Ế
Ệ
SÁNG KI N KINH NGHI M
Ề Đ TÀI
Ộ Ố
Ố
Ằ KHAI THÁC M T S BÀI TOÁN G C NH M
Ả
Ậ
Ỹ
Ệ
RÈN LUY N K NĂNG GI I BÀI T P TOÁN
Ớ
Ọ
CHO H C SINH L P 10
ƯƠ Ọ Ộ Ạ ự Lĩnh v c: PH NG PHÁP D Y H C B MÔN
Ở Ệ S GD & ĐT NGH AN
ƯỜ Ư TR NG Ỳ THPT QU NH L U 4
Ế
Ệ
SÁNG KI N KINH NGHI M
Ề Đ TÀI
Ộ Ố
Ố
Ằ KHAI THÁC M T S BÀI TOÁN G C NH M
Ả
Ậ
Ỹ
Ệ
RÈN LUY N K NĂNG GI I BÀI T P TOÁN
Ớ
Ọ
CHO H C SINH L P 10
ƯƠ Ọ Ộ Ạ ự Lĩnh v c: PH NG PHÁP D Y H C B MÔN
ƯƠ Ơ Ng ự i ườ th c hi n ệ : TR N XUÂN S N
Tổ: TOÁN TIN – VP
ệ ạ Đi n tho i:0964887818
Ngh Anệ , 3/2021
Ụ Ụ M C L C
Ọ Ề I. LÝ DO CH N Đ TÀI………………………………………………………....1
Ộ II. N I DUNG………………………………………………………………….......2
ừ ộ ứ ụ ế ệ ả ơ ả i
II.1. T m t bài toán đ n gi n đ n vi c tìm tòi và ng d ng nó trong gi toán......2
ơ ả II.1.1. Bài toán c b n 1……………………………………………………….......2
ơ ả ơ ả
II.1.2. Bài toán c b n 2……………………………………………………….…..7 III.1.3.Bài toán c b n 3………………………………………………………......12
ệ ạ ệ ế ộ ọ II.2. M t vài kinh nghi m đúc k t qua vi c d y h c sinh khai thác bài toán
ệ ỹ ả ậ ọ ớ i bài t p toán cho h c sinh l p
ằ ố g c nh m rèn luy n k năng gi 10........................17
Ậ Ế III. K T LU N......................................................................................................16
ố ớ III.1. Đ i v i giáo viên………………………………………………………..….16
ố ớ ọ III.2. Đ i v i h c sinh…………………………………………………………....17
Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O………………………………………………………..18
Ọ Ề I. LÝ DO CH N Đ TÀI
ộ ạ
ệ ớ ể ươ ả ươ ộ ng trình, n i dung, ph ơ ả ủ ổ
ỉ
ẽ ươ ệ ọ
ụ ế ạ ỹ
ạ
ạ ủ ườ ọ ự ọ h c, t o c s đ ỹ ứ ế ọ h c, t
ườ ổ
ư ư ấ
ọ ọ ề ọ ự ể ọ ổ ng pháp d y và h c là m t trong Đ i m i ch ớ ậ ạ ụ ữ nh ng lu n đi m c b n c a đ i m i căn b n toàn di n giáo d c và đào t o đã ầ ố ủ ể ế ụ ổ ứ ả ạ ạ ộ ượ c Đ i h i Đ i bi u toàn qu c c a Đ ng l n th XI ch rõ đó là ti p t c đ i đ ạ ướ ạ ớ ng hi n đ i; phát huy tính tích ng pháp d y và h c theo h m i m nh m ph ậ ủ ộ ậ ứ ự i h c; T p c c, ch đ ng, sáng t o và v n d ng ki n th c, k năng c a ng ơ ở ể ế ọ ạ trung d y cho h c sinh cách h c, cách nghĩ, khuy n khích t ằ ườ ọ ự ọ ự ậ ứ ớ ổ ậ c p nh t ki n th c và đ i m i tri th c, k năng nh m phát ng i h c t ộ ọ ự ể tri n năng l c cho h c sinh. Môn Toán trong tr ng ph thông cũng là m t môn ọ ọ h c nh các môn h c khác nh ng là môn h c có ti m năng r t phong phú trong ệ vi c khai thác và phát tri n năng l c toán h c cho h c sinh.
ọ ấ ạ ạ ự
ỉ ề ề ạ ữ ấ
ả ẵ ề ệ
ố ả ậ ề ề ộ ố
ỉ ọ ấ ệ ệ
ớ ế ổ ứ ộ ạ ể ề ụ ậ ợ ớ ộ ớ
ộ ạ ề ệ
ư ộ ạ ọ ạ
ạ ễ ấ ế ổ ả ặ thi
c. Còn n u thay đ i gi ệ ộ ệ ớ ế t là trong ch
ơ ấ ẳ ứ ế
ọ ườ ỡ ỡ
ề ạ ạ ọ
ư ế
ế ườ ủ ế ọ ớ ồ ủ c ý đ c a ng
ệ ấ ặ
ể ả ế ứ ủ ọ ọ ề i không xem th
ứ ạ
ế ạ
ả ổ ớ ồ ề ầ ớ ộ ố
ộ ố ề ề
ệ ằ ả
ọ ề ầ Th c tr ng d y h c môn Toán trong nh ng năm g n đây cho th y nhi u ữ i nh ng v n đ , đi u có s n trong sách giáo giáo viên ch làm công tác truy n l ệ ỹ ư ệ khoa, trong tài li u tham kh o mà ch a quan tâm nhi u v vi c rèn luy n k ơ ả i bài t p toán thông qua vi c khai thác m t s bài toán g c c b n. năng gi ề Nhi u giáo viên khi d y ch làm nhi m v cung c p cho cho h c sinh các công ệ ụ th c, các khái ni m, đ làm sao các em v n d ng và nh m t cách máy móc, ượ c. Đi u đó không phù h p v i xu th đ i m i cách d y, cách thu c lòng là đ ọ ế ấ ề ụ ủ h c c a B giáo d c và đào t o đ ra hi n nay. Vì th r t nhi u h c sinh, ộ ọ ỏ ẳ i khi đi thi g p đúng bài, đúng d ng(m t ch ng h n nh đ i ngũ h c sinh khá gi ượ ổ t, t ng quát lên m t chút cách d th y) thì làm đ ươ ặ cượ . Đ c bi ng trình môn Toán l p 10 hi n hành thì không làm đ ấ ộ ấ ầ ph n vect , b t đ ng th c,.. luôn là m t v n đ quan tr ng và khó. Th nên r t ộ ặ ọ ề ng b ng , không làm nhi u h c sinh khi g p các bài toán thu c lo i đó th ư ượ ề ỏ ỳ i..? T i sao có đi u đó, là do giáo viên c nh trong các k thi h c sinh gi đ ố ư ổ ề ự ự ư ch a th c s quan tâm đ n nó, ch a đ i m i, ch a bi t khai thác ti m năng v n ớ ượ ư t sách. V i lý do đó, i vi có c a sách giáo khoa, ch a đ c đ ế tôi cũng suy nghĩ r t nhi u làm th nào đ b n thân các em h c sinh, đ c bi t là ậ ườ ỏ ọ h c sinh khá gi ng các ki n th c c a bài h c, bài t p sách giáo ủ ế ọ ờ ồ khoa, đ ng th i các em h c sinh trung bình cũng không e ng i ki n th c c a ặ ấ t này b n thân tôi cũng mình. Đây là v n đ c n đ t ra? Trong ph m vi bài vi ọ ệ ỉ không có tham v ng l n mà ch có m t mong mu n là trao đ i v i đ ng nghi p ệ ỏ ừ ệ vi c khai thác ti m năng sách giáo khoa qua đ tài m t s kinh nghi m nh t "Khai thác m t s bài toán g c nh m rèn luy n k năng gi ộ ố ậ ỹ ố i bài t p toán ớ cho h c sinh l p 10 ".
ằ ệ ớ ỹ Qua đó nh m rèn luy n k năng gi
ọ ẹ ạ ọ ổ
ế ạ ả ậ ở ổ ậ t, do đó b n kinh nghi m còn nhi u h n ch . Tôi thành th t mong nh n
1
ộ ố ơ ả ể ả ủ ộ ổ ậ ả i bài t p toán cho h c sinh l p 10 ứ ng trung h c ph thông. Tuy nhiên, vì ki n th c còn h n h p, vì khuôn kh ế ề ế ệ đ b n thân ngày m t t ườ tr bài vi ự s trao đ i góp ý c a đ c gi t h n.
Ộ II. N I DUNG
ừ ộ ố ứ ụ ơ ệ ả
ả ế II.1. T m t s bài toán đ n gi n đ n vi c tìm tòi và ng d ng nó trong gi i toán.
ọ ỉ II.1.1. Bài toán c b n 1 ơ ả Cho G là tr ng tâm tam giác ABC khi và ch khi
= + (I) uuur uuur uuur r + GA GB GC 0
A
ọ (SGK Hình h c 10, tr. 11NXBGD)
ứ Ch ng minh:
ọ ể
=
G
= -
B
C
M
= - uuur GA uuur GA � � G i M là trung đi m BC uuur uuur uuur r + + Ta có: GA GB GC 0 uuur uuur ) ( + GB GC � uuuur r uuur uuuur + = 2GM GA 2GM 0
(cid:0) ọ G là tr ng tâm tam giác ABC
ư ậ ứ ể ể Nh v y đ ch ng minh bài toán trên ta bi u th qua 2 vectơ uuur ị GA
ậ ấ ọ ộ ề Chúng ta nh n th y G là tr ng tâm tam giác ABC nên G thu c mi n ậ Nh n xét 1: uuur uuur GB,GC.
ế ầ ằ ệ trong tam giác ABC, vì th G chia di n tích tam giác ABC thành 3 ph n b ng
1, S2, S3 l n l
ầ ượ ệ ệ nhau có di n tích là S t là di n tích tam giác GBC, GCA, GAB và
ABC
1
2
3
uuur (cid:0) + + S ậ ừ ề uuur r uuur = S GA S GB S GC 0 b ng ằ Vì v y t (I) . Đi u này cho ta liên 1 3
ả ử ấ ỳ ề ể ộ ưở t ng gi s G là đi m b t k thu c mi n trong tam giác ABC. Khi đó ta có th ể
ươ ứ ứ ể ụ ậ v n d ng ph ố ng pháp ch ng minh bài toán g c trên đ ch ng minh cho bài
ị ộ ệ ể ơ ơ toán sau, qua vi c bi u th m t vect qua hai vect khác.
ộ ầ ượ ệ t là di n ọ 1, S2, S3 l n l
2
3
ề Bài 1: Cho ABC, M thu c mi n trong tam giác. G i S tích tam giác MBC, MAC, MAB. uuuur + + = (1) ứ ằ Ch ng minh r ng: uuur r uuur S MA S MB S MC 0 1
ể ụ ậ ươ ể ng pháp bi u th ị
còn l
= - - i:ả Nh v y đ ch ng minh bài toán 1, ta v n d ng ph Gi ạ ộ i m t vect uuuur MA ứ ư ậ ơ ơ qua hai vect uuur MC uuur MB Ta có (1) (cid:0) S 1 S 3 S 2 S 3
ự ắ Kéo dài AM, MB c t BC, AC l n l t t i A ầ ượ ạ 1, B1. D ng hình bình hành MB'CA'
2
(cid:0) = + uuur uuuur uuuur MC MA ' MB'
ầ ượ ọ ế G i H, K l n l t là hình chi u A, C lên BM
A
= = (cid:0) � (vì B'C = MA') B'C KC MA ' KC = = � AM AH AM AH B C KC B'C 1 AM B A AH 1
B'
K
B
1
M H
MB.KC = = (cid:0) KC MA ' = AH MA S 1 S 2 MB.AH 1 2 1 2
C
B
A 1
= - (cid:0) uuuur MA ' uuuur MA (*) S 1 S 3
A'
= - uuuur MB' uuur MB ươ ự T ng t (**) S 2 S 3
= - - uuur MC uuuur MA uuur MB ừ T (*) và (**) ta suy ra S 1 S 3 S 2 S 3
2
3
1
uuuur + + = uuur r uuur S MA S MB S MC 0 �
ậ ấ ằ ủ ố
ộ ạ ướ ạ ề ở ượ
ấ c vì v n đ ố ủ ệ ọ ậ
t m u ch t c a bài toán. Do v y đ h ả ướ ể ướ ọ ạ ề ữ ế ẫ ơ Nh n th y r ng đây là m t d ng khác c a bài toán g c 1 và t ng quát h n. ọ i d ng di n tích tam giác, nh ng r t nhi u h c Khi ta khai thác bài toán đó d đâu, sinh không làm đ ả ấ ế i t gi không bi ạ nh ng d ng toán này thì ph i h ổ ư ề ấ ế ắ ồ ừ t b t ngu n t đây là h c sinh không bi ế ọ ẫ ng d n h c sinh bi t “quy l ng d n cho h c sinh bi v quen”.
ả ụ ể ộ
ế ộ ế ườ ở bài 1 k t qu không ph thu c vào đi m M, do đó ta thay M b i I ộ ế ng tròn n i ti p
ể ả ọ i bài toán sau.
ọ ng tròn n i ti p ộ ế (cid:0) ABC. Đ t BC = c, BC = a, ặ uur + ằ Ở ậ Nh t xét 2: ườ ng tròn n i ti p tam giác ABC và r là bán kính đ là tâm đ ể ử ụ tam giác ABC thì h c sinh có th s d ng bài toán 1 đ gi Bài 2: Cho (cid:0) ABC, g i I là tâm đ + ứ CA = b. Ch ng minh r ng (2) ườ uur r uur = aIA bIB cIC 0
Gi
1
t: uur + i v n t +
A
+ + ả ắ ắ Áp d ng bài 1, ta có: ụ uur uur S IA S IB S IC 3 2 uur uur rbIB raIA uur r = rcIC 0 � 1 2
I
r
S
1
B
3
C
a
uur + + 1 1 2 2 uur r uur = aIA bIB cIC 0 �
ậ ướ ạ ạ ộ i "góc đ " góc, thì ta l i có bài toán sau.
ườ ọ ng tròn n i ti p ộ ế (cid:0) ABC. Đ t AB = c, BC = a, ặ uur uur + = + ằ ế N u ta nhìn các c nh d Nh n xét 3: Bài 3: Cho (cid:0) ABC, g i I là tâm đ uur r ứ IA sinA IBsinB ICsinC 0 CA = b. Ch ng minh r ng:
ị ộ ề ọ ậ (cid:0) ABC nh n thì tâm
Ta th y v trí M thu c mi n trong tam giác, v y ộ ề ng tròn ngo i ti p ấ ạ ế (cid:0) ABC thu c mi n trong. Do đó, ta có bài toán m i. ớ
ọ ọ uuur uuur uuur + + ạ ườ ng tròn ngo i = ứ (4) r ằ : OA sin2A OBsin2B OCsin2C 0
2
ươ ướ ả ậ ậ Nh n xét 4: ườ O đ Bài 4: Cho (cid:0) ABC nh n, BC = a, CA = b, AB = c. G i O là tâm đ ti p ế (cid:0) ABC. Ch ng minh r ng ế ừ ế Nh n xét 5: T k t qu bài 2, n u ta bình ph ấ ệ ng (2) khi đó xu t hi n ng vô h
2 (AB
2 AC BC )
2
+ = - uuur uuur AB.AC ử ụ uur uur uur uur uur uur IA.IB,IB.IC,IC.IA . ứ . Và s d ng công th c 1 2
= - - ậ ậ (Th t v y ). uuur uuur uuur = 2 CB (AB AC) CB uuur uuur (AB AC) �
ạ ớ Ta l i có bài toán m i sau.
2
ọ ọ ườ ộ ng tròn n i Bài 5: Cho (cid:0) ABC nh n, BC = a, CA = b, AB = c. G i I là tâm đ
2 IC ab
+ = + 1 ằ ti p ế (cid:0) ABC. Ch ng minh r ng: ứ (5)
2 IA IB bc ca uur uur + (aIA bIB cIC) uur uur
2
2
2 a IA
2 2 b IB
2 c IC 2cbIA.IB 2caIC.IA 2abIA.IB 0
2
2
2
2
uur + Gi ả ắ ắ Từ (2) (cid:0) t: i v n t = 2 0 uur uur uur uur + + + + + = �
2 a IA
2 2 b IB
2 c IC 2ab (IA
2
2
2
2
+ + + + - + 2 IB a ) � 1 2
+ + + 2 - - 2ca (IC IA b ) 2ab (IA = 2 IB c ) 0 1 2 1 2
(cid:0) (a2 + ab + ac) IA2 + (b2 + ba + bc) IB2 + (c2 + ca + cb) IC2 abc(a + b + c) = 0.
(cid:0) a(a + b + c) IA2 + b(a + b + c) IB2 + c(a + b + c) IC2 = abc (a + b + c)
2
(cid:0) aIA2 + bIB2 + cIC2 = abc.
2 IB ca
2 IC ab
4
(cid:0) + + = . 1 IA bc
2
ế ấ ở Nh n xét 6: T công th c (2) n u ta thay I b i M b t thì ta luôn có ậ uuuur + ừ + ế ươ ự ư ổ 0 và bi n đ i hoàn toàn t ng t nh bài toán 5, ta suy ứ (cid:0)
uuur uuur (aMA bMB cMC) ra aMA2 + bMB2 + cMC2 (cid:0)
(cid:0) ễ ấ ấ ả ể ậ ừ ụ ả abc(***) M (cid:0) D th y d u "=" x y ra I. T đó ta có th v n d ng gi i bài toán
ứ ằ ọ i duy
ể ấ sau: Bài 6: Cho (cid:0) ABC nh n, BC = a, CA = b, AB = c. Ch ng minh r ng t n t ồ ạ 2 + bMB2 + cMC2 (cid:0) nh t đi m M sao cho aMA (6)
(cid:0) M (cid:0) ớ I, v i I là
ướ H ng d n: ườ tâm đ ẫ T (***) và (6) ừ ng tròn n i ti p
abc aMA2 + bMB2 + cMC2 = abc (cid:0) ộ ế (cid:0) ABC. V y M duy nh t. ấ ậ ể ể ằ i d ng khác. Nh m rèn
2
ậ ệ ướ ạ ừ ạ ề ạ ọ ọ v quen sau. đó quy l
ọ ị
ỏ ị Cũng bài toán 6, ta có th phát bi u d Nh n xét 7: ự luy n năng l c sáng t o trong toán h c cho h c sinh t Bài 7: Cho (cid:0) ABC nh n, BC = a, CA = b, AB = c. Tìm v trí M sao cho P = aMA + bMB2 + cMC2 đ t giá tr nh nh t. ấ ạ
ạ ế
ể ậ Qua d ng bài toán trên, n u bi ụ ế ậ ụ ươ ự ả ạ ế ợ ư i, thì ta có th v n d ng gi i các bài toán t t v n d ng linh ho t k t h p các bài ở ứ ộ m c đ sau, nh ng ng t
ộ ế ọ ườ ng tròn (O; 1).
ứ ằ ọ ậ Nh n xét 8: ạ toán l cao h n.ơ Bài 8: Cho (cid:0) ABC nh n, BC = a, CA = b, AB = c, n i ti p đ ớ Ch ng minh r ng v i m i M ta luôn có
uuur uuur uuur + + i v n t t: Gi a2(b2 + c2 a2) MA + b2 (c2 + a2 b2) MB + c2 (a2 + b2 c2) MC (cid:0) a2b2c2. r = ả ắ ắ Theo bài 4, ta có OA sin2A OBsin2B OCsin2C 0
= -
uuur uuuur (1 OA.OM)
Và OA = OB = OC = 1, a = 2RsinA = 2sinA, b = 2sinB, c = 2sinC. = (cid:0) - (cid:0) (****)
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur MA = OA. MA = OA . MA OA.MA OA(OA OM) uuur uuuur OA,MA
ướ ủ ằ ả ấ ỉ cùng h
ươ ), t ng t ự ng. uuur uuuur 2abcsin2A(1 OA.MA
ườ D u b ng x y ra c a (****) khi và ch khi Ta có: a2 (b2 + c2 a2) MA = 2abc sin2A. MA (cid:0) ạ cho 2 tr ợ ng h p còn l i.
Ta suy ra uuur uuur + + uuuur uuur 2abc (sin2A + sin2B + sin2C) 2abc. OM(OA sin2A OBsin2B OCsin2C)
VT (cid:0) = 2abc. 4sinA. sinB. sinC = a2b2c2
ấ ệ ố ủ ấ M u ch t c a bài toán này, là xu t hi n a
2(b2 + c2 a2) = 2abc cosA.sinA, O là tâm ậ ụ ng và v n d ng bài 4.
ưở ườ đ ng tròn ngo i ti p
ậ ệ ấ T bài toán trên có s xu t hi n a
2(b2 + c2 a2) khi đó ta nghĩ ngay ể ậ i bài toán 1, ta có th v n
ế ậ ớ ả t k t h p v i cách gi
ả i bài toán sau.
5
ự ọ ọ (cid:0) ABC. ạ ế (cid:0) ABC nh n. Do đó, ta liên t ọ ự ừ Nh n xét 9: ế ế ợ ế đ n cosA . Do v y, n u bi ụ d ng gi Bài 9: Cho (cid:0) ABC nh n, BC = a, CA = b, AB = c. G i H là tr c tâm
2 b
2 a
2 b
2 c
+ + uuur HA uuur HB uuur r = HC O ứ ằ Ch ng minh r ng . + - - - 1 2 c 1 2 a + 2 c + 2 a 1 2 b
ươ ự Gi ả ơ ượ T i s l c: ng t bài toán 1.
1, B1.
B'
A
ầ ượ ạ ắ Kéo dài AH, BH c t BC, AC l n l t t i A
B
1
ự D ng hình bình hành HB' CA'
H
(cid:0) + = uuur uuuur uuuur HC HA ' HB'
B
C
A
1
= Ta có: acosC ccosA CB' B C = 1 AH AB 1
A'
= - uuuur HA ' uuur = - CB' uuur HA � (9') acosC ccosA
= - uuuur HB' uuuur = - CA ' uuur HB ự ươ t ng t (9'') bcosC ccosB
= - - uuur HC uuur HA uuur HB ừ T (9') và (9'') ta suy ra acosC ccosA bcosC ccosB
+ + uuur HA uuur HB uuur r = HC 0 �
2 b
2 a
2 b
2 c
+ + b cosB uuur HA uuur HB uuur r = HC 0 � + - - - a cosA 1 2 c + 2 c c cosC 1 2 a + 2 a 1 2 b
ả ệ ế Qua vi c gi
ậ ộ ấ ằ ư ề ặ ấ ố
ộ ề ạ ể ấ ể ế
ơ
ặ ể ướ ể ừ ơ ả ả ộ ạ , hay c nh. Giáo viên có th h có th t
ả ạ i quy t bài toán thu c lo i này, hay s d ng các bài toán c
ề ọ i quy t các bài toán trên, ta th y r ng đi m M luôn Nh n xét 10: ể thu c mi n trong tam giác. Đây có th là v n đ đ c tr ng, cái m u ch t cho các bài d y thu c lo i trên. Khi g p các bài toán có liên quan đ n đi m M và các ưở ọ ạ ng cho các em h c sinh cách liên t ng vect ậ ọ ị bài toán c b n trên khai thác thêm v n đ nh lý đã h c. Các đ c gi ơ ử ụ ộ ế ạ ụ d ng sáng t o, gi ề ự ỳ ệ ả b n khác. Vi c khai thác ti m năng Sách giáo khoa là đi u c c k quan tr ng.
a
b
,0
0
3
3
(cid:0) (cid:0) ơ ả ứ ế ằ Ch ng minh r ng n u thì II.1.2. Bài toán c b n 2:
a
b
baab (
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ẳ ứ ả .(II) Đ ng th c x y ra khi nào ?
3
2
3
2
ứ Ch ng minh.
a
bba
ab
0
6
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cách 1: (II)
2
2
baa
bab
(
)
0
( 2
) 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
aba
b
(
)
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ba
ba
)( 2 ()
(
)
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ấ ẳ ứ ố B t đ ng th c cu i cùng luôn đúng.
ứ ả ẳ ỉ Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b.
3
3
2
2
Cách 2:
a
b
aba
b
ab
ba
ab
ab
baab
(
)(
)
(
2)(
)
(
)
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có:
b
ab
2
a ậ
(cid:0) (cid:0) ằ ấ ả ỉ ( vì ). D u b ng x y ra khi và ch khi a=b.
3
3
a
3
3
ố ươ ừ ộ ấ ẳ ể Nh n xét 1: Vì a, b là hai s d ng nên, t (II) ta có th suy ra m t b t đ ng
a
+ (cid:0) + b
a b
+� ab a b (
)
+ b ab
ứ ớ th c m i (1)
3
3
3
3
3
3
ố ự ươ ứ ằ ng. Ch ng minh r ng Bài 1: Cho a,b,c là các s th c d
a b c + + (cid:0) + + a b c ) 2( (1) + b ab + c bc + a ca
ướ ứ ẫ ờ ệ ụ ầ ậ ấ ẳ H ng d n: B t đ ng th c (1) gi ả ượ i đ c nh vi c áp d ng nh n xét 1, ba l n
3
3
3
2
2
2
ố ự ứ ằ Bài 2: Cho a, b, c là ba s th c không âm. Ch ng minh r ng
a
b
c
a
bc
b
ac
c
ab
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) .
ứ Ch ng minh.
3 + b3 ≥ ab(a + b)
ấ ẳ ụ ứ ượ Áp d ng b t đ ng th c (II) ta đ c a
b3 + c3 ≥ bc(b + c)
a3 + c3 ≥ ac(a + c)
ế ớ ế ấ ẳ ứ ộ C ng v v i v các b t đ ng th c trên ta có
2(a3 + b3 + c3) ≥ a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) (1)
2
2
2
ố ự ấ ẳ ứ ụ ặ ượ M t khác áp d ng b t đ ng th c Côsi cho hai s th c không âm ta đ c
bc
ac
ab
b 2
c 2
(cid:0) (cid:0) a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) ≥ (2)
a 2 ề T (1) và (2) suy ra đi u ph i ch ng minh.
ứ ừ ả
ứ ả ẳ ỉ Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c.
ộ ạ ế ấ
ậ ụ ướ ề t khai thác,v n d ng bài toán trên d ự i GV không bi
7
ạ i nhi u khía c nh ở ả ượ ố ớ ả ễ ậ Nh n xét 2: Th c ch t đây là m t d ng khai thác bài toán trên. Tuy nhiên n u ư ườ nh ng ệ thì li u bài toán trên gi c đ i v i HS không ph i d chút nào. Và ế i đ bài
ề
3
3
a
b
ệ ạ toán sau đây, chúng ta có th đ t thêm m t v n đ nh m khai thác bài toán trên ướ ớ v i vi c ab=1. Ta l ể ặ i có bài toán sau d ộ ấ ằ ộ i góc đ khác.
1
b
a
1
1
(cid:0) (cid:0) ứ ằ Bài 3: Cho a > 0, b > 0 và ab = 1. Ch ng minh r ng (cid:0) (cid:0)
3
3
4
4
ứ Ch ng minh.
a
b
1
a ba
b 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ầ ấ ẳ ứ ươ ươ ớ B t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i (cid:0) (cid:0)
3
4
4
3
+
+
a
b
2 2 a b
=
=
ấ ẳ ấ ẳ ứ ứ ụ ố Áp d ng b t đ ng th c (II) và b t đ ng th c Côsi cho hai s không âm ta có
1
+ + + +
+ + ) 2 + + a b
a b a b
+ b a + + a b 2
ab a b ( 2
2 2
(cid:0) (đpcm).
ứ ả ẳ ỉ Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = 1.
3
3
3
+
+
+
+
+
+
ố ự ươ ứ ằ ng. Ch ng minh r ng: Bài 4: Cho a, b, c là ba s th c d
a
b
c
(
)
1 3 b
1 3 c
+ b c a
+ c a b
+ a b c
1 � � 3 a �
3 � � � � 2 � �
� � �
(cid:0)
ứ Ch ng minh.
3 + b3 ≥ ab(a + b)
ấ ẳ ứ ụ ượ Áp d ng b t đ ng th c (II) ta đ c a
b3 + c3 ≥ bc(b + c)
a3 + c3 ≥ ac(a + c)
Suy ra 2(a3 + b3 + c3) ≥ bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) (1)
ấ ẳ ố ươ ứ ụ ặ M t khác áp d ng b t đ ng th c Côsi cho ba s d ng ta đ ượ c
3 abc
1 3 a
1 3 b
1 3 c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (2)
ừ ứ ả ứ ề ả ẳ ỉ
T (1), (2) suy ra đi u ph i ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c.
3
3
3
3
3
3
ố ươ ằ ứ ng a, b, c. Ch ng minh r ng: Bài 5: Cho ba s d
+
+
+ + a b c
2
2
2
+
+
+
b 5 ab
c 5 cb
a 5 ac
a b 3
b c 3
c a 3
- - - (cid:0) .
ứ Ch ng minh.
8
ấ ẳ ụ ứ Áp d ng b t đ ng th c (II) ta có
3
3
3
a3 + b3 – 6b3 ≥ ab(a + b) 6b3 = b(a2 + ab 6b2) = (ab + 3b2)(a 2b)
ab
ab
a
(
b 3
2)(
)
b 5
3
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ab 2
2
b 5 ab
a b 3
3
3
3
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
bc
ca
2
2
2
2
c 5 cb
a 5 ac
b c 3
c a 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ự T ng t , (cid:0) (cid:0)
ế ớ ế ấ ẳ ộ ượ ứ ề ả ứ C ng các b t đ ng th c trên v v i v ta đ c đi u ph i ch ng minh.
ứ ả ẳ ỉ Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c.
3
3
3
+
+
ố ươ ứ ằ ớ ấ ng a, b, c b t kì ta có Bài 6: Ch ng minh r ng v i ba s d
2
2
2
2
2
2
+
+
+
a + ab b
b + bc c
b
c + ac a
c
a
+ + a b c 3
(cid:0)
ứ Ch ng minh.
3 + b3 ≥ ab(a + b)
3
3
2
2
ấ ẳ ụ ứ ượ Áp d ng b t đ ng th c (II) ta đ c a
۳
a
3
3
3
3
+ a b ab 2
2
b +
+
-
۳
a
b
a 3
2
2
3
+ a b ab 2
+
+ 2
a +
-
۳
+ ab b
a b a
+ ab b
)
(
)(
)
a 3
a a ( 3
-
2
۳
2
2
+
a
a + ab b
a b 3
3
3
-
2
2
2
2
+
+
+
c
c + ac a
c a 2 3
b bc
b
c
b c 2 3
- - (cid:0) (cid:0) ươ ự T ng t ,
ế ớ ế ấ ẳ ứ ộ ượ ề ầ ứ C ng v v i v các b t đ ng th c trên ta đ c đi u c n ch ng minh.
ứ ả ẳ ỉ Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c.
9
9
9
9
9
9
+
+
ứ ằ ng và xyz =1. Ch ng minh r ng Bài 7: Cho x, y, z là ba s th c d
3
3
3
6
6
3
3
6
6
6
3
3
6
2 +
y +
z +
2 +
x +
+ x x y
x
y
y
z
z
+ z z x
x
(cid:0) ố ự ươ + y 2 + y z
ứ Ch ng minh.
3)3 + (y3)3 ≥ x6y3 + x3y6
9
ấ ẳ ứ ụ ượ Áp d ng b t đ ng th c (II) ta đ c (x
6
3
6
3
9
9
9
3
3
6
3
6
9
9
+ +
� �
+ x y + x y
+ x + y
x x
x y x x (
)
2 2
9
9
3
۳
x
6
3
3
6
� � y +
2 +
x
y y + x x y
y
9
9
9
3
3
y
z
3
3
6
6
x 3
6
6
2y +
z +
+ y z
z
y
92 z 3 xz
z
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ự T ng t , (cid:0) (cid:0)
9
9
9
9
9
9
ế ớ ế ấ ẳ ứ ộ ượ C ng v v i v các b t đ ng th c trên ta đ c
2
2
2
3
3
3
x
y
z
y 3
6
z 3
6
6
6
6
x 3
6
x 3 yx
x
y 3 zy
y
y
z
z
z 3 xz
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3 + y3 + z3 ≥ 3xyz = 3. (2)
ứ ụ ặ ấ ẳ M t khác áp d ng b t đ ng th c Côsi ta có: x
ứ ả ứ ề ả ẳ ỉ
ừ T (1), (2) suy ra đi u ph i ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi x=y =z =1
ố ự ươ ứ ằ ng. Ch ng minh r ng Bài 8: Cho a, b, c là ba s th c d
3
3
3
3
2
3
1 abc
1 abc
a
b
b
c
a
1 abc
1 abc
c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ứ Ch ng minh.
3 + b3 ≥ ab(a + b)
ấ ẳ ụ ứ ượ Áp d ng b t đ ng th c (II) ta đ c a
c
(cid:0) a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
3
3
abc
cba
(
)
a
b
1 abc
a
b
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
2
3
3
abc
cba
(
)
c
a
1 abc
abc
cba
(
)
1 abc
b
c
(cid:0) (cid:0) ươ ự T ng t , (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ế ớ ế ấ ẳ ứ ộ ượ ứ ề ả C ng v v i v các b t đ ng th c trên ta đ c đi u ph i ch ng minh.
ứ ả ẳ ỉ Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c.
ậ ế ở ệ ữ ứ ề ộ bài toán trên ch ng ta c ng đi u ki n n a abc=1. ta có bài
ớ Nh n xét 3: N u toán m i sau đây.
+
+
ố ự ươ ằ ứ ng và abc=1. Ch ng minh r ng
1
3
3
3
3
3
3
+
+
+
+
+
+
1 b
a
b
a
1 c
1
1
1
10
(cid:0) . Bài 9: Cho a, b, c là ba s th c d 1 c
ế ậ ạ ớ Nh n xét 4: N u ta l ạ ặ 3 = x; b3 = y; c3 = z. Ta l i đ t a i có bài toán m i sau.
ố ự ươ ứ ằ ng và xyz = 1. Ch ng minh r ng Bài 10: Cho x, y, z là ba s th c d
1
x
y
z
1 z
1 x
1 y
1
1
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ậ ạ ỏ ề ạ ớ ơ Nh n xét 5: Ta l ệ i b đi đi u ki n xyz=1. Ta l i có bài toán m i khó h n
1
1
1
ố ự ươ ứ ằ ng. Ch ng minh r ng Bài 11: Cho x, y, z là ba s th c d
3
3
3
3
x
y
xzy
y
z
xyz
z
x
xyz
1 xyz
3
3
3
+
+
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
a 2 b
b 2 c
a
ab
b
bc
a
ca
c c
ả . Bài 12: Cho a, b, c >0 tho mãn
ị ớ ứ ể ấ ủ Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c S = a + b + c
ậ ệ ế ử ụ ế
ế ậ ụ ươ ự ứ ế bài 8. N u HS không bi t s d ng t v n d ng bài 9 (t c ng t
3
3
3
ứ Nh n xét 6: Vi c ch ng minh các bài 10, 11, 12 không khó, n u bi ạ linh ho t các bài toán t ậ ụ v n d ng bài toán 1).
a b
b c
c a
a b
b c
c a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ . Trong đó a, b, c là Bài 13: Ch ng minh r ng (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ố ự ươ các s th c d ng.
3
ứ Ch ng minh.
1
1
a b
a b
a b
a b
a b
3
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ụ ứ ượ Áp d ng b t đ ng th c (II) ta đ c (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
1
b c
b c
b c
c a
c a
c a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ự T ng t , . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
3
3
ế ớ ế ấ ẳ ứ ộ ượ C ng v v i v các b t đ ng th c trên ta đ c
3
b c
a b
c a
a b
b c
c a
a b
b c
c a
11
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3(cid:0)
a b
b c
c a
(cid:0) (cid:0) ứ ụ ặ ấ ẳ M t khác áp d ng b t đ ng th c Côsi ta có (2)
ứ ừ ả ề T (1) và (2) suy ra đi u ph i ch ng minh.
ứ ả ẳ ỉ Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c.
ổ Bài 14: (bài toán t ng quát)
*N(cid:0)
ố ự ứ ằ . Ch ng minh r ng Cho a1, a2,..,an là các s th c không âm, n
n+1 + a2
n+1 + .. + an
n+1 ≥ a1a2..an(a1 + a2 + .. + an).
a1
ứ Ch ng minh.
ố ự ấ ẳ ụ ứ Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho n + 1 s th c không âm ta có
n+1 + a1
n+1 + a2
n+1 + .. + an
n+1 ≥ (n + 1)a1
2a2…an
a1
n+1 + a2
n+1 + a2
n+1 + …. + an
n+1 ≥ (n + 1)a1a2
2a3…an
a1
2
……………………………………….
n+1 + a2
n+1 + …. + an
n+1 + an
n+1 ≥ (n + 1)a1a2….an
a1
ế ớ ế ấ ẳ ứ ộ ượ ứ ề ả C ng v v i v các b t đ ng th c trên ta đ c đi u ph i ch ng minh.
1 = a2 = …. = an .
ứ ả ẳ ỉ Đ ng th c x y ra khi và ch khi a
ấ ẳ ứ ổ ứ ứ
ấ ẳ ấ ẳ ụ Áp d ng b t đ ng th c (II) và b t đ ng th c t ng quát vào ch ng minh ứ các b t đ ng th c sau.
ậ ạ
ề
ấ t nhìn nh n v n đ trong ả
ng khác nhau. Đ làm đ ướ ượ ứ ề ẳ ế ng khác nhau. Bi ắ ẳ ề t h n ng c đi u đó ướ ủ ụ ng d n khai thác các ng d ng c a nó d ể ậ ườ i Giáo viên ph i tìm ộ i nhi u góc đ . Ch ng
ẫ ơ ả ụ ừ ữ Nh n xét 8: T nh ng ví d minh ho thêm chúng ta có th khai thác bài toán ề ướ ề ằ trên b ng nhi u cách nhi u h ể ề ướ nhi u h ọ m i cách h ạ h n ta có bài toán c b n sau đây.
a
b
,0
0
4
4
2
2
(cid:0) (cid:0) ơ ả ứ ế ằ Ch ng minh r ng n u thì III.1.3. Bài toán c b n 3:
a
b
b
aab (
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ẳ ứ ả .(III) . Đ ng th c x y ra khi nào ?
4
4
3
ứ Ch ng minh.
a
b
3 ba
ab
0
3
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (III)
baa (
)
)
0
bab ( 2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
b
(
)(
)
0
2
ab 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ba
a
ab
b
(
ababa )( 2 ()
)
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ứ ả ấ ẳ ứ ẳ ố ỉ B t đ ng th c cu i cùng luôn đúng. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b.
ổ Bài 1: (bài toán t ng quát).
*N(cid:0)
12
ố ự ứ ằ . Ch ng minh r ng Cho a1, a2,….,an là các s th c không âm, n
2).
n+2 + a2
n+2 + …. + an
n+2 ≥ a1a2….an(a1
2 + a2
2 + …. + an
a1
ứ Ch ng minh.
ố ự ấ ẳ ứ ụ Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho n + 1 s th c không âm ta có
n+2 + a1
n+2 + a1
n+2 + a2
n+2 + …. + an
n+2 ≥ (n + 2)a1
3a2….an
a1
n+2 + a2
n+2 + a2
n+2 + a2
n+2 + …. + an
n+2 ≥ (n + 2)a1a2
3a3….an
a1
3
…………………………………
n+2 + a2
n+2 + ….+ an
n+2 + an
n+2 + an
n+2 ≥ (n + 2)a1a2….an
a1
ế ớ ế ấ ẳ ứ ộ ượ ứ ề ả C ng v v i v các b t đ ng th c trên ta đ c đi u ph i ch ng minh.
1 = a2 = …. = an .
ứ ả ẳ ỉ Đ ng th c x y ra khi và ch khi a
ấ ẳ ứ ổ ứ ứ
aa
bb
ấ ẳ ấ ẳ ụ Áp d ng b t đ ng th c (III) và b t đ ng th c t ng quát vào ch ng minh ứ các b t đ ng th c sau.
ba
b
a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ươ ứ ằ ng a, b. Ch ng minh r ng . Bài 2: Cho hai s d
2
2
ứ Ch ng minh.
a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ứ ầ ươ ứ
ấ ẳ ớ ng v i b a và b nên ta đ ng . Đây baba ) ( ả ề ượ c đi u ph i
3
3
3
4
4
4
ứ ươ ng đ B t đ ng th c c n ch ng minh t ố ươ ứ chính là b t đ ng th c (III) cho hai s d ch ng minh.
ac
a
a
c
c
ab
bc b ố ự
b Trong đó a, b, c là ba s th c không âm.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ . Bài 3: Ch ng minh r ng
ứ Ch ng minh.
4 + b4 ≥ a3b + ab3
ấ ẳ ụ ứ Áp d ng b t đ ng th c (III) ta có a
b4 + c4 ≥ b3c + bc3
a4 + c4 ≥ a3c + ac3
ế ớ ế ấ ẳ ứ ộ ượ C ng v v i v các b t đ ng th c trên ta đ c
2(a4 + b4 + c4) ≥ a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b). (1)
3
3
3
ấ ẳ ứ ụ ặ ố M t khác áp d ng b t đ ng th c Cô si cho hai s không âm ta có
a
bc
ac
ab
2
b 2
c 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b) (2)
ừ ứ ả ứ ề ả ẳ ỉ
2
2
2
T (1), (2) suy ra đi u ph i ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c.
a b
b c
c a
a b
b c
c a
13
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ươ ằ ứ ng a, b, c. Ch ng minh r ng Bài 4: Cho ba s d (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
4
ứ Ch ng minh.
1
1
a b
a b
a b
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ụ ứ Áp d ng b t đ ng th c (**) ta có (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
1
b c
b c
b c
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
1
c a
c a
c a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
3
3
2
2
2
ế ớ ế ấ ẳ ứ ộ ượ C ng v v i v các b t đ ng th c trên ta đ c
3
a b
b c
a b
b c
c a
a b
b c
c a
c a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3(cid:0)
c a
a b
b c
3
3
3
(cid:0) (cid:0) ứ ụ ặ ấ ẳ M t khác áp d ng b t đ ng th c Côsi ta có (2)
b c
a b
c a
a b
b c
c a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ụ ả ượ ế và áp d ng k t qu Bài 9. ta đ c (3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ứ ừ ề ả T (1), (2), (3) suy ra đi u ph i ch ng minh.
ứ ả ẳ ỉ Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c.
16
16
16
16
16
16
ứ ằ Bài 5: Ch ng minh r ng
x
y
z
2
2
2
4
4
4
x
y
z
y 4
z 4
x 4
12
12
12
12
12
12
x
8 yx
y
y
8 zy
z
z
8 xz
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ố ự ươ trong đó x, y, z là ba s th c d ng.
44
44
4
12
ứ Ch ng minh.
x
y
12 yx
4 yx
14
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ụ ứ Áp d ng b t đ ng th c (III) ta có
16
16
4
4
16
x
y
x
2
16
16
12 yx 4
12
4
12
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
12 xy 8 yx
y
2
(
)
y 16
x 16
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
4
x
y 4
12
12
x 8 yx
x
y
16
16
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
4
4
y
z
z 4
12
12
x 4
12
12
162 y 8 zy
y
z
162 z 8 xz
z
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ự T ng t , . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ế ớ ế ấ ẳ ứ ộ ượ ứ ề ả C ng v v i v các b t đ ng th c ta đ c đi u ph i ch ng minh.
ứ ả ẳ ỉ Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z.
ố ự ươ ứ ằ ng. Ch ng minh r ng
5
5
5
2
2
2
b
a
c
a
b
c
(3
)
1 3 a
1 3 b
1 3 c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài 6: Cho a, b, c là ba s th c d (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ứ Ch ng minh.
ủ ấ ẳ ấ ẳ ứ ổ ứ ụ ượ Áp d ng b t đ ng th c t ng quát c a b t đ ng th c (**) cho n = 3 ta đ c
a5 + b5 + c5 ≥ abc(a2 + b2 + c2) (1).
3 abc
1 3 a
1 3 b
1 3 c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ố ươ ứ ụ ặ M t khác áp d ng b t đ ng th c Côsi cho ba s d ng ta có (2)
ừ ứ ả ứ ề ả ẳ ỉ
T (1), (2) suy ra đi u ph i ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c.
5
5
2
b
baba )
(
ậ ừ ố ớ ể Nh n xét 1: T bài toán 6, chúng ta có th khai thác b c 5, đ i v i 2 s 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ứ ả ậ ườ ế
ệ ộ
ậ ế ệ ạ ậ ộ ứ ệ ớ ố ậ ấ ứ ệ ộ ấ ẳ ằ a (IV) rõ ràng vi c ch ng minh b t b ng m t b t đ ng th c ứ ầ ẳ t khai thác bài đ ng th c này qu th t không khó. Tuy nhiên, nêu ng i th y bi ơ ả ệ ứ toán c b n trên thì vi c nh n ra và ch ng minh bài toán này là m t vi c làm ướ ụ ả ơ i đ n gi n. Cũng chính vì th vi c v n d ng chính bài toán này, và nhìn nó d ộ i có m t bài toán m i. góc đ “bi n ch ng” thì ta l
ố ươ ứ ằ ằ ng x, y, z có tích b ng 1. Ch ng minh r ng: Bài 7: Các s d
1
5
5
5
5
5
5
x
y
y
z
z
zx zx
x
xy xy
yz yz
(cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
5
5
2
ứ Ch ng minh:
x
y
xy
x
xy
(
2 yxy )
xy
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ụ áp d ng (IV), ta có:
5
5
2
x
y
xy
x
z
z y
xy xy
x
y
xy
x
(1
)
(
2 yxy )
15
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
;
5
5
5
5
x
x y
z
y y
x
z
yz yz
y
z
z
zx zx
x
(cid:0) (cid:0) ươ ự T ng t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ề ầ ứ ế ế ộ C ng v theo v các BĐT trên ta có đi u c n ch ng minh
ậ ươ ự Các bài t p t ng t
ụ ấ ẳ ứ ổ ủ ứ
ậ ả Áp d ng các b t đ ng th c (II), (III) và các b t đ ng th c t ng quát c a chúng gi ấ ẳ i các bài t p sau.
2
2
2
ố ươ ằ ứ ng a, b, c. Ch ng minh r ng Bài 8: Cho ba s d
a
b
c
abc
a
b
c
(
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) .
2 + b2 + c2 = 3. Ch ng minh r ng
ố ươ ứ ằ ng và a
Bài 9: Cho a, b, c là ba s d a3 + b3 + c3 ≥ a + b + c.
2
2
2
2
ố ự ươ ữ ứ ằ ng. Ch ng minh r ng Bài 10: Cho a, b, c, d là nh ng s th c d
2
2
2
2
a b
b c
c d
d a
a b
b c
c d
d a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) ố ự ươ ng (n ≥ 3, n ứ N). Ch ng minh Bài 11: Cho a1, a2,………,an là các s th c d
r ng:ằ
a
a
a
a
a
a
...
...
n
n
n
n
n
n
n
2
a 1
3
a 1
2
1
a
a
...
...
...
n
a 1
2
n
n
n
a
a
1
1 a
1 a
n
... a 1
2
n
1 n a 1
2
8
8
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
3(
)
2
2
x 4
4
2
y
y
x
x
4(
)
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình sau Bài 12: Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ệ ạ khai thác m t s bài toán
ộ ằ ọ ớ ệ ả ậ ệ II.2. M t vài kinh nghi m đúc k t qua vi c d y ỹ ố g c nh m rèn luy n k năng gi ế ộ ố i bài t p toán cho h c sinh l p 10
ẫ ằ ướ
ệ ả ọ ọ i bài t p toán cho h c sinh c a ng
ướ ọ ả ẫ ả Theo b n thân tôi, h ậ ỹ luy n k năng gi làm quan tr ng khi h ố ể ng d n h c sinh khai thác bài toán g c đ nh m rèn ủ ệ ườ i giáo viên luôn là vi c ậ i bài t p toán. ọ ng d n h c sinh gi
ả ụ ậ
ộ ố ệ ậ ả ằ ệ
ỹ ạ ứ ụ ặ Trong quá trình gi ng d y, b n thân tôi đã v n d ng m t s bi n pháp ệ i bài t p toán cho t là ng d ng các bài toán đó vào d y và h c Toán và phân tích
ư ệ ố ạ ả ố qua vi c khai thác bài toán g c nh m rèn luy n k năng gi ệ ọ ọ h c sinh. Đ c bi ấ ươ nh trên tôi th t t ả ng đ i có hi u qu .
ạ ụ ậ
ệ ố ề ấ ả ợ ề ườ t phân tích các v n đ , các tr
16
ư ế ẩ ọ ế cách có h th ng. Bi nhà vi ộ 1. Khi d y h c luôn v n d ng khai thác ti m năng Sách giáo khoa, m t ề ng h p x y ra, các đi u mà t sách đ a ra, đang n tàng trong đó.
ườ ứ ệ ả
2. Tăng c ạ ữ ể ạ ấ
ệ ả ỹ
ằ ệ ọ ệ ố ng tham kh o, tìm tòi và nghiên c u tài li u. Qua đó h th ng ư các lo i bài toán cùng d ng, có nh ng tính ch t cùng nhau. Đ tìm cách đ a các ậ ạ ề v quen" nh m khai thác rèn luy n k năng gi bài toán đó "quy l i các bài t p ả ộ toán cho h c sinh m t cách có hi u qu .
ạ ướ
ế ậ ế ả
ọ ệ ỹ ộ ố ự ạ
i bài t p toán, bi ố ể ừ đó có th t ỉ ả ọ
ả ộ ọ ng cho h c sinh các cách phân tích, 3. Trong quá trình d y h c luôn h ậ ằ t phân tích khai ti p c n bài toán. Nh m rèn luy n k năng gi ể ươ ơ ả hóa ng t thác các d ng toán c b n qua m t s bài toán g c đ t ọ ấ ứ ủ khái quát hóa bài toán, c a h c sinh ch không ph i ch cung c p cho h c sinh cách gi i máy móc m t bài toán nào đó.
ẫ ộ 4. Khi g p m t bài toán nào đó giáo viên c n h
ầ ướ ậ ụ ể ộ i nhi u góc đ , cách nhìn khác nhau. V n d ng cái đã bi ọ ng d n cho h c sinh xem ể ế t, đ chuy n
ướ ư ế xét nó d ừ t cái ch a bi ặ ề ế ề t v cái đã bi t.
ọ ầ ạ
ọ ỗ 5. Trong quá trình d y h c c n t o chu i bài toán liên quan. Làm cho h c ứ ơ ả ọ ể ả ậ ụ ạ ạ ế sinh bài v n d ng linh ho t các ki n th c c b n đã h c đ gi i nó.
Ậ Ế III. K T LU N
ố ớ III.1. Đ i v i giáo viên
ộ ố
ả ậ đó đ t ệ đó rèn luy n k năng gi
ế ừ t, t ượ ộ ọ ạ
ế ậ
ơ ả ỹ
ạ i d y bi ữ ọ ề ọ ệ ệ ơ ả Vi c khai thác m t s bài toán c b n trong sách giáo khoa là m t vi c ỹ ể ừ ầ i bài t p toán cho h c sinh, làm c n thi ọ ự ể ọ ạ c năng l c sáng t o trong d y h c toán. Trong quá trình d y h c phát tri n đ ậ ộ ườ ạ ế ấ ằ t khai thác m t cách khéo léo các bài t p trong nh n th y r ng n u ng ọ ọ ậ ả ệ ể sách giáo khoa, ch n l c nh ng bài toán c b n đ rèn luy n k năng gi i bài t p ượ ẽ ạ toán s t o nên đ c cho h c sinh ni m đam mê toán h c.
ỹ ệ ậ i bài t p toán qua vi c khai thác m t s bài toán c
ả Rèn luy n k năng gi ả ệ ọ ộ ố ộ ọ duy toán h c m t cách t ơ ấ t nh t,
ố ệ ự ể ả ạ ể ư ả b n giúp cho h c sinh có kh năng phát tri n t ố ọ nâng cao kh năng nh y bén trong m i tình hu ng và s phát tri n toàn di n.
ậ ế ọ ươ ể ổ t cách chuy n đ i các bài toán t ng đ
ế ự ươ ờ ư ệ ọ ồ ng, ệ cho h c sinh nh ng đ ng th i rèn luy n
ư ọ ệ T p luy n cho h c sinh bi ầ bi cho các em t ộ t d đoán. C n đ ng viên, khích l duy toán h c.
ượ ứ ơ ả ọ ộ
ẫ ộ c các ki n th c c b n khi gi ự , khái quát, bi ng t ả i ế t
ệ ướ ự ế Rèn luy n cho h c sinh huy đ ng đ ọ ể ươ m t bài toán. H ng d n h c sinh suy nghĩ theo ki u t ể ậ ụ tìm tòi khai thác, d đoán đ v n d ng cho bài toán khác.
ọ ạ ả
ủ ộ ướ ướ ủ ế ầ ọ
Trong quá trình d y h c ng ế ế ứ ậ ự
ạ ớ
ế ậ ụ ứ ế ọ ọ ẫ ườ ng d n h c i giáo viên luôn ph i tìm tòi h ọ ố ng cho h c t ch đ ng trong m i tình hu ng, làm ch ki n th c. C n h sinh bi nghiên sinh bi t nhìn và soi xét kĩ các bài toán sách giáo khoa, t p cho các em t ơ ả ứ c u, tìm tòi và cách sáng t o các bài toán m i, cách khai thác các bài toán c b n và bi ể t v n d ng các bài toán đó đ khám phá ki n th c toán h c.
17
ố ớ ọ III.2. Đ i v i h c sinh
ọ ả ế i trung tâm bi
H c sinh luôn ph i là ng ọ ườ ọ
ớ ế ả ự ế
ủ ộ ạ ủ ứ ỗ ậ t cách nhìn nh n bài toán, tránh ứ ể ố ớ ủ ế ụ ộ cách h c th đ ng, tránh cách h c ch y u là ghi nh ki n th c đ đ i phó v i ự ọ ự ử t ch đ ng tích c c hình thành lên kh năng t thi c , qua đó bi h c, t nghiên ấ ế ầ ự ứ ể c u đ qua m i bài d y c a th y s chi m lĩnh tri th c là cao nh t.
ả ấ ơ
ả ướ ầ ứ Đ ng tr ọ ế ạ ả
ủ ả
ẳ i khác nhau, ch ng h n khi gi ọ ứ ề ươ ữ ể ấ t tìm tòi cách gi
ộ ạ ệ c m t d ng toán, bài toán dù có đ n gi n đ n m y, ngoài vi c ả ộ ả i m t bài i, h c sinh c n ph i tìm các cách gi gi ả ậ ề ấ ị ế toán có liên quan đ n đ nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai, h c sinh ph i ả ả ợ ế bi ng trình đã gi m i h p lý đ né tránh nh ng v n đ mà ch i.ả t
ọ ạ ộ ầ ạ ậ
ệ ề ặ ề ệ H c sinh c n rèn luy n cho mình các ho t đ ng th t linh ho t theo nhi u ề ấ ẳ t là các bài toán v vecto, các bài toán v b t đ ng
ng khác nhau. Đ c bi ươ ướ h ứ th c trong ch ớ ng trình Toán l p 10 THPT.
Ngày 04 tháng 03 năm 2021
Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O
ễ ươ ạ ọ ư ạ Ph ạ ọ ng pháp d y h c môn Toán 1. Nguy n Bá Kim, , NXB Đ i h c s ph m.
ữ ậ ọ 2. G. Plya, Toán h c và nh ng suy lu n có lí, NXB Giáo d c.ụ
ổ ẻ ụ ộ ọ ộ 3. B GD&ĐT, Toán h c và tu i tr ,NXB Giáo d c, Hà N i.
ươ ươ ụ Ph ạ ọ ng pháp d y h c môn Toán , NXB
ễ 4. Nguy n Bá Kim –Vũ D ng Th y, ụ Giáo d c 1992.
ủ ể ậ ị 5. Đào Tam(ch biên ), Tuy n t p 200 Bài thi vô đ ch toán , NXBGD.
ủ ỳ SGK Hình h c 10ọ 6. Đoàn Qu nh(Ch biên), ,NXB Giáo d c.ụ
ạ ố ụ ủ ỳ 7. Đoàn Qu nh(ch biên), SGK Đ i s 10 11, NXB Giáo d c
ổ ứ ể ậ ề ụ ch c kì thi 30/4, Tuy n t p đ thi 30/4 các năm, NXB Giáo d c
18
8. Ban t
19
Ờ Ả Ơ L I C M N
ệ ế
ỳ ư ự ườ ệ i tr
ư c hoàn thành trong quá trình gi ng d y t ượ ỏ ả
ổ ượ ng THPT Qu nh l u 4, và đã đ xin bày t Toán –Tin Văn phòng, tr
ả ơ ườ ự ệ ệ ấ ả ặ
ề ầ ầ ỳ
ự ệ ọ ỳ
ự ế ử ả ạ ạ Sáng ki n kinh nghi m này đ i ử ạ ụ ườ tr c th c nghi m áp d ng th t ng ỳ ắ ớ ệ THPT Qu nh l u 4. Tác gi i Ban giám hi u, lòng c m n sâu s c t ầ ạ ư ỳ các th y cô trong t ng THPT Qu nh l u 4, đã t o ả ơ ệ ố đi u ki n t t xin c m n t nh t cho b n thân làm công tác th c nghi m. Đ c bi ư ế t Tân (THPT Hoàng Mai), th y Ngô Quang Vân (THPT Qu nh L u th y Chu Vi ồ ứ ụ ư ầ 4), th y H Đ c Tráng (THPT Qu nh l u 4) đã đ c, góp ý và th c hi n áp d ng ế th sáng ki n tr c ti p.
ả ơ ấ ư ủ ầ ố Cu i cùng xin c m n t m lòng u ái c a các th y cô!
