SKKN: Khai thác Autograph hỗ trợ dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm

CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT<br /> <br /> STT Viết tắt Viết đầy đủ<br /> 1 CNTT Công nghệ thông tin<br /> 2 GV Giáo viên<br /> 3 HS Học sinh<br /> 4 GD&ĐT Giáo dục và đào tạo<br /> 5 SGK Sách giáo khoa<br /> 6 SBT Sách bài tập<br /> 7 PPDH Phương pháp dạy học<br /> 8 THPT Trung học phổ thông<br /> 9 MTĐT Máy tính điện tử<br /> 10 PMDH Phần mềm dạy học<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br />  MỤC LỤC<br /> <br /> Nội dung Trang<br /> MỞ ĐẦU 1<br /> Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn 4<br /> 1.1. Bối cảnh chung về tác động toàn diện của CNTT tới sự phát triển<br /> 4<br /> của xã hội<br /> 1.2. Nhà trường hiện đại trong bối cảnh phát triển như vũ bão của<br /> 5<br /> CNTT<br /> 1.2.1. CNTT nâng cao hiệu quả quản lý giáo dục 5<br /> 1.2.2. CNTT góp phần đổi mới nội dung phương pháp dạy học 5<br /> 1.2.3. CNTT góp phần đổi mới công tác kiểm tra đánh giá 9<br /> 1.2.4. Nhận định chung 10<br /> 1.3. Ứng dụng CNTT trong các nhà trường ở Việt nam 10<br /> 1.3.1. Quan điểm chỉ đạo về việc ứng dụng CNTT trong nhà trường 10<br /> 1.3.2. Định hướng về việc đưa CNTT vào nhà trường ở Việt Nam 10<br /> 1.4. Ứng dụng CNTT trong dạy học Toán 12<br /> 1.4.1. Ứng dụng CNTT trong dạy học toán 12<br /> 1.4.2. Ứng dụng CNTT trong dạy học toán và vấn đề đổi mới trong hệ<br /> 15<br /> thống phương pháp dạy học môn toán.<br /> 1.5. Phần mềm dạy học (PMDH). 21<br /> 1.5.1. Phần mềm 21<br /> 1.5.2. Phần mềm dạy học 22<br /> 1.5.3. PMDH thông minh 24<br /> 1.6. Quan điểm hoạt động trong dạy học 24<br /> 1.6.1. Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác tích cực<br /> 25<br /> và sáng tạo của hoạt động học tập<br /> 1.6.2. Dạy học dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm và<br /> 26<br /> kiến thức sẵn có của người học<br /> 1.6.3. Dạy việc học, dạy cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học 26<br /> 1.6.4. Dạy tự học trong quá trình dạy học 27<br /> 1.6.5. Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, uỷ 28<br /> <br /> 2<br />  thác, điều khiển và thể chế hóa<br /> 1.7. Thực trạng việc ứng dụng CNTT vào dạy học bộ môn Toán bậc<br /> 29<br /> THPT ở địa bàn tỉnh Lai Châu.<br /> Kết luận chương 1 30<br /> Chương 2: Khai thác phần mềm AutoGraph trong dạy học Toán ở trường<br /> 31<br /> THPT<br /> 2.1. Khai thác AutoGraph hỗ trợ dạy học nội dung hàm số liên tục 31<br /> 2.1.1. Những thuận lợi, khó khăn của giáo viên và học sinh khi học tập<br /> 31<br /> và giảng dạy nội dung hàm số liên tục<br /> 2.1.2. Khai thác AutoGraph hỗ trợ các hoạt động để dạy học nội dung<br /> 32<br /> hàm số liên tục<br /> 2.2. Khai thác AutoGraph hỗ trợ dạy học nội dung đạo hàm và ứng<br /> 41<br /> dụng của đạo hàm<br /> <br /> 2.2.1. Những khó khăn khi giảng dạy và học tập nội dung đạo hàm và<br /> 41<br /> ứng dụng của đạo hàm<br /> 2.2.2. Khai thác AutoGraph hỗ trợ các hoạt động để dạy học nội dung<br /> 42<br /> đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm<br /> 2.3. Khai thác AutoGraph hỗ trợ dạy học một số bài toán quỹ tích 69<br /> 2.4. Khai thác AutoGraph hỗ trợ dạy học một số bài toán về phương<br /> trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa 79<br /> tham số<br /> 2.5. Khai thác AutoGraph hỗ trợ dạy học phương pháp tọa độ trong<br /> 91<br /> mặt phẳng<br /> Kết luận chương 2 99<br /> Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 100<br /> 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm 100<br /> 3.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm. 100<br /> 3.3. Nội dung thực nghiệm 101<br /> 3.4. Triển khai thực nghiệm sư phạm 101<br /> 3.5. Kết quả thực nghiệm 102<br /> 3.5.1. Nhận xét về mặt định tính 102<br /> 3.5.2. Đánh giá theo góc độ định lượng 102<br /> <br /> 3<br /> Kết luận chương 3 107<br /> KẾT LUẬN 108<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO 109<br /> PHỤ LỤC 112<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 4<br />  PHẦN I<br /> ĐẶT VẤN ĐỀ<br /> I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI<br /> Luật giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã quy định:<br /> “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng<br /> tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn<br /> lên” (Luật giáo dục 2005, chương I, điều 4).<br /> “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ<br /> động, tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡng<br /> phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động<br /> đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của HS” (Luật giáo dục 2005,<br /> chương I, điều 24)<br /> Chỉ thị số 29/2001/CT - Bộ GD&ĐT chỉ ra: đẩy mạnh ứng dụng công nghệ<br /> thông tin trong giáo dục và đào tạo ở tất cả các cấp học, ngành học theo hướng sử<br /> dụng công nghệ thông tin như một công cụ hỗ trợ đắc lực nhất cho đổi mới phương<br /> pháp giảng dạy, học tập ở tất các các môn.<br /> Năm học 2012 – 2013, Sở GD&ĐT Lai Châu đã xác định cần phải đẩy<br /> mạnh việc ứng dụng CNTT trong quản lý và đổi mới PPDH. Tuyên truyền để GV<br /> xác định CNTT là phương tiện hỗ trợ, nhằm nâng cao chất lượng dạy học.<br /> Khuyến khích GV chủ động tự soạn giáo án, bài giảng và tài liệu giảng dạy để<br /> ứng dụng CNTT trong các môn học. GV các môn học tự triển khai việc tích hợp,<br /> lồng ghép việc sử dụng các công cụ CNTT vào quá trình dạy các môn học của<br /> mình nhằm tăng cường hiệu quả dạy học qua các phương tiện nghe nhìn, kích<br /> thích sự sáng tạo và độc lập suy nghĩ, tăng cường khả năng tự học, tự tìm tòi của<br /> người học.<br /> Từ những định hướng trên, thấy rằng việc ứng dụng CNTT và các PPDH<br /> hiện đại vào hoạt động dạy học là một hướng đang nhận được sự quan tâm của<br /> Đảng, Nhà nước và của toàn xã hội. Việc đổi mới PPDH theo hướng trên sẽ góp<br /> phần nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, đặc biệt là giáo dục và đào tạo phổ<br /> thông.<br /> Với những lý do trên và qua thực tế giảng dạy bộ môn Toán ở trường THPT,<br /> chúng tôi nhận thấy việc ứng dụng CNTT vào giảng dạy là hết sức cần thiết. Vì<br /> vậy đề tài được chọn là: “KHAI THÁC AUTOGRAPH HỖ TRỢ DẠY HỌC NỘI<br /> DUNG ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM”<br /> 5<br /> II. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU<br /> 1. Phạm vi nghiên cứu :<br /> - Một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong chương trình Đại số và Giải<br /> tích 11 và Giải tích 12 về vấn đề đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.<br /> - Một số bài toán nâng cao trong các tài liệu luyện thi Đại học.<br /> 2. Đối tượng nghiên cứu<br /> - Vận dụng phần mềm AutoGraph vào thiết kế một số hoạt động hỗ trợ dạy<br /> học nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.<br /> III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU<br /> - Xây dựng phương án ứng dụng CNTT vào dạy học một số chủ đề môn<br /> Toán ở trường THPT nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy.<br /> IV. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU<br /> Sử dụng phần mềm Autograph là phần mềm được thiết kế chuyên dụng<br /> dành cho GV giảng dạy môn Toán trên lớp học để thiết kế một số hoạt động hỗ<br /> trợ dạy và học nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Điều này tạo nên sự<br /> khác biệt so với hầu hết các phần mềm tương tự khác ở chỗ các phần mềm tương<br /> tự khác đều được thiết kế cho người sử dụng vừa là GV vừa là HS.<br /> PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ<br /> I. CƠ SỞ LÝ LUẬN<br /> Nằm trong xu thế phát triển như vũ bão của CNTT, ngành giáo dục đã có<br /> những thay đổi sâu sắc, toàn diện dưới tác động của CNTT. CNTT và truyền<br /> thông ngày càng được sử dụng rộng rãi trong nhà trường là do những ưu điểm về<br /> mặt kỹ thuật và tiềm năng về mặt sư phạm của nó.<br /> 1. CNTT nâng cao hiệu quả quản lý giáo dục<br /> Vai trò của CNTT trong việc nâng cao hiệu quả quản lý giáo dục đã được<br /> các chuyên gia về quản lý giáo dục khẳng định. CNTT tạo ra một cuộc cách mạng<br /> trong quản lý giáo dục nó làm thay đổi căn bản phương thức điều hành và quản lý<br /> giáo dục. Đó là công nghệ quản lý giáo dục (Education Management<br /> Technology).<br /> 2. CNTT góp phần đổi mới nội dung phương pháp dạy học<br /> Những thành tựu của CNTT có thể khai thác trong dạy học<br /> <br /> <br /> 6<br />  - Kỹ thuật đồ họa 2 chiều, 3 chiều trên máy tính dùng để thiết kế các thí<br /> nghiệm ảo trong vật lý, hoá học, sinh học …<br /> - Công nghệ đa phương tiện (multimedia) với các chuẩn nén dữ liệu MP3,<br /> MP4, các phương pháp xử lý âm thanh, đồ hoạ tiên tiến cho phép tích hợp nhiều<br /> dạng dữ liệu như văn bản, biểu đồ, âm thanh, hình ảnh, video... vào bài giảng<br /> nhằm hỗ trợ tối đa khả năng tiếp thu kiến thức của người học.<br /> - Sự phát triển của công nghiệp phần mềm đã cung cấp hàng loạt các<br /> PMDH, PMDH thông minh, các phần mềm công cụ với giao diện hết sức “thân<br /> thiện” hỗ trợ GV và HS trong dạy và học.<br /> * CNTT tạo ra một môi trường dạy học mới<br /> CNTT đã tạo ra một môi trường dạy học hoàn toàn mới, khắc phục được<br /> các nhược điểm của môi trường học truyền thống:<br /> - Tài nguyên học tập phong phú hơn: xuất hiện các “Sách giáo khoa” điện<br /> tử dưới dạng CD-ROM, DVD,… với khả năng lưu trữ hầu hết các dạng thông tin<br /> của loài người nhờ công nghệ số hoá.<br /> - CNTT giúp tạo ra những kênh thông tin đa dạng, phong phú tác động đến<br /> tất cả các giác quan của người học nhằm kích thích hứng thú học tập cho HS.<br /> CNTT còn tạo ra một môi trường thuận lợi chưa từng có để tổ chức các hoạt động<br /> học tập hướng vào việc lĩnh hội tri thức và kỹ năng cho HS, trong đó việc xử lý<br /> thông tin một phần được thực hiện nhờ MTĐT, vì vậy công nghệ và MTĐT đã<br /> trở thành một bộ phận của bài học.<br /> -Với các phần mềm vi thế giới, HS có thể tạo ra, tác động lên các đối tượng<br /> để từ đó tìm tòi, phát hiện ra quy luật của các đối tượng hoặc sử dụng quan sát các<br /> thí nghiệm ảo về sinh vật, hoá học, vật lý ... để rút ra được các nhận xét, kết luận<br /> khoa học. Việc sử dụng CNTT để thực hiện các thí nghiệm ảo đã giúp nhà trường<br /> tránh được những thí nghiệm nguy hiểm, vượt quá hạn chế về thời gian, không<br /> gian hoặc chi phí- Đây là vấn đề khác biệt, vượt trội so với việc chỉ sử dụng các<br /> phương tiện, đồ dùng dạy học truyền thống.<br /> - Sự ra đời của Internet tạo ra một môi trường học tập mới. Việc tương tác<br /> đa chiều giữa giảng viên, học viên, chuyên gia, việc trao đổi thông tin giữa GV và<br /> HS, giữa HS với HS, giữa gia đình và nhà trường... được thực hiện qua mạng và<br /> Internet.<br /> - Việc ứng dụng CNTT đã tạo ra khả năng xây dựng môi trường hoạt động<br /> lý tưởng cho HS. Trong môi trường này HS là chủ thể của quá trình dạy học, tự<br /> <br /> <br /> 7<br /> làm việc, tự phát hiện, tự kiểm tra đánh giá. HS rất hứng thú khi được học tập với<br /> MTĐT vì vậy hiệu quả cao hơn hẳn việc học tập theo phương pháp truyền thống.<br /> * CNTT góp phần đổi mới việc dạy<br /> - CNTT hỗ trợ người GV gia tăng giá trị lượng thông tin đến HS, hình<br /> thành nhiều kênh trao đổi thông tin hai chiều giữa GV và HS.<br /> - CNTT đưa ra nhiều lựa chọn để GV chuẩn bị bài giảng và tiến hành lên<br /> lớp sau cho phát huy cao nhất tính tích cực chủ động của HS.<br /> - CNTT cho phép GV thực hiện việc phân hoá cao trong dạy học.<br /> - CNTT không chỉ hỗ trợ GV dạy học trên lớp mà còn đưa ra nhiều hình<br /> thức dạy học mới như dạy học trên cơ sở mạng LAN, mạng WAN và Internet, dạy<br /> học, kiểm tra đánh giá kết quả học tập của HS từ xa...<br /> * CNTT góp phần đổi mới việc học, đặc biệt chú trọng việc tự học của HS<br /> - CNTT tạo ra môi trường tương tác để người học hoạt động và thích nghi<br /> với môi trường, nó tạo điều kiện cho người học hoạt động độc lập với mức độ<br /> cao.<br /> - Thành tựu của CNTT sẽ dẫn đến khả năng thực hiện phân hoá cao trong<br /> quá trình giáo dục. CNTT đã hỗ trợ tối đa HS vươn lên trong quá trình học tập.<br /> HS nhận được sự giúp đỡ, khuyến khích do MTĐT đưa ra vì vậy có điều kiện<br /> phát triển kịp thời trong mọi thời điểm của cả quá trình học tập.<br /> 3. CNTT góp phần đổi mới công tác kiểm tra đánh giá<br /> Ta có thể khai thác CNTT trong các công đoạn: biên soạn đề, kiểm tra tính<br /> đúng đắn của đáp án, tổ chức và đánh giá kết quả kiểm tra…<br /> 4. Nhận định chung<br /> Khi đưa CNTT vào quá trình dạy học sẽ có sự thay đổi lớn, nó tạo ra một<br /> cuộc cách mạng trong giáo dục và do đó sẽ tạo ra những thay đổi lớn trong<br /> PPDH.<br /> 5. Ứng dụng CNTT trong dạy học toán<br /> * Điều chỉnh quá trình dạy học toán dựa trên thông tin ngược<br /> MTĐT có khả năng cung cấp nhanh và chính xác các thông tin phản hồi<br /> một cách khách quan, những thông tin phản hồi như vậy sẽ giúp GV, HS một<br /> cách hiệu quả trong quá trình dạy học toán.<br /> Trong quá trình dạy và học toán, GV, HS có thể đưa ra các dự đoán, giả<br /> thuyết của riêng mình và nhờ MTĐT thử nghiệm những dự đoán đó. Trên cơ sở<br /> thông tin phản hồi do MTĐT đưa ra ta có thể tiếp tục phát triển hoặc điều chỉnh,<br /> thay đổi những giả thuyết chưa chính xác.<br /> 8<br />  * Sử dụng MTĐT xây dựng các mô hình trực quan để sử dụng trong quá<br /> trình dạy học toán<br /> Để nghiên cứu một đối tượng toán học nào đó trước hết người ta tìm cách<br /> xây dựng một vài mô hình tương ứng với các trường hợp cụ thể. Trên cơ sở các<br /> kết quả làm việc với mô hình sẽ cho phép ta đi đến việc chứng minh hoặc lời giải<br /> trong trường hợp tổng quát. So với các phương tiện đồ dùng dạy học truyền thống<br /> thì MTĐT có khả năng giúp ta thể hiện các đối tượng toán học trong thế giới thực<br /> bởi các mô hình trên giao diện đồ hoạ 2 chiều, 3 chiều. CNTT là công cụ tự nhiên<br /> để diễn tả các mô hình toán học. Máy tính có thể giúp đỡ HS phát triển ý tưởng,<br /> đưa ra cách tiếp cận hướng giải quyết các vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên<br /> cứu các mô hình toán học. Điều này giúp GV trình bày các vấn đề của toán học rõ<br /> ràng, sinh động và khám phá vấn đề từ những cái phức tạp trong cuộc sống để thu<br /> cô đọng lại những gì tinh tế, sâu sắc rồi kết nối chúng lại để xây dựng các mô<br /> hình toán học...<br /> * Sử dụng MTĐT và phần mềm toán học để phát hiện các, tính chất, các<br /> mối quan hệ trong toán học<br /> Ngoài việc đưa ra một mô hình trực quan, MTĐT còn hỗ trợ ta quan sát,<br /> khám phá, xử lý các mô hình đó một cách thuận tiện bằng cách cho thay đổi một<br /> vài thành phần và quan sát sự thay đổi trong các thành phần còn lại. Qua việc<br /> quan sát và thu nhận thông tin phản hồi do MTĐT đưa ra sẽ giúp ta phát hiện ra<br /> các tính chất của đối tượng toán học cũng như mối quan hệ giữa các đại lượng<br /> toán học với nhau.<br /> Các chuyên gia về giáo dục đã nhấn mạnh vai trò của CNTT trong việc hỗ<br /> trợ HS tự khám phá và phát hiện vấn đề trong quá trình học toán và thông qua quá<br /> trình này HS có điều kiện rèn luyện phương pháp nghiên cứu trong học tập, năng<br /> lực tư duy sáng tạo.<br /> * Dạy và học toán với các phần mềm động<br /> Người học có thể sử dụng các phần mềm toán chuyên dụng trên MTĐT để<br /> biểu diễn các biểu đồ, hình vẽ một cách sinh động. Mặt khác, chỉ cần một vài thao<br /> tác đơn giản với chuột, ta có thể có được hình ảnh về đối tượng cần nghiên cứu<br /> dưới các góc độ khác nhau, thậm chí có thể cho một vài yếu tố của đối tượng toán<br /> học biến đổi liên tục một cách tự động. Với các phần mềm động này, người học<br /> dễ dàng hình dung ra các hình hình học một cách trực quan trên cơ sở hình ảnh<br /> được máy tính mô tả.<br /> * Dạy học toán với máy tính<br /> 9<br />  - Nếu sử dụng CNTT một cách hợp lý thì sẽ đạt được các kết quả sau:<br /> + Những đối tượng và quan hệ toán học không còn xa lạ và khó đối với số<br /> đông HS.<br /> + Khai thác CNTT trong dạy học toán có thể làm tăng tỷ lệ HS khá, giỏi về<br /> toán và giảm tỷ lệ HS yếu so với dạy học truyền thống.<br /> + GV có điều kiện giúp được hầu hết HS rèn luyện tốt năng lực sáng tạo,<br /> rèn luyện phương pháp nghiên cứu trong học tập.<br /> 6. Ứng dụng CNTT trong dạy học toán và vấn đề đổi mới trong hệ thống<br /> PPDH môn Toán<br /> CNTT đã góp phần đổi mới PPDH Toán trong nhà trường phổ thông với<br /> những nội dung cơ bản sau:<br /> - CNTT đã tạo ra môi trường thuận lợi nhất chưa từng có để đạt được mục<br /> đích là HS học toán một cách tích cực, chủ động, trong quá trình tự mình giải<br /> quyết vấn đề, trên cơ sở đó phát triển tư duy sáng tạo và phát triển tự học.<br /> - CNTT đã khắc phục được việc dạy – học đơn thuần là truyền thụ một<br /> chiều, HS thụ động tiếp thu và tái hiện một cách máy móc.<br /> - CNTT đã giúp hướng tới việc khuyến khích HS ngoài việc tích luỹ kiến<br /> thức thì chú trọng đến phát triển năng lực mà chủ yếu là năng lực giải quyết vấn<br /> đề.<br /> - CNTT đã tạo ra các hình thức dạy học phong phú, hiệu quả.<br /> - Việc sử dụng CNTT đã góp phần nâng cao ý thức và hiệu quả của việc sử<br /> dụng phương tiện dạy học.<br /> - Với những dịch vụ phong phú mà CNTT cung cấp, người GV có điều<br /> kiện để lựa chọn PPDH theo nội dung, sở trường, đối tượng HS,... sao cho tối ưu<br /> nhất.<br /> 7. Giới thiệu tổng quan về phần mềm AutoGraph<br /> Autograph là phần mềm hỗ trợ học tập và giảng dạy Toán do một nhóm các<br /> giáo viên và chuyên gia tin học Anh quốc thiết lập từ năm 2000. Phần mềm này<br /> đã được rất nhiều giải thưởng là phần mềm dùng trong nhà trường tốt nhất tại<br /> nước Anh và nhiều quốc gia EU khác. Autograph được thiết kế chuyên dụng cho<br /> giáo viên giảng dạy môn Toán trên lớp học kết hợp với máy chiếu (projector).<br /> Phần mềm hỗ trợ giảng dạy môn Toán phần Đại số (đặc biệt là đồ thị và hình học<br /> giải tích trên mặt phẳng và không gian), Xác suất thống kê, bao phủ hầu hết các<br /> module kiến thức môn Toán từ các khối lớp THCS đến THPT và các năm đầu của<br /> chương trình đại học. Các đặc điểm nổi bật nhất của phần mềm là:<br /> 10<br />  - Khả năng thể hiện các đồ thị hàm số đẹp với nhiều tuỳ biến động cho các<br /> tham số.<br /> - Có khả năng tạo các hiệu ứng animation tự động hoặc bằng tay ngay trên<br /> màn hình rất sinh động.<br /> - Thực hiện được hầu hết các tính toán tự động với đồ thị hàm số như tiếp<br /> tuyến, tiệm cận, giao cắt, tích phân, đạo hàm.<br /> - Trên mặt phẳng (hoặc không gian) tọa độ có thể thực hiện được rất nhiều<br /> các thao tác hình học như tạo điểm, đường tròn, vector, đa giác, các phép biến đổi<br /> trên các đối tượng hình học này.<br /> - Khả năng cho phép người dùng (giáo viên) vẽ (viết) trực tiếp trên màn<br /> hình tương tự như đang làm việc với một bảng đen trong lớp học.<br /> Tất cả các chức năng trên đã tạo cho Autograph trở thành một công cụ lý<br /> tưởng cho việc giảng dạy môn Toán trên lớp học. Với phần mềm này các tiết học<br /> và dạy Toán trên lớp sẽ trở nên sinh động, đẹp mắt, chính xác.<br /> Một điều nữa cần nhắc lại và nhấn mạnh là Autograph là phần mềm được<br /> thiết kế chuyên dụng dành cho GV giảng dạy môn Toán trên lớp học. Điều này<br /> tạo nên sự khác biệt so với hầu hết các phần mềm tương tự khác ở chỗ: các phần<br /> mềm tương tự khác đều được thiết kế cho người sử dụng vừa là GV vừa là HS.<br /> 8. Thực trạng việc ứng dụng CNTT vào dạy học bộ môn Toán bậc THPT ở<br /> địa bàn tỉnh Lai Châu<br /> - Cơ sở vật chất đã được trang bị tương đối đầy đủ ( trừ một số trường mới<br /> thành lập) đảm bảo cho GV và HS có môi trường học tương đối tốt.<br /> - Đa số các GV đều đã được tiếp cận và biết sử dụng một số phần mềm dạy<br /> học như Cabri, Graph, Sketchpad, Maple.<br /> - Việc ứng dụng CNTT vào giảng dạy đã lác đác được thực hiện ở một số<br /> trường có truyền thống học tập như trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, THPT số<br /> 1 Than Uyên, … Tuy nhiên, các đa phần các GV mới chỉ dừng lại ở việc khai thác<br /> phần mềm để hỗ trợ vẽ hình phục vụ cho soạn giáo án. Đa số các GV đều ngại sử<br /> dụng giáo án điện tử và phần mềm hỗ trợ vì việc soạn bài tương đối mất thời gian<br /> và kỹ năng sử dụng máy tính còn chưa tốt. Chỉ có các tiết thao giảng mới có một<br /> số giáo viên dùng giáo án điện tử và có sử dụng các phần mềm để hỗ trợ giảng<br /> dạy.<br /> Kết luận: Qua tìm hiểu các ưu thế của CNTT ta thấy hoàn toàn có đủ cơ sở<br /> để ứng dụng CNTT hỗ trợ các hoạt động dạy và học toán ở trường THPT nói<br /> riêng và đối với mọi cấp học nói chung.<br /> 11<br /> II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ<br /> 1. Trong thực tế các năm học khi tham gia giảng dạy và hướng dẫn học sinh học<br /> tập phần đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, bản thân tôi nhận thấy còn có những khó<br /> khăn sau:<br /> - HS gặp nhiều khó khăn trong việc hiểu bản chất của định nghĩa tiếp tuyến của<br /> đường cong, ý nghĩa hình học của đạo hàm. Vì vậy đối với dạng toán viết phương trình<br /> tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho cũng gặp nhiều khó khăn.<br /> - Không lưu ý đến các tính chất đặc biệt của một hàm số để vẽ chính xác đồ thị:<br /> chẳng hạn đối với hàm số bậc 3 có tâm đối xứng là điểm uốn ( tức là điểm có hoành độ<br /> là nghiệm của phương trình y ''  0 ), hàm số bậc 4 trùng phương có trục đối xứng là trục<br /> tung.<br /> - Ít chú ý đến độ dốc của các nhánh của đường cong. Đa số HS khi vẽ những<br /> cung đặc biệt ( có cực trị, có cung lồi, lõm, có điểm uốn…) thì phần kéo dài của các<br /> cung ở phần ngoài thường vẽ tùy tiện.<br /> - Thiếu thận trọng khi điền các dữ liệu vào bảng biến thiên, đặc biệt là phần điền<br /> các kết quả giới hạn<br /> - Kỹ năng tìm tiệm cận xiên còn chưa tốt.<br /> - Khi giải các bài tập liên quan đến khảo sát hàm số như biện luận theo tham số<br /> số nghiệm phương trình, viết phương trình tiếp tuyến, tính diện tích hình phẳng, tính thể<br /> tích khối tròn xoay … nếu có hình vẽ động thì việc tiếp thu kiến thức của HS sẽ tốt hơn.<br /> 2. Nguyên nhân của thực trạng trên:<br /> - Tư duy trực quan trừu tượng của HS còn chưa tốt;<br /> - Đặc thù của môn Toán là “khô khan”, “logic”, “trừu tượng”, thiếu tính sinh<br /> động và hấp dẫn nên học sinh ít có hứng thú trong giờ học môn toán, đặc biệt là đối với<br /> đối tượng học sinh yếu.<br /> - Ở phần ứng dụng của đạo hàm, SGK chương trình mới đã bỏ phần tính lồi lõm,<br /> điểm uốn của đồ thị nên HS gặp rất nhiều khó khăn khi hiểu các khái niệm tiếp tuyến<br /> của đồ thị, khái niệm tiệm cận và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba đặc biệt là đối với những<br /> đồ thị hàm số bậc ba ở dạng đơn điệu hoàn toàn.<br /> - Ở phần tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay, HS cần phải có tư<br /> duy trừu tượng cao mới có thể hiểu được bản chất thực sự của vấn đề…<br /> III. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ<br /> Với những sự trợ giúp của phần mềm Autograph, những khó khăn ở trên có thể<br /> khắc phục được nhờ vào tính năng ưu việt như tính động; trực quan; có thể tính diện tích<br /> hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, có thể vẽ được đồ thị của đạo hàm, xác định tọa độ<br /> các điểm cực trị…. Sau đây là một số ví dụ về việc vận dụng AutoGraph vào thiết kế<br /> một số hoạt động dạy học đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm:<br /> <br /> 12<br /> Ví dụ 1: Trong phần đạo hàm, để giúp HS hiểu rõ hơn ý nghĩa hình học của đạo hàm,<br /> với sự trợ giúp của AutoGraph, GV thực hiện hoạt động sau:<br /> Cho hàm số y  x 3 có đồ thị (C), M (1 ; 1) là điểm thuộc (C), N là điểm thay đổi trên<br /> (C).<br /> a. Dựng cát tuyến MN.<br /> b. Khi N  M, hãy quan sát và nhận xét gì về hệ số góc k của cát tuyến MN và<br /> so sánh k với y '  xM  .<br /> Thực hiện giảng dạy ví dụ trên với sự hỗ trợ của AutoGraph như sau:<br /> GV: Tính y '  xM  =?<br /> HS: y '  xM  = 3<br /> GV mở phần mềm<br /> AutoGraph, thực hiện thao tác<br /> vẽ đồ thị của hàm số y  x3 ;<br /> xác định điểm M có hoành độ<br /> bằng 1 và điểm N bất kỳ trên<br /> đồ thị (C); dựng đường thẳng<br /> MN.<br /> GV thay đổi hoành độ của N bằng<br /> công cụ View\Animate Object và yêu cầu Hình 1<br /> HS quan sát sự thay đổi của cát tuyến MN trên màn hình. Chọn View\Status Box, hộp<br /> thoại Status Box hiện ra cho phép ta thấy được sự thay đổi của hệ số góc k.<br /> GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy cho biết khi nào thì cát tuyến MN trở thành tiếp tuyến<br /> của đồ thị (C)?<br /> HS: Khi M dần tới N thì cát tuyến MN cũng thay đổi vị trí. Khi M  N thì cát tuyến MN<br /> trở thành tiếp tuyến của đồ thị (C).<br /> GV: Quan sát trên màn hình, cho biết MN có phương trình là gì? Từ đó cho biết hệ số<br /> góc của MN?<br /> HS: MN có phương trình là y  3 x  2 , tức là MN có hệ số góc k  3  y '(1)<br /> GV: Cho biết mối quan hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3 tại<br /> điểm M và đạo hàm của hàm số đó?<br /> HS: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M là đạo hàm của hàm số y  x 3 tại<br /> xM .<br /> GV: Phát biểu ý nghĩa hình học của đạo hàm.<br /> <br /> <br /> <br /> 13<br /> Ví dụ 2: Cho hàm số y  x 3  kx  k  1 có đồ thị là (Ck), k là tham số.<br /> 1. Khảo sát, vẽ đồ thị (C-3) với k = -3.<br /> Với k = -3, ta có y  x3  3x  2<br /> HS thực hiện khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.<br /> GV dùng Auto Graph để vẽ đồ thị hàm số: nhập hàm số<br /> Hình 2<br /> y  x 3  kx  k  1 và chọn k = -3. Ta được đồ thị (C-3) ( Hình 2)<br /> 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C-3) và trục hoành.<br /> *Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên.<br /> GV: Từ đồ thị (C-3), cho biết phần hình phẳng cần tính diện tích?<br /> HS: Chỉ ra phần hình phẳng cần tính diện tích.<br /> GV: Yêu cầu học sinh tính diện tích hình phẳng đó.<br /> 27<br /> HS: Tính toán và được kết quả S  Hình 3<br /> 4<br /> * Hoạt động 2: GV minh họa kết quả bài toán bằng AutoGraph<br /> + Thực hiện thao tác xác định giao điểm của (C-3) và trục hoành. Trong hộp Results Box<br /> có thể thấy tọa độ hai điểm đó là (-1; 0) và (2; 0 )<br /> + Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi (C-3) và trục hoành: Chọn (C-3) và kích<br /> chuột phải, chọn Find Area. Hộp thoại Edit Area xuất hiện, ta chọn chức năng<br /> Simson’s Rule để tính chính xác diện tích. Ta nhập: Start Point: -1 End Point: 2<br /> Division: 1000 và chọn OK. Khi đó Auto Graph sẽ vẽ miền cần tính diện tích (Hình 3)<br /> và trong hộp Result Box cho ta kết quả -6.75<br /> Chú ý: Vì phần hình phẳng cần tính diện tích nằm phía dưới trục hoành nên diện<br /> tích cần tìm là 6,75. Đây là một trong những hạn chế của AutoGraph, vì vậy GV và HS<br /> trong khi dạy và học không nên phụ thuộc quá nhiều vào phần mềm.<br /> 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C-3) biết tiếp tuyến đi qua điểm A 1; 5 <br /> *Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên<br /> GV: Yêu cầu HS nhắc lại phương pháp giải bài tập dạng viết phương<br /> trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  f ( x ) biết tiếp tuyến đi qua<br /> điểm A  x0 ; y0 <br /> GV: Phương trình đường thẳng qua A 1; 5  có dạng như thế nào?<br /> HS: Đường thẳng qua A 1; 5 có phương trình dạng: y  5  m ( x  1)<br /> hay y  mx - m - 5 với m là hệ số góc.<br /> GV: Để đường thẳng trên là tiếp tuyến của (C-3) thì cần điều kiện gì? Hình 4<br /> HS: Hệ phương trình sau có nghiệm:<br /> <br /> <br /> 14<br />   3<br /> 3<br />  x  3x  2  mx  m  5  x  0  x <br />  v  2<br />  2<br /> 3x  3  m m  3  m  15<br />  4<br /> Với m  3 ta có tiếp tuyến cần tìm là: y  3x  2<br /> 15 15 35<br /> Với m  tiếp tuyến cần tìm là y  x<br /> 4 4 4<br /> *Hoạt động 2 : GV minh họa bài toán trên bằng Auto Graph<br /> + Trong hộp thoại Constant Controller chọn k  3 để xác định đồ thị<br /> (C-3 )<br /> + Xác định điểm A 1; 5 trên mặt phẳng tọa độ.<br /> + Chọn Enter Equation và nhập phương trình<br /> y  mx - m - 5 Hình 5<br /> + Chọn View\Constart Controller. Hộp thoại Constart Controller xuất hiện. Ta chọn<br /> k  3 để xác định (C-3), chọn m để xác định cát tuyến AM.<br /> + GV thay đổi các giá trị của m và yêu cầu HS quan sát, nhận xét với những giá trị nào<br /> của m thì cát tuyến trở thành tiếp tuyến.<br /> 15<br /> HS: Với m  (Hình 4) và m  3 (Hình 5) cát tuyến trở thành tiếp tuyến đúng với<br /> 4<br /> kết quả đã tìm ra ở phần đầu.<br /> 4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3  3x  m  0 (*)<br /> Hướng dẫn HS giải bài toán trên với sự trợ giúp của AutoGraph như sau:<br /> GV: Dựa vào đâu để biện luận theo m số nghiệm của (*)<br /> HS: Biến đổi phương trình (*)  x 3  3 x   m (**) ; khi đó số nghiệm của (*)<br /> chính là số nghiệm của (**). Số nghiệm của (**) là số giao điểm của trục hoành và đồ<br /> thị (C).<br /> GV: Như vậy số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm<br /> số y  x3  3x và đường thẳng (): y  m<br /> GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị các hàm số y  x 3  3x và y   m<br /> + Xác định giao điểm của (C) và ().<br /> + GV thay đổi các giá trị của m bằng chức năng View\Constart Controller và yêu cầu<br /> HS quan sát, nhận xét vị trí tương đối của () và đồ thị (C) ứng với sự thay đổi của m<br /> (Hình 6)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 15<br />  m < -2 m=-2 -2 < m < 2 m=2 m>2<br /> 2<br /> Hình 6<br /> GV: Dựa vào đó kết quả trên, hãy biện luận số nghiệm của (*)?<br /> HS: + Với m  2 hoặc m  2 thì (*) có một nghiệm duy nhất<br /> + Với m  2 hoặc m  2 thì (*) có một nghiệm đơn và một nghiệm kép<br /> + Với 2  m  2 thì (*) có ba nghiệm phân biệt.<br /> 5. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x 3  3 x  m  0 (*)<br /> Hướng dẫn HS giải bài toán trên với sự trợ giúp của AutoGraph như sau:<br /> GV: Để xác định số nghiệm của (*), ta sử dụng phương pháp đồ thị giống như ví trên.<br /> Vậy ta cần phải làm những gì?<br /> HS: B1: Chuyển (*) về dạng x 3  3 x  m (**) .<br /> <br /> B2: Vẽ đồ thị các hàm số y  x 3  3 x và y   m<br /> B3: Dựa vào đồ thị hai hàm số trên để chỉ ra số nghiệm (**).<br /> GV: Quy trình vẽ đồ thị hàm số y  f  x  khi đã biết đồ thị hàm số y  f ( x) ?<br /> HS: Nhắc lại quy trình vẽ đồ thị.<br /> GV: Tuy nhiên, ở đây ta có thể rút ngắn được thời gian vẽ đồ thị y  f  x  bằng cách<br /> sử dụng AutoGraph. Việc vẽ đồ thị đó HS về nhà tự thực hiện.<br /> GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị các hàm số y  x 3  3 x ;<br /> y   m ; đặt tên cho hai đồ thị hàm số trên lần lượt là (C) và<br /> (d). Xác định giao điểm của (C) và (d).<br /> + GV thay đổi các giá trị của m bằng chức năng<br /> View\Constart Controller. và yêu cầu HS quan sát, nhận xét<br /> các vị trí tương đối của (C) và (d).<br /> GV: Dựa vào các nhận xét ở trên, nêu kết luận của bài toán? Hình 7<br /> HS: Với 0  m  2 thì phương trình x 3  3 x  m  0 có 4 nghiệm phân biệt.<br /> 6. Tìm các giá trị của k để (Ck) tiếp xúc với đường thẳng (d): y  x  1 .<br /> Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên<br /> <br /> 16<br /> GV: (Ck) tiếp xúc với đường thẳng (d): y  x  1 khi nào?<br /> HS: Khi (d) là tiếp tuyến của (C).<br /> GV: Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)?<br /> 3<br />  x  kx  k  1  x  1<br /> HS: Hệ phương trình sau có nghiệm:  2<br /> 3x  k  1<br /> GV: Giải hệ trên?<br /> 1<br /> HS thực hiện giải hệ trên, tìm được k  ; k  2<br /> 4<br /> * Hoạt động 2: GV minh họa bằng AutoGraph<br /> + GV mở một trang Auto Graph và vẽ đồ thị các hàm số y  x3  kx  k  1 (Ck);<br /> y  x  1 (d). Xác định giao điểm của (Ck) và (d).<br /> GV thay đổi các giá trị của k bằng chức năng View\Constart Controller. Yêu cầu HS<br /> quan sát và cho nhận xét vị trí tương đối của (Ck) và (d). Từ đó HS rút ra kết luận của<br /> bài toán.<br /> 1<br /> HS: (Ck) tiếp xúc với đường thẳng (d) khi k  2 (hình 8) và k  (hình 9)<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 8 Hình 9<br /> 7. Tìm k để (Ck) có cực đại và cực tiểu. Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng<br /> đi qua điểm cực đại và cực tiểu đó<br /> * Hoạt động 1: Tìm k để (Ck) có cực đại và cực tiểu.<br /> GV: (Ck) có cực đại và cực tiểu khi nào?<br /> HS: Khi y '  3x 2  k  0 phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là k  0<br /> * Hoạt động 2: GV sử dụng Auto Graph để minh họa:<br /> + Dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số y  x3  kx  k  1 (Ck)<br /> +Xác định điểm cực trị trên (Ck): Dùng chức năng View\Constart Controller và thay<br /> đổi k để nhận được (Ck) có cực trị<br /> + Kích chuột phải vào (Ck) và chọn Solve f’(x)=0. Lúc này trên (Ck) sẽ xuất hiện hai<br /> điểm cực trị. Xác định tọa độ các điểm cực trị bằng cách: kích chuột phải vào một điểm<br /> <br /> <br /> <br /> 17<br /> cực trị bất kỳ rồi chọn Text box. Hộp thoại Edit TextBox hiện ra và bấm OK. Lúc này<br /> Auto Graph cho ta tọa độ của hai điểm cực trị trên màn hình. ( Hình 10)<br /> + GV thay đổi các giá trị của k bằng công cụ View\Constart Controller và yêu cầu HS<br /> quan sát sự thay đổi trên màn hình.<br /> GV: Với giá trị nào của k thì (Ck) có hai cực trị?<br /> HS: Với k  0 thì (Ck) có hai cực trị.<br /> * Hoạt động 3: Khi k  0 , hàm số có cực đại và<br /> cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm<br /> cực trị đó:<br /> GV: Phương pháp để viết phương trình đường thẳng đi qua hai<br /> điểm cực trị đối với hàm số bậc ba? Hình 10<br /> HS: Nhắc lại phương pháp đã được học và thực hiện giải toán theo phương pháp đã biết.<br /> 1 2 1 2<br /> + Chia y cho y’ta được: y  xy ' kx  k  1  x  3x 2  k   kx  k  1<br /> 3 3 3 3<br /> + Giả sử các điểm cực trị có tọa độ là  x1; y1  ,  x2 ; y2  khi đó ta có<br /> <br />  y '( x1 )  0<br />  2<br />  1 2  y1  kx1  k  1<br />  y1  3 x1 y '( x1 )  3 kx1  k  1 3<br /> <br />  y '( x2 )  0<br />  2<br /> và  1 2  y2  kx2  k  1<br />  y2  3 x2 y '( x2 )  3 kx2  k  1 3<br /> <br /> Từ đó ta thấy tọa độ hai điểm cực trị thỏa mãn phương trình đường thẳng<br /> 2<br /> y  kx  k  1 . Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là<br /> 3<br /> 2<br /> y  kx  k  1<br /> 3<br /> GV minh họa bằng AutoGraph như sau:<br /> 2<br /> + Vẽ đồ thị hàm số: y  kx  k  1 bằng AutoGraph<br /> 3 Hình 11<br /> + Thay đổi các giá trị của k bằng công cụ View\Constart Controller và yêu cầu HS<br /> quan sát màn hình.<br /> GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy cho biết với giá trị nào của k thì đồ thị (Ck) có hai cực<br /> 2<br /> trị và đường thẳng y  kx  k  1 có vị trí như thế nào đối với hai điểm cực trị?<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 18<br />  2<br /> HS: Với k  0 thì (Ck) có hai điểm cực trị và đường thẳng y  kx  k  1 luôn đi qua<br /> 3<br /> hai điểm đó.<br /> 8. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Ck)<br /> GV: Phương pháp tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số f ( x, m) với m là tham số?<br /> HS: Nhắc lại phương pháp giải đã biết và thực hành giải được kết quả .<br /> Vậy tọa độ điểm cố định là: A  1;0 <br /> GV minh họa cho kết quả trên bằng Auto Graph:<br /> + Mở một trang Auto Graph mới và vẽ đồ thị hàm số<br /> y  x3  kx  k  1<br /> + Chọn View\Constant Controller. Hộp thoại Constart<br /> Controller xuất hiện. Ta chọn Option, hộp thoại Edit Constant<br /> Options xuất hiện. Ta chọn Family Plot và trong Comma Hình 12<br /> Separated nhập vào một số giá trị bất kỳ. Chọn OK để Auto Graph vẽ một số đồ thị ứng<br /> với các giá trị k đã nhập ở Comma Separated. Kết quả nhận được là hình 12<br /> GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy nhận xét về điểm cố định của họ đồ thị (Ck)?<br /> HS: Điểm cố định của họ đồ thị (Ck) là điểm (-1; 0).<br /> <br /> Ví dụ 3: Cho hàm số y  x 4  mx 2  m  2 có đồ thị (Cm)<br /> 1. Khảo sát, vẽ đồ thị (C-2) với m = -2<br /> Với m =-2 ta có: y  x4  2 x 2 . HS thực hiện khảo sát và vẽ đồ thị (C-2)<br /> GV: Kiểm tra lại tính chính xác bằng AutoGraph.<br /> 2. Tìm a để phương trình x 4  2 x 2  log a có 6 nghiệm phân biệt<br /> GV: Việc giải bằng phương pháp khử dấu giá trị tuyệt đối để tìm ra kết quả của bài toán<br /> trên là tương đối khó mà HS khó có thể thực hiện được. Đối với bài toán này, ta có thể<br /> sử dụng phương pháp đồ thị để tìm ra lời giải một cách nhanh chóng.<br /> GV: Sử dụng sự tương giao của đồ thị hai hàm số, hãy chỉ ra số nghiệm của phương<br /> trình x 4  2 x 2  log a là số giao điểm của đồ thị hai hàm số nào?<br /> HS: Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số<br /> y  x 4  2 x 2 và y  log a .<br /> <br /> * Vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số y  x 4  2 x 2<br /> <br /> GV: Nhắc lại quy trình xác định đồ thị hàm số y  f  x  khi đã biết đồ thị hàm số<br /> y  f ( x) ?<br /> HS: Nhắc lại quy trình vẽ đồ thị.<br /> <br /> 19<br /> GV: Hãy xác định đồ thị (C) của hàm số y  x 4  2 x 2 ?<br /> <br /> 4 2<br />  x 4  2 x 2 khi x4  2x2  0<br /> Ta có: y  x  2 x   4 2<br />   x  2 x khi x4  2x2  0<br /> Vì vậy (C) được vẽ bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (C-2) nằm ở phía trên trục hoành<br /> và lấy đối xứng phần đồ thị của (C-2) nằm ở phía dưới của trục hoành qua trục hoành.<br /> GV: Yêu cầu HS về nhà tự vẽ theo quy trình đã nêu ở trên. Ở đây, với sự trợ giúp của<br /> AutoGraph, ta có thể xác định đồ thị (C) một cách nhanh chóng như sau: GV mở 1 trang<br /> AutoGraph mới và vẽ đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2 . HS quan sát thấy ngay đồ thị (C)<br /> trên màn hình.<br /> GV: Nhận xét gì về đồ thị của hàm số y  log a ?<br /> HS: Vì a là hằng số nên với a  0 thì đồ thị hàm số y  log a là một đường thẳng song<br /> song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm log a .<br /> GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số y  log a ; xác định giao điểm của hai đồ thị trên.<br /> + GV thay đổi các giá trị của a bằng công cụ View\Constart Controller và yêu cầu HS<br /> quan sát sự thay đổi của đồ thị hàm số y  log a đồng thời<br /> nhận xét về sự tương giao của đồ thị hai hàm số trên.<br /> GV: Quan sát hình ảnh và cho biết với những giá trị nào của<br /> tham số a thì đồ thị (C) và đường thẳng y  log a cắt nhau tại<br /> 6 điểm phân biệt?<br /> HS: 1  a  10<br /> Hình 13<br /> GV: Kết luận của bài toán?<br /> HS: x 4  2 x 2  log a có 6 nghiệm phân biệt khi 1  a  10 .<br /> GV: Dựa vào đồ thị trên, hãy đưa ra lời giải của bài toán?<br /> HS: Đường thẳng y  log a cắt đồ thị (C) tại 6 điểm phân biệt khi và chỉ khi<br /> 0  log a  1  log1  log a  log10  1  a  10<br /> 3. Tìm m để hàm số có 3 cực trị<br /> <br /> GV: Điều kiện gì để hàm số có 3 cực trị?<br /> HS: Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y '  0 có ba nghiệm<br /> phân biệt và y ' đổi dấu khi đi qua ba điểm đó<br />  2 x(2 x2  m)  0 có 3 nghiệm phân biệt  m  0<br /> GV sử dụng AutoGraph để minh họa như sau:<br /> + Vẽ đồ thị của hàm số y  x 4  mx 2  m  2 (Cm) bằng<br /> Hình 14<br /> 20<br /> AutoGraph<br /> + Xác định các điểm cực trị của đồ thị (Cm).<br /> + Thay đổi các giá trị của m và yêu cầu HS quan sát sự thay đổi của số các điểm cực trị<br /> trên đồ thị của hàm số.<br /> GV: Quan sát và rút ra kết luận?<br /> HS: Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi m < 0<br /> 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C-2) và trục Ox.<br /> * Hoạt động 1: HS giải bài toán trên.<br /> GV: Từ đồ thị ý 1. Chỉ ra phần hình phẳng cần tính diện<br /> tích? Thực hiện tính diện tích đó?<br /> HS: Thực hiện tính toán theo phương pháp đã biết. Kết quả<br /> diện tích hình phẳng cần tìm là: S  3 (đơn vị diện tích)<br /> 2<br /> Hình 15<br /> * Hoạt động 2: GV minh họa bằng AutoGraph<br /> + Xác định giao điểm của (C-2) và trục hoành<br /> Trong hộp Results box có thể thấy tọa độ ba điểm đó là:<br /> Solution: x=-1,414; y=0,0001916<br /> Solution: x=0,0001206; y=0<br /> Solution: x=1,414; y=0,0001552<br /> + Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi (C-2) và trục hoành. Chọn (C-2) và kích<br /> chuột phải, chọn Find Area. Hộp thoại Edit Area xuất hiện yêu cầu, ta chọn chức năng<br /> Simson’s Rule để tính chính xác diện tích. Nhập: Start Point: -1,414 End Point:<br /> 1,414 Division: 1000 và chọn OK. Khi đó Auto Graph sẽ vẽ miền cần tính diện tích và<br /> trong hộp Result Box cho ta kết quả 1,508 . Vì phần hình phẳng cần tính diện tích nằm<br /> phía dưới trục hoành nên diện tích cần tìm là: 1,508<br /> Chú ý: Vì giao điểm với trục hoành tính được là số gần đúng nên kết quả diện tích hình<br /> phẳng cũng là số gần đúng.<br /> 5. Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi (C-2) và trục Ox<br /> khi quay quanh Ox<br /> * Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên<br /> GV: Xác định khối tròn xoay cần tính thể tích? Công thức tính thể tích khối tròn xoay<br /> đó?<br /> HS: Thực hiện tính toán theo công thức đã biết, kết quả thể tích cần tìm là: V  1,149<br /> (đv thể tích )<br /> *Hoạt động 2: GV minh họa bằng AutoGraph<br /> + Mở một trang Auto Graph ở chế độ đồ thị 3D; Trong hộp thoại Edit Axes Settings<br /> Option và chọn Hide z- axes.<br /> <br /> 21<br /> + Chọn Enter Equation và nhập phương trình y  x4  2 x 2 và<br /> chọn “Plot as 2D” sau đó chọn OK.<br /> + Tạo ra miền hình phẳng cần quay: Kích chuột vào đồ thị <br /> chuột phải  Find Area. Hộp thoại Edit Area xuất hiện ta chọn<br /> một trong 4 cách tìm diện tích là: Retange(-), Retange (+),<br /> Trapedium Rule và Simpson’s Rule. Nhập Start Point:  2,<br /> End Point: 2 Chọn Division: 1000 và chọn OK Hình 16<br /> + Tìm thể tích: Chọn Slow Plot, Auto Graph sẽ tạo ra khối tròn xoay một cách từ từ; chọn<br /> miền hình phẳng cần giới hạnchuột phảiFind Volume. Khi đó hộp thoại Edit<br /> Volume xuất hiện yêu cầu ta nhập trục mà miền hình phẳng quay quanh. Ta nhập phương<br /> trình trục hoành là y = 0 rồi chọn OK. Khi đó trên thanh Status Bar cho kết quả thể tích có<br /> dạng V  1,149<br /> 6. Viết PT tiếp tuyến với đồ thị (C-2) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d):<br /> y  24 x  1<br /> GV: Phương trình đường thẳng song song với (d) có dạng như thế nào?<br /> HS: y  24 x  m<br /> GV: Để đường thẳng trên là tiếp tuyến của (C-2) thì cần điều<br /> kiện gì?<br /> 4 2<br /> HS: Hệ phương trình sau có nghiệm:  x  2 x  24 x  m (1)<br /> 3<br />  4 x  4 x  24 (2)<br /> HS: Giải hệ trên được x2 thay vào (1) được<br /> m  40  phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  24 x  40<br /> GV minh họa bằng Auto Graph như sau:<br /> + Dùng Auto Graph vẽ đồ thị các hàm số y  x 4  2 x 2 ;<br /> Hình 17<br /> y  24 x  m<br /> + GV thay đổi các giá trị của m và yêu cầu HS quan sát, nhận xét với những giá trị nào<br /> của m thì đường thẳng y  24 x  m tiếp xúc với đồ thị (C-2)?<br /> HS: Với m  40 thì đường thẳng y  24 x  m tiếp xúc với đồ thị (C-2) đúng với kết<br /> quả đã tìm ra ở phần trên.<br /> 7. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm)<br /> * Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên<br /> GV: Thực hiện việc tìm điểm cố định của hệ trên?<br /> HS: Điểm cố định của họ (Cm) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m.<br /> y  x 4  mx 2  m  2  y  x4  2  m( x 2  1)<br /> <br /> 22<br />  4<br />  y  x  2  0<br /> Tọa độ điểm cố định là nghiệm hệ phương trình:  2<br />  x  1  0<br /> Hệ trên vô nghiệm vì phương trình thứ 2 là vô nghiệm. Vậy (Cm) không đi qua điểm cố<br /> định nào.<br /> * Hoạt động 2: GV minh họa cho kết quả trên bằng Auto<br /> Graph<br /> + Dùng Auto Graph vẽ đồ thị hàm số y  x 4  mx 2  m  2 (Cm)<br /> + Chọn View\Constant Controller. Hộp thoại Constart<br /> Controller xuất hiện. Chọn Option, hộp thoại Edit Constant<br /> Options xuất hiện. Chọn Family Plot và trong Comma<br /> Separated nhập vào một số giá trị bất kỳ. Chọn OK<br /> để Auto Graph vẽ một số đồ thị ứng với các giá trị của tham số<br /> m đã nhập ở Comma Separated. Kết quả nhận được là hình 18<br /> GV: Từ hình ảnh nhận được hãy nhận xét về điểm cố<br /> Hình 18<br /> định của họ đồ thị hàm số?<br /> HS: Họ đồ thị (Cm) không đi qua bất kỳ điểm cố định nào.<br /> 2mx  m  2<br /> Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y  (Cm) luôn đồng biến trên tập xác định.<br /> xm<br /> * Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên<br /> GV: Tập xác định của hàm số trên?<br /> HS: D   \  m<br /> GV: Đồ thị (Cm) luôn đồng biến trên tập xác định khi nào?<br /> HS: Khi và chỉ khi y '  0, x   m<br /> 2m2  m  2<br /> Ta có y '  2<br /> ; y '  0 m vì 2m 2  m  2  0 m<br /> ( x  m)<br /> 2mx  m  2<br /> Kết luận: m thì đồ thị của hàm số y  luôn đồng biến trên tập xác định<br /> xm<br /> * Hoạt động 2: GV minh họa bằng Auto Graph<br /> 2mx  m  2<br /> + GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số y  (Cm)<br /> xm<br /> + Kích chuột vào đồ thị (Cm) và chọn chức năng Equation  Create Gradient<br /> Function  OK. Lúc này Auto Graph sẽ vẽ cho ta đồ thị của đạo hàm bậc nhất<br /> y '  f '( x )<br /> + GV thay đổi giá trị của m và yêu cầu HS quan sát sự thay đổi của đồ thị của đạo hàm<br /> bậc nhất.<br /> <br /> 23<br /> GV: Nhận xét gì về đồ thị của đạo hàm bậc nhất?<br /> HS: Luôn nằm phía bên trên trục hoành m<br /> GV: Kết luận gì về dấu của y ' ?<br /> HS: y '  0 m<br /> GV: Kết luận gì về tính đơn điệu của hàm số<br /> 2mx  m  2<br /> y ?<br /> xm<br /> HS: Luôn đồng biến trên tập xác định. Hình 19<br /> <br /> Ví dụ 11: Cho họ parabol  Pm  : y  x 2  (2m  1) x  m2  1, chứng minh rằng  Pm <br /> luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Viết phương trình đường thẳng đó.<br /> (Trang 176_ Các bài toán khảo sát và đồ thị hàm số - Trần Văn Hãn – Lê Sĩ Đồng)<br /> <br /> Thực hiện giảng dạy ví dụ trên với sự hỗ trợ của AutoGraph như sau:<br /> * Hoạt động 1: GV dùng AutoGraph để hướng dẫn HS tìm ra cách giải bài toán trên<br /> GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số y  x2  (2m  1) x  m2  1 .<br /> - Chọn View\Constant Controller, chọn Options, hộp thoại Edit Constant Options<br /> hiện ra. Trong phần Plotting chọn Family Plot, trong phần Parameters chọn dòng thứ<br /> nhất và nhập các thông số Start: -10 Finish: 10 Step: 0,1 để vẽ các đồ thị của họ  Pm <br /> với các giá trị của m từ -10 đến 10 với bước nhảy là 0,1. Khi đó AutoGraph sẽ cho ta<br /> thấy đồ thị của các hàm số ứng với các giá trị của m đó (Hình 20)<br /> GV: Quan sát hình ảnh trên, có thể rút ra nhận xét<br /> gì?<br /> HS: Họ đồ thị  Pm  luôn tiếp xúc với một đường<br /> thẳng cố định và có thể thấy đường thẳng này đi qua<br /> hai điểm (1;0) và (0;1).<br /> GV: Có thể chỉ ra được phương trình của đường<br /> thẳng cố định đó?<br /> HS: Đường thẳng đó đi qua hai điểm (1;0) và (0;1)<br /> nên suy ra phương trình của nó là y  x  1 Hình 20<br /> GV: Từ kết quả đó, hãy đề xuất phương hướng giải bài toán trên? ( Dựa vào yếu tố cố<br /> định của đường thẳng )<br /> HS: Gọi đường thẳng cần tìm là y  Ax  B . Ta tìm A và B để đường thẳng trên tiếp<br /> xúc với  Pm  với mọi m tức là phương trình hoành độ giao điểm<br /> <br /> x 2  (2m  1) x  m 2  1  Ax  B luôn có nghiệm kép m .<br /> <br /> <br /> 24<br /> Ta có x 2  (2m  1) x  m 2  1  Ax  B  x 2  (2m  1  A) x  m 2  1  B  0 có<br /> nghiệm kép m    4m 1  A   A2  2 A  4 B  5  0, m<br /> <br /> 1  A  0 A 1<br />  2  vậy đường thẳng cần tìm là y  x  1<br />  A  2 A  4 B  5  0  B  1<br /> * Hoạt động 2: Dùng AutoGraph để phát triển bài toán trên<br /> GV: Đồ thị hàm số  Pm  : y  x 2  (2m  1) x  m2  1 luôn tiếp xúc với đường<br /> thẳng y  x  1 m . Nếu ta thay đổi giả thiết của bài toán, đồ thị hàm số  Pm  có<br /> <br /> phương trình là y  ax 2  (2m  1) x  m 2  1 với a là hằng số. Khi a thay đổi thì liệu<br /> rằng họ đồ thị  Pm  còn tiếp xúc với đường thẳng nữa hay không? Ta sẽ kiểm tra bằng<br /> AutoGraph để tìm ra câu trả lời trên.<br /> GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số y  ax 2  (2m  1) x  m 2  1 . Chọn<br /> View\Constant Controller, chọn Options, hộp thoại Edit Constant Options hiện ra.<br /> Trong phần Plotting chọn Family Plot, trong phần Parameters chọn dòng thứ nhất và<br /> nhập các thông số Start: -10 Finish: 10 Step: 0,1 để vẽ các đồ thị của họ  Pm  với các<br /> giá trị của m từ -10 đến 10 với bước nhảy là 0,1.<br /> Lúc này AutoGraph sẽ mặc định cho a  1 và<br /> kết quả nhận được là hình 20<br /> GV thay đổi các giá trị của tham số a bằng chức<br /> năng View\Constant Controller và yêu cầu HS<br /> quan sát. ( Hình 21)<br /> GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy cho biết khi a<br /> thay đổi thì họ đồ thị  Pm  còn tiếp xúc với một<br /> đường thẳng nữa hay không?<br /> HS: Khi a thay đổi thì dường như họ đồ thị  Pm <br /> Hình 21<br /> luôn tiếp xúc với một parabol nào đó.<br /> GV: Tương tự phần trên, hãy tìm parabol đó?<br /> HS: Gọi parabol cần tìm là y  Ax 2  Bx  C . Làm tương tự như phần trên tìm được<br /> A  a  1; B  1; C  1 .<br /> GV: Khi tham số a thay đổi thì họ đồ thị  Pm  luôn luôn tiếp xúc với Parabol<br /> <br /> y  (a  1) x 2  x  1 . Với a  1 thì chính là kết quả của bài toán ban đầu.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 25<br /> Ví dụ 5: Cho hàm số y  ( m  2) x3  2( m  2) x 2  ( m  3) x  2m  1 có đồ thị  Cm  .<br /> Chứng minh rằng  Cm  đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng.<br /> (Trang 165_ Các bài toán khảo sát và đồ thị hàm số_ Trần Văn Hãn – Lê Sĩ Đồng)<br /> <br /> Thực hiện giảng dạy ví dụ trên với sự hỗ trợ của<br /> AutoGraph như sau:<br /> Hoạt động 1: Xác định ba điểm cố định của  Cm <br /> GV: Nhắc lại phương pháp tìm điểm cố định của họ đồ thị<br /> hàm số y  f ( x, m), m  const . Thực hành tìm các điểm cố<br /> định đó.<br /> HS: Nhắc lại phương pháp giải và giải toán bằng phương<br /> pháp đã biết. Kết quả ba điểm cố định của  Cm  là A(-2; 7),<br /> B(1; 4), C(-1; 6).<br /> Họat động 2: Chứng minh ba điểm cố định thẳng hàng<br /> GV: Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng? Hình 22<br />  <br /> HS: A, B, C thẳng hằng khi các vector AB; AC cùng phương.<br />  <br /> GV: AB; AC cùng phương khi nào?<br />  <br /> HS: Khi tồn tại số thực k để AB  k AC<br /> GV: Xác định s