câu 6. Cho tứ diện S.ABC có SC  CA  AB  a 2,SC   ABC  , tam giác ABC vuông tại A. Các điểm M  SA, N  BC sao cho AM  CN  t  0  t  2a  . Tính t để MN ngắn nhất. a 2a a A. t  B. t  C. t  a D. t  3 3 2 Câu 7. Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ABC vuông tại C. Độ dài của cạnh SA  4, AC  3, BC  1 . Gọi M là trung điểm của các cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính góc  tạo bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC) A.   8235'57 '' B.   97 24 ' 2 '' C.   6330 ' D.   1514 '13'' Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB  BC  a, AD  2a . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và SC. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE. A. I  a; 2a;3a  , R  a 11 2   B. I a;a 2;a 3 , R  a 11 3  C. I 2a;a 2;a 3 , R   a 11 4  a 3a 3a  D. I  ; ;  , R  2 2 2  a 11 2 Đáp án: 1-D 2-B 3-C 4-D 5-C 6-B 7-A 8-D Trang 7 Trang 159 161
PHẦN 2: LỚP 10 & 11 162
CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECTƠ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa véc tơ Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.   A Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu: AB a     Vectơ còn được kí hiệu là: a, b, x, y,... B  Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 0 . 2. Hai vec tơ cùng phương, cùng hướng, hai vec tơ bằng nhau. Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ.    Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài vectơ AB , kí hiệu AB . Ta có AB  AB . Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là vectơ cùng phương. Hai vectơ cùng hướng Hai vectơ ngược hướng Hai vectơ bằng nhau Hai vectơ cùng phương nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Chú ý: Vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ 3. Các quy tắc về vec tơ    Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có AB  AC  CB .    Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có: AC  AB  AD .    Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm AB, M là điểm bất kì: 2MI  MA  MB .     Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC: GA  GB  GC  0     3MG  MA  MB  MC (M là điểm bất kỳ)    Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ: với ba điểm bất kì A, B, C ta có: AB  CB  CA          Vec tơ đối của vectơ a kí hiệu là a . Đặc biệt a  a  0, AB   BA PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định một vectơ 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho 7 điểm không thẳng hàng, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên? A. 21. B. 42. C. 12. D. 7 Hướng dẫn Lấy 2 điểm bất kì trong 7 điểm ta được một đoạn thẳng, do đó có C27  21 đoạn thẳng. Trang 1 Trang 160 163
  Mỗi một đoạn thẳng tạo thành 2 vectơ, ví dụ đoạn thẳng AB sẽ tạo ra hai vectơ AB và BA . Vậy số vectơ được tạo ra là 2C27  42 → Chọn B. Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây là sai?         A. MN  QP . B. QP  MN . C. MQ  NP . D. MN  AC Hướng dẫn MN / /PQ 1 Ta có  (do cùng song song và bằng AC ) MN  PQ 2 Nên MNPQ là hình bình hành.       Do đó MN  QP, QP  MN , MQ  NP là các đáp án đúng.    1  Đáp án MN  AC sai do MN  AC 2 → Chọn D. 2. Bài tập tự luyện Câu 1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: A. 4. B. 6. C. 7. D. 9. Câu 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC. Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?         A. MN và CB . B. AB và MB . C. MA và MB . D. AN và CA Câu 3. Hai vectơ gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành. C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều. D. Chúng cùng hướng và và độ dài của chúng bằng nhau. Đáp án: 1–B 2–B 3–D Dạng 2: Các phép toán vectơ 1. Ví dụ minh họa     Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và một điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. M là trung điểm của BC. B. M là trung điểm của AB. C. M là trung điểm của AC. D. ABMC là hình bình hành. Hướng dẫn          MA  MB  MC  0  MA  MB  MC  BA  MC Trang 2 Trang 161 164
Vậy ABMC là hình bình hành. → Chọn D. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Hệ thức nào đúng?             A. AB  BE  CF  AB  AC  BC . B. AB  BE  CF  AF  CE  BD .             C. AD  BE  CF  AE  BF  CD . D. AD  BE  CF  BA  BC  AC Hướng dẫn Áp dụng quy tắc cộng ta được                     AD  BE  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF  AE  BF  CD  ED  FE  DF  AE  BF  CD → Chọn C. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng?         A. IB  2IC  IA  0 . B. IB  IC  2IA  0 .         C. 2IB  IC  IA  0 . D. IB  IC  IA  0 . Hướng dẫn Vì M là trung điểm của BC nên theo quy tắc trung tuyến ta có:    IB  IC  2IM    Mặt khác I là trung điểm AM nên IA  IM  0           Suy ra IB  IC  2IA  2IM  2IA  2 IM  IA  0 → Chọn B.   Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C, AB  2 . Tính độ dài của AB  AC     A. AB  AC  5 . B. AB  AC  2 5 .     C. AB  AC  3 . D. AB  AC  2 3 . Hướng dẫn Ta có AB  2  AB  CB  1 Gọi I là trung điểm BC. Xét tam giác ACI vuông tại C, ta có: 5 AI  AC2  CI 2  2 Áp dụng quy tắc trung điểm ta có:       5 AC  AB  2AI  AC  AB  2 AI  2.  5 2 → Chọn A. Trang 3 Trang 162 165
   Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC  30 0 và BC  a 5 . Tính độ dài của vectơ AB  AC A. a 2 . B. a 5 . C. a 7 . D. a 3 . Hướng dẫn Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành.    Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB  AC  AD Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra AD  BC  a 5    Vậy AB  AC  AD  AD  a 5 → Chọn B. 2. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID:8129)Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm khẳng định đúng?     A. AB  AC  a . B. AB  AC  a 3 .   3   C. AB  AC  a . D. AB  AC  2a . 2 Câu 2. (ID:8223)Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?          A. AB  BC  BD  0 . B. AC  BD  CB  DA  0 .        C. AD  DA  0 . D. OA  BC  DO  0 . Câu 3. (ID:13413)Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, đường cao AH. Khẳng định nào sau đây sai?         A. AH  HB  AH  HC . B. AH  AB  AH  AC .       C. BC  BA  HC  HA . D. AH  AB  AH Đáp án: 1–B 2–D 3–B Dạng 3: Phân tích vec tơ. Quỹ tích vec tơ 1. Phương pháp giải Phân tích vectơ: Sử dụng định lí mọi vectơ đều phân tích được thành 2 vectơ không cùng phương. Sử dụng quy tắc tam giác, quy tắc hình bình hành trong phép cộng vectơ, quy tắc ba điểm trong phép trừ hai vectơ để phân tích một vectơ theo nhiều vectơ. Quỹ tích vectơ: Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết.   Nếu phương trình có dạng MA  MB , trong đó A, B cố định thì tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB.  Nếu phương trình có dạng MA  a , trong đó A cố định, a là độ dài đã biết thì tập hợp điểm M là đường tròn có tâm A, bán kính a. Trang 4 Trang 163 166
Tập hợp những điểm cách đều 2 đường thẳng cắt nhau là đường phân giác của góc được tạo bởi hai đường thẳng đó. 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng?  1    1    A. AI  AB  AC . 4   B. AI  AB  AC . 4   1  1   1  1  C. AI  AB  AC . D. AI  AB  AC . 4 2 4 2 Hướng dẫn    Vì M là trung điểm của BC nên AB  AC  2AM (1)   Mặt khác I là trung điểm của AM nên 2AI  AM (2) Từ (1) và (2) suy ra:     1    AB  AC  4AI  AI  AB  AC 4  →Chọn A.   Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho 3AM  2AB và      3DN  2DC . Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC  1  1   1  2  A. MN  AD  BC . B. MN  AD  BC . 3 3 3 3  1  2   2  1  C. MN  AD  BC . D. MN  AD  BC 3 3 3 3 Hướng dẫn         Ta có MN  MA  AD  DN và MN  MB  BC  CN         Suy ra 3MN  MA  AD  DN  2 MB  BC  CN            MA  2MB  AD  2BC  2 DN  2CN        Theo bài ra, ta có MA  2MB  0 và DN  2CN  0     1  2  Vậy 3MN  AD  BC  MN  AD  BC 3 3 →Chọn C. Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tìm tập hợp các điểm M thỏa     mãn MA  MB  MC  MD A. Trung trực của đoạn thẳng AB. B. Trung trực của đoạn thẳng AD. AC AB  BC C. Đường tròn tâm I, bán kính . D. Đường tròn tâm I, bán kính . 2 2 Trang 5 Trang 164 167
Hướng dẫn Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Khi đó theo công thức đường trung tuyến ta có:    MA  MB  2ME      MC  MD  2MF         Do đó MA  MB  MC  MD  2 ME  2 MF  ME  MF Vì E, F là 2 điểm cố định nên từ đẳng thức (*) ta có tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng EF hay chính là trung trực của đoạn thẳng AD. →Chọn B. Ví dụ 4: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức      2MA  3MB  4MC  MB  MA là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a. a a a a A. r  . B. r  . C. r  . D. r  . 3 9 2 6 Hướng dẫn Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.               Ta có 2MA  3MB  4MC  2 MI  IA  3 MI  IB  4 MI  IC              Chọn điểm I sao cho 2IA  3IB  4IC  0  3 IA  IB  IC  IC  IA  0     Mà G là trọng tâm của tam giác ABC  IA  IB  IC  3IG           Khi đó 9IG  IC  IA  0  9IG  AI  IC  0  9IG  CA Do đó:           AB 2MA  3MB  4MC  MB  MA  9MI  2IA  3IB  4IC  AB  9MI  AB  MI  9 Vì I là điểm cố định thỏa mãn (*) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I bán kính AB a r  9 9 →Chọn B. 3. Bài tập tự luyện 1 Câu 1. (ID:8212) Cho tam giác ABC, E là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BE  BC . Hãy chọn đẳng 4 thức đúng?     3  1  A. AE  3AB  4AC . B. AE  AB  AC . 4 4  3  1   1  1  C. AE  AB  AC . D. AE  AB  AC . 4 4 4 4    Câu 2. (ID:13287) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM và BC . Trang 6 Trang 165 168
  1    1  A. AB  AM  BC . B. AB  BC  AM . 2 2   1    1  C. AB  AM  BC . D. AB  BC  AM . 2 2 Câu 3. (ID: 13471) Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, Với I trung điểm của AB. Tìm tập hợp các     điểm M thỏa mãn đẳng thức MA  MB  MA  MB AB A. Đường tròn tâm I, đường kính . 2 B. Đường tròn đường kính AB. C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB. D. Đường trung trực của đoạn thẳng IA. Đáp án: 1–B 2–C 3–B Phần 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1. (ID: 8162) Cho tam giác đều ABC. Nhận định nào sau đây là sai?     A. AB  BC . B. AB  AC .     C. AB  BC . D. AC,BC không cùng phương. Câu 2. (ID:8211) Cho ba điểm phân biệt a, b, c. Khi đó:   A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB và AC cùng phương.   B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M thì AB và MA cùng phương.   C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M thì AB và MA cùng phương.   D. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB  AC .   Câu 3. (ID: 13434) Cho tam giác vuông cân ABC tại A có AB  a . Tính AB  AC .     a 2 A. AB  AC  a 2 . B. AB  AC  . 2     C. AB  AC  2a . D. AB  AC  a .    Câu 4. (ID:13482) Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa MA  MB  MC  3 A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Câu 5. (ID:8214) Số các vec tơ có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 6 điểm phân biệt cho trước là: A. 12. B. 21. C. 27. D. 30.   Câu 6. (ID:8222) Cho tam giác đều ABC cạnh a. Khi đó bằng AB  AC : a 3 A. 0. B. a. C. . D. a 3 . 3 Trang 7 Trang 166 169
Câu 7. (ID:13288) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?  2    1    A. AG  AB  AC . 3   B. AG  AB  AC . 3   1  2   2   C. AG  AB  AC . D. AG  AB  3AC . 3 3 3 Câu 8. (ID:13474) Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn     MA  MB  MA  MC A. Đường trung trực của đoạn thẳng BC B. Đường tròn đường kính BC. a C. Đường tròn tâm G, bán kính . D. Đường trung trực của đoạn thẳng AG 3 Câu 9. (ID:13472) Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tìm tập hợp các     điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA  MB  MA  2MB A. Đường trung trực của đoạn thẳng AB. B. Đường tròn đường kính AB. C. Đường trung trực của đoạn thẳng IA. D. Đường tròn tâm A, bán kính AB. Đáp án: 1–C 2–A 3–A 4–D 5–D 6–B 7–B 8–A 9–A Trang 8 Trang 167 170
CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Trục và độ dài đại số trên trục • Định nghĩa: Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là  điểm gốc và một vectơ đơn vị e . • Điểm O gọi là gốc tọa độ. • Hướng của vectơ đơn vị là hướng của trục.  • Ta kí hiệu trục đó là  O; e  .    • Cho M là một điểm tùy ý trên trục  O; e  . Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM  ke . Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.    • Cho hai điểm A và B trên trục  O; e  . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB  ae . Ta gọi số a là độ dài  đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a  AB . 2. Hệ trục tọa độ Hệ gồm hai trục tọa độ Ox, Oy vuông góc với nhau.   Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i , j . O là gốc tọa độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung. 3. Tọa độ của vectơ      u   x; y   u  x; y   u  x i  yj .  x gọi là hoành độ của vectơ u .  y gọi là tung độ của vectơ u . Các công thức vectơ:   Cho hai vectơ u   u1 ; u 2  , v   v1 ; v 2    u1  v1 • uv u 2  v 2   • u  v   u1  v1 ; u 2  v 2  ;   • u  v   u1  v1 ; u 2  v 2  ;  • k u  (ku1 ; ku 2 ), k  R .  • Độ lớn của vectơ u  u12  u 22 .   • Hai vectơ u   u1 ; u 2  , v   v1 ; v 2  cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1  kv1 và u 2  kv 2 .      • Tích vô hướng: u.v  u . v cos  u, v  . Trang 1 Trang 168 171
 u.v  u1v1  u 2 v 2 .   u  v  u1v1  u 2 v 2  0 .    u.v u1v1  u 2 v 2 • Góc giữa hai vectơ: cos  u; v      . u.v u12  u 22 . v12  v 22 4. Tọa độ của một điểm    M   x; y   OM  x i  yj. Các công thức: Cho ba điểm A  x A ; y A  , B  x B ; y B  , C  x C ; y C  .  • AB   x B  x A ; y B  y A  .   x B  x A    yB  yA  2 2 • AB  AB  . xA  xB y  yB • Tọa độ trung điểm I của AB: x1  , y1  A . 2 2 xA  xB  xC y  yB  yC • Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: x G  , yG  A 3 3 x A  kx B y  ky B • Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k  1: x M  , yM  A . 1 k 1 k PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tọa độ vectơ, tích vô hướng của hai vectơ 1. Ví dụ minh họa      Ví dụ 1: Cho hai vectơ a   2; 4  , b   5;3  . Tọa độ vectơ u  2a  b là: A.  7; 7  . B.  9; 11 . C.  9;5  . D.  1;5  . Hướng dẫn   Ta có: 2a   4; 8  ,  b   5; 3  .    Ta có: u  2a  b   4  5; 8  3   9; 11 .  Chọn B.     Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u  1; 2  , v  1; m  . Tìm m để hai vectơ u , v vuông góc với nhau. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Hướng dẫn    1 Ta có: u  v  u.v  0  1.1  2.m  0  m  . 2  Chọn B. Trang 2 Trang 169 172
  Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u  1; 2  , v  1; 3 . Góc giữa hai vectơ là: A. 450 . B. 600 . C. 300 . D. 1350 . Hướng dẫn   1.1  2.3 5  2   Ta có: cos  u; v       u; v   1350 . 12  22 . 12   3  2 5 2 2  Chọn D.       Ví dụ 4: Cho hai vectơ a , b có giá vuông góc với nhau và a  4, a  b  5 . Độ dài b bằng: A. 9. B. 3. C. 3. D. 1. Hướng dẫn          2 Ta có: a  b  5  a  b  25  a 2  b 2  2a.b  25 .    Vì a  b  a.b  0 , do đó ta có: 2 2 2 2  a  b  25  b  25  a  9  b  3  Chọn C.      Ví dụ 5: Cho hai vectơ a   3; 2  , b   1; 7  . Tìm tọa độ vectơ c biết c.a  9, c.b  20 .     A. c   1; 3 . B. c   1;3 . C. c  1; 3 . D. c  1;3 . Hướng dẫn  Gọi tọa độ vectơ c   x; y  .   Ta có: c.a  3x  2y  9 và c.b   x  7y  20 . 3x  2y  9  x  1  Do đó có hệ:    c  1;3  .  x  7y  20 y  3  Chọn B.    Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a   m;1 , b   3; m  2  . Giá trị của m để vectơ a cùng  phương với vectơ b là: m  3  m  3  m  3 m  3 A.  . B.  . C.  . D.  . m  1  m  1 m  1  m  1 Hướng dẫn     Vectơ a cùng phương với vectơ b  a  kb  k  1   m  3k  m  3k  m  3 Hay     1 1  k  m  2  1  k  3k  2   k   3  m  1 Trang 3 Trang 170 173
 Chọn D.       Ví dụ 7: : Cho ba vectơ a   2;1 , b   3; 4  , c   7; 2  . Biểu diễn vectơ c qua các vectơ a , b .  22  3   22  3   22  3   22  3  A. a  b c . B. a  b c. C. a  b c . D. a  b c. 5 5 5 5 5 5 5 5 Hướng dẫn    Giả sử c  ma  nb , ta có hệ phương trình:  22  m 7  2m  3n  5   2  m  4n n  3  5  22  3  Vậy a  b c. 5 5  Chọn D. 2. Bài tập tự luyện Câu 1. (ID: 9106) Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?   A. Hai vectơ a   6;3 và b   2;1 ngược hướng với nhau.   B. Hai vectơ a   5;0  và b   4;0  cùng hướng với nhau.   C. Vectơ c   7;3 là vectơ đối của vectơ d  7;3 .   D. Hai vectơ a   6;3 và b   2; 2  cùng phương với nhau.    Câu 2. (ID:9204) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba vectơ a   0;1 , b   1; 2  , c   3; 2  . Tọa độ của     vectơ u  3a  2b  4c là: A. 10;15  . B. 15;10  . C. 10; 15  . D.  10;15  .  Câu 3. (ID:8722) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có AB  5, AC  5, A  30 0 . Giá trị biểu thức   AB.AC là: 25 3 25 3 25 A. . B. . C. . D. –25. 2 2 2           Câu 4. (ID:8750) Cho hai vectơ a , b sao cho a  3, b  5, a, b  1200 . Độ dài vectơ a  b bằng: A. 19 . B. 7. C. 4. D. 2. Đáp án: 1–B 2–A 3–A 4–B Dạng 2: Tọa độ điểm 1. Ví dụ minh họa    Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A 1;3 , B  4;0  . Tọa độ điểm M thỏa mãn 3AM  AB  0 Trang 4 Trang 171 174